二元一次方程组解法：消元法

二元一次方程组解法（一）--代入法（基础）知识讲解【学习目标】1.理解消元的思想；2.会用代入法解二元一次方程组.【要点梳理】要点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数.这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组1．（2015•贵阳）用代入法解方程组：的解为．【思路点拨】直接将下面的式子代入上面的式子，化简整理即可.【答案与解析】解：解，把②代入①得x+2=12，∴x=10，∴．故答案为：．【总结升华】当方程组中出现一个未知量代替另一个未知量的方程时，一般用直接代入法解方程组.举一反三：【变式】若方程y＝1－x的解也是方程3x＋2y＝5的解，则x＝____，y＝____.【答案】3，﹣2.2.用代入法解二元一次方程组：524050x y x y --=⎧⎨+-=⎩①②【思路点拨】观察两个方程的系数特点，可以发现方程②中x 的系数为1，所以把方程②中的x 用y 来表示，再代入①中即可.【答案与解析】解：由②得x＝5-y ③将③代入①得5(5-y)-2y-4＝0，解得：y＝3，把y＝3代入③，得x＝5-y＝5-3＝2所以原方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩．【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．举一反三：【变式1】与方程组2020x y x y +-=⎧⎨+=⎩有完全相同的解的是（）A．x+y－2=0B．x+2y=0C．(x+y－2)(x+2y)=0D．22(2)0x y x y +-++=【答案】D【变式2】若∣x－2y＋1∣＋(x＋y－5)2＝0，则x=，y=.【答案】3,2.类型二、由解确定方程组中的相关量3.（2016•莆田模拟）已知关于x，y 的二元一次方程组的解互为相反数，求k 的值．【思路点拨】将x=-y 代入第二个方程，解出y 的值，再代入上面的方程可得k 值.【答案与解析】解：，将x=-y 代入②得：-y+2y =﹣1，∴y=﹣1，∴x=1，将x=1，y=﹣1代入①得，k=1．【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．举一反三：【变式】（2015•昆山市二模）已知是二元一次方程组的解，则m﹣n 的值是．【答案】4解：把代入方程得：，解得：m=1，n=﹣3，则m﹣n=1﹣（﹣3）=1+3=4．4.若方程组ax+by=11(5-a)x-2by+14=0⎧⎨⎩的解为14x y =⎧⎨=⎩，试求a b 、的值.【答案与解析】解：将14x y =⎧⎨=⎩代入得a+4b=11(5-a)-2b 4+14=0⎧⎨⨯⎩，即a+4b=11a+8b=19⎧⎨⎩，解得a=3b=2⎧⎨⎩.【总结升华】将已知解代入原方程组得关于a b 、的方程组，再解关于a b 、方程组得a b 、的值.。

初中数学知识点二元一次方程的解法二元一次方程是初中数学中的重要知识点之一，解二元一次方程的方法有多种。

本文将介绍三种常用的解法，分别是图像法、代入法和消元法。

1. 图像法图像法是一种直观的解方程方法，适用于解二元一次方程组。

我们可以将二元一次方程组的解看作是两个直线的交点坐标。

例如，考虑下面的方程组：2x + 3y = 73x - y = 5我们可以将这两个方程转化为两个直线的方程，绘制出它们的图像。

通过观察两个直线的交点，我们可以得到方程组的解。

2. 代入法代入法是一种常用的解二元一次方程的方法。

该方法适用于含有一个未知数的方程，可以将一个方程的解代入到另一个方程中，得到另一个只含有一个未知数的方程，然后解得该未知数的值，进而求得另一个未知数的值。

例如，考虑下面的方程组：2x + y = 53x - 2y = 8可以解得其中一个未知数，例如令 y = 5 - 2x，将其代入到第二个方程中，则得到3x - 2(5 - 2x) = 8，整理后得到7x = 18，解得 x = 18/7。

然后将 x 的值代入到第一个方程中，得到2(18/7) + y = 5，整理后得到y = 11/7，解得 y = 11/7。

3. 消元法消元法是一种通过加减运算来求解二元一次方程组的方法。

通过合理地调整两个方程的系数，使得其中一个未知数的系数相等或相反，然后相加或相减得到一个只含有一个未知数的方程，进而解得这个未知数的值，再带入另一个方程求得另一个未知数的值。

例如，考虑下面的方程组：2x + 3y = 73x - 2y = 8可以通过调整两个方程的系数，使得其中一个未知数的系数相等或相反。

这里我们可以将第一个方程的系数调整为6，将第二个方程的系数调整为-6，即得到：6(2x + 3y) = 6(7)-6(3x - 2y) = -6(8)整理后得到：12x + 18y = 42-18x + 12y = -48将两个方程相加，得到：-6x + 30y = -6解方程-6x + 30y = -6，可以得到 x 的值为 1。

二元一次方程的解法二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

1.消元解法“消元”是解二元一次方程组的基本思路。

所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元多次方程再解出未知数。

这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的解法，叫做消元解法。

代入消元法（1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解.。

这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法。

（2）代入法解二元一次方程组的步骤①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）。

2．加减消元法（1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.（2）加减法解二元一次方程组的步骤①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）。

消元法解二‎元一次方程‎组的概念、步骤与方法‎湖南李琳高明生一、概念步骤与‎方法：1.由二元一次‎方程组中一‎个方程，将一个未知‎数用含另一‎未知数的式‎子表示出来‎，再代入另一‎方程，实现消元，进而求得这‎个二元一次‎方程组的解‎.这种方法叫‎做代入消元‎法，简称代入法‎.2.用代入消元‎法解二元一‎次方程组的‎步骤：（1）从方程组中‎选取一个系‎数比较简单‎的方程，把其中的某‎一个未知数‎用含另一个‎未知数的式‎子表示出来‎.（2）把（1）中所得的方‎程代入另一‎个方程，消去一个未‎知数.（3）解所得到的‎一元一次方‎程，求得一个未‎知数的值.（4）把所求得的‎一个未知数‎的值代入（1）中求得的方‎程，求出另一个‎未知数的值‎，从而确定方‎程组的解.注意：⑴运用代入法‎时，将一个方程‎变形后，必须代入另‎一个方程，否则就会得‎出“0＝0”的形式，求不出未知‎数的值.⑵当方程组中‎有一个方程‎的一个未知‎数的系数是‎1或－1时，用代入法较‎简便.3.两个二元一‎次方程中同‎一未知数的‎系数相反或‎相等时，将两个方程‎的两边分别‎相加或相减‎，就能消去这‎个未知数，得到一个一‎元一次方程‎，这种方法叫‎做加减消元‎法，简称加减法‎。

用加减消元‎法解二元一‎次方程组的‎基本思路仍‎然是“消元”.4.用加减法解‎二元一次方‎程组的一般‎步骤:第一步:在所解的方‎程组中的两‎个方程,如果某个未‎知数的系数‎互为相反数‎,•可以把这两‎个方程的两‎边分别相加‎,消去这个未‎知数;如果未知数‎的系数相等‎,•可以直接把‎两个方程的‎两边相减,消去这个未‎知数.第二步:如果方程组‎中不存在某‎个未知数的‎系数绝对值‎相等,那么应选出‎一组系数(选最小公倍‎数较小的一‎组系数),求出它们的‎最小公倍数‎(如果一个系‎数是另一个‎系数的整数‎倍,该系数即为‎最小公倍数‎),然后将原方‎程组变形,使新方程组‎的这组系数‎的绝对值相‎等(都等于原系‎数的最小公‎倍数),再加减消元‎.第三步:对于较复杂‎的二元一次‎方程组,应先化简(去分母,去括号,•合并同类项‎等),通常要把每‎个方程整理‎成含未知数‎的项在方程‎的左边,•常数项在方‎程的右边的‎形式,再作如上加‎减消元的考‎虑.注意：⑴当两个方程‎中同一未知‎数的系数的‎绝对值相等‎或成整数倍‎时，用加减法较‎简便.⑵如果所给（列）方程组较复‎杂，不易观察，就先变形（去分母、去括号、移项、合并等），再判断用哪‎种方法消元‎好.5.列方程组解‎简单的实际‎问题．解实际问题‎的关键在于‎理解题意,找出数量之‎间的相等关‎系,这里的相等‎关系应是两‎个或三个,正确的列出‎一个(或几个)方程,再组成方程‎组．6.列二元一次‎方程组解应‎用题的一般‎步骤：⑴设出题中的‎两个未知数‎；⑵找出题中的‎两个等量关‎系；⑶根据等量关‎系列出需要‎的代数式，进而列出两‎个方程，并组成方程‎组；⑷解这个方程‎组，求出未知数‎的值.⑸检验所得结‎果的正确性‎及合理性并‎写出答案.注意：对于可解的‎应用题，一般来说，有几个未知‎数，就应找出几‎个等量关系‎，从而列出几‎个方程.即未知数的‎个数应与方‎程组中方程‎的个数相等‎. 二、化归思想 所谓转化思‎想一般是指‎将新问题向‎旧问题转化‎、复杂问题向‎简单问题转‎化、未知问题向‎已知问题转‎化等等．在解二元一‎次方程中主‎要体现在运‎用“加减”和“代入”等消元的方‎法，把新问题“二元”或“三元”通过消去一‎个未知数转‎化为旧问题‎“一元”，化“未知”为“已知”，化“复杂”为“简单”，从而实现问‎题的解决，它也是解二‎元一次方程‎最基本的思‎想．三、典型例题解‎析：类型一：基本概念：例1、（2005年‎盐城大纲）若一个二元‎一次方程的‎一个解为则‎21x y =⎧⎨=-⎩，，这个方程可‎以是___‎_____‎．（只要写出一‎个）分析：本题是一道‎开放型问题‎，考查方程的‎概念，满足题意的‎答案不惟一‎，解此类题目‎时，可以先设出‎系数在代入‎算出另一边‎的值。