辽宁省大连市2021届高三第一模拟考试数学(理)试题(含答案)

精品 Word 可修改 欢迎下载 2021年高三第一次模拟考试

数学（理科）能力测试

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、集合{|13}Axx，集合1{|39}3xBx，则AB

A．1,2 B．1,2 C．1,3 D．1,3

2、设复数12,zz在复平面内对应的点关于虚轴对称，12zi，则12zz

A．43i B．43i C．34i D．34i

3、已知向量(2,1),(0,1)ab，则2ab

A．5 B．22 C．2 D．4

4、已知函数5log,02,0xxxfxx，则1(())25ff

A．4 B．14 C．4 D．14

5、已知,{1,2,3,4,5,6}xy，且7xy，则2xy的概率为

A．23 B．13 C．12 D．56

6、已知tan2,为第一象限角，则sin2cos的值为

精品 Word 可修改 欢迎下载 A．5 B．4255 C．455 D．525

7、如图，在长方体1111ABCDABCD中，点P是线段CD中点，则三棱锥11PABA的左视图为

8、将函数sin(2)()2fxx的图象向右平移12个单位，所得到的图象关于y轴对称，则函数fx在[0,]2上的最小值为

A．32 B．12 C．12 D．32

9、执行如图所示的程序框图，如果输入110011a，则输出的结果是

A．51

B．49

C．47

D．45

10、已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，以F为

圆心和双曲线C的渐近线相切与双曲线C在第一象限的交点为M，

且MF与双曲线C的实轴垂直，则双曲线C的离心率为

精品 Word 可修改 欢迎下载 A．52 B．5 C．2 D．2

11、在ABC中，D是BC的中点，已知90BADC，则ABC的形状为

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

12、已知偶函数fx的定义域为(1,0)(0,1)，且1()02f，当01x时，不等式21()ln(1)2xfxxfxx恒成立，那么不等式0fx的解集为

A．11{|01}22xxx或 B．11{|11}22xxx或

C．11{|0}22xxx且 D．11{|10}22xxx或

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.

13、若,xy满足约束条件1220xyxy，则2zxy的最大值为

14、在椭圆221369xy上有两个动点,,(2,0)MNK为定点，若0KMKN，则KMNM的最小值

为

15、设G是一二非空集合，是定义在G上的一个运算，如果满足下述四个条件：

精品 Word 可修改 欢迎下载 ⑴对于,abG，都有abG；

⑵对于,abG，都有()()abcaab；

⑶对于,aGeG，都有aeeaa；

⑷对于,aGaG，都有aaaae；

则称G关于运算构成一个群，先给出下列集合和运算：

①G是整数集合，为加法；②G是奇数集合，为乘法；③G是平面向量集合，为数量积运算；

④G是非零复数集合，为乘法，其中G关于运算构成群的序号是

16、已知正四棱锥PABCD为所有顶点都在半径为1的球面上，当正四棱锥PABCD的体积最大时，该四棱锥的高为

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17、（本小题满分12分）

已知数列na满足11511,43(2)nnaaan

（1）求证：1na是等比数列；

（2）令2log(1)nnba，求nb的前n项和nS。

精品 Word 可修改 欢迎下载 18、（本小题满分12分）

某初中对初二年级的学生进行体质监测，已知初二一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下：（单位：cm）

男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”；

女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”；

（1）求女生立定跳远成绩的中位数；

（2）若在男生中用分层抽样的方法抽取6个人，求抽取成绩“合格”的学生人数；

（3）若从全班成绩“合格”的学生中选取2个人参加复试，用X表示其中男生的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望。

19、（本小题满分12分）

精品 Word 可修改 欢迎下载 已知等腰梯形ABCD（如图（1）所示），其中//,,ABCDEF分别为AB和CD的中点，

且2,6,ABEFCDM为BC中点，现将梯形ABCD沿着EF所在直线折起，使平面EFCB平面EFDA（如图（2）所示），N是线段CD上一动点，且CNND.

（1）当12时，求证：//MN平面EFDA；

（2）当1时，求二面角MNAF的余弦值。

20、（本小题满分12分）

已知动点P在抛物线2xy上，过点P作x轴的垂线，垂足为H，动点Q满足12PQPH.

（1）求动点Q的轨迹E的方程；

（2）点(4,4)M，过点(4,5)N且斜率为k的直线交轨迹E于A、B两点，设直线MA、MB的斜率分别

为12,kk，求12kk的最小值。

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21、（本小题满分12分）

已知函数1(cos),xfxeaxaR

（1）若函数fx存在单调减区间，求实数a的取值范围；

（2）若0a，证明：1[1,]2x，总有(1)2()cos(1)0fxfxx。

请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．

22、（本小题满分10分） 选修4-1 几何证明选讲

已知四边形ABCD为O的内接四边形，且BCCD，其对角线AC与BD相交于点M，过点B作O的切线交DC的延长线于点P。

（1）求证：ABMDADBM；

（2）若CPMDCBBM，求证：ABBC。

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23、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为22(22xmttyt为餐宿），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2222cos3sin12，点F的极坐标为(22,)，且F在直线l上。

（1）若直线l与曲线C交于A、B两点，求FAFB的值；

（2）求曲线C内接矩形的周长的最大值。

24、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲

若0xR，使关于x的不等式12xxt成立，设满足条件的实数t构成的集合为T。

（1）求集合T；

（2）若1,1mn，且对于tT，不等式33loglogmnt恒成立，求mn的最小值。

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高三第一次模拟考试参考答案和评分标准

数学（理科）

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一．选择题

1.B 2.C 3.A 4.B 5.A 6.C 7.D 8.D 9.A 10.C 11.D 12.B

二．填空题

13. 4 14. 233 15. ①④ 16. 34

三．解答题

精品 Word 可修改 欢迎下载 17.解：

（Ⅰ）由题知:43411nnaa，可知)(14111nnaa，…………………………………3分

051211a数列1na是以512为首项,14为公比的等比数列…………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，11121151224()nnna，2(1)112nlogan.

112nbn，…………………………………………………………………………………8分

令112ncn，设nc的前n项和为nT，则210nTnn，……………………………10分

当5n时，210nnS=Tnn

当6n时，2521050nnSTTnn

2210510506,,nnnnSnnn……………………………………………………………………12分

18.解：（Ⅰ）女生立定跳远成绩的中位数16516816652.cm．…………………………3分

（Ⅱ）男生中成绩“合格”有8人，“不合格”有4人，用分层抽样的方法，其中成绩“合格”的学生应抽取86412人………………………………………………………………………6分

（III）依题意，X的取值为0,1,2，则

028102185017()CCPXC，11810218801153()CCPXC，20810218282153()CCPXC，

因此，X的分布列如下：