考向22 解三角形(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(解析版)

2023全国新高考1卷数学第22题1. 题目要求今天我们来讨论2023年全国新高考数学第22题的解法。

题目要求解一个与三角函数相关的不等式。

2. 题目内容题目内容如下：已知 sin(x) > 0，且0 < x < 2π，求解不等式 2cos(2x) - 4sin(x) - 1 > 0 的解集。

3. 解题思路我们首先根据已知条件 sin(x) > 0 推导出 x 的取值范围，然后利用三角函数的相关性质，化简原不等式，最终得出不等式的解集。

4. 解题步骤根据已知条件 sin(x) > 0，可以推出 x 的取值范围为(0, π)∪(π, 2π)。

接下来，我们根据三角函数的相关性质来化简原不等式。

利用三角函数公式 cos(2x) = 2cos^2(x) - 1，我们可以将不等式化简为：2(2cos^2(x) - 1) - 4sin(x) - 1 > 0。

化简后的不等式为：4cos^2(x) - 4sin(x) - 5 > 0。

接下来，我们利用已知条件 sin(x) > 0，将不等式中的 sin(x) 用 cos(x) 表示，得到：4cos^2(x) - 4√(1 - cos^2(x)) - 5 > 0。

将 cos^2(x) 用 t 表示，得到一个关于 t 的二次不等式：4t^2 - 4√(1 - t) - 5 > 0。

我们可以将此二次不等式转化为关于 t 的一元二次不等式，并求解 t的取值范围。

我们根据 t 的取值范围，将结果反代回 x，得出原不等式的解集。

5. 求解结果经过上述步骤的推导和计算，我们得出原不等式 2cos(2x) - 4sin(x) - 1 > 0 的解集为x∈(0, π/2)∪(3π/2, 2π)。

6. 结论通过以上的求解过程，我们成功地解出了2023年全国新高考数学第22题，展现了数学解题的思维逻辑和方法论。

这道题目考察了考生对三角函数的理解和运用能力，希望同学们在备战高考的过程中，不断提升数学解题的技巧和水平，取得优异的成绩。

单元（或主题）教学设计模板以下内容、形式均只供参考，参评者可自行设计。

教学过程既可以采用表格式描述，也可以采取叙事的方式。

如教学设计已经过实施，则应尽量采用写实的方式将教学过程的真实情景以及某些值得注意和思考的现象和事件描述清楚；如教学设计尚未经过实施，则应着重将教学中的关键环节以及教学过程中可能出现的问题及处理办法描述清楚。

表格中所列项目及格式仅供参考，应根据实际教学情况进行调整。

问题，体验数学在解决实际问题中的作用，提升学生数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算的数学核心素养。

重点：掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，并能正确应用定理解三角形难点：能应用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量与几何计算有关的实际问题。

3.单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）第一课时，正弦定理及可以解决的问题第二课时，余弦定理及可以解决的问题第三课时，三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理的选择第1课时教学设计课题正弦定理课型新授课□章/单元复习课□专题复习课√习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□1.教学内容分析本课时是解三角形复习课的起始课，由实际问题出发引起学生对定理及变形的回忆，提升学生数学建模、直观想象的核心素养；由几个典型的例题，归纳出正弦定理可以解决的类型，再由定理本身出发再次分析定理可以解决的类型，提升学生逻辑推理、数学运算的核心素养，提高学生对数学符号解读的能力。

再析定理，进而推出“三角形面积公式”，提升学生逻辑推理的核心素养。

3、你还有哪些收获？活动意图说明对于本节课的重点内容强化提问，既检测又强化重点。

“你还有哪些收获”，希望学生能够答出：三角形面积公式、SSA 的情况可能出现两解、取舍的方法、方程和数形结合的思想方法等。

环节六：课堂检测教的活动61、 在中，已知 45,30,10A C c cm ︒︒===，求a 边. 2、 在△ABC 中，π32,6,2===B b c ，求∠A 。

第22讲 解三角形【知识点总结】 1.角的关系++==+180,sin sin()A B C A B C =-+=-+cos cos(),tan tan(),A B C A B C++==sin cos ,cos sin .2222A B C A B C2.正弦定理===2(2sin sin sin a b c R R A B C 为∆ABC 的外接圆的直径）.正弦定理的应用：① 已知两角及一边求解三角形.②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：若<a b ,已知角Ａ求角Ｂ. π⎧>⎪⎪===⎨⎪<⎪⎩无解；两解（一锐角、一钝角）1,sin 1,21,B B 若>a b ,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.3.余弦定理=+-2222cos c a b ab C （已知两边a,b 及夹角Ｃ求第三边c ）+-=222cos 2a b c C ab（已知三边求角）.余弦定理的应用：①已知两边及夹角求解第三边； ② 已知三边求角；③已知两边及一边对角未知第三边. 4.三角形面积公式∆====1111sin sin sin .2222ABC S ah ab C bc A ac B【典型例题】例1．（2022·浙江·高三专题练习）ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，30A =︒，3a =，若这个三角形有两解，则b 的取值范围是（ ） A ．36b <≤ B ．36b << C ．6b <D ．6b ≤例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足cos cos b C a c B =+，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形例3．（2022·全国·模拟预测）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .且sin sin sin sin sin ,2sin a B Cb B a Ac C a A-=-=， 在①ABC 的周长为6；②sin 2sin B C =；③sin sin 3b C c B π⎛⎫ ⎪⎝+⎭=这三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题.（1）求A ；（2）求ABC 的面积.注:如果选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.例4．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，b =．（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值．例5．（2022·上海·高三专题练习）如图，在ABC 中，45B ∠=︒，点D 在BC 边上，且2CD =，3AD =，1cos 3ADC ∠=（1）求AC 的长； （2）求sin BAD ∠的值.例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4cos sin 33f x x xπ．（Ⅰ）求函数()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．（Ⅰ）在ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，若角C 为锐角，()f C ，且2c =，求ABC 面积的最大值．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，若22sin cos cos sin a A Bb A B=，则ABC 的形状为（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60A ∠=︒，1b =，ABCS2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于（ ）A B C D ．3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足222b c a bc +-=且a =sin bB=（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．4．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，30A ∠=︒，AB =1BC =，则C ∠等于（ ） A ．3π或23πB ．6π或56π C ．6πD ．3π 5．（2022·全国·高三专题练习）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为)301m 的建筑物,AB 在它们之间的地面上的点(,,M B M D 三点共线）处测得楼顶A ､楼顶C 的仰角分别是15︒和60,︒在楼顶A 处测得楼顶C 的仰角为15︒，则估算黄鹤楼的高度CD 为（ ）A． B ． C ． D ．6．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，若a =1，b B =60°，则A =（ ） A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°7．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 中，4BC =，AC =30A ∠=︒，则B ∠=（ ） A ．30B ．30或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒8．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2220,a c b ac ABC +--=的ABC 的周长为9,则ac =（ ） A ．6B ．9C ．16D ．249．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，6,,sin 2sin 3BC A B C π===.则ABC 的面积为（ ）A ．B ．6C ．D ．10．（2022·浙江·高三专题练习）在ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ） A ．502030A b c ===，， B ．502030A B c ===，， C ．243130a b A ===，，D ．504529A a c ===，，11．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知12,30b A ==︒，使得三角形有两解的条件是（ ） A ．6a =B ．612a <<C ．12a ≥D ．6a <12．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其中2a =，sin sin sin sin sin sin A B A C B C +=，则b c +的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．913．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2cos 3A =，2B A =．则ba=( ) A ．43B ．54 C ．32D ．6514．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 中，内角,,A B C 对应的边分别为a ，b ，c ，若4a b c +==，3C π=，则ABC 的面积为( )A B ．C ．4D ．15．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2a =，45C ︒=，2cos cos ac B b bc A =+，则ABC 的面积为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．416．（2022·浙江·高三专题练习）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()5c a b =-+，3C π=，则ABC 的面积是（ ）A ．3BCD ．17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，22213a b c -=，ABC 的面积为216c ，则A =（ ）A ．45°B ．60°C ．120°D ．150°18．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()()2232540a b a c -+-=，则ABC 最小内角的余弦值为（ ）A ．45B C ．35D ．3419．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222b c a +=，则角A 的大小为（ ） A ．6πB ．23π C ．3π D ．56π 20．（2022·全国·高三专题练习）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测量A ，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°．就可以计算出A ，B 两点的距离为（ ）．A． m B ．m C ．m D ． m二、多选题21．（2022·全国·高三专题练习）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（ ） A ．3a =，4b =，30A =︒ B ．3a =，4b =，3cos 5B =C ．3a =，4b =，30C =︒D ．3a =，4b =，30B =︒22．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，a ，b ，c 为三个内角A ，B ，C 的对边，若()222tan a c b B +-=，则角B =（ ） A ．30 B ．60︒ C ．150︒ D ．120︒三、填空题23．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知120A =︒，7a =，11cos 14B =，则b =___________ 24．（2022·全国·高三专题练习）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．25．（2022·全国·高三专题练习（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若1,4a B π==，ABC 的面积2S =，则ABC 的外接圆的面积为__________．26．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，若()sin sin cos sin A B B C +=，a =ABC 外接圆的面积为__________.27．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 外接圆的直径为d ，4AB =，5AC =，7BC =，则d =___________.28．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin :sin :sin 7:5:4A B C =，则最大角等于_________．29．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知23B C π+=，a =1b =，则ABC 的面积为______.30．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()cos cos 16c a B b A -=，8a b +=，60C ∠=，则c 的值等于__________31．（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC 中，222sin sin sin A B C +-=则cos2C =________.32．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示四边形ABCD 中，AD DC =，AC =BC =120ADC =∠︒，75BCD ∠=︒，则四边形ABCD 的面积为________.33．（2022·全国·高三专题练习）为测量山高MN .选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得N 点的仰角30MAN ∠=︒，C 点的仰角60CAB ∠=︒以及105NAC ∠=︒，从C 点测得30NCA ∠=︒.已知山高150=BC 米.则所求山高MN 为___________米.四、解答题34．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中， a b c 、、分别为内角、、A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅰ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC 的形状．35．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，a ＝8，b ＝6，cosA 13=-，求：（1）角B ； （2）BC 边上的高．36．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值．37．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且22cos b c a C -=. （1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，2c =，求b 的取值范围.38．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，已知角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+.（1）求角C ；（2）若2c =，求a b +的取值范围.39．（2022·天津北辰·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知7,8a c == （1）若4sin 7C =，求角A 的大小； （2）若5b =，求ABC 的面积．40．（2022·上海·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且22coscos 2A BB --sin()sin cos()A B B AC -++35=-（1）求cos A 的值；（2）若a =5b =，求B 和c .41．（2022·全国·高三专题练习）从①sin cos2A A=，②2cos cos cos a A b C c B =+，③()cos 2cos 0a C b c A ++=，这个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______． （1）求A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．42．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin b B c C a A+=sin b C -．（1）求A ；（2）若点D 在BC 上，满足AD 为BAC ∠的平分线，1AC =且sin C =AD 的长．43．（2022·全国·高三专题练习）在钝角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，()()sin sin 4sin 2A B A B A +--=.（1）求ba的值.（2）若c =π3C =，求ABC 的面积.44．（2022·全国·高三专题练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()2cos 2cos cos a C c B A -=+.（Ⅰ）求cos C ；（Ⅰ）若ABC 的面积ABC S =△，()()sin sin 2sin 2A B A B B++-=，求c .45．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin 0b C -=． （1）求角B 的大小；（2）从条件①4b a ==；条件②2,4a A π==这两个条件中选择一个作为已知，求ABC 的面积．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．46．（2022·全国·高三专题练习）ABC 中，2AB AC =，点D 在BC 边上，AD 平分BAC ∠.（1）若sin ABC ∠=cos BAC ∠；（2）若AD AC =，且ABC ，求BC .47．（2022·全国·高三专题练习（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且满足22b a ac -=，若.6A π=（1）求角B ；（2）若周长为6，求ABC 的面积.48．（2022·全国·高三专题练习（文））已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()1sin B A C -=+，4b =.（1）求sin B ；（2）若2C A π-=，求ABC 的面积.49．（2022·全国·高三专题练习（文））在ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos 3a B b A a +=，2cos 3B =． （Ⅰ）求c a的值；（Ⅰ）已知ABC 的面积为b ．50．（2022·全国·模拟预测）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos sin sin 0a B C A =. （1）求B ；（2）2,AC BC D ==是AC 边上的中点，求BD 的长.51．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos ccos a A b C B -=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅰ）若2a =，求b c +的取值范围．52．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四边形ABCD 中，2CD =，BC =4AB =，60BDC ∠=︒，cos ABC ∠=（1）求sin DBC ∠；（2）求AD .53．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形ABC ，AB AC =，D 为边BC 上的一点，90DAC ∠=︒，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，求ABD △的面积及BD 的长．条件①6AB =；条件②1cos 3BAC ∠=-；条件③CD =54．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形ABCD 中，5π6DAB ∠=，π4ADC ∠=，2AB AC ==1CD =.（1）求cos ACD ∠的值；（2）求BC 的值.55．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，且AC 为DAB ∠的角平分线，π3ABC ∠=，33AB BC ==．（1）求sin DAC ∠；（2）若2π3ADC ∠=，求四边形ABCD 的面积． 56．（2022·全国·高三专题练习）如图，ABC 中，角,,A B C 成等差数列，BAC DCA ∠=∠，1BD =，E 为AC 的中点.（1）若BCD S △CD ；（2）若AC A θ=，且122θππ<<，求sin θ的值．57．（2022·全国·高三专题练习）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．58．（2022·全国·高三专题练习）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与.D 现测得75BCD ∠=︒，60BDC ∠=︒，CD =C 测得塔顶A 的仰角为30，求塔高AB .第22讲 解三角形【知识点总结】1.角的关系++==+180,sin sin()A B C A B C =-+=-+cos cos(),tan tan(),A B C A B C++==sin cos ,cos sin .2222A B C A B C 2.正弦定理===2(2sin sin sin a b c R R A B C为∆ABC 的外接圆的直径）. 正弦定理的应用：① 已知两角及一边求解三角形.②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：若<a b ,已知角Ａ求角Ｂ. π⎧>⎪⎪===⎨⎪<⎪⎩无解；两解（一锐角、一钝角）1,sin 1,21,B B 若>a b ,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.3.余弦定理=+-2222cos c a b ab C （已知两边a,b 及夹角Ｃ求第三边c ）+-=222cos 2a b c C ab（已知三边求角）. 余弦定理的应用：①已知两边及夹角求解第三边；② 已知三边求角；③已知两边及一边对角未知第三边.4.三角形面积公式∆====1111sin sin sin .2222ABC S ah ab C bc A ac B 【典型例题】例1．（2022·浙江·高三专题练习）ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，30A =︒，3a =，若这个三角形有两解，则b 的取值范围是（ ）A ．36b <≤B ．36b <<C ．6b <D ．6b ≤【答案】B【详解】因为这个三角形有两解，故满足sin b A a b <<，即sin 303b b <<，解得36b <<.故选：B例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足cos cos b C a c B =+，则该三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形 【答案】C【详解】因为cos cos b C a c B =+，由正弦定理可得：sin cos sin sin cos B C A C B =+，所以[]sin cos sin cos sin ()B C C B B C π-=-+，所以sin()sin()B C B C -=+，所以B C B C -=+或B C B C π-=--，即0C =(舍去)或2B π=，故ABC 为直角三角形，故选：C例3．（2022·全国·模拟预测）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .且sin sin sin sin sin ,2sin a B C b B a A c C a A-=-=， 在①ABC 的周长为6；②sin 2sin B C =；③sin sin 3b C c B π⎛⎫ ⎪⎝+⎭=这三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题. （1）求A ；（2）求ABC 的面积.注:如果选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.【解析】（1）由正弦定理及sin sin sin sin sin sin a B C b B a A c C A-=-， 得222b a bc c -=-，即222b c a bc +-=， 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 由于()0,A π∈，所以3A π=（2）选①:由ABC 的周长为6，得64b c a +=-=，由（1）得2222(31)6a b c bc b c bc =+-=+-=3,bc -所以21643a bc -==， 所以ABC的面积为11sin 422S bc A ==⨯= 选②:由正弦定理及sin 2sin ,B C =得2b c =，由余弦定理得，2222222423a b c bc c c c c =+-=+-=，即243c =，解得c =所以2b c ==， 所以ABC的面积为11sin 22S bc A === 选③:由正弦定理及sin sin 3b C c B π⎛⎫ ⎪⎝+⎭=，得sin sin sin sin 3()B C C B π=+， 因为0C π<<，所以sin 0C >， 所以sin sin()3B B π=+，即1sin sin 2B B B =，整理可得tan B = 因为0B π<<，则3B π=，所以ABC 为等边三角形，所以ABC的面积为211sin 422S a A ==⨯ 例4．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，b =．（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值；（2）求a c +的最大值．【详解】（1）由角A 、B 、C 的度数成等差数列，得2B ＝A ＋C ．又A B C π＋＋＝，∴3B π＝． 由正弦定理，得34c a ＝，即34c a ＝． 由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-， 即22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =． （2）由正弦定理，得sin sin sin a c b A C B ===∴a A =，c C ．∴)()sin sin sin sin a c A C A A B +=+++⎤⎦π3πsin sin sin 326A A A A A ⎫⎤⎛⎫⎛⎫=++==+⎪ ⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎦⎭． 由203A π<<，得5666A πππ<+<．所以当ππ=62A +时，即=3A π时，()max a c += 例5．（2022·上海·高三专题练习）如图，在ABC 中，45B ∠=︒，点D 在BC 边上，且2CD =，3AD =，1cos 3ADC ∠=（1）求AC 的长；（2）求sin BAD ∠的值.【详解】（1）2CD =，3AD =，1cos 3ADC ∠=， ∴在ADC 中，由余弦定理得222222321cos 22323AD CD AC AC ADC AD CD +-+-∠===⋅⨯⨯，29,3AC AC =∴=∴（2）1cos 3ADC ∠=，所以sin ADC ∠=，又由题意可得=BAD ADC B ∠∠-∠，sin =sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∴∠∠-∠=∠∠-∠∠13==例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4cos sin 33f x x x π．（Ⅰ）求函数()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．（Ⅰ）在ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，若角C 为锐角，()f C ，且2c =，求ABC 面积的最大值．【详解】解：（Ⅰ）()4cos sin()3f x x x π=-4cos sin cos cos sin 33x x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭14cos sin 2x x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos x x x =-sin 222sin(2)3x x x π==-， 由42x ππ，有22633x πππ-，所以1sin 2123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭∴函数()f x 的值域为[]1,2．（Ⅰ）由()f C sin(2)3C π-=C 为锐角，233C ππ∴-=，3C π∴=．2c =，∴由余弦定理得：224a b ab +-=，222a b ab +，224a b ab ab ∴=+-．1sin 32ABC S ab C ∴==，∴当a b =，即ABC 为正三角形时，ABC 【技能提升训练】 一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，若22sin cos cos sin a A Bb A B =，则ABC 的形状为（） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】D【分析】由已知条件，结合正弦定理得sin 2sin 2A B =，有A B =或2A B π+=，即可知正确选项.【详解】由22sin cos cos sin a A Bb A B =知：22sin cos sin sin cos sin =A BA AB B ，即sin cos sin cos A A B B =， ∴sin 2sin 2A B =，即22A B =或22A B π+=，∴A B =或2A B π+=，故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60A ∠=︒，1b =，ABC S 2sin 2sin sin a b c A B C-+-+的值等于（ ） ABCD．【答案】A【分析】根据面积公式及余弦定理求出a ，以及根据正弦定理变形2sin 2sin sin sin a b c a A B C A-+=-+，进一步求出答案. 【详解】 1sin 2S bc A =∴24sin S c b A === ∴22212cos 116214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=， ∴a =∴2sin 2sin sin sin a b c a A B C A -+=-+ 故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足222b c a bc +-=且a =sin b B=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．【答案】A【分析】先利用余弦定理求得3A π=，再利用正弦定理求解即可.【详解】 由题222b c a bc +-=，2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴===,又0A π<<，3A π∴=，2sin sin b a B A ∴==， 故选：A.4．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，30A ∠=︒，AB =1BC =，则C ∠等于（ ） A ．3π或23πB ．6π或56π C ．6πD ．3π 【答案】A 【详解】 由正弦定理知sin sin BC ABA C=，∴1sin sin 2AB C A BC =⋅==， ∵0πC <<，C A >，∴3C π=或23π. 故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为)301m 的建筑物,AB 在它们之间的地面上的点(,,M B M D 三点共线）处测得楼顶A ､楼顶C 的仰角分别是15︒和60,︒在楼顶A 处测得楼顶C 的仰角为15︒，则估算黄鹤楼的高度CD 为（ ）A． B． C． D．【答案】C 【分析】分别在ABM ，ACM △及CDM 应用正弦定理求解. 【详解】在ABM 中，15,AMB ∠=︒则sin15ABAM == 在ACM △中，因为151530,1806015(105)CAM CMA ∠=︒+︒=︒∠=︒-︒+︒=︒， 所以1801053045MCA ∠=︒-︒-︒=︒因为sin sin CM AM MAC MCA =∠∠，所以()60CM m =，故)sin 60CD CM m =︒=.故选：C.6．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，若a =1，bB =60°，则A =（ ） A ．30° B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°【答案】A 【分析】 根据正弦定理sin sin a bA B=的式子，代入题中数据算出1sin 2A =，结合△ABC 中A <B ，可得A =30°.【详解】解：∵在△ABC 中，B =60°，∴根据正弦定理sin sin a bA B =，可得sin s 1i n 2a B b A ︒===， 又∵在△ABC 中a <b ，可得A <B ，∴A =30°. 故选：A .7．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 中，4BC =，AC =30A ∠=︒，则B ∠=（ ） A ．30 B ．30或150︒ C ．60︒ D ．60︒或120︒【答案】D 【分析】直接利用正弦定理计算即可得出答案. 【详解】解：因为4BC =，AC =30A ∠=︒， sin sin BC ACA B=，所以1sin 2sin 4AC AB BC⋅=== 所以B ∠=60︒或120︒. 故选：D.8．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2220,a c b ac ABC +--=的ABC 的周长为9,则ac =（ ）A ．6B ．9C ．16D ．24【答案】B 【分析】首先由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==，所以3B π=，再由正弦定理可得 2sin 3b R B ==，根据周长为9，由22()39a c ac b +-==即可得解. 【详解】在ABC 中，由2220,a c b ac +--=可得222a c b ac +-=， 所以2221cos 22a cb B ac +-==， 由0B π<<可得3B π=，所以2sin 3b R B ===， 由ABC 的周长为9,所以9936a c b +=-=-=， 由2220,a c b ac +--= 可得22()39a c ac b +-==， 所以327ac =，所以9ac =， 故选：B9．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，6,,sin 2sin 3BC A B C π===.则ABC 的面积为（ ）A．B ．6 C ．D ．【答案】A 【分析】由余弦定理可得2236c b bc =+-，由正弦定理可得2b c =，解得b 和c 的值，再由1sin 2S bc A =即可得解．【详解】2222cos a b c bc A =+-，2236c b bc ∴=+-，sin 2sin B C =，2b c ∴=.解得：c b ==∴ABC 的面积为11sin 22S bc A ==⨯=故选：A.10．（2022·浙江·高三专题练习）在ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ） A ．502030A b c ===，， B ．502030A B c ===，， C ．243130a b A ===，， D ．504529A a c ===，，【答案】C 【分析】根据三角形的性质依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，已知两边及夹角，由余弦定理可知第三边为定值，故只有一个解； 对于B 选项，已知两角及任意一边，则三角形确定，只有一个解； 对于C 选项，由正弦定理得sin 31sin sin 3048b A B a ==>，所以B 有两个解； 对于D 选项，由正弦定理和大边对大角得C 为小于50的锐角，故只有一个解. 故选：C11．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知12,30b A ==︒，使得三角形有两解的条件是（ ） A ．6a = B ．612a << C ．12a ≥ D ．6a <【答案】B 【分析】计算C 到AB 的距离h ，结合图形即可得出结论． 【详解】12b =，30A =︒，C ∴到AB 的距离sin 6h b A ==，∴当6a <时，三角形无解，当6a =时，三角形有一解， 当612a <<时，三角形有两解， 当12a 时，三角形有一解． 故选：B ．12．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其中2a =，sin sin sin sin sin sin A B A C B C +=，则b c +的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【分析】根据题意，利用正弦定理得到ab ac bc +=，进而得到221c b+=，再结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意知sin sin sin sin sin sin A B A C B C +=， 根据正弦定理，可得ab ac bc +=，因为2a =，所以22b c bc +=，即221c b+=，则2222()()448b c b c b c c b c b +=++=++≥+， 当且仅当4c b ==时等号成立，即b c +的最小值为8． 故选：C ．13．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2cos 3A =，2B A =．则ba=( ) A ．43B ．54 C ．32D ．65【答案】A 【分析】利用正弦定理并结合已知条件即可求解. 【详解】 由正弦定理可得，sin sin 22sin cos 42cos sin sin sin 3b B A A A A a A A A =====.故选：A.14．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 中，内角,,A B C 对应的边分别为a ，b ，c ，若4a b c +==，3C π=，则ABC 的面积为( )A B ．C ．4D ．【答案】A 【分析】已知两边之和与第三边，直接套用余弦定理公式求出两边之积，再代入面积公式计算. 【详解】由余弦定理可得22272cos ()3163a b ab C a b ab ab =+-=+-=-，所以3ab =.所以11sin 322S ab C ==⨯=． 故选：A ．15．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2a =，45C ︒=，2cos cos ac B b bc A =+，则ABC 的面积为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】B 【分析】根据题意，结合余弦定理化简得出222a b =，从而求得b =in 12s S ab C =，即可求出结果. 【详解】解：已知2cos cos ac B b bc A =+，由余弦定理得：222222222a c b b c a ac b bc ac bc+-+-⋅=+⋅，解得：222a b =，故b =11sin 2122S ab C ∴==⨯=. 所以ABC 的面积为1. 故选：B.16．（2022·浙江·高三专题练习）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()5c a b =-+，3C π=，则ABC 的面积是（ ）A ．3 BCD．【答案】C 【分析】先根据题意以及余弦定理求出ab ，再根据三角形面积公式即可求解. 【详解】解：2222()525c a b a ab b =-+=-++， 即22225a b c ab +-=-，由余弦定理得：222251cos 3222a b c ab ab ab π+--===， 解得：5ab =，则ABC的面积为：11sin 522ab C =⨯=故选：C.17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，22213a b c -=，ABC 的面积为216c ，则A =（ ）A ．45°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A 【分析】由余弦定理和面积公式分别可得cos 3c A b =，sin 3cA b=，可得tan 1A =即可得解. 【详解】 由余弦定理可得：222223cos 223c b c a c A bc bc b+-===由211sin 26ABCSbc A c == 可得sin 3cA b=， 所以sin cos A A =，即tan 1A =，由0180A <<，所以45A =. 故选：A.18．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()()2232540a b a c -+-=，则ABC 最小内角的余弦值为（ ） A ．45BC ．35D ．34【答案】D 【分析】首先根据题意得到320450a b c a -=⎧⎨-=⎩，从而得到3254b a c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即可得到ABC 的最小内角为角A ，再计算cos A 即可.【详解】因为()()2232540a b a c -+-=，所以320450a b c a -=⎧⎨-=⎩，解得3254b a c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可知ABC 的最小内角为角A ，所以22222229253416cos 3524224a a abc a A bc a +-+-===⨯⨯. 19．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222b c a +=，则角A 的大小为（ ） A ．6πB ．23π C ．3π D ．56π 【答案】D 【分析】根据给定条件结合余弦定理求出cos A 即可得解. 【详解】在ABC中，因222b c a +=，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-===0A π<<， 所以56A π=.故选：D20．（2022·全国·高三专题练习）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测量A ，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°．就可以计算出A ，B 两点的距离为（ ）．A ．m B ．m C ．m D ．m【答案】D 【分析】根据正弦定理，结合三角形内角和定理进行求解即可. 【详解】由三角形内角和定理可知：18030BAC ACB ABC ︒︒∠=-∠-∠=， 由正弦定理得:501sin sin 2AB BC AB ACB BAC =⇒=⇒=∠∠ 故选：D二、多选题21．（2022·全国·高三专题练习）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（ ） A ．3a =，4b =，30A =︒ B ．3a =，4b =，3cos 5B =C ．3a =，4b =，30C =︒D ．3a =，4b =，30B =︒【答案】BCD 【分析】利用正弦定理、余弦定理一一判断即可； 【详解】解：根据题意，在A 条件下sin 42sin sin sin 33a A B A b B =⇒=⨯=，因为1223<<所以角B 在,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭和35,46ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个解，并且这两个解与角A 的和都小于π，所以A 不满足；在B 条件下，3a =，4b =，3cos 5B =，根据余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即2181695c c =+-，解得5c =或75c =-（舍），所以只有1个解，满足题意；在C 条件下，条件为边角边，所以有唯一解；在D 条件下，sin 33sin sin sin 48a A A Bb B =⇒=⨯=，因为3182<，所以角A 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭和5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个解，当解在5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，角B 与角A 的和大于π，所以只有1个解，满足题意， 故选：BCD ．22．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，a ，b ，c 为三个内角A ，B ，C 的对边，若()222tan a c b B +-=，则角B =（ ） A ．30 B ．60︒ C ．150︒ D ．120︒【答案】BD 【分析】由余弦定理化边为角即得. 【详解】由题得222tan 2a c b B ac +-=根据余弦定理可知cos tan sin B B B ==， ∴60B =︒或120B =︒． 故选：BD.三、填空题23．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知120A =︒，7a =，11cos 14B =，则b =___________ 【答案】5 【分析】先结合B 的范围和同角三角函数的平方关系得到sin B = 【详解】由题意，由于B 为ABC 的内角，故(0,)sin 0B B π∈∴>sin B ∴=由正弦定理，sin sin sin sin a b a Bb A B A=∴=代入可得：75b == 故答案为：524．（2022·全国·高三专题练习）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．【分析】利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得sin ,A bc ，由此求得三角形ABC 的面积. 【详解】由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ， 因为sin B sin C ≠0，所以1sin 2A =. 因为b 2＋c 2－a 2＝8，所以222cos 02b c a A bc +-=>，0,cos 6A A A ππ<<⇒==，故222822b c a bc bc bc +-==⇒所以111sin 222ABCSbc A ====25．（2022·全国·高三专题练习（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若1,4a B π==，ABC 的面积2S =，则ABC 的外接圆的面积为__________．【答案】252π【分析】由ABC 的面积2S =，可求得c =5b =，然后利用正弦定理求出ABC 的外接圆的半径，从而可求出外接圆面积【详解】因为12sin 2S ac B ==⨯，所以c = 由余弦定理得2222cos 25b a c ac B =+-=，所以5b =，所以sin bB=所以ABC 的外接圆的面积为2252ππ⨯=⎝⎭． 故答案为：252π26．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，若()sin sin cos sin A B B C +=，a =ABC 外接圆的面积为__________. 【答案】π 【分析】将给定等式消去角C ，而求得A ，再由正弦定理求出外接圆半径即可得解. 【详解】ABC 中，因()sin sin cos sin A B B C +=，则sin sin sin cos sin()A B A B A B +=+，化简得sin sin cos sin A B A B =，而sin B>0，则tan A =1，sin A =ABC 外接圆半径为R ，由正弦定理得22sin aR A==，即R =1， 所以ABC 外接圆的面积为2S R ππ==. 故答案为：π27．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 外接圆的直径为d ，4AB =，5AC =，7BC =，则d =___________.【分析】根据余弦定理，求得cos A ，根据同角三角函数的关系，求得sin A ，利用正弦定理，即可求得答案. 【详解】由余弦定理得：2224571cos 2455A +-==-⨯⨯，所以sin A =由正弦定理得sin BC d A =28．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin :sin :sin 7:5:4A B C =，则最大角等于_________．【答案】1arccos 5⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由sin :sin :sin 7:5:4A B C =，利用正弦定理可得::7:5:4a b c =，从而可得角A 为最大角，设()7,5,40a x b x c x x ===>，再利用余弦定理即可的解. 【详解】解：因为sin :sin :sin 7:5:4A B C =，所以::7:5:4a b c =， 所以a b c >>，所以A B C >>， 设()7,5,40a x b x c x x ===>，则2222516491cos 2545x x x A x x +-==-⨯⨯，所以1arc cos 5A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 即最大角为1arccos 5⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1arccos 5⎛⎫- ⎪⎝⎭29．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知23B C π+=，a =1b =，则ABC 的面积为______.【分析】利用余弦定理求得边c ，再利用三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】 解：因为23B C π+=，所以3A π=， 则2222cos a b c bc A =+-，即231c c =+-，解得2c =或1-（舍去），所以1sin 2ABCSbc A =30．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()cos cos 16c a B b A -=，8a b +=，60C ∠=，则c 的值等于__________【分析】由余弦定理把角化为边，即可求得,a b ，再由余弦定理即可求解 【详解】()222222cos cos ()1622a c b b c a c a B b A c a b ac bc+-+--=⋅-⋅=，∴()()2216a b a b a b -=+-=，又8a b +=，则2a b -=， ∴5a =，3b =， 又60C ∠=°，故2222cos 2591519c a b ab C =+-=+-=，∴c =故答案为：c =31．（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC 中，222sin sin sin A B C +-=则cos2C =________.1 【分析】利用正弦定理将角化边可得222b c a +-=2cos C ，进而可求2sin C ，从而利用二倍角公式可解. 【详解】解：因为222sin sin sin A B C +-=所以由正弦定理得222b c a +-=，即2222b c ab a +-=由余弦定理得cos C =，所以2cos C =22sin 1co s C C =-=，所以22cos 2cos sin 1C C C =-==，1.32．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示四边形ABCD 中，AD DC =，AC =BC =，120ADC =∠︒，75BCD ∠=︒，则四边形ABCD 的面积为________.【答案】【分析】由已知条件可得5AD DC，6DCA π∠=，4ACB π∠=，应用三角形面积公式求ADC S △，ACB S △，即可求四边形ABCD 的面积. 【详解】 由题意，知：52sin 2ACAD DC ADC ===∠，且6DCA π∠=，4ACB π∠=， ∴1sin 2ADCSDC AC DCA =⋅⋅∠，1sin 2ACBS AC BC ACB =⋅⋅∠， ∴四边形ABCD的面积111522222ADCACBS S+=⨯⨯+⨯=. 故答案为：33．（2022·全国·高三专题练习）为测量山高MN .选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得N 点的仰角30MAN ∠=︒，C 点的仰角60CAB ∠=︒以及105NAC ∠=︒，从C 点测得30NCA ∠=︒.已知山高150=BC 米.则所求山高MN 为___________米.【答案】【分析】在Rt ABC中可求得AC =ACN △利用正弦定理可求出AN =. 【详解】由题，在Rt ABC 中，150,60BC CAB =∠=，AC ∴= 在ACN △中，105NAC ∠=︒，30NCA ∠=︒，则45ANC ∠=，由正弦定理可得sin sin AN AC NCA ANC=∠∠，即12AN =AN = 又在Rt AMN △中，30MAN ∠=︒，MN ∴= 所以所求山高MN为.故答案为：.四、解答题34．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中， a b c 、、分别为内角、、A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅰ）若sin sin 1B C +=，试判断 ABC 的形状．【答案】o 120 ，等腰三角形 【详解】试题分析：（1）利用正弦定理，化简得222a b c bc =++，在利用余弦定理，求解1cos 2A =-，即可求解角A的大小；（2）由（1），利用两角差的正弦函数，化简得0sin sin sin(60)B C B +=+，即可求解sin sin B C +的最大值.试题解析：（1）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++ 即222a b c bc =++，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+- 故1cos 2A =-，0120A =（2）由（1）得：001sin sin sin sin(60)sin sin(60)2B C B B B B B +=+-=+=+ 故当030B =时，sin sin B C +取得最大值1，此时三角形为等腰三角形. 考点：正弦定理；余弦定理.35．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，a ＝8，b ＝6，cosA 13=-，求：（1）角B ； （2）BC 边上的高．【答案】（1）B 4π=（2）4【分析】（1）由同角的三角函数关系可得sinA =再根据正弦定理解得sinB =即可求角；（2）先可求得()4sin sin 6C A B =+=,即可求得面积1sin 162ABCS ab C ==-进而求得BC 边上的高 【详解】（1）在△ABC 中,a ＝8,b ＝6,cosA 13=-,所以角A 为钝角,由sin 2A +cos 2A ＝1,解得sinA =由正弦定理可得a b sinA sinB =,解得sinB =所以B 4π=（2）由（1）可得sinC ＝sin （A +B ）＝sinAcosB +cosAsinB 13⎛⎫=-=⎪⎝⎭,所以11861622ABCSabsinC ==⨯⨯=-,由于1116822ah h =-=⨯⨯,解得h ＝4,故BC 边上的高为4 【点睛】本题考查求三角函数值,考查正弦定理的应用,考查三角形面积公式的应用,考查运算能力36．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值．【答案】（1）3a =，7b =；（2. 【分析】（1）利用二倍角公式求得cos B ，由此求得B ，结合已知条件和余弦定理求得,a b ； （2）先求得sin B ，由正弦定理求得sin C . 【详解】（1）由sin 2sin 0B B +=，得2sin cos sin 0B B B +=， 因为在ABC 中，sin 0B ≠，得1cos 02B =-<， 由于0B π<<，所以23B π=. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22215252b a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，因为10b a =-，所以2221(10)5252a a a ⎛⎫-=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得3a =，所以7b =.（2）由（1）得2sin sin3B π==由正弦定理得5sin sin 7c C B b ===37．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且22cos b c a C -=. （1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，2c =，求b 的取值范围. 【答案】（1）3A π=；（2）()1,4.【分析】（1）根据正弦定理即可解决.（2）利用正弦定理表示出b ，再根据是锐角三角形求出角C 的范围即可得到b 的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得：2sin sin 2sin cos B C A C -=，。

考向03 复数【2022年全国甲卷】1. 若1z =-，则1zzz =-（ ）A. 1-+B. 1-C. 13-D. 13-【答案】C【解析】1(1113 4.z zz =--=--=+=113z zz ==-+-.故选 ：C 【2022年全国甲卷】2. 已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ）A. 1,2a b ==- B. 1,2a b =-= C. 1,2a b == D. 1,2a b =-=-【答案】A【解析】12i (12i)(1)(22)iz az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩.故选:A【2022年新高考1卷】3. 2. 若i(1)1z -=，则z z +=（ ）A. 2- B. 1- C. 1D. 2【答案】D【解析】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D 【2022年新高考2卷】4. 2. (22i)(12i)+-=（ ）A. 24i -+ B. 24i-- C. 62i+ D. 62i-【答案】D【解析】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.【2022年浙江卷】2. 已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ）A. 1,3a b ==- B. 1,3a b =-= C. 1,3a b =-=- D. 1,3a b ==【答案】B【解析】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=，故选：B.【2022年北京卷】2. 若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（ ）A. 1 B. 5C. 7D. 25【答案】B【解析】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z ==．故选：B ．易错题【01】对服饰的相关概念理解不清易错题【02】对复数的模的定义理解不透易错题【03】复数相等的条件应用出错易错题【04】复数的模与绝对值混淆1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则a b +=（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．已知复数z 满足21iz i-=+，则z =（ ）A ．132i + B ．132i - C ．32i + D ．32i -3．已知复数212iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A ．()0,1-B ．()0,1C ．()1,1-D ．()1,0-4．设i 是虚数单位，则2(1)i i--等于（ ）A ．0B ．4C ．2D 5．若z 为纯虚数，且2z =，则11z=+（ ）6．已知2(1)(1)z m m i =-++为纯虚数，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．11或- D ．-1或0一、单选题1．（2022·辽宁·育明高中一模）若复数53i--的实部与虚部分别为a ，b ，则点A (b ，a )必在下列哪个函数的图象上（ ）A ．2x y = B ．y ＝12x x+ C ．y x = D ．221y x =--2．（2021·云南昆明·三模（理））给出下列三个结论：①若复数()2()z a a ai a =-+∈R 是纯虚数，则1a =②若复数21iz i=+，则复数z 在复平面内对应的点在第二象限③若复数z 满足||1z =，则z 在复平面内所对应点的轨迹是圆其中所有正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知a 为正整数，且42i 25a +=，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2022·江西南昌·三模（理））若复数z 的实部和虚部均为整数，则称复数z 为高斯整数，关于高斯整数，有下列命题：①整数都是高斯整数；②两个高斯整数的乘积也是高斯整数；③模为3的非纯虚数可能是高斯整数；④只存在有限个非零高斯整数z ，使1z也是高斯整数其中正确的命题有（ ）A ．①②④B ．①②③C ．①②D ．②③④5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了2i 1=-，17世纪法因数学家笛卡儿把i 称为“虚数”，用i(R)a b a b +∈、表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z 满足方程2250z z ++=，则z =（ ）A ．12i -+B ．2i --C ．12i -±D ．2i-±二、多选题6．（2021·黑龙江·密山市第一中学模拟预测）已知123z i =+，()2z m i m R =-∈，则下列说法正确的有（ ）A ．若12z z 为实数，则23m =-；B ．12z z ⋅的共轭复数是()()2332m m i ++-；C ．12z z -的最小值是4；D ．满足11z z -=的复数z 在复平面上的对应点Z 的集合是以()2,3--为圆心，以1为半径的圆．7．（2021·重庆八中模拟预测）设复数z 的共辄复数为z ，i 为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）A ．若0z z ⋅=，则0z =B ．若z z -∈R ，则z ∈R C ．若2cosisin 55ππz =+，则1z =D ．若i 1z -=，则z 的最大值为28．（2021·江苏泰州·模拟预测）设z 为复数，在复平面内z 、z 对应的点分别为P 、Q ，坐标原点为O ，则下列命题中正确的有（ ）A ．当z 为纯虚数时，,,P O Q 三点共线B ．当1z i =+时，POQ △为等腰直角三角形C ．对任意复数z ，OP OQ ≠D ．当z 为实数时，OP OQ=9．（2022·江苏苏州·模拟预测）下列命题正确的是（ ）A ．若A ，B ，C 为任意集合，则()()⋂⋂= A B C A B C B ．若a ，b ，c为任意向量，则()()⋅⋅=⋅⋅ a b c a b cC ．若1Z ，2Z ，3Z 为任意复数，则()()113123Z Z Z Z Z Z ⋅⋅=⋅⋅D ．若A ，B ，C 为任意事件，则()()()()⋃⋂=⋂+⋂P A B C P A C P B C 三、填空题10．（2022·浙江·三模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数53i,43i a b =+=+（i 为虚数单位），则22a b -=__________．1．(2021年新高考1卷)已知2i z =-，则(i)z z +=A ．62i-B ．42i-C ．62i+D ．42i+2.(2021年新高考2卷) (22i)(12i)+-=（ ）A. 24i-+ B. 24i-- C. 62i+ D. 62i-3．(2021年高考全国甲卷理科)已知2(1)32i z i -=+，则z =( )A 312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --4．(2021年高考全国乙卷理科)设()()2346z z z z i ++-=+，则z =( )A ．12i-B ．12i+C ．1i+D ．1i-.5．(2021年高考浙江卷)已知a ∈R ，()1i i 3i a +=+（i 为虚数单位）， 则a =（）.A ． 1-B ． 1C ． 3-D ． 36．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)若z=1+i ，则|z 2–2z |=( )A ．0B ．1CD ．27．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)复数113i-虚部是( )A ．310-B ．110-C ．110D ．3108．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)若(1i)2i z +=，则z =( )A ．1i--B ．1+i-C ．1i-D ．1+i9．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设32z i =-+，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)设复数z 满足i 1z -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则( )A.22(1)1x y ++= B ．22(1)1x y -+= C ．22(1)1x y +-= D ．22(1)1x y ++=11．(2021年上海卷)已知121i,23i z z =+=+，12z z +=．12．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z，12i z z +=+，则12||z z -=__________．的1.【答案】D【解析】选D,由题意a=2,b=1,所以a+b=3.2．【答案】A 【解析】选A ，21+3=12i iz i -=+.3．【答案】D 【解析】选D ，2=112iz i-=-+，所以对应点坐标为（-1,0）.4．【答案】D【解析】选D,2(1)1i i i--=+=【解析】选A.由题意有2110m m -=+≠，所以m=1.一、单选题1．【答案】D 【解析】因为53i --＝()()()53i 3i 3i -+=---+＝－32＋12i ，所以a ＝－32，b ＝12，所以A 13(,22-，把点A 的坐标分别代入选项，只有D 选项满足.故选：D.2．【答案】C【解析】①因为复数()2()z a a ai a =-+∈R 是纯虚数，则200a a a ⎧-=⎨≠⎩，解得1a =，故正确；②复数()()()2121111i i i z i i i i -===+++-，则复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故错误；③因为复数z 满足||1z =，所以z 在复平面内所对应点的轨迹以原点为圆心，以1为半径的是圆，故正确；所以正确结论的个数是2个，故选：C 3．【答案】A【解析】因为a +，所以442i 25a +==，即245a +=，21a =，a 为正整数，所以1a =，故选：A 4．【答案】A【解析】①令i(a,b Z)z a b =+∈，当0b =时，z a =，即z 为整数，根据题意，z 是高斯整数，故①正确；②令1i(a,b Z)z a b =+∈，2i(c,d Z)z c d =+∈，则()12i z z ac bd ad bc ⋅=-++，则ac bd -为整数，ad bc +为整数，故12z z ⋅为高斯整数，故②正确；③令i(a 0,b 0)z a b =+≠≠，且3z =，故229a b +=，所以,a b 至少有一个数为非整数，故z 不是高斯整数，③错误；④令1i(a,b Z)z a b =+∈，且0z ≠，则22222211i i i a b a bz a b a b a b a b -===-++++，若1z为高斯整数，故2222,a ba b a b ++为整数，即存在有限个，例如i z =，故④正确.故选：A.5．【答案】C【解析】设i(,R)z a b a b =+∈，因2250z z ++=，则2(i)2(i)50a b a b ++++=，即22(25)2(1)i 0a b a b a -++++=，而,R a b ∈，则222502(1)0a b a b a ⎧-++=⎨+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=±⎩，所以12i z =-±.故选：C 二、多选题6．【答案】AC 【解析】1222223(23)()2(23)3(23)(23)=()()1z i i m i m m i m m iz m i m i m i m i m +++++--++===--+-+12z z为实数，230m ∴+=，23m =-，故A 正确；12(23)()(23)(32)z z i m i m m i ⋅=+-=++-，其共轭复数为()()2332m m i +--，故B 错误；12(2)4z z m i -=-+表示点(2,4)m -到原点的距离，12min minz z ∴-=，当2m =时，取最小值为4，故C 正确；设,,z x yi x y R =+∈，由11z z -=得(2)(3)1x y i -+-=，即222(2)(3)1x y -+-=，∴对应点Z 的集合是以()2,3为圆心，以1为半径的圆，故D 错误；故选：AC7．【答案】ABD【解析】若0z z ⋅=，即20z =，0z =，则0z =，A 正确；若z z -∈R ，即z 的虚部为0，则z ∈R ，B 正确；若2cosisin 55ππz =+1≠，C 错误；若i 1z -=，设i z x y =+（,x y ∈R ），即()2211x y +-=，则z 表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D 正确，故选：ABD ．8．【答案】ABD【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，对A ：当z 为纯虚数时，()0z bi b =≠，z bi =-对应的点分别为(0,)P b 、(0,)Q b -，,,O P Q 均在y 轴上，所以,,P O Q 三点共线，故A 正确；对B: 当1z i =+时，1z i =-，所以(1,1)P ，(1,1)Q -，所以||||OP OQ ==||2PQ =，所以222||||||OP OQ PQ +=，所以POQ △为等腰直角三角形，故B 正确；对C ：(,)OP a b = ,(,)OQ a b =-,当0b =时，OP OQ = ，故C 错误；对D ：当z 为实数时，z z a ==，此时(,0)OP OQ a ==，故D 正确.故选：ABD 9．【答案】AC【解析】对于A ，集合运算有结合律，任意集合A ，B ，C 都有()()A B C A B C ⋂⋂= ，故A 正确；对于B ，向量的数量积不满足结合律，即()()⋅⋅≠⋅⋅a b c a b c 故B 错误；，对于C ，复数的乘法运算满足结合律，所以对任意复数1Z ，2Z ，3Z ，有()()113123Z Z Z Z Z Z ⋅⋅=⋅⋅，故C 正确；对于D ，若A B C ==，(())()()⋃⋂≠⋂+⋂P A B C P A C P B C ，故D 错误.故选：AC.三、填空题10．【答案】96i+【解析】()()()()2253i 43i 53i 43i 96i a b a b a b -=+-=++++--=+ ；故答案为：96i + .1．【答案】C 【解析】2(i)(2i)(2i i)(2i)(22i)44i 2i 2i 62i z z +=-++=-+=+--=+，故答案选C ．2.【答案】D【解析】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.3．【答案】B【解析】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅．故选：B ．4．【答案】C【解析】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+．故选：C ．5．【答案】C【解析】由题意，得3i a i -+=+，复数相等定义，知3a =-，故选C ．6．【答案】D【解析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-．故2222z z -=-=．故选：D ．7．【答案】D【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310．故选：D ．8．【答案】D 【解析】根据复数运算法则，()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-，故选D ．另解：由常用结论22i=(1+i)，得2(1i)(1i)z +=+，则1i z =+，故选D ．【点评】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取复数运算法则，利用方程思想解题．当然若能熟知一些常用结论，可使解题快、准．9．【答案】C【解析】∵32z i =-+，∴32z i =--，对应坐标()3,2--，是第三象限．【点评】本题考查复数的共轭复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养．采取定义法，利用数形结合思想解题．本题考点为共轭复数，为基础题目，难度偏易．忽视共轭复数的定义致错，复数与共轭复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标．10．【答案】C【解析】设i z x y =+，则22i (1)i 1,(1)1z x y x y -=+-==∴+-=．11．【答案】34i+【解析】由题意得:1234iz z +=+12．【答案】【解析】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=+，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩，又12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=，222222()()2()4a cb d ac bd ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-====．故答案为：．方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+,由已知122OZ OZ OP ==== ,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==．【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题．方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解。

决胜3．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.ABC A B C a b c 23a c b +=3A C π-=(1)求；cos B (2)若，求的面积.5b =ABC 4．设()()()()πsin 2πcos 2cos sin πf ααααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=---(1)将化为最简形式；()f α(2)已知，求的值．()3f θ=-()sin 1sin2sin cos θθθθ++5．已知函数．()π1sin 232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(1)求函数的单调递增区间，并解不等式；()f x ()0f x ≥(2)关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取x 11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x m 值范围及的值．()12f x x +6．已知角为第四象限角，且角的终边与单位圆交于点.αα1,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求的值；sin α(2)求的值.()πtan sin 2sin cos παααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+7．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点xOy αOx ．(),P x y (1)若，求及的值；255y =tan α7sin 2cos sin 4cos αααα+-(2)若，求点P 的坐标．sin 11cos 2αα=-(1)若，求；3BC =ADCD (2)若，求线段的长11cos 14A =AD(1)求函数在区间上的最大值和最小值；()f x ππ[,]64-(2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值．5()()4g x f x =-π(0,)212,x x 12cos()x x -11．在中，，点D 在AB 边上，且为锐角，，的面积为ABC 25BC =BCD ∠2CD =BCD △4.(1)求的值；cos BCD ∠(2)若，求边AC 的长.30A =︒12．记三个内角的对边分别为，已知为锐角，ABC ,,A B C ,,a b c B ．sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=(1)求；()sin A C -(2)求的最小值．sin sin A B 13．已知函数且的最小正周期为．()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π(1)求函数的单调递减区间；()f x (2)若，求x 的取值范围．()22f x ≤14．已知函数在上单调递增．()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(1)求的取值范围：ω(2)当取最大值时，将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来ω()f x π9的3倍，得到的图象，求在内的值域．()g x ()g x ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．在中，角所对的边分别为，已知．ABC ,,A B C ,,a b c sin cos cos cos cos sin sin A B C B C A B +=--(1)求；C (2)若外接圆的半径为，求的面积最大值．ABC 233ABC 16．已知函数.()()πe e sin ,32x xf x xg x --==(1)若，求；321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且()()ln h x x f x =+()h x ()0,∞+0x .()()034g f x >-17．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终xOy αO x 边与单位圆交于第三象限点.525,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(1)求的值；sin cos αα-(2)若角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与单位圆交于点，求点的坐标.αO π2Q Q 18．设函数，且．2()2cos 23sin cos (0)f x x x x m ωωωω=++>(0)1f =(1)求的值；m (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求()f x 的值及的零点．ω()f x 条件①：是奇函数；()f x 条件②：图象的两条相邻对称轴之间的距离是；()f x π条件③：在区间上单调递增，在区间上单调递减．()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，0按第一个解答计分．答案：1．(1)1-(2)12-【分析】（1）根据点坐标求得.P tan α（2）根据点坐标求得，利用诱导公式求得正确答案.P sin ,cos αα【详解】（1）即，3π,cos π3sin 44P ⎛⎫ ⎪⎝⎭22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以.22tan 122α-==-（2）由（1）得，所以，22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭22222sin 22222α-==-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22222cos 22222α==⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1617πsin πsin πsin sin 808π22αααα⎛⎫⎛⎫-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin sin sin cos 2αααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.221222⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭2．(1)，1tan 7α=1tan 3β=(2)π4【分析】（1）先根据同角三角函数平方关系求出，再根据商数关系和两角和正切公式cos α化简得结果；（2）根据二倍角公式得，，再根据两角和余弦公式得，最后根据sin 2,cos 2ββ()cos 2αβ+范围求结果.【详解】（1）因为为锐角，，所以，,αβ2sin 10α=272cos 1sin 10αα=-=所以，2sin 110tan cos 77210ααα===又因为，所以，tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-1tan 3β=（2）因为为锐角，，所以，解得，,αβ1tan 3β=22sin 1cos 3sin cos 1ββββ⎧=⎪⎨⎪+=⎩10sin 10310cos 10ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，sin 22sin cos 103103101052βββ==⨯=⨯，24cos 212sin 5ββ=-=所以，()724232cos 2cos cos 2sin sin 21051052αβαβαβ+=-=⨯-⨯=又因为为锐角，所以，,αβ3π022αβ<+<所以.π24αβ+=3．(1)78(2)111512【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理化为，结合23a c b +=sin sin 23sin A C B +=已知条件，有，，代入解三角形即可.3A C π-=32B C π=-232B A π=-sin sin 23sin A C B +=（2）根据（1）终结论，利用余弦定理，结合，，解得，利用面5b =23a c b +=443ac =积公式即可求得面积为.11115sin 212ABC S ac B ==△【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，23a c b +=sin sin 23sin A C B +=因为，且，所以，，3A C π-=A B C π++=32B C π=-232B A π=-所以2sin sin 23sin 3232B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，22sin cos cos sin sin cos cos sin 23sin 32323232B B B B B ππππ-+-=所以，所以，3cos 23sin 2B B =cos 4sin cos 222B B B =因为，所以，所以；022B π<<1sin 24B =27cos 12sin 28B B =-=（2）由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-即，得，得，()27524a c ac ac =+--()2155234b ac =-443ac =因为，所以，所以7cos 8B =15sin 8B =11115sin 212ABC S ac B ==△4．(1)tan α-(2)65【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，结合同角三角函数的商式关系，可得答案；（2）利用正弦函数的二倍角公式以及同角三角函数的平方式，整理齐次式，可得答案.【详解】（1）.()()()()πsin 2πcos sin sin 2tan cos sin πcos sin f αααααααααα⎛⎫++ ⎪-⎝⎭===----（2）由，则，()tan 3f θθ=-=-tan 3θ=，()()()()()22222sin 1sin2sin (sin cos )tan (tan 1)sin cos sin cos sin cos tan 1tan 1θθθθθθθθθθθθθθθ+++==+++++.()()2223(31)34641053131⨯+⨯===⨯+⨯+5．(1)答案见解析(2)(()1212,3,2f x x ⎤--+=-⎦【分析】（1）由题意分别令，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，解不等式即可得解.ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈（2）由题意得在上有两个不相等的实数解，结合三角()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 函数单调性、最值即可求出的取值范围，结合对称性代入求值即可得的值.m ()12f x x +【详解】（1）由题意令，解得，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈π5πππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈即函数的单调递增区间为，()f x ()π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令，所以，()π1sin 2032f x x ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭π1sin 232x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭所以，解得，ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈所以不等式的解集为.()0f x ≥()π7ππ,π,Z 412k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意即，11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 032m x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 当时，，而在上单调递减，在上单[]0,πx ∈ππ2π,333t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦2sin y t =-ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦调递增，所以当即时，，ππ32t x =-=5π6x =()min 2g x =-当即时，，ππ33t x =-=-0x =()max 3g x =又即时，，π2π33t x =-=πx =()3g x =-所以若在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 则实数的取值范围为，m (2,3⎤--⎦因为，所以是的对称轴，()min 5π26g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭5π6x =()g x所以.()125π5ππ112sin 263322f x x f ⎛⎫⎛⎫+=⨯=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．(1)223-(2)3-【分析】（1）将点代入单位圆后结合任意角三角函数定义求解即可.（2）利用诱导公式化简求值即可.【详解】（1）在单位圆中，解得，22113y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭223y =±因为第四象限角，所以α223y =-22sin 3α∴=-（2）第四象限角22sin ,3αα=-1cos 3α∴=.()πtan sin 123sin cos πcos ααααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴=-=-+7．(1)，；2-2(2).34(,)55-【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标及，再利用齐次式法计算即得.P tan α（2）利用同角公式，结合三角函数定义求解即得.【详解】（1）角以Ox 为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，α(),P x y 当时，，则，255y =22551()55x =--=-tan 2y x α==-所以．7tan 27(2)227ta 4sin 2cos sin 42c 4os n αααααα+⨯-++==---=-（2）依题意，，sin 0,cos 0αα><由，得，代入，sin 11cos 2αα=-cos 12sin αα=-22sin cos 1αα+=于是，解得，22sin (12sin )1αα+-=2sin ,cos 1sin 5543ααα==--=-即，所以点P 的坐标为．34,55x y =-=34(,)55-8．(1)；π3A =(2)．2AD =【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换求解；（2）设，利用由余弦定理求得，从而由正弦定理求得AD x =πADB ADC ∠+∠=cos ADB ∠（用表示），再代入余弦定理的结论中求得值．AC x x 【详解】（1）由正弦定理及已知得2cos cos cos 2c a A B b A =-，sin 2sin cos cos sin cos 2sin 2cos sin cos 2sin(2)C A A B B A A B B A A B =-=-=-或，C 2A B =-2πC A B +-=又，所以，A B ≤22πC A B C B B C B +-≤+-=+<所以，从而，所以；C 2A B =-2πB C A A +==-π3A =（2）由余弦定理得，，2222cos AB BD AD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC CD AD AD CD ADC =+-⋅∠又是角平分线，所以，又，则，记，因为AD 2AC CD AB BD ==3a =2,1CD BD ==AD x =，πADB ADC ∠+∠=所以，所以，2244cos 412cos x x ADC x x ADC +-∠=++∠cos 4x ADC ∠=-，则，0πADC <∠<2sin 116x ADC ∠=-由正弦定理得，sin sin AC CD ADC CAD =∠∠所以，222116π16sin 6x AC x =⋅-=-所以，解得，即．221644()4x x x x -=+-⋅-2x =2AD =9．(1)263(2)677【分析】（1）利用正弦定理及其余弦定理求解；（2）利用三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为平分，，故，AD BAC ∠3AB BC ==2C BAC θ∠=∠=在中，由正弦定理知：，ADC △sin sin 22cos sin sin AD ACD CD DAC θθθ∠===∠由余弦定理有，2222223231cos 2cos 22323CA CB BA C CA CB θ+-+-====⋅⨯⨯又因为，所以,21cos 22cos 13θθ==-6cos 3θ=即；262cos 3AD CDθ==（2）由，得，则，11cos 14A =11cos 214θ=cos 2157cos 214θθ+==又由，()11sin 2sin 22ABC ABD ACD S AB AC S S AB AC AD θθ=⋅=+=+△△△得.()sin 21267cos sin 57AB AC AD AB AC θθθ⋅===+10．(1)最大值和最小值分别为；2,1-(2).58【分析】（1）求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质求解即得.()f x （2）利用余弦函数图象的对称性，结合诱导公式计算.12cos()x x -【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得，()f x π2ππω=π2,()2cos(2)3x f x ω==-当时，，则当，即时，，ππ[,]64x ∈-π2ππ2[,]336x -∈-π2π233x -=-π6x =-min ()1f x =-当，即时，，π203x -=π6x =max ()2f x =所以函数在区间上的最大值和最小值分别为.()f x ππ[,]64-2,1-（2）()2222252cos 25222525BD BC CD BC CD BCD =+-⨯∠=+-⨯⨯⨯，故，204816=+-=4BD =有，故，22216420BD CD BC +=+==CD AB ⊥则，即.21sin sin 302CD A AC AC ==︒==4AC =12．(1)；()sin 1A C -=(2)无最小值；【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得，结合为锐角可得，所sin cos A C =B π2A C =+以；()sin 1A C -=（2）利用诱导公式可得，再由导数判断出在3sin sin 2sin sin A B A A =-()32f t t t =-上单调递增，可得无最小值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭sin sin A B 【详解】（1）因为，sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=由正弦定理得，2222sin a b c ab A +-=由余弦定理可得，2222cos a b c ab C +-=所以可得，解得或；sin cos A C =π2A C =-π2A C =+又为锐角，所以（舍），即，B π2A C =-π2A C =+因此；()πsin sin12A C -==（2）结合（1）中，又可得：π2A C =+πA B C ++=；33πsin sin sin sin 2sin cos 22sin sin 2A B A A A A A A ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭令，则，sin t A =()3sin sin 2A B f t t t ==-又为锐角，，所以，B 3ππ20,22A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π3π24A <<可得，212t <<所以，当时，恒成立，()261f t t '=-212t <<()2610f t t '=->即可得为单调递增，()32f t t t =-所以时，，所以无最值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭()()0,1f t ∈()f t 因此无最小值；sin sin A B 13．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据最小正周期为求得，求出单调递减区间；π=1ω±（2）根据写出x 的取值范围．()22f x ≤【详解】（1）因为的周期为，()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π故，所以.2ππ2ω==1ω±当时，，=1ω()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，得到，ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+π7πππ1212k x k +≤≤+故的递减区间为.()f x π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦当时，，1ω=-()ππsin 2sin 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，得到πππ2π22π232k x k -+≤-≤+π5πππ1212k x k -+≤≤+故的递减区间为.()f x π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，，=1ω()π2sin 232f x x ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭所以，5πππ2π22π434k x k -+≤+≤+解得.19ππππ,Z 2424k x k k -+≤≤-+∈当时，，1ω=-()ππ2sin 2sin 2332f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，π2sin 232x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以，ππ5π2π22π434k x k -+≤-≤+解得.π19πππ2424k x k +≤≤+综上：当时，；=1ω19ππππ2424k x k -+≤≤-+当时，.1ω=-π19πππ,Z 2424k x k k +≤≤+∈14．(1)302ω<≤(2)260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题设条件，列出不等式，求解即可.,32πππ4π2ωω-≥-≤（2）根据函数图像平移变换，写出函数，再结合区间和三角函数性质求1π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭出值域.【详解】（1）由，得 ，ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦又函数在上单调递增，()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以，解得,32πππ4π2ωω-≥-≤32ω≤因为，所以．0ω>302ω<≤（2）由（1）知的最大值为，此时，ω323()sin 2f x x =根据题意，，31π1π()sin sin 23926g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当时，．ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1πππ02664x ≤+≤+所以，故值域为．ππ260()sin 644g x +⎛⎫≤≤+= ⎪⎝⎭260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦15．(1)π3C =(2)3【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换计算即可．（2）利用正余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算即可.【详解】（1）由已知可得：，222sin sin sin cos cos A A B B C -=-∴，()222sin sin sin 1sin 1sin A A B B C -=---∴，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=根据正弦定理可知：，222a b c ab +-=∴．2221cos 22a b c C ab +-==又．π(0,π),3C C ∈∴=（2）∵外接圆的半径为，ABC 233r =∴，解得．432sin 3c r C==2c =又由（1）得，222a b c ab +-=故，∴，当且仅当时等号成立22424a b ab ab +-=≥-4ab ≤2a b ==∴，13sin 324ABC S ab C ab ==≤△∴的面积最大值为．ABC 316．(1)23(2)证明见解析【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求得.πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在()h x x ()h x 上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等()0,∞+0x()()0g f x 式成立.()()034g f x >-【详解】（1）由，则，321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π2sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以32π2sin π3f αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.ππ2sin πsin 333αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）证明：由题意得.()πln sin 3h x x x =+①当时，，所以单调递增.30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ππ0,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()h x 又，由于，而，1πsin ln226h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π1sin 62=1ln2ln e 2>=所以.又，102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭()3102h =>所以由零点存在定理得在内有唯一零点，使得.()h x 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦0x ()00h x =当时，，所以，则在上无零点；3,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦πln 0,sin 03x x >≥()0h x >()h x 3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦当时，，所以，则在上无零点.()3,x ∈+∞πln 1,1sin 13x x >-≤≤()0h x >()h x ()3,+∞综上，在上有且仅有一个零点.()h x ()0,∞+0x ②由①得，且，0112x <<()00ln 0x f x +=则.()()()()00000011ln ,ln 2f x x g f x g x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭由函数的单调性得函数在上单调递增，()000112x x x ϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭则，()01324x ϕϕ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭故.()()034g f x >-求解已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式等三角恒等变换的公式来进行求解.判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断.17．(1)55-(2)255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解；（2）利用诱导公式求出旋转后的角的三角函数值即可.【详解】（1）由三角函数的定义可得，5sin c 5o 255s αα-=-=，所以；5s 5in 5c 2os 555αα⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭-=-（2）角的终边绕原点O 按逆时针方向旋转，得到角，απ2π2α+则，，π5sin cos 25αα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭π25cos sin 25αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭所以点Q 的坐标为.255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18．(1)1m =-(2)选择①，不存在；选择②，，；选择③，，12ω=ππ,Z 6k k -+∈1ω=ππ,Z 122k k -+∈【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解；(0)1f =（2）根据奇函数性质、三角函数图象的性质以及三角函数的单调性，即可逐个条件进行判断和求解.【详解】（1）2()2cos 23sin cos f x x x x m ωωω=++，πcos 23sin212sin 216x x m x m ωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭又，所以.1(0)2112f m =⨯++=1m =-（2）由（1）知，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭选择①：因为是奇函数，()f x 所以与已知矛盾，所以不存在.()00f =()f x 选择②：因为图象的两条相邻对称轴之间的距离是，()f x π所以，，，π2T =2πT =2π21T ω==12ω=则，()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，()π2sin 06f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得.ππ,Z 6k x k -+∈=即零点为.()f x ππ,Z 6k k -+∈选择③：对于，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>令，，πππ2π22π,Z 262k x k k ω-+≤+≤+∈ππ3π2π22π,Z 262k x k k ω+≤+≤+∈解得，，ππππ,Z 36k k x k ωωωω-+≤≤+∈ππ2ππ,Z 63k k x k ωωωω+≤≤+∈即增区间为，()f x ππππ,,Z 36k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦减区间为，()f x ππ2ππ,,Z 63k k k ωωωω⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以时符合，0k =即在上单调递增，在上单调递减，()f x ππ,36ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,63ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以且，π03ππ66ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩2ππ33ππ66ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得，则，1ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以令，()π2sin 206f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得，ππ,Z 122k x k =-+∈即零点为.()f x ππ,Z 122k k -+∈。

新高考中，三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，熟练掌握三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式及正、余弦定理，在此基础上掌握一些三角恒变换的技巧，如角的变换，函数名称的变换等，此外，还要注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活实现问题的转化。

1、三角函数的图象与性质1、已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y =A sin （ωx ＋φ）或y =A cos （ωx ＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．2、求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y =A sin(ωx ＋φ)，y =A cos(ωx ＋φ)，y =A tan(ωx ＋φ)的形式，再分别应用公式T =2|| ，T =2|| ，T =||求解．3、对于函数y =A sin （ωx ＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x =x 0或点（x 0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f （x 0）的值进行判断．4、若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为偶函数，则φ=k π＋2（k Z ），同时当x =0时，f （x ）取得最大或最小值．若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为奇函数，则φ=k π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）=0.2、利用正、余弦定理求边和角的方法（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.重难点02三角函数与解三角形3、求三角形面积的方法：1）若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．2）若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.热点1、新题型的考查（1）以数学文化和实际为背景的题型；（2）多选题的题型；（3）多条件的解答题题型。