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欢迎阅读《电子工程物理基础》习题参考答案第一章1-一维运动的粒子处在下面状态(0,0)()0(0)xAxe x x x λλψ-⎧≥>=⎨<⎩①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率分布函数；③在何处找到粒子的概率最大解：（1所以 （2（3 1-②n ③当解：（1（2）（31- （1）归一化常数由*1dx ψψ+∞-∞=⎰ 得到 A =（2） 振子的概率密度 222()()xw x x αψ-==由()0dw x dx= 得到x=0时振子出现概率最大。
（3）势能平均值 1-设质量为m 的粒子在下列势阱中运动，求粒子的能级。
解: 注意到粒子在半势阱中运动，且为半谐振子。
半谐振子与对称谐振子在x>0区域满足同样的波动方程，但根据题意，x<0区域，势函数为无穷，因此相应的波函数为零，从而破坏了偶宇称的状态。
这样，半谐振子定态解则为谐振子的奇宇称解（仅归一化常数不同） 1-电子在原子大小的范围(～10-10m )内运动，试用不确定关系估计电子的最小能量。
解： 电子总能量 22E 2s e p m r=-作近似代换，设 ~,~,~r r p p r p ∆∆∆∆由不确定关系得，，于是 所以电子的最小能量 4min 2E 2s me =-，此式与薛定谔方程得到的氢原子基态能量表达式相同。
1-①r 由 1- 12H '1-8)ω（2） n=11-0少?费米能级以上 00.1411= 1.8%11i E E k Tf e e-==++f费米能级以下 0-0.1411=98.2%11i E E k Tf e e--==++f 第二章2-1.试说明格波和弹性波有何不同?提示：从晶格格点分立取值和晶格周期性特点出发分析与连续介质弹性波的不同。
2-2. 证明：在长波范围内，一维单原子晶格和双原子晶格的声学波传播速度均与一维连续介质弹性波传播速度相同，即：式中，E 为弹性模量，ρ为介质密度。
第二章 波函数与薛定谔方程（2）一、填空题1、一维谐振子处于其能量本征态n ψ,则其动能的平均值为__________；势能的平均值为___________________。
2、一维线性谐振子的量子数取n 的波函数为ψn (x )，其定态薛定谔方程为 ，与ψn (x )相对应的能量为 。
3、一般来说，把无限远处为零的波函数所描写的状态称为 ，体系能量最低的态称为 。
4、线性谐振子的x x dx d H αμωμ++-=22222212ˆ ，α为实数，则其能n E = 。
5、粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为 ，第一激发态的波函数为 。
6、基态是指 的状态，一维线性谐振子的基态波函数为 。
7、一维线性谐振子的第一激发态的能量为 、第一激发态的波函数为 。
8、t =0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ 。
9、 称为隧道效应。
答案：粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象10、 的状态称为束缚态，其能量一般为 谱。
10、处于第3激发态的线性谐振子的经典禁区为 。
二、选择题1、在一维无限深势阱U x x ax a (),,=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22224 n a B.πμ22228 n a C.πμ222216 n a D.πμ222232 n a. 2、在一维无限深势阱U x x a x a (),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子处于基态，其位置几率分布最大处是A.x =0B.x a =C.x a =-D.x a =2 3、线性谐振子的能级为A.,...)3,2,1(,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n ω . B.(),....)2,1,0(,1=+n n ω .C.,...)2,1,0(,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n ω . D.(),(,,,...)n n +=1123 ω 4、线性谐振子的能量本征方程是A.2222221[]22d x E dx μωψψμ-+= . B.[]--= 22222212μμωψψd dx x E . C.[] 22222212μμωψψd dx x E -=-. D.2222221[]22d x E dx μωψψμ+=- 5、线性谐振子的第一激发态的波函数为ψαα()exp()x N x x =-122122,其位置几率分布最大处为A.x =0B.x =±μωC.x =μωD.x =±μω.6、一维无限深势阱中，粒子任意两个相邻能级之间的间隔 A.和势阱宽度成正比 B.和势阱宽度成反比 C.和粒子质量成正比 D.随量子数n 增大而增大7、一维谐振子处于01A B ψϕϕ=+，其中A 、B 为实常数，n ϕ为谐振子的第n 个归一化本征函数，则A.122=+B AB.1)(2=+B AC.1=+B AD.B A =8、对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是 A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能；C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒。
量子力学专题三：一维势场中的粒子一、一维薛定谔方程边界条件和处理办法（熟练掌握）1、边界条件：A、束缚态边界条件：在无穷远处，找到粒子的概率为零，相应的波函数的值应该趋近于零；B、连续性边条件：a、波函数连续；b、波函数的一阶偏导数连续。
（注意：不一定同时成立！！）C、周期性边界条件：在求解角动量l分量的本征函数时，利用周期性边界条件可以确z定本征函数的归一化常数；在求解转子的能量本征函数时，亦可以利用周期性边界条件来确定其归一化常数。
2、处理方法：A、列出不同区间的能量本征方程，并对其进行求解；B、根据束缚态边条件，选择适合的解；C、根据连续性边条件，对得到的波函数进行归一化处理；D、写出本征函数和对应的能量本征值。
二、一维方势阱：1、一维无限深方势阱的求解方法及其物理讨论（熟练掌握） A 、非对称势阱： a 、解题步骤：（1）写出各个区间的能量本行方程； （2）根据写出的微分方程，求出其通解；（3）根据连续性边界条件，确定其相位及其能量本征值的取值； （4）根据概率诠释，对波函数进行归一化处理，确定待定常数； （5）写出能量本征方程和对应的能量本征值。
b 、具体过程：)0(),0(0)(a x a x x x V <<><⎩⎨⎧∞=（1）列出不同区间的能量本征方程，并对其进行求解； 在0<x 和a x >区间，波函数为：0)(≡x ψ在ax <<0区间，能量本征方程为：)()(2222x E x dxdm ψψ=-对其变形，得2=+''ψψk其中，mE k2=（0>E ）。
解得： )sin()(δψ+=kx A x（2）根据束缚态边条件，选择适合的解；此处的束缚态边条件，即粒子在无穷远处出现的概率为零，在求解本征方程——在0<x 和a x >区间，波函数为：0)(≡x ψ——时已经应用了！（3）根据连续性边条件，对得到的波函数进行归一化处理；在0=x 处，波函数连续，有0sin )0(==δψA ，则有0=δ。
习题课021 第2章 一维势场中的粒子1.例题（一维势阱系列题I ）①质量为μ的粒子在一维无限深势阱 ⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=ax a x x x V 00)( 中运动,求出粒子的能级和对应的波函数。
解：本征值方程： ⎪⎩⎪⎨⎧><=≤≤=-a x x a x E dx d ,0,00,2222ψψψμ⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=a x 0, x ,0a x 0,sin 2x an a nπψ),3,2,1n (a2n E 2222n =μπ=，（有三种一般解的形式可令。
）其含时波函数为：⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ax 0, x ,0ax 0,e)sin(2),(i -tE n n x an a t x πψ②粒子处于基态，则找到粒子的概率密度为最大的位置是哪里？ 解：在区间ax 0≤≤内求x aaπψω2211sin2||==的极大值，结果为x=a/2③设粒子处于一维无限深势方阱中（如图），证明处于能量本征态)(x n ψ的粒子， 2a x =）（）（22226112πn ax x -=-。
讨论∞→n 的情况，并与经典力学计算结果比较。
[解]写出归一化波函数：()⎪⎩⎪⎨⎧<<<>=ψ)0(,sin 2),0(,0a x a xn a a x x x n π 先计算坐标平均值：xdx axn axdx ax n axdx x aaan ）（⎰⎰⎰-==ψ=222cos11sin2ππ 利用公式： 2cos sin cos ppx ppxx pxdx x +-=⎰22cos 22sin 221022a a x n n a a x n x n a xa x a=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππ计算均方根值用()x x x x x ，）（222-=-已知，可计算2xdx axn x adx ax n x adx x x aan ）（⎰⎰⎰-==ψ=2222222cos11sin2ππ 利用公式pxppx x ppx x ppxdx x sin 1cos 2sin 1cos 3222-+=⎰ （5）有 aa x n x n a a x n n a x n a x a x 0222222cos 222sin 22311πππππ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=222223πn aa-=()22222222223⎪⎭⎫⎝⎛--=-=-a n aaxx x x π）（ 2222212πn aa-=在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a ）范围中运动，各点的概率密度看作相同，由于总概率是1，概率密度a1=ω。
量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 λνc =， （2）||λνρρλd d v =， （3）有(),118)(|)(||52-⋅=⋅===kThc v v ehc cd c d d dvλνλλπλλρλλλρλρρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kThce kT hc ehcd d λλλλλπλρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯≈-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1.2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解：根据德布罗意波粒二象性的关系，可知λh P =。
所考虑的粒子是非相对论性的电子（动能eV c m E e k 621051.0⨯=<<），满足ek m p E 22=， 因此利用非相对论性的电子的能量—动量关系式，有nmm mE c m hc E m h ph e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯====--λ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1， eV c m e 621051.0⨯=。
第2章 一维势场中的粒子习题2.1 在三维情况下证明定理1—2。
证明:实际上，只要在教材上对一维情形的证明中将一维变量x 换为三维变量r即可。
习题2。
2 方程 0k dxd 222=ψ+ψ的一般解亦可写为如下形式：ikx ikx Be Ae x -+=)(ψ 或 )sin()(αψ+=kx A x 试分别用这两个一般解求解一维无限深势阱。
解：方法1：令势阱内一般解为 ikx ikx Be Ae x -+=)(ψ，代入边界条件,0)(,0)0(==a ψψ有 0=+B A ，0=+-ika ika Be Ae 解得： 0sin ,=-=ka B A ，有)3,2,1(, ==n an k π所以：)0(,sin sin2)(a x x an A x a n Ai x ≤≤'==ππψ 归一化可求得：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤><=)0(,sin 2),0(,0)(a x x a n a a x x x πψ 且有： ,3,2,1,22222===n an E E n μπ 方法2：令势阱内一般解为)sin()(αψ+=kx A x ，代入边界条件,0)(,0)0(==a ψψ有,0sin =αA 0)sin(=+αka A解得,0=α)3,2,1(, ==n an k π所以：)0(,sin)(a x x an A x ≤≤=πψ 归一化可求得：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤><=)0(,sin 2),0(,0)(a x x a n a a x x x πψ 且有： ,3,2,1,22222===n an E E n μπ 习题2。
3 设质量为μ的粒子在势场 ⎩⎨⎧>∞≤=2/||,2/||,0)(a x a x x V 中运动，求定态Schr ödinger 方程的解.解：方法1：本问题与一维中心不对称无限深势阱 的差别仅在于坐标原点的选择,将教材中式（2.6） 中的坐标x 换为x+a/2即得到本问题的解为：⎪⎩⎪⎨⎧>-<≤≤-+=2/,2/,02/.2/),2(sin 2)(a x a x a x a ax a n a x n πψ a2n E E 222n 2μπ== ，n=1,2,3 …… 由定理2可知，本问题中的波函数应该具有确定的宇称。
讨论如下：当n=2k 为偶数时，⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤<<--=+=.2/,2/,0.2/2/,2sin 2)1()2(2sin 2)(2a x a x a x a axk a a x a k a x k k ππψ为关于x 的奇函数，此时波函数为奇宇称；当n=2k+1为奇数时，⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤<<-+-=++=+.2/,2/,0.2/2/,)12(cos 2)1()2()12(sin 2)(12a x a x a x a axk a a x a k a x k k ππψ为关于x 的偶函数,此时波函数为偶宇称；方法2：本题也可在不预先考虑宇称的情况下直接求解，过程如下：1．写出分区的定态Schrödinger 方程ψψE H=ˆ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞→≥=+-<=-)(,2/||,22/||,200222222V a x E V dx d a x E dxd ψψψμψψμ由前面提到的，当V 0→∞时,ψ=0 故阱外波函数为零，即 ψ（x ）=0, ｜x ｜≥a/22、引入参数简化方程，得到含待定系数的解，令22 Ek μ= 则阱内定态Schr ödinger 方程为：ψ″(x)+k 2ψ=0 由此得阱内的通解为：ikx ikx Be Ae x +=-)(ψ 式中A 、B 为待定常数。
3、由波函数标准条件确定参数k ，并代入ψ(x ）。
既然阱外的波函数ψ(x ）=0，由波函数的连续性条件可得ψ（-a ／2)= ψ(a ／2）=0 即02/2/2/2/=+=+--ika ika ika ika BeAeBe Ae可解得，πank = n=1，2，3,……πin Ae B -=∴ )2(sin )2//sin(2)()(2/)2//()2//(2/)/(/a x an A n a x n iAe e e Ae Ae Ae x in n a x n i n a x n i in n a x n i a x in +'=+-=-=-=++-+-πππψπππππππππ 归一化，可得到⎪⎩⎪⎨⎧≥=<+=2/||.0,3,2,1,2/||),2(sin 2)(a x n a x ax a n a x n πψ 方法3：本题也可在预先考虑宇称的情况下直接求解，过程如下：1．写出分区的定态Schrödinger 方程ψψE H=ˆ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞→≥=+-<=-)(,2/||,22/||,200222222V a x E V dx d a x E dxd ψψψμψψμ由前面提到的，当V 0→∞时，ψ=0 故阱外波函数为零，即 ψ（x ）=0， ｜x|≥a/22、引入参数简化方程，得到含待定系数的解，令22 Ek μ= 则阱内定态Schr ödinger 方程为：ψ″（x ）+k 2ψ=0 由此得阱内的通解为：ψ(x)=Asinkx+Bcoskx, ｜x|<a/2 式中A 、B 为待定常数。
3、由波函数标准条件确定参数k ，并代入ψ(x)。
既然阱外的波函数ψ（x)=0，由波函数的连续性条件可得ψ(—a ／2)= ψ（a ／2)=0即⎩⎨⎧=+==+-=-0)2/cos()2/sin()(0)2/cos()2/sin()(ka B ka A a ka B ka A a ψψ 得它的解为：⎩⎨⎧==0)2/cos(0ka A 或 ⎩⎨⎧==0)2/sin(0ka B由两组解可得，πank = n=1，2,3,……对于第一组解，n 为奇数；对于第二组解，n 为偶数。
考虑到势函数关于坐标原点对称，波函数必有确定的宇称，由此可得到偶宇称或奇宇称波函数为：⎪⎩⎪⎨⎧=0,sin )(为偶数n x anx A x n ψ 2/||2/||a x a x ≥< 或⎪⎩⎪⎨⎧=0,cos )(为奇数n x anx B x n ψ 2/||2/||a x a x ≥< 上边两组解可合并为一个式子，即⎪⎩⎪⎨⎧≥=<+=2/||,0,3,2,1,2/||),2(sin')(a x n a x a x a n A x n πψ 归一化,可得到⎪⎩⎪⎨⎧≥=<+=2/||,0,3,2,1,2/||),2(sin 2)(a x n a x ax a n a x n πψ 习题2。
4 二维无限深方势阱问题设质量为μ的粒子在势场⎩⎨⎧∉∞∈=)),0(),,0((),(,)),0(),,0((),(,0),(2121a a y x a a y x y x V 中运动，求束缚态解.解:由前面的知识可以知道当粒子处于V （x,y)=∞ 时，则粒子的波函数为零，即ψ（x,y)=0 （x,y ） ∉（(0,a 1 ），（0,a 2 ）)粒子在(x ，y)∈(（0,a 1）,(0，a 2）)内的Schr ödinger 方程ψψE H =ˆ 即：ψψψμE y x =∂∂+∂∂-)(222222利用变量分离法,可以将粒子在二维方势阱内的运动化为二个一维运动。
即令 ψ(x ，y ）=X （x)Y （y)将ψ(x ，y ）=X （x)Y （y)代入上式的Schr ödinger 方程中，得022=+''+''EY Y X X μ 令222212 Ek k μ=+ 则Schr ödinger 方程可化为：⎪⎩⎪⎨⎧∈=+''∈=+''),0(,0),0(,0222112a y Y k Y a x X k X 则其解为：⎩⎨⎧+''=+'=)sin()sin(2211δδy k A Y x k A X由此可设波函数为：ψ（x ，y ）=Asin （k 1x+δ1)sin(k 2y+δ2) (x ，y) ∈ （(0，a 1),（0, a 2）） 由边界条件：ψ(x ，0）= ψ（0，y ）= ψ(a 1 ，y)= ψ（x,a 2)=0代入波函数中,得x⎩⎨⎧=+=+0sin )sin(0)sin(sin 21102210δδδδx k A y k A ⎩⎨⎧==⇒0sin 0sin 21δδ,故可取 ⎩⎨⎧==0021δδ ∴ψ(x,y)=Asink 1xsink 2y （x,y) ∈ (（0，a 1)，(0，a 2）) 由边界条件ψ(a 1,y ）= ψ（x ，a 2)=0得⎩⎨⎧==0sin sin 0sin sin 221211a k x k A y k a k A 则得到 k 1a 1=n 1π, k 2a 2=n 2π （n 1，n 2=1,2,3……）即 111a n k π=, 222a n k π= ∴ 3,2,1,),(221222221212=+=n n a n a n E μπ波函数y a n x a n A 2211sin sinππψ= 由波函数的归一化条件得到:1sin sin ||2201122021=⎰⎰ydxdy a n x a n A a a ππ 得212124a a a a A ==所以，二维无限深方势阱的波函数为：y a n x a n a a y x n n 221121,sin sin2),(21ππψ=， n 1，n 2=1,2,3…… 能级为： 3,2,1,),(221222221212,21=+=n n a n a n E n n μπ习题2。
5 三维无限深方势阱问题设质量为μ的粒子在势场⎩⎨⎧∉∞∈=)),0(),,0(),,0((),,(,)),0(),,0(),,0((),,(,0),,(321321a a a z y x a a a z y x z y x V 中运动，求束缚态解.ψ（x,y,z ）=0 （x,y) ∉((0,a 1）,（0,a 2），（0,a 3）)在盒型势阱内的定态Schr ödinger 方程ψψE H=ˆ 即:ψψψψμE z y x =∂∂+∂∂+∂∂-)(22222222利用变量分离法，可以将粒子在三维方势阱的运动化为三个一维运动。
不可穿透的壁就是无限深的势阱。
令ψ(x ，y,z ）=X （x ）Y(y ）Z （z ）代入上式Schr ödinger 方程中，得022=+''+''+''E Z Z Y Y X X μ令22322212 Ek k k μ=++ 则Schr ödinger 方程可化为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=+''∈=+''∈=+''),0(,0),0(,0),0(,0323222121a z Z k Z a y Y k Y a x X k X ∴阱内的波函数可设为：ψ（x ，y ，z)=Asin （k 1x+δ1）sin （k 2y+δ2)sin(k 3z+δ3）(x,y ，z ） ∈ （（0,a 1)，(0，a 2),(0，a 3))将边界条件:ψ(0，y ，z ）= ψ（x,0，z ）=ψ(x,y ，0）= 0代入波函数中，得⎪⎩⎪⎨⎧===0sin 0sin 0sin 321δδδ ，故可取 ⎪⎩⎪⎨⎧===000321δδδ ∴此时波函数可写为:ψ(x ，y ，z ）=Asink 1xsink 2ysink 3z （x,y ，z ） ∈ ［（0，a 1)，（0,a 2),（0,a 3)］ 由边界条件，ψ(a 1,y ，z ）= ψ(x ，a 2,z)= ψ(x ，y ，a 3）=0 代入波函数中，得:⎪⎩⎪⎨⎧===0sinsin sin 0sin sin sin 0sin sin sin 332132213211a k y k x k A z k a k x k A z k y k a k A ∴⎪⎩⎪⎨⎧===0sin 0sin 0sin 332211a k a k a k ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒πππ333222111n a k n a k n a k （n 1，n 2,n 3=1，2,3……） ∴,111a n k π=,222a n k π= ,333a n k π= (n 1，n 2，n 3=1,2，3……） 所以：)(232322221212,,321a n a n a n E n n n ++=μπ z a n y a n x a n A n n n 332211,,sin sin sin321πππψ= 由归一化条件1||2,,321=⎰dxdydz vn n n ψ得出，3218a a a A =即，三维无限深势阱的波函数为:z a n y a n x a n a a a z y x n n n 332211321,,sin sin sin 8),,(321πππψ=n 1,n 2,n 3=1,2,3……能级： 3,2,1,,),(232132322221212,321=++=n n n a n a n a n E n n n μπ 习题2。
