（完整版）二元一次方程基本概念及基本解法讲解

(word 完整版)二元一次方程组的概念和解法-教师版二元一次方程的基本概念1。

含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程。

判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”;③含有未知数的项的次数为1——“一次”。

2。

二元一次方程的一般形式：0ax by c ++=(0a ≠，0b ≠)3。

二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

一般情况下，一个二元一次方程有无数个解。

【例1】 下列各式是二元一次方程的是( ）A 。

30x y z -+=B 。

30xy y x -+=C 。

12023x y -= D 。

210y x+-=【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 【答案】故本题选C ．【巩固】下列方程是二元一次方程的是（ ）A.31x xy -= B 。

2430x x += C.23y += D.3x y =【答案】D ．【例2】 若32125m n x y ---=是二元一次方程，则求m 、n 的值.【答案】由定义知：321m -=,11n -=，所以：1m =，2n =.【巩固】已知方程11(2)2m n m x y m ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值。

【答案】根据题意可得：20m -≠,11n -=，11m -=，所以2n =，0m =.二元一次方程组的概念和解法同步练习知识讲解(word 完整版)二元一次方程组的概念和解法-教师版【例3】 若32125m n x y ---=是二元一次方程，则求m 、n 的值。

【答案】由定义知：321m -=，11n -=，所以:1m =，2n =。

【巩固】已知方程11(2)2m n m x y m ---+=是关于x 、y 的二元一次方程,求m 、n 的值。

二元一次方程组的定义及解法知识集结知识元二元一次方程（组）的定义知识讲解1. 二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。

所以满足三个条件：①方程中有且只有两个未知数；②方程中含有未知数的项的次数为1；③方程为整式方程，就是二元一次方程。

注意：主要考查未知数的项的次数为1，方程必须为整式，不能为分式。

例：x=2y.2.二元一次方程组的定义：由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组。

注意三条：①方程组中有且只有两个未知数。

②方程组中含有未知数的项的次数为1。

③方程组中每个方程均为整式方程。

注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：①方程可以超过两个；②有的方程可以只有一元。

例题精讲二元一次方程（组）的定义例1.下列方程中，是二元一次方程的是（）.A．8x2+1=y B．y=8x+1C．y=D．xy=1例2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（）.C．D．A．B．例3.有下列方程组：（1）（2）（3）（4），其中说法正确的是（）.A．只有（1）、（3）是二元一次方程组B．只有（3）、（4）是二元一次方程组C．只有（4）是二元一次方程组D．只有（2）不是二元一次方程组根据定义求字母的值知识讲解含有参数的二元一次方程组，根据二元一次方程的定义：1.二元的系数不为零。

2.未知数的次数为1。

注意：出现在选择填空题时，可以不用解出方程，可以直接将m,n的值代入验证即可。

例题精讲根据定义求字母的值例1.已知3 =y是二元一次方程，那么k的值是（）.A．2B．3C．1D．0例2.若﹣8 =10是关于x，y的二元一次方程，则m+n=．例3.'若(a-3)x+=9是关于x，y的二元一次方程，求a的值。

'由实际问题抽象出二元一次方程组知识讲解分析实际问题，找出等量关系，列出实际问题.例题精讲由实际问题抽象出二元一次方程组例1.4辆板车和5辆卡车一次能运27吨货，10辆板车和3车卡车一次能运货20吨，设每辆板车每次可运x吨货，每辆卡车每次能运y吨货，则可列方程组（）.A．B．C．D．例2.元旦期间，某服装商场按标价打折销售，小王去该商场买了两件衣服，第一件打6折，第二件打5折，共记230元，付款后，收银员发现两件衣服的标价牌换错了，又找给小王20元，请问两件衣服的原标价各是多少？解：设第一件衣服的原标价为x元，第二件衣服的原标价为y元；由题意可得方程组__________。

初一数学二元一次方程知识点总结一、二元一次方程的概念。

1. 定义。

- 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

例如：x + y=5，其中x、y是未知数，方程中x的次数是1，y的次数也是1，并且整个方程是整式方程。

2. 二元一次方程的一般形式。

- 一般形式为ax + by=c（a、b、c是常数，a≠0，b≠0）。

例如2x - 3y = 8就是这种形式，这里a = 2，b=-3，c = 8。

二、二元一次方程组的概念。

1. 定义。

- 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

例如x + y=3 2x - y = 1就是一个二元一次方程组。

2. 二元一次方程组的解。

- 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

例如对于方程组x + y=3 2x - y = 1，通过求解可得x=(4)/(3)，y=(5)/(3)，((4)/(3),(5)/(3))就是这个方程组的解，即把x=(4)/(3)，y=(5)/(3)代入方程组中的两个方程都成立。

三、二元一次方程组的解法。

1. 代入消元法。

- 步骤：- 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。

例如对于方程组x + y=3 2x - y = 1，由方程x + y=3可得x = 3 - y。

- 将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。

把x = 3 - y代入2x - y = 1，得到2(3 - y)-y = 1。

- 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。

解2(3 - y)-y = 1，6-2y -y=1，- 3y=-5，y=(5)/(3)。

- 将求得的这个未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。

把y=(5)/(3)代入x = 3 - y，得x=(4)/(3)。

2. 加减消元法。

- 步骤：- 当方程组中两个方程的同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。

初中二元一次方程知识点归纳稿子一：嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊初中二元一次方程那些事儿。

啥是二元一次方程呀？简单说，就是含有两个未知数，并且未知数的最高次数都是 1 的整式方程。

比如像 x + y = 5 这样的。

那怎么解二元一次方程呢？一般有两种常用方法，代入消元法和加减消元法。

代入消元法就像是玩拼图，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，就能求出一个未知数的值，然后再把这个值代回去，就能求出另一个未知数啦。

加减消元法呢，就是把两个方程中相同未知数的系数变得相等或者相反，然后把两个方程相加或者相减，消去一个未知数，这样就能求解啦。

还有哦，二元一次方程组的解是唯一的，如果两个方程表示的直线平行，那就没解；要是两个方程表示的直线重合，那就有无数个解。

学会解二元一次方程可重要啦，能帮咱们解决好多实际问题呢，比如计算买东西的价钱、安排工作的人数啥的。

小伙伴们，加油学，可别被二元一次方程难住哟！稿子二：哈喽呀！今天咱们好好唠唠初中二元一次方程的知识点。

先来说说二元一次方程的定义，它就像是一个有两个小伙伴一起玩耍的方程，而且这两个小伙伴的力量都是 1 级，可不能超哦。

解二元一次方程，那可是有窍门的。

比如说代入消元法，就好像是给其中一个小伙伴穿上隐身衣，让另一个小伙伴先露脸，把它算出来，再让隐身的小伙伴现身。

加减消元法也很有趣，就像是让两个小伙伴调整自己的力量，变得一样或者相反，然后一起合作或者对抗，就能把其中一个小伙伴的力量算出来啦。

再讲讲二元一次方程组的解。

要是两个方程画出的线交叉了，那就只有一个解；要是两条线并肩平行，那可就没解啦；要是两条线完全重合，那就有好多好多解，数都数不过来。

在实际生活中，二元一次方程用处可大了。

像安排座位、分配零食，都能靠它算出答案。

小伙伴们，只要用心，二元一次方程一点儿也不可怕，相信你们都能搞定它！加油哟！。

二元一次方程一、二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 注意：二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.练习1：已知下列方程，其中是二元一次方程的有________．(1)2x-5＝y ； (2)x-1＝4； (3)xy ＝3； (4)x+y ＝6； (5)2x-4y ＝7； (6)102x +=；(7)251x y +=；(8)132x y +=；(9)280x y -=；(10)462x y+=．【变式1】下列方程中，属于二元一次方程的有（ ）A.71xy -=B.2131x y -=+C.4535x y x y -=-D. 231x y-= 二、二元一次方程的解： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 注意：(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：2,5.x y =⎧⎨=⎩．(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．如：10x y +=的解可以是241,,869x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩等等练习2：二元一次方程x-2y ＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程解的是( )A ．012x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩ B ．11x y =⎧⎨=⎩ C ．10x y =⎧⎨=⎩ D ．11x y =-⎧⎨=-⎩ 【变式2】若方程24ax y -=的一个解是21x y =⎧⎨=⎩，则a= .三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.注意：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如⎩⎨⎧=-=+52013y x x 也是二元一次方程组.练习3：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A.22375(9)1x yx y⎧+=⎨+=-⎩B.2138237yxx y⎧-=⎪⎨⎪-=⎩C.135()237x z x yx z y=+-⎧⎨-=⎩D.5()()82317x y x yx y-++=⎧⎨=-+⎩（）四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.注意：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成x ay b=⎧⎨=⎩的形式．(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组2526x yx y+=⎧⎨+=⎩无解，而方程组1222x yx y+=-⎧⎨+=-⎩的解有无数个．【巩固练习】一、选择题1．下列方程中，属于二元一次方程的是（）A．xy-7＝1 B．2x-1＝3y+1 C．4x-5y＝3x-5y D．231 xy-=2．下列方程组是二元一次方程组的是（）A．53 x yz x+=⎧⎨+=⎩ B．1113xxyx⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩C．434x y xyx y-+=⎧⎨-=⎩D．12132112(2)32x yx y x y⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩3. 以31xy=⎧⎨=⎩为解建立一个二元一次方程，不正确的是（）A．3x-4y＝5 B．13x y-= C．x +2y＝-3 D．25236xy-=4. 方程组233x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是（）A．12xy=⎧⎨=⎩B．21xy=⎧⎨=⎩C．11xy=⎧⎨=⎩D．23xy=⎧⎨=⎩5.已知二元一次方程组6511327,x y y x +=⎧⎨-=⎩，　①②，下列说法正确的是（）A.适合②的,x y 的值是方程组的解①②B.适合①的,x y 的值是方程组的解C.同时适合①和②的,x y 的值不一定是方程组的解D.同时适合①和②的,x y 的值是方程组的解6. 关于,m n 的两个方程23321m n m n -=+=与的公共解是（ ）A. 03m n =⎧⎨=-⎩B. 11m n =⎧⎨=-⎩C. 012m n =⎧⎪⎨=⎪⎩ D. 122m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 二、填空题7．由x+2y ＝4，得到用y 表示x 的式子为x ＝________；得到用x 表示y 的式子为y ＝________．8.在二元一次方程组423x y x m y -=⎧⎨=-⎩中，有6x =，则_____,______.y m ==9.若22(32)0x y x -++=，则xy的值是 ． 10.若是二元一次方程的一个解，则的值是__________.11.已知，且，则___________.12.若方程ax-2y ＝4的一个解是21x y =⎧⎨=⎩，则a 的值是 . 三、解答题 13．已知23x y =⎧⎨=⎩是一个二元一次方程的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组．14.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组．（1）甲数的13比乙数的2倍少7； （2）摩托车的时速是货车的32倍，它们的速度之和是200km/h ；（3）某种时装的价格是某种皮装价格的倍，5件皮装比3件时装贵700元解二元一次方程方法1.代入消元法解二元一次方程组代入消元法解二元一次方程组的步骤有四步：（1）变形：将方程组中系数较简单的方程变形，将系数较简单的未知数用另一个未知数表示出来；（2）代入：将变形的方程代入另一个方程，这样便消去一元，求出一个未知数的值；（3）代入：将求得的未知数的值代入变形后的方程（这一点要特别注意），求出另一个 未知数的值；（4）写出方程组的解. 一般地，当方程组中某个方程的某未知数的系数绝对值是1或常数项为0时，用代入法简便．例2 解方程组 327,2 5.x y x y -=⎧⎨+=⎩①②解析：由②，得 52x y =-. ③ 将③代入①，得 3(52)27y y --=， 15627y y --=，88y -=-， 1.y = 把 1y =代入③，得 3.x =所以原方程组的解是⎩⎨⎧==.1,3y x点评：此题方程②的系数较简单，且方程②中未知数x 的系数是1，因此考虑将方程②变形，并用含y 的代数式表示x . 用代入消元法解二元一次方程组，需先观察方程组的系数特点，判断消去哪个未知数较为简单. 代入消元时，要注意所代代数式的整体性，必要时可添加括号，以避免符号错误.变式2：用代入法解方程组：34,110.42x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②方法2.加减消元法解二元一次方程组加减消元法解二元一次方程组的步骤有四步： （1）变形：使方程组中某未知数的绝对值相等；（2）加减：若某未知数的系数相等，两方程相减；若某未知数的系数互为相反数，两方程相加；这样便消去一元，求出一个未知数的值；（3）代入：将求得的未知数的值代入系数较简单的方程，求出另一未知数的值； （4）写出方程组的解.进行加减消元时，要注意做到以下几点：（1）当方程组比较复杂时，应先整理变形，把方程组整理成形如：111222,a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的形式，若此时两未知数的绝对值都不相等，则先观察哪个未知数的系数较易化为绝对值（系数的最小公倍数的绝对值）相等的形式，且计算简单，然后将其化为系数的绝对值相等的形式.（2）两个未知数的值都可采用加减消元法的方法求出.（3）当方程组中的某一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍关系时，用加减法简便．例3 解方程组：521,7316.m nm n+=⎧⎨-+=⎩①②解析：法一：①×3，②×2，得1563,14632.m nm n+=⎧⎨-+=⎩③④③-④，得29m=-29，m=-1.将m=-1代入①，得-5+2n=1，n=3.所以原方程组的解为1,3. mn=-⎧⎨=⎩法二：①×7，②×5，得35147,351580.m nm n+=⎧⎨-+=⎩③④③+④，得29n=87，n=3.把n=3代入①，得5m+6=1，m=-1.所以原方程组的解为1,3. mn=-⎧⎨=⎩点评：此题方程组中的两方程，两未知数的系数分别既不相等也不互为相反数，即绝对值不相等. 因此先将两方程分别变形，使某个未知数的系数的绝对值相等. 比较题中的两种方法，先消去系数比较简单的未知数n，解法较为简捷. 另外用加减消元法解二元一次方程组，需注意两方程相减时，符号的正确处理.练习（1）（2）（3）（4）；（5）； （6）附加题（7）（8） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-++1213222132y x y x。

第8讲二元一次方程（组）的概念和解法【学习目标】1.二元一方程（组）的概念2.二元一次方程组的基本解法3.复杂的多元一次方程组【模块一】二元一次方程组的概念在本模块我们的学习目标是：1、掌握二元一次方程概念2、掌握二元一次方程组概念3、理解方程组的解（公共解）一、二元一次方程1、定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫二元一次方程. 【例】x＋2y＝5，2x＝3y，3x＝y－2对于二元一次方程的定义可以用“三个条件一个前提”来理解：①含有两个未知数一一“二元②含有未知数的项的最高次数为1一“一次③未知数的系数不能为0前提：方程两边的代数式都是整式一一整式方程2、一般形式：二元一次方程的一般形式：ax＋by＋c＝0（a＝0，b＝0）【课堂建议】类比一元一次方程：标准式：ax＋b＝0（a≠0）3、判定：先看前提，再化一般形式易错总结（1）二元：x＋y＋z＝1，x－2＝1（2）一次：x2－x＋y＝1，xy＋x＋y＝1【袁华燕录入】(3) 系数不为0：x＋y－1＝x－y＋1，x2－x＋y－1＝x2＋x－y＋1(4) 整式方程：1x＋y＝1，1x＋x＋y＝1x【易错】x＋y－1＝x－y＋1，x2－x＋y－1＝x2＋x－y＋1，1x＋x＋y＝1x【例1】下列方程中，是二元一次方程的有哪些？①x＋3＝7；②a＋b＝0；③3a＋4t＝9；④xy－1＝0；⑤1x－y＝0；⑥x＋y＋z＝4；⑦2x2＋x＋1＝2x2＋y＋5；⑧x2＋y－6＝2x.【练1】方程2x－3y＝5,xy＝3，x＋3y－1，3x－y＋2z＝0，x2＋y＝6中是二元一次方程的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【例2】⑴己知方程x n－1＋2y|m－1|＝m关于x，y的二元—次方程，求m、n的值.⑵己知方程(a－2)x|a|－1－(b＋5)y|b|－4＝3是关于x、少的一元一次方程，求a、b的值.【练2】（1)若方程2x m－1＋y n＋m＝12是二元一次方程.则mn＝_____(2)若己知方程(k2－1)x2＋(k＋1)x＋(k－7)y＝k＋2，当k＝_______时，方程为一元一次方程，当k＝_____时，方程为二元一次方程.4、二元一次方程的解：二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.任何一个二元一次方程都有无数个解.【例3】⑴己知21xy=⎧⎨=⎩是方程3x＋ay＝5的解，则a的值为（）A.－1B.1C.2D.3⑵判断下列数值是否是二元一次方程3t＋2s＝24的解.①29ts=⎧⎨=⎩②21ts=⎧⎨=⎩③89ts=⎧⎨=⎩④46ts=⎧⎨=⎩【练3】⑴若23x ky k=⎧⎨=-⎩是二元—次方程2x－y＝14的解，则k的值是（）A.2B.－2C.3D.－3⑵已知12xy=⎧⎨=⎩与3xy m=⎧⎨=⎩都是方程x＋y－＝n的解，求m与n的值.二．二元_次方程组：1、二元一次方程组.由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组叫二元—次力程组.(1)二元：总共有两个未知数如：+12 22 xx=⎧⎨=⎩，21x y yx+=⎧⎨=⎩，12x yx y+=⎧⎨+=⎩，121x yx+=⎧⎨=⎩，12xy=⎧⎨=⎩，12x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩，11x yy z+=⎧⎨+=⎩(2) —次：每个都是一次方程如:22x yy x⎧=⎪⎨=⎪⎩，2222+x x xy y y⎧=⎪⎨+=⎪⎩，11x yxy+=⎧⎨=⎩，1111xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(3)方程组：方程个数大于等于2如：x＋y＝l，112 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩① 二元—次方程组一定是由两个或多个二元一次方程组成（错）② 两个或多个二元一次方程一定可以组成二元一次方程组（错）【例4】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）A.527x yxy+=⎧⎨=⎩B.121340xyx y⎧+=⎪⎨⎪-=⎩C.354433x yx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩D.28312x zx y-=⎧⎨+=⎩【练4】下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A.4119x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩B.57x yy z+=⎧⎨+=⎩C.1x y xyx y-=⎧⎨-=⎩D.1326xx y=⎧⎨-=⎩2、二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边都相等的两个未知数的值（即两个方程的公共解），叫做二元一次方程组的解，同时它也必须是－个数对.而不能是一个数.【例5】⑴己知43xy=-⎧⎨=⎩是方程组12ax yx by+=-⎧⎨-=⎩的解，则(a＋b)b＝_______,(2)己知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组12ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解，则a－b的值为( )A.1B.－1C.2D.3【练5】（1)下列四个解中是方程组16223111x yx y⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩的解是（）A.810xy=⎧⎨=-⎩B.101xy=⎧⎨=-⎩C.6xy=⎧⎨=-⎩D.112xy⎧=-⎪⎨⎪=⎩⑵关于x，y的二元一次方程组331ax yx by-=⎧⎨-=-⎩解中的两个未知数的值互为相反数，其中x＝l,求a，b的值.模块二二元一次方程组的基本解法一．会解基本二元一次方程组（体会消元过程）2、熟练应用代入与加减的方法，养成严格书写的习惯二元一次方程方程组最根本的思路就是将二元方程消元变成一元方程，代入消元法和加减消元法是最常用的方法.1.代入消元：why：等量代换when：(未知数系数为1时优先）how：用一个字母表示另一个字母直接代入(1)12xx y=⎧⎨+=⎩(2)2x yx y=⎧⎨+=⎩⑶23x yx y=⎧⎨+=⎩⑷13x yx y+=⎧⎨+=⎩变形代入(5)13x yx y-=⎧⎨+=⎩(6)2127x yx y-=⎧⎨+=⎩(7)2+38321x yx y=⎧⎨-=-⎩1．代入消元法代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一.“消元”体现了数学研究中转化的重要思想, 代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y，用另一个未知数如x的代数式表示出来，即写成y＝ax＋b的形式：②把y＝ax＋b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程：③解这个一元一次方程，求出x的值：④回代求解：把求得的x的值代入y＝ax＋b中求出y的值从而得出方程组的解.⑤把这个方程组的解写成x ay b=⎧⎨=⎩的形式.【例】解方程组2 239 x yx y-=⎧⎨+=⎩②①解：由①得y＝x—2 ③把③代入②，得2x＋3(x－2)＝9 解得x＝3把x＝3代入③得,y＝l所以方程组的解是31 xy=⎧⎨=⎩2、加减消元：Why：等式性质When：系数绝对值相同优先How：系数统一后相加减直接加减；⑴31x yx y+=⎧⎨-=⎩⑵521327x yx y-=⎧⎨+=⎩⑶24234x yx y+=⎧⎨-=-⎩系数统一(4)23124x yx y-=⎧⎨+=⎩(5)237324x yx y+=⎧⎨-=⎩2.加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法用加减法解二元一次方程组的－般步骤：①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数.使两个方程里的某―个未知数互为相反数或相等.②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减.消去一个未知教，得到一个一个―次方程：③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值：④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值：⑤把这个方程组的解写成x ay b=⎧⎨=⎩的形式例：解方程组32 12 3 x yx y-=⎧⎨+=⎩②①解：①×2 得4x＋2y＝6 ③①＋③得7x＝7解得x＝l把x＝l代入①得y＝l所以方程组的解是11 xy=⎧⎨=⎩代入消元与加减消元的对比：代入消元方法的选择：①运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0” 的形式.求不出未知数的值.②当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时，用代入法较简便.加减消元方法的选择：① 一般选择系数绝对值最小的未知数消元；② 当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；③某一未知数系数成倍数关系时，直接使其系数互为相反数或相等,再用加减消元求解.④当未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解.【例6】⑴方程组233x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是（ )A.12xy=⎧⎨=⎩B.21xy=⎧⎨=⎩C.11xy=⎧⎨=⎩D.23xy=⎧⎨=⎩⑵方程组535213x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是（）A.12xy=⎧⎨=⎩B.45xy=-⎧⎨=⎩C.53xy=⎧⎨=⎩D.45xy=⎧⎨=-⎩⑶用代入消元法解方程组：3 3814 x yx y-=⎧⎨-=⎩⑷用加减消元法解方程组：49 351 x yx y+=-=⑸二元一次方程ax＋by＝6有两组解是22xy=⎧⎨=-⎩与18xy=-⎧⎨=-⎩，求a，b的值.【练6】⑴二元―次方程组2x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是（）A．2xy=⎧⎨=⎩B.2xy=⎧⎨=⎩C.11xy=⎧⎨=⎩D.11xy=-⎧⎨=-⎩⑵方程组25342x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是____________.⑶己知方程组2421mx y nx ny m+=⎧⎨-=-⎩的解是11xy=⎧⎨=-⎩，那么m，n的值为（）A.11mn=⎧⎨=-⎩B.21mn=⎧⎨=⎩C.32mn=⎧⎨=⎩D.31mn=⎧⎨=⎩三元：【例7】0 423 9328 a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩【练7】解方程组0.5320 322 x y zx y zx y z+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩模块三二元一次方程组的基本解法本模块中，我们主要学习复杂二元一次方程组化简，同时，对换元，轮换，连等式等量代信思想的建议认识理解.复杂方程组化简为基本二元一次方程组消元求解【例8】解下列方程组：⑴3(1)4(4)5(1)3(5)y xx y-=-⎧⎨-=+⎩⑵134723m nm n⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩【练8】解方程组：⑴2344143m n n mnm+-⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⑵3221245323145x yx y--⎧+=⎪⎪⎨++⎪-=⎪⎩2、轮换对称：二元对称：【例9】解方程组：⑴231763172357x yx y+=⎧⎨+=⎩⑵201120134023201320114025x yx y+=⎧⎨+=⎩【曾伟录入】【练9】（1）解关于x、y的方程组301120722 150271571x yx y+=⎧⎨+=⎩（2）解关于x、y的方程组331512 173588x yx y+=⎧⎨+=⎩三元轮换【例10】解方程组（1）222426x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩；（2）1131x y zy z xz x y+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩.【练10】（1）解方程组12323434545151212345x x xx x xx x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎪++=⎩；（2）已知1467245735674757671234567394941131499x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎪+=⎨⎪+=⎪⎪+=⎪++++++=⎩，求7x .3、换元：【例11】（1）解方程组23237432323832x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩【练11】（第七届“华罗庚杯”邀请赛试题） 解方程组1211631102221x y x y ⎧+=⎪--⎪⎨⎪+=⎪--⎩【例12】解方程组（1）1513pq p q pq p q ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪-⎩；（2）1321312312mn m n mn m n ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩.【练12】（1）已知1,2,3xy yz zx x y y z z x===+++，求x y z ++的值.（2）解关于x 、y 的方程组1111(0,)x y abx a b x y aby ab ab b aa b ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+≠±≠⎪⎩.4、连等比例【例13】解方程组：（1）:::1:2:3:49732200x y z u x y z u =⎧⎨+++=⎩；（2）解方程组：2345238x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪+-=⎩【练13】已知a b c k b c a c a b===+++，求k 的值.第8讲［尖端课后作业二元一次方程（的）念和解法【习1】下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）A. 312x xy +=B. x y =C. 2115x y =+ D. 253x y x y -=+ 【习2】下列各方程是二元一次方程的是（ ）A. 23x y z +=B. 45y x +=C. 2102x y +=D. 1(8)2y x =+【习3】若关于x 、y 的方程2(3)0a a x y --+=是二元一次方程，那么a 的取值为( )A. 3a =-B. 3a =C. 3a >D. 3a <【习4】若方程22(4)(23)(2)0k x k x k y -+-+-=为二元一次方程，则k 的值为( )A. 2B. －2C. 2或－2D. 以上均不对【习5】若方程2(3)25m m x y -+-=为关于x 、y 的二元一次方程，则2012(2)m -= .【习6】下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A. 4119x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩B. 57x y y z +=⎧⎨+=⎩C. 1x y xy x y -=⎧⎨-=⎩D.1326x x y =⎧⎨-=⎩【习7】下列不是二元一次方程组的是（ ）A. 23x y y z +=⎧⎨+=⎩B. 2334m n n m =+⎧⎨-=⎩ C. 21x y =⎧⎨=-⎩D. 4252()12()3a a b a b +=⎧⎨-+=+-⎩ 【习8】解下列二元一次方程组：（1）527341x y x y -=⎧⎨+=-⎩ ；（2）327238x y x y +=⎧⎨+=⎩ ；（3）34165633x y x y +=⎧⎨-=⎩【习9】若方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解是8.31.2a b =⎧⎨=⎩，则方程组2(2)3(1)133(2)5(1)30.9x y x y +--=⎧⎨++-=⎩的解是（ ） A. 6.32.2x y =⎧⎨=⎩ B. 8.31.2x y =⎧⎨=⎩ C. 10.32.2x y =⎧⎨=⎩ D. 10.30.2x y =⎧⎨=⎩【习10】若实数x 、y 满足2142y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求关于x 、y 的方程组12x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩的解.【习11】已知211(3)02a b -++=，解方程组315ax y x by -=⎧⎨+=⎩. 【习12】解方程组2(1)5(2)1101217102x y x y --++=⎧⎪-+⎨-=⎪⎩【习13】解方程组3()4()4126x y x y x y x y +--=⎧⎪+-⎨+=⎪⎩ 【习14】解方程组2320235297x y x y y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩【习15】解方程组9()18523()2032m n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩【习16】解方程组1232(1)11x y x y +⎧=⎪⎨⎪+-=⎩【习17】解方程组37043225x y y z x z -+=⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩【习18】解方程组23162125x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩【习19】解方程组56812412345x y z x y z x y z +-=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=⎩【玉勇录入】【习20】已知方程组361463102463361102x y x y +=-⎧⎨+=⎩的解是x p y q =⎧⎨=⎩，方程组345113435113991332x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩的解是x m y n z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则(p －q )(m －n ＋t )等于 ．【习21】(武汉市“CASIO ”竞赛题)已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足becdf a ＝4，acdef b ＝9，abdef c ＝16，abcef d ＝14，abcdf e ＝19， abcde f ＝116，求(a ＋c ＋e )－(b ＋d ＋f )的值．【习22】(第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试)已知实数x 1，x 2，x 3，x 4满足条件1231234234134124x x x a x x x a x x x a x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，其中a 1<a 2<a 3<a 4，则x 1，x 2，x 3，x 4的大小关系是( ) A ． x 1<x 2<x 3<x 4 B ． x 2<x 3<x 4<x 1 C ． x 3<x 2<x 1<x 4 D ． x 4<x 3<x 2<x 1【习23】若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组12323434545151212345x x xx x xx x xx x xx x x-+=⎧⎪-+=⎪⎪-+=⎨⎪-+=⎪⎪-+=⎩①②③④⑤，求x2x3x4的值．【习24】解方程组：:3:2:5:466 x yy zx y z=⎧⎪=⎨⎪++=⎩【张来录入】。

二元一次方程一、二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1,像这样的方程叫做二元一次方程.注意：二元一次方程满足的三个条件：(1)在方程中“元”是指未知数， “二元”就是指方程中有且只有两个未知数 .(2) “未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是 1.(3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式^练习1:已知下列方程，其中是二元一次方程的有 .(1)2x-5=y; (2)x-1 = 4; (3)xy = 3;(4)x+y = 6; (5)2x-4y=7;一 1- 2 1 _ 2__ x4y -(6) x - 0； (7)5x — 1; (8)x - y 3; (9) x 8y 0; (10) ---------------- 6.2 y 2 2【变式1 ］下列方程中，属于二元一次方程的有()2A. xy 7 1B. 2x 1 3y 1C. 4x 5y 3x 5yD. 3x — 1 y二、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值， 叫做二元一次方程的一组解.注意：如：x y 10的解可以是练习2:二元一次方程 x-2y= 1有无数多个解，下列四组值中不是该方程解的是x 1 x 1C. D.y 0 y 1.............................. x 2【变式2】若方程ax 2y 4的一个解是 ，则a= .y 1三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组 注意：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如3x 1 0也是二元一次方x 2y 5(1)二元一次方程的解都是一对数值,而不是一个数值, 般用大括号联立起来, 如:x 2, y 5.(2) 一般情况下，二元一次方程有无数个解, 即有无数多对数适合这个二元一次方程.x 1 B.y 1程组.练习3:下列方程组中，是二元一次方程组的是( )四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解^注意：（1）二元一次方程组的解是一组数对， 它必须同时满足方程组中的每一个方程， 一般x a , 写成的形式.y b〃， ，、…，…一“ ,一，/ , 2x y 5T （2）一般地，二元一次方程组的解只有一个， 但也有特殊情况，如方程组无2x y 6一 一、… x y 1 ，…,解，而方程组 "的解有无数个.2x 2y 2【巩固练习】 一、选择题1 .下列方程中，属于二元一次方程的是（A. xy-7=1B. 2x-1 = 3y+12 .下列方程组是二元一次方程组的是（）x 3 _3 .以为解建立一个二兀一次万程，不正确的是()y 11 x 25 A. 3x- 4y= 5 B. —xy 0 C. x +2y = - 3 D.— — y —3 2 362x y 3 34 .方程组的解是()x y 3C.2x 2 3y 7 5(x 9) 1 y B.3- y 2 8 x 2x 3 7yx 13z 5(x y) 2x 3z 7yD.5(x y) (x y) 8 2x 3y 1) 7C. 4x-5y=3x-5y0 2D. 3x 一y x y 5A.z x 3x y xy 4 C.3x y 41-x 2y 13D.2-x - y 2(x 3 22y)x 1 x 2A. B.y 2 y 1C.y 1D.「 ，、… 6x 5y 11, ①……5 .已知二元一次方程组 7,下列说法正确的是()3y 2x 7,②A.适合②的x, y 的值 是方程组的解①②B.适合①的x, y 的值 是方程组的解C.同时适合①和②的x, y 的值 不一定是方程组的解D.同时适合①和②的 x, y 的值 是方程组的解 6 .关于m, n 的两个方程2m n 3与3m 2n二、填空题7 .由x+2y =4,得到用y 表示x 的式子为x= x y 4 ,, …8 .在二元一次方程组中，有x 6 ,则y _______ , m ______2x m 3y9 .若 |x 2 (3y 2x)2 0 ,则二的值是次方程"工+如二一2的一个解，则2a-b-6的值是11 .已知以一 1|+[2>+1)，=0 ,且2工一仙=4 ,则太=一一 .一 x 2 ........... .12 .右方程ax-2y = 4的一个解是 ，则a 的值是 ___________ .y 1三、解答题x 213,已知是一个二元一次方程的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组.y 314.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组.(1)甲数的1比乙数的2倍少7;33 .、1的公共解是(A.m 0B .n 3m 1 C.n 1m 0 1 D.n -21m - 2 n 2;得到用x 表示y 的式子为 y=x = 210.若"是二兀〔A —(2)摩托车的时速是货车的一倍，它们的速度之和是200km/h;2(3)某种时装的价格是某种皮装价格的 1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元解二元一次方程方法1.代入消元法解二元一次方程组代入消元法解二元一次方程组的步骤有四步：(1)变形：将方程组中系数较简单的方程变形，将系数较简单的未知数用另一个未知 数表示出来；(2)代入：将变形的方程代入另一个方程，这样便消去一元，求出一个未知数的值； (3)代入：将求得的未知数的值代入变形后的方程(这一点要特别注意)，求出另一个未知数的值；(4)写出方程组的解.一般地，当方程组中某个方程的某未知数的系数绝对值是 1或常数项为0时，用代入法简便.3x 2y 7, ① x 2y 5. ② x 5 2y.③ 3(5 2y) 2y 7,15 6y 2y 7, 8y 8, y 1.把y 1代入③，得 x 3.点评：此题方程②的系数较简单，且方程②中未知数x 的系数是1,因此考虑将方程②变形，并用含y 的代数式表示x.用代入消元法解二元一次方程组， 需先观察方程组的系数特点，判断消去哪个未知数较为简单 .代入消元时，要注意所代代数式的整体性，必要时可添加括号，以避免符号错误 .x 3y 4, ①变式2:用代入法解方程组：1 1-x -y 0.② 4 2方法2.加减消元法解二元一次方程组 加减消元法解二元一次方程组的步骤有四步：(1)变形：使方程组中某未知数的绝对值相等；(2)加减：若某未知数的系数相等，两方程相减；若某未知数的系数互为相反数，两 方程相加；这样便消去一元，求出一个未知数的值；(3)代入：将求得的未知数的值代入系数较简单的方程，求出另一未知数的值； (4)写出方程组的解.进行加减消元时，要注意做到以下几点：(1)当方程组比较复杂时，应先整理变形，把方程组整理成形如：a1x b 1yc 1’的形a 2xb 2yc 2式，若此时两未知数的绝对值都不相等， 则先观察哪个未知数的系数较易化为绝对值 (系数的最小公倍数的绝对值)相等的形式，且计算简单，然后将其化为系数的绝对值相等的形式例2解方程组 解析：由②，得 将③代入①，得所以原方程组的解是x 3,y 1.(2)两个未知数的值都可采用加减消元法的方法求出^(3)当方程组中的某一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍关系时，用加减法简 便.③-④，得 29m=-29 , m=-1. 将 m=-1 代入①，得-5+2 n=1, n=3.③ +④，得 29n=87, n=3.把 n=3 代入①，得 5m+6=1 , m=-1. 点评：此题方程组中的两方程， 两未知数的系数分别既不相等也不互为相反数，即绝对值不相等.因此先将两方程分别变形， 使某个未知数的系数的绝对值相等 .比较题中的两种方法， 先消去系数比较简单的未知数 n,解法较为简捷.另外用加减消元法解二元一次方程组，需 注意两方程相减时，符号的正确处理 . 练习f9x+2y=20 l3x+4y=10例3解方程组:5m 2n 1, ①7m 3n 16.②解析：法①②X2,得15m 6n 3, ③14m 6n 32.④所以原方程组的解为m 1, n3.法二：①X 7,②X 5,得35m 14n 35m 15n7, 80.④所以原方程组的解为m 1, n 3.(1)j 2戈-3产- 5[3x+2y=12"2y=3⑸" x 一第F ；J- -2=10附加题C3 (s- t) - 2 ts+t) =10 13 fs-t) +2 (s+t) =26x 2 y 1--- --- - 2(8) 3 2x 2 1 y d1。

中考数学知识讲解：二元一次方程的概念及解法二元一次方程有关概念(1)概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做二元一次程.(2)一般形式：ax+by=c(a≠0，b≠0).(3)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解.二元一次方程的解法1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m.例1.解方程(1)(3x+1)2=7(2)9x2-24x+16=11分析：(1)此方程显然用直接开平方法好做，(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

(1)解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=(2)解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2.配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=当b^2-4ac≥0时，x+=±∴x=(这就是求根公式) 例2.用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方)解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=.3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。

二元一次方程讲课逐字稿好的，以下是关于二元一次方程的讲课逐字稿。

各位同学，大家好。

今天我们来学习二元一次方程。

二元一次方程是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。

下面我们从二元一次方程的定义、解法、应用三个方面来展开学习。

一、二元一次方程的定义首先，我们来看二元一次方程的定义。

二元一次方程是指含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程。

例如：x + y = 52x - 3y = 6这两个方程都含有两个未知数x和y，且x和y的次数都是1，所以它们都是二元一次方程。

二、二元一次方程的解法接下来，我们来学习二元一次方程的解法。

常用的解法有代入法和加减法。

1. 代入法：先从一个方程中用一个未知数表示另一个未知数，然后将这个表达式代入另一个方程，从而得到一个一元一次方程，解出这个一元一次方程后，再代入原方程求出另一个未知数。

2. 加减法：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解出这个一元一次方程后，再代入原方程求出另一个未知数。

下面我们来看一个例题：x + y = 72x - y = 1我们可以用加减法来解这个方程组。

将第一个方程乘以2，然后与第二个方程相加，得到：3x = 15x = 5将x=5代入第一个方程，得到：5 + y = 7y = 2所以这个方程组的解为x=5，y=2。

三、二元一次方程的应用最后，我们来看二元一次方程的应用。

二元一次方程可以解决很多实际问题，例如：1. 行程问题：已知速度和时间，求路程。

2. 工程问题：已知工作效率和工作时间，求工作总量。

3. 几何问题：已知线段长度和角度，求其他线段长度或角度。

同学们可以在生活中多观察，发现可以用二元一次方程解决的问题，提高自己的数学应用能力。

本节课我们学习了二元一次方程的定义、解法和应用。

希望大家能够掌握二元一次方程的相关知识，提高自己的数学素养。

今天的课就上到这里，同学们再见。

二元一次方程组的概念及解法知识点梳理知识点一二元一次方程组的概念含有两个未知数，并且含有未知数的相的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

把两个二元一次方程合在一起就组成了一个方程组，像这样的方程组叫做二元一次方程组。

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

典例分析例1、在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有个；例2、已知二元一次方程2x－y＝1，若x＝2，则y＝;若y＝0，则x＝．变式1：方程x＋y＝2的正整数解是__________.变式2、在方程3x－ay＝8中，如果是它的一个解，那么a的值为⎩⎨⎧==13 yx例3 方程组⎩⎨⎧=+=-521y x y x 的解是（ ）A 、 ⎩⎨⎧=-=21y xB 、⎩⎨⎧-==12y x C 、⎩⎨⎧==21y x D 、⎩⎨⎧==12y x例4、有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为，十位数字为，则用代数式表示原两位数为 ，根据题意得方程组。

例5、我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十头，下有九十四足。

问鸡兔各几何。

”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？使找出问题的解。

知识点二 解二元一次方程 消元解二元一次方程⎧⎨⎩代入消元法加减消元法典例分析例1、 把方程2x －y －5＝0化成含y 的代数式表示x 的形式：x ＝ ．化成含x 的代数式表示y 的形式：y = ．例2、用代入消元法解下列方程 （1）、⎩⎨⎧-=-=+54032y x y x （2）、⎩⎨⎧=-=+15234932y x y x（3）23328x y x y -=-⎧⎨+=⎩（4）25342x y x y -=⎧⎨+=⎩例3、用加减消元法解下列方程 （1）、⎩⎨⎧-=-=+54032y x y x （2）、⎩⎨⎧=-=+15234932y x y x（3）23328x y x y -=-⎧⎨+=⎩ （4）25342x y x y -=⎧⎨+=⎩例4、解下列方程（1）⎩⎨⎧-=-+=-85)1(21)2(3y x x y （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=184332y x yx（3）⎩⎨⎧=--=--023256017154y x y x （4）⎪⎩⎪⎨⎧=-=+234321332yx y x（5）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+1323241y x x y （6）⎩⎨⎧=+=+24121232432321y x y x例5 、若，则＝ ，＝ 。

二元一次方程二元一次方程，也称为一元二次方程，是高中数学中重要的概念之一。

它是指形如ax+by+c=0的方程，其中a、b、c为已知的实数，而x、y为未知数。

在这篇文章中，我们将探讨二元一次方程的基本概念、解法以及应用。

通过详细的讲解和例题分析，帮助读者加深对二元一次方程的理解。

一、基本概念二元一次方程可以看作是一种含有两个变量的一次方程，其一般形式为ax+by+c=0。

其中，a、b、c为已知实数，x、y为未知数。

我们可以通过消元、代入或配方法等多种方式来求解二元一次方程。

二、解法解二元一次方程的基本方法有三种：消元法、代入法和配方法。

接下来，我们将分别介绍这三种方法的步骤和原理。

1. 消元法消元法是解二元一次方程的常用方法。

具体步骤如下：（1）通过变换，使其中一个未知数的系数相等或相差一个倍数；（2）将两个方程相减，消去一个未知数，得到另一个未知数的方程；（3）求解得到其中一个未知数的值；（4）将求得的未知数的值代入任一方程中，求解另一个未知数的值。

2. 代入法代入法是解二元一次方程的另一种常用方法。

具体步骤如下：（1）选择一个方程，将其中一个未知数表示成另一个未知数的函数；（2）将该函数代入另一个方程中，得到只含有一个未知数的方程；（3）求解得到该未知数的值；（4）将求得的未知数的值代入最初选择的方程中，求解另一个未知数的值。

3. 配方法配方法也是解二元一次方程的重要方法之一。

具体步骤如下：（1）将一个方程的两边同时乘以一个系数，使得其两个未知数的系数相等或相差一个倍数；（2）将两个方程相加（或相减），得到一个只含有一个未知数的方程；（3）求解得到该未知数的值；（4）将求得的未知数的值代入任一方程中，求解另一个未知数的值。

三、应用二元一次方程在实际生活中有着广泛的应用。

下面我们以一个例子来说明二元一次方程的具体应用。

例题：一个体育馆里有男性和女性运动员，总共有100人。

男性每人平均站立重量为70kg，女性每人平均站立重量为60kg。

《二元一次方程》讲义一、什么是二元一次方程在数学的世界里，二元一次方程是一个非常基础且重要的概念。

那到底什么是二元一次方程呢？简单来说，二元一次方程是指含有两个未知数（通常用 x 和 y 表示），并且未知数的最高次数都是 1 的整式方程。

例如：2x ＋ 3y ＝ 8 ，x 5y ＝－1 ，这些都是二元一次方程。

它的一般形式可以写成 Ax ＋ By ＝ C ，其中 A、B 不同时为 0 。

这里要注意几个关键点：首先，方程中必须含有两个未知数；其次，未知数的最高次数是 1 ；最后，方程必须是整式方程，也就是说分母中不能含有未知数。

二、二元一次方程的解既然有方程，那就会有解。

那什么是二元一次方程的解呢？对于一个给定的二元一次方程，如果存在一组数（x，y），将这组数代入方程后，能使方程左右两边相等，那么这组数就叫做这个二元一次方程的一个解。

比如对于方程 2x ＋ 3y ＝ 8 ，如果 x ＝ 1 ，y ＝ 2 ，代入方程左边得到 2×1 ＋ 3×2 ＝ 8 ，方程左右两边相等，所以（1，2）就是这个方程的一个解。

需要注意的是，二元一次方程一般有无数个解。

因为只要给定一个x 的值，就可以通过方程求出对应的 y 值。

三、二元一次方程组有时候，我们会遇到两个二元一次方程组合在一起的情况，这就形成了二元一次方程组。

例如：＼＼begin{cases}2x ＋ 3y ＝ 8 ＼＼x 5y ＝－1＼end{cases}＼二元一次方程组的解，就是同时满足这两个方程的未知数的值。

求解二元一次方程组的方法主要有代入消元法和加减消元法。

四、代入消元法代入消元法是求解二元一次方程组的一种常用方法。

举个例子，对于方程组：＼＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼2x y ＝ 1＼end{cases}＼我们可以从第一个方程中解出 x ＝ 5 y ，然后将其代入第二个方程：2(5 y) y ＝ 1 ，10 2y y ＝ 1 ，10 3y ＝ 1 ，－3y ＝－9 ，y ＝ 3 。

一、二元一次方程组解法总结1、二元一次方程组解法的基本思想二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一简化的思想方法，叫做消元思想.即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数）的方程.2、代入消元法由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.4、加减消元法两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤（1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；（5）把求出的未知数的值写成的形式.6、二元一次方程组解的情况若二元一次方程组（a1，a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则（1）当时，这个方程组只有唯一解；（2）当时，这个方程组无解；（3）当时，这个方程组有无穷多个解.二、重难点知识归纳二元一次方程组的解的理解，二元一次方程组的解法，运用有关概念解决相关数学问题．三、典型例题讲解例1、（1）下列方程中是二元一次方程的有（）①②③④mn＋m=7 ⑤x＋y=6A．1个B．2个C．3个D．4个（2）在方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k 的值为（）A．2 B．－2 C．±2D．以上都不对分析：一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三个条件：①含有两个未知数；②未知数项的次数为1；③整式方程．解答：（1）∵方程①③不是整式方程，∴它们不是二元一次方程．∵mn的次数为2，∴方程④不是二元一次方程．∵方程②⑤满足二元一次方程的三个条件，∴方程②⑤是二元一次方程．故此题应选择B．（2）∵方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0是二元一次方程，∴它应满足条件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，解得k=±2且k≠2且k≠－1．∴k=－2．例2、在方程3x－ay=0中，如果是它的一个解，那么a的值为_____．．由于方程的解必使方程左右两边的值相等，所以只需将代入方程中，解关于a的一次方程即可．解答：∵是方程3x－ay=0的一个解，∴3×3－a·2=0，例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得求a、b、c的值．将正确的解代入方程组中可直接求出c的值，但不能求a、b的值．错误解有什么作用呢？方程组的解应满足每一个方程，因此正确解满足ax＋by=2，错误的解同样能满足方程ax＋by=2，那么就可以建立a、b的方程组，于是a、b、c的值均可求出．解答：都是方程①的解．又∵是方程②的解，∴c＋3=－2，∴c=－5．故a、b、c的值分别为例4、解下列方程组.（1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x的值.（2）先将方程组进行化简，整理为标准的二元一次方程组的形式，再观察选择消去哪个未知数.解：（1）将①化简得：3y=4x＋5 ③把③代入②得：2x－(4x＋5)=1解得x=－3将x=－3代入③得：3y=4×(－3)＋5∴∴原方程组的解为.（2）原方程组整理为由③×3－④×4，得7b=14，∴b=2.将b=2代入③，得a=2.∴原方程组的解为.例5、已知方程组与方程组有相同的解，求a、b 的值.题设的已知条件是两个方程组有相同的解。

t at i me an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m e t h i n二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

注意 ：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！ 也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。

3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

1.有一组解 如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解 如方程组x+y=6① 2x+2y=12② 因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。

3.无解 如方程组x+y=4① 2x+2y=10②， 因为方程②化简后为 x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种： 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

这个方法叫做代入消元法，简称代入法。

例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得 x=5-y ③ t at i me an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m e t h i n把y=59/7带入③， x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 基本思路：未知数又多变少。

二元一次方程组的概念及解法二元一次方程一、二元一次方程组由几个一次方程组成并且一共．．含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．特别地，134xy x+=⎧⎨-=⎩和31xy=⎧⎨=-⎩也是二元一次方程组．二、二元一次方程组的解二元一次方程组中所有方程（一般为两个）的公共解．．．叫做二元一次方程组的解．注意：（1）二元一次方程组的解一定要写成联立的形式，如方程组2397x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是61xy=⎧⎨=⎩．（2）二元一次方程组的解必须同时满足所有方程，即将解代入方程组的每一个方程时，等号两边的值都相等．例如：因为12xy=⎧⎨=⎩能同时满足方程3x y+=、1y x-=，所以12xy=⎧⎨=⎩是方程组31x yy x+=⎧⎨-=⎩的解．易错点1：代入法解二元一次方程组时，循环代入导致错误．辨析：在利用代入法解二元一次方程组时，需要将方程组中某一个方程进行变形，然后将变形后的方程代入到另一个方程中（注意不是变形前的方程）．易错点2：方程变形时，忽略常数项而出现错误．辨析：在用加减法解二元一次方程组时，为了把两个方程中某一个未知数的系数化成相等或者互为相反数，需要在方程两边同乘一个不等于零的数，此时不要忘记常数项，造成漏乘导致出现错解．二元一次方程组的解法一、消元思想二元一次方程组中有两个未知数，如果能“消去”一个未知数，那么就能把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做“消元”．使用“消元法”减少未知数的个数，使多元方程组最终转化为一元方程，再逐步解出未知数的值．二、代入消元法1、代入消元法的概念将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法．2、用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：①等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y），用另一个未知数（如x）的代数式表示出来，即将方程写成y ax b=+的形式；②代入消元：将y ax b=+代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x的值；④回代：把求得的x 的值代入y ax b =+中求出y 的值，从而得出方程组的解； ⑤把这个方程组的解写成x ay b =⎧⎨=⎩的形式．三、加减消元法1、加减消元法的概念当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法．2、用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤把这个方程组的解写成x a y b =⎧⎨=⎩的形式．例题讲解二元一次方程1．下列各方程是二元一次方程的是 ( ) A ．2x+xy=3 B ．m －n 2+2=0 C ．302y x x y -= D ．12S t = 2．已知方程：①3x －4y=10；②3y+2x=－1；③6y=4－5x ；④2y －7=4x+1，则21x y =⎧⎨=-⎩所满足的方程是 ( ) A ．① B ．①② C ．①③ D ．①②④ 3．关系式132x y-=，用 x 的代数式表示y 得 ( ) A ．223x y -=B ．2133x y =- C ．223x y =- D ．223xy =- 4．下列说法中正确的是 ( ) A ．32x y =⎧⎨=⎩是方程3x －4y=1的一组解B ．方程3x －4y=1有无数组解，即x 、y 可以取任何数值C．方程3x－4y=1只有两组解，两组解分别是：11112xxyy=⎧=-⎧⎪⎨⎨=-=⎩⎪⎩、D．方程3x－4y=1可能无解5. 把二元一次方程3x－2y+5=0化为y=kx+m的形式，写出k、m的值．6.如果4x－5y=0，且x≠0，那么125125x yx y-+的值是__________．7.把二元一次方程3x－2y+5=0化为y=kx+m的形式，写出k、m的值二元一次方程组1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是 ( )A．320,41x yx y-=⎧⎨-=⎩B．5,3x yy z+=⎧⎨+=⎩C．222,20x x yx y⎧-=+⎨-=⎩D．21,x yy=+⎧⎨=⎩2．下列方程组：①4,3;x yxy-=⎧⎨=⎩②25,41;x yy x-=⎧⎨=+⎩③3,48;y xx z=⎧⎨+=⎩④53,1;324x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩⑤53,31.x yyx-=⎧⎪⎨+=⎪⎩其中，二元一次方程组的个数是 ( )A．1 B．2 C．3 D．43．如图，点O在直线AB上，OC为射线，∠1比∠2的3倍少10°，如果设∠1、∠2的度数分别为x、y，那么下列方程组正确的是 ( )A．180,10x yx y+=⎧⎨=-⎩B．180,310x yx y+=⎧⎨=-⎩C．180,10x yx y+=⎧⎨=+⎩D．3180,310yx y=⎧⎨=-⎩4.（2009．青海）如果代数式－3x m-1 y3与52x n y m+n是同类项，那么m、n的值分别是 ( )A．2,1mn=⎧⎨=-⎩B．2,1mn=-⎧⎨=-⎩C．2,1mn=⎧⎨=⎩D．2,1mn=-⎧⎨=⎩5．根据下面的条件列出二元一次方程组：(1)已知3223357m n m n x y +---=是关于x 、y 的二元一次方程，列出关于m 和n 的二元一次方程组． (2)已知522325m n x y ++与632134m n x y ---的和是单项式，列出关于m 和n 的二元一次方程组．解二元一次方程组 代入消元法1．方程组25328y x x y =-⎧⎨-=⎩，消去y 后所得的方程是 ( )A ．3x －4x －10=8B ．3x －4x+5=8C ．3x －4x －5=8D ．3x －4x+10=8 2．四名学生解二元一次方程组345(1)23(2)x y x y -=⎧⎨-=⎩提出四种不同的解法，其中解法不正确的是( ) A ．由①得543y x +=，代入② B ．由①得354x y -=，代入② C ．由②得32x y -=，代入① D ．由②得x=3+2y ，代入① 3．二元一次方程组32725x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是 ( )A ．32x y =⎧⎨=⎩ B ．12x y =⎧⎨=⎩ C ．42x y =⎧⎨=⎩ D ．31x y =⎧⎨=⎩4．方程组 379475x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是 ( )A ．21x y =-⎧⎨=⎩B ．237x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩C ．237x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩D ．237x y =⎧⎪⎨=⎪⎩5．用代入法解方程组(a)23(1)328(2)y x x y =-⎧⎨+=⎩ (b)23(1)325(2)s t s t =⎧⎨-=⎩ (c)37(1)8361(2)x x x y -=-⎧⎨-=⎩ (d)23(1)431(2)y x x y =-⎧⎨-=⎩将各方程组中的方程①代入方程②中，所得的方程正确的是 ( ) A ．(a)3x+4x －3=8 B ．(b)3t －2t=5 C ．(c)40－3y=61 D ．(d)4x －6x －9=1 6． 已知代数式1312a x y -与23b a b x y -+-是同类项，那么a ，b 的值分别是 ( ) A ．21a b =⎧⎨=-⎩ B ．21a b =⎧⎨=⎩ C ．21a b =-⎧⎨=-⎩ D ．21a b =-⎧⎨=⎩7．解二元一次方程组35821x y x y +=⎧⎨-=⎩8．解方程2215y x x y =+⎧⎨-=⎩9．已知方程组35223x y a x y a+=+⎧⎨+=⎩的解适合x+y=8，求a 的值．10．小明和小华同时解方程组5213mx y x ny +=⎧⎨-=⎩，小明看错了m ，解得722x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，小华看错了n ，解得37xy=⎧⎨=-⎩，你能知道原方程组正确的解吗?解二元一次方程组加减消元法1．用加减消元法解方程231328x yx y+=⎧⎨-=⎩时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形的结果：①691648x yx y+=⎧⎨-=⎩②461968x yx y+=⎧⎨-=⎩③6936416x yx y+=⎧⎨-+=-⎩④4629624x yx y+=⎧⎨-=⎩其中变形正确的是 ( ) A．①② B．③④ C．①③ D．②④2．已知二元一次方程组0.80.73(1)827(2)x yx y+=⎧⎨--=⎩，用加减消元法解该方程组时，将方程①两边同时乘以_________，再将得到的方程与方程②两边相_________，即可消去________．3．李老师用36元买了两种笔记本共40本，其中两种笔记本的价格分别为1元和0．8元，则李老师买了价格为1元的笔记本_________本，0．8元的笔记本________本．4．解方程组：235 3212 x yx y-=-⎧⎨+=⎩5．解方程组：1 23 x yx y+=⎧⎨+=⎩6．已知关x、y的方程组2331x yax by-=⎧⎨+=-⎩和3211233x yax by+=⎧⎨+=⎩的解相同，求a、b的值．练习1．下列各式：①12x ＋2x ＝3；②3x ＋2y ；③4x ＝3y ；④x 2－y 2；⑤1132x y =+；⑥x 2－2x＝3；⑦4(x ＋y )＝5(x －y )＋1；⑧xy ＝x －y ．其中，是二元一次方程的是 ( )A ．①⑤B ．③⑦C ．⑥⑧D ．②④ 2．方程m x －2y ＝x ＋5是二元一次方程时，m 的取值为 ( ) A ．m ≠0 B ．m ≠1 C ．m ≠－1 D ．m ≠2 3．方程2x ＋3y ＝6与3x ＋2y ＝－1的公共解是 ( )A ．3,2x y =⎧⎨=-⎩B ．3,4x y =-⎧⎨=⎩C ．3,2x y =⎧⎨=⎩D ．3,2x y =-⎧⎨=⎩4．(1)二元一次方程2x ＋y ＝5中，当x ＝2时，y ＝________．(2)把二元一次方程2x －3y ＝5写成用含x 的代数式表示y 的形式是________． (3)已知方程3241252m n x y +--=是二元一次方程，则m ＝________，n ＝________． (4)方程x ＋2y ＝－7的非正整数解有________组，解为________________________． (5)写出一个二元一次方程，使其满足x 的系数是大于2的自然数，y 的系数是小于－3的整数，且x ＝2，y ＝3是它的一个解，该方程为________________________．5．已知132x y x y-+-=． (1)用含x 的代数式表示y ．(2)用含y 的代数式表示x ．6．用代入法解下列方程组：(1)（2010．广州）21,3211x y x y +=⎧⎨-=⎩ (2) (2010．青岛) 3419,4x y x y +=⎧⎨-=⎩(3) (2010．南京) 24,25x y x y +=⎧⎨+=⎩ (4) (2010．吴洲) 4310,321x y x y +=⎧⎨-=-⎩7．用加减法解下列方程组：(1) 26,22x y x y -=⎧⎨+=-⎩ (2) 352,9223x y x y -=⎧⎨+=⎩(3) 237,328x y x y +=⎧⎨+=⎩ (4) 12,34231y x x y ++⎧=⎪⎨⎪-=⎩8．若2m n -+＋(2m ＋n ＋4)2＝0，则m n的值是 ( )A ．1B ．0C ．－1D ．－29．(1)已知方程组5,28x y x y +=⎧⎨+=⎩的解也是方程4x ＋y ＋k ＝0的解，求k 的值．(2)已知方程4x －y ＝10中，x 与y 互为相反数，求x 、y 的值． 10．如果5312b ax y +和2243a b x y --是同类项，那么a 、b 的值是 ( ) A ．1,2a b =-⎧⎨=⎩ B ．7,0a b =⎧⎨=⎩ C ．0,35a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩D ．2,1a b =⎧⎨=-⎩11．若关于x 、y 的方程组323,221x y m x y m +=+⎧⎨-=-⎩的解互为相反数，则m 的值为 ( )A ．－7B ．10C ．－10D ．－12检测题1．下列各对数值：①3,2x y =⎧⎨=⎩ ②1,1x y =⎧⎨=⎩ ③1,36x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩④0,12x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩⑤2,52x y =⎧⎪⎨=⎪⎩其中，满足方程3x－2y ＝1的有 ( )A ．4组B ．3组C ．2组D ．1组 2．下列方程：①327y x+=；②x ＝y ；③110x y -=-；④xy －3y ＝1；⑤x －π＝1；⑥4x ＋3y ．其中，二元一次方程有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．若214237m n x y --+=-是关于x 、y 的二元一次方程，则m ·n 的值为 ( ) A ．2 B ．32- C ．32 D ．524．二元一次方程2x ＋y ＝6的自然数解有 ( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组 5．先阅读材料，再解方程组．解方程组()10,45x y x y y --=⎧⎪⎨--=⎪⎩时，可由①得x －y ＝1 ③，然后再将③代入②，得4×1－y ＝5，解得y ＝－1，从而可得0,1x y =⎧⎨=-⎩这种方法称为“整体代入”法．请用上面的方法解方程组2320,235297x y x y y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩①②1．(1)方程x＋y＝5有________组解，有________组正整数解．(2)当方程m x－2y＝x＋5是二元一次方程时，m满足的条件为________．(3)已知2,3xy=-⎧⎨=⎩是方程2x－13y＝5k的一个解，则k＝________．(4)一个两位数，十位数字x比个位数字y的一半还少1，则可列出方程________，这样的两位数有________．2．解方程组：①21,758y xx y=-⎧⎨+=⎩②8625,17648s ts t+=⎧⎨-=⎩较为简便的是 ( )A．①②均用代入法 B．①②均用加减法C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入法3．用加减消元法解方程组321,354x yx y+=⎧⎨-=-⎩由①－②得 ( )A．2y＝1 B．5y＝4 C．7y＝5 D．－3y＝－34．用加减消元法解方程组正确的方法是 ( )A．①＋②得2x＝5 B．①＋②得3x＝12C．①＋②得3x＋7＝5 D．先将②变为x－3y＝7③，再①－③得x＝－2 ①5．(1)在方程组341,236x yx y+=⎧⎨-=⎩中，若要消去未知数x，则①式可乘______得______③；②式可乘得④；然后再将③、④两式即可．(2)在341,236x yx y+=⎧⎨-=⎩中，①×3得________③；②×4得________④，这种变形的目的是要消去未知数________．(3)已知二元一次方程组200920102008,201020092011x yx y+=⎧⎨+=⎩则x－y＝______，x＋y＝______．①②①②①②。

二元一次方程组的概念及解法二元一次方程组是含有两个未知数，且未知数的指数都是1的方程。

当把两个二元一次方程合在一起时，就组成了一个二元一次方程组。

方程组的解是使得两个方程的未知数相等的值。

公共解是指两个方程的解都相同的值。

例如，在方程组中，是一个二元一次方程组的例子。

另外，已知二元一次方程2x－y＝1，当x＝2时，y＝3；当y＝1时，x＝3.消元解法是解二元一次方程组的一种方法。

代入消元法是将一个方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程中进行消元。

加减消元法是将两个方程相加或相减，消去一个未知数，然后解出另一个未知数。

例如，方程2x－y－5＝0可以表示为x＝(y+5)/2，y＝2x-5.另外，方程组可以用消元解法来解，例如，方程组(2x+3y=40.x-y=-5)可以用加减消元法解出x=11，y=6.举例来说，如果有一个两位数，其个位和十位数字之和为11，将其个位数字和十位数字对调后得到的数比原数大63，那么可以用代数式表示原数为(10y+x)，对调后的数为(10x+y)，则可以列出方程组(10y+x+63=10x+y。

x+y=11)。

解方程组可以得到x=8，y=3，因此原数为83.鸡兔同笼”问题是另一个例子，可以用二元一次方程组表示。

题目中给出了总共30个头和94只脚，因此可以列出方程组(2x+4y=30.2x+2y=94)，其中x表示鸡的数量，y表示兔的数量。

解方程组可以得到x=12，y=9，因此鸡的数量为12，兔的数量为9.综上所述，二元一次方程组是含有两个未知数和未知数的指数都是1的方程组。

解二元一次方程组可以使用消元解法，包括代入消元法和加减消元法。

实际问题可以用二元一次方程组来表示，然后解方程组得出答案。

1.在方程y=-3x-2中，若x=2，则y=-8.若y=2，则x=-4.2.若方程2x-y=3写成用含x的式子表示y的形式：y=2x-3；写成用含y的式子表示x的形式：x=(y+3)/2.3.已知43=2x-3y+1，4x-15y-17=0，6x-25y-23=0，则x=3，y=-2.4.二元一次方程3x-my=4和mx+ny=3有一个公共解，则m=-4，n=3.5.已知|a-b+2|+(b-3)^2=1，那么ab=-1.6.对于方程组(1){xy= -10.x+y=-2}，是二次方程组；(2){x-y=1.x/y=3/4}，是一次方程组；(3){x+y=5.xy=3}，是二次方程组；(4){x+y=3.x=2y}，是一次方程组。

解二元一次方程步骤一、什么是二元一次方程？二元一次方程是指含有两个未知数和一次项的方程。

一般的二元一次方程可以写成如下形式：ax + by = c其中，a、b、c分别是已知的实数，x、y是未知数。

二、求解二元一次方程的步骤1. 将方程化为标准形式我们需要将给定的二元一次方程化为标准形式。

标准形式是指方程中x和y的系数为1的形式，即：x + y = d其中，d为常数。

为了将方程化为标准形式，我们可以进行如下操作：a) 如果方程中x或y的系数不为1，我们可以将方程两边同时除以该系数，使得系数变为1。

b) 如果方程中存在负系数，我们可以将方程两边同时乘以-1，使得系数变为正数。

2. 消元接下来，我们需要通过消元的方法求解方程。

消元的目的是将方程中的一个未知数消去，从而得到只含有一个未知数的方程。

我们可以通过以下两种方法进行消元：a) 直接相减法：将两个方程相减，消去一个未知数。

b) 系数法：将其中一个方程的系数乘以另一个方程的系数，使得两个方程中的未知数的系数相等，然后将两个方程相减，消去一个未知数。

3. 求解未知数消元之后，我们得到一个只含有一个未知数的方程。

我们可以通过解这个方程来求解未知数的值。

解方程的方法有很多种，包括代入法、等价变形法、图解法等。

选择合适的方法，将方程中的未知数表示出来，并求解其值。

4. 检验解在得到未知数的值之后，我们需要将这个值代入原方程中，检验是否满足原方程。

如果代入后等式成立，那么我们得到的解是正确的；如果不成立，那么我们需要重新检查求解过程，找出错误。

三、例题演练为了更好地理解解二元一次方程的步骤，我们来看一个例子：已知方程组：2x + 3y = 74x - y = 1我们按照上述步骤进行求解：1. 将方程化为标准形式：2x + 3y = 74x - y = 12. 消元：我们可以通过直接相减法将y消去：(2x + 3y) - (4x - y) = 7 - 12x + 3y - 4x + y = 6-2x + 4y = 63. 求解未知数：将得到的方程化简：-2x + 4y = 6x - 2y = -3我们选择系数法，将第二个方程的系数乘以2，得到：2(x - 2y) = 2(-3)2x - 4y = -6现在，我们可以将两个方程相加，消去x：(-2x + 4y) + (2x - 4y) = 6 + (-6)0 = 0得到0 = 0，这说明方程组有无穷多解。