中考必会几何模型：倍长中线模型

中点四大模型专题知识解读【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。

【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.模型2：平行线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3：中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型4：连接直角顶点，构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE到F，使得EF＝DE；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC ＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝．【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F 处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；②求BE的长．【模型3 中位线】【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（）A．1B．2C．D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）四边形DEFC的面积为．【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD 的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA ＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A．5B．10C．15D．20【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE 交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。

专题09倍长中线模型倍长中线模型概述：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移。

倍长中线模型模型：【倍长中线】已知点D 为∆ABC 中BC 边中点，延长线段AD 到点E 使AD=DE1）连接EC,则∆ABD ≌∆ECD ，AB ∥CE2）连接BE ,则∆ADC ≌∆EDB ，AC ∥BE证明：∵点D 为∆ABC 中BC 边中点∴BD=DC在∆ABD 和∆ECD 中AD=ED∠1=∠2∴∆ABD ≌∆ECD （SAS ）∴∠ABD=∠ECD ∴AB ∥CE BD=DC在∆ADC 和∆EDB 中AD=ED∠ADC=∠BDE∴∆ADC ≌∆EDB （SAS ）∴∠EBD=∠ACD ∴AC ∥BE BD=DC【倍长类中线】已知点D 为∆ABC 中BC 边中点，延长线段DF 到点E 使DF=DE,连接EC，则∆BDF ≌∆CDE【基础过关练】1．在ABC 中，6AC ，中线10AD ，则AB 边的取值范围是（）A ．1622AB B ．1426AB C ．1626AB D ．1422AB 【答案】B【分析】延长AD 至E ，使DE AD ，然后利用“边角边”证明ABD △和ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB CE ，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE 的取值范围，即为AB 的取值范围．【详解】解：如图，延长AD 至E ，使DE AD ，∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD ，在ABD△和ECD 中，BD CD ADB EDC AD ED，∴ ABD ECD SAS ≌，∴AB CE ，∵6AC ，10AD ，∴101020AE ，∴206206CE ，即1426CE ∴1426AB ．故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．“遇中线，加倍延”构造全等三角形是解题的关键．2．如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，点D 为BC 的中点，则AD 的长可能是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ．证△ADC ≌△EDB （SAS ），可得BE ＝AC ＝2，再利用三角形的三边关系求出AE 的范围即可解决问题．【详解】解：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，在△ADC 和△EDB 中，AD ED ADC EDB CD BD，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），∴BE ＝AC ＝2，在△ABE 中，AB ﹣BE ＜AE ＜AB +BE ，即2＜2AD ＜6，解得1＜AD ＜3，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的全等判定和性质，三角形三边关系定理，熟练证明三角形的全等是解题的关键．3．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝10，BC 边上的中线AD ＝4，则△ABC 的面积为()A ．30B ．24C ．20D ．48【答案】B 【分析】延长AD 到E ，使DE=AD ，连接CE ，利用SAS 得出△ADB 与△EDC 全等，得到AB=CE ，利用4．如图，△ABC中，D是AB的中点，CD：AC：BC＝1：2：BCD＝_____．【答案】30°【分析】利用“中线倍长法”构造全等三角形，进而得出等腰三角形，再通过作等腰三角形的高，依据锐角三角函数可求出答案．【详解】解：延长CD到E，使DE＝CD，连接BE，过E点作EF⊥BC，垂足为F，∵D是AB的中点，5．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，连接AD ，已知CD AB ，BAD BDA ，AE 是ABD 的中线．求证：2AC AE ．【答案】见解析【分析】延长AE 至F ，使EF AE ，连接DF ．先证明ABE FDE ．得到AB FD ，B EDF ，再利用外角性质及等式的性质得到ADC ADF ，进而得到ADF ADC ，最后即可得到2AC AE ．【详解】证明：如图，延长AE 至F ，使EF AE ，连接DF ．∵AE 是ABD 的中线，∴BE DE ．在ABE 与FDE 中，AE EF AEB FED BE DE，∴ABE FDE ．∴AB FD ，B EDF ．∵CD AB ，∴CD FD ．∵ADC B BAD ，ADB BAD ，ADF ADB EDF B ADB ，∴ADC ADF ．在ADF 与ADC 中，AD AD ADC ADF CD FD，∴ADF ADC ．∴AC AF ．∵2AF AE EF AE ，∴2AC AE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．6．如图，在ABC 中，AB AC ，BE 是AC 的中线，点D 在AC 的延长线上，连接BD ，BC 平分EBD ．(1)求证：ABE D ；(2)求证：2BD BE ．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）由题意易得A ABC CB ∠，EBC DBC ，然后可得,ACB D DBC ABC ABE EBC ，进而问题可求证；（2）延长BE 到点F ，使得EF EB ，连接CF ，易证ABE CFE ≌，然后可得ABE F D ，进而可证BCF BCD ≌，最后问题可求证．【详解】（1）证明：∵AB AC ，∴A ABC CB ∠，∵BC 平分EBD ，∴EBC DBC ，∵,ACB D DBC ABC ABE EBC ，∴D DBC ABE EBC ，∴ABE D ；（2）证明：延长BE 到点F ，使得EF EB ，连接CF ，如图所示：∵BE 是AC 的中线，∴AE CE ，∵AEB CEF ，∴ABE CFE ≌（SAS ），∴ABE F ，∵ABE D ，∴D F ∠∠，∵FBC DBC ，BC BC ，∴BCF BCD ≌（AAS ），∴BD BF ，∴2BD BE ．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键．7．如图所示，AD 为ABC 的角平分线，,E F 分别在,BD AD 上，DC DE ，若EF AB ∥．求证：EF AC ．【答案】详见解析【分析】延长FD 至G ，使DG DF ，连结CG ，可证DEF DCG ≌，则EF=CG ，利用全等三角形和角平分线以及平行线的性质可得GAC AGC ，根据等角对等边得AC=CG ，即可得出结论.【详解】证明：延长FD 至G ，使DG DF ，连结CG ，∵DC=DE ，∠EDF=∠CDG ，DG DF∴DEF DCG ≌，EF CG ，EFG CGDEF AB ∵∥，EFG BAD ，又BAD CAD ，GAC AGC ，AC GC ，EF AC .【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证△EDF 与△CDG 全等．8．如图，已知//AP BC ，点E 是DC的中点，且AD BC AB ，求证：AE BE ．【答案】证明见解析【分析】延长AE 、BC 交于点M ，利用AAS 证出△ADE ≌△MCE ，从而得出AD=MC ，AE=ME ，结合已知条件即可证出BM=AB ，再利用SSS 即可证出△BAE ≌△BME ，从而得出∠BEA=∠BEM ，根据垂直定义即可证出结论．【详解】解：延长AE 、BC 交于点M ，如下图所示∵点E 是DC 的中点，∴DE=CE ，∵//AP BC∴∠1=∠M在△ADE 和△MCE 中156M DE CE∴△ADE ≌△MCE∴AD=MC ，AE=ME∵AD BC AB∴MC ＋BC=AB∴BM=AB在△BAE 和△BME 中AE ME BE BE BA BM∴△BAE ≌△BME∴∠BEA=∠BEM∵∠BEA ＋∠BEM=180°∴∠BEA=∠BEM=90°∴AE BE【点睛】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键．【提高测试】1．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AB BD ，5AB ，4BD ，3CD ，点E 是AC 的中点，则BE 的长为（）．A ．2B ．52CD ．3【答案】C 【分析】延长BE 交CD 延长线于P ，可证△AEB ≌△CEP ，求出DP ，根据勾股定理求出BP 的长，从而求出BM 的长．【详解】解：延长BE 交CD 延长线于P ，∵AB ∥CD ，∴∠EAB ＝∠ECP ，在△AEB 和△CEP 中，EAB ECP AE CE AEB CEP∴△AEB ≌△CEP （ASA ）∴BE ＝PE ，CP ＝AB ＝5又∵CD ＝3，∴PD=2，∵4BD ∴2225BP DP BD ∴BE ＝12BP ＝5．故选：C ．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP ．2．如图，ABC 中，D 为BC 的中点，点E 为BA 延长线上一点，DF DE 交射线AC 于点F ，连接EF ，则BE CF 与EF 的大小关系为()A ．BE CF EFB ．BE CF EFC ．BE CF EFD ．以上都有可能【答案】C 【分析】如图，延长ED 到T ，使得DT ＝DE ，连接CT ，TF ，证明△EDB ≌△TDC （SAS ），推出BE ＝CT ，由CT ＋CF ＞FT ，可得BE ＋CF ＞EF ．【详解】解：如图，延长ED 到T ，使得DT DE ，连接CT ，TF ．DE DT ∵，DF ET ，EF TF ，在EDB 和 TDC 中，DB DC EDB TDC DE DT，()EDB TDC SAS ，BE CT ，CT CF FT ∵，BE CF EF ，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．在ABCF 中，2BC AB ，CD AB 于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ，则B 的度数是（）A ．50B ．60C ．70D ．80【答案】D 【分析】连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE ≌△CFE ，所以NE ＝CE ，NA ＝CF ，再由已知条件CD ⊥AB 于D ，∠ADE ＝50°，即可求出∠B 的度数．【详解】解：连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，4．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90,8C AC ，F 为AB 边的中点，点D ，E 分别在,AC BC 边上运动，且保持AD CE ，连接,,DE DF EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①DEF 是等腰直角三角形；②四边形CDFE 的面积保持不变；③AD BE DE ．其中正确的是（）A ．①②③B ．①C ．②D ．①②【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系，掌握构造全等三角形的方法是解决的关键．5．如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（）A ．4BF B ．2ABC ABF C ．ED BC EB D ．2DEBC EFBS S V 四边形【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可以得到228CD AD BC ，且F 为DC 的中点，所以4CF BC ,由此可判断A 选项；再结合平行线的性质可以得到CFB FBA ，由此可判断B 选项；同时延长EF 和BC 交于点P ，,,DF CF DFE PFC D FCP 可以证得DFE CFP ，所以ED BC CP BC BP ,由此可以判断C 选项；由于DFE CFP ，所以BEP DEBC S S 四边形V ，由此可以判断D 选项；【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形228CD AD BC 4CF BC 由于条件不足，所以无法证明4BF ,故A 选项错误；∵4CF BC CFB FBC∵DC AB∥ CFB FBC FBA2ABC ABF故B 选项错误；同时延长EF 和BC 交于点P∵AD BPD FCP在DFE △和CFP 中： DF CF DFE PFC D FCP ASADFE CFPED BC CP BC BP由于条件不足，并不能证明BP BE ，故C 选项错误；∵DFE CFPBEPDEBC S S 四边形V ∵F 为DC 的中点2BEP BEF DEBCS S S 四边形V V 故D 选项正确；故选：D.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键.6．如图，DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于点G ，若△CEF 的面积为12cm 2，则S △DGF 的值为（）A ．4cm 2B ．6cm 2C ．8cm 2D ．9cm 2【答案】A 【分析】取CG 的中点H ，连接EH ，根据三角形的中位线定理可得EH //AD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠GDF =∠HEF ，然后利用“角边角”证明△DFG 和△EFH 全等，根据全等三角形对应边相等可得FG =FH ，全等三角形的面积相等可得S △EFH =S △DGF ，再求出FC =3FH ，再根据等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面积的比，从而得解．【详解】解：如图，取CG 的中点H ，连接EH ，7．如图，在ABC 中，AD 为BC 边的中线，E 为AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，若AEF FAE ，4BE ， 1.6EF ，则CF 的长为____________．【答案】2.4【分析】延长AD 到点G ，使DG AD ，首先证明 SAS BDG CDA V V ≌，然后得到G CAD ，BG AC ，然后根据等腰三角形的性质得到4BG BE AC ，然后根据线段的和差求解即可．【详解】如解图，延长AD 到点G ，使DG AD ，∵AD 为BC 边的中线，∴BD CD∵BDG CDA ，DG AD∴SAS BDG CDA V V ≌∴G CAD ，BG AC∵AEF FAE∴G BEG∴4BG BE AC ∵AEF FAE ， 1.6EF ∴ 1.6AF EF ∴ 2.4CF AC AF ．故答案为：2.4．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．8．如图，已知AD 是△ABC 的中线，E 是AC 上的一点，BE 交AD 于F ，AC ＝BF ，∠DAC ＝24°，∠EBC ＝32°，则∠ACB ＝_____．【答案】100°##100度【分析】延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，证△BDM ≌△CDA （SAS ），得得到BM ＝AC ＝BF ，∠M ＝∠DAC ＝24°，∠C ＝∠DBM ，再证△BFM 是等腰三角形，求出∠MBF 的度数，即可解决问题．【详解】解：如图，延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，在△BDM 和△CDA 中，=DM DA BDM CDA BD CD，∴△BDM ≌△CDA （SAS ），∴BM ＝AC ＝BF ，∠M ＝∠DAC ＝24°，∠C ＝∠DBM ，∵BF ＝AC ，∴BF ＝BM ，∴∠M ＝∠BFM ＝24°，∴∠MBF ＝180°﹣∠M ﹣∠BFM ＝132°，∵∠EBC ＝32°，∴∠DBM ＝∠MBF ﹣∠EBC ＝100°，∴∠C ＝∠DBM ＝100°，故答案为：100°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．9．如图，ABC 中，点D 在AC 上，3,10AD AB AC ，点E 是BD 的中点，连接,2CE ACB ABC BCE ，则CD ______________．【答案】43##113【分析】如图，延长CE 至F ，使得EF CE ，交AB 于点G ，通过“边角边”证明BEF DEC ≌ ，则,F DCE BF DC ，根据题意与三角形的外角性质可得AGC DCE ，进而可得,AG AC BF BG CD ，设BF BG CD x ，根据题意得到关于x 的方程，然后求解方程即可．【详解】解：如图，延长CE 至F ，使得EF CE ，交AB 于点G ，∵点E 是BD 的中点，∴BE DE ，在BEF △与DEC 中，=BE DE BEF DEC EF EC，∴BEF DEC ≌ ，∴,F DCE BF DC ，∵2ACB ABC BCE ，∴DCE ACB BCE ABC BCE ，∵AGC ABC BCE ，∴AGC DCE ，∴,F DCE AGC BGF AG AC ，∴BF BG CD ，10．如图，AB AE ，AB AE ，AD AC ，AD AC ，点M 为BC 的中点，3AM ，DE ______．【答案】6【分析】延长AM 至N ，使MN AM ，连接BN ，证明 SAS AMC NMB ≌ ，推出AC BN ，C NBM ，求出EAD ABN ，再证明EAD ABN ≌ 即可．【详解】证明：延长AM 至N ，使MN AM ，连接BN ，∵点M 为BC 的中点，∴CM BM ，在AMC 和NMB △中，AM NM AMC NMB CM BM，∴ SAS AMC NMB ≌ ，∴AC BN ，C NBM ，∴AD BN ，∵AB AE ，AD AC ，∴90EAB DAC ，∴180EAD BAC ，∴180ABN ABC NBM ABC C BAC EAD ，在EAD 和ABN 中，AE AB EAD ABN ADBN，∴ SAS ABN EAD ≌ ，∴26DE AN AM ．故答案为：6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力，延长AM 至N ，使MN AM ，再证AN DE 即可，这就是“倍长中线”，实质是“补短法”．11．如图，ABC 中，13AB ，6AD ，5AC ，D 为BC 边的中点，则ABC S ______．【答案】30【分析】由“SAS ”可证CDE ≌BDA △，可得13CE AB ，ADB CDE S S ，可得ACE CAB S S ，由勾股定理的逆定理可求ACE △为直角三角形，即可求解．【详解】解：延长AD 到E 使6AD DE ，连接CE ，如图所示：在CDE 和BDA △中，12．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝__．13．（1）如图1，在ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，AD 是BC 边上的中线，延长AD 到点E 使DE ＝AD ，连接CE ，把AB ，AC ，2AD 集中在ACE 中，利用三角形三边关系可得AD 的取值范围是；（2）如图2，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且DE ⊥DF ，求证：BE ＋CF ＞EF ；（3）如图3，在四边形ABCD 中，∠A 为钝角，∠C 为锐角，∠B ＋∠ADC ＝180°，DA ＝DC ，点E ，F 分别在BC ，AB 上，且∠EDF ＝12∠ADC ，连接EF ，试探索线段AF ，EF ，CE 之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）1＜AD ＜5；（2）见解析；（3）AF +EC =EF ，见解析【分析】（1）证明CDE BDA SAS ≌（），推出CE =AB =4，在ACE △中，利用三角形的三边关系解决问题即可．（2）如图2中，延长ED 到H ，使得DH =DE ，连接DH ，FH ．证明BDE CDH SAS ≌（），推出BE =CH ，再证明EF =FH ，利用三角形的三边关系即可解决问题．（3）结论：AF +EC =EF ．延长BC 到H ，使得CH =AF ．提供两次全等证明AF =CE ，EF =EH 即可解决问题．【详解】（1）∵CD =BD ，AD =DE ，∠CDE =∠ADB ，∴CDE BDA ≌(SAS)，∴EC =AB =4，∵6﹣4＜AE ＜6+4，∴2＜2AD ＜10，∴1＜AD ＜5，故答案为：1＜AD ＜5；（2）如图2中，延长ED 到H ，使得DH =DE ，连接DH ，FH ．∵BD =DC ，∠BDE =∠CDH ，DE =DH ，∴BDE CDH △≌△(SAS)，∴BE =CH ，∵FD ⊥EH ，又DE =DH ，∴EF =FH ，在△CFH 中，CH +CF ＞FH ，∵CH =BE ，FH =EF ，∴BE +CF ＞EF ；（3）结论：AF +EC =EF ．理由：延长BC 到H ，使得CH =AF ．∵∠B +∠ADC =180°，∴∠A +∠BCD =180°，∵∠DCH +∠BCD =180°，∴∠A =∠DCH ，∵AF =CH ，AD =CD ，14．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AB 上一点，F 是AC 上一点．若∠EDF ＝90°，且BE 2＋FC 2＝EF 2，求证：∠BAC ＝90°．【答案】见解析【分析】延长FD 到G 使DG ＝DF ，连接BG ，EG ，先证明△BDG ≌△CDF （SAS ）得BG ＝FC ，∠GBD ＝∠C ，从而有BG AC ∥，DG ＝DF ，又由勾股定理的逆定理得90ABG ＝，再利用平行线的性质即可证明结论成立．【详解】证明：如图，延长FD 到G 使DG ＝DF ，连接BG ，EG ，∵D 为BC 中点，∴BD ＝CD ，∵在△BDG 和△CDF 中，BD CD BDG CDF DG DF，∴△BDG ≌△CDF（SAS ），∴BG ＝FC ，∠GBD ＝∠C ，∴BG AC ∥，DG ＝DF ，∵ED ⊥DF ，∴EG ＝EF ，∵222BE FC EF ，∴222BE BG EG ，∴90ABG ，∵BG AC ∥，∴180A ABG ，∴90BAC ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定及性质、三角形全等的判定及性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形全等的判定及性质以及勾股定理的逆定理是解题的关键．15．已知：如图，在ABC 中，90C ，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且ED FD 于D .求证：222AE BF EF .【答案】详见解析【分析】通过倍长线段DE ，将AE 、BF 、EF 转化到BGF 中，再证BGF 为直角三角形.【详解】延长ED 至G ，使DG DE ，连结BG 、FG ，AD BD ∵，ADE BDG ，ADE BDG ，AE BG ，A DBG ，AC BG ，180C FBG ，90FBG ，222BG BF GF ，又ED FD ∵，ED GD ，EF GF ，222AE BF EF .【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键.16．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE ＝∠CDE ．求证：AB ＝CD ．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB ＝CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；【分析】（1）①如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ，△BEF ≌△CED ，∠BAE ＝∠F ，AB ＝CD ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ，△BEF ≌△CEG △BAF ≌△CDG ，AB ＝CD ；（2）如图3，过C 点作CM ∥AB ，交DE 的延长线于点M ，则∠BAE ＝∠EMC ，△BAE ≌△CFE （AAS ），∠F ＝∠EDC ，CF ＝CD ，AB ＝CD ；【详解】（1）①如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△BEF 和△CED 中，BE CE BEF CED EF ED，∴△BEF ≌△CED （SAS ），∴BF ＝CD ，∠F ＝∠CDE ，∵∠BAE ＝∠CDE ，∴∠BAE ＝∠F ，∴AB ＝BF ，∴AB ＝CD ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ，∴∠F ＝∠CGE ＝∠CGD ＝90°，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△BEF 和△CEG 中，90F CGF BEF CEG BE CE，∴△BEF ≌△CEG （AAS ），∴BF ＝CG ，在△BAF 和△CDG 中，90BAE CDE F CGD BF CG，∴△BAF ≌△CDG （AAS ），∴AB ＝CD ；（2）如图3，过C 点作CM ∥AB ，交DE 的延长线于点M ，则∠BAE ＝∠EMC ，∵E 是BC 中点，∴BE ＝CE ，在△BAE 和△CME 中，BAE CME BEA CEM BE CE，∴△BAE ≌△CFE （AAS ），∴CF ＝AB ，∠BAE ＝∠F ，∵∠BAE ＝∠EDC ，∴∠F ＝∠EDC ，∴CF ＝CD ，∴AB ＝CD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．17．如图，在 ABC 中，AC=2AB ，AD 平分∠BAC ，延长CB 到点E ，使BE=BD ，连接AE ．（1）依题意补全图形；（2）试判断AE 与CD 的数量关系，并进行证明．【答案】（1）见解析；（2）AE CD ，见解析【分析】（1）直接延长CB 到点E ，使BE=BD 即可；（2）延长AB 至点F ，使得BF AB ，连接DF ，可证得ABE ≌FBD ，则AE FD ，再通过证明FAD △≌CAD ，可得到FD CD ，从而得到AE CD 即可．【详解】（1）如图所示：（2）如图，判断：AE CD证明如下：延长AB 至点F ，使得BF AB ，连接DF在ABE 和FBD 中，∵AB FBABE FBD EB DB∴ABE ≌FBD∴AE FD∵BF AB∴2AF AB∵2AC AB∴AF AC∵AD 平分∠BAC∴FAD CAD在FAD △和CAD 中，∵AF AC FAD CAD AD AD∴FAD △≌CAD∴FD CD又∵AE FD∴AE CD【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键．18．如图，已知AD 是ABC 的中线，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ．若BE=6，求点C 到AD 的距离．【答案】6【分析】延长AD ，过点C 作CF AD 于点F ，证明 BDE CDF AAS ，再根据全等三角形的性质得到6BE CF ．【详解】解：如图，延长AD ，过点C 作CF AD 于点F ，∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD ，∵BE AD ，CF AD ，∴90BED CFD ，在BDE △和CDF 中，BED CFD BDE CDF BD CD，∴ BDE CDF AAS ，∴6BE CF ，即点C 到AD 的距离是6．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用倍长中线的方法做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解．19．问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB ＝4，AC ＝3，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，则得到△ADC ≌△EDB ，小明证明△BED ≌△CAD 用到的判定定理是：（用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以△ABC 的边AB ，AC 为边向外作△ABE 和△ACD ，AB ＝AE ，AC ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，M 是BC 中点，连接AM ，DE ．当AM ＝3时，求DE 的长．【答案】问题背景：SAS ；问题解决：完整过程见解析；拓展应用：DE ＝6．【分析】问题背景：先判断出BD =CD ，由对顶角相等∠BDE =∠CDA ，进而得出△ADC ≌△EDB （SAS ）；问题解决：先证明△ADC ≌△EDB （SAS ），得出BE =AC =3，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN =AM ，连接BN ，同（1）的方法得出△BMN ≌△CMA （SAS ），则BN =AC ，进而判断出∠ABN =∠EAD ，进而判断出△ABN ≌△EAD ，得出AN =ED ，即可求解．【详解】问题背景：如图1，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连接BE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ADC 和△EDB 中，AD ED CDA BDE CD BD，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），故答案为：SAS ；问题解决：如图1，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连接BE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，由问题背景知，△BMN ∴BN＝AC，∠CAM＝∠∴AC//BN，∵AC＝AD，∴BN＝AD，∵AC//BN，∴∠BAC+∠ABN＝180°∴∠ABN ＝∠EAD ，在△ABN 和△EAD 中，AB EA ABN EAD BN AD，∴△ABN ≌△EAD （SAS ），∴AN ＝DE ，∵MN ＝AM ，∴DE ＝AN ＝2AM ，∵AM ＝3，∴DE ＝6．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，补角的性质，掌握倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．20．如图，AB=AE ，AB ⊥AE ，AD=AC ，DE=2AM ，点M 为BC 的中点，连接AM ．求证：AD ⊥AC【答案】见解析【分析】延长AM 至N ，使MN=AM ，证△AMC ≌△NMB ，推出AC=BN=AD ，ED=AN ，证△EAD ≌△ABN ，得到∠EAD+∠BAC=180°，即可证明AD ⊥AC ．【详解】延长AM 至N ，使MN=AM ，连接BN ，∵点M 为BC 的中点，∴CM=BM ，在△AMC 和△NMB 中，AM MN AMC NMB CM BM，∴△AMC ≌△NMB （SAS ），∴AC=BN ，∠C=∠NBM ，∠CAM=∠N ，∵DE=2AM ，AD=AC ，∴DE=AN ，AD=BN ，在△EAD 和△ABN 中，AE AB DE AN AD BN，∴△EAD ≌△ABN （SSS ），∴∠EAD=∠ABN ，∴∠EAD+∠BAC=∠EAD+∠BAN+∠CAM=∠ABN+∠BAN+∠N=180 ，∵AB ⊥AE ，∴∠EAB=90°，∴∠DAC=360°-∠EAB-(∠EAD+∠BAC)=90°，∴AD ⊥AC ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，延长AM 至N ，使MN=AM ，利用“中线倍长”构造全等三角形的是解题的关键．21．如图，AB AE ，AD AC ，180BAE DAC ，点F 为DE 的中点，求证：2BC AF .【答案】详见解析【分析】如图，延长AF 至G ，使AF FG ，连结EG ，证明ADF GEF ≌，从而可得AD GE ，ADF GEF ，继而得GEA BAC ，再证明AEG ACB ≌，可得AG=BC ，继而可得结论.【详解】如图，延长AF 至G ，使AF FG ，连结EG ，又DF EF ∵，AFD GFE ，ADF GEF ≌，AD GE ，ADF GEF .AD GE ，180GEA DAE ，180BAE DAC ，180DAE BAC ，GEA BAC ，又AB AE ∵，AC AD ，AC GE ，AEG ACB ≌，AG BC ，即2BC AF .【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据倍长中线正确添加辅助线是解题的关键.22．如图，分别以ABC 的边向外作正方形ABFG 和ACDE ，连接EG ，若O 为EG 的中点，求证：（1）12AO BC ；（2）AO BC ．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【分析】（1）如图，延长AO 到M ，使OM=AO ，连接GM ，延长OA 交BC 于点H ．根据全等三角形的性质得到AE=MG ，∠MGO=∠AEO ，根据三角形的内角和得到∠MGA+∠GAE=180°，根据正方形的性质得到AG=AB ，AE=AC ，∠BAG=∠CAE=90°，根据全等三角形的性质得到AM=BC ，等量代换即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠M=∠EAO ，∠M=∠ACB ，等量代换得到∠EAO=∠ACB ，求得∠AHC=90°，根据垂直的定义即可得到结论．【详解】解：（1）如图，延长AO 到M ，使OM=AO ，连接GM ，延长OA 交BC 于点H ．∵O 为EG 的中点，∴OG=OE ，在△AOE 与△MOG 中，AO OM AOE MOG OE OG，∴△AOE ≌△MOG （SAS ），∴AE=MG ，∠MGO=∠AEO ，∴∠MGA+∠GAE=180°，∵四边形ABFG 和四边形ACDE 是正方形，∴AG=AB ，AE=AC ，∠BAG=∠CAE=90°，∴AC=GM ，∠GAE+∠BAC=180°，∴∠BAC=∠AGM ，。

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题5倍长中线模型如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）．如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．·一模）问题提出（1）如图，AD是△ABC的中线，则AB+AC__________2AD；（填“>”“<”或“=”）问题探究（2）如图，在矩形ABCD中，CD=3,BC=4，点E为BC的中点，点F为CD上任意一点，当△AEF的周长最小时，求CF的长；②图问题解决（3）如图，在矩形ABCD中，AC=4,BC=2，点O为对角线AC的中点，点P为AB上任意一点，点Q为AC上任意一点，连接PO、PQ、BQ，是否存在这样的点Q，使折线OPQB的长度最小？若存在，请确定点Q的位置，并求出折线OPQB的最小长度；若不存在，请说明理由．【例2】．（2021·湖北武汉·八年级期中）已知△ABC中，（1）如图1，点E为BC的中点，连AE并延长到点F，使FE=EA，则BF与AC的数量关系是________．（2）如图2，若AB=AC，点E为边AC一点，过点C作BC的垂线交BE的延长线于点D，连接AD，若∠DAC=∠ABD，求证：AE=EC．（3）如图3，点D在△ABC内部，且满足AD=BC，∠BAD=∠DCB，点M在DC的延长线上，连AM交BD的延长线于点N，若点N为AM的中点，求证：DM=AB．【例3】（2020·安徽合肥·二模）如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD，交CD于点F．(1)如图1，若点F恰好为CD中点，求证：AE=BE+2CE；(2)在(1)的条件下，求CE的值；BC(3)如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG=DF时，求证：HG∠AG．【例4】．（2020·江西宜春·一模）将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，OA =OB,OC =OD,∠AOB =∠COD =90°，连接AC,BD ．（1）如图1,若A 、O 、D 三点在同一条直线上，则AC 与BD 的关系是 ；（2）如图2，若A 、O 、D 三点不在同一条直线上,AC 与BD 相交于点E ，连接OE ,猜想AE 、BE 、OE 之间的数量关系，并给予证明；（3）如图3，在(2)的条件下作BC 的中点F ,连接OF ，直接写出AD 与OF 之间的关系．一、解答题1．（2022·全国·八年级）如图1，在∠ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8，求AC 边上的中线BD 的取值范围．（1）小聪同学是这样思考的：延长BD 至E ，使DE ＝BD ，连接CE ，可证得∠CED ∠∠ABD ． ∠请证明∠CED ∠∠ABD ；∠中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在∠ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向∠ABC 外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC ＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．2．（2022·全国·八年级课时练习）【观察发现】如图∠，∠ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．在∠ABD与∠ECD中{BD=DC ∠ADB=∠EDC AD=DE∠∠ABD≅△ECD（SAS）∠AB＝．又∠在∠AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∠＜AE＜．又∠AE＝2AD．∠＜AD＜．【探索应用】如图∠，AB∥CD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为．（直接写答案）【应用拓展】如图∠，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE 的中点，求证：AP∠DP．3．（2022·江苏·八年级课时练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你。

专题07全等三角形中的倍长中线模型【模型展示】已知：在△ABC中，D为AC中点，连接BD并延长到E使得DE=BD，连接AE则：BC平行且等于AE．【证明】延长BD到E，使DE＝BD，连接CE，∵AD是斜边BC的中线∴AD＝CD∵∠ADE＝∠BDC∴△ADE≌△BDC（SAS）∴AE＝B C，∠D BC＝∠AED∴AE∥BC【模型证明】解决方案方法一：已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE ＝∠CDE ，则：AB ＝CD ．【证明】延长DE 至点F ，使EF ＝DE ．∵E 是BC 的中点∴BE ＝CE ，在△BEF 和△CED 中，∴△BEF ≌△CED （SAS ）．∴BF ＝CD ，∠D ＝∠F ．又∵∠BAE ＝∠D ，∴∠BAE ＝∠F ．∴AB ＝BF ．∴AB ＝CD ．方法二：【证明】作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．∴∠F＝∠CGE＝90°．又∵∠BEF＝∠CEG，BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BFE≌△CGE．∴BF＝CG．在△ABF和△DCG中，∵，∴△ABF≌△DCG．∴AB＝CD．方法三：作CF∥AB，交DE的延长线于点F．∴∠F ＝∠BAE ．又∵∠BAE ＝∠D ，∴∠F ＝∠D ．∴CF ＝CD ．∵，∴△ABE ≌△FCE ．∴AB ＝CF ．∴AB ＝CD ．【题型演练】一、解答题1．如图，ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E ，F 为直线AD 上的点，连接BE ，CF ，且BE CF ∥．(1)求证：BDE ≌CDF ；(2)若15AE =，8AF =，试求DE 的长．【答案】(1)见解析；(2)72；【分析】（1）根据两直线平行内错角相等；全等三角形的判定（角角边）；即可证明；（2）由（1）结论计算线段差即可解答；（1）证明：∵BE ∥CF ，∴∠BED =∠CFD ，∵∠BDE =∠CDF ，BD =CD ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）；（2）解：由（1）结论可得DE =DF ，∵EF =AE -AF =15-8=7，∴DE =72；【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定（AAS ）和性质；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 是AB 的中点，小明发现，用已学过的“倍长中线”加倍构造全等，就可以测量CD 与AB 数量关系．请根据小明的思路，写出CD 与AB 的数景关系，并证明这个结论．【答案】CD =12AB ，证明过程详见解析【分析】延长CD 到点E ，使ED =CD ，连接BE ，根据全等三角形的判定和性质即可求解．【详解】解：CD =12AB ，证明：如图，延长CD 到点E ，使ED =CD ，连接BE ，在△BDE 和△ADC 中，BD AD BDE ADC ED CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△ADC (SAS)，∴EB =AC ，∠DBE =∠A ，∴BE ∥AC ，∵∠ACB =90°，∴∠EBC =180°-∠ACB =90°，∴∠EBC =∠ACB ，在△ECB 和△ABC 中，EB AC EBC ACB CB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ECB ≌△ABC (SAS)，∴EC =AB ，∴CD =12EC =12AB ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是正确的作出辅助线．3．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝90°，回答下列问题：(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝2OP．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②见解析【分析】（1）证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论；（2）①延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD；②证明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论．（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，又∵AO=OB，OC=OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；（2）①证明：延长OP至E，使PE=OP，∵P为BD的中点，∴BP=PD，又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，∴△BPE≌△DPO（SAS），∴BE=OD；②证明：∵△BPE≌△DPO，∴∠E=∠DOP，∴BE∥OD，∴∠EBO+∠BOD=180°，又∵∠BOD+∠AOC=180°，∴∠EBO=∠AOC，∵BE=OD，OD=OC，∴BE=OC，又∵OB=OA，∴△EBO≌△COA（SAS），∴OE=AC，又∵OE=2OP，∴AC=2OP．【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．4．【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图1，AD 是△ABC 的中线，若AB ＝8，AC ＝6，求AD 的取值范围．【探究方法】小强所在学习小组探究发现：延长AD 至点E ，使ED ＝AD ，连接BE ．可证出△ADC 与△EDB ，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD 转化到同一个△ABE 中，进而求出AD 的取值范围．方法小结：从上面思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD 延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做倍长中线法．【应用方法】（1）请你利用上面解答问题的方法思路，写出求AD 的取值范围的过程；【拓展应用】（2）已知：如图2，AD 是△ABC 的中线，BA ＝BC ，点E 在BC 的延长线上，EC ＝BC ．写出AD 与AE 之间的数量关系并证明．【答案】（1）1＜AD ＜7；（2）2AD =AE ．理由见解析【分析】（1）延长AD 至点E ，使DE =AD ，连接BE ，证明△BDE ≌△CDA （SAS ），得出AC =BE =6，由三角形三边关系可得出答案；（2）延长AD 至F ，使DF =AD ，由SAS 证明△BDF ≌△CDA ，利用已知条件推出∠FBA =∠ACE ，再由SAS 证明△ACE ≌△FBA 即可得到2AD =AE ．【详解】（1）证明：延长AD 至E ，使DE =AD ，∵AD 是BC 边上的中线，∴BD =CD ，在△BDE 和△CDA 中，BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDA （SAS ），∴AC =BE =6，在△ABE 中，AB -BE ＜AE ＜AB +BE ，∴8-6＜2AD ＜8+6，∴1＜AD ＜7；（2）2AD =AE ．理由如下：证明：延长AD 至F ，使DF =AD，∵AD 是BC 的中线，∴BD =CD ，在△BDF 和△CDA 中，BD CD BDF CDA DF DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDF ≌△CDA （SAS ），∴AC =BF ，∠CAD =∠F ，∴AC ∥BF ，∴∠FBA +∠BAC =180°，∵BA =BC ，∴∠BAC =∠BCA ，∵∠ACE +∠BCA =180°，∴∠FBA =∠ACE ，∵BA =BC ，EC =BC ，∴BA =EC ，在△ACE 和△FBA 中，CE BA ACE FBA AC BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△FBA （SAS ），∴AE =AF ，∵2AD =AF ，∴2AD =AE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．5．[问题背景]①如图1，CD 为△ABC 的中线，则有S △ACD ＝S △BCD ；②如图2，将①中的∠ACB 特殊化，使∠ACB ＝90°，则可借助“面积法”或“中线倍长法”证明AB ＝2CD ；[问题应用]如图3，若点G 为△ABC 的重心（△ABC 的三条中线的交点），CG ⊥BG ，若AG ×BC ＝16，则△BGC 面积的最大值是（）A ．2B ．8C ．4D ．6【答案】[问题背景]①见解析；②见解析；[问题应用]C【分析】[问题背景]①设AB 边的高长为h ，可得11,22ACD BCD S AD h S BD h =⨯=⨯ ，再由AD =BD ，即可求证；②延长CD 至点E ，使DE =CD ，连接AE ，BE ，根据AD =BD ，可得四边形ACBE 是平行四边形，再由∠ACB ＝90°，可得到四边形ACBE 是矩形，即可求证[问题应用]如图，过点G 作GH ⊥BC 于点H ，根据题意可得点D 是BC 的中点，AG =2DG ，从而得到12DG BC =，得到AG =BC ，再由AG ×BC ＝16，可得到AG =BC =4，再由GH ⊥BC ，可得GH ≤DG ，从而得到当GH =DG 时，△BGC 面积的最大，即可求解．【详解】解：[问题背景]①设AB 边的高长为h ，∴11,22ACD BCDS AD h S BD h =⨯=⨯，∵CD为△ABC的中线，即AD=BD，∴=ACD BCDS S；②如图，延长CD至点E，使DE=CD，连接AE，BE，∵CD为△ABC的中线，∴AD=BD，∵DE=CD，∴四边形ACBE是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴四边形ACBE是矩形，∴AB=CE，∵DE=CD，∴AB=CD+DE=2CD；[问题应用]如图，过点G作GH⊥BC于点H，∵点G为△ABC的重心（△ABC的三条中线的交点），∴点D是BC的中点，AG=2DG，∵CG⊥BG，∴12DG BC=，∴AG =BC ，∵AG ×BC ＝16，∴AG =BC =4，∴DG =2，∵GH ⊥BC ，∴GH ≤DG ，∴GH ≤2，∴当GH =2，即GH =DG 时，△BGC 面积的最大，最大值为1124422DG BC ⨯=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，重心的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理，重心的性质是解题的关键．6．先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC 中，AD 为中线．延长AD 至E ，使DE=AD ．在△ABD 和△ECD 中，AD=DE ，∠ADB =∠EDC ，BD=CD ，所以，△ABD ≌△ECD （SAS ），进一步可得到AB=CE ，AB ∥CE 等结论．在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．解决问题：如图2，在△ABC 中，AD 是三角形的中线，F 为AD 上一点，且BF=AC ，连结并延长BF 交AC 于点E ，求证：AE=EF ．【答案】证明见试题解析．【分析】延长AD到G，使DF=DG，连接CG，得到BD=DC，根据SAS推出△BDF≌△CDG，根据全等三角形的性质得出BF=CG，∠BFD=∠G，求出∠AFE=∠G，CG=AC，推出∠G=∠CAF，求出∠AFE=∠CAF 即可．【详解】解：延长AD到G，使DF=DG，连接CG，∵AD是中线，∴BD=DC，在△BDF和△CDG中，∵BD=DC，∠BDF=∠CDG，DF=DG，∴△BDF≌△CDG，∴BF=CG，∠BFD=∠G，∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE=∠G，∵BF=CG，且已知BF=AC，∴CG=AC，∴∠G=∠CAF，∴∠AFE=∠CAF，∴AE=EF．【点睛】本题考查了倍长中线法、三角形全等的判定、性质及等腰三角形的性质等，本题的关键是借助阅读材料中提供的方法延长AD到G，使DF=DG，进而构造三角形全等．7．（1）如图1，若△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，可以得到△ABD≌△ECD，这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”.求证：△ACE是直角三角形（2）如图2，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF.试说明BE2+CF2=EF2；（3）如图3，在（2）的条件下，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）169 4.【分析】（1）根据全等三角形的性质和直角三角形的判定解答即可；（2）延长ED至点G，使得DG=DE，连接FG，CG，根据全等三角形的判定和性质进行解答；（3）连接AD，根据全等三角形的判定和性质和三角形的面积公式解答即可．【详解】（1）∵△ABD≌△ECD∴∠ECD=∠B∵∠BAC=90°∴∠B+∠BCA=90°∴∠BCE+∠BCA=90°,即∠ACE=90°∴△ACE是直角三角形（2）延长ED至点G，使得DG=DE，连接FG，CG，∵DE=DG，DF⊥DE，∴DF垂直平分DE，∴EF=FG，∵D是BC中点，∴BD=CD，在△BDE 和△CDG 中，BD CD BDE CDG DE DG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BDE ≌△CDG （SAS ），∴BE=CG ，∠DCG=∠DBE ，∵∠ACB+∠DBE=90°，∴∠ACB+∠DCG=90°，即∠FCG=90°，∵CG 2+CF 2=FG 2，∴BE 2+CF 2=EF 2；（3）连接AD，∵AB=AC ，D 是BC 中点，∴∠BAD=∠C=45°，AD=BD=CD ，∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF ，在△ADE 和△CDF 中，BAD C AD CD ADE CDF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ADE ≌△CDF （ASA ），∴AE=CF ，BE=AF ，AB=AC=17，∴S 四边形AEDF =12S △ABC ，∴S △AEF =12×5×12=30，∴△DEF 的面积=12S △ABC ﹣S △AEF =1694.【点睛】考查全等三角形的判定与性质，通过证明三角形全等得出对应边相等、对应角相等是解题基础，将待求线段转化成求等长线段是解题的关键．8．（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝9，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长AD到Q，使得DQ＝AD；②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14，则AD的取值范围是_____________．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明．（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°．试探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明．【答案】（1）2＜AD＜7；（2）AC∥BQ，理由见解析；（3）EF＝2AD，AD⊥EF，理由见解析【分析】（1）先判断出BD＝CD，进而得出△QDB≌△ADC（SAS），得出BQ＝AC＝5，最后用三角形三边关系即可得出结论；（2）由（1）知，△QDB≌△ADC（SAS），得出∠BQD＝∠CAD，即可得出结论；（3）同（1）的方法得出△BDQ≌△CDA（SAS），则∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，进而判断出∠ABQ＝∠EAF，进而判断出△ABQ≌△EAF，得出AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，即可得出结论．【详解】解：（1）延长AD到Q使得DQ＝AD，连接BQ，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△QDB和△ADC中，BD CDBDQ CDA DQ DA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△QDB≌△ADC（SAS），∴BQ＝AC＝5，在△ABQ中，AB﹣BQ＜AQ＜AB+BQ，∴4＜AQ＜14，∴2＜AD＜7，故答案为2＜AD＜7；（2）AC∥BQ，理由：由（1）知，△QDB≌△ADC，∴∠BQD＝∠CAD，∴AC∥BQ；（3）EF＝2AD，AD⊥EF，理由：如图2，延长AD到Q使得BQ＝AD，连接BQ，由（1）知，△BDQ≌△CDA（SAS），∴∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，∵AC＝AF，∴BQ＝AF，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ＝180°，∴∠BAC+ABQ＝180°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABQ＝∠EAF，在△ABQ和△EAF中，AB EAABQ EAF BQ AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABQ≌△EAF，∴AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，延长DA交EF于P，∵∠BAE＝90°，∴∠BAQ+∠EAP＝90°，∴∠AEF+∠EAP＝90°，∴∠APE＝90°，∴AD⊥EF，∵AD＝DQ，∴AQ＝2AD，∵AQ＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD，AD⊥EF．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键．9．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC中，AB ＝8，AC＝6，点D是BC边上的中点，怎样求AD的取值范围呢？我们可以延长AD到点E，使AD＝DE，然后连接BE（如图①），这样，在△ADC和△EDB中，由于AD DEADC EDBBD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝EB，接下来，在△ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围．请你回答：（1）在图①中，中线AD 的取值范围是．（2）应用上述方法，解决下面问题①如图②，在△ABC 中，点D 是BC 边上的中点，点E 是AB 边上的一点，作DF ⊥DE 交AC 边于点F ，连接EF ，若BE ＝4，CF ＝2，请直接写出EF 的取值范围．②如图③，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝150°，∠ADC ＝30°，点E 是AB 中点，点F 在DC 上，且满足BC ＝CF ，DF ＝AD ，连接CE 、ED ，请判断CE 与ED 的位置关系，并证明你的结论．【答案】（1）1＜AD ＜7；（2）①2＜EF ＜6；②CE ⊥ED ，理由见解析【分析】（1）在△ABE 中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；（2）①延长ED 到点N ，使ED DN =，连接CN 、FN ，由SAS 证得NDC EDB ∆≅∆，得出4BE CN ==，由等腰三角形的性质得出EF FN =，在△CFN 中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；②延长CE 与DA 的延长线交于点G ，易证DG ∥BC ，得出GAE CBE ∠=∠，由ASA 证得GAE CBE ∆≅∆，得出,GE CE AG BC ==，即可证得CD GD =，由GE CE =，根据等腰三角形的性质可得出CE ED ⊥．【详解】（1）在△ABE 中，由三角形的三边关系定理得：AB BE AE AB BE-<<+8686AE ∴-<<+，即214AE <<2214AD ∴<<，即17AD <<故答案为：17AD <<；（2）①如图②，延长ED 到点N ，使ED DN =，连接CN 、FN∵点D 是BC 边上的中点BD CD∴=在△NDC 和△EDB 中，CD BD CDN BDE DN ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()NDC EDB SAS ∴∆≅∆4BE CN ∴==,DF DE ED DN⊥= EFN ∴∆是等腰三角形，EF FN=在△CFN 中，由三角形的三边关系定理得：CN CF FN CN CF-<<+4242FN ∴-<<+，即26FN <<26EF ∴<<；②CE ED ⊥；理由如下：如图③，延长CE 与DA 的延长线交于点G∵点E 是AB 中点BE AE∴=150,30BCD ADC ∠=︒∠=︒//DG BC∴GAE CBE∴∠=∠在△GAE 和△CBE 中，GAE CBE AE BE AEG BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()GAE CBE ASA ∴∆≅∆,GE CE AG BC∴==,BC CF DF AD== CF DF BC AD AG AD ∴+=+=+，即CD GD=GE CE= CE ED ∴⊥．（等腰三角形的三线合一）【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．10．阅读材料，解答下列问题．如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至点E，使DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论．在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．【答案】详见解析【分析】延长AD到M，使DM=AD，连接BM，根据SAS推出△BDM≌△CDA，根据全等三角形的性质得出BM=AC，∠CAD=∠M，根据BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可．【详解】如图，延长AD至点M，使得MD AD=，并连结BM，∵AD是三角形的中线，=，∴BD CD在MDB△中，△和ADC,,,BD CD BDM CDA DM DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴MDB ADC △≌△，∴AC MB =，BMD CAD ∠=∠，∵BF AC =，∴BF BM =，∴BMD BFD ∠=∠，∵BFD EFA ∠=∠，BMD CAD ∠=∠，∴EFA EAF ∠=∠，即AE EF =．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形．11．（1）如图1所示，在ABC 中，D 为BC 的中点，求证：2AB AC AD +>甲说：不可能出现ABD △ACD ≌△，所以此题无法解决；乙说：根据倍长中线法，结合我们新学的平行四边形的性质和判定，我们可延长AD 至点E ，使得DE AD =，连接BE 、CE ，由于BD DC =，所以可得四边形ABEC 是平行四边形，请写出此处的依据_______________________________________（平行四边形判定的文字描述）所以AC BE =，ABE △中，AB BE AE +>，即2AB AC AD+>请根据乙提供的思路解决下列问题：（2）如图2，在ABC 中，D 为BC 的中点，5AB =，3AC =，2AD =，求ABC 的面积；（3）如图3，在ABC 中，D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，连接BM 交AD 于F ，若AM MF =．求证：BF AC =．【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）6；（3）见解析．【分析】（1）根据题意，DE AD =，BD DC =即可得四边形的对角线相等，根据平行四边形的判定定理即可写出；（2）根据倍长中线法，延长AD 至点G ，使得DG AD =，可以求得,,AG AC GC ,再根据勾股定理的逆定理可知AGC 为Rt ，继而即可求得面积（3）根据倍长中线法，延长AD 至点N ,证明四边形ABNC 是平行四边形，由AM MF =即可证明BF AC =．【详解】解：（1） DE AD =，BD DC=∴四边形ABEC 是平行四边形依据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．（2）如图，根据倍长中线法，延长AD 至点G ，使得DG AD =，由（1）可知，四边形ABGC 是平行四边形GC AB \=,//AC BG5AB =，3AC =，2AD =4AG ∴=,5GC =22223425AC AG +=+= 22525CG ==222AC AG CG ∴+=AGC ∴△是Rt//AC BG 1134622ABC AGC S S AC AG ∴==⋅=⨯⨯=△△（3）如图，根据倍长中线法，延长AD 至点N ，使,AD DN =由（1）可知：四边形ABNC 是平行四边形，//AC BN ∴,AC BN=MAF BNF∴∠=∠AM MF= MAF MFA∴∠=∠又MFA BFN∠=∠ BNF BFN∴∠=∠BF BN∴=BF AC∴=【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理的逆定理，等角对等边，运用倍长中线法是解题的关键．12．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），①延长AD 到M ，使得DM ＝AD ；②连接BM ，通过三角形全等把AB 、AC 、2AD 转化在△ABM 中；③利用三角形的三边关系可得AM 的取值范围为AB ﹣BM ＜AM ＜AB +BM ，从而得到AD 的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC 与BM 的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD 是△ABC 的中线，AB ＝AE ，AC ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD 与EF 的数量关系，并加以证明．【答案】（1）1＜AD ＜7；（2）AC ∥BM ，且AC ＝BM ，证明见解析；（3）EF ＝2AD ，证明见解析．【分析】（1）延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，根据题意证明△MDB ≌△ADC ，可知BM ＝AC ，在△ABM 中，根据AB ﹣BM ＜AM ＜AB +BM ，即可；（2）由（1）知，△MDB ≌△ADC ，可知∠M ＝∠CAD ，AC ＝BM ，进而可知AC ∥BM ；（3）延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，由（1）（2）的结论以及已知条件证明△ABM ≌△EAF ，进而可得AM ＝2AD ，由AM ＝EF ，即可求得AD 与EF 的数量关系．【详解】（1）如图2，延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△MDB 和△ADC 中，BD CD BDM CDA DM AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDB ≌△ADC （SAS ），∴BM ＝AC ＝6，在△ABM 中，AB ﹣BM ＜AM ＜AB +BM ，∴8﹣6＜AM ＜8+6，2＜AM ＜14，∴1＜AD ＜7，故答案为：1＜AD ＜7；（2）AC ∥BM ，且AC ＝BM ，理由是：由（1）知，△MDB ≌△ADC ，∴∠M ＝∠CAD ，AC ＝BM ，∴AC ∥BM ；（3）EF ＝2AD ，理由：如图2，延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，由（1）知，△BDM ≌△CDA （SAS ），∴BM ＝AC ，∵AC ＝AF ，∴BM ＝AF ，由（2）知：AC ∥BM ，∴∠BAC +∠ABM ＝180°，∵∠BAE ＝∠FAC ＝90°，∴∠BAC +∠EAF ＝180°，∴∠ABM ＝∠EAF ，在△ABM 和△EAF 中，AB EA ABM EAF BM AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△EAF （SAS ），∴AM ＝EF ，∵AD ＝DM ，∴AM ＝2AD ，∵AM ＝EF ，∴EF ＝2AD ，即：EF ＝2AD．【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．13．【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图①，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若延长AD 至E ，使DE AD =，连接CE ，可根据SAS 证明ABD ECD △△≌，则AB EC =．(1)【类比探究】如图②，在DEF 中，3DE =，7DF =，点G 是EF 的中点，求中线DG 的取值范围；(2)【拓展应用】如图③，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 是BC 的中点．若AE 是BAD ∠的平分线．试探究AB ，AD ，DC 之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】(1)2＜DG ＜5(2)AD =DC +AB【分析】（1）延长DG 至M ，使GM =DG ，连接MF ，根据SAS 可证△DEG ≌△MFG ，得出MF =3，然后根据三角形三边不等关系定理求出DM 取值范围，最后把DM =2DG 代入即可求解；（2）延长AE ，DC 相交于点F ，根据ASA 可证△ABE ≌△FCE ，则AB =FC ，然后由AE 平分∠BAD ，AB ∥CD 可证∠F =∠DAF ，由等角对等边可得AD =DF ，最后由线段的和差关系即可求解．(1)解：延长DG 至M ，使GM =DG ，连接MF ，又EG =FG ，∠EGD =∠FGM ，∴△DEG ≌△MFG ，∴DE =MF ，又DE =3，∴MF=3，又DF=7，∵DF-MF＜DM＜DF+MF，∴7-3＜DM＜7+3，即4＜DM＜10，∴4＜2DG＜10，∴2＜DG＜5；(2)延长AE，DC相交于点F，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠F，又BE=CE，∠AEB=∠FEC，∴△ABE≌△FCE，∴AB=CF，∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE，∴∠F=∠DAF，∴AD=FD，又FD=CD+DF，CF=AB，∴AD=CD+AB．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形三边关系定理等知识，读懂题意，添加“倍长中线”的辅助线是解题的关键．14．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．（1）小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：AD的取值范围是．（2）参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D．求证：PA•CD＝PC•BD．【答案】（1）1<AD<5；（2）证明见试题解析．【详解】试题分析：（1）由△BED≌△CAD，得到BE=AC，在△ABE中，由三角形三边关系即可得到结论；（2）延长PD至点F，使EF＝PE，连接BF．得到△BEF≌△AEP，从而∠APE＝∠F，BF＝PA，又由∠BDF＝∠CDP，得到△BDF∽△CDP，故＝，即可得到结论．试题解析：（1）1<AD<5；（2）证明：延长PD至点F，使EF＝PE，连接BF．∵BE＝AE，∠BEF＝∠AEP，∴△BEF≌△AEP，∴∠APE＝∠F，BF＝PA，又∵∠BDF＝∠CDP，∴△BDF∽△CDP，∴＝，∴＝，即PA·CD＝PC·BD．．考点：相似三角形的判定与性质．15．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．(1)如图1，AD 是ABC 的中线，7AB =，5AC =求AD 的取值范围．我们可以延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，易证ADC MDB ≌△△，所以BM AC =．接下来，在ABM 中利用三角形的三边关系可求得AM 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围是___________．(2)如图2，AD 是ABC 的中线，点E 在边AC 上，BE 交AD 于点F ，且AE EF =，求证：AC BF =；【答案】(1)1<AD <6(2)见解析【分析】(1)如图1，延长AD 到点M ，使DM =AD ，连接BM ，证明△ADC ≌△MDB (SAS)，推出AC =BM =5，再根据AB −BM ⩽AM ⩽AB +BM ，可得结论；(2)如图2，延长AD 到T ，使得DT =AD ，连接BT ，由△ADC ≌△TDB ，推出AC =BT ，∠C =∠TBD ，推出BT AC ，再证明BF =BT ，可得结论．（1）解：如图1中，延长AD 到点M ，使DM =AD ，连接BM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD ，在△ADC 和△MDB 中，DA DM ADC MDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△MDB (SAS)，∴AC =BM =5，∵AB =7，∴AB −BM <AM <AB +BM ，∴2<AM <12，∴2<2AD <12，∴1<AD <6，故答案为：1<AD <6；（2）证明：如图2中，延长AD 到T ，使得DT =AD ，连接BT，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD ，在△ADC 和△TDB 中，DA DT ADC TDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△TDB (SAS)，∴AC =BT ，∠C =∠TBD ，∴BT AC ，∴∠T =∠DAC ，∵EA =EF ，∴∠EAF =∠EFA ，∵∠EFA =∠BFT ，∴∠T =∠BFT ，∴BF =BT ，∴AC =BF【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，倍长中线构造全等三角形解决问题．16．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．（1）如图1，AD 是ABC ∆的中线，7,5,AB AC ==求AD 的取值范围．我们可以延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，易证ADC MDB ∆≅∆，所以BM AC =．接下来，在ABM ∆中利用三角形的三边关系可求得AM 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围是；（2）如图2，AD 是ABC 的中线，点E 在边AC 上，BE 交AD 于点,F 且AE EF =，求证：AC BF =；（3）如图3，在四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 是AB 的中点，连接CE ，ED 且CE DE ⊥，试猜想线段,,BC CD AD 之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）16AD <<；（2）见解析；（3）CD BC AD =+，证明见解析【分析】（1）延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，即可证明ADC MDB ∆≅∆，则可得BM AC =，在ABM ∆中，根据三角形三边关系即可得到AM 的取值范围，进而得到中线AD 的取值范围；（2）延长AD 到点,M 使DM AD =，连接BM ，由（1）知ADC MDB ≅ ，则可得M CAD BM AC ∠=∠=，，由AE EF =可知，CAD AFE ∠=∠，由角度关系即可推出BMF BFM ∠=∠，故BM BF =，即可得到AC BF =；（3）延长CE 到F ，使EF EC =，连接AF ，即可证明AEF BEC ∆≅∆，则可得EAF B AF BC ∠=∠=，，由//AD BC ，以及角度关系即可证明点,,F A D 在一条直线上，通过证明Rt DEF △≌DEC Rt △，即可得到FD CD =，进而通过线段的和差关系得到CD BC AD =+．【详解】（1）延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，∵AD 是ABC ∆的中线，∴DC DB =，在ADC ∆和MDB ∆中，AD MD =，ADC MDB =∠∠，DC DB =，∴ADC MDB ∆≅∆，∴BM AC =，在ABM ∆中，AB BM AM AB BM -+＜＜，∴7575AM -+＜＜，即212AM ＜＜，∴16AD ＜＜；（2）证明:延长AD 到点,M 使DM AD =,连接BM ，由（1）知ADC MDB ≅ ，∴M CAD BM AC ∠=∠=，，AE EF = ，CAD AFE ∴∠=∠，MFB AFE ∠=∠ ，MFB CAD ∴∠=∠，BMF BFM ∴∠=∠，BM BF ∴=，AC BF ∴=，（3）CD BC AD =+，延长CE 到F ，使EF EC =，连接AF ，AE BE AEF BEC =∠=∠ ，，AEF BEC ∴∆≅∆，EAF B AF BC ∴∠=∠=，，//AD BC ，180BAD B ∴∠+∠=︒，180EAF BAD ∴∠+∠=︒，∴点,,F A D 在一条直线上，CE ED ⊥ ，∴90DEF DEC ==︒∠∠，∴在Rt DEF △和DEC Rt △中，EF EC =，DEF DEC ∠=∠，DE DE =，∴Rt DEF △≌DEC Rt △，FD CD ∴=，∵FD AD AF AD BC =+=+，CD BC AD ∴=+．【点睛】本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键．17．问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且BAE CDE ∠=∠．求证：AB CD =．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质．本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，所以考虑从全等三角形入手，而AB 与CD 所在的两个三角形不全等．因此，要证AB CD =，必须添加适当的辅助线构造全等三角形．以下是两位同学添加辅助线的方法．第一种辅助线做法：如图②，延长DE 到点F ，使DE EF =，连接BF ；第二种辅助线做法：如图③，作CG DE ⊥于点G ，BF DE ⊥交DE 延长线于点F .(1)请你任意选择其中一种对原题进行证明：方法总结：以上方法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题．(2)方法运用：如图④，AD 是ABC 的中线，BE 与AD 交于点F 且AE EF =．求证：BF AC =．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）第一种辅助线做法：延长DE 到点F ，使DE EF =，连接BF ．只要证明△BEF ≌△CED ，即可解决问题．第二种辅助线做法：作CG DE ⊥于点G ，BF DE ⊥交DE 延长线于点F ，先证明△BEF ≌△CEG ，再证明△ABF ≌△DCG 即可．（2）延长AD 到点A ˊ，使得DA ˊ=AD ，连接BA ˊ，只要证得△BDA ˊ≌△CDA 即可．（1）第一种辅助线做法：证明：如图1，延长DE 到点F ，使得DE =EF ，连接BF ，∵E 是BC 的中点∴BE =CE在△BEF 与△CED 中BE CE BEF CED DE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BEF ≌△CED （SAS ）∴BF =CD ，∠F =∠CDE 又∵∠BAE =∠CDE ∴∠BAE =∠F ∴BF =AB ∴AB =CD 第二种辅助线做法：证明：如图2，作CG ⊥DE 于点G ，BF ⊥DE 交DE 延长线于点E ；则∠F ＝∠CGE ＝∠CGD ＝90°，∵E 是BC 的中点，∴BE =CE 在△BEF 与△CEG 中F CGE BEF CEG BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BEF ≌△CEG （AAS ）∴BF =CG ，在△ABF 与△DCG 中，BAE CDE F CGD BF CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△DCG （AAS ），∴AB =CD ．（2）如图3，延长AD 到点A ˊ，使得DA ˊ=AD ，连接BA ˊ，∵AD 是△ABC的中线，∴BD =CD ．在△BDA ˊ与△CDA 中BD CD BDA CDA DA DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ˊˊ，∴△BDA ˊ≌△CDA （SAS ）∴BA ˊ=AC ，∠A ˊ=∠CAD ，又∵AE =EF ，∴∠CAD =∠EFA =∠BFA ˊ，∠Aˊ=∠BFAˊ∴BF =BA ˊ∴BF =AC ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的中线等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。

三角形中中线（中点）的四大模型模型 1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形模型分析如图（1），AD是∆ABC的中线，延长A D至点E使D E=AD，易证：∆ADC≅∆EDB(SAS)。

如图（2），D是B C中点，作CF⊥AD于F,作B E⊥AD的延长线于E，易证：∆CDF≅∆BDE(AAS)。

如图（3），D是BC 中点，M为AB 上一点，过点C 作NC // AB 交MD 延长线于点N ，易证：∆BMD ≅∆CND( AAS / ASA) 。

当遇见中线或者中点时，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。

模型 2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用：“三线合一”模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应该想到：“边等、角等、三线合一”。

注：倍长中线辅助线画法1.已知BD =CD 辅助线画法：延长ED 至F ，使ED =FD ，连接CF2.已知：AB // DE ，AO =OD 辅助线画法：延长BO 与DE 交于C例题：一、倍长中线例 1．如图，在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线．求证：AB +AC > 2 AD ．3. AB D C例2．如图，在∆ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：BF =CG ．例 3．如图，CB ，CD 分别是钝角∆AEC 和锐角∆ABC 的中线，且AC =AB ．求证：CE = 2CD ．CE B D A变式 1：已知在∆ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF ．变式 2：在四边形ABCD 中，AB // CD ，E 为BC 边的中点，∠BAE =∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F ，求证：AB =AF +CF 。

一、中点模型1．倍长中线条件：AD 为△ABC 的中线辅助线：延长AD 到点E ，使得AD =DE结论：△ADC ≌△EDB ，AC ∥BE2．连中点构造中位线条件：点D 、E 为AB 、AC 的中点辅助线：连接DE 结论：12DE BC DE BC =，∥3．倍长一边构造中位线条件：点D 为AB 的中点辅助线：延长AC 到点E ，使得AC =CE ，连接BE 结论：12DC BE DC BE =，∥4．构造三线合一条件：AB =AC辅助线：取BC 的中点D ，连接AD结论：AD ⊥BC ，∠BAD =∠CADB5．构造斜边中线条件：∠ABC =90°辅助线：取AC 的中点D ，连接BD 结论：12BD AC AD CD ===二、角平分线模型6．往角两边作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作AB 、AC 的垂线，垂足分别为E 、F结论：△ADE ≌△ADF7．在角的两边截取等长线段条件：AD 平分∠BAC辅助线：在AB 、AC 上取点E 、F ，满足AE =AF ，连接DE 、DF 结论：△ADE ≌△ADF8．过角平分线上一点作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作EF ⊥AD ，交AB 、AC 于点E 、FD CBB CCC结论：△ADE ≌△ADF三、双角平分线模型9．内内模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB 结论：1902D A ∠=︒+∠10．内外模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACE 结论：12D A ∠=∠11．外外模型条件：BD 、CD 平分∠CBE 、∠BCF 结论：1902D A ∠=︒-∠四、平行线模型12．猪蹄模型CA BCC ED条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D =∠BED13．铅笔头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D +∠BED =360°14．鸟头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠D +∠BED =∠B15．平行线+角平分线模型条件：AB ∥CD ，CE 平分∠ACD结论：AC =AE五、等积模型16．等底等高条件：AD ∥BCFAFBC结论：ABC DBC S S =，ADB ADC S S =17．等高模型条件：B 、C 、D 共线结论：::ABD ADC S S BD CD =18．等底模型条件：AE 、DE 为△ABC 、△DBC 边BC 上的高结论：::ABC DBC S S AE DE =六、对称半角模型19．对称半角模型-含45°角的三角形条件：∠BAC =45°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ， 连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等腰直角三角形20．对称半角模型-含30°角的三角形B CB C DED条件：∠BAC =30°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ， 连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等边三角形七、旋转半角模型21．旋转半角模型-等腰直角三角形条件：AB =AC ，∠BAC =90°，∠MAN =45°辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACM ＇ 结论：ANM ANM '≌，222BM CN MN +=22．旋转半角模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，BD =CD ，∠BDC =120°， ∠MDN =60°辅助线：将△BDM 绕点D 顺时针旋转120°，得到△DCM ＇ 结论：NDM NDM '≌，BM CN MN +=23．旋转半角模型-正方形条件：正方形ABCD ，∠MAN =45°，FEAM'M CAB辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ADM ＇ 结论：NAM NAM '≌，BM DN MN +=八、自旋转模型24．自旋转模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，点P 为其内任意一点辅助线：将△BAP 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BCP ＇ 结论：△BPP ＇是等边三角形25．自旋转模型-等腰直角三角形条件：△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点P 为△ABC 内任 意一点辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACP ＇ 结论：△APP ＇是等腰直角三角形26．自旋转模型-等腰三角形条件：△ABC 中，AB =AC ，点P 为△ABC 内任意一点，∠BAC =α 辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转α，得到△ACP ＇ 结论：△APP ＇是等腰三角形M'DNCBAB九、手拉手模型29．手拉手模型-等边三角形条件：△ABC和△CDE都是等边三角形结论：△ACE≌△BCD27．手拉手模型-等腰直角三角形条件：△ABC和△CDE都是等腰直角三角形结论：△ACE≌△BCD，AE⊥BDEE28．手拉手模型-等腰三角形条件：△ABC 和△CDE 都是等腰三角形，CA =CB ， CD =CE ，且∠ACB =∠DCE结论：△ACE ≌△BCD30．手拉手模型-正方形条件：四边形ABCD 和AEFH 都是正方形结论：△ABE ≌△ADH ，BE ⊥DH十、最短路程模型31．直线同侧两线段之和最小（将军饮马）条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作点A 关于直线l 的对称点A ＇，连接A ＇B 结论：点P 为A ＇B 和l 交点时，AP +BP 最小C32．直线异侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 异侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小33．直线同侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小34．过桥模型（将军饮马）条件：A 、B 为定点，l 1∥l 2，MN 为定长线段且MN ⊥l 1 辅助线：将点A 向上平移MN 的长度得到A ＇，连接A ＇B 结论：点N 为A ＇B 与l 1交点时，AM +MN +BN 最小35．四边形周长最小（将军饮马）条件：A 、B 为定点，M 、N 为角两边上的动点辅助线：作点A 、B 关于角两边的对称点A ＇、B ＇，连接 lAlAll 1l 2A＇B＇结论：M、N为A＇B＇与角两边交点时，四边形ABMN的周长最小B'36．三角形周长最小（将军饮马）条件：A为定点，B、C为角两边上的动点辅助线：作点A关于角两边的对称点A＇、A＂，连接A＇A＂结论：B、C为A＇A＂与角两边交点时，△ABC的周长最小37．旋转类最短路程模型条件：线段OA=a，OB=b（a＞b），OB绕点O在平面内旋转结论：点B与点N重合时，AB最小；点B与点M重合时，AB最大十一、基本相似模型38．A字型条件：BC∥DE结论：△ABC∽△ADE条件：∠ABC =∠ADE结论：△ABC ∽△ADE39．8字型条件：AB ∥CD结论：△AOB ∽△DOC条件：∠BAO =∠DCO结论：△AOB ∽△COD40．母子型条件：△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB结论：△ABC ∽△ACD ∽△CBD41．一线三等角模型条件：∠B =∠D =∠ACE结论：△ABC ∽△CDECBCC A42．手拉手相似模型条件：△ABC ∽△ADE结论：△ACE ∽△ABD十二、对角互补模型43．对角互补模型-90°全等型条件：∠AOB =∠DCE =90°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OEOC ，212OECD S OC 四边形CB ACE AB D CDD44．对角互补模型-120°全等型条件：∠AOB =120°，∠DCE =60°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OE =OC ，24OECD S =四边形45．对角互补模型-任意角全等型条件：∠AOB =2α，∠DCE =180°-2α，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，2cos OD OE OC α+=⋅， 2sin cos OEC OCD S S OC αα+=⋅46．邻边相等的对角互补模型条件：四边形ABCD 中，AB =AD ，∠ABC +∠ADC =180°D BAN E OB辅助线：延长CD 到E ，使得DE =BC ，连接AE结论：△ABC ≌△ADE ，CA 平分∠BCD十三、隐圆模型47．动点定长模型条件：AB =AC =AP ，点P 为动点结论：点B 、C 、P 三点共圆，点A 为圆心，AB 为半径48．直角圆周角模型条件：点C 为动点，∠ACB =90°结论：点A 、B 、C 三点共圆，线段AB 的中点为圆心，线段 AB 为直径49．定弦定长模型条件：点P 为动点，固定线段AB 所对的动角∠APB 为定值 结论：点A 、B 、P 三点共圆，线段AB 和BP 的中垂线的交点 为圆心BA50．四点共圆模型①条件：点A 、C 为动点，∠BAD +∠BCD =180°结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的 交点为圆心当∠BAD =∠BCD =90°，BD 为直径51．四点共圆模型②条件：线段AB 为固定长度，点D 为动点，∠C =∠D结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的 交点为圆心CCA当∠C=∠D=90°，AB为直径。

专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在ABC 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED=证明∵//CE AB （已知）∴ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD 中，∵ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（已证），BD CD =（已知），∴()A.A.S ABD ECD △△≌，∴AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE ∠=∠，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD 到E ，使得DE AD =，连接CE ，易证ABD ECD ∆≅∆，得AB = ，在ACE ∆中，AC CE +> ，2AB AC AD +>．【问题解决】（1）如图（3），在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．（2）如图（4），在ABC ∆中，90,A D ∠=︒是BC 边的中点，E F 、分别在边AB AC 、上，DE DF ⊥，若3,4BE CF ==，求EF 的长．（3）如图（5），AD 是ABC ∆的中线，,AB AE AC AF ==，且90BAE FAC ∠=∠=︒，请直接写出AD 与EF 的数量关系_ 及位置关系_ ．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

专题08倍长中线法和截长补短法综合应用倍长中线类型一：直接倍长中线△ABC 中AD 是BC 边中线方法：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE类型二：间接倍长中线作CF ⊥AD 于F ，作BE⊥AD 的延长线于E 连接BE 。

延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN截长补短常见类型及常规解题思路：①a b c ±=可采取直接截长或补短，绕后进行证明。

或者化为类型②证明。

②a b kc±=可以将a b ±与c 构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30 的直角三角形等。

截长法常规辅助线：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短法常规辅助线：（1）延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起类型一：倍长中线法【典例1】如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a，b均大于0，中线AD＝c，求c的取值范围．【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝b，在△AEB中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即a﹣b＜2AD＜a+b，∴＜c＜．【典例2】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．【解答】证明：如图，延长AD到点G，使得AD＝DG，连接BG．∵AD是BC边上的中线（已知），∴DC＝DB，在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴∠CAD＝∠G，BG＝AC又∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠BED＝∠G，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAD，即：∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF．【典例3】如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF ＞EF．【解答】证明：如图，延长ED使得DM＝DE，连接FM，CM．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDM，DE＝DM，∴△BDE≌△CDM（SAS），∴BE＝CM，∵DE＝DM，DF⊥EM，∴FE＝FM，∵CM+CF＞FM，∴BE+CF＞EF．【变式1】如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，点D为BC的中点，且AD⊥AC，则△ABC的周长为　．【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∵∠ADC＝∠BDE，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝BE＝3，∠DAC＝∠E，∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠E＝90°，∴AE＝＝＝4，∴AD＝DE＝2，∴BD＝＝＝，∴BC＝2BD＝2，∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝5+3+2＝8+2．故答案为：8+2．【变式2】如图，在△ABC中，点E是AB边的中点，D是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，则CD的长为　．【解答】解：延长DE至H，使EH＝DE，连接AH，∵AF＝BD，BD＝3，AC＝5，∴CF＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，在△BED和△AEH中，，∴△BED≌△AEH（SAS），∴AH＝BD，∠D＝∠H，∵AF＝BD，∴AH＝AF，∴∠AFH＝∠H，∴∠CFD＝∠D，∴CD＝CF＝2，故答案为：2．【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AB边上一点，DF⊥DE交AC于点F，连接EF，若BE＝2，CF＝，则EF的长为　．【解答】解：如图，延长FD到G使GD＝DF，连接GE，BG，在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF＝，∠GBD＝∠C，∴BG∥CA，∴∠EBG＝∠A＝90°，∵BE＝2，∴EG＝＝＝，∵DF⊥DE，DF＝DG，∴EF＝EG＝，故答案为：．【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝9，点E为AB的中点，点F在BC上，且BF＝2FC，AF 与DE，DB分别交于点G，H，求GH的长．【解答】解：如图，过点F作FM⊥AD于M，交ED于O，则FM＝AB＝8，∵BF＝2FC，BC＝9，∴BF＝AM＝6，FC＝MD＝3，∴AF＝＝＝10，∵OM∥AE，∴，∵点E为AB的中点，∴OM ＝，∴OF ＝FM ﹣OM ＝8﹣＝，∵AE ∥FO ，∴△AGE ∽△FGO ，∴＝，∴AG ＝＝，∴GH=10-4-415=49【变式5】如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E ，F 分别为BC ，AB 上的点，且点F 为AB 的中点，连接DF ，DE ．（1）如图①，若DF 平分∠ADE ，求证：AD +BE ＝DE ；（2）如图②，若四边形ABCD 是边长为4的正方形，当ED 平分∠FDC 时，求EC 的长．【解答】（1）证明：延长DF ，CB 交于G ，如图：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥CB ，∴∠ADG ＝∠G ，∵DF 平分∠ADE ，∴∠ADG＝∠EDG，∴∠G＝∠EDG，∴DE＝GE＝GB+BE，∵F是AB中点，∴AF＝BF，在△ADF和△BGF中，，∴△ADF≌△BGF（AAS），∴AD＝GB，∴DE＝AD+BE；（2）解：延长AB，DE交于H，如图：∵四边形ABCD是边长为4的正方形，点F为AB的中点，∴DF＝＝＝2，AB∥CD，∴∠CDE＝∠H，∵ED平分∠FDC，∴∠CDE＝∠FDE，∴∠FDE＝∠H，∴FH＝DF＝2，∴BH＝FH﹣BF＝2﹣2，∵∠C＝90°＝∠HBE，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE∽△HBE，∴＝，即＝，解得CE＝2﹣2．∴EC的长为2﹣2．【变式6】阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．如图①，圆内接四边形的对角线AC⊥BD，垂足为G，过点G作AD的垂线，垂足为E，延长EG交BC于点F，则点F为BC的中点．下而是部分证明过程：∵AC⊥BD，EF⊥AD，∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝90°，∴∠EDG＝∠FGC．∵∠ADB＝∠ACB，…任务一：请将上述过程补充完整；任务二：如图②，在△ABC中，把边AC绕点C顺时针旋转90°得到DC，把边BC绕点C逆时针旋转90°得到EC．连接DE，取AB的中点M，连接MC并延长交DE于点N．（1）求证：MN⊥DE；（2）若AC＝4，AB＝6，∠CAB＝30°，求DE的长．【解答】解：任务一：∵AC⊥BD，EF⊥AD，∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝∴∠EDG＝∠FGC．∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CGF，∴CF＝FD，同理BF＝FG，∴BF＝CF，∴点F为BC的中点；任务二：（1）证明：延长CM到F使MF＝CM，∵AM＝MB，∴ACBF是平行四边形，∴AF＝BC＝CE，AF∥BC，∴∠CAF+∠ACB＝180°，∠DCE+∠ACB＝180°，∴∠CAF＝∠DCE，∵DC＝AC，∴△DCE≌△CAF（SAS），∴∠D＝∠ACF，∵∠ACF+∠DCN＝90°，∴∠D+∠DCN＝90°，∴∠DNC＝90°，∴MN⊥DE；（2）解：作CG⊥AB于G，∵∠CAB＝30，AC＝4，∴CG＝2，AG＝2，∵AM＝AB＝3，∴GM＝，∵CM2＝CG2+GM2，∴CM2＝22+（）2，∴CM＝，∵△DCE≌△CAF，∴DE＝CF＝2．类型二：截长补短【典例4】模型分析当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC．截长法：在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明CE＝BD即可．补短法：延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，证明BF＝BD即可．请结合右边的证明结论．求证：AB+BD＝AC．请结合右边的【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC．【截长法】【补短法】【解答】证明：【截长法】在AC上截取AE＝AB，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴AB+BD＝AE+CE＝AC．证明：【补短法】延长AB到F，使BF＝BD，连接DF，∵BF＝BD，∴∠F＝∠BDF，∴∠ABC＝∠F+∠BDF＝2∠F，且∠ABC＝2∠C，∴∠C＝∠F，且∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，∴△ADF≌△ADC（AAS）∴AC＝AF，∴AC＝AF＝AB+BF＝AB+BD．【变式1】如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC外一点，连接AD，BD，CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，求证：AD＝BD+CD．【解答】证明：在DA上截取DE＝DB，连接BE，如下图所示，∵∠ADB＝60°，DE＝DB，∴△ABD为等边三角形，∴∠EBD＝60°，BE＝BD，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∴∠EBD﹣∠EBC＝∠ABC﹣∠EBC，∴∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD，∴AD＝AE+ED＝CD+BD．【变式2】如图，Rt△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于点E．求证：AD＝2DF+CE．【解答】证明：在AF上截取FG＝DF，连接CG，则DG＝2DF，∵∠ACB＝90°，∴∠DCF+∠ACF＝90°，又∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠DCF＝∠CAF，∵AD平分∠CAE，∴∠CAF＝∠EAF，∵DF＝FG，CF⊥DG，∴CD＝CG，∴∠CDG＝∠CGD，∵∠DGC＝∠GAC+∠ACG，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠ACG，又∵AC＝BC，∴△ACG≌△CBE（ASA），∴AG＝CE，∴AD＝AG+DG＝CE+2DF．【变式3】如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的一条弦，且＝，过点A作AP⊥CD，分别交CD，⊙O于点E，P，连接BP，若CD＝6，△ABP的周长为13，求AE的长．【解答】解：在AE上截取AF＝BP，连接CF，PC，∵AC＝BC，∠CAF＝∠CBP，∴△CAF≌△CBP，CF＝CP，∵CD⊥PA，∴EF＝PE，∴AE＝AF+FE＝PB+PE，∵AC＝BC，∴＝，∵＝，∴＝，∴AB＝CD＝6，∵△ABP的周长是13，∴AP+PB＝7，∵AE＝PE+PB，∴2AE＝AP+PB，∴AE＝．【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，在AB左侧作∠BDC＝∠BAC＝α，过点A作AE⊥DC于点E．（1）当α＝90°时，①求证：AE＝DE；②若BD＝AE＝2，请求出△ABC的面积；（2）当α≠90°时，求证：BD+DE＝EC．【解答】（1）①证明：过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，∵AE⊥CD，∴∠DEF＝90°，又∵∠BDE＝90°，∴四边形BDEF为矩形，∴DE＝BF，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF+∠EAC＝90°，又∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAF＝∠ACE，又∵∠AEC＝∠BFA＝90°，AB＝AC，∴△ABF≌△CAE（AAS），∴BF＝AE，∴DE＝AE；②解：∵四边形BDEF为矩形，BD＝AE＝2，∴BD＝EF＝2，DE＝BF＝AE＝，∴AF＝AE+EF＝+2，∴BA2＝BF2+AF2＝＝8+4，∴S＝＝；△ABC（2）证明：过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于F，连接AD，设CD与AB交于点O，∵∠BDC＝∠BAC，∠BOD＝∠AOC，∴∠ACO＝∠DOB，即∠ABF＝∠ACE，又∵∠AEC＝∠AFB＝90°，AC＝AB，∴△ACE≌△ABF（AAS），∴AE＝AF，BF＝CE，又∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴DE＝DF，∴CE＝BF＝BD+DF＝BD+DE．【变式5】【问题背景】如图①，在边长为1的正方形ABCD中，点E为射线BC上的一个动点（与点B，C不重合），连接AE，过点E作EF⊥AE，与正方形ABCD的外角∠DCG的平分线交于点F．李老师指出，当点E为线段BC 的中点时，AE＝EF．【初步探索】（1）如图②，当点E在线段BC的延长线上时，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立；【问题解决】（2）当点E在线段BC上时，设BE＝x，△ECF的面积为y，求y与x之间的函数关系式；【拓展延伸】（3）如图③，将正方形ABCD放在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，点C在x轴正半轴上，当点E运动到某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，求此时点E的坐标．【解答】解：【问题背景】如图1，取AB的中点H，连接EH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠BCD，∵CF平分∠DCG，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∵E是BC的中点，∴BH＝BE＝AH＝CE，∴∠BHE＝∠BEH＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；【初步探索】（1）仍然成立，理由如下：如图2，在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．∵AB＝BC，AN＝CE，∴BN＝BE，∴∠N＝∠FCE＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠NAE＝∠CEF，在△ANE和△ECF中，，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；【问题解决】（2）如图3，在BA上截取BH＝BE，连接HE，同理得：△AHE≌△ECF，∴y＝S＝AH•BE＝x（1﹣x）＝﹣x2+x（0≤x≤1）；△AHE【拓展延伸】（3）如图4，在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，设点E（a，0），∴BE＝a＝BH，∴HE＝a，由（1）可得△AHE≌△ECF，∴CF＝HE＝a，∵CF平分∠DCM，∴∠DCF＝∠FCM＝45°，∵FM⊥CM，∴∠CFM＝∠FCM＝45°，∴CM＝FM＝a，∴BM＝1+a，∴点F（1+a，a），∵点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，∴a＝﹣2（1+a）+3，∴a＝，∴点E（，0）．【典例5】如图1，在Rt△ABC中，AB＝BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且DE＝EF，∠DEF ＝∠B，∠A＝45°．（1）试猜想CF与BE之间的数量关系，并证明；（2）自主探究：如图2，若将已知条件中含45°的直角三角形换成含30°的直角三角形，其余条件不变，试探究BE和CF的关系．【解答】解：（1）CF与BE之间的数量关系为：CF＝BE．理由：过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠A＝45°，∴∠C＝45°，∠B＝90°．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝90°，∴∠DEB+∠FEH＝90°．∵∠BDE+∠DEB＝90°，∴∠BDE＝∠FEH．在△BDE和△HEF中，，∴△BDE≌△HEF（AAS），∴BE＝FH．∵FH⊥BC，∠C＝45°，∴△FHC为等腰直角三角形，∴FC＝FH，∴FC＝BE；（2）CF与BE之间的数量关系为：CF＝BE．理由：过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵Rt△ABC中，∠A＝30°，∴∠C＝60°，∠B＝90°．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝90°，∴∠DEB+∠FEH＝90°．∵∠BDE+∠DEB＝90°，∴∠BDE＝∠FEH．在△BDE和△HEF中，，∴△BDE≌△HEF（AAS），∴BE＝FH．∵FH⊥BC，∠C＝60°，∴sin60°＝，∴FC＝FH，∴FC＝BE．【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，点F是AC上一点，连接BF交AD于点E，且DE＝CD，连接DF，若AF＝4，DF＝2，则BF的长为　．【解答】解：如图，在BF上截取HF＝AF，连接AH，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∠ADB＝∠ADC＝90°，在△BDE和△ADC中，，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴∠EBD＝∠CAD，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AFE＝∠BDE＝90°，∴∠AHF＝∠HAF＝45°，∴AH＝AF，∴∠BAH＝∠DAF，∠AHB＝135°，∠AEF＝∠BED，∠AFE＝∠BDE＝90°，∴△AFE∽△BDE，∴＝，∵∠AEB＝∠FED，∴△AEB∽△FED，∴∠EAB＝∠EFD＝45°，∴∠AFD＝∠AFH+∠EFD＝90°+45°＝135°，∴∠AHB＝∠AFD，∴△AHB∽△AFD，∴＝＝，∴BH＝DF，∴BF＝BH+HF＝DF+AF＝2+4．故答案为：2+4．【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，连接AC，BD，若AB＝AC，请探究AD，BD，DC之间的数量关系．【解答】解：作AE⊥AD交BD于E，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∵∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠ABD＝∠ACD，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∵△AED是等腰直角三角形，∴DE＝AD，∵BD＝DE+BE，∴BD＝AD+CD．【变式3】如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＞AC，点E在BC上，点D在AB上，CE＝CA，连接DE，∠ACB+∠ADE＝180°，CH⊥AB，垂足为点H．求证：DE+AD＝2CH．【解答】证明：如图，作∠FCD＝∠ACB，交BA延长线于F，∵∠FCA+∠ACD＝∠ACD+∠DCB，∴∠FCA＝∠DCB，∵∠ACB＝120°，∠ACB+∠ADE＝180°，∴∠EDB＝120°，∠EDA＝60°，∵∠FAC＝120°+∠B，∠CED＝120°+∠B，∴∠FAC＝∠CED，在△AFC和△EDC中，，∴△AFC≌△EDC（ASA），∴AF＝DE，FC＝CD，∵CH⊥FD，∴FH＝HD，∠FCH＝∠HCD＝60°，∴DH＝CH，∵AD+DE＝AD+AF＝FD＝2DH＝2CH，∴AD+DE＝2CH．【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是平面内一点，且AD⊥CD．点O是BC的中点，连接OA，OD．（1）如图①，若点D是BC下方一点，过点O作OE⊥OD分别交AC，AD于点E，F．①求证：∠OAF＝∠OCD；②若CD＝1，DF＝2，求BC的长；（2）如图②，若点D是AC右侧一点，试判断AD，CD，OD之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）①证明：∵AB＝AC，O为BC的中点，∴OA＝OB＝OC，OA⊥OC，∵OE⊥OD，∴∠AOC＝∠EOD＝90°，∴∠AOF＝∠COD，∵∠AOM＝∠MDC＝90°，∠AMO＝∠CMD，∴∠OAM＝∠MCD，∴△OAF≌△OCD（ASA），∴∠OAF＝∠OCD；②解：∵△OAF≌△OCD，∴AF＝CD＝1，∵DF＝2，∴AD＝AF+DF＝1+2＝3，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝，∵AC＝AB，∴BC＝AC＝＝2；（2）解：AD+CD＝OD．理由：过点O作OE⊥OD，交DA的延长线于点E，∵∠DOE＝∠AOC＝90°，∴∠AOE＝∠COD，∵∠ODC+∠+ODA＝90°，∠ODA+∠OEA＝90°，∴∠ODC＝∠OEA，又∵OA＝OC，∴△OCD≌△OAE（AAS），∴CD＝AE，OD＝OE，∴DE＝OD，∴AD+AE＝AD+CD＝OD．【变式5】【问题探究】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是平面内一点，连接AD，BD，CD，且∠CAB＝∠CDB．（1）如图①，当∠CAB＝60°时，试探究BD，CD，AD之间的数量关系；（2）如图②，当∠CAB＝120°时，探究是否为定值，并说明理由；【问题解决】（3）如图③，在四边形ADBC中，AB＝AC，∠CAB＝∠CDB＝120°，若AD＝2，BD＝3，求CD的长．【解答】解：（1）BD，CD，AD之间的数量关系为：BD＝CD+AD，理由如下：在BD上取一点E，使BE＝CD，连接AE，设AC交BD于H，如图①所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+∠CAE＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD，∴BD＝BE+DE＝CD+AD；（2）是定值，理由如下：在BD上取一点E，使BE＝CD，连接AE，设AC交BD于H，过点A作AF⊥BD于F，如图②所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+∠CAE＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，∵AF⊥DE，∴DF＝EF，AF＝AD，在Rt△AFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝AD，∴DE＝2DF＝AD，∵DE＝BD﹣BE＝BD﹣CD，∴BD﹣CD＝AD，∴＝，∴是定值；（3）在CD上取一点E，使CE＝BD，连接AE，设AB交CD于H，过点A作AF⊥CD于F，如图③所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHC＝∠BHD，∴∠ACE＝∠ABD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴AE＝AD，∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE＝∠CAB＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，∵AF⊥DE，∴DF＝EF，AF＝AD，在Rt△AFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝AD，∴DE＝2DF＝AD，∴CD＝CE+DE＝BD+AD＝3+×2＝3+2．。

浙教版八年级上册数学几何模型之倍长中线模型(常考)倍长中线模型巧记:有中点,可倍长,倍长完了8字现.常见的四大倍长中线模型F EDCBAMFEDCBAFEDCBAFEDCBA接下来我们来看具体的倍长中线模型的练习.模型讲解结论: 如图所示,AD 是△ABC 的中线,延长AD 至点A ′,使得DA ′=AD,连结CA ′,则AB =A ′C,AB ∥A ′C .模型讲解1DCBAA'模型讲解1DCBA有中线,就可以倍长中线解:如图,延长延长AD 至点A ′,使得DA ′=AD,连结CA′模型拓展模型一: (直接倍长)△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,延长AD 到点E,使DE=AD,连结BE.模型1E DC BA模型二: (间接倍长)△ABC 中,AD 是BC 边上的中线.(1)如图,作CF ⊥AD 于点F ,作BE ⊥AD 交AD 的延长线于点E.(2)如图,点M(不与A,B 重合)是AB 上一点,连结MD 并延长至点N,使DN=MD,连结CN.模型2EDCBA模型3NMD CBA如图,△ABC 中,若AB=8,AC=6,则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是___________.1<AD <7模型练习1DBACE如图,AD 是△ABC 的中线,E,F 分别在边AB,AC 上(E,F 不与端点重合),且DE ⊥DF ,则_______.FE模型练习2DBACA.BE+CF>EFB.BE+CF=EFC.BE+CF<EFD.BE+CF 与EF 的长短关系不确定A 'FE模型练习2DBAC'如图所示,E 是BC 的中点,∠BAE=∠CDE.若AB=6,则CD=_____.6模型练习3ECDBA FF模型练习3EC DBA 注意:有中点的可以倍长,长短线段都可以哦!模型练习4如图1,△ABC 中,AB=6,AC=4,AD 是中线,求AD 的取值范围.作法是:延长AD 至点E,使DE=AD,连接BE,证明△BED ≌△CAD.(1) △BED ≌△CAD 的判定理由是_________.(2) AD 的取值范围是_________.模型练习4DCBAESAS 1<AD <5如图2,AD 是△ABC 的中线,在AD 上取一点F ,连接BF 并延长交AC 于点E,使AE=EF .求证:BF=AC.模型练习5FECBADG模型练习5FECBADG在矩形ABCD中,ABBC =12,在BD上取一点F,以BF为斜边作Rt△BEF,且E F BE =12,点G是DF的中点,连接EG,CG,求证:EG=CG.模型练习6GFEDCBAMH。