等腰三角形典型例题练习(含答案)汇总

等腰三角形典型例题练习一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=5cm ，BD=3cm ， 则点D 到AB 的距离为（ ）2．如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为边并且在AB 的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE 交CD 于M ，连接BD 交CE 于N ．给出以下三个结论：①AE=BD ②CN=CM ③MN ∥AB 其中正确结论的个数是（ ）二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于_________ ． 三．解答题（共15小题）4．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF ．5．在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ．请说明DE=BD+EC ．6．已知：如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AB ，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF ．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由．7．如图，△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，延长BC 至E ，使CE=CD ．连接DE ． （1）∠E 等于多少度？ （2）△DBE 是什么三角形？为什么？8．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD ．9．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 的延长线上，且BD=CE ，DE 与BC 相交于点F ．求证：DF=EF ．A ． 5cmB ． 3cmC ． 2cmD ． 不能确定 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 310．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．11（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．（1）求证PE+PF=CH．（2）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（3）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=_________．点P到AB边的距离PE=_________．（4）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2,求CD的长（请你直接写出结果）．12．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．13．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠BFD的度数．14．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF．15．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=5cm ，BD=3cm ，则点D 到AB 的距离为（ ）A ． 5cmB ． 3cmC ．2cm D ． 不能确定考点： 角平分线的性质．分析： 由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D 到AB 的距离等于D 到AC 的距离即CD 的长，问题可解．解答：解：∵∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D∴D 到AB 的距离即为CD 长CD=5﹣3=2故选C ．2．如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为边并且在AB 的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE 交CD 于M ，连接BD 交CE 于N ．给出以下三个结论：①AE=BD ②CN=CM ③MN ∥AB 其中正确结论的个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3考点： 平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：由△ACD 和△BCE 是等边三角形，根据SAS 易证得△ACE ≌△DCB ，即可得①正确；由△ACE ≌△DCB ，可得∠EAC=∠NDC ，又由∠ACD=∠MCN=60°，利用ASA ，可证得△ACM ≌△DCN ，即可得②正确；又可证得△CMN 是等边三角形，即可证得③正确． 解答：解：∵△ACD 和△BCE 是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC ，EC=BC ， ∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB ，即∠ACE=∠DCB ，∴△ACE ≌△DCB （SAS ）， ∴AE=BD ，故①正确； ∴∠EAC=∠NDC ，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠MCN=60°， ∵AC=DC ，∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴CM=CN ，故②正确； 又∠MCN=180°﹣∠MCA ﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，∴△CMN 是等边三角形，∴∠NMC=∠ACD=60°，∴MN ∥AB ，故③正确．故选D ．二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于 1：3 ．考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与分析：首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，积比等于相似比的平方，即可求得结果．解答： 解：∵△ABC 是正三角形，∴∠B=∠C=∠A=6∵DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，∴∠AFE=∠C∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，∴∠DFE=∠FE∴△DEF 是正三角形，∴BD ：DF=1：①，①÷②，=，∴DF ：AB=1：，∴△DE故答案为：1：3．三．解答题（共15小题）4．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF ． 考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的定义． 分析： 过D 作DM ⊥AB ，于M ，DN ⊥AC 于N ，根据角理和平角定义求出∠AED=∠CFD ，根据全等三解答： 证明：过D 作DM ⊥AB ，于M ，DN ⊥AC 于N即∠EMD=∠FND=90°，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN（角平分线性质），∠DME=∠DNF=90°，∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°，∵∠AFD+∠NFD=180°，∴∠MED=∠NFD，在△EMD和△FND中，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF．5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案．解答：解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC．6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．分析：用（HL）证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD=∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形．解答：△ABC是等腰三角形．证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF，∵D是△ABC的BC边上的中点，∴BD=DC，∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），∴∠EBD=∠FCD7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定．分析：（1）由题意可推出∠ACB=60°，∠E=∠CDE，然后即可推出∠E的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为A∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠C（2）∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．考点：含30度角的直角三角形．分析：由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°可以推出A解答：解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠B又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：过D点作DG∥AE交BC于G点，由平行线的性质得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2，则∠B=∠1，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC，即可得到结论．解答：证明：过D点作DG∥AE交BC于G点，如图，∴∠1=∠2，∠4=∠3，∵AB=AC，∴∠B=∠2，∴∠B=∠1，∴DB=DG，而BD=CE，∴DG=CE，在△DFG和△EFC中，∴△DFG≌△EFC，∴DF=EF ．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．考点：全等三角形的判定与性质．分析：延长CE，BA交于一点F，由已知条件可证得△BFE全≌△BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD，所以BD=2CE．解答：证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE，又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE．∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD+∠EDC=90°．又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FCA=∠DBC=∠ABD．∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．11．（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=7．点P到AB边的距离PE=4或10．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点时，运用结论PE=PF+CH．解答：解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=A∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB•PE=AC•PF（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，∴AC=2CH ．∵S △ABC =AB •CH ，AB=AC ，∴×2CH •CH=49，∴CH=7．分两种情况：①P 为底边BC 上一点，如图①． ∵PE+PF=CH ，∴PE=CH ﹣PF=7﹣3=4； ②P 为BC 延长线上的点时，如图②． ∵PE=PF+CH ，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．12．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC ，如图，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB （填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE = DB （填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED=EC ．若△ABC 的边长为1，AE=2，求CD 的长（请你直接写出结果）．考点： 等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 分析：（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；（2）过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，求出等边三角形AEF ，证△DEB 和△ECF 全等，求出BD=EF 即可；（3）当D 在CB 的延长线上，E 在AB 的延长线D 在BC 的延长线上时，求出CD=1．解答： 解：（1）故答案为：=．（2）过E 作EF ∥BC 交AC 于F ， ∵等边三角形ABC ，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∴△AEF 是等边三角形，∴AE=EF=AF ，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EF ∵DE=EC ，∴∠D=∠ECD ，∴∠BED=∠ECF ，在△DEB 和△ECF 中，∴△DEB ≌△ECF ，∴BD=E（3）解：CD=1或3，理由是：分为两种情况：①如图1过A 作AM ⊥BC 于M ，过E 作EN ⊥BC 于N ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM ⊥BC ，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE ，∵AM ∥EN ，∴△AMB ∽△ENB ，∴=，∴∴BN=，∴CN=1+=，∴CD=2CN=3；②如图2，作AM ⊥BC 于M ，过E 作EN ⊥BC 则AM ∥EM ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC=1， ∵AM ⊥BC ，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE ，。

等腰三角形第1课时等腰三角形的性质1.已知等腰三角形的一个底角为50。

，则其顶角为________ ・2.如图，HABC中…13=∕C, BC=6cm, JD 平分ZBAC.则BD= _________________ c m.第3题图3.如图，'ABC中，-lδ=FC, D为EC中点，ZBAD=35。

,则ZC的度数为（）A.35oB. 45。

C・ 55。

D・ 60o4.已知等腰三角形的一个内角为50。

，则这个等腰三角形的顶角为（）A・ 50o B. 80oC. 50。

或80。

D・ 40。

或65。

5.如图，在Z∖J5C 中，D 是BC 边上一点，^AB=.-ID=DC, ZAW=40°,求ZC 的度数.6.如图，ΔJBCΦ, .IB=AC9 D 是EC 的中点，E, F分别是.1B. JC±的点，且AE=AF. 求证：DE=DF.1. 在 ∕∖ABC 中，ZJ=40% Z5 = 70o ,则 MBC 为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形2. 已知ΔJPC 中，Z5=50% ZJ = 80c , -lδ=5cm.则 AC= _________________ ・3. 如图，在ΛABC 中，-Q 丄BC 于点Zh 请你再添加一个条件，使苴可以确定AlSC 为等腰三角形，则添加的条件是 ________ ・第3题图4. 如图，已知NlBC 中，ZJ = 36% AB=AC, BD 为ZABC 的平分线，则图中共有 _______________ 个等腰三角形.5. 如图，D 是ZXJ5C 的BC 边上的中点，DE 丄AC. DFLAB.垂足分别是E, F,且DE=DF 求证:AB=AC.6.如图，肋〃 CZ λ直线/交,松于点E,交CD 于点F, FG 平分ZEFD 交直线曲于点G 求证：ZLEFG 是等腰三角形.第4题图13・3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定1. ____________________________________________________________ 如图，a∕∕b.等边MBC的顶点D C在直线b上，则Zl的度数为_______________________第1题图第3题图2.在∕∖ABC中，ZJ=60°,现有下面三个条件：®ZB=ZC;③ZA=ZB.能判定Z∖J5C为等边三角形的有____________________________ .3・如图，在等边AABC中，BD丄AC于D∙若,松=4,则AD= ________________ ・4.如图，ΔJ J9C是等边三角形，ZCBD=90°. BD=BC.连接.10交BC于点求ZBAD 的度数.5・如图，E是等边AABC中JC边上的点，Z1 = Z2, BE=CD.求证: (I)ZUEE 竺ZUS⑵AADE为等边三角形.第2课时含30。

等腰三角形专项练习30题1．已知，如图，△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，点D在AB上，点E在AC上，若△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，则AC的长度为（）A．16cm B．9cm C．8cm D．7cm2．在△ABC中，∠ABC=120°，若DE、FG分别垂直平分AB、BC，那么∠EBF为（）A．75°B．60°C．45°D．30°3．如图，AD=BC=BA，那么∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．2∠1+∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D．3∠1﹣∠2=180°4．如图，已知∠AOB=40°，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，CD交OA、OB于M、N两点，则∠MPN的度数是（）A．70°B．80°C．90°D．100°5．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与线段AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．60°6．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A．B．C．D．7．如图所示，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（）A．①②B．①②③C．①②③④D．②③8．下列说法正确的是（）A．两个能重合的图形一定关于某条直线对称B．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧C．到角两边距离相等的点在这个角的平分线上D．如果三角形一边的垂直平分线经过它的一个顶点，那么这个三角形一定是等腰三角形9．用一根长为a米的线围成一个等边三角形，测知这个等边三角形的面积为b平方米．现在这个等边三角形内任取一点P，则点P到等边三角形三边距离之和为（）米．A．B．C．D．10．在等腰直角△ABC（AB=AC≠BC）所在的三角形边上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，则满足此条件的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个11．如图所示，在△ABC中，AB=AC，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点D，BD+CD=10cm，则AB的长为_________．12．如图，若等腰△ABC的腰长AB=10cm，AB的垂直平分线交另一腰AC于D，△BCD的周长为16cm，则底边BC是_________cm．13．已知实数x，y满足|x﹣4|+（y﹣8）2=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是_________．14．如图所示，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形有_________个．15．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=8，BC=5，则BD的长为_________．16．等腰△ABC的底边上高AD与底角平分线CE交于点P，EF⊥AD，F为垂足，则线段EB与线段EF的数量关系为_________．17．如图，在等腰在△ABC中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若在△BCE的周长为50，则底边BC的长为_________．18．等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，则这个三角形的腰长为_________．19．如图，已知D为等边三角形纸片ABC的边AB上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G，DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于点F．把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图示方式折叠，则图中阴影部分是_________三角形．20．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：_________．21．如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°．求证：△AMN的周长等于2．22．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，说明：BC=DE+EF成立的理由．23．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．24．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．25．如图，∠1=∠2，AB=AD，∠B=∠D=90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．26．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH的形状并说明理由．27．如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长．28．如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．（1）证明：∠CAE=∠CBF；（2）证明：AE=BF．29．如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA，AE=CD，AD与BE交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ．30．如图，△ABE和△BCD都是等边三角形，且每个角是60°，那么线段AD与EC有何数量关系？请说明理由．参考答案：1．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，AC=AB，∴2AC+BC=25cm，BE+CE+BC=AE+EC+BC=AC+BC=16cm，即，解得：AC=9cm，故选B2．解：∵DE、FG分别垂直平分AB、BC，∴AE=BE，BF=CF，∴∠A=∠ABE，∠C=∠CBF，∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠ABC=120°，∴∠A+∠C=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠EBF=120°﹣60°=60°，故选B3．解：∵AB=BC，∴∠1=∠BCA，∵AB=AD，∴∠B=∠2，∵∠1+∠B+∠ACB=180°，∴2∠1+∠2=180°．故选B4．解：∵P关于OA、OB的对称∴OA垂直平分PC，OB垂直平分PD∴CM=PM，PN=DN∴∠PMN=2∠C，∠PNM=2∠D，∵∠PRM=∠PTN=90°，∴在四边形OTPR中，∴∠CPD+∠O=180°，∴∠CPD=180°﹣40°=140°∴∠C+∠D=40°∴∠MPN=180°﹣40°×2=100°故选D．5．解：如图，延长AO交BC于点M，连接BO，∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣50°）÷2=65°，∵AO是∠BAC的平分线，∴∠BAO=25°，又∵OD是AB的中垂线，∴∠OBA=∠OAB=25°，∴∠OBM=∠OCM=60°﹣25°=40°，∴∠BOM=∠COM=90°﹣40°=50°，由折叠性可知，∠OCM=∠COE，∴∠MOE=∠COM﹣∠COE=50°﹣40°=10°，∴∠OEM=90°﹣10°=80°，∵由折叠性可知，∠OEF=∠CEF，∴∠CEF=（180°﹣80°）÷2=50°．故选：B6．解：设BM=x，CN=y则BP=2x，PC=2y，PM=x，PN=yAM+AN=2BC﹣（BM+CN）=3（x+y），故==≈0.7887．故选D7．解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB=AD，AC=AC，所以Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．所以∠ACB=∠ACD，∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD，CA平分∠BCD．故①②正确；在△ABD中，AB=AD，∠BAO=∠DAO，所以BO=DO，AO⊥BD，即AC垂直平分BD．故③正确；不能推出∠ABO=∠CBO，故④不正确．故选B8．解：A、两个能重合的图形不一定关于某条直线对称，故错误；B、两个图形关于某条直线对称，它们的对应点有可能位于对称轴上，故错误；C、同一平面内，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，故错误；D，正确，故选D9．解：等边三角形周长为a，则边长为，设P到等边三角形的三边分别为x、y、z，则等边三角形的面积为b=××（x+y+z）解得x+y+z=，故选C10．解：∵△ABC是等腰直角三角形，（AB=AC≠BC）所在的三角形边上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，∴有一个满足条件的点﹣斜边中点，∴符合条件的点有1个．故选A．11．解：∵ED是边AB边上的中垂线，∴AD=BD；又∵BD+CD=10cm，AB=AC，∴BD+CD=AD+DC=AC=AB=10cm，即AB=10cm．故答案是：10cm12．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴BD+CD=AC，∵AB=AC=10cm，BD+CD+BC=AB+BC=16cm，∴BC=16﹣AB=16﹣10=6cm．故答案为：6cm13．解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．故答案为：2014．解：∵将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上．∴EF∥DG，∠E=∠D=60°，∴∠ENM=∠D=60°，∠MGD=∠E=60°，∴EM=NM=EN，DM=GM=DG，∴△MEN，△MDG是等边三角形．∵∠A=∠B=30°，∴MA=MB，∴△ABM是等腰三角形．∴图中等腰三角形有3个15．解：延长BD与AC交于点E，∵∠A=∠ABD，∴BE=AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∴∠EBC=∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC=CE，∵BE⊥CD，∴2BD=BE，∵AC=8，BC=5，∴CE=5，∴AE=AC﹣EC=8﹣5=3，∴BE=3，∴BD=1.5．故选A．16．解：延长EF交AC于点Q，∵EF⊥AD，AD⊥BC∴EQ∥BC∴∠QEC=∠ECB∵CE平分∠ACB∴∠ECB=QCE∴∠QEC=∠QCE∴QE=QC∵QE∥BC，且△ABC为等腰三角形∴△AQE为等腰三角形∴AQ=AE，QE=2EF∴BE=CQ=2EF．故答案为：BE=2EF．17．解：∵DE垂直且平分AB，∴BE=AE．由BE+CE=AC=AB=27，∴BC=50﹣27=2318．解：设AB=AC=2X，BC=Y，则AD=CD=X，∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，∴有两种情况：1、当3X=15，且X+Y=6，解得，X=5，Y=1，∴三边长分别为10，10，1；2、当X+Y=15且3X=6时，解得，X=2，Y=13，此时腰为4，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4=8＜13，故这种情况不存在．∴腰长只能是10．故答案为1019．解：∵三角形ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵根据题意知道点B和点C经过折叠后分别落在了点I和点H处，∴∠DIH=∠B=60°，∠GHI=∠C=60°，∴∠HJI=60°，∴∠DIH=∠GHI=∠HJI=60°，∴阴影部分是等边三角形，故答案为：等边．20．答：由①③条件可判定△ABC是等腰三角形．证明：∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，（对顶角相等）BE=CD，∴△EBO≌△DCO，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形21．解：延长AC到E，使CE=BM，连接DE，（如图）∵BD=DC，∠BDC=120°，∴∠CBD=∠BCD=30°，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，∴△BMD≌△CDE，∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，又∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=60°，∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，又∵DN=DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2．22．解：∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，∠C是直角，∴CD=DF，∠DBC=∠DBE，∠DFB=∠C，∴△BCD≌△BFD，∴BC=BF，∵DE∥BC，∴∠DBC=∠EDB，即∠DBC=∠DBE，∴△BDE是等腰三角形，∴BE=DE，∴BF=BC=DE+EF23．（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°．又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∴∠BDE=45°．又∵BF∥AC，∴∠CBF=90°．∴∠BFD=45°=∠BDE．∴BF=DB．又∵D为BC的中点，∴CD=DB．即BF=CD．在△CBF和△ACD中，，∴△CBF≌△ACD（SAS）．∴∠BCF=∠CAD．又∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°．即AD⊥CF．（2）△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示，由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，∴BE垂直平分DF，∴AF=AD，∵CF=AD，∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．24．解：∵BP=PQ=QC=AP=AQ，∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ．又∵∠BAP+∠ABP=∠APQ，∠C+∠CAQ=∠AQP，∴∠BAP=∠CAQ=30°．∴∠BAC=120°．故∠BAC的度数是120°25．解：△AEC是等腰三角形．理由如下：∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠3，即∠BAC=∠DAE，又∵AB=AD，∠B=∠D，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AC=AE．即△AEC是等腰三角形26．①证明：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS）；②∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH，在△BCF和△ACH中，，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH；③∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形27．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；又∵AE=CD，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD；∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°﹣60°=30°；∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=728．（1）证明：在等腰△ABC中，∵CH是底边上的高线，∴∠ACH=∠BCH，在△ACP和△BCP中，，∴△ACP≌△BCP（SAS），∴∠CAE=∠CBF（全等三角形对应角相等）；（2）在△AEC和△BFC中，∴△AEC≌△BFC（ASA），∴AE=BF（全等三角形对应边相等）．29．证明：∵AB=BC=CA，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，在△ABE和△CAD中∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，∴∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠CAB=60°，∵BQ⊥AD∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．30．解：AD=EC．证明如下：∵△ABC和△BCD都是等边三角形，每个角是60°∴AB=EB，DB=BC，∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABE+∠EBC=∠DBC+∠EBC即∠ABD=∠EBC在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（SAS）∴AD=EC。

等腰三角形典型例题【例1】如图所示，△ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求∠B的度数。

ACB D思路点拨：只要把“等边对等角”这一性质用在三个不同的等腰三角形中，然后用方程思想解题，列方程的依据是三角形的内角和定理。

解：∵AB=CD（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）同理：∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA设∠B为X0，则∠C=X0，∠BAD=X0∴∠ADC=2X0，∠CAD=2X0在△ADC中，∵∠C+∠CAD+∠ADC=1800∴X+2X+2X=180∴X=36答：∠B的度数为360注：用代数方法解几何计算题常可使我们换翻为简。

练习1：如图所示，在△ABC中，D是AC上一点，并且AB=AD，DB=DC，若∠C=290，则∠A=__＿练习2：如图在△ABC 中，AB=AC,点D 在AC 上，且BD=BC=AD,求△ABC 各角的度数？【例2】如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，O 是△ABC 内一点，且OB=OC 。

求证：AO ⊥BC思路点拨：要证AO ⊥BC ，即证AO是等腰三角形底边上的高，根据三线合一定理，只要先证AO 是顶角的平分线即可。

B证明：延长AO 交BC 于DAB=AC （已知） 在△ABO 和△ACO 中 OB=OC （已知） AO=AO（公共边） ∴△ABO ≌△ACO （SSS ） ∴∠BAO=∠CAO即∠BAD=∠CAD （全等三角形的对应角相等）∴AD ⊥BC ，即AO ⊥BC （等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）评注：本题用两次全等也可达到目的.。

练习：如图所示，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ，AD=AE 求证：BD=CE【例3】求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上C的高。

思路点拨：本题为文字题，文字题必须按下列步骤进行：（1）根据题意画出图形；（2）根据图形写出“已知”、“求证”；（3）写出证明过程。

等腰三角形（习题）例题示范例1：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD 于点D ，12CD BC =．求证：∠ACD =∠B ． 【思路分析】① 读题标注：② 梳理思路： 由条件12CD BC =，可尝试取BC 的中点E ，此时结合等腰构造三线合一的线AE ，如图所示．要证∠ACD =∠B ，可以证明△ABE ≌△ACD ．【过程书写】证明：如图，取BC 的中点E ，连接AE ．∵E 是BC 的中点 ∴12BE BC = ∵12CD BC = ∴BE =CD∵AB =AC ，E 是BC 的中点∴AE ⊥BC∴∠AEB =90°∵CD ⊥AD∴∠D =90°∴∠AEB =∠D =90°在Rt △ABE 和Rt △ACD 中AB AC BE CD =⎧⎨=⎩（已知）（已证）∴Rt △ABE ≌Rt △ACD （HL ）∴∠ACD =∠B例2：等腰三角形的周长为12cm ，其中一边长为5cm ，则该等腰三角形的底边长为__________cm ．AC D【思路分析】等腰三角形一边长为5cm，这一边可能是底，也可能是腰，故需分类讨论：①如果5cm为底，则根据周长为12cm，可知腰长为3.5cm．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．②如果5cm为腰，则根据周长为12cm，可知底边长为2cm．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．综上，该等腰三角形的底边长为5cm或2cm．巩固练习1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，求∠C的度数．2.如图，在△ABC中，AB=AC，BE∥AC，∠BDE=100°，∠BAD=70°，则∠E=______．第2题图第3题图3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB边上一点，若CD=AD=BC，则∠A=_________．4.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N．若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A．6 B．7 C．8 D．95.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点P在AD上．求证：PB=PC．6.已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．7.已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则该等腰三角形的周长为_________________．8.若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则该等腰三角形的顶角的度数为_____________．9.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角是30°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请找出所有符合条件的点．思考小结1.要证明边相等或角相等，可以考虑两种思路：①如果边或者角在两个三角形里面，则证明两个三角形__________；②如果边或角在一个三角形里面，证明三角形是_______三角形．2.将两个含30°角的三角板如图放置，则△ABD是_________三角形（“等腰”或“等边”），故AB_____BD，BC=____BD，所以BC=____AB，从而得到对于含有30°角的直角三角形，30°角所对的直角边是斜边的_______．【参考答案】巩固练习1.50°2.50°3.36°4. D5.证明略提示：利用等腰三角形三线合一的性质，得AD垂直平分BC，从而得到PB=PC 6.证明略提示：根据等边对等角可得∠B=∠C，∠ADE=∠AED，进而可得∠BAD=∠CAE，从而证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形对应边相等，可得BD=CE7.208.80°或40°9.这样的点能找4个，作图略 思考小结1.①全等②等腰2.等边，=，12，12，一半。

等腰三角形典型例题【例1】如图所示，△ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求∠B的度数。

ACB D思路点拨：只要把“等边对等角”这一性质用在三个不同的等腰三角形中，然后用方程思想解题，列方程的依据是三角形的内角和定理。

解：∵AB=CD（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）同理：∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA设∠B为X0，则∠C=X0，∠BAD=X0∴∠ADC=2X0，∠CAD=2X0在△ADC中，∵∠C+∠CAD+∠ADC=1800∴X+2X+2X=180∴X=36答：∠B的度数为360注：用代数方法解几何计算题常可使我们换翻为简。

练习1：如图所示，在△ABC中，D是AC上一点，并且AB=AD，DB=DC，若∠C=290，则∠A=__＿练习2：如图在△ABC 中，AB=AC,点D 在AC 上，且BD=BC=AD,求△ABC 各角的度数？【例2】如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，O 是△ABC 内一点，且OB=OC 。

求证：AO ⊥BC思路点拨：要证AO ⊥BC ，即证AO是等腰三角形底边上的高，根据三线合一定理，只要先证AO 是顶角的平分线即可。

B证明：延长AO 交BC 于DAB=AC （已知） 在△ABO 和△ACO 中 OB=OC （已知） AO=AO（公共边） ∴△ABO ≌△ACO （SSS ） ∴∠BAO=∠CAO即∠BAD=∠CAD （全等三角形的对应角相等）∴AD ⊥BC ，即AO ⊥BC （等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）评注：本题用两次全等也可达到目的.。

练习：如图所示，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ，AD=AE 求证：BD=CE【例3】求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上C的高。

思路点拨：本题为文字题，文字题必须按下列步骤进行：（1）根据题意画出图形；（2）根据图形写出“已知”、“求证”；（3）写出证明过程。

初中数学：等腰三角形练习（含答案）一、选择题1、等腰三角形一底角为50°,则顶角的度数为（）A、65B、70C、80D、40【答案】C【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理求解.解：等腰三角形的顶角度数=180°-50°-50°=80°.故应选C考点：等腰三角形的性质2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的角平分线,则图中等腰三角形共有（）A． 5个B． 6个C．7个D．8个【答案】D【解析】试题分析：根据等腰三角形两底角相等和∠A=36°,求出∠ABC和∠ACB的度数,再根据角平分线的定义求出∠ABD、∠CBD、∠ACE、∠BCE的度数,利用三角形外角定理求出∠BOE、∠COD的度数,根据等角对等边进行判断.解：如下图所示,∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°,∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠ABD=∠C BD=∠ACE=∠BCE=∠A=36°,∴△ABD、△BCD、△ACE、△BCE、△OBC是等腰三角形；∴∠BEC=∠A+∠ACE=72°,∠BOE=∠BCE+∠CBD=72°,∴∠BEC=∠BOE,同理可得：∠CDO=∠COD,∴△BOE、△COD是等腰三角形；又△ABC是等腰三角形,∴共有8个等腰三角形.故应选D.考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定3、下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）A．三条边都相等的三角形B．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形C．有一个锐角是45°的直角三角形D．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形【答案】D【解析】试题分析：根据等腰三角形的定义和等腰三角形的判定定理进行判断.解：A选项、三条边都相等的三角形是特殊的等腰三角形,故A选项正确；B选项、三角形任何一条边上的中线都能把三角形分成面积相等的两个三角形,故B选项错误；C选项、有一个锐角是45°的直角三角形的另一个锐角也是45°,根据等角对等边可得这是一个等腰三角形,故C选项正确；D选项、如果一个外角的平分线平行于三角形一边,利用平行线的性质可证三角形的两个角相等,根据等角对等边可证这是一个等腰三角形,故D选项正确.故应选B考点：等腰三角形的判定4、下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°,∠B=60°B．∠A=50°,∠B=80°C． AB=AC=2,BC=4 D．AB=3,BC=7,周长为13【答案】B【解析】试题分析：根据等腰三角形的判定定理进行判断.解：A选项、若∠A=30°,∠B=60°,则∠C=90°,不能判定△ABC为等腰三角形；B选项、若∠A=50°,∠B=80°,则∠C=50°,根据等角对等边能判定△ABC为等腰三角形；C选项、若AB=AC=2,BC=4,因为2+2=4,所以不能构成三角形；D选项、若AB=3,BC=7,周长为13,则AC=3,因为3+3<7,所以不能构成三角形.故应选B.考点：等腰三角形的判定5、已知下列各组数据,可以构成等腰三角形的是（）A． 1,2,1 B．2,2,1 C． 1,3,1 D．2,2,5【答案】B【解析】试题分析：根据三角形三边的关系进行判断.解：A选项、因为1+1=2,所以不能构成三角形；B选项、因为2+1>2,能构成三角形,所以可以构成等腰三角形；C选项、因为1+1<3,所以不能构成三角形；D选项、因为2+2<5,所以不能构成三角形.故应选B.考点：三角形三边关系6、小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形,其中两条较长直角边在同一直线上,则图中等腰三角形的个数是（）Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1【答案】B【解析】试题分析：根据直角三角形的性质求出各角的度数,根据等角对等边进行判断. 解：∵∠B=∠E=60°,∴∠A=∠D=30°,∴△MAD是等腰三角形；∵∠EMG-∠A+∠D=60°,∴△EGM是等腰三角形；同理可证△BHM是等腰三角形.∴共有三个等腰三角形.故应选B考点：1.直角三角形的性质；2.等腰三角形的判定二、填空题7、一个等腰三角形的两边分别为3cm和4cm,则它的周长为_________；【答案】10cm或11cm【解析】试题分析：根据三角形的周长公式分情况进行计算.解：当三角形三边分别是3cm、3cm、4cm时,三角形的周长是3+3+4=10cm；当三角形三边分别是3cm、4cm、4cm时,三角形的周长是3+4+4=11cm.故答案是10cm或11cm.考点：等腰三角形的性质8、在方格纸上有一个△ABC,它的顶点位置如图所示,则这个三角形是三角形.【答案】等腰【解析】试题分析：根据点A在BC的垂直平分线上,可证AB=AC,所以这个三角形是等腰三角形.解：∵点A在BC的垂直平分线上,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.故答案是等腰.考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的定义9、如果一个三角形有两个角分别为80°,50°,则这个三角形是_________三角形．【答案】等腰【解析】试题分析：根据三角形内角和求出三角形的另一个内角,根据等角对等边进行判断.解：∵第三个角=180°-50°-80°=50°.∴这个三角形是等腰三角形.故答案是等腰.考点：等腰三角形的判定10、用若干根火柴（不折断）紧接着摆成一个等腰三角形,一边用了10根火柴,则至少还要用_________根火柴．【答案】11【解析】试题分析：根据用10根火柴组成的边是等腰三角形的底边和腰,分两种情况进行讨论.解：当用10根火柴组成的边是等腰三角形的底边时,则每个腰上至少用6根火柴棍,∴共需要12根火柴棍；当用10根火柴组成的边是等腰三角形的腰时,则另一个腰上需要用10根火柴棍,底边至少用1根火柴,∴共需要11根火柴棍.∴至少还要用11根火柴.故答案是11.考点：1.等腰三角形的定义；2.三角形三边关系11、如图,△ABC是等腰三角形,且AB=AC,BM,CM分别平分∠ABC,∠ACB,DE 经过点M,且DE∥BC,则图中有_________个等腰三角形．【答案】5【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB,根据平行线的性质可证∠ADE=∠AED,根据角平分线的性质可证∠DBM=∠MBC=∠DMB=∠EMC=∠ECM=∠BCM,根据等角对等边进行证明.解：∵△ABC是等腰三角形,∴∠ABC=∠ACB,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠AED,∴△ADE是等腰三角形；∵BM平分∠ABC,∴∠DBM=∠CBM,∵BC∥DE,∴∠DMB=∠CBM,∴∠DBM=∠DMB,∴△DBM是等腰三角形,同理可得△EMC是等腰三角形；又∵∠ABC=∠ACB,∴∠MBC=∠MCB,∴△MBC是等腰三角形.∵△ABC是等腰三角形.∴共有5个等腰三角形.故答案是5.考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定三、解答题12、已知：如图,OA平分∠BAC,∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．【答案】证明见解析【解析】试题分析：首先过点O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,根据角平分线的性质可证OE=OF,根据HL可证Rt△OBE≌Rt△OCF,利用全等三角形的性质可证∠5=∠6,所以可证∠ABC=∠ACB,根据等角对等边可证结论成立.证明：如下图所示,过点O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,∵AO平分∠BAC,∴OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∵∠1=∠2,∴OB=OC．∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠5=∠6．∴∠1+∠5=∠2+∠6．即∠ABC=∠ACB．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．考点：1.角平分线的性质；2.等腰三角形的判定定理；3.全等三角形的判定和性质13、如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,CD平分∠ACB,试说明△BCD是等腰三角形．【答案】证明见解析【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质求出∠B=∠ACB=72°,根据角平分线的定义可以求出∠ACD=∠A=36°,根据三角形外角的性质可以求出∠ADB=72°,再根据等角对等边可证结论成立.证明：∵∠A=36°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=72°,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠A=36°,∴∠BDC=∠A+∠ACD,∴∠BDC=∠B=72°,∴△BCD是等腰三角形．考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定14、如图,ABC△中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC分别交AB、AC于D、E,已知△ADE的周长为20cm,且BC=12cm,求△ABC的周长【答案】32cm.【解析】试题分析：首先根据角平分线的性质可证∠DBF=∠FBC,根据平行线的性质可证∠DFB=∠DBF,所以可证BD=DF,同理可证EC=EF,所以可证AD+AE+DF+EF=20cm,再根据BC的长度求出△ABC的周长.解：∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点F,∴∠DBF=∠FBC,又∵DE∥BC,∴∠DFB=∠FBC,∴∠DFB=∠DBF,∴BD=DF,同理EC=EF,∵△ADE的周长为20cm,∴AD+AE+DF+EF=20cm,∴AD+AE+BD+EC=AB+AC=20cm又∵BC=12cm,∴AB+AC+BC=32cm即△ABC的周长为32cm.考点：1.等腰三角形的判定；2.等腰三角形的性质。

等腰三角形的典型模板专题练习模型一、角平分线+平行线1、如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE//AB交AC于点E，若DE=7，CE=5，则AC=（）．A. 10B. 11C. 12D. 13答案：C解答：∵△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD.∵DE//AB，DE=7，CE=5，∴∠CAD=∠ADE．∴AE=DE=7．∴AC=AE+CE=7+5=12．2、如图，已知在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且OM//AB，ON//AC，若CB=6，则△OMN的周长是（）．A. 3B. 6C. 9D. 12答案：B解答：∵OM//AB，∴∠ABO=∠BOM，而∠ABO=∠OBM，则∠BOM=∠OBM．∴△OBM为等腰三角形，且OM=BM．同理可证ON=CN．故C△OMN=OM+ON+MN=BM+CN+MN=BC=6．选B.3、如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则这四个结论中正确的有（）．①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP//AR；④△BRP≌△CSP．A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个答案：B解答：①PA平分∠BAC.∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，AP=AP，∴△APR≌△APS，∴∠PAR=∠PAS，∴PA平分∠BAC.②由①中的全等也可得AS=AR．③∵AQ=PQ，∴∠1=∠APQ，∴∠PQS=∠1+∠APQ=2∠1，又∵PA平分∠BAC，∴∠BAC=2∠1，∴∠PQS=∠BAC，∴PQ//AR．④∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠BRP=∠CSP，∵PR=PS，∴△BRP不一定全等于△CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等）．选B.4、如图，在△ABC中∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN//BC，分别交AB、AC于点M、N，若MN=5cm，CN=2cm，则BM=______cm．答案：3解答：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠CBO．∵MN//BC.∴∠MOB=∠OBC，∴∠ABO=∠MOB，∴BM=OM．同理，ON=CN，∴BM=MN-CN=5-2=3cm．故答案为：3．5、如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE//AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为______．答案：130°或50°解答：如图，DF=DF’=DE．∵BD平分∠ABC，由图形的对称性可知：△BDEmathbf△BDF，∴∠DFB=∠DEB.∵DE//AB，∠ABC=50°，∴∠DEB=180°-50°=130°．∴∠DFB=130°．当点F位于点F’处时，∵DF=DF’，∴∠DF’B=∠DFF’=50°，故答案是：50°或130°．6、如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF//BC交AB于D，交AC于F，若AB=4，AC=3，则△ADF周长为______．答案：7解答：∵BE，CE为∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠1=∠2，∠5=∠6，∵DF//BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6，∴∠1=∠3，∠4=∠5，∴DB=DE，FE=FC，∴C△ADF=AD+DF+AF=AD+AF+DE+EF=AD+AF+DB+FC=AB+AC=7．7、已知如图：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相较于点O，过点O作EF//BC分别交AB、AC于E、F．（1）写出线段EF与BE、CF之间的数量关系？（不证明）（2）若AB≠AC，其他条件不变，如图，图中线段EF与BE、CF间是否存在（1）中数量关系？请说明理由．（3）若△ABC中，AB≠AC，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过点O 作OE//BC交AB于E，交AC于F，如图，这时图中线段EF与BE、CF间存在什么数量关系？请说明理由．答案：（1）EF=BE+CF．（2）仍然有EF=BE+CF．（3）EF=BE-CF．解答：（1）EF=BE+CF．（2）仍然有EF=BE+CF，理由如下：∵EF//BC，∴∠EOB=∠OBC，∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC，∴∠EOB=∠EBO，∴OE=BE，同理OF=FC，∴EF=EO+OF=BE+CF．（3）EF=BE-CF，理由如下：∵OE//BC，∴∠EOC=∠OCD，∵CO平分∠ACD，∴∠FCO=∠OCD，∴∠FCO=∠FOC，∴OF=CF，同理可得到BE=EO，∴EF=EO-FO=BE-CF．8、如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线交于点F，过点F 作DF//BC，交AB于点D，交AC于点E．（1）图中除△ABC之外，还有几个等腰三角形，请分别写出来．（2）若EC=6，BD=8，求DE的长．答案：（1）△DAE，△DBF，△ECF是等腰三角形．______（2）2．解答：（1）有题意可知∠ABF=∠CBF=∠DFB，∠A=∠DEA=∠BCA，∠DFC=∠ACF=∠FCG，∴△DAE，△DBF，△ECF是等腰三角形．______（2）∵DF//BC，∴∠DFB=∠FBC，又∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABF=∠CBF，∴∠DBF=∠DFB，∴△DBF是等腰三角形，∴DF=DB=8．又DF//BC，∴∠DFC=∠FCG，又∵CF是∠ACG的角平分线，∴∠FCG=∠DFC，∴∠ACF=∠DFC，∴△ECF是等腰三角形，∴EF=EC=6，∴DE=DF-EF=8-6=2．模型二、角平分线+垂线9、如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，∠A=∠ABE，AC=5，BC=3，则BD的长为（）．A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5 答案：A解答：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，∴BC=CE．又∵∠A=∠ABE，∴AE=BE．∴BD=12BE=12AE=12（AC-BC）．∵AC=5，BC=3，∴BD=12（5-3）=1．选A.10、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，线段AD是△ABC的角平分线，过点B作AD的垂线交AD的延长线于点E，若BE=4，则AD=______．答案：8解答：延长AC，与BE交于点F，∵∠ADC+∠CAD=90°，∠EBD+∠BDE=90°，∠BDE=∠ADC，∴∠EBD =∠DAC ，在△CBF 和△CAD 中，90EBD DAC BC AC ACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△CBF ≌△CAD （ASA ），∴AD =BF ，∵△ABF 中，AE ⊥BF ，∠BAE =∠FAE ，∴△ABF 是等腰三角形，∴BE =EF ，∴AD =2BE =8．故答案为：8．11、如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的角平分线，AD ⊥BE ，垂足为D. 求证：∠2=∠1+∠C.答案：证明见解答．解答：如图，延长AD 交BC 于F ．∵∠ABD =∠FBD ，BD =BD ，∠ADB =∠FDB =90°，∴Rt △ABD ≌Rt △FBD.于是∠2=∠DFB.∵∠DFB =∠1+∠C ，∴∠2=∠1+∠C.12、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD 与点D ，∠ACD =2∠B ，若CD =8，AB =26，求AC 的长．答案：AC =10．解答：如图，延长CD 交AB 于点E ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2．∵CD ⊥AD ，∴∠ADE =∠ADC =90°∵在△ADE 和△ADC 中12AD ADADE ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE ≌△ADC （ASA ）．∴DE =CD =8．∠AEC =∠ACD.又∵∠ACD =2∠B ，∠AED =∠B +∠ECB.∴∠B =∠ECB.∴BE =CE =16，∴AC =AE =AB -BE =10．模型三、垂直平分线13、如图，在△ABC中，∠A=105°，AC的垂直平分线MN交BC于点E，AB+BE=BC，则∠B 的度数是（）．A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°答案：B解答：连接AE，∵MN垂直平分AC，∴AE=CE，∴∠EAC=∠C，∴∠AEB=2∠C，又∵AB+BE=BC，∴AB=AE=CE，∴∠ABE=∠AEB=2∠C，又∵∠A=105°，∴∠B=1051803︒︒-×2=50°．14、如图，等腰△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=15°，则∠A 的度数是（）．A. 35°B. 40°C. 50°D. 55°答案：C解答：∵DM 是AB 的垂直平分线，∴AD =BD ，∴∠ABD =∠A ，∵等腰△ABC 中，AB =AC ，∴∠ABC =∠C =1802A ∠︒-， ∴∠DBC =∠ABC -∠ABD =1802A ∠︒--∠A =15°， 解得：∠A =50°，选C.15、如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =20°，线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 为______度．答案：60解答：∵AB =AC ，∠A =20°，∴∠ABC =∠C =80°．∵线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，∴AE =BE ，∴∠ABE =∠A =20°，∴∠CBE =∠ABC -∠ABE =80°-20°=60°．16、如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =15°，AB 的垂直平分线与AC 交于点D ，与AB 交于点E ，连接BD ，若AD =14，则BC 的长为______．答案：7解答：∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AD =BD =14，∴∠A=∠ABD=15°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=15°+15°=30°，在Rt△BCD中，BC=12BD=12×14=7．17、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，CF=3，则BF的长为______．答案：6解答：连接AF，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=1201802︒︒-=30°，∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，∴CF=AF，∴∠FAC=∠C=30°，∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°，在Rt△ABF中，∠B=30°，∴BF=2AF，∴BF=2CF=6．18、在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E．（1）求证：AE=2CE．（2）连接CD、请判断△BCD的形状，并说明理由．答案：（1）证明见解答．（2）△DBC为等边三角形．解答：（1）连BE，∵ED垂直平分AB，∴EA=EB，∴∠EAB=∠EBA，∵∠A=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°，∠EBC=30°，∵在Rt△EBC中，∠EBC=30°，∴BE=2EC，∵EB=EA，∴AE=2CE．（2）∵ED垂直平分AB，∴AD=DB，∵在Rt△ACB中，∠C=90°，∴CD=BD，又∵∠ABC=60°，∴△DBC为等边三角形．19、如图，在△ABC中，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，连接AE，AF，已知∠BAC=80°，请运用所学知识，确定∠EAF的度数．答案：20°．解答：在△ABC中，∠BAC=80°，∴∠B+∠C=180°-∠BAC=100°，∵DE是AB的垂直平分线，∴EB=EA，∴∠BAE=∠B，同理可得∠CAF=∠C，∴∠EAF=∠BAE+∠CAF-∠BAC=∠B+∠C-∠BAC=20°．模型四、倍角20、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD答案：解答：延长CB到点E，使得BE=AB，连接AE得△ABE为等腰三角形，∴∠1=∠E，∠B=2∠E∵∠B=2∠C∴∠C=∠E∴△ACE为等腰三角形∵AD⊥BC∴CD=DE∴AB+BD=BE+BD=DE=CD21、如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，BC=2AC. 求证：∠A=90°．答案：解答：作CD平分∠ACB交AB于D，过D作DE⊥BC于E，∵∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB∴∠B=∠BCD即△DBC是等腰三角形∵DE⊥BC∴BC=2CE又BC=2AC∴AC=CE易证≌△ACD≌△ECD（SAS）∴∠A=∠DEC=90°。

人教版四年级数学下册典型例题系列之第五单元等腰三角形的实际应用专项练习（原卷版）1．已知一个等腰三角形中的一个内角是50°，那么这个三角形的另外两个内角可能是多少度？2．一个三角形它有两个角都是60°，它的一条边长是16cm。

另一个等腰三角形的周长与它相等，已知这个等腰三角形的底边长22cm，它的腰长是多少cm？3．有一根铁丝长1.9dm，把它做成一个等腰三角形，腰的长度为0.6dm。

那么它的底边长是多少dm？（接头处忽略不计）4．在一个等腰三角形中，一个角的度数是另一个角的2倍，求这个三角形的顶角和底角各是多少度。

5．一个等腰三角形中有两边的长度分别是5厘米，7厘米，这个等腰三角形的周长是多少？6．—个等腰三角形的顶角是48°，那么它的一个底角是多少度？7．一根铁丝长60厘米。

（1）用这根铁丝围成一个腰长为24厘米的等腰三角形，这个三角形的底边是多少厘米？（2）用这根铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的底边是多少厘米？8．有一块等腰三角形的菜地，它的底角是49°，它的顶角是多少度？9．李大伯家有一块等腰三角形的菜园，底边长10米，腰长20米，要在菜园的边上围篱笆，篱笆的长是多少米？10．用一根长26厘米的铁丝圈一个等腰三角形，测的一条边的长度为10厘米，另外两边分别长多少厘米？11．我们的红领巾（等腰三角形），它的最大角是120°，它的另外两个角分别是多少度？12．下面图形是等腰三角形，先求出∠1和∠2的度数，再画出三角形指定底边上的高。

13．一根铁丝可围成边长是6厘米的正方形。

如果围成一个等边三角形，它的边长是多少厘米？14．一个等腰三角形，它的一个底角度数是35°，那么它的顶角是多少度？15．一个风筝的形状是等腰三角形，已知一个底角是42°，你能求出其他两个角的度数吗？16．用一根两米长的铁丝围成一个等边三角形框架后，剩下20厘米。