多元(重)线性回归分析

多元线性回归分析范例多元线性回归是一种用于预测因变量和多个自变量之间关系的统计分析方法。

它假设因变量与自变量之间存在线性关系，并通过拟合一个多元线性模型来估计因变量的值。

在本文中，我们将使用一个实际的数据集来进行多元线性回归分析的范例。

数据集介绍：我们选取的数据集是一份汽车销售数据，包括了汽车的价格（因变量）和多个与汽车相关的特征（自变量），如车龄、行驶里程、汽车品牌等。

我们的目标是通过这些特征来预测汽车的价格。

数据集包括了100个样本。

数据集的构成如下：车龄（年），行驶里程（万公里），品牌，价格（万元）----------------------------------------5，10，A，153，5，B，207，12，C，10...，...，...，...建立多元线性回归模型：我们首先需要将数据集划分为自变量矩阵X和因变量向量y。

其中，自变量矩阵X包括了车龄、行驶里程和品牌等特征，因变量向量y包括了价格。

在Python中，我们可以使用NumPy和Pandas库来处理和分析数据。

我们可以使用Pandas的DataFrame来存储数据集，并使用NumPy的polyfit函数来拟合多元线性模型。

首先，我们导入所需的库并读取数据集：```pythonimport pandas as pdimport numpy as np#读取数据集data = pd.read_csv('car_sales.csv')```然后，我们将数据集划分为自变量矩阵X和因变量向量y：```python#划分自变量矩阵X和因变量向量yX = data[['车龄', '行驶里程', '品牌']]y = data['价格']```接下来，我们使用polyfit函数来拟合多元线性模型。

我们将自变量矩阵X和因变量向量y作为输入，并指定多项式的次数（线性模型的次数为1）：```python#拟合多元线性模型coefficients = np.polyfit(X, y, deg=1)```最后，我们可以使用拟合得到的模型参数来预测新的样本。

简介多元线性回归分析是一种统计技术，用于评估两个或多个自变量与因变量之间的关系。

它被用来解释基于自变量变化的因变量的变化。

这种技术被广泛用于许多领域，包括经济学、金融学、市场营销和社会科学。

在这篇文章中，我们将详细讨论多元线性回归分析。

我们将研究多元线性回归分析的假设，它是如何工作的，以及如何用它来进行预测。

最后，我们将讨论多元线性回归分析的一些限制，以及如何解决这些限制。

多元线性回归分析的假设在进行多元线性回归分析之前，有一些假设必须得到满足，才能使结果有效。

这些假设包括。

1）线性。

自变量和因变量之间的关系必须是线性的。

2）无多重共线性。

自变量之间不应高度相关。

3）无自相关性。

数据集内的连续观测值之间不应该有任何相关性。

4）同质性。

残差的方差应该在自变量的所有数值中保持不变。

5）正态性。

残差应遵循正态分布。

6）误差的独立性。

残差不应相互关联，也不应与数据集中的任何其他变量关联。

7）没有异常值。

数据集中不应有任何可能影响分析结果的异常值。

多重线性回归分析如何工作？多元线性回归分析是基于一个简单的数学方程，描述一个或多个自变量的变化如何影响因变量（Y）的变化。

这个方程被称为"回归方程"，可以写成以下形式。

Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε 其中Y是因变量；X1到Xn是自变量；β0到βn是系数；ε是代表没有被任何自变量解释的随机变化的误差项（也被称为"噪音"）。

系数（β0到βn）表示当所有其他因素保持不变时（即当所有其他自变量保持其平均值时），每个自变量对Y的变化有多大贡献。

例如，如果X1的系数为0.5，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即当所有其他独立变量保持其平均值时），X1每增加一单位，Y就会增加0.5单位。

同样，如果X2的系数为-0.3，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即所有其他独立变量保持其平均值时），X2每增加一个单位，Y就会减少0.3个单位。

统计学中的回归分析方法回归分析是统计学中经常被使用的一种方法，它用于研究两个或多个变量之间的关系。

通过回归分析，我们可以预测一个变量如何随着其他变量的变化而变化，或者确定变量之间的因果关系。

在本文中，我将介绍几种常见的回归分析方法，帮助读者更好地理解和应用这一统计学方法。

一、简单线性回归分析简单线性回归分析是回归分析的最基本形式。

它适用于只涉及两个变量的场景，并且假设变量之间的关系可以用一条直线来描述。

在进行简单线性回归分析时，我们需要收集一组观测数据，并使用最小二乘法来拟合直线模型，从而得到最优的回归方程。

通过该方程，我们可以根据自变量的取值预测因变量的值，或者评估自变量对因变量的影响程度。

二、多元线性回归分析多元线性回归分析扩展了简单线性回归模型，允许多个自变量同时对因变量进行解释和预测。

当我们要考察一个因变量与多个自变量之间的复杂关系时，多元线性回归分析是一种有力的工具。

在进行多元线性回归分析时，我们需收集多组观测数据，并建立一个包含多个自变量的回归模型。

通过拟合最优的回归方程，我们可以分析每个自变量对因变量的影响，进一步理解变量之间的关系。

三、逻辑回归分析逻辑回归分析是回归分析的一种特殊形式，用于处理因变量为二元变量（如真与假）时的回归问题。

逻辑回归分析的目标是根据自变量的取值，对因变量的分类进行概率预测。

逻辑回归模型是通过将线性回归模型的输出映射到一个概率区间（通常为0到1）来实现的。

逻辑回归在实际应用中非常广泛，如市场预测、医学诊断等领域。

四、岭回归分析岭回归是一种用于解决多重共线性问题的回归分析方法。

多重共线性指多个自变量之间存在高度相关性的情况，这会导致回归分析结果不稳定。

岭回归通过在最小二乘法的基础上加入一个惩罚项，使得回归系数的估计更加稳定。

岭回归分析的目标是获得一个优化的回归方程，从而在存在多重共线性的情况下提高预测准确度。

五、非线性回归分析在某些情况下，变量之间的关系不是线性的，而是呈现出曲线或其他非线性形态。

回归分析方法总结全面回归分析是一种常用的统计分析方法，用于建立一个或多个自变量与因变量之间的关系模型，并进行预测和解释。

在许多研究领域和实际应用中，回归分析被广泛使用。

下面是对回归分析方法的全面总结。

1.简单线性回归分析：简单线性回归分析是最基本的回归分析方法之一，用于建立一个自变量和一个因变量之间的线性关系模型。

它的方程为Y=a+bX，其中Y是因变量，X是自变量，a是截距，b是斜率。

通过最小二乘法估计参数a和b，可以用于预测因变量的值。

2. 多元线性回归分析：多元线性回归分析是在简单线性回归的基础上扩展的方法，用于建立多个自变量和一个因变量之间的线性关系模型。

它的方程为Y = a + b1X1 + b2X2 + ... + bnXn，其中n是自变量的个数。

通过最小二乘法估计参数a和bi，可以用于预测因变量的值。

3.对数线性回归分析：对数线性回归分析是在简单线性回归或多元线性回归的基础上，将自变量或因变量取对数后建立的模型。

这种方法适用于因变量和自变量之间呈现指数关系的情况。

对数线性回归分析可以通过最小二乘法进行参数估计，并用于预测因变量的对数。

4.多项式回归分析：多项式回归分析是在多元线性回归的基础上，将自变量进行多项式变换后建立的模型。

它可以用于捕捉自变量和因变量之间的非线性关系。

多项式回归分析可以通过最小二乘法估计参数，并进行预测。

5.非线性回归分析：非线性回归分析是一种更一般的回归分析方法，用于建立自变量和因变量之间的非线性关系模型。

这种方法可以适用于任意形式的非线性关系。

非线性回归分析可以通过最小二乘法或其他拟合方法进行参数估计，用于预测因变量的值。

6.逐步回归分析：逐步回归分析是一种变量选择方法，用于确定最重要的自变量对因变量的解释程度。

它可以帮助选择最佳的自变量组合，建立最合适的回归模型。

逐步回归分析可以根据其中一种准则（如逐步回归F检验、最大似然比等）逐步添加或删除自变量，直到最佳模型被找到为止。

SPSS—回归—多元线性回归结果分析（二）2011-10-27 14:44，最近一直很忙，公司的潮起潮落，就好比人生的跌岩起伏，眼看着一步步走向衰弱，却无能为力，也许要学习“步步惊心”里面“四阿哥”的座右铭：“行到水穷处”，”坐看云起时“。

接着上一期的“多元线性回归解析”里面的内容，上一次，没有写结果分析，这次补上，结果分析如下所示：结果分析1：由于开始选择的是“逐步”法，逐步法是“向前”和“向后”的结合体，从结果可以看出，最先进入“线性回归模型”的是“price in thousands"建立了模型1，紧随其后的是“Wheelbase"建立了模型2，所以，模型中有此方法有个概率值，当小于等于0.05时，进入“线性回归模型”（最先进入模型的，相关性最强，关系最为密切）当大于等 0.1时，从“线性模型中”剔除结果分析：1：从“模型汇总”中可以看出，有两个模型，（模型1和模型2）从R2 拟合优度来看，模型2的拟合优度明显比模型1要好一些（0.422>0.300）2：从“Anova"表中，可以看出“模型2”中的“回归平方和”为115.311，“残差平方和”为153.072，由于总平方和= 回归平方和+残差平方和，由于残差平方和(即指随即误差，不可解释的误差）由于“回归平方和”跟“残差平方和”几乎接近，所有，此线性回归模型只解释了总平方和的一半，3：根据后面的“F统计量”的概率值为0.00，由于0.00<0.01，随着“自变量”的引入，其显著性概率值均远小于 0.01，所以可以显著地拒绝总体回归系数为0的原假设，通过ANOVA方差分析表可以看出“销售量”与“价格”和“轴距”之间存在着线性关系，至于线性关系的强弱，需要进一步进行分析。

结果分析：1：从“已排除的变量”表中，可以看出：“模型2”中各变量的T检的概率值都大于“0.05”所以，不能够引入“线性回归模型”必须剔除。

多元线性回归分析的参数估计方法多元线性回归是一种常用的数据分析方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。

在多元线性回归中，参数估计方法有多种，包括最小二乘估计、最大似然估计和贝叶斯估计等。

本文将重点讨论多元线性回归中的参数估计方法。

在多元线性回归中，最常用的参数估计方法是最小二乘估计（Ordinary Least Squares,OLS）。

最小二乘估计是一种求解最优参数的方法，通过最小化残差平方和来估计参数的取值。

具体而言，对于给定的自变量和因变量数据，最小二乘估计方法试图找到一组参数，使得预测值与观测值之间的残差平方和最小。

这样的估计方法具有几何和统计意义，可以用来描述变量之间的线性关系。

最小二乘估计方法有一系列优良的性质，比如无偏性、一致性和有效性。

其中，无偏性是指估计值的期望等于真实参数的值，即估计值不会出现系统性的偏差。

一致性是指当样本容量趋近无穷时，估计值趋近于真实参数的值。

有效性是指最小二乘估计具有最小的方差，即估计值的波动最小。

这些性质使得最小二乘估计成为了多元线性回归中最常用的参数估计方法。

然而，最小二乘估计方法在面对一些特殊情况时可能会出现问题。

比如，当自变量之间存在多重共线性时，最小二乘估计的解不存在或不唯一。

多重共线性是指自变量之间存在较高的相关性，导致在估计回归系数时出现不稳定或不准确的情况。

为了解决多重共线性问题，可以采用一些技术手段，如主成分回归和岭回归等。

另外一个常用的参数估计方法是最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation,MLE）。

最大似然估计方法试图找到一组参数，使得给定样本观测值的条件下，观测到这些值的概率最大。

具体而言，最大似然估计方法通过构建似然函数，并对似然函数求导，找到能够最大化似然函数的参数取值。

最大似然估计方法在一定条件下具有良好的性质，比如一致性和渐近正态分布。

但是，在实际应用中，最大似然估计方法可能存在计算复杂度高、估计值不唯一等问题。

线性回归与多元回归线性回归和多元回归是统计学中常用的预测分析方法。

它们在经济学、社会学、医学、金融等领域中广泛应用。

本文将对线性回归和多元回归进行简要介绍，并比较它们的异同点及适用范围。

一、线性回归线性回归分析是一种利用自变量（或称解释变量）与因变量（或称响应变量）之间线性关系建立数学模型的方法。

其基本形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y代表因变量，X1至Xn代表自变量，β0至βn为待估计的回归系数，ε代表随机误差。

目标是通过最小化误差平方和，估计出最优的回归系数。

线性回归的优点在于模型简单、易于解释和计算。

然而，线性回归的局限性在于它适用于解释变量与响应变量存在线性关系的情况，并且需要满足一些假设条件，如误差项服从正态分布、误差项方差相等等。

二、多元回归多元回归是线性回归的扩展，通过引入多个自变量来建立回归模型。

其基本形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε与线性回归类似，多元回归也是通过估计回归系数来建立模型，使得预测值与实际观测值的误差最小化。

多元回归相比于线性回归的优点是能够考虑多个自变量对因变量的影响，更符合实际问题的复杂性。

例如，预测一个人的身高可以同时考虑性别、年龄、体重等多个因素。

然而，多元回归的缺点也是显而易见的，引入更多的自变量可能导致模型过于复杂，产生多重共线性等问题，同时样本的数量和质量也对多元回归的效果有重要影响。

三、线性回归与多元回归的比较1. 模型形式线性回归和多元回归的模型形式非常相似，都是以自变量和回归系数之间的线性组合来预测因变量。

多元回归可以看作是线性回归的一种特殊情况，即自变量只有一个的情况。

2. 自变量个数线性回归只能处理一个自变量的情况，而多元回归则可以同时处理多个自变量。

多元回归相比于线性回归具有更强的灵活性和准确性。

3. 模型解释线性回归的模型相对较为简单，容易解释和理解。

多元线性回归分析及其应用一、本文概述《多元线性回归分析及其应用》这篇文章旨在深入探讨多元线性回归分析的基本原理、方法以及在实际应用中的广泛运用。

文章首先将对多元线性回归分析的基本概念进行阐述，包括其定义、特点以及与其他统计分析方法的区别。

随后，文章将详细介绍多元线性回归分析的数学模型、参数估计方法以及模型的检验与优化。

在介绍完多元线性回归分析的基本理论后，文章将重点探讨其在各个领域的应用。

通过具体案例分析，展示多元线性回归分析在解决实际问题中的强大作用，如经济预测、市场研究、医学统计等。

文章还将讨论多元线性回归分析在实际应用中可能遇到的问题，如多重共线性、异方差性等，并提出相应的解决方法。

文章将对多元线性回归分析的发展趋势进行展望，探讨其在大数据时代背景下的应用前景以及面临的挑战。

通过本文的阅读，读者可以全面了解多元线性回归分析的基本理论、方法以及实际应用，为相关领域的研究与实践提供有力支持。

二、多元线性回归分析的基本原理多元线性回归分析是一种预测性的建模技术，它研究的是因变量（一个或多个）和自变量（一个或多个）之间的关系。

这种技术通过建立一个包含多个自变量的线性方程，来预测因变量的值。

这个方程描述了因变量如何依赖于自变量，并且提供了自变量对因变量的影响的量化估计。

在多元线性回归分析中，我们假设因变量和自变量之间存在线性关系，即因变量可以表示为自变量的线性组合加上一个误差项。

这个误差项表示了模型中未能解释的部分，通常假设它服从某种概率分布，如正态分布。

多元线性回归模型的参数估计通常通过最小二乘法来实现。

最小二乘法的基本思想是通过最小化预测值与实际值之间的残差平方和来求解模型的参数。

这个过程可以通过数学上的最优化方法来完成，例如梯度下降法或者正规方程法。

除了参数估计外，多元线性回归分析还需要进行模型的诊断和验证。

这包括检查模型的拟合优度（如R方值）、检验自变量的显著性（如t检验或F检验）、评估模型的预测能力（如交叉验证）以及检查模型的假设是否成立（如残差的正态性、同方差性等）。

多元回归分析结果解读一、多元回归分析简介用回归方程定量地刻画一个应变量与多个自变量间的线性依存关系,称为多元回归分析（multiple linear regression),简称多元回归(multiple regression)。

多元回归分析是多变量分析的基础，也是理解监督类分析方法的入口！实际上大部分学习统计分析和市场研究的人的都会用回归分析，操作也是比较简单的，但能够知道多元回归分析的适用条件或是如何将回归应用于实践，可能还要真正领会回归分析的基本思想和一些实际应用手法！回归分析的基本思想是：虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系，但可以设法找出最能代表它们之间关系的数学表达形式。

二、多元回归线性分析的运用具体地说，多元线性回归分析主要解决以下几方面的问题。

（1）确定几个特定的变量之间是否存在相关关系，如果存在的话，找出它们之间合适的数学表达式；（2）根据一个或几个变量的值，预测或控制另一个变量的取值，并且可以知道这种预测或控制能达到什么样的精确度；（3）进行因素分析。

例如在对于共同影响一个变量的许多变量（因素）之间，找出哪些是重要因素，哪些是次要因素，这些因素之间又有什么关系等等。

在运用多元线性回归时主要需要注意以下几点：首先，多元回归分析应该强调是多元线性回归分析！强调线性是因为大部分人用回归都是线性回归，线性的就是直线的，直线的就是简单的，简单的就是因果成比例的；理论上讲，非线性的关系我们都可以通过函数变化线性化，就比如：Y=a+bLnX，我们可以令t=LnX，方程就变成了Y=a+bt，也就线性化了。

第二，线性回归思想包含在其它多变量分析中，例如：判别分析的自变量实际上是回归，尤其是Fisher线性回归方程；Logistics回归的自变量也是回归，只不过是计算线性回归方程的得分进行了概率转换；甚至因子分析和主成分分析最终的因子得分或主成分得分也是回归算出来的；当然，还有很多分析最终也是回归思想！第三：什么是“回归”，回归就是向平均靠拢。

统计学中的回归分析方法回归分析是一种常用的统计学方法，旨在分析变量之间的关系并预测一个变量如何受其他变量的影响。

回归分析可以用于描述和探索变量之间的关系，也可以应用于预测和解释数据。

在统计学中，有多种回归分析方法可供选择，本文将介绍其中几种常见的方法。

一、简单线性回归分析方法简单线性回归是最基本、最常见的回归分析方法。

它探究了两个变量之间的线性关系。

简单线性回归模型的方程为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是残差项。

简单线性回归的目标是通过拟合直线来最小化残差平方和，从而找到最佳拟合线。

二、多元线性回归分析方法多元线性回归是简单线性回归的扩展形式，适用于多个自变量与一个因变量之间的关系分析。

多元线性回归模型的方程为：Y = β0 +β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中X1, X2, ..., Xn是自变量，β0, β1,β2, ..., βn是回归系数，ε是残差项。

多元线性回归的目标是通过拟合超平面来最小化残差平方和，从而找到最佳拟合超平面。

三、逻辑回归分析方法逻辑回归是一种广义线性回归模型，主要用于处理二分类问题。

逻辑回归将线性回归模型的输出通过逻辑函数（如Sigmoid函数）映射到概率范围内，从而实现分类预测。

逻辑回归模型的方程为：P(Y=1|X) =1 / (1 + exp(-β0 - β1X))，其中P(Y=1|X)是给定X条件下Y=1的概率，β0和β1是回归系数。

逻辑回归的目标是通过最大似然估计来拟合回归系数，从而实现对未知样本的分类预测。

四、岭回归分析方法岭回归是一种用于处理多重共线性问题的回归分析方法。

多重共线性是指自变量之间存在高度相关性，这会导致估计出的回归系数不稳定。

岭回归通过在最小二乘法的目标函数中引入一个正则化项（L2范数），从而降低回归系数的方差。

岭回归模型的方程为：Y = β0 +β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε + λ∑(β^2)，其中λ是正则化参数，∑(β^2)是回归系数的平方和。

多元线性回归分析多元线性回归分析是一种常用的统计方法，用于研究多个自变量与因变量之间的关系。

它可以帮助我们理解多个因素对于一个目标变量的影响程度，同时也可以用于预测和解释因变量的变化。

本文将介绍多元线性回归的原理、应用和解读结果的方法。

在多元线性回归分析中，我们假设因变量与自变量之间存在线性关系。

具体而言，我们假设因变量是自变量的线性组合，加上一个误差项。

通过最小二乘法可以求得最佳拟合直线，从而获得自变量对因变量的影响。

多元线性回归分析的第一步是建立模型。

我们需要选择一个合适的因变量和若干个自变量，从而构建一个多元线性回归模型。

在选择自变量时，我们可以通过领域知识、经验和统计方法来确定。

同时，我们还需要确保自变量之间没有高度相关性，以避免多重共线性问题。

建立好模型之后，我们需要对数据进行拟合，从而确定回归系数。

回归系数代表了自变量对因变量的影响大小和方向。

通过最小二乘法可以求得使残差平方和最小的回归系数。

拟合好模型之后，我们还需要进行模型检验，以评估模型拟合的好坏。

模型检验包括对回归方程的显著性检验和对模型的拟合程度进行评估。

回归方程的显著性检验可以通过F检验来完成，判断回归方程是否显著。

而对模型的拟合程度进行评估可以通过判断决定系数R-squared的大小来完成。

解读多元线性回归结果时，首先需要看回归方程的显著性检验结果。

如果回归方程显著，说明至少一个自变量对因变量的影响是显著的。

接下来，可以观察回归系数的符号和大小，从中判断自变量对因变量的影响方向和相对大小。

此外，还可以通过计算标准化回归系数来比较不同自变量对因变量的相对重要性。

标准化回归系数表示自变量单位变化对因变量的单位变化的影响程度，可用于比较不同变量的重要性。

另外，决定系数R-squared可以用来评估模型对观测数据的拟合程度。

R-squared的取值范围在0到1之间，越接近1说明模型对数据的拟合越好。

但需要注意的是，R-squared并不能反映因果关系和预测能力。

你应该要掌握的7种回归分析方法回归分析是一种常用的数据分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。

在实际应用中，有许多不同的回归分析方法可供选择。

以下是应该掌握的7种回归分析方法：1. 简单线性回归分析(Simple Linear Regression)：简单线性回归是回归分析中最简单的方法之一、它是一种用于研究两个变量之间关系的方法，其中一个变量是自变量，另一个变量是因变量。

简单线性回归可以用来预测因变量的值，基于自变量的值。

2. 多元线性回归分析(Multiple Linear Regression)：多元线性回归是在简单线性回归的基础上发展起来的一种方法。

它可以用来研究多个自变量与一个因变量之间的关系。

多元线性回归分析可以帮助我们确定哪些自变量对于因变量的解释最为重要。

3. 逻辑回归(Logistic Regression)：逻辑回归是一种用于预测二分类变量的回归分析方法。

逻辑回归可以用来预测一个事件发生的概率。

它的输出是一个介于0和1之间的概率值，可以使用阈值来进行分类。

4. 多项式回归(Polynomial Regression)：多项式回归是回归分析的一种扩展方法。

它可以用来研究变量之间的非线性关系。

多项式回归可以将自变量的幂次作为额外的变量添加到回归模型中。

5. 岭回归(Ridge Regression)：岭回归是一种用于处理多重共线性问题的回归分析方法。

多重共线性是指自变量之间存在高度相关性的情况。

岭回归通过对回归系数进行惩罚来减少共线性的影响。

6. Lasso回归(Lasso Regression)：Lasso回归是另一种可以处理多重共线性问题的回归分析方法。

与岭回归不同的是，Lasso回归通过对回归系数进行惩罚，并使用L1正则化来选择最重要的自变量。

7. Elastic Net回归(Elastic Net Regression)：Elastic Net回归是岭回归和Lasso回归的结合方法。

第二篇回归分析与相关分析第5章多元线性回归分析在现实地理系统中，任何事物的变化都是多种因素影响的结果，一因多果、一果多因、多果多因的情况比比皆是。

以全球变化为例，过去一直以为地球气候变暖是由于二氧化碳的温室效应造成，但近年来有人指出水蒸汽是更重要的影响因素，二氧化碳只不过是一个“帮凶”。

如果这种观点成立，则气候变暖至少有两个原因：水蒸汽和二氧化碳。

为了处理诸如此类一果多因的因果关系问题，我们需要掌握多元线性回归知识。

至于多果多因的情况，需要借助典型相关分析或者多元多重线性回归分析技术。

多元线性回归的最小二乘拟合思路与一元线性回归相似，但有关数学过程要复杂得多。

对于一元线性回归，F 检验、t检验都与相关系数检验等价；对应多元线性回归，F检验、t检验与相关系数检验没有关系，而且相关系数分析要麻烦多了。

为了简明起见，本章着重讲述二元线性回归分析。

至于三元以上，基本原理可以依此类推。

§5.1 因果关系与基本模型5.1.1 因果关系对于我们上一章讲到的实例，山上积雪深度影响山下灌溉面积。

如果灌溉面积单纯取决于山上的积雪量，这个问题就比较简单，它们之间构成通常意义的简单因果关系——一因一果关系。

在这种情况下进行回归分析、建立数学模型是有意义的。

另一类现象就是诸如街头的裙子和身边的蚊子之类，它们属于共同反应（common response），或者叫做共变反映，建立回归模型没有统计意义。

但是，这并不是说，研究共变现象就没有任何科学意义。

共同反应属于一因多果的问题，探查共同反应的现象有助于我们揭示事物发生的原因。

举个简单的例子，如果在某个山区发源了两条河流，分别流向不同的海洋。

两条河流不会相互影响。

如果在某段时期下游的观测记录表明两条河流的水位同时持续上涨，那就说明一个问题，河流发源的山区下雨或者积雪融化。

这类问题在地理研究中比比皆是。

由于地球的万事万物或多或少都要受到天体的影响，一些原本相对独立的地理事物表面上形成了数据的相关关系，深究之后才发现它们共同的根源在于天文因素。