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医学统计学多重线性回归分析

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卫生统计学：12多重线性回归分析

卫生统计学：12多重线性回归分析
校正决定系数、Cp准则、AIC准则
逐步选择法
后退法 前进法 逐步回归法
（一）全局择优法
根据一些准则建立 “最优”回归模型
校正决定系数（考虑了自变量的个数） Cp准则（C即criterion，p为所选模型中变量的个 数；Cp接近（p+1）模型为最优） AIC (Akaike’s Information Criterion)准则；
Model 1
(Const ant )
B -2262.081
St d. Error 1081 .870
X1
48.135
22.058
X2
38.550
13.346
X3
104.585
74.361
a. Dependent Variable: Y
St andardized Co effi ci ents
Bet a
.8 84a
.7 81
.7 40 216.0570 680
a. Predictors: (Constant), X3, X2, X1
R （复相关系数）
0.884
R Square （决定系数）
0.781
Adj R-Sq （校正决定系数）
0.740
Std.Error of the Estimate （剩余标准差）
3
Regressi on 2664 484.494
Resi dual
7468 90.5 06
Tot al
3411 375.000
4
Regressi on 2572 146.452
Resi dual
8392 28.5 48
Tot al
3411 375.000

医学统计学-第11章 多重线性回归精简1-1

医学统计学-第11章 多重线性回归精简1-1
18
复相关系数R
(multiple correlation coefficient)
定义：Biblioteka R = SS回 SS总（11-6）
意义：表示变量Y与p个自变量（X1,X2, ‥,Xp） 的密切相关程度。本例： R = 0.7312 = 0.8551
表示四个变量的复相关关系
19
复相关系数有缺点：
当回归方程中包含有很多自变量，即使其中有一些自 变量对反应变量变异的贡献极小，随着回归方程的自 变量的增加，R2值表现为只增不减。此时要用调整的 确定系数（常用），定义为：
问题：我们能不能根据回归方程下结论？
13
11.2.3 统计推断
一、整体回归效应的假设检验(方差分析)
对例题1，整体方程进行假设检验，方差分析结果 见下表所示，建立假设检验：
H0 : β1 = β2 = β3 = β4 = 0
由上表显示：P＜0.0001，拒绝H0。说明 从整体上而言，用这四个自变量构成的 回归方程解释糖尿病患者体内脂联素的 变化是有统计学意义的。
一、概述 例1 为了研究有关糖尿病患者体内脂联素水平
的影响因素，某医师测定了30名患者的体重 指数BMI(㎏/㎡)、病程DY(年)、瘦素 LEP(ng/ml)、空腹血糖FPG(mmol/L)及脂联 素水平，数据如下表所示：
以上数据表可见，除增加了自变量的列数之外，数据结 构与简单回归的数据表完全相同。
（11-5）
见例1
公式(11-5)
20
二、回归系数的假设检验
偏回归系数的t检验是在回归方程具有统计学 意义的情况下，检验某个总体偏回归系数等于 零的假设，以判断是否相应的自变量对回归确 有贡献。如欲检验
H0 : βi = 0 , H1 : βi ≠ 0

医学统计学 多重线性回归分析

医学统计学 多重线性回归分析
SS回归
检验统计量： F
MS回归 MS残差

回归 残差
SS残差
SS回归 SS残差 n2
查F界值表（P468），确定单侧临界值Fa(v回归, v残差)，
求概率值 P，下结论
检验过程：
1. 建立假设，确定检验水准 H0 ： β1=β2=β3=…=βi=0 ； H1 ：至少有一个 βi ≠ 0。
之间的线性相关程度，即Y 和该组自变量的密切程度。
SS回归 SS总
本题：R
1773 .343 0.8551 2425 .301
3. 调整确定系数（adjust coefficient of determination, Rad2）
R
2 ad
p 1 R R n p 1
2 2
数模： Y X ， X ，...，X 0 1 X 1 2 X 2 ... p X p
1 2 n
β0：截距参数，是常数项。 βi：变量Xj的总体偏回归系数(partial regression coefficient)
表示在其它自变量固定不变的情况下，Xj每增加或减少 一个计量单位，反应变量Y的平均变化 βi 个单位，或说所 引起应变量Y的平均改变量为βi个单位。
由表13-3可以看出，BMI、病程和空腹血糖对脂联素的 影响无统计学意义，P ＞ 0.05，而瘦素的影响有统计学意 义P＜ 0.05。
回归方程的解释： ——这四个因素对糖尿病患者体内脂联素水平的 影响有多大？
1. 确定系数/决定系数
（coefficient of determination ，R2 ）
ˆ2 SS残差： Y Y
总变异中无法用X1、 反应自变量X以外因素对Y X2…等和Y的回归关 的变异的影响。表示考虑 （残差平方和） 系解释的那部分变异 回归之后，Y的随机误差。

医学统计学第十五章多元线性回归分析

医学统计学第十五章多元线性回归分析

预测和解释性分析
预测
利用多元线性回归模型对新的自变量值进行预测，得到因变量的预测值。
解释
通过系数估计值，解释自变量对因变量的影响大小和方向。
4 正态分布
观测值和误差项服从正态分布。
参数估计方法
1
最小二乘法
找到使得预测值和实际观测值之间残差平方和最小的回归系数。
2
变量选择
通过逐步回归或变量筛选方法选择最重要的自变量。
3
解释系数
计算变量对因变量的影响的幅度和方向。
显著性检验
回归系数 自变量1 自变量2
标准误差 0 .2 3 4 0 .3 2 1
医学统计学第十五章多元 线性回归分析
多元线性回归分析是一种强大的统计方法，用于探究多个自变量对因变量的 影响。通过在统计模型中引入多个自变量，我们可以更全面地解释现象和预 测结果。
概念和原理
概念
多元线性回归分析是一种统计方法，用于 建立多个自变量和一个因变量之间的关系 模型。
原理
通过最小二乘法估计回归系数，我们可以 量化自变量对因变量的影响，并进行统计 推断。
建立方法
数据收集
收集包括自变量和因变量的 数据，确保数据质量和有效 性。
模型建立
模型验证
选择适当的自变量和建模方 法来构建多元线性回归模型。
利用合适的统计检验和拟合 优度指标来评估模型的质量。
假设条件
1 线性关系
自变量和因变量之间存在线性关系。
3 等方差性
模型的残差具有相同的方差。
2 独立性
自变量之间相互独立，没有明显的多重 共线性。
t值 2 .3 4 5 3 .4 5 6
根据p值和显著性水平，判断自变量的影响是否具有统计意义。

《医学统计学》之多元(重)线性回归

《医学统计学》之多元(重)线性回归

多元(重)线性回归模型的假设
1 线性关系
假设自变量与因变量之间存在线性关系，即因变量可以用自变量的线性组合来表示。
2 独立性
假设误差项之间相互独立，即每个观测值的误差项不受其他观测值的影响。
3 常数方差
假设误差项具有常数方差，即各个观测值的误差方差相同。
多元(重)线性回归模型的估计方法
最小二乘法
多元(重)线性回归模型的模型选择方法
前向选择法
从不包含自变量的空模型开 始，逐步添加自变量，选择 最佳的组合。
后向消除法
从包含所有自变量的全模型 开始，逐步删除自变量，选 择最简单且最有效的模型。
逐步回归法
结合前向选择法和后向消除 法，逐步调整自变量，找到 最优的模型。
多元(重)线性回归模型的实际应用
医学研究
用于分析多个影响因素对疾病发生、病程进展和治 疗效果的影响。
市场分析
用于预测市场需求和销售量，并确定最佳的市场推 广策略。
财务预测
社会科学
用于预测企业的财务状况，并制定相应的经营决策。
用于研究社会现象和群体行为，解释和预测社会现 象的变化。
通过方差膨胀因子等指标，判断自变量之间是否存在高度相关性，以避免估计结果的不 准确性。
多元(重)线性回归模型的模型检验
1
残差分析
通过观察残差的分布和模式，检验回归模型是否符合基本假设。
2
拟合优度检验
通过比较拟合优度指标（如决定系数R²）和假设分布，评估回归模型的拟合程度。
3
异常值检验
通过检测异常值对回归分析结果的影响，判断数据中是否存在异常观测值。
《医学统计学》之多元 (重)线性回归
在医学统计学中，多元(重)线性回归是一种强大的数据分析方法，可用于探索 和建立多个自变量与因变量之间的关系。

医学统计学：多元线性回归

医学统计学：多元线性回归
12.60
糖化血 血糖
红蛋白(%) (mmol/L)
X4
Y
8.2
11.2
6.9
8.8
10.8
12.3
8.3
11.6
7.5
13.4
13.6
18.3
8.5
11.1
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
y
11.926
2.9257
27
x1
5.8126
1.59338
x 量
j
偏回归平方和用SS回(Xj)表示，其值愈大说明相应的自变 量愈重要。需要注意的是：一般情况下，m-1个自变量对 y的回归平方和由重新建立的新方程得到，而不是简单地 把bjxj从有优个自变量的方程中剔出后算得。
x j 的偏回归平方和检验
Fj
ss回（X j ) /1 ss残 （/ n m 1)
一、全局择优法
➢ 全局择优法是对自变量各种不同的组合所 建立的回归方程进行比较，进而从全部组 合中挑出一个“最优”的回归方程。下面 给出两种具体的选择方法。
Model
1
(Constant)
B
Std. Error
5.943
2.829
x1
.142
.366
x2
.351
.204
x3
-.271
.121
x4
.638
.243
a. Dependent Variable: y
Standardized C oeffi ci ents
Beta
.078 .309 -.339 .398
Chang e Statistics

医学统计学第十五章多元线性回归分析精品文档

8.2 6.9 10.8 8.3 7.5 13.6 8.5 11.5 7.9 7.1 8.7 7.8 9.9 6.9 10.5 8.0 10.3 7.1 8.9 9.9 8.0 11.3 12.3 9.8 10.5 6.4 9.6
血糖
(mmol/L)
Y
11.2 8.8 12.3 11.6 13.4 18.3 11.1 12.1 9.6 8.4 9.3 10.6 8.4 9.6 10.9 10.1 14.8 9.1 10.8 10.2 13.6 14.9 16.0 13.2 20.0 13.3 10.4
2. 决定系数R 2：
R2 SS回 1 SS残
SS总
SS总
0 R 2 1 ， 说 明 自 变 量 X 1, X 2 , , X m 能 够 解 释 Y 变 化 的 百 分 比 ， 其 值 愈 接 近 于 1， 说 明
模型对数据的拟合程度愈好。本例
R 2 133 .7107 0 .6008 222 Nhomakorabea5519
Xn2
… … … … …
Xm
X1m X2m ┇
Xnm
条件
Y
Y1 Y2 ┇
Yn
(1)Y 与X1,X2,,Xm之间具有线性关系。 (2)各例观测值Yi(i1,2,,n)相互独立。 (3)残差e服从均数为0、 方差为2的正态分布， 它等价于对任意
一组自变量X1,X2,,Xm值，应变量Y具有相同方差，并且服从正态
一个应变量的变化可能受到其它多个自变量 的影响，如糖尿病人的血糖变化可能受胰岛 素、糖化血红蛋白、血清总胆固醇、甘油三 2019/10/13 脂等多种生化指医标学统的计学影响。
第一节 多元线性回归
2019/10/13

医学统计学第十五章 多元线性回归分析


2019/2/4
第一节
多元线性回归
2019/2/4
医学统计学
一、多元线性回归模型
• • • • 变量：应变量 1 个，自变量m 个，共 m+1 个。 样本含量：n 数据格式见表15-1 回归模型一般形式：
Y X X X e 0 1 1 2 2 m m
Éɱ í ÉÉÉÉɱ ÉÉ Y ÉÉÉ 医学统计学
表15-1 多元回归分析数据格式
例 号 1 2 ┇ n X 1 X 1 1 X 2 1 ┇ X n 1 X 2 X 1 2 X 2 2 ┇ X n 2 … … … … … X m X 1 m X 2 m ┇ X n m Y Y 1 Y 2 ┇ Y n
条件
X ,X , ,X Y与 ( 1 ) 间 具 有 线 性 关 系 。 1 2 m之
糖化血 红蛋白(%) X4
8.2 6.9 10.8 8.3 7.5 13.6 8.5 11.5 7.9 7.1 8.7 7.8 9.9 6.9 10.5 8.0 10.3 7.1 8.9 9.9 8.0 11.3 12.3 9.8 10.5 6.4 9.6
血糖 (mmol/L) Y
11.2 8.8 12.3 11.6 13.4 18.3 11.1 12.1 9.6 8.4 9.3 10.6 8.4 9.6 10.9 10.1 14.8 9.1 10.8 10.2 13.6 14.9 16.0 13.2 20.0 13.3 10.4
X X , i,j = 1 , 2 , , m
i j
l ( X X ) ( X X ) X i j i i j j iX j
第十五章 多元线性回归分析
(Multiple Linear Regression)

医学统计学多重回归


4.逐步选择（stepwise selection）
逐步选择法又称逐步回归，其本质是前向选择法，为了 克服向前选择法在后续变量进入模型后可能使已在方程中 的变量变得不重要的缺点，同时吸收了向后剔除的作法。即 在逐步选择过程中，把经 F 检验有意义的变量引入方程后， 又对已在方程中的自变量进行一次关于剔除的 F 检验，保留 有统计学意义的变量，而剔除无统计学意义的变量。反复进 行引入、剔除过程，直到既没有变量被引入，也没有变量被 剔除为止。
bj为自变量Xj 的偏回归系数（partial regression coefficient），是βj的估计值，表示当方程中其他 自变量保持常量时，自变量Xj变化一个计量单位, 反应变量Y的平均值变化的单位数。
X
* i
Xi Si
Xi
标准化偏回归系数（standardized partial regression coefficient），又称为通径系数（path coefficient）。标准化偏回归系数b’j较大的自变 量在数值上对反应变量Y的作用较大。
先指定的临界值（ Fin ）比较，如果 F < Fin 程序停止，否则将其最
大 F 值所对应的自变量引入模型；然后在有一个自变量的模型基础 上，重复以上比较过程；如此反复，每次加一个变量到模型中，直到
剩下的变量中再无一个能使其 F 值大于 Fin 值为止。
3. 后向选择 (backward selection)
R2 0.06396 0.7874 0.08123
由此说明，用包含气车流量、气温、气湿与 风速这四个自变量的回归方程可解释交通 点空气 NO 浓度变异性的 78.74%。
复相关系数(multiple correlation coefficient) R

多重回归分析-医学统计学

29
3）Pe和Ps的确定
1 Pe, Ps 需要多次选取。 2 常取0.5, 0.4,0.3, 0.2, 0.1, 0.05. 3 剔除变量的界值Ps要大于选进变量的 界值Pe
30
四、衡量回归方程的标准
采用不同的剔除变量方法，选入不同剔 除变量的标准,会得到不同的回归方程.我们 要根据实际情况，对每个变量的单独作用、 变量间的交互作用作出恰当的评价。一般 来说，当回归方程中自变量个数增加，或 多或少总能减少剩余误差，提高模型的拟 合精度，但势必导致模型的复杂性。
25
逐步回归法（stepwise selection)
将前进和后退两种方法结合起来,既 考虑引入变量又考虑剔除变量。
有两个界值，SLE，SLS 调试法：SLE,SLE常取0.5，0.1， 0.05。一般实际用时，应多次选取 调整。
注意SLE和S想

事先给定挑选自变量进入方程的P界值 （缺省值 P=0.1 ），开始方程中没有自变 量，然后，按自变量对 y 的贡献大小由大 到小依次挑选进入方程，每选入一个变量， 都要对已在模型中的变量进行检验，对大 于剔除标准的变量要逐一剔除。
8
2）多重回归方程的建立
1) 求回归系数 常用最小二乘估计的方法求解待定系数 b0 和偏回归系数b1、b2……bp。
9
最小二乘原理
2 ˆ Q ( y i yi ) i 1 n
最小
则：
1 ˆ b j j ( ) Y


2）回归方程的检验 由样本计算得到的回归方程是总体回归 的估计。多重回归方程有没有意义需要作 假设检验。 采用的是方差分析。
试分析汽车流量，气温，空气湿度，风速 与大气污染物一氧化氮NO浓度关系。
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医学统计学多重线性回归分析
多重线性回归分析是一种用于确定多个自变量与一个因变量之间关系的统计方法。

在医学研究中，多重线性回归可以用于探讨多个潜在因素对人体健康和疾病发生的影响。

在多重线性回归中，因变量是要被预测或解释的变量，而自变量是可以用来预测或解释因变量的变量。

医学研究中可能存在多个自变量，因为人体健康和疾病发生是受多个因素综合影响的。

多重线性回归分析可以帮助我们确定每个自变量对因变量的相对重要性，并估计它们的效应。

多重线性回归模型可以表示为：
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε
其中，Y是因变量，X1,X2,...,Xn是自变量，β0,β1,β2,...,βn 是模型的回归系数，ε是误差项。

多重线性回归分析的目标是通过估计回归系数来确定自变量对因变量的影响。

回归系数表示自变量单位变化对因变量的影响程度。

通过检验回归系数的显著性，可以判断自变量是否对因变量有统计上显著的影响。

此外，回归系数的符号可以指示自变量与因变量之间的正向或负向关系。

多重线性回归分析的步骤如下：
1.收集数据：收集包括因变量和自变量的数据，通常需要足够的样本量来保证结果的可靠性。

2.数据清洗：对数据进行初步的清洗和整理，包括处理缺失值、异常值和离群值等。

3.模型构建：根据研究目的和理论背景选择自变量，并构建多重线性
回归模型。

4.模型估计：通过最小二乘法估计回归系数。

最小二乘法通过最小化
观测值与模型预测值之间的差异来确定回归系数。

5.模型诊断：对模型进行诊断检验，包括检验残差的正态性、线性性、同方差性等。

如果模型不符合假设条件，需要进行适当的修正。

6.结果解释：通过回归系数的显著性和效应大小来解释结果，确定自
变量的影响和重要性。

多重线性回归分析常用的统计指标包括回归系数、标准误、P值和决
定系数。

回归系数表示自变量单位变化对因变量的平均影响。

标准误表示
回归系数的估计精度。

P值表示回归系数是否统计显著，一般认为P值小
于0.05为显著。

决定系数表示模型对因变量变异的解释程度，范围在0
到1之间，越接近1表示模型拟合效果越好。

总之，多重线性回归分析是一种在医学研究中常用的方法，可以帮助
我们理解多个因素对人体健康和疾病的影响。

通过建立和解释多重线性回
归模型，可以为医学决策提供科学依据，并进一步深入研究相关因素的作
用机制。