等腰三角形典型例题练习(含答案)

等腰三角形练习题(含答案)等腰三角形第1课时：等腰三角形的性质1.已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为80°。

2.如图，△ABC中，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD=3cm。

3.如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为45°。

4.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为80°。

5.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，求∠C的度数为100°。

6.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE=AF。

证明：DE=DF。

第2课时：等腰三角形的判定1.在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC为钝角三角形。

2.已知△ABC中，∠B=50°，∠A=80°，AB=5cm，则AC=5cm。

3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=DC，则△ABC为等腰三角形。

4.如图，已知△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有2个等腰三角形。

5.如图，D是△XXX的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE=DF。

证明：AB=AC。

6.如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G。

证明：△EFG是等腰三角形。

等边三角形第1课时：等边三角形的性质与判定1.如图，a∥b，等边△ABC的顶点B，C在直线b上，则∠1的度数为60°。

2.在△ABC中，∠A=60°，现有下面三个条件：①AB=AC；②∠B=∠C；③∠A=∠B。

能判定△ABC为等边三角形的有条件①、②、③。

3.如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD=2.4.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，连接AD交BC于点E，求∠BAD的度数为75°。

等腰三角形的性质练习(含答案)等腰三角形的性质1.选择题：1) 等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（）A。

底角大于相邻外角 B。

底角小于相邻外角C。

底角大于或等于相邻外角 D。

底角小于或等于相邻外角2) 等腰三角形的一个内角等于100°，则另两个内角的度数分别为（）A。

40°，40° B。

100°，20°C。

50°，50° D。

40°，40°或100°，20°3) 等腰三角形中的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A。

50°，50°，80° B。

80°，80°，20°C。

100°，100°，20° D。

50°，50°，80°或80°，80°，20°4) 如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°，那么顶角为（）A。

45° B。

40° C。

55° D。

50°5) 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A。

顶角 B。

顶角的一半C。

顶角的2倍 D。

底角的一半6) 已知：如图1所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A。

30° B。

45° C。

36° D。

72°2.填空题：1) 如图2所示，在△ABC中，①因为AB=AC，所以∠A=∠C；②因为AB=AC，∠1=∠2，所以BD=BC，BD⊥AC．2) 若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°，则顶角的度数为70°．3) 已知等腰三角形的一个角是80°，则顶角为20°．4) 在等腰三角形ABC中，一腰上的高是1cm，这条高与底边的夹角是45°，则△ABC的面积为1/2 cm²．5) 如图3所示，O为△ABC内一点，且OA=OB=OC，∠ABO=20°，∠BCO=30°，则∠CAO=30°．3.等腰三角形两个内角的度数比为4：1，求其各个角的度数．设两个内角的度数为4x和x，则三角形的第三个角的度数为180°-5x．因为三角形内角和为180°，所以4x+4x+180°-5x=180°，解得x=36°，因此两个内角的度数分别为144°和36°，第三个角的度数为100°．4.如图，已知线段a和c，用圆规和直尺作等腰三角形ABC，使等腰三角形△ABC以a和c为两边，这样的三角形能作无数个．5.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数．连接AD和AC，因为AD=BD，AB=AC，所以△ABD≌△ACD，故∠ABD=∠ACD．又因为AB=CD，所以△ABC为等腰三角形，所以∠BAC=180°-∠ABC=180°-2∠ABD=80°．6.如图所示，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点．1) AF与CD不垂直．因为∠ABC=∠AED，所以△ABC≌△AED，故AB=AE，又因为BC=ED，所以AC=AD，所以AF垂直于BC的中点，而CD的中点是F，所以AF与CD不垂直．二、拓展延伸训练右下图是人字型层架的设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D。

等腰三角形第1课时等腰三角形的性质1.已知等腰三角形的一个底角为50。

，则其顶角为________ ・2.如图，HABC中…13=∕C, BC=6cm, JD 平分ZBAC.则BD= _________________ c m.第3题图3.如图，'ABC中，-lδ=FC, D为EC中点，ZBAD=35。

,则ZC的度数为（）A.35oB. 45。

C・ 55。

D・ 60o4.已知等腰三角形的一个内角为50。

，则这个等腰三角形的顶角为（）A・ 50o B. 80oC. 50。

或80。

D・ 40。

或65。

5.如图，在Z∖J5C 中，D 是BC 边上一点，^AB=.-ID=DC, ZAW=40°,求ZC 的度数.6.如图，ΔJBCΦ, .IB=AC9 D 是EC 的中点，E, F分别是.1B. JC±的点，且AE=AF. 求证：DE=DF.1. 在 ∕∖ABC 中，ZJ=40% Z5 = 70o ,则 MBC 为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形2. 已知ΔJPC 中，Z5=50% ZJ = 80c , -lδ=5cm.则 AC= _________________ ・3. 如图，在ΛABC 中，-Q 丄BC 于点Zh 请你再添加一个条件，使苴可以确定AlSC 为等腰三角形，则添加的条件是 ________ ・第3题图4. 如图，已知NlBC 中，ZJ = 36% AB=AC, BD 为ZABC 的平分线，则图中共有 _______________ 个等腰三角形.5. 如图，D 是ZXJ5C 的BC 边上的中点，DE 丄AC. DFLAB.垂足分别是E, F,且DE=DF 求证:AB=AC.6.如图，肋〃 CZ λ直线/交,松于点E,交CD 于点F, FG 平分ZEFD 交直线曲于点G 求证：ZLEFG 是等腰三角形.第4题图13・3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定1. ____________________________________________________________ 如图，a∕∕b.等边MBC的顶点D C在直线b上，则Zl的度数为_______________________第1题图第3题图2.在∕∖ABC中，ZJ=60°,现有下面三个条件：®ZB=ZC;③ZA=ZB.能判定Z∖J5C为等边三角形的有____________________________ .3・如图，在等边AABC中，BD丄AC于D∙若,松=4,则AD= ________________ ・4.如图，ΔJ J9C是等边三角形，ZCBD=90°. BD=BC.连接.10交BC于点求ZBAD 的度数.5・如图，E是等边AABC中JC边上的点，Z1 = Z2, BE=CD.求证: (I)ZUEE 竺ZUS⑵AADE为等边三角形.第2课时含30。

等腰三角形专项练习30题1．已知，如图，△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，点D在AB上，点E在AC上，若△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，则AC的长度为（）A．16cm B．9cm C．8cm D．7cm2．在△ABC中，∠ABC=120°，若DE、FG分别垂直平分AB、BC，那么∠EBF为（）A．75°B．60°C．45°D．30°3．如图，AD=BC=BA，那么∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．2∠1+∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D．3∠1﹣∠2=180°4．如图，已知∠AOB=40°，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，CD交OA、OB于M、N两点，则∠MPN的度数是（）A．70°B．80°C．90°D．100°5．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与线段AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．60°6．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A．B．C．D．7．如图所示，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（）A．①②B．①②③C．①②③④D．②③8．下列说法正确的是（）A．两个能重合的图形一定关于某条直线对称B．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧C．到角两边距离相等的点在这个角的平分线上D．如果三角形一边的垂直平分线经过它的一个顶点，那么这个三角形一定是等腰三角形9．用一根长为a米的线围成一个等边三角形，测知这个等边三角形的面积为b平方米．现在这个等边三角形内任取一点P，则点P到等边三角形三边距离之和为（）米．A．B．C．D．10．在等腰直角△ABC（AB=AC≠BC）所在的三角形边上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，则满足此条件的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个11．如图所示，在△ABC中，AB=AC，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点D，BD+CD=10cm，则AB的长为_________．12．如图，若等腰△ABC的腰长AB=10cm，AB的垂直平分线交另一腰AC于D，△BCD的周长为16cm，则底边BC是_________cm．13．已知实数x，y满足|x﹣4|+（y﹣8）2=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是_________．14．如图所示，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形有_________个．15．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=8，BC=5，则BD的长为_________．16．等腰△ABC的底边上高AD与底角平分线CE交于点P，EF⊥AD，F为垂足，则线段EB与线段EF的数量关系为_________．17．如图，在等腰在△ABC中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若在△BCE的周长为50，则底边BC的长为_________．18．等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，则这个三角形的腰长为_________．19．如图，已知D为等边三角形纸片ABC的边AB上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G，DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于点F．把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图示方式折叠，则图中阴影部分是_________三角形．20．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：_________．21．如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°．求证：△AMN的周长等于2．22．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，说明：BC=DE+EF成立的理由．23．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．24．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．25．如图，∠1=∠2，AB=AD，∠B=∠D=90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．26．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH的形状并说明理由．27．如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长．28．如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．（1）证明：∠CAE=∠CBF；（2）证明：AE=BF．29．如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA，AE=CD，AD与BE交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ．30．如图，△ABE和△BCD都是等边三角形，且每个角是60°，那么线段AD与EC有何数量关系？请说明理由．参考答案：1．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，AC=AB，∴2AC+BC=25cm，BE+CE+BC=AE+EC+BC=AC+BC=16cm，即，解得：AC=9cm，故选B2．解：∵DE、FG分别垂直平分AB、BC，∴AE=BE，BF=CF，∴∠A=∠ABE，∠C=∠CBF，∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠ABC=120°，∴∠A+∠C=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠EBF=120°﹣60°=60°，故选B3．解：∵AB=BC，∴∠1=∠BCA，∵AB=AD，∴∠B=∠2，∵∠1+∠B+∠ACB=180°，∴2∠1+∠2=180°．故选B4．解：∵P关于OA、OB的对称∴OA垂直平分PC，OB垂直平分PD∴CM=PM，PN=DN∴∠PMN=2∠C，∠PNM=2∠D，∵∠PRM=∠PTN=90°，∴在四边形OTPR中，∴∠CPD+∠O=180°，∴∠CPD=180°﹣40°=140°∴∠C+∠D=40°∴∠MPN=180°﹣40°×2=100°故选D．5．解：如图，延长AO交BC于点M，连接BO，∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣50°）÷2=65°，∵AO是∠BAC的平分线，∴∠BAO=25°，又∵OD是AB的中垂线，∴∠OBA=∠OAB=25°，∴∠OBM=∠OCM=60°﹣25°=40°，∴∠BOM=∠COM=90°﹣40°=50°，由折叠性可知，∠OCM=∠COE，∴∠MOE=∠COM﹣∠COE=50°﹣40°=10°，∴∠OEM=90°﹣10°=80°，∵由折叠性可知，∠OEF=∠CEF，∴∠CEF=（180°﹣80°）÷2=50°．故选：B6．解：设BM=x，CN=y则BP=2x，PC=2y，PM=x，PN=yAM+AN=2BC﹣（BM+CN）=3（x+y），故==≈0.7887．故选D7．解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB=AD，AC=AC，所以Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．所以∠ACB=∠ACD，∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD，CA平分∠BCD．故①②正确；在△ABD中，AB=AD，∠BAO=∠DAO，所以BO=DO，AO⊥BD，即AC垂直平分BD．故③正确；不能推出∠ABO=∠CBO，故④不正确．故选B8．解：A、两个能重合的图形不一定关于某条直线对称，故错误；B、两个图形关于某条直线对称，它们的对应点有可能位于对称轴上，故错误；C、同一平面内，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，故错误；D，正确，故选D9．解：等边三角形周长为a，则边长为，设P到等边三角形的三边分别为x、y、z，则等边三角形的面积为b=××（x+y+z）解得x+y+z=，故选C10．解：∵△ABC是等腰直角三角形，（AB=AC≠BC）所在的三角形边上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，∴有一个满足条件的点﹣斜边中点，∴符合条件的点有1个．故选A．11．解：∵ED是边AB边上的中垂线，∴AD=BD；又∵BD+CD=10cm，AB=AC，∴BD+CD=AD+DC=AC=AB=10cm，即AB=10cm．故答案是：10cm12．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴BD+CD=AC，∵AB=AC=10cm，BD+CD+BC=AB+BC=16cm，∴BC=16﹣AB=16﹣10=6cm．故答案为：6cm13．解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．故答案为：2014．解：∵将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上．∴EF∥DG，∠E=∠D=60°，∴∠ENM=∠D=60°，∠MGD=∠E=60°，∴EM=NM=EN，DM=GM=DG，∴△MEN，△MDG是等边三角形．∵∠A=∠B=30°，∴MA=MB，∴△ABM是等腰三角形．∴图中等腰三角形有3个15．解：延长BD与AC交于点E，∵∠A=∠ABD，∴BE=AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∴∠EBC=∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC=CE，∵BE⊥CD，∴2BD=BE，∵AC=8，BC=5，∴CE=5，∴AE=AC﹣EC=8﹣5=3，∴BE=3，∴BD=1.5．故选A．16．解：延长EF交AC于点Q，∵EF⊥AD，AD⊥BC∴EQ∥BC∴∠QEC=∠ECB∵CE平分∠ACB∴∠ECB=QCE∴∠QEC=∠QCE∴QE=QC∵QE∥BC，且△ABC为等腰三角形∴△AQE为等腰三角形∴AQ=AE，QE=2EF∴BE=CQ=2EF．故答案为：BE=2EF．17．解：∵DE垂直且平分AB，∴BE=AE．由BE+CE=AC=AB=27，∴BC=50﹣27=2318．解：设AB=AC=2X，BC=Y，则AD=CD=X，∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，∴有两种情况：1、当3X=15，且X+Y=6，解得，X=5，Y=1，∴三边长分别为10，10，1；2、当X+Y=15且3X=6时，解得，X=2，Y=13，此时腰为4，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4=8＜13，故这种情况不存在．∴腰长只能是10．故答案为1019．解：∵三角形ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵根据题意知道点B和点C经过折叠后分别落在了点I和点H处，∴∠DIH=∠B=60°，∠GHI=∠C=60°，∴∠HJI=60°，∴∠DIH=∠GHI=∠HJI=60°，∴阴影部分是等边三角形，故答案为：等边．20．答：由①③条件可判定△ABC是等腰三角形．证明：∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，（对顶角相等）BE=CD，∴△EBO≌△DCO，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形21．解：延长AC到E，使CE=BM，连接DE，（如图）∵BD=DC，∠BDC=120°，∴∠CBD=∠BCD=30°，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，∴△BMD≌△CDE，∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，又∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=60°，∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，又∵DN=DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2．22．解：∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，∠C是直角，∴CD=DF，∠DBC=∠DBE，∠DFB=∠C，∴△BCD≌△BFD，∴BC=BF，∵DE∥BC，∴∠DBC=∠EDB，即∠DBC=∠DBE，∴△BDE是等腰三角形，∴BE=DE，∴BF=BC=DE+EF23．（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°．又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∴∠BDE=45°．又∵BF∥AC，∴∠CBF=90°．∴∠BFD=45°=∠BDE．∴BF=DB．又∵D为BC的中点，∴CD=DB．即BF=CD．在△CBF和△ACD中，，∴△CBF≌△ACD（SAS）．∴∠BCF=∠CAD．又∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°．即AD⊥CF．（2）△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示，由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，∴BE垂直平分DF，∴AF=AD，∵CF=AD，∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．24．解：∵BP=PQ=QC=AP=AQ，∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ．又∵∠BAP+∠ABP=∠APQ，∠C+∠CAQ=∠AQP，∴∠BAP=∠CAQ=30°．∴∠BAC=120°．故∠BAC的度数是120°25．解：△AEC是等腰三角形．理由如下：∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠3，即∠BAC=∠DAE，又∵AB=AD，∠B=∠D，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AC=AE．即△AEC是等腰三角形26．①证明：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS）；②∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH，在△BCF和△ACH中，，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH；③∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形27．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；又∵AE=CD，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD；∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°﹣60°=30°；∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=728．（1）证明：在等腰△ABC中，∵CH是底边上的高线，∴∠ACH=∠BCH，在△ACP和△BCP中，，∴△ACP≌△BCP（SAS），∴∠CAE=∠CBF（全等三角形对应角相等）；（2）在△AEC和△BFC中，∴△AEC≌△BFC（ASA），∴AE=BF（全等三角形对应边相等）．29．证明：∵AB=BC=CA，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，在△ABE和△CAD中∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，∴∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠CAB=60°，∵BQ⊥AD∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．30．解：AD=EC．证明如下：∵△ABC和△BCD都是等边三角形，每个角是60°∴AB=EB，DB=BC，∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABE+∠EBC=∠DBC+∠EBC即∠ABD=∠EBC在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（SAS）∴AD=EC。

练习一一、选择题1．等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（）Ａ．6㎝Ｂ．10㎝Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝2．已知△ABC，AB =AC，∠B=65°，∠C度数是( )A．50°B．65°C．70°D．75°3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线B．底边的垂线C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线二、填空题4．等腰三角形的两个_______相等（简写成“____________”）．5．已知△ABC，AB =AC，∠A=80°，∠B度数是_________．6．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______________．7．等腰三角形的腰长是6，则底边长5，周长为__________．三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数一、选择题1．B2．B3．C二、填空题4．底角，等边对等角5．50°6．36°或90°7．16或17三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．证明：∵AB=AD（已知）∴∠ABD=∠ADB（等边对等角）∵AD∥BC（已知）∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）∴∠ABD=∠CBD（等量代换）∴BD平分∠ABC．（角平分线定义）9．45练习2一、选择题1．△ABC是等边三角形，D、E、F为各边中点，则图中共．有正三角形( )A．2个B．3个C．4个D．5个2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AB等于( )A．2：1 B．1：2 C．1：3 D．2 ：3二、填空题3．等边三角形的周长为6㎝，则它的边长为________．4．等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是__________．5．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_____三角形．6．△ABC中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．三、解答题7．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗？试说明理由．8．已知：如图，P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．9．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，∠A=30°，求证：△BDC是等边三角形．一、选择题1．D2．B二、填空题3．2㎝4．120°5．等边6．6㎝三、解答题7．△ABC是等边三角形．理由是∵△ABC是等边三角形AQ CPB∴∠A =∠B =∠C=60° ∵DE ∥AC ，∴∠BED =∠A=60°，∠BDE =∠C =60° ∴∠B =∠BED =∠BDE ∴△ABC 是等边三角形 8．∠BAC=120°9．证明：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）∴∠A +∠B=90°（直角三角形两锐角互余） ∴∠B= 90°－∠A= 90°－30°=60° ∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知） ∴BC=（在直角三角形中，一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）∴△BDC 是等边三角形（有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形）。

二.填空题（共1小题）3.如图，在正三角形ABC中，的面积与△ ABC的面积之比等于的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且/ EDF+ / EAF=180 °求证5.在△ ABC中，/ ABC、/ ACB的平分线相交于点O,过点O作DE // BC,分别交AB、AC于点D、E.请说明DE=BD+EC .等腰三角形典型例题练习一.选择题（共2小题）AD平分/ BAC交BC于D,若BC=5cm , BD=3cm，则点D到AB的距离为（A. 5 cmB. 3 cmC. 2cmD.不能确定2.如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE,连接AE交CD于M，连接BD交CE于N .给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN // AB 其中正确结论的个数是（A. 0 C. 2 D. 3DE=DF .D, E, F 分别是BC, AC, AB 上的点，DE 丄AC, EF 丄AB , FD 丄BC ,则△ DEF三.解答题（共15小题）4 .在△ ABC 中，AD 是/ BAC6. ＞已知：如图，D 是^ABC 的BC 边上的中点，DE 丄AB , DF 丄AC ,垂足分别为 E , F ,且DE=DF .请判断△ ABC 是什么三角形？并说明理由.7•如图，△ ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，延长 BC 至E ,使CE=CD •连接DE .(1) / E 等于多少度？(2) △ DBE 是什么三角形？为什么？&如图，在 △ ABC 中，/ ACB=90 ° CD 是 AB 边上的高，/ A=30 ° 求证：AB=4BD .△ ABC 中，AB=AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 的延长线上，且 BD=CE , DE 与BC 相交于点F .求证:10 .已知等腰直角三角形 ABC , BC 是斜边./ B 的角平分线交 AC 于D ，过C 作CE 与BD 垂直且交BD 延长线 于E ,求证：BD=2CE .9•如图,DF=EF.11. (2012?牡丹江)如图 ①，△ ABC 中.AB=AC , P 为底边BC 上一点，PE 丄AB , PF 丄AC , CH 丄AB ，垂足分 别为E 、F 、H .易证PE+ PF=CH .证明过程如下：如图①，连接AP .•/ PE 丄 AB , PF 丄 AC , CH 丄 AB , 二 S AABP =」AB?PE ,ACP ^AC?PF , S AABC ^AB?CH .2 2 2又SAABP+S A ACP=S AABC ，••• 2AB ?P E +丄 AC ?PF=3AB ?CH .2 2 2•/ AB =AC ,••• P E +PF =CH .(1)如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变， PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想， 并加以证明：(2) 填空：若/ A=30 ° △ ABC 的面积为49,点P 在直线BC 上，且P 到直线ACAB边上的高的距离为PF ,当PF=3时，则.点P 到AB 边的距离PE=12•数学课上，李老师出示了如下的题目： 在等边三角形 ABC 中，点E 在AB 上， 关系，并说明理由”. 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段或=”).(2 )特例启发，解答题目 解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE _____________________________EF // BC ,交AC 于点F .(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论，设计新题点D 在CB 的延长线上，且 ED=EC ，如图, AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论: 试确定线段 AE 与DB 的大小AE DB （填DB (填、”，或=”).理由如下：如图2，过点E 作CH=图①图②的长(请你直接写出结果)13.已知：如图， AF 平分/ BAC , BC 丄AF 于点E , M .若/ BAC=2 / MPC ,请你判断/ F 与/ MCD 的数量关系，并说明理由.已知 △ ABC 是等边三角形，点 D 、E 分别在BC 、AC 边上，且 AE=CD , AD 与BE 相交于点 AD 与BE 有什么关系？试证明你的结论. BFD 的度数.15.如图，在 △ ABC 中，AB=BC , / ABC=90 ° F 为AB 延长线上一点，点 E 在BC 上，BE=BF ，连接 和CF ,求证：AE=CF .16.已知：如图，在 △ OAB 中，/ AOB=90 ° OA=OB ，在△ EOF 中，/ EOF=90 ° OE=OF ，连接 AE 、 段AE 与BF 之间有什么关系？请说明理由.学习必备 ________ 欢迎下载_在等边三角形 ABC 中，点E 在直线 AB 上，点D 在直线BC 上，且ED=EC . 若^ ABC 的边长为1, AE=2，求CD点D 在AF 上，ED=EA ，点P 在CF 上，连接PB 交AF 于点14.如图, (1) 线段(2) 求/F.AE 、EFBF .问线学习必备 欢迎下载17. （2006?郴州）如图，在 △ ABC 中，AB=AC , D 是BC 上任意一点，过 D 分别向AB , AC 引垂线，垂足分别为 E , F , CG 是AB 边上的高.（1） （2）18.如图甲所示，在 △ ABC 中，AB=AC ，在底边BC 上有任意一点 P ,贝U P 点到两腰的距离之和等于定长（腰上 的高），即PD+ PE=CF ，若P 点在BC 的延长线上，那么请你猜想 PD 、PE 和CF 之间存在怎样的等式关系？写出你 的猜想并加以证明.DE , DF , CG 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；若D 在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由.甲等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析2.如图，和等边△ BCE ,连接AE 交CD 于M ，连接BD 交CE 于N .给出以下三个结论: ①AE=BD ②CN=CM ③MN // AB 其中正确结论的个数是（）平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.由^ ACD 和^ BCE 是等边三角形，根据 SAS 易证得△ ACE ◎△ DCB ，即可得① 正确；由 △ ACE ◎△ DCB ，可得/ EAC= / NDC ，又由/ ACD= / MCN=60 ° 利用 ASA ，可证得 △ ACM ◎△ DCN ，即可得 ② 正确；又可证得 △ CMN 是等边三角形，即可证得 ③ 正确.解：•••△ ACD 和^BCE 是等边三角形，•/ ACD= / BCE=60 ° AC=DC , EC=BC ,•••/ ACD+ / DCE= / DCE+ / ECB ，即/ACE= / DCB , •△ ACE ◎△ DCB ( SAS ), ••• AE=BD ，故①正确；•••/ EAC= / NDC ,•••/ ACD= / BCE=60 ° DCE=60 ° ACD= / MCN=60 °•/ AC=DC ,•••△ ACM ◎△ DCN (ASA ) , •• CM=CN ，故② 正确；又/ MCN=180 °-/ MCA -/ NCB=180 °- 60。

等腰三角形练习题一、计算题:1. 如图,△A ＢC 中，ＡＢ=ＡＣ，B Ｃ=BD,A Ｄ=DE ＝Ｅ求∠A 的度数2.如图,ＣA ＝CB ，DF=ＤB ，AE ＝AD 求∠A 的度数3. 如图，△ABC 中,ＡB=ＡC ，D 在BC 上,DE ⊥A Ｂ于E,DF ⊥BC 交ＡC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AF Ｄ的度数４. 如图,△AB Ｃ中，A Ｂ=AC,BC=B Ｄ求∠A 的度数５. 如图，△ABC 中,AB=AC ，D 在BC 上, ∠B ＡD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠ＥD Ｃ的度数6. 如图,△ABC 中,∠C=90°,Ｄ为AB 上一点,作DE ⊥BC 于Ｅ，若BE=AC,BD ＝21，DE+B Ｃ＝1,求∠ＡBC 的度数CB７. 如图,△ABC 中，AD 平分∠ＢAC,若A Ｃ=AB+ＢD求∠Ｂ：∠C 的值二、证明题：8. 如图,△AB Ｃ中,∠ＡＢC,∠CAB 的平分线交于点Ｐ,过点P 作D Ｅ∥ＡB ，分别交B Ｃ、AC 于点D 、E 求证：ＤE=B Ｄ+ＡE9. 如图，△DEF 中,∠ＥD Ｆ=2∠E ，F Ａ⊥DE 于点A,问:ＤF 、ＡD 、AE 间有什么样的大小关系10. 如图,△AB Ｃ中，∠B=6０°,角平分线AD 、CE 交于点O 求证：ＡＥ+CD=AC11. 如图，△ABC 中，AB ＝ＡC ， ∠Ａ=100°,BD 平分∠ABC,求证：ＢＣ=BD+ＡD12. 如图,△AB Ｃ中,ＡB=AC,D 为△ABC 外一点，且∠ＡＢD=∠ACD =60°求证：ＣD=AB-B ＤCB A D E P A BCD ADF E OA B C D E CA13.已知：如图，ＡＢ=AC=ＢＥ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线 求证:C Ｄ=21CE14. 如图,△A ＢC 中，∠１＝∠２，∠ＥDC=∠BAC 求证:BD=ED15. 如图,△ABC 中,AB ＝AC,ＢE=ＣＦ,EF 交BC 于点Ｇ求证:EG=FG１6. 如图，△ABC 中,∠A ＢＣ=2∠C,AD 是BC 边上的高，B 到点求证：AF=FC17. 如图,△AB Ｃ中,A Ｂ=ＡＣ,A Ｄ和BE 两条高，交于点H ，且AE=BE 求证:AH ＝2BDA BDF E C C A B D E1 2 F１8． 如图，△AB Ｃ中,AB=AC ， ∠ＢＡC ＝90°,ＢD=ＡB, ∠AB Ｄ=30° 求证:AD=D Ｃ19. 如图，等边△ABC 中,分别延长BA 至点E ，延长ＢC 至点D,使AE=BD 求证:ＥC=ED20． 如图，四边形ABCD 中,∠BA Ｄ+∠BCD ＝180°,AD 、ＢC 的延长线交于点Ｆ，DC 、AB 的延长线交于点Ｅ，∠Ｅ、∠F 的平分线交于点Ｈ 求证:EH ⊥FHC DABD CEF等腰三角形练习题A一、计算题：--２0. 如图,四边形ABCD 中，∠BAD+∠BC Ｄ=18０°,ＡＤ、ＢC 的延长线交于点Ｆ，ＤC 、AB 的延长线交于点Ｅ，∠E 、∠Ｆ的平分线交于点H 求证：EH ⊥FH延长EH 交ＡF 于点G由∠BAD ＋∠BCD=１80°,∠DCF+∠BCD=180° 得∠BAD ＝∠DC Ｆ,由外角定理,得∠1=∠2， 故△FGM 是等腰三角形 由三线合一，得EH ⊥ＦHABDCEFHG 12。

等腰三角形1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为（ ）A. 2cmB. 8cmC. 2cm 或8cmD. 以上都不对 2. 如图，ABC ∆是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠，，则1∠的度数是________。

CA 1DB2 33. ABC ∆中，120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证：BC 21DE =。

AE DO BC1 24. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。

求证：M 是BE 的中点。

A D 1B MC E5. 如图，已知：ABC ∆中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。

AB C D6. 已知：如图，ABC ∆中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。

求证：DCB 2BAC ∠=∠。

A 1 2D BCE 37、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足。

求证：AE ＝AF 。

AE FBDC8、如图，ABC ∆中，100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。

求证：BC BD AD =+。

AD1 B 2E FC等腰三角形答案：1. B2. 分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。

解：因为ABC ∆是等边三角形 所以60ABC BC AB =∠=，因为BC BD =，所以BD AB = 所以23∠=∠在ABD ∆中，因为 60ABC 90CBD =∠=∠， 所以 150ABD =∠，所以152=∠ 所以75ABC 21=∠+∠=∠3.分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。

题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取BC 的中点。

初中数学：等腰三角形练习（含答案）一、选择题1、等腰三角形一底角为50°,则顶角的度数为（）A、65B、70C、80D、40【答案】C【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理求解.解：等腰三角形的顶角度数=180°-50°-50°=80°.故应选C考点：等腰三角形的性质2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的角平分线,则图中等腰三角形共有（）A． 5个B． 6个C．7个D．8个【答案】D【解析】试题分析：根据等腰三角形两底角相等和∠A=36°,求出∠ABC和∠ACB的度数,再根据角平分线的定义求出∠ABD、∠CBD、∠ACE、∠BCE的度数,利用三角形外角定理求出∠BOE、∠COD的度数,根据等角对等边进行判断.解：如下图所示,∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°,∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠ABD=∠C BD=∠ACE=∠BCE=∠A=36°,∴△ABD、△BCD、△ACE、△BCE、△OBC是等腰三角形；∴∠BEC=∠A+∠ACE=72°,∠BOE=∠BCE+∠CBD=72°,∴∠BEC=∠BOE,同理可得：∠CDO=∠COD,∴△BOE、△COD是等腰三角形；又△ABC是等腰三角形,∴共有8个等腰三角形.故应选D.考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定3、下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）A．三条边都相等的三角形B．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形C．有一个锐角是45°的直角三角形D．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形【答案】D【解析】试题分析：根据等腰三角形的定义和等腰三角形的判定定理进行判断.解：A选项、三条边都相等的三角形是特殊的等腰三角形,故A选项正确；B选项、三角形任何一条边上的中线都能把三角形分成面积相等的两个三角形,故B选项错误；C选项、有一个锐角是45°的直角三角形的另一个锐角也是45°,根据等角对等边可得这是一个等腰三角形,故C选项正确；D选项、如果一个外角的平分线平行于三角形一边,利用平行线的性质可证三角形的两个角相等,根据等角对等边可证这是一个等腰三角形,故D选项正确.故应选B考点：等腰三角形的判定4、下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°,∠B=60°B．∠A=50°,∠B=80°C． AB=AC=2,BC=4 D．AB=3,BC=7,周长为13【答案】B【解析】试题分析：根据等腰三角形的判定定理进行判断.解：A选项、若∠A=30°,∠B=60°,则∠C=90°,不能判定△ABC为等腰三角形；B选项、若∠A=50°,∠B=80°,则∠C=50°,根据等角对等边能判定△ABC为等腰三角形；C选项、若AB=AC=2,BC=4,因为2+2=4,所以不能构成三角形；D选项、若AB=3,BC=7,周长为13,则AC=3,因为3+3<7,所以不能构成三角形.故应选B.考点：等腰三角形的判定5、已知下列各组数据,可以构成等腰三角形的是（）A． 1,2,1 B．2,2,1 C． 1,3,1 D．2,2,5【答案】B【解析】试题分析：根据三角形三边的关系进行判断.解：A选项、因为1+1=2,所以不能构成三角形；B选项、因为2+1>2,能构成三角形,所以可以构成等腰三角形；C选项、因为1+1<3,所以不能构成三角形；D选项、因为2+2<5,所以不能构成三角形.故应选B.考点：三角形三边关系6、小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形,其中两条较长直角边在同一直线上,则图中等腰三角形的个数是（）Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1【答案】B【解析】试题分析：根据直角三角形的性质求出各角的度数,根据等角对等边进行判断. 解：∵∠B=∠E=60°,∴∠A=∠D=30°,∴△MAD是等腰三角形；∵∠EMG-∠A+∠D=60°,∴△EGM是等腰三角形；同理可证△BHM是等腰三角形.∴共有三个等腰三角形.故应选B考点：1.直角三角形的性质；2.等腰三角形的判定二、填空题7、一个等腰三角形的两边分别为3cm和4cm,则它的周长为_________；【答案】10cm或11cm【解析】试题分析：根据三角形的周长公式分情况进行计算.解：当三角形三边分别是3cm、3cm、4cm时,三角形的周长是3+3+4=10cm；当三角形三边分别是3cm、4cm、4cm时,三角形的周长是3+4+4=11cm.故答案是10cm或11cm.考点：等腰三角形的性质8、在方格纸上有一个△ABC,它的顶点位置如图所示,则这个三角形是三角形.【答案】等腰【解析】试题分析：根据点A在BC的垂直平分线上,可证AB=AC,所以这个三角形是等腰三角形.解：∵点A在BC的垂直平分线上,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.故答案是等腰.考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的定义9、如果一个三角形有两个角分别为80°,50°,则这个三角形是_________三角形．【答案】等腰【解析】试题分析：根据三角形内角和求出三角形的另一个内角,根据等角对等边进行判断.解：∵第三个角=180°-50°-80°=50°.∴这个三角形是等腰三角形.故答案是等腰.考点：等腰三角形的判定10、用若干根火柴（不折断）紧接着摆成一个等腰三角形,一边用了10根火柴,则至少还要用_________根火柴．【答案】11【解析】试题分析：根据用10根火柴组成的边是等腰三角形的底边和腰,分两种情况进行讨论.解：当用10根火柴组成的边是等腰三角形的底边时,则每个腰上至少用6根火柴棍,∴共需要12根火柴棍；当用10根火柴组成的边是等腰三角形的腰时,则另一个腰上需要用10根火柴棍,底边至少用1根火柴,∴共需要11根火柴棍.∴至少还要用11根火柴.故答案是11.考点：1.等腰三角形的定义；2.三角形三边关系11、如图,△ABC是等腰三角形,且AB=AC,BM,CM分别平分∠ABC,∠ACB,DE 经过点M,且DE∥BC,则图中有_________个等腰三角形．【答案】5【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB,根据平行线的性质可证∠ADE=∠AED,根据角平分线的性质可证∠DBM=∠MBC=∠DMB=∠EMC=∠ECM=∠BCM,根据等角对等边进行证明.解：∵△ABC是等腰三角形,∴∠ABC=∠ACB,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠AED,∴△ADE是等腰三角形；∵BM平分∠ABC,∴∠DBM=∠CBM,∵BC∥DE,∴∠DMB=∠CBM,∴∠DBM=∠DMB,∴△DBM是等腰三角形,同理可得△EMC是等腰三角形；又∵∠ABC=∠ACB,∴∠MBC=∠MCB,∴△MBC是等腰三角形.∵△ABC是等腰三角形.∴共有5个等腰三角形.故答案是5.考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定三、解答题12、已知：如图,OA平分∠BAC,∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．【答案】证明见解析【解析】试题分析：首先过点O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,根据角平分线的性质可证OE=OF,根据HL可证Rt△OBE≌Rt△OCF,利用全等三角形的性质可证∠5=∠6,所以可证∠ABC=∠ACB,根据等角对等边可证结论成立.证明：如下图所示,过点O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,∵AO平分∠BAC,∴OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∵∠1=∠2,∴OB=OC．∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠5=∠6．∴∠1+∠5=∠2+∠6．即∠ABC=∠ACB．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．考点：1.角平分线的性质；2.等腰三角形的判定定理；3.全等三角形的判定和性质13、如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,CD平分∠ACB,试说明△BCD是等腰三角形．【答案】证明见解析【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质求出∠B=∠ACB=72°,根据角平分线的定义可以求出∠ACD=∠A=36°,根据三角形外角的性质可以求出∠ADB=72°,再根据等角对等边可证结论成立.证明：∵∠A=36°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=72°,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠A=36°,∴∠BDC=∠A+∠ACD,∴∠BDC=∠B=72°,∴△BCD是等腰三角形．考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定14、如图,ABC△中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC分别交AB、AC于D、E,已知△ADE的周长为20cm,且BC=12cm,求△ABC的周长【答案】32cm.【解析】试题分析：首先根据角平分线的性质可证∠DBF=∠FBC,根据平行线的性质可证∠DFB=∠DBF,所以可证BD=DF,同理可证EC=EF,所以可证AD+AE+DF+EF=20cm,再根据BC的长度求出△ABC的周长.解：∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点F,∴∠DBF=∠FBC,又∵DE∥BC,∴∠DFB=∠FBC,∴∠DFB=∠DBF,∴BD=DF,同理EC=EF,∵△ADE的周长为20cm,∴AD+AE+DF+EF=20cm,∴AD+AE+BD+EC=AB+AC=20cm又∵BC=12cm,∴AB+AC+BC=32cm即△ABC的周长为32cm.考点：1.等腰三角形的判定；2.等腰三角形的性质。

等腰三角形的典型模板专题练习模型一、角平分线+平行线1、如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE//AB交AC于点E，若DE=7，CE=5，则AC=（）．A. 10B. 11C. 12D. 13答案：C解答：∵△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD.∵DE//AB，DE=7，CE=5，∴∠CAD=∠ADE．∴AE=DE=7．∴AC=AE+CE=7+5=12．2、如图，已知在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且OM//AB，ON//AC，若CB=6，则△OMN的周长是（）．A. 3B. 6C. 9D. 12答案：B解答：∵OM//AB，∴∠ABO=∠BOM，而∠ABO=∠OBM，则∠BOM=∠OBM．∴△OBM为等腰三角形，且OM=BM．同理可证ON=CN．故C△OMN=OM+ON+MN=BM+CN+MN=BC=6．选B.3、如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则这四个结论中正确的有（）．①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP//AR；④△BRP≌△CSP．A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个答案：B解答：①PA平分∠BAC.∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，AP=AP，∴△APR≌△APS，∴∠PAR=∠PAS，∴PA平分∠BAC.②由①中的全等也可得AS=AR．③∵AQ=PQ，∴∠1=∠APQ，∴∠PQS=∠1+∠APQ=2∠1，又∵PA平分∠BAC，∴∠BAC=2∠1，∴∠PQS=∠BAC，∴PQ//AR．④∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠BRP=∠CSP，∵PR=PS，∴△BRP不一定全等于△CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等）．选B.4、如图，在△ABC中∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN//BC，分别交AB、AC于点M、N，若MN=5cm，CN=2cm，则BM=______cm．答案：3解答：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠CBO．∵MN//BC.∴∠MOB=∠OBC，∴∠ABO=∠MOB，∴BM=OM．同理，ON=CN，∴BM=MN-CN=5-2=3cm．故答案为：3．5、如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE//AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为______．答案：130°或50°解答：如图，DF=DF’=DE．∵BD平分∠ABC，由图形的对称性可知：△BDEmathbf△BDF，∴∠DFB=∠DEB.∵DE//AB，∠ABC=50°，∴∠DEB=180°-50°=130°．∴∠DFB=130°．当点F位于点F’处时，∵DF=DF’，∴∠DF’B=∠DFF’=50°，故答案是：50°或130°．6、如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF//BC交AB于D，交AC于F，若AB=4，AC=3，则△ADF周长为______．答案：7解答：∵BE，CE为∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠1=∠2，∠5=∠6，∵DF//BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6，∴∠1=∠3，∠4=∠5，∴DB=DE，FE=FC，∴C△ADF=AD+DF+AF=AD+AF+DE+EF=AD+AF+DB+FC=AB+AC=7．7、已知如图：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相较于点O，过点O作EF//BC分别交AB、AC于E、F．（1）写出线段EF与BE、CF之间的数量关系？（不证明）（2）若AB≠AC，其他条件不变，如图，图中线段EF与BE、CF间是否存在（1）中数量关系？请说明理由．（3）若△ABC中，AB≠AC，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过点O 作OE//BC交AB于E，交AC于F，如图，这时图中线段EF与BE、CF间存在什么数量关系？请说明理由．答案：（1）EF=BE+CF．（2）仍然有EF=BE+CF．（3）EF=BE-CF．解答：（1）EF=BE+CF．（2）仍然有EF=BE+CF，理由如下：∵EF//BC，∴∠EOB=∠OBC，∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC，∴∠EOB=∠EBO，∴OE=BE，同理OF=FC，∴EF=EO+OF=BE+CF．（3）EF=BE-CF，理由如下：∵OE//BC，∴∠EOC=∠OCD，∵CO平分∠ACD，∴∠FCO=∠OCD，∴∠FCO=∠FOC，∴OF=CF，同理可得到BE=EO，∴EF=EO-FO=BE-CF．8、如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线交于点F，过点F 作DF//BC，交AB于点D，交AC于点E．（1）图中除△ABC之外，还有几个等腰三角形，请分别写出来．（2）若EC=6，BD=8，求DE的长．答案：（1）△DAE，△DBF，△ECF是等腰三角形．______（2）2．解答：（1）有题意可知∠ABF=∠CBF=∠DFB，∠A=∠DEA=∠BCA，∠DFC=∠ACF=∠FCG，∴△DAE，△DBF，△ECF是等腰三角形．______（2）∵DF//BC，∴∠DFB=∠FBC，又∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABF=∠CBF，∴∠DBF=∠DFB，∴△DBF是等腰三角形，∴DF=DB=8．又DF//BC，∴∠DFC=∠FCG，又∵CF是∠ACG的角平分线，∴∠FCG=∠DFC，∴∠ACF=∠DFC，∴△ECF是等腰三角形，∴EF=EC=6，∴DE=DF-EF=8-6=2．模型二、角平分线+垂线9、如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，∠A=∠ABE，AC=5，BC=3，则BD的长为（）．A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5 答案：A解答：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，∴BC=CE．又∵∠A=∠ABE，∴AE=BE．∴BD=12BE=12AE=12（AC-BC）．∵AC=5，BC=3，∴BD=12（5-3）=1．选A.10、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，线段AD是△ABC的角平分线，过点B作AD的垂线交AD的延长线于点E，若BE=4，则AD=______．答案：8解答：延长AC，与BE交于点F，∵∠ADC+∠CAD=90°，∠EBD+∠BDE=90°，∠BDE=∠ADC，∴∠EBD =∠DAC ，在△CBF 和△CAD 中，90EBD DAC BC AC ACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△CBF ≌△CAD （ASA ），∴AD =BF ，∵△ABF 中，AE ⊥BF ，∠BAE =∠FAE ，∴△ABF 是等腰三角形，∴BE =EF ，∴AD =2BE =8．故答案为：8．11、如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的角平分线，AD ⊥BE ，垂足为D. 求证：∠2=∠1+∠C.答案：证明见解答．解答：如图，延长AD 交BC 于F ．∵∠ABD =∠FBD ，BD =BD ，∠ADB =∠FDB =90°，∴Rt △ABD ≌Rt △FBD.于是∠2=∠DFB.∵∠DFB =∠1+∠C ，∴∠2=∠1+∠C.12、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD 与点D ，∠ACD =2∠B ，若CD =8，AB =26，求AC 的长．答案：AC =10．解答：如图，延长CD 交AB 于点E ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2．∵CD ⊥AD ，∴∠ADE =∠ADC =90°∵在△ADE 和△ADC 中12AD ADADE ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE ≌△ADC （ASA ）．∴DE =CD =8．∠AEC =∠ACD.又∵∠ACD =2∠B ，∠AED =∠B +∠ECB.∴∠B =∠ECB.∴BE =CE =16，∴AC =AE =AB -BE =10．模型三、垂直平分线13、如图，在△ABC中，∠A=105°，AC的垂直平分线MN交BC于点E，AB+BE=BC，则∠B 的度数是（）．A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°答案：B解答：连接AE，∵MN垂直平分AC，∴AE=CE，∴∠EAC=∠C，∴∠AEB=2∠C，又∵AB+BE=BC，∴AB=AE=CE，∴∠ABE=∠AEB=2∠C，又∵∠A=105°，∴∠B=1051803︒︒-×2=50°．14、如图，等腰△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=15°，则∠A 的度数是（）．A. 35°B. 40°C. 50°D. 55°答案：C解答：∵DM 是AB 的垂直平分线，∴AD =BD ，∴∠ABD =∠A ，∵等腰△ABC 中，AB =AC ，∴∠ABC =∠C =1802A ∠︒-， ∴∠DBC =∠ABC -∠ABD =1802A ∠︒--∠A =15°， 解得：∠A =50°，选C.15、如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =20°，线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 为______度．答案：60解答：∵AB =AC ，∠A =20°，∴∠ABC =∠C =80°．∵线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，∴AE =BE ，∴∠ABE =∠A =20°，∴∠CBE =∠ABC -∠ABE =80°-20°=60°．16、如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =15°，AB 的垂直平分线与AC 交于点D ，与AB 交于点E ，连接BD ，若AD =14，则BC 的长为______．答案：7解答：∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AD =BD =14，∴∠A=∠ABD=15°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=15°+15°=30°，在Rt△BCD中，BC=12BD=12×14=7．17、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，CF=3，则BF的长为______．答案：6解答：连接AF，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=1201802︒︒-=30°，∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，∴CF=AF，∴∠FAC=∠C=30°，∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°，在Rt△ABF中，∠B=30°，∴BF=2AF，∴BF=2CF=6．18、在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E．（1）求证：AE=2CE．（2）连接CD、请判断△BCD的形状，并说明理由．答案：（1）证明见解答．（2）△DBC为等边三角形．解答：（1）连BE，∵ED垂直平分AB，∴EA=EB，∴∠EAB=∠EBA，∵∠A=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°，∠EBC=30°，∵在Rt△EBC中，∠EBC=30°，∴BE=2EC，∵EB=EA，∴AE=2CE．（2）∵ED垂直平分AB，∴AD=DB，∵在Rt△ACB中，∠C=90°，∴CD=BD，又∵∠ABC=60°，∴△DBC为等边三角形．19、如图，在△ABC中，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，连接AE，AF，已知∠BAC=80°，请运用所学知识，确定∠EAF的度数．答案：20°．解答：在△ABC中，∠BAC=80°，∴∠B+∠C=180°-∠BAC=100°，∵DE是AB的垂直平分线，∴EB=EA，∴∠BAE=∠B，同理可得∠CAF=∠C，∴∠EAF=∠BAE+∠CAF-∠BAC=∠B+∠C-∠BAC=20°．模型四、倍角20、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD答案：解答：延长CB到点E，使得BE=AB，连接AE得△ABE为等腰三角形，∴∠1=∠E，∠B=2∠E∵∠B=2∠C∴∠C=∠E∴△ACE为等腰三角形∵AD⊥BC∴CD=DE∴AB+BD=BE+BD=DE=CD21、如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，BC=2AC. 求证：∠A=90°．答案：解答：作CD平分∠ACB交AB于D，过D作DE⊥BC于E，∵∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB∴∠B=∠BCD即△DBC是等腰三角形∵DE⊥BC∴BC=2CE又BC=2AC∴AC=CE易证≌△ACD≌△ECD（SAS）∴∠A=∠DEC=90°。

中考数学总复习《等腰三角形》专项提升练习题(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1.如图已知ABC △中AB=3，AC=5，BC=7，若过点A 的一条直线将ABC △分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A.1条B.2条C.3条D.4条2.如图在ABC △中AB=AC ，D 是BC 边上的中点30B ∠=︒，则DAC ∠等于( )A.30°B.40°C.50°D.60°3.等腰三角形的一个内角是40︒，则它的顶角度数为( )A.100︒B.40︒或100︒C.70︒D.40︒4.如图,a//b,AB=AC,若162∠=︒,则A ∠的度数为( )A.56︒B.59︒C.62︒D.76︒5.已知等腰三角形的周长为19，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边是( )A.3B.8C.3或8D.136.如图在ABC △中AC DC DB ==，100ACD ∠=︒则B ∠等于( )A.50°B.40°C.25°D.20°7.如图在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，35ABC ∠=︒将ABC △绕点C 顺时针旋转至A B C '''△，使点A '恰好落在AB 上，则旋转角度为( )A.35︒B.55︒C.70︒D.90︒8.如图在ABC △中点D 在AC 上，点E 在AB 上，且AB AC =，BC BD =，AD DE EB ==，则A ∠等于( )A.45°B.30°C.60°D.75°9.如图点A 、B 、C 三点在O 上40OCB ∠=︒，则A ∠=_____________10.已知等腰三角形的一个外角是80︒,则它顶角的度数为________.11.等腰三角形的周长为20cm ，一边长为6cm ，则底边长为__________cm ．12.如图52ABC ∠=︒，AD 是线段BC 的垂直平分线，垂足为点D ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则AEC ∠的度数是__________.13.如图将ABC △绕点A 逆时针旋转140︒得到ADE △，B ，C ，D 三点恰好在同一直线上.（1）判断ACE △的形状；（2）连接CE ，若CE BD ⊥，求BAC ∠的度数.14.如图在ABC △中AC 边的垂直平分线分别交BC 、AC 于点E 、F ，连接AE ，作AD BC ⊥于点D ，且D 为BE 的中点.（1）试说明：AB CE =；（2）若32C ∠=︒，求BAC ∠的度数.参考答案及解析1.答案：C解析：如图所示，当3AB AF ==，3BA BD ==与BG AG =时，都能得到符合题意的等腰三角形.综上，这样的直线最多可画3条.2.答案：D解析：在ABC △中已知AB AC =，D 是BC 边上的中点AD BC ∴⊥90ADC ∴∠=︒30B C ∠=∠=︒ 60DAC ∴∠=︒ 故选：D.3.答案：B解析：当40︒为等腰三角形的底角时，顶角为1804040100︒-︒-︒=︒；当40︒为等腰三角形的顶角时，则顶角为40︒.所以该等腰三角形的顶角度数为40︒或100︒.4.答案：A解析:AB AC =如图A B ABC C ∴=∠∠如图//a b 如图162ABC ∴∠=∠=︒如图180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒如图18026256A ∠=⨯∴︒-︒=︒如图故选:A.5.答案：A解析：当3是腰长时，底边为193213-⨯=此时33613+=<，不能组成三角形；当3是底边时，腰长为()119382-=此时3，8，8三边能够组成三角形. 所以等腰三角形的底边是3.故选：A.6.答案：D解析：AC DC DB == 100ACD ∠=︒180100402CAD -∴︒︒∠==︒ CDB ∠是ACD △的外角10040100140CDB A ACD ︒∴∠=∠+∠=︒=+=︒︒DC DB =180140202B ︒︒-∴∠==︒.7.答案：C 解析：90ACB ∠=︒ 35ABC ∠=︒∴180903555A ∠=︒-︒-︒=︒将ABC △绕点C 顺时针旋转至A B C '''△，即其中一个旋转角为ACA '∠A C AC '∴=∴CAA '△是等腰三角形∴55CA A CAA ''∠=∠=︒∴180555570ACA '∠=︒-︒-︒=︒故选：C.8.答案：A解析：设EBD x ∠=DE EB =EBD EDB x ∴∠=∠=2AED EBD EDB x ∴∠=∠+∠=AD DE =2A AED x ∴∠=∠=3BDC A EBD x ∴∠=∠+∠=BC BD =3BDC C x ∴∠=∠=AB AC =3ABC C x ∴∠=∠=在ABC △中有180A ABC C ∠+∠+∠=︒，则233180x x x ++=︒22.5x ∴=︒245A x ∴∠==︒故选：A.9.答案：50︒解析：OB OC = 40OCB ∠=︒40OBC OCB ∴∠=∠=︒1804040100BOC ∴∠=︒-︒-︒=︒1502A BOC ∴∠=∠=︒.故答案为：50︒.10.答案：100︒.解析:等腰三角形一个外角为80︒,那相邻的内角为100︒如图三角形内角和为180︒,如果这个内角为底角,内角和将超过180︒如图所以100︒︒只可能是顶角.故答案为:100︒.11.答案：6或8. 解析：①6cm 是底边时,腰长()12067cm 2=-=此时三角形的三边分别为7cm 7cm 6cm 、、能组成三角形②6cm 是腰长时，底边20628cm =-⨯=此时三角形的三边分别为6cm 6cm 8cm 、、能组成三角形综上所述，底边长为6或8cm .故答案为：6或8.12.答案：116︒解析：52ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E 11522622EBD ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒点E 在BC 的垂直平分线上BE CE ∴= 90EDC ∠=︒26C EBD ∴∠=∠=︒2690116AEC C EDC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒.故答案为：116︒.13.答案：（1）顶角为140︒的等腰三角形（2）90︒解析：（1）ABC △绕点A 逆时针旋转140︒得到ADE △ AC AE ∴= 140CAE ∠=︒ ACE ∴△是以顶角为140︒的等腰三角形；（2）ABC △绕点A 逆时针旋转140︒得到ADE △ 140BAD CAE ∴∠=∠=︒ AB AD = AC AE = ∴在ABD △中180140202ABC ADB ︒-︒∠=∠==︒ 在ACE △中180140202ACE AEC ︒-︒∠=∠==︒ CE BD ⊥90ECB ∴∠=︒902070ACB ECB ACE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒在ABC △中180180207090BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ BAC ∴∠的度数为90︒.14.答案：（1）见解析（2）84︒解析：（1）D 为BE 的中点BD DE ∴=AD BC ⊥ AB AE ∴=EF 是AC 的垂直平分线AE CE ∴=AB CE ∴=； （2）32C ∠=︒ AE CE =32C EAC ∴∠=∠=︒64AEB C EAC ∴∠=∠+∠=︒AB AE =64B AEB ∴∠=∠=︒180180646452BAE B AEB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ 523284BAC BAE EAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒.。

初中数学等腰三角形练习题一、单选题1.如图,在ABC △中,,40AB AC A =∠=︒ ,//CD AB ,则BCD ∠=（ ）A.40︒B.50︒C.60︒D.70︒2.一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若120∠=︒，则2∠的度数是（ ）A.15︒B.20︒C.25︒D.40︒3.如图,在ABC △中,,36AB AC A =∠=°, ABC △的角平分线,则图中的等腰三角形共有( ).A.8个B.7个C.6个D.5个4.若等腰三角形的一个外角等于140°，则这个等腰三角形的顶角度数为( ).A.40°B.100°C.40︒或70°D.40︒或100°5.如图，在等腰三角形ABC △中，AB AC =，BD 平分ABC ∠，在BC 的延长线上取一点E ，使CE CD =，连接DE ，求证：BD DE =．6.如图，ABC △中，AB AC =，D 是BC 中点，下列结论中不正确的是（ ）A ．BC ∠=∠B ．AD BC ⊥C ．AD 平分BAC ∠D ．2AB BD = 7.如图：15EAF ∠=︒，AB BC CD ==，则ECD ∠等于 ︒． 8.如图，在ABC △中，AB AC =，12∠=∠，则下列结论不一定成立的是( )A.B C ∠=∠B. BD CD =C.AD BC ⊥D.AD BD =二、证明题9.如图，在ABC △中，AB AC =，点D E F ,,分别在AB BC AC ,,边上，且BE CF BD CE ==，．(1)求证：DEF △是等腰三角形；(2)当40A ∠=︒时，求DEF ∠的度数．10.已知:如图，在ABC △中，D 为边BC 上一点， AB AD CD ==.1.求证:2ABC C ∠=∠；2.过点B 作AD 的平行线交CA 的延长线于点E ，若AD 平分BAC ∠，求证:AE AB =.11.如图，AD 平分BAC ∠，AD BD ⊥，垂足为点D ，//DE AC .求证:BDE △是等腰三角形.12.如图,在ABC △中,已知,90AB AC BAC =∠=︒,D 是BC 上一点,,,EC BC EC BD DF FE ⊥==.求证:(1)ABD ACE ≅△△;(2)AF DE ⊥.三、解答题13.已知:如图,在Rt ABC △中,90C ∠=° ,点D 在CB 边上,DAB B ∠=∠ ,点E 在AB 边上且满足CAB BDE ∠=∠.求证:AE BE =.四、操作题14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()43，-，且5OA =，在x 轴上确定一点P ，使AOP △为等腰三角形．1.写出一个符合题意的点P 的坐标 ；2.请在图中画出所有符合条件的AOP △．五、填空题15.如图，60BOC ∠=°，点A 是BO 延长线上的一点，10cm OA =.动点P 从点A 出发沿AB 以2 cm /s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1cm /s 的速度移动，如果,P Q 同时出发，用(s)t 表示移动的时间，当t =_________时，POQ △是等腰三角形.16.等腰三角形的边长分别为6和8，则周长为___________________．17.如果等腰三角形的一个角为50°，那么它的顶角为________.18.如图，在ABC △中，20cm 12cm AB AC ==，，点P 从点B 出发以每秒3cm 的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2cm 的速度向点C 运动，其中一个动点到达端点，另一个动点19.如图，在ABC △中，AB AC =，AD BC ⊥于点D .若64AB CD ==，，则ABC △的周长是 .20.如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA OB =.若剪刀张开的角为30°，则A ∠= 度。

练习一一、选择题1．等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（）Ａ．6㎝Ｂ．10㎝Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝2．已知△ABC，AB =AC，∠B=65°，∠C度数是( )A．50° B．65° C．70° D． 75°3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线B．底边的垂线C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线/二、填空题4．等腰三角形的两个_______相等（简写成“____________”）．5．已知△ABC，AB =AC，∠A=80°，∠B度数是_________．6．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______________．7．等腰三角形的腰长是6，则底边长5，周长为__________．三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）[9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数.一、选择题1．B2．B3．C二、填空题4．底角，等边对等角~5．50°6．36°或90°7．16或17三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．证明：∵AB=AD（已知）∴∠ABD=∠ADB（等边对等角）∵AD∥BC（已知）∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）∴∠ABD=∠CBD（等量代换）|∴BD平分∠ABC．（角平分线定义）9．45练习2一、选择题1．△ABC是等边三角形，D、E、F为各@边中点，则图中共．有正三角形( )A．2个 B．3个C．4个 D．5个2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AB等于 ( )A． 2：1 B．1：2 C．1：3 D．2 ：3二、填空题3．等边三角形的周长为6㎝，则它的边长为 ________．4．等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是__________．5．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_____三角形．6．△ABC中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．—三、解答题7．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗试说明理由．8．已知：如图，P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．《9．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，∠A=30°，求证：△BDC是等边三角形．一、选择题[AQ CPB1．D 2．B二、填空题 3．2㎝ 4．120° 5．等边 6．6㎝ 三、解答题7．△ABC 是等边三角形．理由是 ∵△ABC 是等边三角形；∴∠A =∠B =∠C=60° ∵DE ∥AC ，∴∠BED =∠A=60°，∠BDE =∠C =60° ∴∠B =∠BED =∠BDE ∴△ABC 是等边三角形 8．∠BAC=120°9．证明：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）∴∠A +∠B=90°（直角三角形两锐角互余）》∴∠B= 90°－∠A= 90°－30°=60°∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知） ∴BC=（在直角三角形中，一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）∴△BDC 是等边三角形（有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形）。

等腰三角形典型例题练习一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC的面积之比等于_________．三．解答题（共15小题）4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由．7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．11．（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=_________．点P到AB边的距离PE=_________．12．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE_________DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE_________DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．13．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠BFD的度数．15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF 和CF，求证：AE=CF．16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．17．（2006•郴州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定考点：角平分线的性质．分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于D到AC的距离即CD 的长，问题可解．解答：解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2故选C．2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：由△ACD和△BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ACE≌△DCB，即可得①正确；由△ACE≌△DCB，可得∠EAC=∠NDC，又由∠ACD=∠MCN=60°，利用ASA，可证得△ACM≌△DCN，即可得②正确；又可证得△CMN是等边三角形，即可证得③正确．解答：解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，即∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD，故①正确；∴∠EAC=∠NDC，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠MCN=60°，∵AC=DC，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM=CN，故②正确；又∠MCN=180°﹣∠MCA﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，∴△CMN是等边三角形，∴∠NMC=∠ACD=60°，∴MN∥AB，故③正确．故选D．二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC的面积之比等于1：3．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．解答：解：∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=∠A=60°，∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，，∴△DEF是正三角形，∴BD：DF=1：①，BD：AB=1：3②，△DEF∽△ABC，①÷②，=，∴DF：AB=1：，∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3．故答案为：1：3．三．解答题（共15小题）4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义．分析：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质求出DN=DM，根据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD，根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．解答：证明：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，即∠EMD=∠FND=90°，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN（角平分线性质），∠DME=∠DNF=90°，∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°，∵∠AFD+∠NFD=180°，∴∠MED=∠NFD，在△EMD和△FND中，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF．5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案．解答：解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC．6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．分析：用（HL）证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD=∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形．解答：△ABC是等腰三角形．证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF，∵D是△ABC的BC边上的中点，∴BD=DC，∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），∴∠EBD=∠FCD，∴△ABC是等腰三角形．7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定．分析：（1）由题意可推出∠ACB=60°，∠E=∠CDE，然后根据三角形外角的性质可知：∠ACB=∠E+∠CDE，即可推出∠E的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形．解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴，（2）∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠ABC=60°，∴，∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形．8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．考点：含30度角的直角三角形．分析：由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°可以推出AB=2BC，同理可得BC=2BD，则结论即可证明．解答：解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠B=60°．又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：过D点作DG∥AE交BC于G点，由平行线的性质得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2，则∠B=∠1，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC，即可得到结论．解答：证明：过D点作DG∥AE交BC于G点，如图，∴∠1=∠2，∠4=∠3，∵AB=AC，∴∠B=∠2，∴∠B=∠1，∴DB=DG，而BD=CE，∴DG=CE，在△DFG和△EFC中，∴△DFG≌△EFC，∴DF=EF．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．考点：全等三角形的判定与性质．分析：延长CE，BA交于一点F，由已知条件可证得△BFE全≌△BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD，所以BD=2CE．解答：证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE，又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE．∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD+∠EDC=90°．又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FCA=∠DBC=∠ABD．∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．11．（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=7．点P到AB边的距离PE=4或10．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．解答：解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH，∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB•PE=AC•PF+AB•CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵S△ABC=AB•CH，AB=AC，∴×2CH•CH=49，∴CH=7．分两种情况：①P为底边BC上一点，如图①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；②P为BC延长线上的点时，如图②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．12．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．考点：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE 即可；（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．解答：解：（1）故答案为：=．（2）过E作EF∥BC交AC于F，∵等边三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中，∴△DEB≌△ECF，∴BD=EF=AE，即AE=BD，故答案为：=．（3）解：CD=1或3，理由是：分为两种情况：①如图1过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EM，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴△AMB∽△ENB，∴=，∴=，∴BN=，∴CN=1+=，∴CD=2CN=3；②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EM，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴=，∴=，∴MN=1，∴CN=1﹣=，∴CD=2CN=113．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD，推出∠CDA=∠CAD=∠CPM，求出∠MPF=∠CDM，∠PMF=∠BMA=∠CMD，在△DCM和△PMF中根据三角形的内角和定理求出即可．解答：解：∠F=∠MCD，理由是：∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，∴∠CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°，在△ACE和△ABE中∵，∴△ACE≌△ABE（ASA）∴AB=AC，∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线，∴CM=BM，CE=BE，∴∠CMA=∠BMA，∵AE=ED，CE⊥AD，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD，∴∠MPC=∠CDA，∴∠MPF=∠CDM，∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等），∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°，∠F+∠MPF+∠PMF=180°，又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F．14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠BFD的度数．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°，AB=CA，结合AE=CD，可证明△ABE≌△CAD，从而证得结论；（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA．在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD∴AD=BE．（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF．考点：全等三角形的判定与性质．分析：根据已知利用SAS即可判定△ABE≌△CBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF．解答：证明：∵∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF=90°，又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，当然相等了，由此可以证明△AEO≌△BFO；延长BF交AE于D，交OA于C，可证明∠BDA=∠AOB=90°，则AE⊥BF．解答：解：AE与BF相等且垂直，理由：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF．延长BF交AE于D，交OA于C，则∠ACD=∠BCO，由（1）知∠OAE=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．17．（2006•郴州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．解答：解：（1）DE+DF=CG．证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．根据∵S△PAB=AB•PD，S△PAC=AC•PE，S△CAB=AB•CF，S△PAC=AC•PE，AB•PD=AB•CF+AC•PE，即可求证．解答：解：我的猜想是：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．理由如下：连接AP，则S△PAC+S△CAB=S△PAB，∵S△PAB=AB•PD，S△PAC=AC•PE，S△CAB=AB•CF，又∵AB=AC，∴S△PAC=AB•PE，∴AB•PD=AB•CF+AB•PE，即AB（PE+CF）=AB•PD，∴PD=PE+CF．。

八年级数学上册《第二章 等腰三角形》练习题-含答案(湘教版)一、选择题1.等腰三角形的一边长为3 cm ，周长为19 cm ，则该三角形的腰长为（ ）A.3 cmB.8 cmC.3 cm 或8 cmD.以上答案均不对2.在等腰三角形ABC 中,AB=AC,其周长为20cm,则边AB 的取值范围是( ).A.1cm<AB<4cmB.5cm<AB<10cmC.4cm<AB<8cmD.4cm<AB<10cm3.已知等腰△ABC 的底边BC=8,且|AC-BC|=2,那么腰AC 的长为( )A.10或6B.10C.6D.8或64.若a,b 为等腰△ABC 的两边，且满足520a b --=，则△ABC 的周长为 ( ）A.9B.12C.15或12D.9或125.若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形6.在△ABC 中，∠A=70°，∠B=55°，则△ABC 是( )A.钝角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形7.等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长为（ ）A ．21B ．21或27C ．27D ．258.在等腰△ABC 中，AB=AC ，其周长为20cm ，则AB 边的取值范围是（ ）A ．1cm ＜AB ＜4cm B ．5cm ＜AB ＜10cmC ．4cm ＜AB ＜8cmD ．4cm ＜AB ＜10cm二、填空题9.如果等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则这个等腰三角形的底边长是 .10.已知等腰△ABC 的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是 ．11.一个等腰三角形的底边长为5 cm ，一腰上的中线把这个三角形的周长分成的两部分之差是3 cm ，则它的腰长是12.如图，l ∥m ，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 在直线m 上，若∠β=20°，则∠α的度数为________13.一副三角形叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF=100°,那么∠BMD为度；14.若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是________;若等腰三角形的底边长为4,则它的腰长b的取值范围是_______.三、解答题15.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 9cm和 15cm两部分求这个三角形的腰长。

1．2．3．4．5．6．．选择题（共21 小题）如果一个等腰三角形的两边长为A．17 B．22一个等腰三角形的两边长分别是A．10 B．8在等腰三角形ABC 中，AB＝4，A．8 B．104、2、专题等腰三角形9，则它的周长为（C ．17 或224，那么它的周长是C ．10 或8BC＝2，则△ ABC 的周长为C ．8 或10如图，在△ ABC 中，AB＝AC，在边AB 上取点D，使得BD＝BC，等于（）A．36°B．54°C．72°A ．2cmB ． 3.5cmC．5cm8．若等腰三角形有两条边的长度为 5 和8，则此等腰三角形的周长为（A ．18 或21B．21 C．24 或18D．7cmD．18D．无法计算D．不能确定D ．6 或8连结CD，若∠ A＝36°，则∠BDCD．126°如图，在Rt△ABC 中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠ DCE的度数为（）A．30°B．36°C．45°D．48°如图，在△ ABC 中，AB＝AC，AD、CE 分别是△ ABC 的中线和角平分线，当∠ ACE＝35°时，∠ BAD的度数是（A．55°B．40°C．35°D．20°7．等腰三角形的周长为9cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（9．如图，在△ ABC 中，点 D 在BC 上，AB＝AD ＝DC，∠B＝72B．36°C．18°，那么∠ DAC 的大小是（）D．40°10．等腰三角形两边长分别为2、5，则这个等腰三角形的周长为（A．9 B．12C．9或12 D．上述答案都不对11．若等腰三角形的两边长分别是3、5，则第三边长是（A．3或5 B．5 C．3 D． 4 或612．已知一个等腰三角形一内角的度数为80°，则这个等腰三角形顶角的度数为（A ．100°B．80°C．50°或80°D．20°或80°13．如图，已知度数为（A ．18°14．如图，在△A ．70°AD，ABCBE 分别是△ ABC 中线和高，且AB＝AC，∠ EBC ＝20°，则∠ BAD 的B．20°C．22.5°中，AD＝BD＝AC，∠ B＝25°D．25°85°D．，则∠B．75°C．80°15．等腰三角形的顶角比每个底角大30°，则这个等腰三角形的顶角是（A．40°B．50°C．80°D．85°16．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（A ．80°或50°B．50°或20° C ．80°或20°D．50°17．等腰三角形ABC 中，∠ A＝80°，则∠24．如图，P，Q 是△ ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠ABC 的度数．A．50 B．80 或50C ．20 或80D．20 或50或8018．若等腰三角形的一边长是4，则它的周长可能是（A．7 B．8 C． D ．8 或919．如图，在△ ABC 中，AC＝AD＝DB，∠ C＝70°A．75°B．70°C．20．已知等腰三角形的周长是A ．6 和821．等腰三角形周长为A．4，10，则∠ CAB 的度数为（40°D．35°20，其中一边长为6，则其它两边的长度分别是（B．7 和718，其中一边长为B．7，725．已知△ ABC中，AB＝AC，过边AB上一点N作AB的垂线交BC于点M．（1）如图1，若∠ A＝40°，则∠ NMB 的度数是．（2）如图2，若∠ A＝70°，则∠ NMB 的度数是．（3）你可以再分别给出几个∠ A（∠ A 为锐角）的度数，你发现规律了吗？写出当∠ A 为4，则其它两边长分别为（C．4，10或7，7D ．3 和11D ．无法确定二．解答题（共22 小题）22．如图，在△ ABC 中，AB＝AC，∠ BAC＝80°， D 是AC 上一点，E是BC延长线上一点，连接BD，锐角时，你猜想出的规律，并进行证明．3）中的结论（直接写出答案）DE，若∠ABD＝20°，BD＝DE，求∠ CDE 的度数．23．如图，AB∥ CD ，△ EFG 的顶点F，G 分别落在直线AB，CD 上，GE 交AB 于点H，HE ＝HF ．若∠E＝25°，∠ FGC＝62°，求∠ FGH 的度数．4）当∠ A 为直角、钝角时，是否还有（26．如图，已知△ ABC 中，AB＝AC ，∠ C＝30°，AB⊥AD．1）求∠ BDA 的度数；2）若AD ＝2，求BC 的长．27．如图，在△ ABC 中，点 D 在BC 边上，BD ＝AD＝AC，E为CD 的中点．若∠B＝35°，求∠CAE 度数．31．如图所示，在△ ABC 中，BC＝BD＝AD，∠ CBD＝36°，求∠ A 和∠ C 的度数．28．如图，在△ ABC 中，D、E为BC 上的点，AD 平分∠BAE，CA＝CD．29．30．1）求证：∠ CAE＝∠B；2）若∠ B＝50 °，∠ C＝3∠DAB，求∠ C 的大小．如图，△ ABC 中，AB＝AC，AD 是BC 边上的中线，如图，在△ ABC 中，已知AB ＝AC，BD 平分∠ABC，∠ADB ＝125°，求∠ BAC 的度数．EH 平分∠ AEG，且∠ GEH ＝30°，求∠ CFH 的度数．33．已知：如图，在△ ABC 中，点D，E 是边BC 上的两点，且AB＝BE，AC＝CD．CE⊥ AB 于点E．求证：∠ CAD＝∠BCE．1）若∠ BAC＝90°，求∠ DAE 的度数；AE 为BC 边的中线，AE、2）若∠ BAC＝120°，直接写出∠ DAE 的度数；3）设∠ BAC＝α，∠DAE ＝β，猜想α与β的之间数量关系（不需证明）34．已知：如图，在等腰△ ABC中，AB＝AC，∠ BAC＝80°，AD 平分∠ BAC，且AD＝AE；求∠EDC 的度数．， AB ＝ AC ，∠ BAD ＝ 20°， AD ＝ AE ，求∠ EDC 的度数．36．如图，在△ ABC 中， AB ＝ BC ，∠ B ＝40°， AD 平分∠ BAC ，AE ⊥BC 于 E ，EF ⊥AD 于 F ，求∠ AEF 的度数．42．在△ ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∠BAD ＝40°，AD ＝AE ，求∠ CDE 的度数．37．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为 12cm 和 21cm 两部分， 求这个等腰三角形的底边和腰的长度．38．等腰三角形一腰上的中线，分别将该三角形周长分成 30cm 和 33cm ，试求该等腰三角形的底边长． 39．如图，在△ ABC 中， AB ＝AC ，AD ＝DE ＝EB ，BC ＝BD ，求∠ A 的度数．40．如图，在等腰三角形△ ABC 中， AB ＝AC ，BD 平分∠ ABC ，在 BC 的延长线上取一点 E ，使 CE ＝CD ， 连接 DE ，求证： BD ＝ DE．41．如图，在△ ABC 中，∠ C ＝∠ABC ，BE ⊥AC ，△BDE 是等边三角形．求∠ C 的度数．43．如图 1，在等腰△ ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝45°， BD ⊥AC ，点 P 为边 AB 上一点（不 与点 A 、点 B 重合），PM ⊥BC ，垂足为 M ，交 BD 于点 N ． （1）请猜想 PN 与 BM 之间的数量关系，并证明；（2）若点 P 为边 AB 延长线上一点， PM ⊥ BC ，垂足为 M ，交 DB 延长线于点 N ，请在图2 中画出图形，并判断（ 1 ）中的结论是否成立若成立，请证明；若不成立，请写出你的 猜∠ ABC ＝65∴∠ ACE＝∠ AEC＝x+y，专题等腰三角形参考答案与试题解析一．选择题（共21 小题）1．【解答】解：（1）若 4 为腰长，9 为底边长，由于4+4< 9，则三角形不存在；（2）若9 为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为9+9+4＝22．故选：B．2．【解答】解：2 是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2＝4，∴不能组成三角形，2 是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长＝2+4+4＝10．故选：A．3．【解答】解：当AC＝BC＝2 时，2+2＝4，不符合三角形三边关系，故舍去；当AC＝AB＝4 时，符合三边关系，其周长为4+4+2＝10．故选：B．4．【解答】解：∵ AB＝AC，∠ A＝36°，∴∠ B＝＝72°，∵BD＝BC，∴∠ BDC ＝∠ BCD ＝＝54°，故选：B．5．【解答】解：设∠ DCE ＝x，∠ ACD＝y，则∠ ACE＝x+y，∠ BCE＝90°﹣∠ ACE＝90°﹣x﹣y．∵AE＝AC，∵BD＝BC，∴∠ BDC＝∠ BCD＝∠ BCE+∠DCE＝90°﹣x﹣y+x＝90°﹣y．在△ DCE 中，∵∠ DCE +∠CDE +∠DEC ＝180°，∴x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，解得x＝45°，∴∠ DCE＝45°．故选：C．6．【解答】解：∵ CE 是∠ ACB 的平分线，∠ ACE＝35°，∴∠ ACB＝2∠ACE＝70°，∵AB＝AC，∴∠ B＝∠ ACB ＝70 °，∵AD⊥ BC，∴∠ ADB＝90°，∴∠ BAD＝90°﹣∠ B＝20°，故选： D ．7．【解答】解：若2cm 为等腰三角形的腰长，则底边长为9﹣2﹣2＝5（cm），2+2<5，不符合三角形的三边关系；若2cm 为等腰三角形的底边，则腰长为（9﹣2）÷2＝3.5（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，3.5，cm，3.5cm，符合三角形的三边关系；故选：A．8．【解答】解：根据题意，① 当腰长为 5 时，周长＝5+5+8＝18；② 当腰长为8 时，周长＝8+8+5＝21．故选：A．9．【解答】解：∵△ ABD 中，AB＝AD，∠ B＝72°，∴∠ B＝∠ ADB ＝72°，∴∠ ADC ＝180°﹣∠ ADB ＝108∵AD＝CD，∴∠ C＝∠ DAC ＝（180°﹣∠ ADC ）÷ 2＝（180°﹣108°）÷ 2＝36°．故选：B．10．【解答】解：当 2 为底时，其它两边都为5，2、5、5 可以构成三角形，周长为12；当 2 为腰时，其它两边为 2 和5，因为2+2< 5，所以不能构成三角形，故舍去．∴答案只有12．故选：B．11．【解答】解：由题意得，当腰为 3 时，则第三边也为腰，为3，此时3+3> 5．故以3，3，5 可构成三角形；当腰为 5 时，则第三边也为腰，此时3+5>5，故以3，5，5 可构成三角形．故第三边长是 3 或5．故选：A．12．【解答】解：（1）若等腰三角形一个底角为80°，顶角为180°﹣80°﹣80°＝20°；（2）等腰三角形的顶角为80°．因此这个等腰三角形的顶角的度数为20°或80°．故选： D ．13．【解答】解：∵ AD，BE 分别是△ ABC 中线和高，且AB＝AC，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠ CAD，∴∠ CAD +∠C＝90°，∠ CBE+∠C＝90°，∴∠ EBC＝∠ CAD ＝20°，∴∠ BAD ＝20°，故选：B．14．【解答】解：∵△ ABD 中，AD＝BD，∠ B＝25°，∴∠ BAD ＝25°，∴∠ ADC ＝25°× 2＝50°，∵AD＝AC，∴∠ C＝50∴∠ DAC＝180°﹣50°×2＝80°．故选：C．15．【解答】解：设顶角的度数为x，则底角的度数为（x﹣30°）．根据题意，得x+2（x﹣30°）＝180°，解得x＝80°．故选：C．16．【解答】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，① 当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，② 当这个角80 °是顶角，设等腰三角形的底角是x°，则2x+80°＝180 °，解可得，x＝50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°；故选：A．17．【解答】解：已知等腰△ ABC 中，∠ A＝80°，若∠ A是顶角，则∠ B＝∠ C，所以∠ B＝（180°﹣80°）＝50°；若∠ B是顶角，则∠ A＝∠ C＝80°，所以∠ B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；若∠C 是顶角，则∠ B＝∠A＝80°．故∠ B 为50 °或20°或80°．故选： D ．18．【解答】解：当 4 是等腰三角形的腰时，周长大于8，当 4 是等腰三角形的底时，腰大于2，周长大于8，所以这个等腰三角形的周长可能是9，故选：C．19．【解答】解：∵ AC＝AD ＝DB ，∴∠ C＝∠ ADC ＝70°，∠ B＝∠ DAB，∴∠ CAD ＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵∠ ADC＝∠ B+∠DAB，∴∠ DAB＝∠ B＝35°，∴∠ CAB＝∠CAD+∠DAB ＝75°，故选：A．20．【解答】解：当腰为 6 时，另一腰也为6，则底为20﹣2×6＝8，∵6+6＝12>8，∴三边能构成三角形．当底为 6 时，腰为（20﹣6）÷ 2＝7，∵7+7> 6，∴三边能构成三角形．故选：C．21．【解答】解：当腰为 4 时，另一腰也为4，则底为18﹣2×4＝10，∵4+4＝8<10，∴这样的三边不能构成三角形．当底为 4 时，腰为（18﹣4）÷ 2＝7，∵0<7<7+4＝11，∴以4，7，7 为边能构成三角形∴其它两边长分别为7，7．故选：B．二．解答题（共22 小题）22．【解答】解：∵在△ ABC 中，AB＝AC，∠ BAC ＝80 °，∴∠ ABC＝∠ ACB＝（180°﹣80°）＝50°，∵∠ ABD ＝20°，∴∠ E＝∠ DBC＝30°，∴∠ CDE＝∠ ACB﹣∠ E＝20°．23．【解答】解：∵ HE ＝HF，∠ E＝25°，∴∠ EFH ＝∠ E＝25°，∴∠ FHG＝∠ E+ ∠ EFH ＝50°，∵AB∥CD，∴∠ HFG ＝∠ FGC＝62°，∴∠ FGH ＝180°﹣∠ FHG﹣∠ HFG，＝180°﹣50°﹣62°＝68°24．【解答】解：∵ BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∴∠ PAQ＝∠ APQ＝∠ AQP＝60°，∠ B＝∠ BAP，∠ C＝∠ CAQ．又∵∠ BAP+∠ABP＝∠ APQ ，∠ C+∠ CAQ＝∠ AQP，∴∠ ABC＝∠ BAP＝∠ CAQ＝30°．25．【解答】解：( 1)∵ AB＝AC，∠ A＝40°，∴∠ B＝∠ C＝×( 180°﹣40°)＝70°，∵MN ⊥AB，∴∠ MNB＝90°，∴∠ NMB＝90°﹣∠ B＝20°，故答案为：20°；(2)∵AB＝AC，∠ A＝70°，∴∠ B＝∠ C＝×( 180°﹣70°)＝55°，∵MN ⊥AB，∴∠ MNB＝90°，∴∠ NMB＝90°﹣∠ B＝35°，∴∠ DBC ＝∠ ABC﹣∠ ABD＝30∵BD＝DE，故答案为：35°；（3）∠A＝40°时，∠ NMB ＝20°，∠ NMB＝∠A，∠A＝70°时，∠ NMB ＝35°，∠ NMB＝∠A，∴∠ NMB ＝∠A，理由如下：∵ AB＝AC，∴∠ B＝∠ C＝×（180°﹣∠ A）＝90°﹣∠ A，∵MN⊥AB，∴∠ MNB＝90°，∴∠ NMB＝90°﹣∠ B＝90°﹣（90°﹣∠ A）＝∠A；（4）当∠ A＝90 °时，∠ B＝∠ C＝45°，∴∠ NMB＝90°﹣45°＝∠ A，当∠ A＝100°时，∠ B＝∠ C＝40°，∴∠ NMB＝90°﹣50°＝∠ A，则当∠ A 为直角、钝角时，（3）中的结论仍然成立．26．【解答】解：（1）∵ AB＝AC∴∠ B＝∠ C＝30°∵AD⊥AB∴∠ BDA + ∠B＝90°∴∠ BDA ＝60°（2）∵∠ BDA＝60°，∠ C＝30°，且∠ BDA＝∠ C+∠DAC ∴∠ DAC ＝60°﹣30°＝30°＝∠ C∴AD＝CD＝2∵AB⊥AD，∠ B＝30°∴BD＝2AD＝4∵ BC＝BD +CD 27．【解答】解：∵ BD ＝AD，∠ B＝35°，∴∠ B＝∠ BAD ＝35°，∴∠ ADC＝2∠B＝70°，∵ AD＝AC，点 E 是CD 中点，∴AE⊥CD，∠C＝∠ADC ＝70°，∴∠ AEC＝90 °，∴∠ CAE＝90 °﹣70°＝20°．28．【解答】解：（1）∵ CA＝CD，∴∠ CAD ＝∠ CDA ，∵ AD 平分∠ BAE，∴∠ EAD＝∠ BAD ，∵∠ B＝∠ CDA﹣∠ BAD ，∠ CAE＝∠ CAD ﹣∠ DAE ，∴∠ CAE＝∠ B；（2）设∠ DAB ＝x，∵∠ C＝∠ 3∠DAB ，∴∠ C＝3x，∵∠ CAE＝∠ B，∠ B＝50 °，∴∠ CAE＝50 °，∵ AD 平分∠ BAE，∴∠ EAB＝2∠DAB ＝2x，∴∠ CAB＝∠ CAE+∠EAB＝50°+2x，∵∠ CAB+∠ B+∠C＝180°，∴50°+2x+50°+3x＝180°，∴x＝16°，∴∠ C＝3×16°＝48°．29．【解答】证明：∵ AB＝AC，BD＝CD （已知），∴BC＝2+4＝6∴∠ CAD + ∠ACB＝90°，∠ BCE+∠B＝90°（直角三角形的两个锐角互余）∴∠ CAD ＝∠ BCE(等角的余角相等) ．30．【解答】解：∵ AB＝AC，AE 为BC 边的中线，∴AE⊥BC，∴∠ AEB＝90°，又∵∠ ADB ＝125°，∴∠ DBE ＝∠ ADB ﹣∠ AEB＝35°，∵ BD 平分∠ ABC，∴∠ ABC＝2∠DBE ＝70°，∵AB＝AC，∴∠ C＝∠ ABC＝70°，∴∠ BAC＝180°﹣∠ ABC﹣∠ C＝40°．31．【解答】解：∵ BD＝BC，∠ DBC ＝36∵AD＝BD，∴∠ A＝∠ ABD ，∵∠ BDC＝∠ A+∠ABD，∴∠ A＝∠BDC＝36°∴∠ ABC＝∠ C＝72°．32．【解答】解：∵ EF＝EH∴∠ EFH ＝∠H又∵∠ GEH＝∠ EFH +∠ H，∠ GEH＝30°∴∠ EFH ＝15°∵EH 平分∠ AEG，∠ GEH ＝30°∵AB∥CD，∴∠ CFG＝∠ AEG＝60°∴∠ CFH ＝∠ CFG﹣∠ EFH＝60°﹣15°＝45°．33．【解答】解：(1)∵ BE＝BA，∴∠ BAE＝∠ BEA，∴∠ B＝180°﹣2∠ BAE，①∵CD＝CA，∴∠ CAD ＝∠ CDA ，∴∠ C＝180°﹣2∠CAD，②① +② 得：∠ B+∠C＝360°﹣2(∠BAE+∠CAD)∴180°﹣∠ BAC＝360°﹣2[(∠ BAD+∠DAE)+(∠DAE+∠CAE)]，∴﹣∠ BAC＝180°﹣2[(∠ BAD+∠DAE+∠CAD)+∠DAE]，∴﹣∠ BAC＝180°﹣2(∠ BAC+∠ DAE )，∴2∠ DAE＝180°﹣∠ BAC．∵∠ BAC＝90 °，∴2∠DAE＝180°﹣90°＝90°，∴∠ DAE＝45°；(2)由(1)知，∠ DAE＝ ( 180°﹣∠ BAC)＝ ( 180°﹣120°)＝30°；(3)由( 1)知，β＝(180°﹣α)，∴α+2β＝180°．34．【解答】解：∵ AB＝AC，AD 平分∠ BAC，∴ AD⊥ BC，∠ ADC ＝90°，∵∠ BAC＝80 °，∴∠ DAE＝∠ BAC＝40°，∵AD＝AE，∴∠B＝∠ ACB（等边对等角），AD⊥BC（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）又∵ CE⊥ AB（已知），∴∠BDC＝∠C＝＝72∴∠ AEG＝2∠GEH ＝60°∴∠ ADE ＝70°，∴∠ EDC ＝90°﹣70°＝20°．35．【解答】解：∵∠ ABC＝65°，AB＝AC，∴∠B＝∠ C＝65°（等边对等角），∴∠ BAC＝180°﹣65°﹣65°＝50°（三角形内角和180°），又∵∠ BAD ＝20°，∴∠ DAE ＝∠ BAC﹣∠ BAD＝30°，又∵ AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED（等边对等角），∴∠ ADE ＝∠ AED ＝（180°﹣∠ DAE ）＝75°（三角形内角和180°），∵∠ AED ＝∠ EDC +∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴∠ EDC ＝75°﹣65°＝10°．解得或当，等腰三角形的三边为时，等腰三角形的三边为所以，这个等腰三角形的底边长是综上所述，这个等腰三角形的底边长8，8，17，显然不符合三角形的三边关系；14，14，5，5，5．腰长是14．38．【解答】解：如图，AB＝AC，BD或，，根据题意得到为腰AC 上的中线，设AD＝DC ＝x，，，或当x＝10，y＝23 时，等腰三角形的三边为20，20，23；解得当x＝11，y＝19 时，等腰三角形的三边为22，22，19，答：这个等腰三角形的底边长是23 或19．BC＝y，36．【解答】解：∵ AB＝BC，∠ B＝40∴∠ BAC＝∠ C＝70°，∵AD 平分∠ BAC 交BC 于D，∴∠ BAD ＝∠BAC ＝35°°，∴∠ ADE＝∠ B+∠BAD＝75°．39．【解答】解：∵ DE ＝EB∵AE⊥BC，EF⊥AD，∴∠ AEF＝∠ ADE＝75 ∴设∠ BDE＝∠ ABD＝x，∴∠ DAE ＝90°﹣∠ AEF＝1537．【解答】解：如图所示，设AD＝DC＝x，BC＝y，由题意得∴∠ AED＝∠ BDE+∠ ABD ＝2x，∵AD＝DE，∴∠ AED ＝∠ A＝2x，∴∠ BDC＝∠ A+∠ABD＝3x，第 11 页（共 12页）∵BD ＝BC ，∴∠ C ＝∠ BDC ＝3x ， ∵AB ＝AC ，∴∠ ABC ＝∠ C ＝ 3x ， 在△ ABC 中， 3x+3x+2x ＝180解得 x ＝ 22.5°，∴∠ A ＝ 2x ＝22.5°× 2＝45°解得∠ C ＝ 75°．42．【解答】 解：∵ AB ＝ AC ，AD ⊥BC ，∴∠ CAD ＝∠ BAD ＝ 40°， ∠ ADC ＝90 °， 又∵ AD ＝ AE ， ∴∠ ADE ＝＝ 70°，∴∠ CDE ＝ 90°﹣ 70°＝ 20°．43．【解答】 解：（ 1）结论： PN ＝ 2BM ．理由：如图 1 中，作 PF ∥AC 交 BC 于 F ，交 BD 于 E ．40．【解答】 证明：∵ AB ＝ AC ∴∠ ABC ＝∠ ACB ， ∵ BD 平分∠ ABC ， ∴∠ DBC ＝ ∠ABC ， ∵CD ＝CE ， ∴∠ E ＝∠ CDE ， ∵∠ ACB ＝∠ E+∠CDE ，∴∠ E ＝ ∠ ACB ， ∴∠ E ＝∠ DBE ， ∴BD ＝DE ． 41．【解答】 解：∵△ BDE 是正三角形， ∴∠ DBE ＝ 60°； ∵在△ ABC 中，∠ C ＝∠ ABC ，BE ⊥AC ，∴∠C ＝∠ABC ＝∠ABE+∠EBC ，则∠ EBC ＝∠ABC ﹣60°＝∠ C ﹣60°，∠ BEC ＝ 90°； ∴∠ EBC+∠C ＝ 90°，即∠ C ﹣60°+∠C ＝90°，∵BD ⊥ AC ，PF ∥AC ， ∴PF ⊥BD ，∠BPE ＝∠ A ＝45 ∴∠ BEP ＝ 90°，∴∠ BPE ＝∠ PBE ＝45°， ∴BE ＝PE ， ∵PM ⊥BC ，∴∠ PMB ＝∠ PEN ＝90°，∵∠ BNM ＝∠ PNE ， ∴∠ NPE ＝∠ EBF ， ∵∠ PEN ＝∠ BEF ＝ 90°， ∴△ PEN ≌△ BEF （ ASA ）， ∴PN ＝ BF ，∵AB＝AC，∴∠ ABC＝∠ C，∵∠ PFB＝∠C，∴PB＝PF，∵PM⊥BF，∴BM＝MF，∴PN＝2BM．（2）结论不变．理由：如图2中，作PF∥AC交CB的延长线于E，交DB 的延长线于F．∵∠ ABD ＝∠ PBF＝∠ BPF＝45°，∴BF＝PF，∵∠ EBF＝∠ EPM，∠EFB＝∠EMP，BF＝PF，∴△ BFE≌△ PFN（ASA），∴PN＝BE，∵∠ E＝∠ C＝∠ABC＝∠ PBE，∴PE＝PB，∵PM⊥EB，∴EM＝BM，∴PN＝2BM．第12 页（共12页）。

ED C AF1.等腰三角形练习题(第一课时)一、选择题1．等腰三角形的对称轴是（ ）A ．顶角的平分线B ．底边上的高C ．底边上的中线D ．底边上的高所在的直线 2．等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．17cm 或22cm D ．18cm3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80° 5．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ）A ．80° B ．90° C ．100° D ．108°ECAFG二、填空题 6．等腰△ABC 的底角是60°，则顶角是________度． 7．等腰三角形“三线合一”是指___________．8．等腰三角形的顶角是n °，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________． 9．如图，△ABC 中AB=AC ，EB=BD=DC=CF ，∠A=40°，则∠EDF•的度数是_____．10．△ABC 中，AB=AC ．点D 在BC 边上（1）∵AD 平分∠BAC ，∴_______=________；________⊥_________； （2）∵AD 是中线，∴∠________=∠________；________⊥________； （3）∵AD ⊥BC ，∴∠________=∠_______；_______=_______．三、解答题11．已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，若△ABC 、△ABD 的周长分别是20cm 和16cm ，•求AD 的长．AB C DAB C D练习题(第二课时)一、选择题1．如图1，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD=3cm ，则CD 等于（ ）A ．3cmB ．4cmC ．1.5cmD ．2cmD C AE D ABFEDCBH F（1） (2) (3)2．△ABC 中AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，则图中的等腰三角形有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．如图2，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；•③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF=CF ．其中正确的有（ ）A ．①②③ B ．①②③④ C ．①② D ．①4．如图3，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，角平分线AE 交CD 于H ，EF ⊥AB 于F ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．∠ACD=∠B B ．CH=CE=EF C ．CH=HD D ．AC=AF 二、填空题5．△ABC 中，∠A=65°，∠B=50°，则AB ：BC=_________．6．已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，要使AD•∥BC ，•则△ABC•的边一定满足________． 7．△ABC 中，∠C=∠B ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，•AE=•2cm ，•且DE•∥BC ，•则AD=________． 三、解答题9．如图，已知AB=AC ，E 、D 分别在AB 、AC 上，BD 与CE 交于点F ，•且∠ABD=•∠ACE ， 求证：BF=CF ．四、探究题11．如图，AF 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AF 交AF 的延长线于D ，DE ∥AC•交AB 于E ， 求证：AE=BE ．ECABFE D ABF2.等边三角形练习题一、选择题1．正△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于（ ） A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）A ．①②③ B ．①②④ C ．①③ D ．①②③④3．如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF•的形状是（ ）A ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形D ABF21EDCA B4．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm ，则AB 的长度是（ ） A ．2cm B ．4cm C ．8cm D ．16cm5．如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，则对△ADE 的形状最准备的判断是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状 二、填空题7．已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE=______． 8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．9．△ABC 中，∠B=∠C=15°，AB=2cm ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，•则CD•的长度是_______． 三、解答题10．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ，•求证：•BC=3AD.D CAB11．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，①求证：△BCE ≌△ACD ；②求证：CF=CH ；③判断△CFH•的形状并说明理由．EDAH F等腰三角形测试题（1）1、等腰三角形的一边长为2，周长是7，则另外两边的长为________。