立体几何大题专题(基础)

1．如图，已知△ABC 是正三角形，EA ，CD 都垂直于平面ABC ，且EA ＝AB ＝2a ，DC ＝a ，F 是BE 的中点．（1）FD ∥平面ABC ；（2）AF ⊥平面EDB ．2．已知线段PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点。

（1）求证：MN //平面PAD ； （2）当∠PDA ＝45°时，求证：MN ⊥平面PCD ；F CBAEDA B C D EF 3．如图，在四面体ABCD 中，CB=CD,BD AD ⊥，点E ，F 分别是AB,BD 的中点．求证： （1）直线EF// 面ACD ； （2）平面⊥EFC 面BCD ．4．在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC （1）若D 是BC 的中点，求证 AD ⊥CC 1；（2）过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1， 求证 截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；（3）AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由]立体几何大题训练(3)C15. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、G 分别是A 1A ，D 1C ，AD 的中点． 求证：（1）MN//平面ABCD ； （2）MN ⊥平面B 1BG ．6. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．立体几何大题训练(4)7、如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB=4，BC=CD=2，AA 1=2，_ G_ M _ D_1_ C_1_ B_1_ A_1_ N_ D _ C_ B _ ABA 1FE、E1分别是棱AD、AA1的中点(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥面FCC1；(2)证明：平面D1AC⊥面BB1C1C。

【一专三练】 专题03 立体几何大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2022·河北·校联考模拟预测）在斜三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是等腰直角三角形，,AB BC AC ==，平面11ACC A ⊥底面ABC ，112A B AA ==.(1)证明：1A B AC ⊥；(2)求二面角11A BC C --的正弦值.2．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2CA CB ==，AB =，13AA =，M 为AB 的中点.(1)证明：1//AC 平面1B CM ；(2)求点A 到平面1B CM 的距离.3．（2023·江苏泰州·统考一模）如图，在ABC V 中，AD 是BC 边上的高，以AD 为折痕，将ACD V 折至APD △的位置，使得PB AB ⊥.(1)证明：PB ⊥平面ABD ；(2)若4,2AD PB BD ===，求二面角B PA D --的正弦值.4．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）如图，在等腰直角三角形ABC 中（如图1），∠A =90°，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点，将△ABC 沿AD 折叠得到图2所示图形，设l 是平面EFC 和平面ACD 的交线．(1)求证：l ⊥平面BCD ；(2)求平面ACD 和平面BCD 夹角的余弦值．5．（2023·江苏南通·统考模拟预测）三棱柱111ABC A B C -中，112AB AB AA AC ====，120BAC ∠= ，线段11A B 的中点为M ，且BC AM ⊥.(1)求1AA 与BC 所成角的余弦值；(2)若线段11B C 的中点为P ，求二面角11P AB A --的余弦值.6．（2023·福建莆田·统考二模）如图，直三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 为正方形，22AB BC ==，E ，F 分别为AC ，1CC 的中点，11BF A B ⊥．(1)证明：BF ⊥平面11A B E ；(2)求平面11A B E 与平面11ACC A 夹角的余弦值．7．（2023·辽宁·校联考一模）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥底面ABCD ，PD DA =，M 为AD 的中点，且平面PBM ⊥平面PDA .(1)证明：BM AD ⊥；(2)求二面角M PB C --的正弦值.8．（2022·河北邯郸·统考二模）如图，在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等腰直角三角形，且2AB AC ==，△ABP 是正三角形．(1)若PC BC =，求证：平面ABP 平面ABC ；(2)若直线PC 与平面ABC 所成角为π4，求二面角P AB C --的余弦值．9．（2023·江苏·统考一模）在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B BA ⊥平面ABC ，侧面11A B BA 为菱形，1π3ABB ∠=，1AB AC ⊥，2AB AC ==，E 是AC 的中点.(1)求证：1A B ⊥平面1AB C ；(2)点P 在线段1A E 上（异于点1A ，E ），AP 与平面1A BE 所成角为π4，求1EP EA 的值.10．（2022·山东·潍坊一中校考模拟预测）在如图所示的多面体AFDCBE 中，AB ⊥平面BCE ，////AB CD EF ，BE EC ⊥，4AB =，2EF =，24EC BE ==．(1)在线段BC 上是否存在一点G ，使得//EG 平面AFC ？如果存在，请指出G 点位置并证明；如果不存在，请说明理由；(2)当三棱锥D AFC -的体积为8时，求二面角D AF C --的余弦值．11．（2022·山东日照·校联考二模）如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AB BC CD AD ===，现以AC 为折痕把ABC V 折起，使点B 到达点P 的位置，且PA CD ⊥.(1)证明：平面APC ⊥平面ADC ；(2)若M 为PD 上一点，且三棱锥D ACM -的体积是三棱锥P ACM -体积的2倍，求二面角P AC M --的余弦值.12．（2022·湖北武汉·武汉二中校考模拟预测）如图（1），平面四边形ABDC 中，90ABC D ∠=∠=︒，2AB BC ==，1CD =，将ABC V 沿BC 边折起如图（2），使AD =，点M ，N 分别为AC ，AD 中点．(1)判断直线MN 与平面ABD 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角A MN B --的正弦值．13．（2022·湖北·校联考模拟预测）如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，上底面1111D C B A 是边长为1的菱形，下底面ABCD 是边长为2的菱形，1D D ⊥平面ABCD 且11=D D(1)求证：平面11AA C C ⊥平面11BB D D ；(2)若直线AB 与平面11BB C C 1111ABCD A B C D -的体积．14．（2022·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，90ACB ∠=︒，112BC AC CC ===，.(1)证明:11AC A B ⊥；(2)若12A C =，求二面角1A AB C －－的余弦值.15．（2022·湖北十堰·丹江口市第一中学校考模拟预测）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形CDEF 是边长为2的正方形，//,,33,2AB CD AD CD BE AB AD ⊥===．(1)求证：平面ADF ⊥平面BCE ；(2)求平面ADF 与平面BCF 所成锐角的余弦值．16．（2022·湖南岳阳·统考三模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，F 是PD 的中点．(1)证明：//PB 平面AFC ；(2)若直线PA ⊥平面ABCD ，2AC AP ==，且PA 与平面AFC ，求锐二面角F AC D --的余弦值．17．（2022·湖南·校联考模拟预测）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，点P 为棱11B C 的中点，点Q 为线段1A B 上的一动点.(1)求证：当点Q 为线段1A B 的中点时，PQ ⊥平面1A BC ；(2)当点Q 位于线段1A B 的什么位置时，1B Q 与平面1A BP 请说明理由.18．（2022·湖南长沙·长郡中学模拟预测）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，O ，M ，N 分别为线段BC ，1AA ，1BB 的中点，P 为线段1AC 上的动点，116AA =，8AC =.(1)若12AO BC =，试证1C N CM ⊥；(2)在（1）的条件下，当6AB =时，试确定动点P 的位置，使线段MP 与平面11BB C C 所.19．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）如图，在三棱锥-P ABC 中，已知PA PB PC AB AC ====，E 是PA .(1)求证：平面PAB ⊥平面BCE ；(2)若BC AB =，求平面ABC 与平面ABE 夹角的正弦值.20．（2022·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥.(1)证明：BF DE ⊥；(2)求当面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小时，三棱锥1E BDB -的体积.21．（2022·广东·统考模拟预测）如图，已知AB BC ⊥， //BE CD ，90DCB ∠=︒，平面BCDE ⊥平面ABC ， 2AB BC BE ===，4CD =，F 为AD 的中点．(1)证明：EF ⊥平面ACD ；(2)求平面ACE 与平面ABD 所成锐二面角的余弦值．22．（2022·江苏·统考二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，PAB V 是边长为2的等边三角形，PD AB ⊥，PD =(1)求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)求平面PAB 和平面PCD 所成锐二面角的大小.23．（2022·江苏南通·校联考模拟预测）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是4长为的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为PA 的中点，PA ＝PD(1)求证：PC ∥平面BMD ；(2)求二面角M －BD －P 的大小．24．（2022·江苏徐州·统考模拟预测）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD BC CD ⊥⊥，，O 为BD 的中点，,22AB AD BD CD ===．(1)证明：OA ⊥平面BCD ；(2)点E 在棱AD 上，若DE DA λ= ，二面角E BC D --的大小为π4，求实数λ的值．25．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，1CC =D 为BC 的中点，E 为侧棱1AA 上的点．(1)当E 为1AA 的中点时，求证：//AD 平面1BC E ；(2)若平面1BC E 与平面ABC 所成的锐二面角为60 ，求AE 的长度．26．（2022·江苏常州·华罗庚中学校联考三模）如图，ABCD 是边长为6的正方形，已知2AE EF ==，且////ME NF AD 并与对角线DB 交于G ,H ，现以ME ,NF 为折痕将正方形折起，且BC ,AD 重合，记D ,C 重合后为P ，记A ,B 重合后为Q ．(1)求证：平面PGQ ⊥平面HGQ ；(2)求平面GPN 与平面GQH 所成二面角的正弦值．27．（2022·海南省直辖县级单位·校联考一模）如图,在三棱台ABC DEF -中,已知平面ABED ⊥平面BCFE ,BA BC ⊥,3BC =,112BE DE DA AB ====(1)求证:直线⊥AE 平面BCFE ;(2)求平面CDF 与平面AEF 所成角的正弦值.28．（2023·广东惠州·如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)若直线AF 与平面PAB ，求点P 到平面AEF 的距离．29．（2023·安徽蚌埠·统考二模）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 是线段11B D 上的两个动点．(1)若//BF 平面ACE ，求EF 的长度；(2)若11114D E D B = ，求直线BE 与平面ACE 所成角的正弦值．30．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知多面体ABCDEF 中，四边形CDEF 是边长为4的正方形，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，36BE AB ==，4=AD ．(1)求证：平面ADF ⊥平面BCE ；(2)求直线AF 与平面BCF 所成角的正弦值．。

1.(本小题总分值14分)如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD 底面ABCD, PD DC 1, E 是PC 的中点,作EF PB 交PB 于点F.(I)证实： PA //平面EDB; (II)证实：PB ,平面EFD; (III)求三棱锥P DEF 的体积.2 .(本小题总分值(m)求三棱锥(I )求证：B 118.(本小题总分值14分)如右图,在直角梯形ABCD中, B=90 °,1DC//AB,BC=CD= -AB=2 , G 为线段AB 的中点,将VADG 沿GD 2折起,使平面ADG 平面BCDG,得到几何体A-BCDG.(1)假设E,F分别为线段AC,AD的中点,求证：EF//平面ABG;(2)求证：AG 平面BCDG;(3)求V C-ABD 的值.4、(本小题总分值14分)如图4, AA是圆柱的母线, AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A,B的任意一点, AA AB 2.(1)求证：BC 平面A〔AC ；(2)求三棱锥A ABC的体积的最大值.图4C (n ) 求证：EF 面PAC;〔出〕求三棱锥B-PAC的体积.6 .〔本小题总分值14分〕如图,平行四边形ABCD中,CD 1, BCD 60,且BD CD ,正方形ADEF 和平面ABCD成直二面角,G, H是DF , BE的中点.〔I〕求证：BD 平面CDE ;〔n〕求证：GH 〃平面CDE；〔出〕求三棱锥D CEF的体积.7.〔本小题总分值14分〕右图是一个直三棱柱〔以A i B i C i为底面〕被一平面所截得到的几何体,截面为ABC.A i B i = B i C i = l, ZAi B i C i = 90 ,AA i = 4,BB i=2, CC i=3.(I)设点O是AB的中点,证实：OC//平面A i B i C i;(II)求此几何体的体积.8 .(本小题总分值i4分)如图,在正方体ABCD—A i B i C i D i中,E、F为棱AD、AB的中点.(i )求证：EF//平面CB i D i；(2)求证：平面CAA i C■平面CB i D i.9 .(本小题总分值i4分)如图i ,在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度),将直角梯形DCEF沿CD折起,使平面DCEF 平面ABCD,连结局部线段后围成一个空间几何体,如图2.(I)求证：BE〃平面ADF ;(n)求三棱锥F BCE的体积.图图-10 .(本小题总分值14分)在直三棱柱ABC ABG中,AD 平面ABC,其垂足D落在直线A〔B上.(I )求证：BC A1B ；(n)假设AD J3, AB BC 2, P为AC的中点,求三棱锥P ABC的体积.B1…1 .解：(1)证实：连结AC, AC交BD于O,连结EO••・底面ABCD是正方形,,点O是AC的中点在PAC中,EO是中位线,,PA // EO而EO 平面EDB且PA 平面EDB,所以,PA //平面EDB.(2)证实：PD,底面ABCD 且DC 底面ABCD,,PD DCPD=DC,可知PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,.DE PC ①同样由PD,底面ABCD,得PDXBC•••底面ABCD是正方形,有DCXBC,,BC,平面PDC 而DE 平面PDC, BC DE ②由①和②推得DE 平面PBC而PB 平面PBC, . DE PB又EF PB 且DE EF E,所以PB ,平面EFD................................ 8分(3) . PD DC 1,由 PD ,平面 ABCD,PDXBC,又.BCXCD, PDACD = D,BC± PC.-CL 2f在Z^BDE 中,DE -------- , BD22221 DE2 BE 2 BD 2 — 2 而由(2), PB,平面EFD,••.BC,平面 PCD,3 c-一 2 0,即 DEL BE.2PBXDE,因而 DEL 平面 BEF,2在 RtABPD 中,BF BP BD , BF1 1 . V DE EF PF 32 2.解：(I)证实：连结 BD ,那么 BD // B 1D 1,ABCD 是正方形,,AC BD. CE 面 ABCD,,CE BD .又 A .CE C, BD 面 ACE. . AE 面 ACE, . . BD AE ,• .B 1D 1 AE .(n)证实：作BB 1的中点F,连结AF 、CF 、EF.• •・E 、F 是 CC 、BB 1 的中点,,CE?B 1F , • •・四边形B 〔FCE 是平行四边形,, CF// B 1E .E,F 是 CC 、BB 1 的中点,,EF//BC ,又 BC//AD , EF //AD ...............14分136；Rt 革EFEF. AF I CF C , B 1EI ED E ,,平面 ACF 〃面 B 1DE .又 AC 平面 ACF , . . AC 〃面 B 1DE .4证实：二.是底面圆周上异于 A, B 的任意 柱底面圆的直径, •••BCXAC,……2 分,.AA1,平面 ABC , BC i 平面 ABC, . AAiXBC,…… 4 分•.AA i AAC=A , AA 1 i 平面 AA i C, AC i 平面 AA1 C, . EC ,平面AA1C.……6分 (2)解法 1 :设 AC=x ,在 RtMBC 中,BC = J AB 2 AC 2 h x 2(o<x<2),……7 分....1 一 … 1 11 -~~2故 V ARABC = —S VABC AA 1— — AC BC AA 1 _x \ 4x (0<x<2),13 3 23即 V A 「ABC =4“ x 2 1 \/x 2 (4 x 2)：J (x 2~2)2~4 . ……11 分 23 33,-0<x<2 , 0<x 2<4 ,「.当 x 2=2,即 x = 五时, 三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值为 -.……14分35(1)证实：在三角形 PBC 中,E 是PC 中点.F 为PB 中点所以 EF//BC , BC 面ABC, EF 面ABC, 所以 EF 〃面ABC ……4分,四边形ADEF 是平行四边形,AF // ED ,(3)S ABD - AB AD 2 •2VA BDE VE ABD1S ~ SABDCE1S3 SABDCE2 3又AB 是.O 的直径,所以BC AC …… ⑵ ……7分 由(1) (2)得 BC 面PAC 因EF//BC BC 面PAC ,所以EF 面PAC ……9分(出)因PA OO 所在的平面,AC 是PC 在面ABC 内的射影,1V B PACV P ABC S ABC PA37 . (1)证实：作OD //.交片81于口,连C 1D .那么 OD // BB 1 // CC 1 .作BH(n) PA BC面ABC 面ABCBC PA所成角 PCA 450,PA=AC11分在Rt ABC 中,E 是PC 中点,BAC -, AC BC 2412分Q O 是AB 的中点,OD1-(AA 1 BB 1) 3 CC 1 .2那么ODCQ 是平行四边形,OC // C 1D .……4分Q C 1D 平面 C 1B 1A 且 OC 平面C1B1A ,OC // 面 A 1B 1C 1.(2)如图,过B 作截面BA 2c 2CC 1 于 A 2,//面ABG,分别交AA1,Q CC 1 面 BA 2c 2, CC 1BH ,那么BH 平面AC .又Q A 2B AB 1 1 , BC 2B 1c l 1 , BH --, 2V B AA 2C 2C1 S A A 2c 2c3BH 1 1 厂J.21 (1 2) '2 -3 2 22PCA 即为PC 与面ABC'.2----- …14分3所求几何体体积为：V V B AACC . 八八 2 J 2 J8 .〔本小题总分值14分〕折叠之后平行关系不变. BC 平面ADF , AD 平面 • .BC//平面 ADF ,V AB|C 1 A2BC 21八, SA A 1B 1C 1BB 1 - 2 1〔1〕证实：连结 BD .在长方体AC i 中, 对角线BD//B 1D 1. 又Q E 、F 为棱AD 、AB 的中点, ・.EF //BD . . .EF //BD 1. 又 B 1D 1 平面 CBD 1, EF 平面 CB 1D 1,,EF//平面 CB 1D 1. (2) Q 在长方体 AC ［中,AA 1,平面 A 1B 1C 1D 1,而 B 1D 1 平面 A 1B 1C 1D 1, . AA iX B i D i . 又Q 在正方形 A 1B 1C 1D 1 中,A 1C 1 XB 1D 1, .. B 1D 1,平面 CAA 1C 1. 又Q B 1D 1 平面 CB 1D 1,,平面 CAA 1C 1,平面 CB 〔D 1. 14分9 .〔本小题总分值14分〕 证实：〔I 〕证法一：取 DF 中点为G,连结AG, EG 中, 八 1一 八 一八.CE — DF ,,EG 〃CD 且 EG CD 2 又•••AB 〃CD 且AB CD,,EG 〃AB 且 EG AB四边形ABEG 为平行四边形,,BE//AG. BE 平面ADF , AG 平面 ADF,. ・BE 〃平面 ADF ,证法二：由图1可知BC // AD , CE//DFV A 1B 1C 1 A 2BC 2同理CE〃平面ADF ................... 4分. BCI CE C , BC , CE 平面BCE ,,平面BCE 〃平面ADF ......... 6分. BE 平面BCE ,,BE 〃平面ADF ......... 7 分(II)解法1：V F BCE V B CEF .................... 8分由图1可知BC CD.平面DCEF 平面ABCD ,平面DCEF I平面ABCD CDBC 平面ABCD,..BC 平面DCEF ,1 1由图 1 可知DC CE 1 S CEF -CE DC .................. ........... 12 分2 2V F BCE V B CEF 3 BC S CEF解法2：由图1可知CD BC , CD CEBCI CE C. .CD 平面BCE ,. DF //DC点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1 ,由图1可知BC CE 1 S BCE 1-BC CE 2BCE 1 … c 13 CD S BCE 6解法3:过E作EH FC ,垂足为H , ....................... 8分由图1可知BC CD•••平面DCEF 平面ABCD,平面DCEFI 平面ABCD CD11分A B11分BC 平面 ABCD,. BC 平面 DCEF ,EH 平面 DCEF.BC EH,EH 平面BCF 1 、5S BCF -BC DF —, .......... 12 分 2 2又 BD CD. .BD ¥® CDE(n )证实：连结 EA ,那么G 是AE 的中点••• EAB 中,GH // AB又 AB//CD . GH //CD . .GH 〃平面CDE 11分 由 BC FC , FC .DC 2 DF 2 5, 在 CEF 中,由等面积法可得 EHV F BCE V E BCF EH S BCF13分 14分 6.(本小题总分值14分)(I )证实：平面 ADEF 平面ABCD ,交线为ADED AD• .ED 平面ABCDED BD2〔出〕解：设Rt BCD中BC边上的高为h1 1 -依题意：一2 h 1 32 23• • h —2_ ___ _____ .. 一、. .3即：点C到平面DEF的距离为- ---------------- 10•V D CEF V C DEF .32,33分------- 14 分。

立体几何大题专题(基础)人生中有几个必不可少的东西：自制力、冷静头脑、希望和信心。

练1：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是侧棱PD的中点，需要证明PB∥平面EAC。

练2：在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是AB的中点，需要证明BC1∥平面A1CM。

练3：在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BC的中点，需要证明A1C∥平面AB1M。

练4：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E、F分别为PA、BC的中点，需要证明EF∥平面PCD。

练5：在三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分别为AC、B1C1的中点，需要证明MN∥平面ABC1.练6：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N分别为PC、AD的中点，需要证明MN∥平面PAB。

练7：在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为CC1的中点，N为AB的中点，需要证明CN∥平面AB1M。

练8：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是梯形，AD∥BC，BAD=90，AD=2AB=2BC，PA=2AB，E为PC的中点，需要证明AE⊥DE。

练9：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90，AA1=2AC1，E、F分别为CC1、BB1的中点，Q为A1E的中点，需要证明C1Q⊥FQ。

练10：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，PA=AB=BC，ABC=60，DC⊥AC，AF⊥PD，E为PC的中点，需要证明EF⊥PD。

练11：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，需要证明平面PBC⊥平面PAB。

人生中有几个绝对不能失去的东西，包括自制力、冷静头脑、希望和信心。

这些品质可以帮助我们在生活中取得成功。

练12：在五面体ABCDEF中，ADEF是正方形，FA垂直于平面ABCD，AD平行于BC，且角BAD等于角CDA等于45度。

需要证明平面ABF垂直于平面CDE。

练13：在四棱锥P-ABCD中，PA垂直于平面ABCD，ABCD是菱形，且角ABC等于60度，E是AD的中点。

立体几何大题一 证明方法汇总二 同步练习汇总：1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形（2） 若BD=23，AC=2，EG=2。

求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。

AHGFEDCB22．如图，四面体ABCD 中，BCD AD 平面⊥，E 、F 分别为AD 、AC 的中点，CD BC ⊥． 求证：（1）BCD EF 平面// （2）ACD BC 平面⊥．（简单题），以线面平行的性质定理去找平行线，用判定定理证明！！！！3. 如图，P 为ABC ∆所在平面外一点，⊥PA 平面ABC ，︒=∠90ABC ，PB AE ⊥于E ，PC AF ⊥于F求证：（1）⊥BC 平面PAB ；（2）⊥AE 平面PBC ； （3）⊥PC 平面AEF ． 线面垂直的经典例题！！！！！！！！4、如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，FEPCBA（1）求证：AC ⊥平面B 1D 1DB; （2）求证：BD 1⊥平面ACB 1 （3）求三棱锥B-ACB 1体积．5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１） C 1O ∥面11AB D（2 ）1AC ⊥面11AB D ． D 1ODB AC 1B 1A 1C6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点 求证：（1）PA ∥平面BDE D 1C 1B 1A CDBA4（2）平面PAC ⊥平面BDE（3）若棱锥的棱长都为2，求棱锥的体积。

7.如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：AB ⊥BC8.如图，在三棱锥S-ABC 中，,90︒=∠=∠=∠ACB SAC SAB , （Ⅰ）证明SC ⊥BC ；PA B CS（Ⅱ）,29,13,2===SB BC AC 若已知 求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小。

（2020年新高考立体几何）20.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD垂直底面ABCD。

设平面PAD与平面PBC的交线为L。

（1）证明：l垂直平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为L上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值。

（2020年天津卷立体几何）17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1垂直平面ABC，AC垂直BC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱CC1上，且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点。

（I）求证：C1M垂直B1D
(II) 求二面角B-B1E-D的正弦值
(III)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值
（2020年浙江卷立体几何）19.如图，在三棱台ABC-DEF中，平面ACFD 垂直平面ABC，角ACB=角ACD=45度，DC=2BC。

（I）证明：EF垂直DB
(II)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值。

（2020年北京卷立体几何）16.如图，在正方体ABCD-A1B2C3D4中，E为BB1的中点。

（I）求证：BC1//平面AD1E;
(II)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值。

高考立体几何基础题题库一（有详细答案）1、二面角βα--l 是直二面角，βα∈∈B A ，，设直线AB 与βα、所成的角分别为∠1和∠2，则 （A ）∠1+∠2=900 （B ）∠1+∠2≥900 （C ）∠1+∠2≤900 （D ）∠1+∠2＜900 解析：C1和∠2分别为直线AB 与平面,αβ所成的角。

根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角2ABO ∴∠>∠1902190ABO ∠+∠=∴∠+∠≤2. 下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面．．．的一个图是PPQQRSSPPPQQRR RSSSPP PQQQ R RS SS PP Q QR RRSS（A ） （B ） （C ） （D ） D解析： A 项：PS 底面对应的中线，中线平行QS ，PQRS 是个梯形B 项：如图C 项：是个平行四边形D 项：是异面直线。

3. 有三个平面α，β，γ，下列命题中正确的是（A ）若α，β，γ两两相交，则有三条交线 （B ）若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ（C ）若α⊥γ，β∩α=a ，β∩γ=b ，则a ⊥b （D ）若α∥β，β∩γ=∅，则α∩γ=∅ D解析：A 项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。

B 项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。

C 项：如图4. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线AB 与直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为11111C解析：11B C ⊥平面AB 111,B C PB ∴⊥，如图：P 点到定点B 的距离与到定直线AB 的距离相等，建立坐标系画图时可以以点B 1B 的中点为原点建立坐标系。

5. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600角的面对角线的条数是（A ）4条 （B ）6条 （C ）8条 （D ）10条 C解析：如图这样的直线有4条，另外，这样的直线也有4条，共8条。

立体几何基础A 组题一、选择题：1．下列命题中正确命题的个数是 （ ） ⑴ 三点确定一个平面⑵ 若点P 不在平面α内，A 、B 、C 三点都在平面α内，则P 、A 、B 、C 四点不在同一平面内 ⑶ 两两相交的三条直线在同一平面内⑷ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形A.0B.1C.2D.3答案：A2．已知异面直线a 和b 所成的角为︒50，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成的角都是︒30的直线条数有且仅有 （ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案：B 3．已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，下列四个命题中正确的是 （ ） (1) 若βα//，则m l ⊥ (2) 若βα⊥，则m l // (3) 若m l //，则βα⊥ (4) 若 m l ⊥，则βα//A.(3)与（4）B.（1）与（3）C.（2）与（4）D.（1）与（2）答案：B4．已知m 、n 为异面直线，⊂m 平面α，⊂n 平面β，l =βα ，则l （ ） A.与m 、n 都相交 B.与m 、n 中至少一条相交 C.与m 、n 都不相交 D.至多与m 、n 中的一条相交答案：B5．设集合A={直线}，B={平面}，B A C =，若A a ∈，B b ∈，C c ∈，则下列命题中的真命题是 （ ）A. c a b a b c ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// B.c a c b b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ C.c a b c b a //////⇒⎭⎬⎫ D. c a b c b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥//答案：A6．已知a 、b 为异面直线，点A 、B 在直线a 上，点C 、D 在直线b 上，且AC=AD ，BC=BD ，则直线a 、b 所成的角为 （ ） A. ︒90 B. ︒60 C. ︒45 D. ︒30答案：A7．下列四个命题中正确命题的个数是 （ ） 有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱 各侧面都是正方形的四棱柱是正方体底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥A.1个B.2个C.3个D.0个答案：D8．设M={正四棱柱}，N={长方体}，P={直四棱柱}，Q={正方体}，则这些集合之间关系是 （ ） A.Q M N P B.Q M N P C.Q N M P D.Q N M P答案：B9．正四棱锥P —ABCD 中，高PO 的长是底面长的21，且它的体积等于334cm ，则棱AB 与侧面PCD 之间的距离是 （ ） A.cm 2 B. cm 2 C. cm 1 D.cm 22答案：A10．纬度为α的纬圈上有A 、B 两点，弧在纬圈上，弧AB 的长为απcos R （R 为球半径），则A 、B 两点间的球面距离为 （ ）A. R πB. R )(απ-C. R )2(απ-D. R )2(απ-答案：D11．长方体三边的和为14，对角线长为8，那么 （ ） A.它的全面积是66 B.它的全面积是132C.它的全面积不能确定D.这样的长方体不存在答案：D12．正四棱锥P —ABCD 的所有棱长都相等，E 为PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成角的余弦值等于（ ）A.21B. 22C. 32D. 33答案：D13．用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱，截面是 （ ）A.正方形B.矩形C.菱形D.一般平行四边形答案：B二、填空题：14．正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CC 1的重点，则EF 与BG 所成角的余弦值为________________________答案：510 15．二面角βα--a 内一点P 到两个半平面所在平面的距离分别为22和4，到棱a 的距离为24，则这个二面角的大小为__________________答案：︒︒16575或16.四边形ABCD 是边长为a 的菱形，︒=∠60BAD ，沿对角线BD 折成︒120的二面角A —BD —C 后，AC 与BD 的距离为_________________________答案：a 43 17．P 为︒120的二面角βα--a 内一点，P 到α、β的距离为10，则P 到棱a 的距离是_________________答案：3320 18．如图：正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成︒60的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是______________________答案：4219．已知三棱锥P —ABC 中，三侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，三侧面与底面所成二面角的大小分别为γβα,,，则=++γβα222cos cos cos _______________答案：1 20．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_____________（只需写出一个可能的值）。

立体几何大题训练题一、解答题（共17题；共150分）1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四边形ABCD中，∠ABC= ，AB=4，BC=3，CD= ，AD=2 ，PA=4.（1）证明：CD⊥平面PAD；（2）求二面角B-PC-D的余弦值..2.如图，在四棱锥中，平面，在四边形中，，，，，，.（1）证明：平面；（2）求B点到平面的距离3.如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，，为的中点，F 为线段上靠近B 点的三等分点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.4.如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面;（2）求与平面所成角的正弦值.5.如图，在三角锥中，, , 为的中点.（1）证明：平面;（2）若点在棱上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.6.如图，在三角锥中，, , 为的中点.（1）证明：平面;（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值. 7.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．8.如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.9.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值。

10.已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，为的中点，为中点.（1）求证：直线平面；（2）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.11.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1AC1C⊥平面ABC，∠ABC=90°.∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F 分别是AC，A1B1的中点（1）证明：EF⊥BC（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.12.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC；（Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C 的余弦值．13.如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．14.如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．15.如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为AD，BP的中点，AD ＝3，AP＝3 ，PC ．（1）求证：EF//平面PDC；（2）若∠CDP＝120°，求二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值．16.如图，四棱锥中，侧棱垂直于底面，，，为的中点，平行于，平行于面，.（1）求的长；（2）求二面角的余弦值.17.如图，在斜三棱柱中，侧面，，，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若为中点，求二面角的正切值．答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）解：连接，由∠ABC= ，AB=4，BC=3，则，又因为CD= ，AD=2 ，所以，即，因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，因为，所以CD⊥平面PAD；（2）解：以点D为坐标原点，的延长线为x，为y轴，过点D与平行线为z轴，建立空间直角坐标系，如图：作交与点G，，即，所以，，所以，所以，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，即，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，即，由，所以二面角B-PC-D的余弦值为.【解析】【分析】（1）连接，证出，利用线面垂直的性质定理可得，再利用线面垂直的判定定理即可证出.（2）以点D为坐标原点，的延长线为x，为y轴，过点D与平行线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量的数量积即可求解.2.【答案】（1）解：在平面中，，，，则，又，∴，即，又平面，则，又，∴平面.（2）解：在平面中，过A作BC的平行线交CD的延长线于M，因为，，，则,又因为，,所以.所以又，则，所以,在中，.因为,则面,所以由可知：，,所以，则，因此P点到平面的距离为.【解析】【分析】(1)在三角形中，由勾股定理可证得，由平面，可得，根据线面垂直的判定定理即可证得结论；(2) 在平面中，过A作BC的平行线交CD 的延长线于M，因为利用等体积转换即可求得距离.3.【答案】（1）证明：，为线段中点，.平面，平面，.又底面是长方形，.又，平面.平面，. 又，平面.（2）解：由题意，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，.所以, ，，，设平面的法向量，则，即，令，则，，，同理可求平面的法向量，，，即平面与平面所成角的正弦值为.【解析】【分析】（1）通过，可证明平面，进而可得，结合证明线面垂直.（2）以为轴建立空间直角坐标系，可求出平面的法向量，平面的法向量，则可求出两向量夹角的余弦值，从而可求二面角的正弦值.4.【答案】（1）解：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又，∴BF⊥平面PEF.∴又平面ABFD，平面PEF⊥平面ABFD.（2）解：作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE= .又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.可得.则为平面ABFD的法向量. 设DP与平面ABFD所成角为，则.∴DP与平面ABFD所成角的正弦值为.【解析】【分析】(1)在翻折过程中,作于H,由得到,从而得到面面垂直;(2)DP与平面所成的角就是,在三角形中求其正弦值.5.【答案】（1）∵PA=PC=AC=4 且O是AC的中点∴PO⊥AC∵AB=BC=2 ，AC=4,∴∴∠ABC=90°连接BO则OB=OC∴PO2+BO2=PB2PO⊥OB，PO⊥OCOB∩OC=O∴PO⊥平面ABC（2）过点C作CH⊥OM交OM于点H又∵PO⊥平面ABC∴∴CH的长度为点C到平面POM的距离在△COM中，CM= ，OC=2，∠OCM=45°∴∴OM=∴【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）由线面垂直可得面面垂直，易找点面距，可求.6.【答案】（1）PA=PC=AC=4 且O是AC的中点PO⊥AC∵AB=BC=2 ，AC=4,∴∴∠ABC=90°连接BO则OB=OC∴PO2+BO2=PB2PO⊥OB，PO⊥OCOB∩OC=O∴PO⊥平面ABC（2）∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥OB∴AB=BC=2 O是AC的中点∴OB⊥AC OB⊥平面PAC如图所示以O为坐标原点，为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系O-xyz则P（0,0，）A（,0，-2,0），C（0,2,0），B（2,0,0）平面PAC法向量为=（1,0,0）设M（x，2-x，0）平面PAC法向量为=（1，λ，μ），=（0，2，）, = （x，4-x，0）则即即得到，∴x=-4（舍），x=即M∴PAM的法向量记PC与平面PAM所成的角为θ∴即PC与平面PAM所成的角为的正弦值为.【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）先由条件建系，找到点M的位置，再用公式求线面角.7.【答案】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD= ．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥AD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞= = ．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【解析】【分析】（1.）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2.）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD 为矩形，设PA=AB=2a，则AD= ．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．8.【答案】（1）解：由已知得，平面，平面，故．又，所以平面．（2）由（1）知．由题设知，所以，故，．以为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），，．设平面EBC的法向量为=（x，y，x），则即所以可取= .设平面的法向量为=（x，y，z），则即所以可取=（1，1，0）．于是．所以，二面角的正弦值为．【解析】【分析】（1）根据题意由线面垂直的性质得出线线垂直，再由线线垂直的判定定理出线面垂直。