(初中精品)解三角形 学案-2022届高三数学一轮复习(新高考)

第六节 正弦定理和余弦定理及解三角形1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是△ABC 的外接圆半径． 正弦定理的常用变形：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .(3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc _cos_A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ； b 2＝a 2＋c 2－2ac _cos_B ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ； c 2＝a 2＋b 2－2ab _cos_C ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab． 3．勾股定理在△ABC 中，∠C ＝90°⇔a 2＋b 2＝c 2． 4．三角形的面积公式 S △ABC ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c＝12ab _sin_C ＝12bc _sin__A ＝12ac _sin_B ． 5．实际问题中的常用术语 术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角α的X 围是0°≤α<360°续表 术语名称术语意义图形表示 方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度①北偏东m °②南偏西n °坡角坡面与水平面的夹角设坡角为α，坡度为i ， 则i ＝hl＝tan α坡度坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比1．射影定理 b cos C ＋c cos B ＝a ， b cos A ＋a cos B ＝c ， a cos C ＋c cos A ＝b .2．三个角A ，B ，C 与诱导公式的“消角”关系 sin (A ＋B )＝sin C ， cos (A ＋B )＝－cos C ， sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.3．特殊的面积公式(1)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径).(2)S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），P ＝12(a ＋b ＋c ).(3)S ＝abc4R＝2R 2sin A ·sin B ·sin C (R 为△ABC 外接圆半径).1．(基本方法：正弦定理)在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．23 C ． 3 D ．32答案：B2．(基础知识：正、余弦定理)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 答案：C3．(基础知识：三角形的面积公式)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积为________．答案：2 34．(基本能力：正弦定理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝________．答案：3π45．(基本应用：实际问题中的常用术语)两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的北偏西________，西偏北________．答案：10° 80°题型一 正、余弦定理的基本应用[典例剖析]类型 1 正弦定理及其应用[例1] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A ．53B ．107C ．57D ．5214解析：因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以sin C ＝sin [π－(A＋B )]＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57.答案：C类型 2 余弦定理及其应用[例2] 已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋23C ．4－2 3D ．6－ 2解析：在△ABC 中，易知B ＝30°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4， ∴b ＝2. 答案：A类型 3 正、余弦定理混合应用[例3] 已知△ABC 满足sin 2A ＋sin A sin B ＋sin 2B ＝sin 2C ，则C 的大小是________． 解析：因为sin 2A ＋sin A sin B ＋sin 2B ＝sin 2C ，所以a 2＋ab ＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝－ab ，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12(0＜C ＜π)，所以C ＝2π3.答案：2π3方法总结1．求解三角形的一般方法： 方法 解读题型正弦定理法 直接利用正弦定理(变式)求边、角(1)已知两角及一边；(2)已知两边及一边对角 余弦定理法直接利用余弦定理(变式)求边、角(1)已知两边及夹角；(2)已知三边2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin Ab sin A＜a ＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数1211[题组突破]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B ＝( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴由正弦定理得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B .∵sin B ≠0，∴sin (A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a ＞b ，∴A ＞B ，即B 为锐角，∴B ＝π6.答案：A2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2－3bc ＝a 2，bc ＝3a 2，则C 的大小是( )A ．π6或2π3B ．π3C ．2π3D ．π6解析：∵b 2＋c 2－3bc ＝a 2，∴b 2＋c 2－a 2＝3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6.由b 2＋c 2－a 2＝3bc 及bc ＝3a 2得b 2＋c 2－33bc ＝3bc ，即3b 2－4bc ＋3c 2＝0.∴(3b －c )·(b －3c )＝0，解得c ＝3b 或b ＝3c .①当c ＝3b 时，由bc ＝3a 2得a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形，且A ＝B ＝π6，∴C ＝2π3；②当b ＝3c 时，由bc ＝3a 2得a ＝c ，∴△ABC 是以B 为顶点的等腰三角形，A ＝C ，∴C ＝π6.综上，C 的大小为π6或2π3.答案：A3．(2021·某某模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则ab等于( )A ．32B ．43C ． 2D ． 3解析：由正弦定理及b sin2A ＝a sin B ，得2sin B sin A ·cos A ＝sin A sin B ，又sin A ≠0，sin B ≠0，则cos A ＝12.又c ＝2b ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－4b 2·12＝3b 2，得ab＝ 3.答案：D题型二 正、余弦定理的综合应用[典例剖析]类型 1 判断三角形的形状[例1] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， 即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝sin 2A ，故sin A ＝1，即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法三：由射影定理可得b cos C ＋c cos B ＝a ， 所以a ＝a sin A ，所以sin A ＝1，即A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．答案：B(2)在△ABC 中，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 的形状为________． 解析：法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin (A －B )＝0， 因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B ， 所以△ABC 为等腰三角形． 法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形． 答案：等腰三角形类型 2 有关三角形的周长与面积[例2] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A ＝a cos C . (1)求A ；(2)若a ＝13，△ABC 的面积为33，求△ABC 的周长．解析：(1)由(2b －c )cos A ＝a cos C 知2×2R sin B cos A －2R sin C cos A ＝2R cos C sin A ， 由A ＋B ＋C ＝π，得2sin B cos A ＝sin B ， 因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.因为 0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得13＝b 2＋c 2－2bc ·12，即(b ＋c )2－3bc ＝13，因为S △ABC ＝12bc ·sin A ＝34bc ＝33，所以bc ＝12，所以(b ＋c )2－36＝13，即b ＋c ＝7， 所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝7＋13. 类型 3 有关三角形的边长与角度[例3] 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin A ＋b sin B ＋2b sin A ＝c sin C .(1)求C ；(2)若a ＝2，b ＝22，线段BC 的垂直平分线交AB 于点D ，求CD 的长． 解析：(1)因为a sin A ＋b sin B ＋2b sin A ＝c sin C ， 所以由正弦定理可得a 2＋b 2＋2ab ＝c 2. 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－22，又0＜C ＜π，所以C ＝3π4.(2)由(1)知C ＝3π4，根据余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(22)2－2×2×22×⎝⎛⎭⎫－22＝20， 所以c ＝2 5.由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得2522＝22sin B，解得sin B ＝55，从而cos B ＝255. 设BC 的垂直平分线交BC 于点E ， 因为在Rt △BDE 中，cos B ＝BE BD ，所以BD ＝BE cos B ＝1255＝52. 因为点D 在线段BC 的垂直平分线上，所以CD ＝BD ＝52. 1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．方法总结(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．提醒 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．3．判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．边角互化法边化角：用角的三角函数表示边 等式两边是边的齐次形式角化边：将解析式中的角用边的形式表示等式两边是角的齐次形式或a 2＋b 2－c 2＝λab[题组突破]1．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 解析：因为BC sin A ＝AB sin C ＝AC sin B ＝3sin 60°，所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ，因此AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋4sin A＝5sin A ＋3cos A ＝27sin (A ＋φ).因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以AB ＋2BC 的最大值为27.答案：272．若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则B ＝________，ca的取值X 围是________．解析：由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ．又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ，∴tan B ＝3，∴B ＝π3. 又∵C 为钝角，∴C ＝2π3－A ＞π2，∴0＜A ＜π6.由正弦定理得ca＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A .∵0＜tan A ＜33，∴1tan A＞3， ∴c a ＞12＋32×3＝2，即ca ＞2. 答案：π3(2，＋∞)题型三 解三角形的应用举例[典例剖析]类型 1 解决测量问题[例1] (1)(可视两点)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，在A ，B 两点分别测得树顶的仰角为30°，45°，且A ，B 两点之间的距离为10 m ，则树的高度h 为( )A ．(5＋53)mB ．(30＋153)mC ．(15＋303)mD ．(15＋33)m解析：在△P AB 中，由正弦定理，得10sin （45°－30°）＝PBsin 30°，因为sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝6－24，所以PB ＝5(6＋2)(m)，所以该树的高度h ＝PB sin 45°＝(5＋53)(m).答案：A(2)(河对岸或不可视两点)如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从点C 可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从点D 可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从点E 可以观察到点B ，C .并测量得到一些数据：CD ＝2，CE ＝23，∠D ＝45°，∠ACD ＝105°，∠ACB °，∠BCE ＝75°，∠E ＝60°，则A ，B 两点之间的距离为________.(其中°取近似值23)解析：依题意知，在△ACD 中，∠A ＝30°，由正弦定理得AC ＝CD sin 45°sin 30°＝2 2.在△BCE 中，∠CBE ＝45°，由正弦定理得BC ＝CE sin 60°sin 45°＝3 2.连接AB (图略)，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝10， ∴AB ＝10. 答案：10类型 2 三角形在平面几何中的应用[例2]如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB＝1.(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .解析：(1)在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ，即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12.(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD ，即AC sin π6＝4sin θ，①在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝θ－π4，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠BCA ，即AC sin3π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，② ①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin θ1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，即4⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ.又sin 2θ＋cos 2θ＝1，故sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255.方法总结1．测量距离问题的解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，再利用正、余弦定理求解．提醒 解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．2．测量角度问题的基本思路：测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．提醒 方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．3．把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．4．寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来．[题组突破]1．(2020·某某模拟)如图，一栋建筑物AB 的高为(30－103)米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角是30°，则通信塔CD 的高为________米．解析：在Rt △ABM 中，AM ＝ABsin 15°＝30－103sin 15°＝30－1036－24＝206，过点A 作AN ⊥CD 于点N (图略)，在Rt △A 中，因为∠CAN ＝30°，所以∠A ＝60°，又在Rt △CMD 中，∠CMD ＝60°，所以∠MCD ＝30°，所以∠ACM ＝30°，在△AMC 中，∠AMC ＝105°，所以AC sin 105°＝AM sin ∠ACM ＝206sin 30°，所以AC ＝60＋203，所以＝30＋103，所以CD ＝DN ＋＝AB ＋＝30－103＋30＋103＝60. 答案：602．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解析：如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 解得x ＝2(负值舍去)，故AC ＝28，BC ＝20.根据正弦定理得BC sin α＝ACsin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314，所以红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为5314.再研高考创新思维(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值X 围． 解析：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C 2＝sin B ·sin A .因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B2， 故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°＜A ＜90°，0°＜C ＜90°. 结合A ＋C ＝120°，得30°＜C ＜90°，所以12＜a ＜2，从而38＜S △ABC ＜32.因此，△ABC 面积的取值X 围是⎝⎛⎭⎫38，32. 素养升华边角互化(2021·某某某某模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求ba；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .解析：(1)由正弦定理得a sin B ＝b sin A ，因为a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，所以b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 因为c 2＝b 2＋3a 2，所以cos B ＝（1＋3）a2c .由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2，所以cos 2B ＝12，易知cos B ＞0，所以cos B ＝22.又0＜B ＜π，所以B ＝π4.。

第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，本节的命题重点是同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用，单独命题的概率较低．本讲知识多作为工具考查三角恒等变形或研究三角函数的图像与性质，以选择题和填空题为主．本节通过同角三角函数基本关系及诱导公式考查考生的数学运算核心素养及分类讨论思想的应用．授课提示：对应学生用书第63页 知识点一 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； （2）商数关系：tan α＝sin αcos α．•温馨提醒•同角三角函数关系式的常用变形 （sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α； sin α＝tan α·cos α．1．已知α为第二象限角，化简：cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α＝（ ）A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．1＋sin αD ．1－sin α解析：原式＝cos α（1－sin α）2cos 2α＋sin α（1－cos α）2sin 2α＝cos α1－sin α|cos α|＋sin α1－cos α|sin α|＝cos α·1－sin α－cos α＋sin α·1－cos αsin α＝sin α－cos α． 答案：B 2．若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝_________．解析：因为π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255，所以tan α＝sin αcos α＝－12．答案：－123．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为_________．解析：原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3．答案：3知识点二 诱导公式组数 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α （k ∈Z ） π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan αtan α－tan α－tan α口诀函数名不变 符号看象限函数名改变，符号看象限1．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝（ ） A ．－79B ．－13C ．13D ．79解析：∵⎝⎛⎭⎫α＋π3＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13． 答案：C2．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫52π＋α·sin （α－π）·cos （2π－α）的结果为_________．解析：原式＝sin αcos α·（－sin α）·cos α＝－sin 2α．答案：－sin 2α3．已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α（k ∈Z ），则A 的值构成的集合是_________．解析：当k ＝2n （n ∈Z ）时， A ＝sin （2n π＋α）sin α＋cos （2n π＋α）cos α＝sin αsin α＋cos αcos α＝2． 当k ＝2n ＋1（n ∈Z ）时， A ＝sin （π＋α）sin α＋cos （π＋α）cos α＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝－1＋（－1）＝－2． 答案：{2，－2}授课提示：对应学生用书第64页题型一 三角函数的诱导公式1．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α的值为（ ） A ．33 B ． 3 C ．－33D ．－ 3解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33． 答案：C2．（2021·某某二检）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫sin 5π3，cos 5π3，则sin （π＋α）等于（ ） A ．－32B ．－12C ．12D ．32解析：由诱导公式可得sin 53π＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－sin π3＝－32， cos 53π＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝cos π3＝12， 即P ⎝⎛⎭⎫－32，12． 由三角函数的定义可得sin α＝12⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫122＝12， 则sin （π＋α）＝－sin α＝－12．答案：B3．（2021·黔东南模拟）已知直线y ＝－43x ＋1的倾斜角为α，则cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋αsin （π＋α）的值为（ ） A ．22 B ．24C ．28D ．724解析：由已知有k ＝tan α＝－43，cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋αsin （π＋α）＝（cos α－sin α）（cos α＋sin α）22（cos α－sin α）sin α＝2·cos α＋sin αsin α＝2⎝⎛⎭⎫1tan α＋1， 故cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋αsin ()π＋α＝24． 答案：B4．已知a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b解析：由已知，a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－π－π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos ⎝⎛⎭⎫6π－π4＝cos π4＝22，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－8π－π4＝－sin π4＝－22，因而b ＞a ＞c ．答案：B5．（2020·某某模拟）已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝35，那么tan α的值为（ ） A ．－43B ．－34C ．±43D ．±34解析：sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝35化为cos α＝35，那么sin α＝±45，tan α＝±43． 答案：C6．（2021·某某模拟）化简：sin （π－α）＋sin αcos α⎣⎡⎦⎤1＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αtan α＝_________．解析：sin （π－α）＋sin αcos α⎣⎡⎦⎤1＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αtan α＝sin α＋sin αcos α（1＋cos α）tan α ＝cos α． 答案：cos α应用诱导公式的思路与技巧（1）应用诱导公式的一般思路 ①化大角为小角；②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．（2）常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．题型二 同角三角函数基本关系式的应用考法（一） 知一求二问题[例1] 若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin （π－α）＝35，则tan α＝（ ） A ．－43B ．43C ．－34D ．34[解析] 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35， 所以cos α＝－45，所以tan α＝－34．[答案] C利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些问题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．考法（二） 弦切互化[例2] （1）已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是（ ）A ．35B ．－35C ．－3D ．3（2）已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝_________． [解析] （1）由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35．（2）由（sin θ＋3cos θ）2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43．[答案] （1）A （2）－43若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型． 考法（三） sin α±cos α、sin αcos α之间的关系[例3]（2021·某某二诊）已知α为第二象限角，且sin α＋cos α＝15，则cos α－sin α＝（ ）A ．75B ．－75C ．±75D ．－15[解析] 法一：（整体代入法）由sin α＋cos α＝15两边同时平方，得1＋2sin αcos α＝125，则2sinαcos α＝－2425，所以（cos α－sin α）2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925．因为α为第二象限角，所以cos α－sin α＝－75．故选B ．法二：（换元法）sin α＋cos α＝15，①令cos α－sin α＝t ．②由①2＋②2，得2sin 2α＋2cos 2α＝125＋t 2，即2＝125＋t 2，整理得t 2＝2－125＝4925，解得t ＝±75．因为α为第二象限角，所以cos α－sin α<0， 故cos α－sin α＝－75．法三：（列方程法）由sin α＋cos α＝15两边同时平方，1＋2sin αcos α＝125，则2sin αcos α＝－2425，即sin αcos α＝－1225．所以sin α，cos α是方程x 2－15x －1225＝0的两根，解方程得x 1＝－35，x 2＝45．因为α是第二象限角，所以sin α＝45，cos α＝－35，所以cos α－sin α＝－75．[答案] B对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t 2（注意根据α的X 围选取正、负号），体现了方程思想的应用．[题组突破]1．（2021·某某模拟）已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，sin α＝－35，则cos （π－α）的值为（ ） A ．－45B ．45C ．35D ．－35解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，sin α＝－35，∴cos α＝45， ∴cos （π－α）＝－cos α＝－45．答案：A2．若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是（ ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：由sin α＋cos α＝23，得（sin α＋cos α）2＝49，∴1＋2sin αcos α＝49，2sin αcos α＝－59，∵α∈（0，π），∴α为钝角． 答案：D3．若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝（ ）A ．6425B ．4825C ．1D ．1625解析：tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425．答案：A同角三角函数关系式中的核心素养（一）数学抽象——分类讨论思想在化简求值中的应用[例1] 在△ABC 中，若sin （2π－A ）＝－2sin （π－B ），3cos A ＝－2cos （π－B ），则C ＝_________．[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝2sin B ①，3cos A ＝2cos B ②，①2＋②2，得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22，当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A ，B 是三角形的内角，所以A ＝π4，B ＝π6，所以C ＝π－（A ＋B ）＝712π；当cos A ＝－22时，cos B ＝－32，又A ，B 是三角形的内角，所以A ＝34π，B ＝56π，不符合题意，舍去． 综上，C ＝712π．[答案]712π三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用． （二）创新应用——斜率公式与三角函数的交汇问题[例2] 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A （1，a ），B （2，b ），且cos 2α＝23，则|a －b |＝（ ）A ．15B ．55C ．255D ．1[解析] 由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55，∴|a －b |＝55． [答案] Bword- 11 - / 11 本题主要通过商数关系进行弦化切，结合斜率公式求解，着重考查了逻辑推理与数学运算核心素养．[题组突破]1．已知曲线f （x ）＝23x 3在点（1，f （1））处的切线的倾斜角为α，则sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝（ ） A ．12B ．2C ．35D ．－38解析：由f ′（x ）＝2x 2，得tan α＝f ′（1）＝2，所以sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α－12tan α＋1＝35． 答案：C2．已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝_________． 解析：由sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，知cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝35． 因为θ为第四象限角，所以－θ为第一象限角，π4－θ为第一象限角或第二象限角．又因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝35，所以π4－θ为第一象限角．所以tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝43，tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－43． 答案：－43。

第五章第6讲[A 级 基础达标]1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若a ＝3b ，A ＝120°，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A2．(2019年某某模拟)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin B ＝2b sin A ，则a ＝( )A ．2B ．22 C ．1 D ．2 2【答案】B3．(2019年某某模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π 【答案】C4．(2020年某某月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋C2＝b sin A ，则角B ＝( )A ．π6或5π6B ．π3或2π3C ．π6D ．π3【答案】D5．a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，若a 2＋b 2＝2 021c 2，则2tan A tan Btan C (tan A ＋tan B )＝( )A ．1 010B ．2 019C ．2 020D ．2 021【答案】C 【解析】由a 2＋b 2＝2 021c 2，得a 2＋b 2－c 2＝2 020c 2，即2 020c 2＝2ab cos C ，得cos C ＝1 010c 2ab .所以2tan A tan Btan C (tan A ＋tan B )＝2sin A sin B cos A cos B sin C cos C ⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝2sin A sin B cos A cos B sin C cos C ·sin (A ＋B )cos A cos B ＝2sin A sin B cos C sin 2C ＝2ab cos Cc 2＝2ab ·1 010c 2ab c 2＝2 020.6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________.【答案】30° 【解析】将sin C ＝23sin B 利用正弦定理化简得c ＝23b ，代入a 2－b 2＝3bc ，可得a 2＝7b 2，所以由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝32.因为A为三角形的内角，所以A ＝30°.7．(2019年某某期中)如图，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，且∠CAB ＝π6.若点D 是△ABC 外一点，DC ＝2，DA ＝3，则当四边形ABCD面积取最大值时，sin D ＝________.【答案】277【解析】因为a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，所以由正弦定理可得sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ＝sin 2B ，sin B ＝1，B ＝π2.又因为∠CAB ＝π6，所以BC ＝12AC ，AB＝32AC ．由余弦定理可得cos D ＝22＋32－AC 22×2×3，可得AC 2＝13－12cos D ，S 四边形ABCD ＝S △ACD＋S △ABC ＝12×2×3×sin D ＋12×12AC ×32AC ＝3sin D ＋38(13－12cos D )＝1383＋3sin D －332cos D ＝9＋274sin(D ＋φ)＋1383，其中tan φ＝－32.当φ＋D ＝π2时，S 四边形ABCD 最大，此时tan D ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝1tan φ＝－233，可得sin D ＝277. 8．(2019年新课标Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 【答案】63【解析】由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cosB ．又因为b ＝6，a ＝2c ，B＝π3，所以36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12，所以c ＝23，a ＝43，故S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝6 3. 9．已知△ABC 中，sin B ＝sin A cos C ＋22sin C ． (1)求角A 的大小；(2)若AB ＝2AC ，点D 在边BC 上，且BD ＝2DC ，AD ＝2＋2，求AB ． 解：(1)由sin B ＝sin A cos C ＋22sin C ， 得sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋22sin C ， 即cos A sin C ＝22sin C ． 因为0＜C ＜π，所以cos A ＝22，解得A ＝π4. (2)如图，设AC ＝t ，则AB ＝2t .在AB 上取一点E ，使得BE ＝2EA ，连接DE ，则DE ∥AC ． 在△ADE 中，∠AED ＝π－∠BAC ＝3π4，AE ＝13AB ＝2t 3，ED ＝23AC ＝2t 3.由余弦定理得AD 2＝AE 2＋DE 2－2·AE ·DE cos ∠AED ， 即2＋2＝4t 29＋4t 29－2×2t 3×2t 3×⎝⎛⎭⎫－22，解得t ＝32.所以AB ＝2t ＝3.10．(2020年某某模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2c ＝a ＋2b cos A ．(1)求角B ；(2)若a ＋c ＝5，b ＝3，求△ABC 的面积． 解：(1)由题知2sin C ＝sin A ＋2sin B cos A ，则2sin ()A ＋B ＝sin A ＋2sin B cos A ， 则2sin A cos B ＝sin A ．在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝12，则B ＝π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即9＝a 2＋c 2－ac ＝()a ＋c 2－3ac . 又a ＋c ＝5，所以ac ＝163.所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝433.[B 级 能力提升]11．(2020年某某月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝6，A ＝π6，若该三角形有两解，则a 的取值X 围是( )A ．(3,6)B ．(0,3)C ．(32，6)D ．(32，＋∞)【答案】A 【解析】因为在△ABC 中，b ＝6，A ＝π6，所以由正弦定理得sin B ＝b ·sin Aa ＝6×12a ＝3a .因为A ＝π6，所以0＜B ＜5π6.要使三角形有两解，则π6＜B ＜5π6，且B ≠π2，即12＜sinB ＜1，所以12＜3a＜1，解得3＜a ＜6.12．(2020年抚州模拟)平面内不共线的三点O ，A ，B 满足|OA →|＝1，|OB →|＝2，点C 为线段AB 的中点，若|OC →|＝32，则∠AOB ＝( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6【答案】C 【解析】延长OC 到D ，使得CD ＝OC ＝32，连接AD ，BD ，则四边形OADB 为平行四边形．所以OD ＝ 3.所以cos ∠OBD ＝12＋22－(3)22×1×2＝12.所以∠OBD ＝π3.所以∠AOB ＝π－∠OBD ＝π－π3＝2π3.13．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 【答案】27【解析】由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BC sin A ，所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ．又A ＋C ＝120°， 所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角． 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27.14．(一题两空)(2020年梅河口模拟)设a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知2a －3b cos B ＝3c cos C ，则C ＝________，a 2＋c 2－b 2ac的取值X 围是________．【答案】π6 (－3，0)∪(0,2) 【解析】因为2a －3b cos B ＝3c cos C ，所以(2a －3b )cos C ＝3c cos B (cos B cos C ≠0)，所以(2sin A －3sin B )cos C ＝3sin C cos B ，即2sin A cos C ＝3sin(C ＋B )＝3sin A ．又sin A ＞0，所以cos C ＝32，则C ＝π6.因为cos B ≠0，所以B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，5π6.而a 2＋c 2－b 2ac ＝2cos B ，故a 2＋c 2－b 2ac∈(－3，0)∪(0,2)．15．(2020年池州月考)设函数f (x )＝cos 2x －2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1． (1)求f (x )的单调增区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解：(1)f (x )＝cos 2x －2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1 ＝cos 2x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝cos 2x －cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝cos 2x －12cos 2x ＋32sin 2x＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，则sin ⎝⎛⎭⎫2×A 2＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1． 因为A 是锐角，所以A ＋π6＝π2，得A ＝π3.因为a ＝1，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即1＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc . 所以bc ≤1，当且仅当b ＝c 时取等号， 则S △ABC ＝12bc sin A ≤12×1×32＝34，即△ABC 面积的最大值为34. [C 级 创新突破]16．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且ac sin A ＋4sin C ＝4c sin A ．圆O 为△ABC 的外接圆(O 在△ABC 内部)，△OBC 的面积为33，b ＋c ＝4，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】由正弦定理可知sin A ＝a 2R ，sin C ＝c2R ，则ac sin A ＋4sin C ＝4c sinA ⇔a 2c ＋4c ＝4ac .因为c ≠0，所以a 2c ＋4c ＝4ac ⇔a 2＋4＝4a ⇔(a －2)2＝0，得a ＝BC 的中点为D ，则OD ⊥BC ，所以S △OBC ＝12BC ·O D ．又S △OBC ＝33，BC ＝2，所以OD ＝33.在Rt △BOD中，tan ∠BOD ＝BD OD ＝12BC OD ＝133＝ 3.又0°＜∠BOD ＜180°，所以∠BOD ＝60°，所以∠BOC ＝2∠BOD ＝120°.因为O 在△ABC 内部，所以∠A ＝12∠BOC ＝60°.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ，得4＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc .又b ＋c ＝4，所以bc ＝4，所以b ＝c ＝2，所以△ABC 为等边三角形．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，其外接圆的半径是1，且满足2(sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sinB ．(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 面积的最大值．解：(1)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝2，所以sin A ＝a 2，sin B ＝b 2，sin C ＝c2.又2(sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B ，所以2⎝⎛⎭⎫a 24－c 24＝(2a －b )·b 2，即a 2＋b 2－c 2＝2ab .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22.又C ∈(0，π)，所以C ＝π4.(2)因为C ＝π4，所以A ＋B ＝3π4，即B ＝3π4－A ．因为a sin A ＝bsin B ＝2，即a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝2sin A sin B sin π4＝2sin A sin B ＝2sin A sin ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝2sin A ⎝⎛⎭⎫22cos A ＋22sin A＝sin A cos A ＋sin 2A ＝12sin 2A ＋12 (1－cos 2A )＝22⎝⎛⎭⎫22sin 2A －22cos 2A ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4＋12. 当2A －π4＝π2，即A ＝3π8时，△ABC 的面积取得最大值22＋12.。

第七节解三角形应用举例一、教材概念·结论·性质重现1．仰角和俯角意义图示在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角.2.方位角意义图示从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α.3.方向角意义图示相对于某一正方向的水平角(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度意义图示(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)．坡度又称为坡比.解三角形应用问题的步骤1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β．(√) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(×) (3)若点P 在点Q 的北偏东44°，则点Q 在点P 的东偏北46°． (×) (4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2．(×)2．如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°D 解析：由条件及图可知，∠A ＝∠CBA ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 的南偏西80°. 3．如图，为测量一棵树OP 的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m.30＋303解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°·sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4.由正弦定理得PBsin 30°＝ABsin 15°，所以PB＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度OP＝PB sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)．4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D．若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.64解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝CDsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.所以AB＝64km.所以A，B两点间的距离为64km.5．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．40 m解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.考点1解三角形的实际应用——应用性考向1测量距离问题如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点)解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1.因为∠ABD＝120°，由正弦定理ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，解得AD＝3(km)．在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，得9＝3＋CD2＋23×32×CD．即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝33－32(km)，BC＝BD＋CD＝33－12(km)．两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5km ， 而33－12<36－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．1．若将本例条件“BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“BD ＝200 m ，CD ＝300 m ”，其他条件不变，求这条索道AC 的长．解：在△ABD 中，BD ＝200，∠ABD ＝120°. 因为∠ADB ＝30°，所以∠DAB ＝30°. 由正弦定理，得BD sin ∠DAB ＝ADsin ∠ABD ， 所以200sin 30°＝ADsin 120°. 所以AD ＝200×sin 120°sin 30°＝200 3 (m)． 在△ABC 中，DC ＝300 m ，∠ADC ＝150°，所以AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos ∠ADC ＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC ＝10039 m.故这条索道AC 长为10039 m.2．若将本例条件“∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“∠ADC ＝135°，∠CAD ＝15°，AD ＝100 m ，作CO ⊥AB ，垂足为O ，延长AD 交CO 于点E ，且CE ＝50 m ，如图”，求角θ的余弦值．解：在△ACD 中，∠ADC ＝135°， ∠CAD ＝15°，所以∠ACD ＝30°. 由正弦定理可得AC ＝100×sin 135°sin 30°＝100 2.在△ACE 中，由正弦定理可得sin ∠CEA ＝AC ·sin ∠CAE CE＝3－1，所以cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠CEA －π2＝sin ∠CEA ＝3－1.距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．提醒：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当． 考向2 测量高度问题如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.22．6 解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°， 所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°. 设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v . 在Rt △ABD 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝100cos 60°＝200. 在Rt △ACD 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos 45°＝100 2. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ， 所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角是关键．(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题，要注意三角形中的边角关系的应用．若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化．1．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表” )和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭” )．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为()A．a sin 53°2sin 47°B．2sin 47°a sin 53°C．a tan 26.5°tan 73.5°tan 47°D．a sin 26.5°sin 73.5°sin 47°D解析：由题意得，∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°.在△ABD中，由正弦定理可得，BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，即asin 47°＝ADsin 26.5°，则AD＝a sin 26.5°sin 47°.在△ACD中，ACAD＝sin∠ADC＝sin 73.5°，所以AC＝a sin 26.5°·sin 73.5°sin 47°.故选D．2．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P 离地面的高度OP (点O 在柱楼底部)．在地面上的A ，B 两点测得点P 的仰角分别为30°，45°，且∠ABO ＝60°，AB ＝50米，则OP 为( )A ．15米B ．25米C ．35米D ．45米B 解析：如图所示：由于∠OAP ＝30°，∠PBO ＝45°，∠ABO ＝60°，AB ＝50米，OP ⊥AO ，OP ⊥OB ．设OP ＝x ，则OA ＝3x ，OB ＝x ，在△OAB 中，由余弦定理得OA 2＝OB 2＋AB 2－2OB ·AB ·cos ∠ABO ， 即(3x )2＝502＋x 2－2×50x ×12，所以x 2＋25x －1 250＝0，解得x ＝25或x ＝－50(舍)．3．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝80米，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则A ，B 两点间的距离为________米．805 解析：如图，在△ACD 中，∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，所以∠DAC ＝15°.由正弦定理，得AC＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)(米)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠CBD＝30°.由正弦定理，得CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，所以BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝80×sin 15°sin 30°＝40(6－2)(米)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600(8＋43)＋1 600(8－43)＋2×1 600(6＋2)×(6－2)×12＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，解得AB＝805(米)，则A，B两点间的距离为805米．考点2正余弦定理在平面几何中的应用(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD ＝3，BC＝ 2.(1)若CD＝1＋3，求四边形ABCD的面积；(2)若sin∠BCD＝325，∠ADC∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin∠ADC．解：(1)如图，连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，所以BD＝2.在△BCD 中，由余弦定理可得，cos C ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝2＋(1＋3)2－222×2×(1＋3)＝22. 因为C 为三角形的内角，故C ＝π4， 所以S △ABD ＝12AB ·AD ＝12×1×3＝32， S △BCD ＝12BC ·CD sin C ＝12×2×(1＋3)×22＝1＋32， 故四边形ABCD 的面积S ＝1＋232.(2)在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD ， 所以sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠BCD BD＝35. 因为∠ADC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以∠BDC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos ∠BDC ＝45，在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝33， 故∠ADB ＝π6，所以sin ∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠BDC ＋π6＝35×32＋45×12＝4＋3310.正余弦定理解平面几何问题的注意点(1)图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解的转折点． (2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变换公式，运用正弦定理，余弦定理解题．(3)养成应用方程思想解题的意识．1．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)，AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，AD ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 kmA 解析：在△ACD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝34－AC 230. 在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝89－AC 280. 因为∠B ＋∠D ＝180°，所以cos B ＋cos D ＝0，即34－AC 230＋89－AC 280＝0，解得AC 2＝49.所以AC ＝7.2．(2020·山师附中高三模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝26，AD ＝3，∠ADB ＝2∠ABD ，∠BCD ＝π3.(1)求BD ；(2)求△BCD 周长的最大值．解：在△ABD 中，设BD ＝x ，∠ABD ＝α，则∠ADB ＝2α， 因为AB sin 2α＝AD sin α， 所以cos α＝63.由余弦定理得cos α＝x 2＋24－946x ＝63. 整理得x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝5或x ＝3. 当x ＝3时，得∠ADB ＝2α＝π2， 与AD 2＋BD 2≠AB 2矛盾，故舍去， 所以BD ＝5.(2)在△BCD 中，设∠CBD ＝β， 所以BD sin π3＝BC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β＝CD sin β，所以BC ＝1033sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β，CD ＝1033sin β，所以BC ＋CD ＝1033·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin β＋32cos β＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6≤10. 所以△BCD 周长的最大值为15.考点3 解三角形与三角函数的综合问题(2020·合肥模拟)已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解：(1)f (x )＝1＋cos 2x 2－3sin x cos x －12＝12cos 2x －32sin 2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. (2)因为△ABC 为锐角三角形，所以0<A <π2，所以－π6<2A －π6<5π6. 又f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1， 所以2A －π6＝π2，即A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立．又a ＝2，所以bc ≤4， 所以S △ABC ＝12bc sin A ≤ 3. 即△ABC 的面积的最大值为 3.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12(x ∈R )，设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求△ABC 的周长． 解：(1)f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 因为f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－1＝0且C 为三角形内角，所以C ＝π3. (2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， 则sin B －2sin A ＝0. 由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得cos π3＝a2＋4a2－3 2·a·2a＝12，解得a＝1，b＝2，故△ABC的周长为3＋ 3.。

课时规范训练[A级基础演练]1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A等于()A.π12 B.π6C.π4D．π3解析：选D.在△ABC中，利用正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B，∴sin A＝3 2.又A为锐角，∴A＝π3.2．(2022·高考天津卷)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝() A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝13，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.3．在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝2，BC＝2，则∠C等于()A．30°B．60°C．120°D．30°或150°解析：选A.在△ABC中，ABsin C＝BCsin A，∴2sin C＝2sin 45°，∴sin C＝12，又AB＜BC，∴∠C＜∠A，故∠C＝30°.4．一艘海轮从A处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里解析：选A.如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里)．5．(2022·高考山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝()A.3π4B．π3C.π4D．π6解析：选C.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0＜A＜π，所以A＝π4.6．(2022·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝2π3，a＝3c，则bc＝．解析：∵a＝3c，∴sin A＝3sin C，∵∠A＝2π3，∴sin A＝32，∴sin C＝12，又∠C必为锐角，∴∠C＝π6，∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠B＝π6，∴∠B＝∠C，∴b＝c，∴bc＝1.答案：17．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为1534，则BC边的长为．解析：由S△ABC＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC＝7.答案：78．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sin Asin C＋sin B，则B＝() A.π6B．π4C.π3 D ．3π4解析：选C.依据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a＝sin Asin C ＋sin B ＝a c ＋b，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.9．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值． 解：(1)证明：∵三角形的三边a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝22.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B 2，故cos(A ＋B )＝－22，所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4. (2)由于S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. [B 级 力量突破]1．(2021·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.2π3 B ．π3 C.3π4D ．5π6解析：选A.由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b . 又由于b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b＝－12.由于C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.2．(2021·北京东城一模)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 B ．13或37 C.37D ．13解析：选D.由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×3×4×sin ∠BAC ＝33，得sin ∠BAC ＝32，由于△ABC 为锐角三角形，所以∠BAC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故∠BAC ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.所以BC ＝13，故选D.3．(2021·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，假如sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2解析：选D.由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ， 再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2， 即b 2＋c 2－a 2>0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0， ∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A ＝A ，A >B ，A >C ， 即3A >A ＋B ＋C ＝π，∴A >π3. 因此得角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.4．(2021·云南第一次检测)已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋asin A的值等于 ． 解析：依题意可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62，所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B ＝16 2.答案：16 25．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过 分钟，海盗船即可到达商船．解析：如图，设开头时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20分钟后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中由已知得∠ABD ＝30°. ∠BAD ＝60°－30°＝30°，∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)． 答案：4036．(2021·成都外国语学校模拟)已知函数f (x )＝23sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且角A 满足f (A )＝3＋1.若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .解：(1)由题意知，f (x )＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x＝3()1＋sin 2x ＋cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋cos 2x ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)由f (A )＝3＋1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，∴2A ＋π6＝π6或5π6，即A ＝0或π3. 又A 为△ABC 的内角，∴A ＝π3. 由A ＝π3，a ＝3.得|BC→|＝|AC →－AB →|＝a ＝3，① 又BC 边上的中线长为3，知|AB →＋AC →|＝6.②联立①②，解得AB →·AC→＝274，即|AB →|·|AC →|·cos π3＝274， ∴|AB →|·|AC →|＝272. ∴△ABC 的面积为S ＝12|AB →|·|AC →|·sin π3＝2738.。

第四章 三角函数、解三角形第二讲 三角恒等变换练好题·考点自测1。

下列说法错误的是( ）A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的 B 。

存在实数α,β,使等式sin （α+β)=sin α+sin β成立 C 。

公式tan （α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ可以变形为tan α+tan β=tan （α+β）(1—tan αtan β）,且对任意角α,β都成立 D.存在实数α，使tan 2α=2tan α2。

[2020全国卷Ⅲ,9，5分］已知2tan θ-tan(θ+π4)=7，则tan θ=( ）A.-2 B 。

—1 C.1 D 。

23。

［2021大同市调研测试］已知tan α2=3，则sinα1-cosα=( )A 。

3B .13C .-3D 。

−134.[2019全国卷Ⅱ，11,5分][文]已知α∈(0，π2），2sin 2α=cos 2α+1，则sin α= （ )A.15B .√55C 。

√33D.2√555。

［2020全国卷Ⅱ，13,5分][文］若sin x =−23，则cos 2x = 。

6.tan 67。

5°-tan 22。

5°= 。

7。

［2019江苏，13，5分]已知tanαtan (α+π4)=−23,则sin(2α+π4)的值是 .拓展变式1.［2020全国卷Ⅲ，5，5分］[文］已知sin θ+sin （θ+π3）=1，则sin （θ+π6)=（ )A .12B .√33C .23D .√222.1+cos20°2sin20°-sin 10°（1tan5°—tan 5°）= .3.已知α∈(0,π)，化简:(1+sinα+cosα)·(cos α2-sin α2)√2+2cosα= 。

4。

[2021陕西省部分学校摸底检测]数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比m =√5-12的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18°,则m√4-m 22cos 227°-1= （ )A 。

高三数学第一轮复习解三角形教案三角形是几何学中研究的一个重要的图形，它拥有许多特征和性质，因此在数学中被广泛地研究和应用。

在高三数学第一轮复习中，对于三角形的解题方法和相关知识的掌握是非常重要的。

本文将为大家介绍三角形的基本概念、常用定理和解题技巧。

一、三角形的基本概念1. 三角形的定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度。

2. 三角形的分类：(1) 根据边长分类：等边三角形、等腰三角形、一般三角形。

(2) 根据角度分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

(3) 根据边角关系分类：外角、内角、对角、邻角等。

3. 三角形的元素：三角形的边、角和顶点。

二、三角形的常用定理1. 三角形内角和定理：一个三角形的三个内角的和为180°。

2. 直角三角形的性质：(1) 斜边平方等于两直角边平方和的定理（勾股定理）。

(2) 直角三角形内角的关系：直角对顶角为90°，直角三角形的其它两个内角为锐角。

三、三角形的解题技巧1. 判断三角形的类型：(1) 根据边长关系判断三角形的类型：边长相等的三角形为等边三角形，两边相等的三角形为等腰三角形，其余为一般三角形。

(2) 根据角度关系判断三角形的类型：有一个角大于90°的三角形为钝角三角形，有一个角等于90°的三角形为直角三角形，其余为锐角三角形。

2. 运用三角形的性质和定理解题：(1) 利用三角形内角和定理解决求角度的问题。

(2) 运用勾股定理解决用已知信息求三角形边长的问题。

(3) 利用等腰三角形的性质解决求角度或边长的问题。

四、三角形解题的思路1. 首先，根据问题中给出的已知条件判断三角形的类型，并利用已知信息列写方程。

2. 其次，根据三角形的性质和定理对三角形进行推导和运算，求解未知量。

3. 最后，验证解答的合理性，并作出结论。

通过掌握三角形的基本概念、常用定理和解题技巧，我们不仅可以更好地理解三角形的属性和性质，还能够灵活运用这些知识解决实际问题。

课时规范训练[A 级 基础演练]1．已知α是其次象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C.513D ．1213解析：选A.由于α为其次象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1213.2．已知sin(θ＋π)<0，cos (θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0解析：选B.∵sin (θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0，cos θ<0. 3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25 B ．－15 C.15D ．25解析：选C.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，故cos α＝15. 4．(2021·成都外国语学校月考)已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.45 B ．－45 C.35D ．－35解析：选B.tan(α－π)＝34⇒tan α＝34. 又由于α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45.5．已知f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）cos （－π－α）tan α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3的值为( )A.12 B ．－13 C ．－12D ．13 解析：选C.∵f (α)＝sin α·cos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3 ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝－cos π3＝－12.6．若tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α的值为( )A.53 B ．－134 C.135D ．134解析：选D.由于tan α＝2， 所以2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134.故选D. 7．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝ ．解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)， 故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310.答案：3108．若cos (π－α)＝－13，则cos （2π－α）·sin （π＋α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan （3π－α）的值为 ．解析：由cos (π－α)＝－13，得cos α＝13. 则cos （2π－α）·sin （π＋α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan （3π－α）＝cos α·（－sin α）cos α·（－tan α）＝cos α＝13. 答案：139．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）的值．解：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.10．若f (cos x )＝cos 2x ，求f (sin 15°)的值．解：f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. [B 级 力量突破]1．若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( ) A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B >π2， ∴A >π2－B >0，B >π2－A >0， ∴sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，sin B >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ，∴cos B －sin A <0，sin B －cos A >0， ∴点P 在其次象限，选B.2．已知函数f (x )＝αsin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 016)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3解析：选C.∵f (4)＝a sin (4π＋α)＋b cos (4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 016)＝a sin (2 016π＋α)＋b cos (2 016π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3， 即f (2022)＝3.3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝14，则sin 2x 的值为( )A.1516 B ．916 C.78D ．±1516解析：选C.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin π4cos x －cos π4sin x ＝22cos x －22sin x ＝14，∴cos x －sin x ＝1422＝24，两边平方得cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x ＝1－sin 2x ＝18，∴sin 2x ＝78.4．(2021·新疆阿勒泰一模)已知α为其次象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝ ．解析：原式＝cos α sin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α·sin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α·1|sin α|，由于α是其次象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α·1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.答案：05．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根，求cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ的值． 解：由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0， ∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a sin θcos θ＝a ，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 则a 2－2a －1＝0，从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)， 因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2. ∴cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin 3θ＋cos 3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.6．已知sin (3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)由已知得tan α＝sin αcos α＝2，∴sin 2α＋sin 2α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝22＋2×21＋22＝85.。

芯衣州星海市涌泉学校解三角形〔1〕一、课前检测1.设函数.sin )32cos()(2x x x f ++=π〔Ⅰ〕求函数)(x f 的最大值和最小正周期；〔Ⅱ〕设C B A ,,为ABC ∆的三个内角，假设31cos =B ，41)2(-=C f ，且C 为锐角，求A sin 的值. 解：〔Ⅰ〕x x x f 2sin )32cos()(++=π 22cos 13sin 2sin 3cos2cos x x x -+-=ππ……4分 .2sin 2321x -=……5分 所以函数)(x f 的最大值为231+,最小正周期为π.7分 〔Ⅱ〕41sin 2321)2(-=-=C C f ，所以，23sin =C ，9分因为C 为锐角,所以.3π=C …10分又因为在ABC ∆中，31cos =B ，所以332sin =B ，所以……11分 C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+=.6322233121232+=⨯+⨯=13分 2.函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如下列图.〔Ⅰ〕求,ωϕ的值； 〔Ⅱ〕设()()()4g x f x f x π=-，求函数()g x 的单调递增区间. 解：〔Ⅰ〕由图可知πππ=-=)42(4T ,22==T πω，………2分 又由1)2(=πf 得，1)sin(=+ϕπ，又(0)1f =-，得sin 1ϕ=- πϕ<||2πϕ-=∴，…4分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知：x x x f 2cos )22sin()(-=-=π…6分因为()(cos 2)[cos(2)]cos 2sin 22g x x x x x π=---=1sin 42x =…9分 所以，24222k x k ππππ-≤≤+，即 (Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈.……12分 故函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈.……13分 3.α为锐角，且tan()24πα+=.〔Ⅰ〕求tan α的值；〔Ⅱ〕求sin 2cos sin cos 2αααα-的值. 解：〔Ⅰ〕1tan tan()41tan πααα++=-，…………2分 所以1tan 21tan αα+=-，1tan 22tan αα+=-， 所以1tan 3α=.……………5分 〔Ⅱ〕2sin 2cos sin 2sin cos sin cos 2cos 2αααααααα--= 2sin (2cos 1)sin cos 2sin cos 2cos 2ααααααα-===.……8分 因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=， 所以21sin 10α=，………10分又α为锐角，所以sin α=，所以sin 2cos sin cos 2αααα-=.………12分 二、知识梳理〔一).三角形中的各种关系设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ．1．角与角关系：A+B+C=π，由A ＝π－〔B ＋C 〕可得：1〕sinA ＝sin 〔B ＋C 〕，cosA ＝－cos 〔B ＋C 〕．2〕222C B A +-=π．有：2cos 2sin C B A +=，2sin 2cos C B A +=．2．边与边关系：a+b>c ，b+c>a ，c+a>b ，a －b<c ，b －c<a ，c －a>b ．3．边与角关系：1〕正弦定理R Cc B b A a 2sin sin sin === 变式有：①C B A cb a sin :sin :sin ::=； ②C Rc B R b A R asin 2,sin 2,sin 2===； ③CB A c b aC c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===； ④C B A c b a sin :sin :sin ::=。

专练24 高考大题专练(二) 三角函数与解三角形的综合运用1.已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C ．(1)求cos B 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6的值．3.[2020·全国卷Ⅱ]△ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C ．(1)求A ；(2)若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．4.设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42的值域．5.[2021·某某某某一中高三测试]设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3，已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值．专练24 高考大题专练(二) 三角函数与解三角形的综合运用1.解析：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α. 因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925， 因此，cos2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255， 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan (α＋β)1＋tan2αtan (α＋β)＝－211. 2．解析：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a ＝－14. (2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154，从而sin2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78， 故sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝sin2B cos π6＋cos2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716. 3．解析：(1)由正弦定理和已知条件得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB .①由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ．②由①②得cos A ＝－12.因为0<A <π，所以A ＝2π3. (2)由正弦定理及(1)得AC sin B ＝AB sin C ＝BC sin A＝23，从而AC ＝23sin B ，AB ＝23sin(π－A －B )＝3cos B －3sin B .故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B ＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3. 又0<B <π3，所以当B ＝π6时，△ABC 周长取得最大值3＋2 3. 4．解析：(1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或3π2. (2)y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22 ＝1－12⎝⎛⎭⎫32cos2x －32sin2x ＝1－32cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 因此，函数的值域是⎣⎡⎦⎤1－32，1＋32. 5．解析：(1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ， 所以ω＝6k ＋2，k ∈Z . 又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3.当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.。

第四章 三角函数、解三角形第三节 简单的三角恒等变换第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式A 级·基础过关 |固根基|1.(2019届贵阳模拟)设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－4D ．4解析：选C 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝14， 所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－4.故选C ．2．(2020届贵阳摸底)在△ABC 中，sin A ＝513，cos B ＝35，则cos C ＝( )A ．5665 B ．－3365C ．5665或－1665D ．－1665解析：选D 因为cos B ＝35，所以sin B ＝45.因为sin A ＝513，所以cos A ＝±1213.因为sin B ＝45>sinA ＝513，所以B>A ，所以角A 为锐角，所以cos A ＝1213.则cos C ＝cos [π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝sin Asin B －cos Acos B ＝513×45－1213×35＝－1665.故选D ．3．(2019届山东三校联考)已知sin 2α＝13，则cos 2α－π4＝( )A ．13 B ．16 C ．23D ．89解析：选C sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝23，即cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝23.故选C ． 4．(2019届福建五校第二次联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，则sin 2α＝( )A ．15B ．－15C ．725D ．－725解析：选C 解法一：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．解法二：令π4－α＝θ，则α＝π4－θ，因为cos θ＝45，所以sin 2α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．解法三：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以22(cos α＋sin α)＝45，所以cos α＋sin α＝425，平方得1＋sin 2α＝3225，即sin 2α＝725.故选C ．5．(2019届河北六校联考)已知α∈(0，π)，且tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝( ) A ．25－35B ．5－35C ．5＋35D ．25＋35解析：选B ∵α∈(0，π)，tan α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，∴α在第一象限，且cos α＝15.∴cos 2α＋cos α＝2cos 2α－1＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫152－1＋15＝－35＋15＝5－35，故选B ．6．(2019届佛山模拟)已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β等于( )A ．π3B ．π3或－23πC ．－π3或23πD ．－23π解析：选D 由题意得，tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4，所以tan α<0，tan β<0.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， 所以－π<α＋β<0.又tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，所以α＋β＝－2π3.7．(2019届牛栏山中学模拟)已知cos 2α－cos 2β＝a ，那么sin (α＋β)sin (α－β)等于( ) A ．－a 2B ．a 2C ．－aD ．a解析：选C sin (α＋β)sin (α－β)＝(sin αcos β＋cos α·sin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a.故选C ．8．(2019年全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A ．15 B ．55C ．33D ．255解析：选B 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α>0，cos α>0，所以2sin α＝cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝55(负值舍去)．故选B ． 9．(2020届大同调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝________． 解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，得θ－π6＝π6，所以θ＝π3，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π3＝1. 答案：110．已知tan (α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________．解析：易知tan (2α－β)＝tan [2(α－β)＋β]． 因为tan (α－β)＝12，所以tan 2(α－β)＝2tan （α－β）1－tan 2（α－β）＝43， 故tan (2α－β)＝tan 2（α－β）＋tan β1－tan 2（α－β）tan β＝1.由tan β＝－17∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0，知5π6<β<π，由tan α＝tan [(α－β)＋β]＝13∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，知0<α<π6，所以2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，故2α－β＝－3π4.答案：－3π411．(2019届宜昌联考)已知函数f(x)＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x∈R，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ的值．解：(1)由f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝Asin 2π3＝32A ＝32，可得A ＝ 3.(2)因为f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32，即⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ＝32，所以cos θ＝64. 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝104，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＋π4＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 12．(2018年江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos (α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan (α－β)的值．解：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos (α＋β)＝－55， 所以sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，所以tan (α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 所以tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.B 级·素养提升 |练能力|13.在斜△ABC 中，sin A ＝－2cos Bcos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的大小为( ) A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4解析：选A ∵在斜△ABC 中，sin A ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝－2cos Bcos C ，两边同时除以cos Bcos C ，可得tan B ＋tan C ＝－ 2.又∵tan Btan C ＝1－2，∴tan(B ＋C)＝tan B ＋tan C1－tan Btan C ＝－1.又∵B＋C∈(0，π)， ∴B ＋C ＝34π，∴A ＝π4.14.(2019届湖北武汉模拟)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为4∶9，则cos (α－β)的值为( )A ．59B ．49C ．23D ．0解析：选A 由题可设大、小正方形边长分别为3，2， 可得cos α－sin α＝23，① sin β－cos β＝23，②由图可得cos α＝sin β，sin α＝cos β，①×②可得，49＝cos αsin β＋sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＝sin 2β＋cos 2β－cos (α－β)＝1－cos (α－β)，解得cos (α－β)＝59.故选A ．15．(2019届唐山市高三摸底考试)已知函数f(x)＝sin x －sin 3x ，x ∈[0，2π]，则f(x)的所有零点之和等于( )A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π解析：选C f(x)＝sin x －sin 3x ＝sin(2x －x)－sin(2x ＋x)＝－2cos 2xsin x ，令f(x)＝0，可得cos 2x ＝0或sin x ＝0，∵x∈[0，2π]，∴2x∈[0，4π]，由cos 2x ＝0可得，2x ＝π2或2x ＝3π2或2x＝5π2或2x ＝7π2，∴x＝π4或x ＝3π4或x ＝5π4或x ＝7π4，由sin x ＝0，得x ＝0或x ＝π或x ＝2π，∴π4＋3π4＋5π4＋7π4＋0＋π＋2π＝7π，∴f(x)的所有零点之和等于7π，故选C ． 16．(2019届广东六校第一次联考)已知A 是函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3的最大值，若存在实数x 1，x 2，使得对任意实数x ，总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则A|x 1－x 2|的最小值为( )A ．π2 018 B ．π1 009 C ．2π1 009D ．π4 026解析：选B f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3＝32sin 2 018x ＋12cos 2 018x ＋12cos 2 018x ＋32sin 2 018x ＝3sin 2 018x ＋cos 2 018x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6，故A ＝f(x)max ＝2，f(x)的最小正周期T ＝2π2 018＝π1 009.又存在实数x 1，x 2，使得对任意实数x ，总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，所以f(x 2)＝f(x)max ，f(x 1)＝f(x)min ，故A|x 1－x 2|的最小值为A×12T ＝π1 009，故选B ．17．(2019届湖南重点高中联考)已知向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(cos θ，－1)，若a⊥b，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.解析：由已知得a·b＝2cos θ－sin θ＝0，所以tan θ＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝12cos 2θ＝12(cos 2 θ－sin 2θ)＝12×cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝12×1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－310. 答案：－310第四章 三角函数、解三角形第三节 简单的三角恒等变换 第二课时 简单的三角恒等变换A 级·基础过关 |固根基|1.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°的值为( )A ．1B ．－1C ．12D ．－12解析：选D 原式＝2sin 235°－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝－cos 70°2sin 20°＝－12.2．(2019届成都模拟)已知tan α＝m 3，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2m ，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A 由题意知，tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2m ，则m3＋11－m 3＝2m ，∴m＝－6或1，故选A ．3．已知2tan αsin α＝3，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( ) A ．0 B ．22C ．1D ．12解析：选A 由2tan αsin α＝3，得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，∴cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．∵－π2<α<0，∴α＝－π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0. 4．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( )A ．3π4B ．π4或3π4C ．π4D ．2k π＋π4(k∈Z)解析：选C 由sin α＝55，cos β＝31010，且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010， 故cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.5．(2019届福州市高三期末)若2sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C ．79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1， 所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.故选C ．6．若α是第二象限角，且sin α＝35，则1－2sin π＋α2·sin π－α2＝( )A ．－65B ．－45C ．45D ．65解析：选C 因为1－2sin π＋α2sin π－α2＝1－2cos 2α2＝－cos α，又sin α＝35，且α是第二象限角，所以cos α＝－45，所以1－2sin π＋α2sin π－α2＝45.故选C ．7．(2019届兰州模拟)计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1.8．设sin α2＝45，且α是第二象限角，则tan α2的值为________．解析：因为α是第二象限角，所以α2是第一或第三象限角．①当α2是第一象限角时，有cos α2＝1－sin 2α2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 所以tan α2＝sinα2cosα2＝43；②当α2是第三象限角时，与sin α2＝45矛盾，舍去．综上，tan α2＝43.答案：439．(2019届三湘名校联考)函数f(x)＝sin 2x ＋2cos x 在区间[0，π]上的值域为____________．解析：f′(x)＝2cos 2x －2sin x ＝－2(2sin 2x ＋sin x －1)＝－2(2sin x －1)(sin x ＋1)，当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6∪⎝⎛⎭⎪⎫5π6，π时，f′(x)>0；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6时，f′(x)<0，∴x ＝π6是f(x)的极大值点，x ＝5π6是f(x)的极小值点．又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝332，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝－332，f(0)＝2，f(π)＝－2，∴f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332 10．(2019届四省八校联考)f(x)＝sin 2x 1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4×(1＋3tan x)的最小正周期为________． 解析：f(x)＝sin 2x 1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4×(1＋3tan x)＝sin 2x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3×sin x cos x ＝2sin xcos x sin x ×cos x ＋3sin x cos x ＝2(cos x ＋3sin x)＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，则f(x)的最小正周期T ＝2π. 答案：2π11．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g(x)＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域． 解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33. ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，∴g(x)＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. ∵0≤x ≤2π3， ∴－π6≤2x －π6≤7π6. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1， ∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1， 故函数g(x)＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2，1]． 12．(2019届河南省实验中学模拟)已知函数f(x)＝43cos 2ωx ＋2sin 2ωx －3(ω>0)的部分图象如图所示，H 为图象的最高点，E ，F 是图象与直线y ＝3的交点，且EH →·EF →＝EH →2.(1)求ω的值及函数的值域；(2)若f(x 0)＝335，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－23，求f(x 0＋2)－3的值．解：(1)函数化简得f(x)＝23cos 2ωx ＋2sin 2ωx ＋3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋ 3.由题意可知|EF|＝T2.因为EH →·EF →＝EH →2，所以EH →·(EH →＋HF →)＝EH →2，所以EH →·HF →＝0，所以HF⊥HE，所以△EFH 是等腰直角三角形．又因为点H 到直线EF 的距离为4，所以|EF|＝8，所以函数f(x)的周期T ＝16.所以2ω＝2π16，即ω＝π16，函数f(x)的值域是[－4＋3，4＋ 3 ]．(2)由(1)，知f(x)＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π3＋3，因为f(x 0)＝335，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＝－310. 因为x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－23，所以π8x 0＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＝9710，所以f(x 0＋2)－3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π4＋π3＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＋π4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3cos π4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3sin π4＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－310×22＋4×9710×22＝194－65.B 级·素养提升|练能力|13.(2019届长春市高三第一次质量监测)函数f(x)＝3sin x ＋3cos x 的最大值为() A ． 3 B ．2C ．2 3D ．4解析：选C 由题意，可知f(x)＝3sin x ＋3cos x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以函数的最大值为23，故选C ．14．函数f(x)＝12(1＋cos 2x)sin 2x (x∈R)是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数 解析：选 D ∵f(x)＝14(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝14(1－cos 22x)＝14sin 22x ＝18(1－cos 4x)，∴f(－x)＝18[1－cos (－4x)]＝18(1－cos 4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为π2的偶函数，故选D ． 15．已知tan 2α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，函数f(x)＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α，且对任意的实数x ，不等式f(x)≥0恒成立，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为( ) A ．－255B ．－55C ．－235D ．－35解析：选A 由tan 2α＝34，即2tan α1－tan 2α＝34，得tan α＝13或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，∴tan α＝－3，∴sin α＝－310，cos α＝110，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin αcos π4－cos αsin π4＝－255，故选A ． 16．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________． 解析：∵a＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，a⊥b，∴2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝2－11＋2×1＝13. 答案：13。

任意角、弧度制及任意角的三角函数全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式从高考题型、题量来看,一般有两种方式：二个小题或一个小题另加一个解答题，分值为10分或17分左右。

2。

考查内容（1)客观题主要考查三角函数的定义，图象与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知识。

（2)解答题涉及知识点较为综合．涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见.任意角、弧度制及任意角的三角函数［考试要求] 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2。

能进行弧度与角度的互化。

3。

理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切)的定义．1．角的概念的推广(1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2）分类错误!(3）终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝｛β|β＝α＋k·360°，k∈Z｝．提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。

（2）公式：提醒:有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致,不可混用．（2）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．3．任意角的三角函数（1)定义设角α终边与单位圆交于P（x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝错误!（x≠0)．拓展：任意角的三角函数的定义（推广）设P(x,y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r,则sin α＝错误!,cos α＝错误!，tan α＝错误!（x≠0）．（2）三角函数值在各象限内符号为正的口诀一全正，二正弦,三正切，四余弦．(3）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0）．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．［常用结论］1．象限角2．轴线角一、易错易误辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．（）(2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．（)（3）不相等的角终边一定不相同．()（4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.()[答案］(1)×（2）√(3)×(4）√二、教材习题衍生1．若θ满足sin θ＜0，cos θ＞0，则θ的终边在（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限D［∵sin θ＜0，cos θ＞0，∴θ的终边落在第四象限．] 2．下列与错误!的终边相同的角的表达式中正确的是(）A．2kπ＋45°(k∈Z）B．k·360°＋错误!π（k∈Z）C．k·360°－315°(k∈Z）D．kπ＋错误!（k∈Z）C［∵错误!＝2π＋错误!,∴错误!与错误!终边相同．又角度制与弧度制不可同时混用，故选C．]3．角－225°＝________弧度，这个角的终边落在第________象限．［答案]－5π4二4．设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________.错误!［由已知并结合三角函数的定义，得sin θ＝－错误!,cos θ＝错误!,所以2cos θ－sin θ＝2×错误!－错误!＝错误!。

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第29讲解三角形应用举例及综合问题1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).3.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.➢考点1 解三角形应用举例[名师点睛]1.距离问题的类型及解法(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.2.高度问题的类型及解法（1）在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.（2）准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.（3）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.3.角度问题的类型及解法（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.（2）方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.[典例]1.（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）为了测量一个不规则公园,C D 两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km 的,A B 两点，点B 在点A 的正东方向上，且,,,A B C D 四点在同一水平面上．从点A 处观测得点C 在它的东北方向上，点D 在它的西北方向上；从点B 处观测得点C 在它的北偏东15︒方向上，点D 在它的北偏西75方向上，则,C D 之间的距离为______km.【答案】2 【分析】由题意确定相应的各角的度数，在ABC 中，由正弦定理求得BC ,同理再求出DB ，解DBC △，求得答案.【详解】由题意可知，904545,9045135,9015105CAB DAB CBA ∠=-=∠=+=∠=+=,157590,15CDB DBA ∠=+=∠= ,故在ABC 中，1804510530ACB ∠=--=，故sin sin BD AB DAB ADB =∠∠ ，1sin 452sin 30BC ⨯==在ABD △中，1801513530ADB ∠=--=， 故sin sin BC AB CAB ACB =∠∠ ，1sin1352sin 30BD ⨯==， 所以在DBC △中，90CBD ∠=，则22222CD BC DB =+=+= ,故答案为：22. (2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影A ′，B ′，C ′满足∠A ′C ′B ′＝45°，∠A ′B ′C ′＝60°.由C 点测得B 点的仰角为15°，BB ′与CC ′的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A ′B ′C ′的高度差AA ′－CC ′约为(3≈1.732)( )A.346B.373C.446D.473答案 B解析如图所示，根据题意过C 作CE ∥C ′B ′，交BB ′于E ，过B 作BD ∥A ′B ′，交AA ′于D ，则BE ＝100，C ′B ′＝CE ＝100tan 15°.在△A ′C ′B ′中，∠C ′A ′B ′＝180°－∠A ′C ′B ′－∠A ′B ′C ′＝75°，则BD ＝A ′B ′＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，又在B 点处测得A 点的仰角为45°，所以AD ＝BD ＝C ′B ′·sin 45°sin 75°， 所以高度差AA ′－CC ′＝AD ＋BE＝C ′B ′·sin 45°sin 75°＋100＝100tan 15°·sin 45°sin 75°＋100＝100sin 45°sin 15°＋100＝100×2222×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋100＝100(3＋1)＋100≈373.3．（2022·全国·高三专题练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点A 处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B 处，测得仰角为30°，再行走80米到点C 处，测得仰角为θ.则tan θ=______________.【答案】37777【解析】首先得到60,603OA OB ==，然后由余弦定理得：2222cos OA AB OB AB OB ABO =+-⋅∠，2222cos OC BC OB BC OB OBC =+-⋅∠，然后求出OC 即可【详解】如图，O 为楼脚，OP 为楼高，则60OP =，易得：60,603OA OB ==由余弦定理得：2222cos OA AB OB AB OB ABO =+-⋅∠，2222cos OC BC OB BC OB OBC =+-⋅∠，两式相加得：()22222230800OA OC AB OB OC +=+⇒=，则77OC =故377tan 2077θ=377[举一反三] 1．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E 、H 、G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为h ，EG 为测量标杆问的距离，记为d ，GC 、EH 分别记为,a b ，则该山体的高AB =（ ）A ．hd h a b +-B ．hd h a b--C ．hd d a b +-D ．hd d a b -- 【答案】A【分析】根据所给数据，利用解直角三角形先求出BM ，即可得解.【详解】连接FD ，并延长交AB 于M 点，如图， 因为在Rt BMD △中tan h BDM b ∠=，所以||||||tan BM BM b MD BDM h ==∠；又因为在Rt BMF △中tan h BFM a∠=， 所以||||||tan BM BM a MF BFM h ==∠，所以||||||||BM a BM b MF MD d h h-=-=， 所以||hd BM a b =-，即||hd AB BM h h a b =+=+-， 故选：A ．2．（2022·江苏南通·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB ，先在旗杆底端的正西方点C 处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C 处沿南偏东30°方向前进20m 到达点D 处，在D 处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（ ）A ．20mB ．10mC ．103mD ．1033m 【答案】B 【分析】根据条件确定相关各角的度数，表示出AB ，,AD AC 等边的长度，然后在ACD △中用余弦定理即可解得答案.【详解】如图示，AB 表示旗杆，由题意可知：45,0,630ACB ACD ADB ∠=∠=∠=︒︒︒，所以设AB x = ，则3,AD x AC x ==，在ACD △ 中，2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⨯⨯⨯∠ ,即2221(3)()(20)2202x x x =+-⨯⨯⨯ ，解得10x = ，（20x =-舍去），故选：B.3．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁()A 和临秀亭()B 两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A 、B 两地之间的距离，某同学任意选定了与A 、B 不共线的C 处，构成ABC ，以下是测量数据的不同方案： ①测量A ∠、AC 、BC ；②测量A ∠、B 、BC ；③测量C ∠、AC 、BC ；④测量A ∠、C ∠、B ．其中一定能唯一确定A 、B 两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．【答案】②③【分析】利用正弦定理可判断①②，利用余弦定理可判断③，根据已知条件可判断④不满足条件.【详解】对于①，由正弦定理可得sin sin AC BC B A =，则sin sin AC A B BC =， 若AC BC >且A ∠为锐角，则sin sin sin AC A B A AB=>，此时B 有两解， 则C ∠也有两解，此时AB 也有两解；对于②，若已知A ∠、B ，则C ∠确定，由正弦定理sin sin BC AB A C=可知AB 唯一确定； 对于③，若已知C ∠、AC 、BC ，由余弦定理可得222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅ 则AB 唯一确定；对于④，若已知A ∠、C ∠、B ，则AB 不确定.故答案为：②③.4．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B 位于小岛A 北偏东75距离60海里处，小岛B 北偏东15距离330海里处有一个小岛 C .(1)求小岛A 到小岛C 的距离；(2)如果有游客想直接从小岛A 出发到小岛 C ，求游船航行的方向.解：(1)在ABC 中，6030330，==AB BC1807515120ABC ∠=-+=，根据余弦定理得：.2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠2260(30330)260(30330)cos1205400=+-⨯⨯⋅=306=AC 所以小岛A 到小岛 C 的最短距离是306.(2)根据正弦定理得：sin sin AC AB ABC ACB =∠∠ 30660120sin ACB=∠ 解得2sin ACB ∠=在ABC ∆中，,<BC ACACB ∴∠为锐角45ACB ∴∠=1801204515CAB ∴∠=--=. 由751560-=得游船应该沿北偏东60的方向航行答:小岛A 到小岛 C 的最短距离是306;游船应该沿北偏东60的方向航行. 5．（2022·广东·高三开学考试）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ．现测得30BCD ∠=︒，135BDC ∠=︒，50CD =米，在点C 测得塔顶A 的仰角为45°，求塔高AB ．【解】在BCD △中，1801803013515CBD BCD BDC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵()sin sin15sin 4530CBD ∠=︒=︒-︒sin 45cos30cos45sin30=︒︒-︒︒62-=由正弦定理sin sin BC CD BDC CBD =∠∠得()sin 5031sin 62CD BDC BC CBD ⋅∠===∠-.在Rt ABC △中45ACB ∠=︒．∴)5031AB BC ==．所以塔高AB 为)5031米．➢考点2 求解平面几何问题[名师点睛]平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.1.(2021·新高考八省联考)在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BD ＝CD ＝1.(1)若AB ＝32，求BC ； (2)若AB ＝2BC ，求cos ∠BDC . 解(1)如图所示，在△ABD 中，由余弦定理可知，cos ∠ABD ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12－122×32×1＝34.∵AB ∥CD ，∴∠BDC ＝∠ABD ，即cos ∠BDC ＝cos ∠ABD ＝34. 在△BCD 中，由余弦定理可得，BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD cos ∠BDC ＝12＋12－2×1×1×34，∴BC ＝22. (2)设BC ＝x ，则AB ＝2BC ＝2x .由余弦定理可知， cos ∠ABD ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝（2x ）2＋12－122×2x ×1＝x ，①cos ∠BDC ＝CD 2＋BD 2－BC 22CD ·BD ＝12＋12－x 22×1×1＝2－x 22.②∵AB ∥CD ，∴∠BDC ＝∠ABD ，即cos ∠BDC ＝cos ∠ABD .联立①②，可得2－x 22＝x ，整理得x 2＋2x －2＝0，解得x 1＝3－1，x 2＝－3－1(舍去).将x 1＝3－1代入②，解得cos ∠BDC ＝3－1.2.（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A 的平分线AD 交BC 边于点D . (1)证明：AB DBAC DC=，2AD AB AC DB DC =⋅-⋅；(2)若1AD =，23A π=，求DB DC ⋅的最小值. 解：(1)在ABD △和BCD △中，可得BAD CAD ∠=∠，ADB ADC π∠+∠=， 所以sin sin BAD CAD ∠=∠，sin sin ADB ADC ∠=∠， 由正弦定理，得sin sin AB BDADB BAD =∠∠，sin sin AC DC ADC CAD=∠∠，两式相除得AB DB AC DC =，可得ABBD BC AB AC=+，AC DC BC AB AC =+， 又由cos cos ABD ABC ∠=∠，根据余弦定理得22222222AB BD AD AB BC AC AB BD AB BC+-+-=⋅⋅ 所以()()22222222BD DC BDAD AB BD AB BC AC AB AC BD BC BD BC BC BC=+-+-=+-- 代入可得222AC AB AD AB AC BD DC AB AC AB AC=+-⋅++ABAC AB AC BD DC AB AC BD DC AB AC AB AC ⎛⎫=⋅+-⋅=⋅-⋅ ⎪++⎝⎭.(2)由1AD =，23A π=及ABD ACD ABC S S S +=△△△，可得b c bc += 根据基本不等式得2bc b c bc=+≥，解得4bc ≥，当且仅当2b c ==时等号成立，又由1AD =，2AD AB AC DB DC =⋅-⋅，可得13DB DC bc ⋅=-≥， 所以DB DC ⋅的最小值是3. [举一反三]1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在ABC 中，M 为BC 上一点，2AB AC BC =≤，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且15sin 8B =．(1)若AM BM =，求ACAM的值； (2)若AM 为BAC ∠的平分线，且1AC =，求ACM △的面积．解：（1）因为15sin B =π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以27cos 1sin 8B B -=，因为2AB AC =，所以由正弦定理知sin 2sin C ABB AC==，即sin 2sin C B =，因为AM BM =，所以2AMC B ∠=∠，sin sin 22sin cos AMC B B B ∠==，在AMC 中，sin 2sin cos 7cos sin 2sin 8AC AMC B B B AM C B ∠====． （2）由题意知22AB AC ==，设BC x =，由余弦定理得222217cos 48x B x +-==，解得2BC =或32BC =．因为2AC BC ≤，所以2BC =，因为AM 为BAC ∠的平分线，BAM CAM ∠=∠所以11sin 2211sin 22ABM ACMAB AM BAM BM hS SAC AM CAM CM h⋅∠⨯==⋅∠⨯（h 为底边BC 的高）所以2BM AB CMAC ==，故1233CM BC ==，而由（1）知sin 2sin C B ==112sin 1223ACM S AC CM C =⋅⋅=⨯⨯=△． 2．（2022·福建省福州第一中学三模）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，sinsin2A Bb c B +=. (1)求角C ；(2)若AB 边上的高线长为ABC 面积的最小值. 解：(1)由已知A B C π++=，所以sin sin cos 222A B C Cb b b π+-==， 所以cossin 2C b c B =，由正弦定理得sin cos sin sin 2CB C B =， 因为B 、()0,C π∈，则sin 0B >，022C π<<，cos 02C>，所以，cos sin 2C C =，则cos 2sin cos 222C C C =，所以1sin 22C =，所以26C π=，则3C π=.(2)由11sin 22ABCSc ab C =⋅=，得4ab c =， 由余弦定理222222cos 2c a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+-≥-=， 即24c c ≥，因为0c >，则4c ≥，当且仅当4a b c ===取等号，此时ABC 面积的最小值为3．（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①2sin cos sin b C B c B =+，②cos cos 2B bC a c=-两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且________. (1)求角B ；(2)若a c +=D 是AC 的中点，求线段BD 的取值范围.解：(1)选①，由2sin cos sin b C B c B =+及正弦定理可得2sin sin cos sin sin B C C B C B =+，所以，sin sin cos C B C B =，因为B 、()0,C π∈，所以，sin 0C >，则sin 0B B =>，所以，tan B =3B π∴=；选②，由cos cos 2B bC a c=-及正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos B C A C B =-， 所以，()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A =+=+=，A 、()0,B π∈，sin 0A ∴>，所以，1cos 2B =，则3B π=.(2)因为a c +=0a <<由已知AD DC =，即BD BA BC BD -=-，所以，2BD BA BC =+， 所以，()222242BD BA BC BA BC BA BC =+=++⋅，即())22222242cos33BD c a ac c a ac a c ac aa π=++=++=+-=-22993,344a a ⎛⎡⎫=+=+∈ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎭，所以，34BD ≤<➢考点3 三角函数与解三角形的交汇问题（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=-+，其中0>ω，若实数12,x x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2π． (1)求ω的值及()f x 的对称中心；(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，若()1,f A a =-=ABC 周长的取值范围． 解：(1)211cos 21()cos sin 2222x f x x x x x ωωωωω-=-+=-+12cos 2sin 226x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 显然()f x 的最大值为1，最小值为1-，则()()122f x f x -=时，12x x -的最小值等于2T，则22T π=，则22ππω=，1ω=；令2,6x k k ππ+=∈Z ，解得,122k x k ππ=-+∈Z ，则()f x 的对称中心为,0,122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ； (2)()sin(2)16f A A π=+=-，22,62A k k πππ+=-+∈Z ，又()0,A π∈，则23A π=， 由正弦定理得2sin sin sina b cA B C====，则2sin ,2sin b B c C ==， 则周长为2sin 2sin 2sin 2sin 3a b c B C B B π⎛⎫++=+=+- ⎪⎝⎭3sin 3cos 32sin()3B B B π=++=++，又03B π<<，则2333B πππ<+<，则32sin()23B π<+≤，故周长的取值范围为(23,23⎤+⎦.[举一反三]1．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知函数()sin(),0,0,02f x A x x R A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)在锐角ABC 中，若边1BC =，且3212Af π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求ABC 周长的最大值．解：(1)由图得2A =，32ππ3π43124T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，又2πT ω=，所以2ω=， 将点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()2sin(2)f x x ϕ=+，得πsin 06ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即π,6k k Z ϕπ=+∈， 考虑到π02ϕ<<，故π6ϕ=，即()f x 的解析式为π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)由π3212A f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3sin A =及π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故π3A =，因为ABC 为锐角三角形，且π3A =，故ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由正弦定理，得sin sin sin a b c A B C ===所以2π1sin )1sin sin3a b c B C B B ⎤⎛⎫++=+=+- ⎪⎥⎝⎭⎦1π12sin cos 12sin 26B B B ⎛⎫⎛⎫=+⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故π2sin 6B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 故ABC 周长的最大值为3.2.（2022·山东淄博·三模）已知函数21()cos cos (0)2f x x x x ωωωω=-+>，其图像上相(1)求函数()f x 的解析式；(2)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4a =，12bc =，()1f A =．若角A 的平分线AD交BC 于D ，求AD 的长．解：(1)因为()211cos cos 2cos 222f x x x x x x ωωωωω=-+=-πsin 26x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设函数()f x 的周期为T ，由题意222444πT ⎛⎫+=⎪+ ⎝⎭，即2224ππω⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得1ω=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)由()1f A =得：sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22,Z 62A k k πππ-=+∈，解得,Z 3A k k ππ=+∈，因为[0,]A π∈，所以π3A =， 因为A 的平分线AD 交BC 于D ，所以ABCABDACDSSS=+，即111sinsin sin 232626bc c AD b AD πππ=⋅⋅+⋅⋅，可得AD = 由余弦定理得：，()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，而12bc =，得()252b c +=，因此AD ==。

考向22 解三角形【2022·全国·高考真题（理）】记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．【2022·全国·高考真题】记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值．解答三角高考题的策略：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”． （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系． （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化．两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例．另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解．1．方法技巧：解三角形多解情况在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 sin a b A =sin b A a b <<a b ≥a b >a b ≤解的个数一解两解一解一解无解2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有,,a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A B C π++=．1．基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理公式==2sin sin sinCa b c R A B = 2222cos a b c bc A =+-；2222cosB b c a ac =+-； 2222cosC c a b ab =+-．常见变形（1）2sin a R A =，2sinB b R =，2sinC c R =；（2）sin 2a A R =，sinB 2b R =，sinC 2cR =；222cosA 2b c a bc +-=； 222cosB 2c a b ac +-=； 222cosC 2a b c ab+-=．111sin sin sin 222S ABC ab C bc A ac B ∆===1()42abc S ABC a b c r R ∆==++⋅（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R ，r ．） 2．相关应用 （1）正弦定理的应用①边化角，角化边::sin :sin :sin a b c A B C ⇔= ②大边对大角大角对大边sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇔<③合分比：b 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin B sin a bc a b b c a c a cR A B C A B B C A C A C+++++=======+++++（2）ABC △内角和定理：A B C π++=①sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+cos cos c a B b A ⇔=+ 同理有：cos cos a b C c B =+，cos cos b c A a C =+． ②cos cos()cos cos sinAsinB C A B A B -=+=-； ③斜三角形中，tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B+-=+=-⋅tan tan tanC tan tan tanC A B A B ⇔++=⋅⋅④sin()cos 22A B C +=；cos()sin 22A B C+= ⑤在ABC ∆中，内角A B C ，，成等差数列2,33B AC ππ⇔=+=． 3．实际应用 （1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角．①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． ②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡度）．坡度又称为坡比．1．（2022·青海·模拟预测（理））在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b kab +=，则△ABC 的面积为22c 时，k 的最大值是（ ）A ．2B ．5C ．4D ．252．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A =，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2a =，222sin 3sin 2sin A B a C +=，则cos C 的最小值为______．4．（2022·上海·位育中学模拟预测）如图所示，在一条海防警戒线上的点、、A B C 处各有一个水声监测点，B C 、两点到点A 的距离分别为 20 千米和 50 千米．某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A C 、同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是 1.5 千米/秒．（1）设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B C 、到P 的距离，并求x 的值； （2）求静止目标P 到海防警戒线AC 的距离．（结果精确到 0.01 千米）．5．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2cos tan sin C AB C-=，a b <． （1）求角B ；（2）若3a =，7b =，D 为AC 边的中点，求BCD △的面积．6．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos cos cos a A b C c B =+． （1）求角A 的大小；（2）若23a =，6b c +=，求ABC 的面积．7．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，6AB AC ⋅=，向量()cos ,sin s A A =与向量()4,3t =-互相垂直． （1）求ABC 的面积； （2）若7b c +=，求a 的值．1．（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC 中，30,2,1B a b ===，则A 等于（ ）A ．45B ．135C ．45或135D ．1202．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））ABC 中，若5,6AB AC BC ===，点E 满足21155CE CA CB =+，直线CE 与直线AB 相交于点D ，则CD 的长（ ） A 810B 15C 10D 303．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2222a b c bc -=且cos sin =b C a B ，则ABC 是（ ）A ．等腰直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形4．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为 （ ）A ．6B ．406C ．20(13)+海里D ．40海里5．（多选题）（2022·福建·福州三中高三阶段练习）ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,sin 2sin a B C ==，以下四个命题中正确的是（ ） A ．满足条件的ABC 不可能是直角三角形B ．ABC 面积的最大值为43C ．M 是BC 中点，MA MB ⋅的最大值为3D ．当2A C =时，ABC 236．（多选题）（2022·广东·华南师大附中三模）已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面圆直径为3A ，B ，C 为底面圆周上的三个不同的动点，M 为母线PC 上一点，则下列说法正确的是（ ）A ．当A ，B 为底面圆直径的两个端点时，120APB ∠=︒ B ．△P AB 3C ．当△P AB 面积最大值时，三棱锥C -P AB 62+D ．当AB 为直径且C 为弧AB 的中点时，MA MB +157．（多选题）（2022·河北·沧县中学模拟预测）在ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且2abc =，则下列结论正确的是（ ） A ．222<+a b ab B ．22++>ab a b C ．224++≥a b cD ．22++≤a b c 8．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在ABC 中，O 为其外心，220OA OB OC ++=，若2BC =，则OA =________．9．（2022·河北·高三期中）已知ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a b cp ++=，则ABC 的面积()()()S p p a p b p c =---，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出．若ABC 的周长为15，()()()sin sin :sin sin :sin sin 4:6:5A B B C C A +++=，则ABC 的面积为___________________．10．（2022·全国·高三专题练习（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2224a b c +=，则tan B 的最大值为______．11．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁()A 和临秀亭()B 两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A 、B 两地之间的距离，某同学任意选定了与A 、B 不共线的C 处，构成ABC ，以下是测量数据的不同方案： ①测量A ∠、AC 、BC ； ②测量A ∠、B 、BC ； ③测量C ∠、AC 、BC ； ④测量A ∠、C ∠、B ．其中一定能唯一确定A 、B 两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD 中，已知BC ＝2，3cos 5BCD ∠=-.(1)若45CBD ∠=︒，求BD 的长； (2)若5cos ACD ∠=AB ＝4，求AC 的长.13．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积)2223S a c b =+-． (1)求角B 的大小；(2)若22a b c =，求sin C ．14．（2022·上海浦东新·二模）已知函数()()sin cos f x t x x t R =-∈ (1)若函数()f x 为偶函数，求实数t 的值；(2)当3t =时，在ABC 中（,,A B C 所对的边分别为a 、b 、c ），若()223f A c ==，，且ABC 的面积为23a 的值．15．（2022·全国·高三专题练习）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B =++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值．16．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，221cos 2a b bc ac B -+=．(1)求角A ；(2)若sin 3sin b A B =，求ABC 面积的最大值．17．（2022·上海金山·二模）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2sin 30b A a -=，且B 为锐角.(1)求角B 的大小；(2)若333c a b =+，证明：ABC 是直角三角形.18．（2022·湖南·湘潭一中高三阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)sin (2)sin 2sin a c A c a C b B -+-=． (1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2c =，求ABC 周长的取值范围．19．（2022·上海黄浦·二模）某公园要建造如图所示的绿地OABC ，OA 、OC 为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB 与BC 的总长度为12米，且BAO BCO ∠=∠．设BAO α∠=（02πα<<）．(1)当4AB =，3πα=时，求AC 的长；（结果精确到0.1米）(2)当6AB =时，求OABC 面积S 的最大值及此时α的值．20．（2022·上海虹口·二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD 的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以DCB ∠和DAB ∠为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD 相切.(1)若437AD =，337AB =，37BD =（长度单位：米），求种植花卉区域的面积； (2)若扇形的半径为10米，圆心角为135︒，则BDA ∠多大时，平行四边形绿地ABCD 占地面积最小？1．（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A ．⨯+表高表距表目距的差表高B ．⨯-表高表距表目距的差表高C ．⨯+表高表距表目距的差表距D ．⨯表高表距-表目距的差表距2．（2021·全国·高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，19AC 2AB =，则BC =（ ） A ．1B 2C 5D ．33．（2021·浙江·高考真题）在ABC 中，60,2B AB ∠=︒=，M 是BC 的中点，3AM =则AC =___________，cos MAC ∠=___________.4．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦其中a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边2,3,2a b c ===，则该三角形的面积S =___________．5．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当AC AB取得最小值时，BD =________． 6．（2022·上海·高考真题）在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为________ 7．（2021·全国·高考真题（理））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，360B =︒，223a c ac +=，则b =________．8．（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+；(2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．9．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A B A B =++． (1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．10．（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知345,cos 5a c C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．11．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，sin 23C C =．(1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为63ABC 的周长．12．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123313S S S B -+==． (1)求ABC 的面积；(2)若2sin sin A C =b ．13．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ；(2)证明：2222a b c =+14．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.(1)若∠ADE 20︒=，求EF 的长；(2)当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m²）15．（2021·天津·高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 22A B C =2b =（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．16．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．17．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=． （1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：2c b =；条件②：ABC 的周长为423+； 条件③：ABC 3318．（2021·全国·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.。