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高考数学松搞定排列合二十一种方法排列合系生有趣，但型多，思路灵活，因此解决排列合，首先要真，弄清楚是排列、合是排列与合合；其次要抓住的本特征，采用合理恰当的方法来理。
教学目1.一步理解和用分步数原理和分数原理。
2.掌握解决排列合的常用策略;能运用解策略解决的合用。
提高学生解决分析的能力3.学会用数学思想和方法解决排列合.复巩固1.分数原理 (加法原理 )完成一件事，有n 法，在第 1 法中有m1种不同的方法，在第2法中有 m2种不同的方法，⋯，在第n 法中有 m n种不同的方法，那么完成件事共有：N m1m2L m n种不同的方法．2.分步数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成 n 个步，做第1步有 m1种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法，⋯，做第 n 步有 m n种不同的方法，那么完成件事共有：N m1m2L m n种不同的方法．3.分数原理分步数原理区分数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成件事。
分步数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个段，不能完成整个事件．解决排列合合性的一般程如下:1.真弄清要做什么事2.怎做才能完成所要做的事,即采取分步是分,或是分步与分同行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序 )还是组合 (无序 )问题 ,元素总数是多少及取出多少个元素 .4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排 ,以免不合要求的元素占了这两个位置 .先排末位共有 C31然后排首位共有 C41C41 A 43C31最后排其它位置共有 A43由分步计数原理得 C41C31 A43288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素分析为主, 需先安排特殊元素 , 再处理其它元素 . 若以位置分析为主, 需先满足特殊位置的要求, 再处理其它位置。
高考数学排列组合专项知识点讲解知识点总结排列组合的知识点重要的是要考虑清楚怎么应用，整理了数学排列组合专项知识点，希望可以帮助到大家!1.计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类)2. 排列(有序)与组合(无序)Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)-…(n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n!Cnm = n!/(n-m)!m!Cnm= Cnn-mCnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!-k!3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法(集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.4.二项式定理知识点：①(a+b)n=Cn0a_+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+-…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn特别地：(1+_)n=1+Cn1_+Cn2_2+…+Cnr_r+…+Cnn_n②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m最大二项式系数在中间。
(要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项)所有二项式系数的和：Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n小编为大家提供的高考数学排列组合专项知识点讲解到这里了，愿大家都能努力复习，丰富自己，锻炼自己。
排列组合一、知识网络二、高考考点1、两个计数原理的掌握与应用；2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）三、知识要点一．分类计数原理与分步计算原理1 分类计算原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+…+ m n种不同的方法。
2 分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2×…× m n种不同的方法。
3、认知：上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据，它们的区别在于，加法原理的要害是分类：将完成一件事的方法分成若干类，并且各类办法以及各类办法中的各种方法相互独立，运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事；乘法原理的要害是分步：将完成一件事分为若干步骤进行，各个步骤不可缺少，只有当各个步骤依次完成后这件事才告完成（在这里，完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤，而不能独立完成这件事）。
二．排列1 定义（1）从n个不同元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。
（2）从n个不同元素中取出m（）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为 .2 排列数的公式与性质（1）排列数的公式： =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）=特例：当m=n时， =n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1规定：0！=1（2）排列数的性质：（Ⅰ） =（排列数上标、下标同时减1（或加1）后与原排列数的联系）（Ⅱ）（排列数上标加1或下标减1后与原排列数的联系）（Ⅲ）（分解或合并的依据）三．组合1 定义（1）从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合（2）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。
专题50 排列与组合考纲导读：考纲要求: 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题; 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.考纲解读: 解排列组合应用题要依据先组后排、先分类后分步、优限等思想，具体的题型有单限、双限、捆绑、插空（相间）、等机率（除序）、挡板等.有直接法和间接法、占位模型法.另外,要注意“谁选谁的一类问题”. 排列数与组合数公式分别有两个,这些公式的应用也是命题的本原.考点精析：考点1、 排列数与组合数公式此类题主要考查排列与组合的定义和排列数与组合数公式的应用，多为公式的变形证明和解方程、解不等式等.【考例1】解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.1C 3111C ,2C C x n x nx n x n 解题思路：本题也可利用组合数公式的变形式，将C 1+x n ，C 1-x n 都用C x n 来表示，即C 1+x n =1+-x x n C x n ，C 1-x n =1+-x n x C x n ，从而方程C 1+x n =311C 1-x n 可化为1+-x x n C x n =311×1+-x n x C x n ，约去C x n ，可得解. 正确答案：∵C x n =C x n n -=C x n 2，∴n －x =2x .∴n =3x .又由C 1+x n =311C 1-x n 得)!1()!1(!--+x n x n =311·)!1()!1(!+--x n x n . ∴3（x －1）!（n －x +1）!=11（x +1）!（n －x －1）!.∴3（n －x +1）（n －x ）=11（x +1）x .将n =3x 代入得6（2x +1）=11（x +1）.∴x =5，n =3x =15.经检验，⎩⎨⎧==15,5n x 是原方程组的解. 回顾与反思：本题考查了组合组公式的性质及计算.知识链接：组合数.从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号mn C 表示. 组合数公式：!m )1m n ()1n (n A A C mm m n mn +--== =)!m n (!m !n -. 并且规定1C o n =，则有1C C n n o n ==.组合数性质. m n C =m n nC -, m n 1m n m 1n C C C +=-+ . 【考例2】求下列各式中的n 值.（1）3412A 140A n n =+； （2）32213A 6A 2A n n n +=+；（3）3198A 4A -=n n .解题思路：根据排列公式分别代入即可得解.正确答案：（1）由排列数公式，得（2n +1）·2n ·（2n －1）·（2n －2）=140·n （n －1）（n －2），整理得4n 2－35n ＋69＝0，∴（4n －23）（n －3）=0，∴n =3或n =423（舍去）， ∴n =3.（2）由排列数公式，得3n （n －1）（n －2）=2（n +1）·n ＋6n （n －1），整理得3n 2－17n ＋10＝0，解得n =5或n =32（舍去），∴n =5. （3）由排列数公式，得)!10(!94)!8(!83n n -⨯=-⨯， 化简，得n 2－19n ＋78＝0.n =6或n =13.∵n ≤8，∴n ＝6.回顾与反思：解组数数方程.代入组合数公式，展开成阶乘形式直接求解，是解方程的基本方法，读者要好好掌握.而利用组合数的变形式，直接消去相同的非零公因式，则可以避免不必要的烦琐计算，可使计算简化，同时体现了数学中整体消元的思想方法.知识链接：一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.A m n =n (n －1)(n －2)…(n －m +1).这里n 、m ∈N *，且m ≤n ，这个公式叫做排列数公式.考点2、排列应用问题此类题主要通过应用题来进行考查，涉及的方法和题型都较多，是高考考查的重点内容.【考例1】 (·北京四中)只用1,2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A. 6个B. 9个C. 18D. 36个解题思路：先按条件将出现重复的数字按排列分为三类,每一类可以有33A 种排列,由分步计数原理可得结论.正确答案：由题意必有一个数使用了两次,这两次在四位数中可以居于14位或13位或24位,共有3种排放法,将其视为一个整体,则4位数共有33318A =种排法.故应选C.回顾与反思：本题考查了排列组合的应用,考查了考生灵活应用所学的知识分析与处理分问题的能力.知识链接：涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊位置上元素的选法，再考虑其他位置上的其他元素（这种方法叫做特殊位置或特殊元素法）；或者先求出有加限制条件的排列数，再减去不全条件的排列数（也叫做间接法或排除法）.设计解题方案时，要合理、完备，做到无重复，无遗漏，特别地，分类时标准要统一.【考例2】 (·西城区抽样)在1，2，3，4，5这五个数字所组成的没有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有( )A ．6个B ．9个C ．12个D ．18个解题思路：符合条件的三位数共有两类,即由1,3,5或2,3,4所组成的三位数.正确答案：各数字之和为9可以取的不重复三个数字分别为:1,3,5; 2,3,4.其分别组成的三位数共有333312A A +=, 故应选C.回顾与反思：本题考查了排列组合计数在实际问题的中应用, 其体现了常规的排列数与组合问题的实际操作与题型间的灵活变换.三位数需要针对各自的实际问题进行分析,解题中要注意数的不重不漏的分析与求解.知识链接：“元素分析法”“位置分析法”是解决排列问题的最基本方法，它们的共同点是先考虑特殊元素的要求.有两个约束条件时，往往以一个约束条件为轴心展开讨论，但要兼顾其他条件的约束.直接法、间接法、插入法、捆绑法、对称法，都是分析问题的常用方法.考点3、组合应用问题此类题主要通过应用题来进行考查，涉及的方法和题型都较多，是高考考查的重点内容.【考例1】如图，要用三根数据线将四台电脑A 、B 、 C 、D 连接起来以实现资源共享，则不同的连接方案的的 种数共（ ）A ．32B ．16C ．15D ．12解题思路：可以将四台电脑看作是四个点,作出平面图形来辅助理解即可得如下解法.正确答案：画一个正方形和它的两条对角线，在这６条线段中，选３条的选法有3620C =种．当中，４个直角三角形不是连接方案，故不同的连接方案共有36420416C -=-=种．故答案选B.回顾与反思：如何区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于：当取出某m 个元素后，如果改变顺序，就得到一种新的取法，就是排列问题；如果改变顺序，所得结果还是原来的取法，这就属于组合问题.知识链接：计算组合数问题时，常先设计一个组合的方案(有可能事实上做不到)，根据方案，利用两个原理和组合数公式求解.【考例2】 (·雅礼中学月考)（理）已知}5,4,3,2,1{==B A ，从A 到B 的映射f 满足：①(1)(2)(3)f f f ≤≤(4)f ≤(5)f ≤；②f 的象有且只有２个．则适合条件的映射f 的个数是Ａ．10 Ｂ．20 Ｃ．40 Ｄ．80解题思路：将A 集合中的元素利用隔板法分为两个有序组,再从B 集合中选出两个元素,按有序的对应方式对应即可得结论.正确答案：从集合B 中任选两个元素有2510C =种选法,将之按从小到大排列好,在按从小到大排列的1,2,3,4,5中的4个空插入一个隔板将它们分为两组有144C =种隔法,将隔开的 A 如 B C两组依次与B中的两个元素相对应,即可得符合条件的映射,即得适合条件的映射f共有10440⨯=个,应选C.回顾与反思：本题考查了映射的概念及排列组合的应用.隔板法在解此类问题中的灵活应用问题及考生对概念综合性应用问题的灵活处理能力.知识链接：对具体的组合应用题，可以利用两个基本原理并结合组合数公式进行求解.解决组合应用题的常用方法是：首先整体分类，要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类计数原理；然后局部分步，用到分步计数原理.考点4、排列与组合的综合应用问题此类题主要通过应用题来进行考查，涉及的方法和题型都较多，是高考考查的重点内容.【考例1】(·海淀区期中)某采访小组共8名同学，其中男生6名，女生2名.现从中按性别分层随机抽取4名同学参加一项采访活动，则不同的抽取方法共有（）A. 40种B. 70种C. 80种D. 240种解题思路：先求得分层抽样的抽样比,再根据抽样比决定男女生各需要抽取多少人,利用组合计数法计算可得结论.正确答案：由题意可知按分层抽样抽取4名同学,抽样比为12, 需从男生中抽取3名,从女生中抽取1名,即得共有316240C C=,故应选A.回顾与反思：本题考查了抽样统计中分层抽样的概念及排列组合的实际应用.知识链接：排列组合综合应用.①整体分类.对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时，运用分类计数原理.②局部分步.整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步时不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，运用分步计数原理.【考例2】(·大同市调研)5个男生2个女生排成一排,若女生不能排在两端,且又必须相邻,则不同的排法总数有( )A.480种B. 960种C. 720种D. 1440种解题思路：将两名女生作为一个整体,男生先排,再将女生插入5名男生中即可得结论.正确答案：两名女生捆绑有222A=种排法,将男生先排有55120A=种排法,将两名女生插入5名男生中的4个空中有共有12024960⨯⨯=种不同的排法,故应选B.回顾与反思：本题考查了排列组合知识解相邻相间问题的排队问题,体现了数学知识在实际生活中的实际应用.知识链接：在不知道如何解的时候，将题目条件与结论做一个比较，明确得到结论需要什么样的条件，或者将问题转化为一个等价命题.“命题的等价转化”是重要的数学思想方法，解题时应灵活使用.创新探究：【探究1】用五种不同的颜色，给图中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色，每部分涂一色，相邻部分涂不同色，则涂色的方法共有种.创新思路：本题考查应用排列组合方法解决涂色问题.其有两种解决方式,分类按颜色涂色法和分步按区域涂色法.解析:按排列中相邻问题处理.(1)(4)或(2)(4).可以涂相同的颜色.分类：若(1)(4)同色，有A 35种，若(2)(4)同色，有A 35种，若(1)(2)(3)(4)均不同色，有A 45种.由加法原理，共有N =2A 35+A 45=240种.【探究2】在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m +n +1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )1212111121212121211211C C C D.C C C C C C C.C C C C .C B C C C A.C n m n m n m m n n m mn n m m n n m +++++++++创新思路：考查组合的概念及加法原理.分类讨论思想及间接法.解析: 解法一：第一类办法：从OA 边上(不包括O )中任取一点与从OB 边上(不包括O )中任取两点，可构造一个三角形，有C 1m C 2n 个；第二类办法：从OA 边上(不包括O )中任取两点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O 点可构造一个三角形，有C 2m C 1n 个；第三类办法：从OA 边上(不包括O )任取一点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O 点可构造一个三角形，有C 1m C 1n 个.由加法原理共有N =C 1m C 2n +C 2m C 1n +C 1m C 1n 个三角形.解法二：从m +n +1中任取三点共有C 31++n m 个，其中三点均在射线OA (包括O 点)，有C 31+m 个，三点均在射线OB (包括O 点)，有C 31+n 个.所以，个数为N =C 31++n m －C 31+m －C 31+n 个.故应选C.方法归纳：1.各种与元素的位置、顺序无关的组合的问题，常见的题型有：选派问题，抽样问题，图形问题，集合问题，分组问题.解答组合应用题时，要在仔细审题的基础上，分清是否为组合问题，对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“ 分步”去解决.将复杂问题通过两个原理化归为简单问题，对解排列组合综合问题往往是“ 先组合，后排列.2.在求解排列与组合应用问题时，应注意：①把具体问题转化或归结为排列或组合问题；②通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；③分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；④列出式子计算和作答.3.解排列与组合应用题常用的方法有：直接计算法与间接计算法；分类法与分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆绑法等八种.4.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想.过关必练：一、选择题:1. (·江西九校模)只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（ ）A.6个B.9个C.18个D.36个2. (·扬州二模)对某种产品的5件不同正品和4件不同次品一一进行检测，直到区分出所有次品为止. 若所有次品恰好经过五次检测被全部发现，则这样的检测方法有（ ）A ．20种B ．96种C ．480种D ．600种3. (·湖北八校二联)用四种不同的颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面染色，要求四种颜色用完，且相邻两个面涂不同的颜色，则所有不同的涂色方法共有（ ）A ．24种B ．96种C ．72种D ．48种4. (·成都市摸底)从1、3、5、7中任取两个数字,从0、2、4、6、8中任取两个数字组成没有重复数字的四位数,其中能被5带除的四位数的个数有( )A.360B. 720C. 300D.2405. (·盐城二模)现要给四棱锥ABCD P -的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有4种，则不同的涂色方案的种数共有A. 36B. 48C. 72D. 96二、填空题:6. (·盐城三模).现有3人从装有编号为1，2，3，4，5的五个小球的暗箱中每人摸出一只球（摸后不放回）,则有两人所摸的小球编号是连号,且三人编号不连号的摸法种数为 .7. (·南京二模)在由5,3,1,0所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数共有 个．8. (·江苏)（13）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。
高中数学《排列组合的常见模型》基础知识与练习题（含答案）一、基础知识：（一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。
例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496N A =⨯=种2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。
例如：在10件产品中，有7件合格品，3件次品。
从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。
3310785N C C =−=（种） 3、先取再排（先分组再排列）：排列数mn A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。
但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。
例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。
解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有2143C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：33A 。
所以共有213433108C C A =种方案（二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。
例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余3个元素排列，则共有44A 种位置，第二步考虑甲乙自身顺序，有22A 种位置，所以排法的总数为424248N A A =⋅=种2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边（2）要从题目中判断是否需要各自排序例如：有6名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有多少种不同的排法解：考虑剩下四名同学“搭台”，甲乙不相邻，则需要从5个空中选择2个插入进去，即有25C 种选择，然后四名同学排序，甲乙排序。
排列组合复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同3. 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种 四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)一、基本原理1.加法原理：如果做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2.乘法原理：如果做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：当做一件事时，元素或位置允许重复使用时，常用基本原理求解。
二、排列从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为An公式：Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!/(n-m)!规定：0!=1性质：1.n!=n×(n-1)。
(n+1)×n!=(n+1)!2.n×n!=[(n+1)-1]×n!=(n+1)×n!-n!=(n+1)!-n!3.n(n+1)/2-1=n(n-1)/2三、组合从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不同的m元素中任取m个元素的组合数，记作C nm。
公式：Cnm=n!/m!(n-m)! 性质：1.若Cn1=m，则Cnm=Cnm-1+Cn-1m-1规定：Cn1=Cnn=12.Cn0+Cn1+。
+C nn=2^n3.Crr+1+Crr+2+。
+C rn=Cr+1n4.CnC1nCnn=2^n四、处理排列组合应用题1.明确要完成的是一件什么事（审题）；2.确定有序还是无序，分步还是分类；3.解排列、组合题的基本策略：1）直接法；2）间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
3）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。
注意：分类不重复不遗漏。
即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。
3.排列应用题：一种解法是穷举法，即将所有满足题设条件的排列和组合逐一列举出来。
另一种解法是特殊元素和特殊位置优先考虑。
对于相邻问题，可以使用捆绑法，将相邻的元素看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。
高考数学二轮复习专项排列、组合、二项式定理与概率统计（含详解）1. 袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码, 设号码为n 的球的重量为344342+-n n (克). 这些球以等可能性(不受重量, 号码的影响)从袋里取出.（Ⅰ）如果任意取出1球, 求其号码是3的倍数的概率. （Ⅱ）如果任意取出1球, 求重量不大于号其码的概率; （Ⅲ）如果同时任意取出2球, 试求它们重量相同的概率.2. 从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加某种性能测试. 每个甲品牌元件能通过测试的概率均为54，每个乙品牌元件能通过测试的概率均为53.试求：（I ）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率；（II ）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率.3. 设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不在放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数。
（1）求ξ的分布列，期望及方差； （2）求η的分布列，期望及方差；4.（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有三天以上（含三天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问，该商场是否需要增加结算窗口？5. 某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货．如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.9,0.8，0.7．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内： （1）只有丙柜面需要售货员照顾的概率；（2）三个柜面最多有一个需要售货员照顾的概率； （3）三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率．6. 某同学上楼梯的习惯每步走1阶或2阶，现有一个11阶的楼梯 ，该同学从第1阶到第11阶用7步走完。
(1)求该同学恰好有连着三步都走2阶的概率；(2)记该同学连走2阶的最多步数为ζ，求随机事件ζ的分布列及其期望。
高中数学总复习考点知识专题讲解与提升练习第50讲排列组合一．选择题（共6小题）1．（2021春•夏津县校级期中）有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有()不同的装法． A ．240B ．120C ．600D ．360【解答】解：第一步从5个球中选出2个组成复合元共有2510C =种方法． 第二步，再把4个元素装入4个不同的盒内有4424A =种方法， 根据分步计数原理装球的方法共有1024240⨯=种方法． 故选：A ．2．（2021•铁东区校级三模）已知5辆不同的白颜色和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有()A ．1880B ．1440C ．720D ．256【解答】解：由题意可知，白颜色汽车按3，2分为2组，先从5辆白色汽车选3辆全排列共有35A 种，再将剩余的2辆白色汽车全排列共有22A 种，再将这两个整体全排列，共有22A 种，排完后有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空共有33A 种， 由分步计数原理得共有有322352231440A A A A =种，故选：B．3．（2021春•杭州月考）有来自甲乙丙三个班级的5位同学站成一排照相，其中甲班2人，乙班2人，丙班1人，则仅有一个班级的同学相邻的站法种数有() A．96B．48C．36D．24【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，甲班的2名同学相邻，先将这2名同学看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有222A=种情况，将这个整体与丙班的1人全排列，有222A=种情况，排好后有3个空位可用，在3个空位中任选2个，安排乙班的2人，有236A=种情况，则甲班的2名同学相邻的站法有22624⨯⨯=种；②，乙班的2名同学相邻，同理有24种站法；则仅有一个班同学有的相邻站法有48种；故选：B．4．（2021春•张家港市期中）5名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有()A．60种B．90种C．150种D．240种【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①将5名同学分为3组，若分为1、2、2的三组，有2215312215C C CA=种分组方法，若分为1、1、3的三组，有3510C=种分组方法，则有101525+=种分组方法，②将分好的三组安排到3个小区，有336A =种情况， 则有256150⨯=种不同的安排方法， 故选：C ．5．（2021•西湖区校级模拟）将8本不同的书全部分发给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分到一本，若三名同学所得书的数量各不相同，且甲同学分到的书比乙同学多，则不同的分配方法种数为()A ．1344B ．1638C ．1920D ．2486【解答】解：8本不同的书全部分发给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分到一本，若三名同学所得书的数量各不相同，则有(1，2，5)，(1，3，4)两种分组的方法， 由于甲同学分到的书比乙同学多，当乙分的1本时，此时的种数为12328772()896C C C A += 当丙分的1本时，此时的种数为123877()448C C C +=， 故不同的分配方法种数为8964481344+=种， 故选：A ．6．（2021•镇海区校级模拟）在新冠病毒疫情爆发期间，口罩成为了个人的必需品．已知某药店有4种不同类型的口罩A ，B ，C ，D ，其中D 型口罩仅剩1只（其余3种库存足够）．今甲、乙等5人先后在该药店各购买了1只口罩，统计发现他们恰好购买了3种不同类型的口罩，则所有可能的购买方式共有() A ．330种B ．345种C ．360种D ．375种【解答】解：根据题意可能的购买方式有如下两种：①5人中有人购买D 型口罩，有121322534324()210C C C C A C +=种购买方式；②5人中没有人购买D 型口罩，有1223354253()1502!C C C C A +=种购买方式；综合①②知共有210150360+=种购买方式． 故选：C ．二．填空题（共24小题）7．（2021春•湖南月考）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成396个没有重复数字的四位偶数．（用数字作答） 【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①从0，2，4，6中任取2个数字中没有0，有22133423216C C C A =个四位偶数； ②从0，2，4，6中任取2个数字中含有0，有1213234232()180C C C A A ⨯-=个四位偶数； 则有216180396+=个四位偶数； 故答案为：396．8．（2021•西湖区校级模拟）某公司有9个连在一起的停车位，现有5辆不同型号的轿车需停放，若停放后恰有3个空车位连在一起，则不同的停放方法有3600种．【解答】解：根据题意，某公司有9个连在一起的停车位，现有5辆不同型号的轿车需停放，则有4个空位： 分2步进行分析：①，5辆不同型号的车需停放，共有55120A =种方法，②，要求剩余的4个车位中恰有3个连在一起，利用插空法，有2630A =种方法， 则不同的停放方法有120303600⨯=种； 故答案为：3600．9．7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有840不同的排法． 【解答】解：根据题意，假设有7个位置，对应7个人，先在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，有47840A=种情况，由于甲、乙、丙3人顺序一定，在剩余3个位置安排3人即可，有1种情况，则共有8401840⨯=种不同的排法；故答案为：840．10．（2021春•徐汇区校级期末）7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有240种不同的排法．【解答】解：由题意知本题是一个排列组合及简单计数问题，甲要站在最左边，剩下6个位置，6个人排列，乙和丙必须相邻，∴把乙和丙看成一个元素，同另外4个人排列，乙和丙之间也有一个排列，根据乘法原理知共有5252240A A=种结果，故答案为：24011．把6名学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和并不能分到三车间，则不同的分法有9种．【解答】解：先安排进二车间实习的人，有233C=种方法，再安排进一车间的人有13C种方法，余下的2人进三车间．所以共有21339C C=种分法．故答案为：912．（2021•浙江二模）给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染色的方案有252种，用5种颜色染色的方案共有种．【解答】解：（1）根据题意，若用4种颜色染色时，先对A、B区域染色有1143C C种，再对C 染色：①当C 同B 时，有1122C C 种；②当C 同A 时，有111322C C C +种；③当C 不同A 、B 时，有111232()C C C +种；综合①②③共有11111111114322322232[()]252C C C C C C C C C C ++++=种．（2）根据题意，若用5种颜色染色时，先对A 、B 区域染色有1154C C 种，再对C 染色：①当C 同B 时，有1133C C 种；②当C 同A 时，有111433C C C +种；③当C 不同A 、B 时，有11113423()C C C C +种； 综合①②③，共有1111111111154334333423[()]1040C C C C C C C C C C C ++++=种． 故填：252，1040．13．从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每个面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色．则不同的染色方法共有230种．（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同．)【解答】解：由题意，至少3种颜色：6种颜色全用：上面固定用某色，下面可有5种选择，其余4面有(41)!6-=种方法，共计30种方法；用5种颜色：上下用同色：6种方法，选4色：45(41)!30C-=；630290⨯÷=种方法；．用4种颜色：226490C C=种方法．用3种颜色：3620C=种方法．∴共有230种方法故答案为：230．14．（2021•宁波期末）如图，对“田”字型的四个格子进行染色．每个格子均可从红、黄、蓝三种颜色中选一种，每个格子只染一种颜色，且相邻的格子不能都染红色，则满足要求的染色方法有56种．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①，若4个格子中没有一格染红色，每格都染黄或蓝，有4216=种不同染法：②，若4个格子中恰有一格染红色，4格中选一格染红，其余3格染黄或蓝，有34232⋅=种不同染法；③，若4个格子中恰有两格染红色，有2种情况，其余2格染黄或蓝，有2228⋅=种不同所以不同染法．共有56种染法，故答案为：56．15．（2021春•孝南区校级期中）正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有276种．【解答】解：由题意知本题需要分类来解答， 首先A 选取一种颜色，有4种情况． 如果A 的两个相邻点颜色相同，3种情况； 这时最后两个边有2339A +=种情况；如果A 的两个相邻点颜色不同，236A =种情况； 这时最后两个边有22237A ++=种情况．∴方法共有4(3967)276⨯+⨯=种．故答案为：27616．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有51种．【解答】解：从这10个数中取出3个偶数的方法有35C 种，取出1个偶数，2个奇数的方法有1255C C 种，而取出3个数的和为小于10的偶数的方法有(0，2，4)，(0，2，6)，(0，1，3)，(0，1，5)，(0，1，7)，(0，3，5)，(2，1，3)，(2，1，5)，(4，1，3)，共有9种，故不同的取法有1050951+-=种 故答案为：5117．（2021春•丽水期末）某城市街区如图所示，其中实线表示马路，如果只能在马路上行走，则从A 点到B 点的最短路径的走法有7种．【解答】解：要从A点到B点，至少需要走2条向下的路和3条向右的路，若下图，我们只需要从这5步路中选出其中2步走向下的路即可走到B点，故有2510C=条最短路径，要从A点到C点，至少需要走1条向下的路和2条向右的路，只需要从这3步路中选出其中1步走向下的路即可走到C点，故有133C=条最短路径故从A点到B点的最短路径的走法有1037-=种，故答案为：718．（2021春•田家庵区校级期中）来自甲、乙、丙三个班的5名同学站成一排照相，其中甲班有2人，乙班有2人，丙班有1人，仅有一个班同学有的相邻站法有48种．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，甲班的2名同学相邻，先将这2名同学看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有222A=种情况，将这个整体与丙班的1人全排列，有222A=种情况，排好后有3个空位可用，在3个空位中任选2个，安排乙班的2人，有236A=种情况，则甲班的2名同学相邻的站法有22624⨯⨯=种；②，乙班的2名同学相邻，同理有24种站法；则仅有一个班同学有的相邻站法有48种；故答案为：48．19．（2021•浙江期中）高三年级有3名男生和3名女生共六名学生排成一排照相，要求男生互不相邻，女生也互不相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同排法有40种（用数字作答）．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，六名学生按男女男女男女排列，若男生甲在最左边的位置时，女生乙只能在其右侧，有1种情况，剩下的2名男生和女生都有222A=种情况，此时有1224⨯⨯=种安排方法，若男生甲不在最左边的位置时，女生乙可以在其左侧与右侧，有2种情况，剩下的2名男生和女生都有222A=种情况，此时有222216⨯⨯⨯=种安排方法；则此时有41620+=种安排方法；②，六名学生按女男女男女男排列，同理①，也有20种安排方法，则符合条件的安排方法有202040+=种；故答案为：40．20．（2021•浙江模拟）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，其中A，B相邻，且C，D在A，B的两侧，则不同的排法共有80种．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①A，B相邻，将AB看成一个整体，考虑其间的顺序，有2种情况，②将C，D安排在A，B的两侧，有2种情况，③四人排好后，有4个空位可用，在4个空位中任选一个，安排E，有4种情况，五人排好后，有5个空位可用，在5个空位中任选一个，安排E，有5种情况，则有224580⨯⨯⨯=种情况， 故答案为：8021．（2021•椒江区校级模拟）某学校将一块长方形空地分成如图所示的八块，计划在这八块空地上种花．已知空地1，2上已经种了a 花，其余空地需从A ，B ，C ，D ，E 这5种花中选择若干种进行种植，要求每块空地只种一种花，且有公共顶点的两块空地种的花不能相同，则不同的种植方案有1080种．【解答】解：若选用4种花，则不同的种植方案有4522480A ⨯⨯=种，若选用5种花，则不同的种植方案有4152(12)600A C +⨯=种， 故不同的种植方案共有4806001080+=种， 故答案为：1080．22．（2021•温州模拟）有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情况有15种． 【解答】解：先将6个球按甲1个，乙2个，丙3个进行分派； 剩余的4个球随机的分派给三个人，每个人可分可不分球； 相当于四个完全一样的东西形成的六个空中插入两个隔板； 即有2615=种；故他们所得的球数的不同情况有15种． 故答案为：15．23．（2012春•南岗区校级月考）5本不同的书，分给三名同学，每人至少一本，则不同的分配方法种数为150．【解答】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有3353C A种分法，分成2、2、1时，有22353322C CAA种分法，所以共有223335353322150C CC A AA+=种方案，故答案为：150．24．（2021春•渝中区校级期中）方程11x y z++=的非负整数解共有78组．【解答】解：根据题意，对于方程11x y z++=，将11看成11个“1”，11个“1”中间有12个空，从12个空中选两个空进行插板，或从12个空中选1个空插2个板，即可以将11个“1”分为三组，每一组对应“1”的数目，依次为x、y、z的数值，则有21212121378C C C+==种分组方法，方程18x y z++=的非负整数解有78组，故选：78．25．（2021春•河西区期中）现用5种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有420．【解答】解：可以同色的区域为BD，CE，若都不同色，则有55120A=，若只有BD同色，则有45120A=，若只有CE同色，则有45120A=，若BD，CE两个同色，则有3560A=，共有12012012060420+++=，故答案为：420．26．（2004•浦东新区校级模拟）将红、黄、绿三种不同的颜色均涂入图中五个区域中，每个区域涂一种颜色，且相邻的区域不能涂同一种颜色，不同的涂色方法共有42种．（三种颜色必须用全，以数字作答）【解答】解：由题意，不妨从左至右按15-编号，由于三种颜色必须用全，第一步涂一号有三种涂法，第二步涂二号有二种涂法第三步涂三号时可分为两类研究，若三号与一号同则后两框必一框涂色与一号二号不同，与若三号与一号不同，由于三种颜色已全部用上，故后两框涂色只需要满足同色不相邻即可故总的涂色方法为32(111112122)42⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=种故答案为4227．（2017春•和平区期末）一名同学想要报考某大学，他必须从该校的7个不同专业中选出5个，并按第一志愿、第二志愿、⋯第五志愿的顺序填写志愿表．若A专业不能作为第一、第二志愿，则他共有1800种不同的填法（用数字作答）．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、由于A专业不能作为第一、第二志愿，需要在除A之外的6个专业中，任选2个，作为第一、二志愿，有2630A=种填法，②、第一二志愿填好后，在剩下的5个专业中任选3个，作为第三四五志愿，有3560A=种填法，则该学生有30601800⨯=种不同的填法；故答案为：1800．28．（2021•西湖区校级模拟）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者．若甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有52种不同的选拔志愿者的方案．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都不参加志愿活动，在剩下4人中任选3人参加即可，有3424A=种选拔方法，②甲参加乙不参加志愿活动，甲只能参加C项目，在剩下4人中任选2人参加A、B项目即可，有2412A=种选拔方法，③乙参加甲不参加志愿活动，乙只能参加A项目，在剩下4人中任选2人参加B、C项目即可，有2412A=种选拔方法，④甲乙都参加志愿活动，甲只能参加C项目，乙只能参加A项目，在剩下4人中任选1人参加B项目，有144A=种选拔方法，则有241212452+++=种选拔方法；故答案为：5229．（2021•海淀区校级三模）从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有168种不同的选法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，先从4男2女共6名学生选出4人，要求至少有1名女生，有446414C C-=种情况，②，在选出的4人中任选1人，作为队长，剩余3人中选出1人作为副队长，剩下2人作为队员，有114312C C=种情况，则有1412168⨯=种不同的选法；故答案为：168．30．某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地区至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有30种．【解答】解：因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，①2、2、1方案：甲、丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列：共有：233318C A⨯=种；②3、1、1方案：在丁、戊中选出1人，与甲丙组成一组，然后排列：共有：132312C A⨯=种；所以，选派方案共有181230+=种．三．解答题（共10小题）31．现有8个人(5男3女）站成一排．（1）女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？（2）其中甲必须站在排头有多少种不同排法？（3）其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？（5）其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？（6）其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？（7）男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？（8）第3和第6个排男生，有多少种不同排法？（9）甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【解答】解：（1）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有3A种3情况，将这个整体与5名男生全排列，有6A种情况，6则女生必须排在一起的排法有36A A种；36（2）根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有7A种情况，7则甲必须站在排头有7A种排法；7（3）根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有2A种情况，6将剩下的6人全排列，有6A种情况，6则甲、乙两人不能排在两端有26A A种排法；66（4）根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有66A 种情况，排好后有7个空位， 则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有27A 种情况， 则甲、乙两人不相邻有2676A A 种排法；（5）根据题意，将8人全排列，有88A 种情况， 其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同， 则甲在乙的左边有8812A 种不同的排法；（6）根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有55A 种情况，排好后有6个空位， 则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有36A 种情况， 其中甲乙丙不能彼此相邻有5356A A 种不同排法；（7）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A 种情况， 再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有55A 种情况， 将男生、女生整体全排列，有22A 种情况，则男生在一起，女生也在一起，有235235A A A 种不同排法；（8）根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有222525C A A 种情况， 将剩下的6人全排列，有66A 种情况， 则第3和第6个排男生，有2656A A 种不同排法；（9）根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有25A 种情况， 将剩下的6人全排列，有66A 种情况， 甲乙不能排在前3位，有2656A A 种不同排法；(10)根据题意，将5名男生全排列，有55A 种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有34A 种情况，则女生两旁必须有男生，有5354A A 种不同排法．32．把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法？【解答】解：6名实习生分配到7个车间实习，每名实习生有7种分配方法，共有67种不同的分法．33．8人排成两排，每排4人，下列各有多少种不同的排法？ （1）甲、乙在前排两端，丙在后排左端； （2）甲、乙在前排，丙在后排．【解答】解：（1）先排前排，除甲乙丙外选2人排在甲乙之间，再排后排，丙在后排左端，把剩下的3人全排列，故有223253240A A A =种；（2）先排前排，除甲乙丙外选2人和甲乙全排列，再排后排，丙和剩下的3人全排列，故有2445445760C A A =种；34．设有99本不同的书（用排列数、组合数作答）．（1）分给甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少种不同的分法？ （2）分给甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少种不同的分法？ （3）平均分给甲、乙、丙3人，共有多少种不同的分法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少种不同的分法？（5）分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？ （6）分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少种不同的分法？ （7）平均分成3份，共有多少种不同的分法？（8）分成3份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？【解答】解：（1）甲得96本，有方法9699C 种；乙得2本，有方法23C 种；丙得1本．有方法1种，不同的分法共有962993C C （种)； （2）与（1）类似，不同的分法共有93339363C C C （种)； （3）不同的分法共有333333996633C C C 种； （4）先把99本不同的书分成3份，一份96本，一份2本，一份1本；再将甲、乙、丙3人全排列，这是因为3人中谁都有得到96本、2本、1本的可能，不同的分法共有96239933()C C A （种)；（5）99本不同的书，分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，3人中，谁都有得到93本的可能，不同的分法共有933339963322C C C A A ⋅（种)． （6）99本不同的书，分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，3份的数量互不相同，不同的分法共有962993C C （种)； （7）99本不同的书，平均分成3份，每份33本．本问题是典型的平均分组问题，要排除重复，不同的分法共有33333339966333()C C C A ÷（种)；（8）99本不同的书，分成3份，一份93本，另两份各3本，两份3本的有重复，不同的分法共有9333299632()C C C A ÷（种)．35．本4本不同的书，下列情况各有多少种不同的分法？ （1）分成2堆，一堆1本，一堆3本； （2）分成2堆，每堆2本．【解答】解：（1）由题意可得，144C =； （2）由题意可得，2242226C C A =．36．（1）4本不同的书平均分成2堆，有多少种不同的分法？平均分给2个人有多少种不同的分法？（2）4本不同的书分成2堆，每堆至少1本，有多少种不同的分法？分给2个人，每人至少1本，有多少种不同的分法？【解答】解：4本不同的书平均分成2堆，有2242223C CA=（种)分法；4本不同的书平均分给2个人，先分组有2242223C CA=（种)分法，将分好的2组全排列，对应2个人，有222A=（种)情况，则有326⨯=（种)不同的分法．（2）4本不同的书分成2堆，每堆至少1本，有2种情况：1本和3本，各2本，因此共有22314241227C CC CA+=（种)分法，分配给2个人，每人至少1本，有223124241222()14C CC C AA+=（种)分法．37．有12本不同的书．（1）分给甲、乙、丙、丁四人，每人3本，有几种分法？（2）若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有几种分法？（3）若平均分成3堆，有几种方法（只要求列出算式）？【解答】解：（1）根据题意，分4步分析：①，在12本书中取出3本，分给甲，有312C种取法，②，在剩下的9本书中取出3本，分给乙，有39C种取法，③，在剩下的6本书中取出3本，分给丙，有36C种取法，④，将最后的3本书交给丁，有33C 种情况，则一共有333312963C C C C 种分法； （2）根据题意，分3步分析：①，在12本书中取出1本，作为第一堆，有112C 种取法，②，在剩下的11本书中取出3本，作为第二堆，有311C 种取法，③，在剩下的8本书中取出4本，作为第三堆，剩下的4本作为第四堆，有4812C 种分法；则一共有1341211812C C C 种分法；（3），根据题意，将12本不同的书，平均分成3堆，每堆有4本，则有444128433C C C A 种不同的分法． 38．（2021春•翠屏区校级期中）由数字0，1，2，3，4．回答下列问题： （1）从中任取两个数，求取出的两个数之积恰为偶数的不同取法有多少种？ （2）可组成多少个无重复数字的五位数自然数？（3）在无重复数字的五位数的自然数中，任取两个数，求取出的两个数都是偶数的概率． 【解答】解：（1）两个数的积是偶数，则其中至少有一个偶数，分两类，第一类只有一个偶数有11326C C =种，第二类都是偶数有233C =种，根据分类计算原理得，639+=种； （2）0是特殊元素不能排在首位，所以先排首位，然后再排另外四位，有144496A A =个；（3）第一类0在末尾时有4424A =个，第二类0不在末尾时，末尾只能从2，4选一个，再排首位，首位不能是0，有11323336A A A =个，无重复数字的五位数的自然数中 偶数共有243660+=，（2）可知可组成96个无重复数字的五位数自然数，设取出的两个数都是偶数的概率为P （A ），则P （A ）26029659152C C ==．39．某城市由n 条东西方向的街道和m 条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从A 处走到B 处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A 到B 需要走(2)n m +-段， 而这些段中，必须有东西方向的(1)n -段，其余的为南北方向的(1)m -段，∴共有1122m n m n m n C C --+-+-=种走法．40．用4种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D 四个区域涂色，要求每个区域只能涂一种颜色．（1）有多少种不同的涂法？（2）若相邻区域不能涂同一种颜色，有多少种不同的涂法？【解答】解：（1）分4步，依次为A ，B ，C ，D 各个区域，分别有4种涂法，共有44256=种不同的涂法，（2）由可分4步进行，第一步：A 有4种涂法，第二步B 有3种涂法，第三步C 有2种涂法，第四步D 有2种涂法有432248⨯⨯⨯=种不同的涂色。
