【辽宁省大连市】2017届高三第一次模拟考试理科数学试卷-答案

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辽宁省大连市2017届高三第一次模拟考试数学理试卷

答 案

一、选择题

1~5．ADADC 6~10．ADABC

11~12．BD

二、填空题

13．48

14．yx

15．128

16．233

三．解答题

17．解：（1）∵(3,1)OPuuur，(3cos,1sin)QPxxuuur，

∴π()33cos1sin42sin()3fxxxx，

∴当π2π()6xkkZ时，()fx取得最小值2．

（2）∵()=4fA，∴2π3A，

又∵3BC，∴2222π2cos3abcbc，∴29()bcbc．

2()4bcbc，∴23()94bc，

∴23bc，当且仅当=bc取等号，

∴三角形周长为323．

18．（1）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：

由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．

（2）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，

1242361(1)5CCPXC；2142363(2)5CCPXC；3242361(3)5CCPXC． 2 / 5

所以X的分布列为

X 1 2 3

P 15 35 15

4()326EX或163()2555EX．

19．解：（1）证明：∵PAABCD底面，ABABCD底面，∴PAAB，

又∵底面ABCD为矩形，∴ABAD，PAADAI，PAPAD平面，ADPAD平面，

∴ABPAD平面，又PDPAD平面，∴ABPD，ADAP，E为PD中点，

∴AEPD，AEABAI，AEABE平面，ABABE平面，∴PDABE平面．

（2）以A为原点，以ABuuur，ADuuur，APuuur为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系ABDP，令||2AB，

则(0,0,0)A，(2,0,0)B，(0,0,2)P，(2,2,0)C，(0,1,1)E，(1,0,0)F，(1,0,2)PFuuur，(2,2,2)PCuuur，(2,2,2)PMuuuur，(2,2,22)M

设平面PFM的法向量111(,,)mxyzur，=0=0mPFmPMuruuurguruuuurg，即202220xzxyz，(2,1,1)mur

设平面BFM的法向量222(,,)nxyzr，=0=0nBFnFMruuurgruuuurg，

即0212220xxyz，(0,1,)nr

2213|cos,|||||3||||61mnmnmnurrurrgurr，解得12．

20．解：（1）∵椭圆Q的长轴长为22，∴2a．

设00(,)Pxy，

∵直线PA与OM的斜率之积恒为12，∴0000122222yyxx，

∴220012xy，∴1b，

故椭圆的方程为2212xy．

（2）设直线l方程为(1)(0)ykxk，代入2212xy有2222(12)4220kxkxk， 3 / 5

设11(,)Axy，22(,)Bxy，AB中点00(,)Nxy，

∴21224()12kxxk，21222212kxxkg．

∴2012212()212kxxxk，002(1)12kykxk

∴CD的垂直平分线方程为001()yyxxk，

令0y，得00211242Gxxkyk

∵1[,0)4Gx，∴21114242k，∴2102k．

42222212164(21)(22)||1||121kkkCDkxxkkg

2113222[+]22(21)2k，

min32||2CD．

21．解：（1）()e(2)e24xxfxxaxa

∵函数()fx在区间(0)，上单调递增，

∴()fx在(0)，上恒成立． ∴e(2)e240xxxaxa，∴(1)e24xxax，

令(1)e()24xxgxx，222[(1)ee](24)2(1)ee(222)()0(24)(24)xxxxxxxxxgxxx，

∴1()(0)4gxg，∴14a．

（2）[()]e20xfxxag∴=()yfx在(0)，上单调递增

又(0)=410fa，(1)=60fa∴存在(,1)t0使()=0ft

∴(0,)xt时，()0fx，(0,)xt时，()0fx

当=xt时，2min()=()=(2)e+(2)tfxfttatg

且有()=e(1)+2(2)0tfttatg，∴e(1)=2(2)ttat．

由（1）知e(1)=()=2(2)ttagtt在(0,)t上单调递减， 4 / 5 1(0)=4g，(1)=0g，且104a，∴(0,1)t．

∴22mine(1)(2)()=()=(2)e+(2)e2(2)2ttttttfxfttttgg，

2e()=(1)02tftttg，

∴(1)()(0)fftf，e()1ft，

∴()fx的最小值的取值范围是(e,1)．

22．解：（1）由1C：2240xyx，

l：230xy．

（2）π(22,)4P，直角坐标为(2,2)，

(2cos,sinα)Q，1(1cos,1sin)2M，l：230xy．

M到l的距离|1cos2sin3|10π|sin()|545d，

从而最大值为105．

23．解：（1）法一：()|||2|=||||||22bbfxxaxbxaxx，

∵|||||()()|222bbbxaxxaxa且||02bx，

∴()2bfxa，当2bx时取等号，即()fx的最小值为2ba，

∴12ba，22ab．

法二：∵2ba，∴3,()|||2|=,23,2xabxabfxxaxbxabaxbxabx，

显然()fx在(,]2b上单调递减，()fx在[,)2b上单调递增，

∴()fx的最小值为()22bbfa，

∴12ba，22ab．

（2）∵2abtab恒成立，

∴2abtab恒成立， 5 / 5 2121211221229()(2)(14)(142)2222abababababbabababag

当23ab时，2abab取得最小值92，

∴92t，即实数t的最大值为92．