立体几何经典试题(含答案)

A BC第1题图ABCD第1题图立体几何大题1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD 把△ABC折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．2．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。

（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小的正弦值.3．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（I）求证：点M为BC的中点；（Ⅱ）求点B到平面AMC1的距离；（Ⅲ）求二面角M—AC1—B 的正切值. 4．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；（Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值．5．已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.（Ⅰ）求证：MN⊥AB；（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。

（I）求二面角B1—MN—B的正切值；（II）证明：PB⊥平面MNB1；（III）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离。

高中数学立体几何经典题型练习题集学校：______姓名：_____班级：______考号：______一．单选题1．正三棱锥的底边长和高都是2，则此正三棱锥的斜高长度为（）A．B．C．D．2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G分别为C1D1，AA1，BB1的中点，则空间四边形EFBG在正方体下底面ABCD上的射影面积为（）A．1B．C．D．3．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱4、如图，P是正方体ABCD-A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．5、如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O 所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（）A．1B．2C．3D．46、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱A1B1、BB1、B1C1的中点，则下列结论中：①FG⊥BD；②B1D⊥面EFG；③面EFG∥面ACC1A1；④EF∥面CDD1C1．正确结论的序号是（）A．①和②B．③和④C．①和③D．②和④7、三棱锥P-ABC，PC⊥面ABC，△PAC是等腰三角形，PA=4，AB⊥BC，CH⊥PB，垂足为H，D是PA的中点，则△CDH的面积最大时，CB的长是（）A．B．C．D．8、正方体的直观图如图所示，则其展开图是（）A．B．C．D．二．填空题（共__小题）9、如图所示，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的中点，并且AC⊥BD，AC=m，BD=n，则四边形EFGH的面积为______．10、如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，给出下列结论：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA=45°；⑤直线PD 与平面PAB所成角的余弦值为．其中正确的有______（把所有正确的序号都填上）．11．如图所示，三棱锥M，PA⊥底面ABC，∠ABC=90°，则此三棱锥P-ABC中直角三角形有______个．12、如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1上，F为BB1中点，且FD⊥AC1，有下述结论（1）AC1⊥BC；（2）=1；（3）二面角F-AC1-C的大小为90°；（4）三棱锥D-ACF的体积为．正确的有______．13．各棱长为a的正三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为______．14．一四棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：4，则此截面把一条侧棱分成的两段之比为______．15、如图所示正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F且EF=，给出下列五个结论①AC⊥BE②EF∥平面ABCD③异面直线AE，BF所成的角为60°④A1点到面BEF的距离为定值⑤三棱柱A-BEF的体积为定值其中正确的结论有：______（写出所有正确结论的编号）三．简答题（共__小题）16、如图，立体图形A-BCD的四个面分别为△ABC、△ACD、△ADB和△BCD，E、F、G分别是线段AB、AC、AD上的点，且满足AE：AB=AF：AC=AG：AD，求证：△EFG∽△BCD．17、如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC 的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．（1）求三棱锥D-ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF；（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由．参考答案一．单选题（共__小题）1．正三棱锥的底边长和高都是2，则此正三棱锥的斜高长度为（）A．B．C．D．答案：D解析：解：在正三棱锥中，顶点P在底面的射影为底面正三角形的中心O，延长A0到E，则E为BC的中点，连结PE，则PE为正三棱锥的斜高．∵正三棱锥的底边长和高都是2，∴AB=PO=2，即AE=，OE=，∴斜高PE==，故选：D．2、在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G分别为C1D1，AA1，BB1的中点，则空间四边形EFBG在正方体下底面ABCD上的射影面积为（）A．1B．C．D．答案：B解析：解：过E点做EH垂直CD于H，连接EH，易得H即为E在平面ABCD上的射影，连接AH，BH，如下图所示则AH，BH，AB分别为FE，EG，FB在平面ABCD上的射影，又由G在平面ABCD上的射影为B，故△ABH即为空间四边形EFBG在正方体下底面ABCD上的射影∵S△ABH=S ABCD=故选B3．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱答案：C解析：解：上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱．故A和B错在有可能是斜棱柱，D错在上下底面有可能不是正方形，底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面．故选C．4、如图，P是正方体ABCD-A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．答案：A解析：解：设正方体的棱长为1，连接AC交BD于O，连PO，则PO是等腰△PBD的高，故△PBD的面积为f（x）=BD×PO，在三角形PAO中，PO==，∴f（x）=××=，画出其图象，如图所示，对照选项，A正确．故选A．5、如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（）A．1B．2C．3D．4答案：D解析：证明：∵AB是圆O的直径∴∠ACB=90°即BC⊥AC，三角形ABC是直角三角形又∵PA⊥圆O所在平面，∴△PAC，△PAB是直角三角形．且BC在这个平面内∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，∴BC⊥平面PAC，∴△PBC是直角三角形．从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是，4．故选D．6、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱A1B1、BB1、B1C1的中点，则下列结论中：①FG⊥BD；②B1D⊥面EFG；③面EFG∥面ACC1A1；④EF∥面CDD1C1．正确结论的序号是（）A．①和②B．③和④C．①和③D．②和④答案：D解析：解：如图连接A1C1、A1B、BC1、BD、B1D，因为E、F、G分别是棱A1B1、BB1、B1C1的中点对于①因为FG∥BC1，△BDC1是正三角形，FG⊥BD，不正确．对于②因为平面A1C1B∥平面EFG，并且B1D⊥平面A1C1B，所以B1D⊥面EFG，正确．③面EFG∥面ACC1A1；显然不正确．④EF∥平面CDD1C1内的D1C，所以EF∥面CDD1C1．正确．故选D7、三棱锥P-ABC，PC⊥面ABC，△PAC是等腰三角形，PA=4，AB⊥BC，CH⊥PB，垂足为H，D是PA的中点，则△CDH的面积最大时，CB的长是（）A．B．C．D．答案：D解析：解：三棱锥P-ABC中，PC⊥面ABC，AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB；又AB⊥BC，BC∩PC=C，∴AB⊥平面PBC；又CH⊂平面PBC，∴AB⊥CH，又CH⊥PB，PB∩AB=B，∴CH⊥平面PAB，又DH⊂平面PAB，∴CH⊥DH；又△PAC是等腰直角三角形，且PA=4，D是PA的中点，∴CD=PA=2，设CH=a，DH=b，则a2+b2=CD2=4，∴4=a2+b2≥2ab，即ab≤1，当且仅当a=b=时，“=”成立，此时△CDH的面积最大；在Rt△PBC，设BC=x，则PB===，∴PC•BC=PB•CH，即2•x=•；解得x=，∴CB的长是．故选：D．8、正方体的直观图如图所示，则其展开图是（）A．B．C．D．答案：D解析：解：根据题意，可得对于A，展开图中的上下两边的正方形的对边中点连线应该呈左右方向显现，故A的图形不符合题意；对于B，展开图中最右边的“日”字形正方形的对边中点连线应该是上下方向呈现，且应该在含有圆形的正方形的左边放置，故B的图形不符合题意；对于C，展开图中最右边的正方形应该与含有圆形的正方形相邻，故C的图形不符合题意；对于D，沿如图的红线将正方体的侧面剪裁，展开可得如D项图的形状，故D的图形符合题意故选：D二．填空题（共__小题）9、如图所示，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的中点，并且AC⊥BD，AC=m，BD=n，则四边形EFGH的面积为______．答案：解析：解：由ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的中点，并且AC⊥BD，可得四边形EFGH为矩形，且此矩形的长和宽分别为和，故四边形EFGH的面积为=，故答案为：．10、如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，给出下列结论：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA=45°；⑤直线PD与平面PAB所成角的余弦值为．其中正确的有______（把所有正确的序号都填上）．答案：①④⑤解析：解：对于①、由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB=A，得AE⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；对于②、又平面PAB⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；对于③、由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；对于④、在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，∴④正确；对于⑤、由于DE∥AB，∴D到平面PAB的距离即为E到平面PAB的距离，即E到直线PA的距离，即EA，EA=AB，在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴PD=2AB，∴直线PD与平面PAB所成角的正弦值为=，∴直线PD与平面PAB所成角的余弦值为=，∴⑤正确．故答案为：①④⑤．11．如图所示，三棱锥M，PA⊥底面ABC，∠ABC=90°，则此三棱锥P-ABC中直角三角形有______个．答案：4解析：解：由已知PA⊥底面ABC，∠ABC=90°，所以CB⊥PA，CB⊥AB，又PA∩AB=A，所以CB⊥平面PAB，所以CB⊥PB，所以此三棱锥P-ABC中直角三角形有△ABC，△ABP，△ACP，△PBC共有4个．故答案为：4．12、如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1上，F为BB1中点，且FD⊥AC1，有下述结论（1）AC1⊥BC；（2）=1；（3）二面角F-AC1-C的大小为90°；（4）三棱锥D-ACF的体积为．正确的有______．答案：（2）（3）（4）解析：解：（1）连接AB1，则∠B1C1A即为BC和AC1所成的角，在三角形AB1C1中，B1C1=2，AB1=2，AC1=2，cos∠B1C1A==，故（1）错；（2）连接AF，C1F，则易得AF=FC1=，又FD⊥AC1，则AD=DC1，故（2）正确；（3）连接CD，则CD⊥AC1，且FD⊥AC1，则∠CDF为二面角F-AC1-C的平面角，CD=，CF=，DF===，即CD2+DF2=CF2，故二面角F-AC1-C的大小为90°，故（3）正确；（4）由于CD⊥AC1，且FD⊥AC1，则AD⊥平面CDF，则V D-ACF=V A-DCF=•AD•S△DCF=×××=．故（4）正确．故答案为：（2）（3）（4）13．各棱长为a的正三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为______．答案：解析：解：∵正三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，所以球心在上下底面中心的连线的中点上，AB=a，OA=R，在△OEA中，OE=，AE=，∵AO2=OE2+AE2，∴，∴球的表面积为4πR2=，故答案为．14．一四棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：4，则此截面把一条侧棱分成的两段之比为______．答案：1：1解析：解：根据题意，设截得小棱锥的侧棱长为l，原棱锥的侧棱长为L，∵截面与底面相似，且截面面积与底面面积之比为1：4，∴相似比为：==，∴截面把棱锥的一条侧棱分成的两段之比是l：（L-l）=1：1．故答案为：1：1．15、如图所示正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F且EF=，给出下列五个结论①AC⊥BE②EF∥平面ABCD③异面直线AE，BF所成的角为60°④A1点到面BEF的距离为定值⑤三棱柱A-BEF的体积为定值其中正确的结论有：______（写出所有正确结论的编号）答案：①②④⑤解析：解：①AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；③由图知，当F与B1重合时，令上底面顶点为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值，故不正确．④A1点到面DD1B1B距离是定值，所以A1点到面BEF的距离为定值，正确；⑤三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确．故答案为：①②④⑤．三．简答题（共__小题）16、如图，立体图形A-BCD的四个面分别为△ABC、△ACD、△ADB和△BCD，E、F、G分别是线段AB、AC、AD上的点，且满足AE：AB=AF：AC=AG：AD，求证：△EFG∽△BCD．答案：证明：在△ABD中，∵AE：AB=AG：AD，∴EG∥BD．同理，GF∥DC，EF∥BC．又∠GEF与∠DBC方向相同．∴∠GEF=∠DBC．同理，∠EGF=∠BDC．∴△EFG∽△BCD．17、如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．（1）求三棱锥D-ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF；（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由．答案：解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，∴AD=AC=．设G为CD的中点，则CG=，AG=．∴，，．三棱锥D-ABC的表面积为．（2）取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．∵AF=3FC，∴F为CH的中点．∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．（3）存在这样的点N，当CN=时，MN∥平面DEF．连CM，设CM∩DE=O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO=CM．∴当CF=CN时，MN∥OF．∴CN=．。

《立体几何》测试及答案（时间：120分钟满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1 .已知平而。

内的一条直线1及平而£,则'3_L £”是“ a_L £”的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D,既不充分也不必要条件 解析根据直线与平面垂直的判定定理，由lu "”可证得“a_L £”，即充分性是 成立的.反之由“ a 工B,k a”不一定得到“AL £”，即必要性不成立.所以是 “。

J_ £ ”的充分不必要条件.故选B.答案B72 .已知圆锥的顶点为凡母线州，所所成角的余弦值为石，以与圆锥底面所成角为45° ,若 O △为5的面积为5仃，则该圆锥的侧面积为（） A. 40（72 +1） nB. 40^2 HC.8（4i5 + 5） nD. 8710 n解析设。

为圆锥底而圆的圆心，设底而圆的半径为r.以与圆锥底而所成角为45° ,即/80=45°.所以以=小厂7 7母线闩1,所所成角的余弦值为5即cosN 川沙=小 o o 由 S^=^PA • j^sinZJj^=|x2?X^^=5J15. A?=40, ， 2 o v故 S 秘侧=n r • PA — n r • \[2r=y[2 n y = 4(h/2 n .答案B3 .如图，在正四棱柱物/一儿RG 〃中，底而边长为2,直线。

乙与平而月以所成角的正弦值 为今则该正四棱柱的高为（）贝I] sinN 川哈、= 7、J15 S 8A. 2B. 3C. 4D. 5解析以〃为坐标系原点，DA, DC 、弧所在直线分别为x, y, z 轴建立空间直角坐标系。

一 xyz,如图所示，设正四棱柱的高为方，则。

（0, 0，0）,月（2, 0, 0）,。

（0, 2, 0）, 〃（0, 0, 血，4（0, 2,a ），五=（0, 0,方），赤=（-2, 2, 0）,遨=（0, -2,方）.设平而月曲的法n • m —2乂+2%=0,向量为〃=（%，必，％）,则j —令二=2,则必=方，&=方，A=（/b h,.n •速=-2%+方冬=0, 2）为平面月四的一个法向量.又直线CG 与平面月8所成角的正弦值为所以cos " CG ）答案C4 .设三棱柱 四。

立体几何试题及答案一、选择题1. 已知一个正方体的体积为8立方厘米，那么它的棱长为多少厘米？A. 2B. 4C. 3D. 2√2答案：C2. 一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、4厘米、5厘米，那么它的表面积是多少平方厘米？A. 62B. 94C. 96D. 100答案：B3. 一个圆锥的底面半径为3厘米，高为4厘米，那么它的体积是多少立方厘米？A. 36πB. 48πC. 72πD. 96π答案：B二、填空题4. 如果一个圆柱的底面半径为5厘米，高为10厘米，那么它的体积是_____立方厘米。

答案：7855. 一个球的体积是4/3π立方厘米，那么它的半径是_____厘米。

答案：16. 一个棱锥的底面是边长为4厘米的正方形，高为5厘米，那么它的体积是_____立方厘米。

答案：32三、解答题7. 已知一个圆锥的底面半径为3厘米，高为5厘米，求圆锥的体积。

解：圆锥的体积公式为V = 1/3πr²h，代入数据得：V = 1/3 × π × 3² × 5 = 15π（立方厘米）答：圆锥的体积为15π立方厘米。

8. 一个正四面体的棱长为a厘米，求它的体积。

解：正四面体的体积公式为V = a³√2/12，代入数据得：V = a³√2/12（立方厘米）答：正四面体的体积为a³√2/12立方厘米。

9. 一个长方体的长、宽、高分别为2a厘米、a厘米、a厘米，求它的体积。

解：长方体的体积公式为V = 长× 宽× 高，代入数据得：V = 2a × a × a = 2a³（立方厘米）答：长方体的体积为2a³立方厘米。

1、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（1）线段的中点为，线段的中点为，求证：；（2）求直线与平面所成角的正切值.解：（1）取的中点为，连,,则,面/面, .............. 分5（2）先证出面，.............. 分8为直线与平面所成角，................ 分11................ 分142、己知多面体ABCDE中，DE平面ACD,, AC=AD=CD=DE=2 AB =1, O 为CD 的中点.（1）求证：AO平面CDE（2）求直线BD与平面CBE所成角的正弦值3、如图，在△中，，，点在上，交于，交于•沿将△翻折成△，使平面平面；沿将△翻折成△ ，使平面平面．（ 1 ）求证：平面；（2 ）若，求二面角的平面角的正切值.解：（1）因为，平面，所以平面.因为平面平面，且，所以平面. …2分同理，平面，所以，从而平面. …4分所以平面平面，从而平面.2)因为，，所以，，，．过E作，垂足为M，连结.由( 1)知，可得，所以，所以.所以即为所求二面角的平面角，可记为.在Rt△中，求得，所以. …4、如图，平面ABC,平面BCD, DE=DA=AB=AC,. M(1) 求直线EM与平面BCD所成角的正弦值；(2) P为线段DM上一点，且DM，求证：AP//DE. (12)分15 分为BC中点.解：(1) 平面,为在平面上的射影,为与平面所成角. …分2平面,, 设,又,. 在△中，，，又为中点，， ,.…5分在△中，，．……………………分 (7)2),为中点, ．又平面, ,平面．又平面,,分11 …分9又，平面. .............. 分13又平面，. .............. 分145、如图，已知ABCD是边长为1的正方形，AF丄平面ABCD, CE// AF,(1)证明：BD丄EF;(2)若AF= 1，且直线BE与平面ACE所成角的正弦值为,求的值.解：(1)连结BD、AC,交点为O. •/ ABCD是正方形/• BD丄AC ……2分•/ AF丄平面ABCD A AF丄BD ……4分••• BD丄平面ACEF (6)A BD丄EF ……7分(2)连结0E,由(1)知，BD丄平面ACEF所以/ BEO即为直线BE与平面ACE所成的角. ……10分•/ AF丄平面ABCD, CE// AF , • CE丄平面ABCD, CE1 BC,•/ BC =1 , AF= 1 ,贝U CE= , BE= , B0=,• RtA BEO 中，，…1盼因为解得. …… 15分6、如图在几何体中平面ABC分别是的中点.(1) 求证：平面CDE；(2) 求二面角的平面角的正切值.解：(1)连接ACR1R交EC于点F ,由题意知四边形ACCR1RE是矩形,贝U F是ACR1R的中连接DF, •/ D是AB的中点，•ABCR1R勺中位线，a BCR1R//DF， 4 分•/ BCR1RF面EDC DF平面EDC,• BCR1R//平面CDE. 7 分(2)作AH丄直线CD,垂足为H ,连接HE,•/ AAR1R丄平面ABC, • AAR1RL DC,CD丄平面AHE,CD丄EH ,••• AHE是二面角E -CD -A的平面角. 11分•/ D是AB的中点，• AH等于点B到CD的距离，在厶BCD中，求得：AH=, 在厶AEH中，即所求二面角的正切值为.7、如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且,( 1 )求证：平面；(2)若，求与平面所成角的正弦值.解：(1)证明：过点作于点，•••平面丄平面，•平面……2分又•••丄平面•- 〃 , ......... 分又•••平面• 〃平面 ......... 分(2) •••平面•,又•/••………………分8•点是的中点，连结，则•平面•//,•四边形是矩形………………分10设得：，又•••，•，从而，过作于点，则：•是与平面所成角…………………………………………分…… •，• 与平面所成角的正弦值为…………………………分14&如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，侧棱AA仁2, D, E分别为点，点E在平面ABD上的射影是的重心.(1) 求证：DE// 平面ACB；(2) 求A1B与平面ABD所成角的正弦值.12CC1 与A1B 的中9、如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1中，底面△ ABC为等腰直角三角形，/ B=90°D为棱BB1的中点。

立体几何试题及答案一、选择题1. 一个正方体的棱长为a，其表面积为：A. 3a²B. 4a²C. 6a²D. 8a²答案：C2. 一个长方体的长、宽、高分别为l、w、h，其体积为：A. lwhB. 2(lwh)C. l²wD. lw²答案：A3. 圆柱的底面半径为r，高为h，其体积为：A. πr²hB. 2πr²hC. πrhD. πr²答案：A二、填空题1. 一个球的体积公式为：_________________。

答案：\( V = \frac{4}{3}πr^3 \)2. 圆锥的体积公式为：_________________。

答案：\( V = \frac{1}{3}πr^2h \)3. 若一个棱锥的底面积为S，高为h，则其体积为：_________________。

答案：\( V = \frac{1}{3}Sh \)三、计算题1. 已知一个正四面体的棱长为a，求其表面积和体积。

解：正四面体的表面积为：\( S_{表} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \sqrt{3}a^2 \)正四面体的体积为：\( V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times\frac{\sqrt{2}}{2}a = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3 \)2. 已知一个圆柱的底面半径为r，高为h，求其表面积和体积。

解：圆柱的表面积为：\( S_{表} = 2πr^2 + 2πrh \)圆柱的体积为：\( V = πr^2h \)四、证明题1. 证明：在一个球面上，任意两个大圆的弦所成的角都是直角。

证明：设球面上的两个大圆为O₁O₂和O₃O₄，弦AB和CD分别位于这两个大圆上，连接O₁A、O₁B、O₂A、O₂B、O₃C、O₃D、O₄C、O₄D。

高中几何体试题及答案解析试题一：立体几何基础题题目：已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求该长方体的体积。

解析：长方体的体积可以通过其三个维度的乘积来计算，即体积V = a × b × c。

答案：V = abc。

试题二：空间向量在立体几何中的应用题目：在空间直角坐标系中，点A(1, 0, 0)，点B(0, 1, 0)，点C(0, 0, 1)，求三角形ABC的面积。

解析：空间直角坐标系中，三角形的面积可以通过向量叉乘来求解。

设向量AB = (-1, 1, 0)，向量AC = (-1, 0, 1)，向量AB与向量AC 的叉乘结果为向量AB × AC = (1, -1, 1)。

该向量的模即为三角形ABC的面积的两倍。

答案：三角形ABC的面积为√3。

试题三：圆锥体的体积计算题目：已知圆锥的底面半径为r，高为h，求圆锥的体积。

解析：圆锥的体积可以通过公式V = (1/3)πr²h来计算。

答案：V = (1/3)πr²h。

试题四：球体的表面积与体积题目：已知球体的半径为R，求球体的表面积和体积。

解析：球体的表面积可以通过公式A = 4πR²来计算，球体的体积可以通过公式V = (4/3)πR³来计算。

答案：球体的表面积A = 4πR²，球体的体积V = (4/3)πR³。

试题五：旋转体的体积题目：已知圆柱的底面半径为r，高为h，求圆柱的体积。

解析：圆柱的体积可以通过公式V = πr²h来计算。

答案：V = πr²h。

结束语：通过上述试题及答案解析，我们可以看到高中几何体的计算涉及体积、面积和表面积等概念，这些计算在数学和物理等多个领域都有广泛的应用。

掌握这些基础知识对于解决更复杂的几何问题至关重要。

希望这些试题和解析能够帮助学生加深对立体几何概念的理解，并在解题过程中培养空间想象能力。