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华东理工大学概率论答案-9-10华东理工大学概率论与数理统计作业簿（第四册）学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________第九次作业一． 填空题1. 设X 服从泊松分布，若26EX =，则(1)P X >= 213e --。
解 222~(),6()X P E X D X E X λλλ==+=+故 2λ=. (1)1(1)1(0)(1)P X P X P X P X >=-≤=-=-= 2221213e e e---=--=-. 2.设随机变量~(,)B n p ξ，已知 2.4, 1.44E D ξξ==，则参数n= 6 ，p = 0.4 。
解 2.4,6,1.44,0.4.E np n D npq p ξξ===⎧⎧⇒⎨⎨===⎩⎩3. 某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个人在一年内死亡的概率为0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，欲求在未来一年内这1000个投保人死亡人数不超过10人的概率。
用Excel 的BINOMDIST 函数计算。
BINOMDIST （10 , 1000, 0.005, TRUE ）= 0.986531_。
4. 运载火箭运行中进入其仪器仓的粒子数服从参数为4的泊松分布，用Excel 的POISSON 函数求进入仪器舱的粒子数大于10的概率。
POISSON （10 , 4 ，TRUE ）=0.9972, 所求概率p =_0.0028_。
5. ~(4)P ξ，由切比雪夫不等式有(|4|6)P ξ-<≥__8/9___。
二． 选择题1. 在相同条件下独立的进行3次射击，每次射击击中目标的概率为23，则至少击中一次的概率为 （ D ）A. 274B. 2712C. 2719D. 2726三．计算题1. 设随机变量ξ的密度函数是1cos ,0()220,x x p x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 对ξ独立的随机观察4次，η表示观察值大于3π的次数，求 （1）η的概率分布（分布律）， （2）E D ηη和。
第十一次作业一．填空题：1．设随机变量(,)X Y 的概率密度为()0,(,)0x y ae x y f x y -+⎧<<+∞=⎨⎩，，其他，则a =1 ，(2,1)P X Y ≤≤ 1231e e e -----+ 。
2．若二维随机变量(,)X Y 的联合分布列为则随机变量(,X Y 的联合分布函数为0,001/6,01,01(,)5/12,01,11/2,1,011,1,1x o r y x y F x y x y x y x y <<⎧⎪≤<≤<⎪⎪=≤<≥⎨⎪≥≤<⎪≥≥⎪⎩ 二. 计算题1. 设二维随机向量(,)ξη仅取(1,1),(2,3),(4,5)三个点，且取它们的概率相同，求(,)ξη的联合分布列。
解：2. 某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10，10件，现在从中随机抽取一件，记11,230i i X i ⎧==⎨⎩抽到等品（，，）其他试求随机变量12X X 和的联合分布。
解：令"1,2,3i A i i ==抽到等品"，,则123,,A A A 两两不相容.123()0.8,()()0.1P A P A P A === 123(0,0)()0.1P X X P A ==== 122(0,1)()0.1P X X P A ==== 121(1,0)()0.8P X X P A ==== 12(1,1)()0P X X P φ====3． 将一硬币抛掷3次，X 表示3次中出现正面的次数，Y 表示3次中出现正面次数与反面次数之差的绝对值，求X 和Y 的联合分布率。
解：当连抛三次出现三次反面时，),(Y X 的取值为)3,0(；出现一次正面两次反面时，),(Y X 的取值为)1,1(； 出现两次正面一次反面时，),(Y X 的取值为)1,2(； 出现三次正面时，),(Y X 的取值为)3,3(。
概率论与数理统计（本）模拟2一、判断题（共8题,每题4分,共32分）1. 设为两随机事件，则。
（）（4分）( )答案：正确2. 设离散型随机变量的概率分布为:且E=0.2，则。
（）（4分）( )答案：错误3. 已知二维随机变量的概率分布为:则,是相互独立。
（）（4分）( )答案：错误4. 有效性、一致性、无偏性是衡量估计量好坏的三个标准。
（）（4分）( )答案：正确5. 已知独立且服从于相同的分布，若令，则。
（）（4分）( )答案：错误6. 样本取自总体,则可作为的无偏估计量的是。
（）（4分） ( )答案：错误7. 当随机变量的可能值充满区间，则可以成为的概率密度。
（）（4分） ( )答案：正确8. 将6本不同的中文书和4本不同的外文书任意放到书架上去，排成一列，则4本外文书放在一起的概率为（）（4分） ( )答案：正确二、单选题（共8题,每题4分,共32分）1. 已知随机变量～，且，，则二项分布的参数的值分别为（）。
（4分）A.B.C.D.答案：B2. 设随机变量的密度函数为，则等于（）。
（4分）A.B.C.D.答案：C3. 设为两个随机变量，满足，则（）不一定成立。
（4分）A.B.C.D.答案：D4. 设随机变量的分布函数为则的数学期望为（）。
（4分）A.1B.C.D.2答案：D5. 设、为任意两个事件，且，，则下列结论中必然成立的是（）。
（4分）A.B.C.D.答案：B6. 假设事件与满足，则下列结论中正确的是（）。
（4分）A.是必然事件B.C.D.答案：B7. 设事件与的概率均大于零小于1，且与相互独立，则有（）。
（4分）A.与互不相容B.与互不相容C.与相容，即D.与互不相容答案：C8. 已知，，，则事件、、全不发生的概率为（）。
（4分）A.B.C.D.答案：A三、问答题（共3题,每题12分,共36分）1. 已知随机变量只能取-1、0、1、2四个值,其相应的概率依次为c,2c,3c,4c.求:（1）常数c；（2）（3）的概率分布。
（全）概率论与数理统计答案（东华大学出版）第二章离散型随机变量及其分布律第二节一维离散型随机变量及其分布律习题Page 551、一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用ξ表示所得球上的数字，求ξ的分布律。
解答：因为ξ只能取-3、1、2，且分别有2、3、1个，所以ξ的分布律为：ξ-3 1 2 {}i P x ξ=2/63/61/62、在200个元件中有30个次品，从中任意抽取10个进行检查，用ξ表示其中的次品数，问ξ的分布律是什么？解答：由于200个元件中有30个次品，只任意抽取10个检查，因此10个元件中的次品数可能为0、1、2到10个。
当次品数ξ为k 时，即有k 个次品时，则有10-k 个正品。
所以：ξ的分布律为：103017010200{},0,1,,10k k C C P k k C ξ-===。
3、一个盒子中有m 个白球，n m -个黑球，不放回地连续随机地从中摸球，直到取到黑球才停止。
设此时取到的白球数为ξ，求ξ的分布律。
解答：因为只要取到黑球就停止，而白球数只有m 个，因此在取到黑球之前，所取到的白球数只可能为0m 中的任意一个自然数。
设在取到黑球时取到的白球数ξ等于k ，则第1k +次取到是黑球，以i A 表示第i 次取到的是白球；_i A 表示第i 次取到的是黑球。
则ξ的分布律为：__12112111{}()()(|)(|)11,0,1,,11k k k k P k P A A A A P A P A A P A A A m m m k n m k mn n n k n kξ++===--+-==--+-。
4、汽车沿街道行驶，要通过3个有红绿灯的路口，信号灯出现什么信号相互独立，且红绿灯显示时间相等。
以ξ表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数，求ξ的分布律。
解答：因为只有3个路口，因此ξ只可能取0、1、2、3，其中{3}ξ=表示没有碰到红灯。
以i A 表示第i 个路口是红灯，因红绿灯显示时间相等，所以()1/2i P A =，又因信号灯出现什么信号相互独立，所以123,,A A A 相互独立。
华东理工大学《概率论与数理统计》课程 期末考试试卷开课学院：理学院，专业：数学系 考试形式：闭 卷，所需时间120分钟考生姓名： 学号： 班级 任课教师一、填空题（每题4分，共计24分）1、设随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1x F x Ax x x <⎧⎪=≤≤⎨>⎪⎩,则)211(<<-X P ＝ 0.5 ，2、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且(1)(2)1E x x --=，则λ＝ 13、用(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y 表示概率(0)P Y a <≤＝(,)(,0)F a F +∞-+∞4、已知随机变量221122~(,),~(,),X N Y N μσμσ且相互独立，设随机变量Z X Y =+，则~Z 221212(,)N μμσσ++ 5、121,,,n X X X 为X 的样本，~(0,)X U θ，记11n i i X X n ==∑，则EX ＝ 2θ6、设总体X 服从正态分布2(0,2)N ，1215,,,X X X 是来自正态总体的简单随机样本，则随机变量221102211152()X X Y X X ++=++～(10,5)F二、选择题（每题3分，共计24分）1、设A 和B 是两个互斥事件，()0,()0P A P B >>，则下列结论正确的（ D ） （A ）()()P A B P A =； （B ）A 与B 不相容； （C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()0P A B =2、已知随机事件,A B 为两相互独立的随机事件，()0.6P A B ⋃=，()0.4P A =，则()P B＝（ B ） （A ）21; （B ）31; （C ）41; （D ）513、已知5)2(=+ηξD ，1)2(=-ηξD ，则ξ与η的协方差=),(Cov ηξ （ D ）。
（A ）0.2; （B ）0.3; （C ）0.4; （D ）0.5 4、已知离散型随机变量ξ的概率分布为用切比雪夫不等式估计 ≥<-}5.1{ξξE P （ D ） 。
华东理工大学概率论与数理统计作业簿(第五册)学院______________ 专业_______________ 班级 ________________学号____________ 姓名_____________ 任课教师 ____________第十九次作业一.填空题：1.在一批垫圈中随机抽取10个，测得它们的厚度(单位:mm)如下：1.23, 1.24, 1.26, 1.29, 1.20, 1.32, 1.23, 1.23, 1.29, 1.28 用矩估计法得到这批垫圈的数学期望“的估计值//=_x = l .257 —,标准差cr的估计值$= s”_[ = 0.037_。
二.计算题：1.设总体X服从泊松分布P(2), (X】，X»…,X”)为样本，分别用矩估计法和极大似然法求参数2的估计量/。
解：矩估计法，因为X ~ P(2),所以总体平均值EX = 2 ,一 1 n_ 1 n而样本平均值x所以2 = x=-yx,；n ,=i n ,=i极大似然法，设(X],X2,…,X”)的一组观测值为(“2,…,X”)，似然函数L(2) = FT P(x = X,.) = FT —取对数，得In 厶(2) = -nA. + (x; In 2 - In x;!),i=l令气◎_” + ]£廿0,解得：i = l£x.=-；da2幺n幺故＜9的极大似然估计量为：i = x o^)=fl/(x,) = ^flx,^ i=l i=l2. 设总体歹服从几何分布P(X =x) = p(l-pY-1 (x = l,2,…),(X”X2,…,X”)为 X 的样本。
(1) 求未知参数p 的矩法估计；(2)求未知参数p 的极大似然估计。
解： ⑴由于g 〜Ge(p),因此砖=丄，由矩法原则可知E^ = X,故p-X. PX(2) 设样本(X 1,X 2,---,X n )的一组观测值为01，勺,…,x”),由于总体为离散型, 因此似然函数 L(p) = Y[P(X i =x .) = p n (l-p^X!~n ,Z = 1取对数，得In L(p) = nlnp + (工二%, -njln(l-p),上式两端关于p 求导，令di"厶(卩)=工+工日兀—”=0, dp p 1-p 解上式，得丄+ ― p =~^ O p 1- p X3. 设总体总体X 的密度函数为/Xx) JP + D 汽其中<9>-1是0, 其他未知参数，(X],X2,…，X”)是来自总体的样本，分别用矩估计法和极大似然法求 9的估计量。
华东理工大学概率论答案【篇一：华东理工大学概率论答案-15,16】选择题：1. 设随机变量?密度函数为p(x)，则??3??1的密度函数p?(y)为（ a ）。
1y?1y?11y?1) b、3p() c、p(3(y?1)) d、3p() a、p(333332. 设随机变量?和?相互独立，其分布函数分别为f?(x) 与f?(y)，则 ?＝max(?,?) 的分布函数f?(z) 等于（ b ） a．max{f?(z),f?(z)}b. f?(z)f?(z)1c．[f?(z)?f?(z)] d. f?(z)?f?(z)?f?(z)f?(z)2二. 填空：已知?～n(0,1),??? 三. 计算题, 则?的概率密度为??(y)?3y22?e?y62。
1. 已知随机变量?~u[0,2]，求???2的概率密度。
?p{?y???解: f?(y)?p{??y}??0?2y}y?0?f?(y)?f?(?y)??y?0?0y?0y?0?1p(y)?p?(?y)?故p?(y)??2y??0????1y?0?＝?4yy?0??00?y?4其他2. 设随机变量x求y?sin(?2x)的概率分布。
x?4k?1x?2k k?1,2,? x?4k?3??1x??解：由于sin()??02?1?故随机变量y的可能取值为：-1，0，1。
随机变量y的p{y??1}??p{x?4k?1}?? k?1k?1??124k?1?112??； 8115?124p{y?0}??p{x?2k}??k?1?1111???； 2k143k?12?122??p{y?1}??p{x?4k?3}??k?1k?1?124k?3?118??， 2115于是随机变量y的分布律为：3．设?~u(0,1) ，求? =?解：对应于? =?ln?ln?的分布。
lnx，y?x?e(lnx)2?f(x) ，由于f(x)?e(lnx)21?2lnx? 。
xlny当x?(0,1)时，??1x?f(y)?ef(x)?0 ，lny?1?e??1??(y)=??(x)|x?f?1(y)|(f(y))|??2ylny?0?其中当y?(??,1]时，,y?(1,??),.其它y??(y)=0是由x?(0,1)时y?(1,??) 而导出的。
第十五次作业一. 选择题：1. 设随机变量ξ密度函数为()p x ，则31ηξ=-的密度函数()p y η为（ A ）。
A 、11()33y p + B 、13()3y p + C 、1(3(1))3p y + D 、13()3y p - 2. 设随机变量ξ和η相互独立，其分布函数分别为 )(x F ξ与)(y F η，则),max(ηξζ＝ 的分布函数 )(z F ζ等于 （ B ） A ．)}(),(max{z F z F ηξ B. )()(z F z F ηξC ．)]()([21z F z F ηξ+ D. )()()()(z F z F z F z F ηξηξ-+二. 填空：已知ξ～)1,0(N ,31ξη=, 则η的概率密度为=)(y ηϕ226e23y y -π。
三. 计算题1. 已知随机变量]2,0[~U ξ，求2ξη=的概率密度。
解: ⎩⎨⎧<≥--=⎩⎨⎧<≥≤≤-=≤=00)()(000}{}{)(2y y y F y F y y y y P y P y F ξξηξξ故()⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=000)()(21)(y y y p y p y y p ξξη＝⎪⎩⎪⎨⎧≤≤其他4041y y2. 设随机变量X求)2sin(X Y π=的概率分布。
解：由于⎪⎩⎪⎨⎧-==-=-=34120141)2sin(k x k x k x x π ,2,1=k 故随机变量Y 的可能取值为：-1，0，1。
随机变量Y 的∑∞=-==-=1}14{}1{k k X P Y P ∑∞=-=-⨯==141415212118121k k ； ∑∞====1}2{}0{k k X P Y P ∑∞==-⨯==1223112114121k k； ∑∞=-===1}34{}1{k k X P Y P ∑∞=-=-⨯==143415812112121k k ， 于是随机变量Y 的分布律为：3．设~ξ)1,0(U ，求η =ξξln 的分布 。
解：对应于η =ξξln ，)(2)(ln ln x f ex y x x=== ，由于xx ex f x 1ln 2)(2)(ln '⋅⋅= 。
当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，ye yf x ln 1)(--==)(y ηϕ=yy e yy y f x yy f x 其它),1(,.,0ln 21|))((||)(ln '1)(1+∞∈⎪⎩⎪⎨⎧=--=-ξϕ其中当]1,(-∞∈y 时，)(y ηϕ=0是由)1,0(∈x 时),1(+∞∈y 而导出的。
4. 设ηξ、 是两个相互独立且均服从正态分布⎪⎭⎫⎝⎛21,0N 的随机变量，求|)(|ηξ-E 。
解: 由已知条件可得：)1,0(~N ηξ-，所以ππππηξ2e22d e22d e21|||)(|0222222=-==⋅=-+∞--∞+-∞+∞-⎰⎰x x x x x x x E5. 已知随机变量ηξ、 的概率分布分别为412141}{101i x P =-ξξ2121}{10j y P =ηη而且1}0{==ξηP 。
(1)求ηξ、 的联合概率分布；(2)问ηξ、 是否独立？ (3)求), max(ηξζ=的概率分布。
解: 由于(0)1P ξη==,可以得到(1,1)(1,1)0P P ξηξη=-=====,从而1(0,1)(1)2P P ξηη=====, 1(1,0)(1)4P P ξηξ=-===-=, 1(1,0)(1)4P P ξηξ=====, (0,0)(0)(0,1)0P P P ξηξξη====-===,汇总到联合分布列,即(2)由于(,)()()P i j P i P j ξηξη==≠=⋅=,故,ξη不独立. (3)1(0)(1,0)(0,0)4P P P ζξηξη===-=+===, 3(1)(1,1)(0,1)(1,0)(1,1)4P P P P P ζξηξηξηξη===-=+==+==+===6．设随机变量ηξ、 相互独立，其密度函数分别为⎩⎨⎧≤>=⎩⎨⎧<<=-0)(,0101)(y y e y p x x p yηξ其他 求ηξ+ 的概率密度函数。
解: 由,ξη相互独立得联合密度函数为, 01,0,(,)0, ,y e x y p x y -⎧≤≤>=⎨⎩其他 密度函数中非零部分对应的(,)x y 落在区域D 中,利用卷积公式,当1z ≥时,1()0()(1)z x z p z e dx e e ζ---==-⎰,当01z <<时,()0()1zz x z p z e dx e ζ---==-⎰,当0z ≤时,()0p z ζ=,故 (1), 1,()1, 01, 0, 0. z ze e z p z e z z ζ--⎧-≥⎪=-<<⎨⎪≤⎩7. 电子仪器由4个相互独立的部件)4,3,2,1(=i L i 组成，连接方式如图所示。
设各个部件的使用寿命i ξ服从指数分布)1(E ，求仪器使用寿命ζ的概率密度。
1L 3L2L 4L解: 设各并联组的使用寿命为)2,1(=j j η，则},m a x {},,max{},,min{43221121ξξηξξηηηζ=== 由i ξ独立同分布知21,ηη也独立同分布。
现⎩⎨⎧≤>-=-0e 1)(x x x F x ξ 所以 ⎩⎨⎧≤>-==-000)e 1()()(22y y y F y F y ξη 从而[][]⎩⎨⎧≤>--=⎪⎩⎪⎨⎧≤>---=--=---000)e 2(e 1000)e 1(11)(11)(22222z z z z z F z F z z z ηζ ⎩⎨⎧≤>--==∴---000)e 2)(e 1(e 4)(2z z z p z z z ζ。
8．某厂生产一种化工产品，这种产品每月的市场需求量 ξ（单位：吨）服从 ]5,0[ 上的均匀分布。
这种产品生产出来后，在市场上每售出1吨可获利6万元。
如果产量大于需求量，则每多生产1吨要亏损4万元。
如果产量小于需求量，则不亏损，但只有生产出来的那一部分产品能获利。
问：为了使每月的平均利润达到最大，这种产品的月产量 a 应该定为多少吨？这时，平均每月利润是多少元？解：因为ξ～)5,0(U ,所以ξ的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其他05051)(x x ξϕ 。
设月产量为a （50≤≤a ），每月的利润为 η，则)(ξηf =⎩⎨⎧>≤-=--=时当时当a a a a a ξξξξξ6410)(46 。
该厂平均每月利润为ηE ⎰+∞∞-==xx x f Ef d )()()(ϕξ⎰⎰+-=50d 56d 5410a ax a x a x 22265665a a a a a -=-+= 。
由=aE d d η026)6(d d2=-=-a a a a可解得 3=a （吨）。
可见，要使得每月的平均利润达到最大，这种产品的月产量应该定为3吨。
这时，平均每月利润是9336622=-⨯=-=a a E ξ（万元）。
第十六次作业一． 计算题：1. 一批产品的不合格率为0.02，现从中任取40只进行检查，若发现两只或两只以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法求拒收的概率：（1）用二项分别作精确计算；（2）用泊松分布作近似计算。
解: 设不合格得产品数为ξ.(1)4013940(2)1(0)(1)1(0.98)(0.02)(0.98)0.1905P P P C ξξξ≥=-=-==--≈.(2)利用二项分布的泊松定理近似,得400.020.8np λ==⨯=,(2)1(0)(1)P P P ξξξ≥=-=-=≈0.80.810.80.1912e e ----≈.2. 已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从普阿松分布(0.2)P ，求这本书印刷错误总数不多于70个的概率。
解: 设i ξ是第i 页印刷错误的个数，已知i ξ～)2.0(P ，1,2,,300i = ，它们相互独立，由普阿松分布的可加性可知，300页书的错误总数∑==3001i i ξη～)60(P 。
直接用普阿松分布计算，则有{}{}70706000600700.909813!k k k P P k e k ηη-==≤≤===≈∑∑ 。
下面用独立同分布中心极限定理近似计算。
因为i ξ～)2.0(P ，300,,2,1 =i ，独立同分布，λξ=i E 2.0=，λξ=i D 2.0=，300,,2,1 =i ，根据独立同分布中心极限定理，可认为 ∑==3001i i ξη近似服从正态分布),(2σμn n N ,其中602.0300=⨯==i nE n ξμ,602.03002=⨯==i nD n ξσ。
所以}700{≤≤ηP ≈)60600()606070(-Φ--Φ)6060()6010(-Φ-Φ=≈)75.7()29.1(-Φ-Φ≈09015.0-9015.0= 。
3. 作加法时，对每个加数四舍五入取整，各个加数的取整误差可以认为是相互独立的，都服从)5.0,5.0(-上的均匀分布。
现在有1200个数相加，问取整误差总和的绝对值超过12的概率是多少？解: 设各个加数的取整误差为i ξ（1200,,2,1 =i ）。
因为 i ξ～)5.0,5.0(-U ，所以 025.05.0=+-==i E ξμ ，12112)5.05.0(22=+==i D ξσ （1200,,2,1 =i ）。
设取整误差的总和为 ∑==ni i 1ξη，因为n 1200=数值很大，由定理知，这时近似有 ∑==ni i 1ξη～),(2σμn n N ，其中，001200=⨯=μn ，10012112002=⨯=σn 。
所以，取整误差总和的绝对值超过12的概率为{}12>ηP {}12121≤≤--=ηP ≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--Φ--Φ-)12()12(122σμσμn n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--Φ--Φ-=)100012()100012(1)2.1()2.1(1-Φ+Φ-=)]2.1(1[2Φ-=2302.0)8849.01(2=-⨯= 。
4. 设2021,,,ξξξ 是相互独立的随机变量序列，具有相同的概率密度⎩⎨⎧≤≤=其他0102)(x x x ϕ 。
令2021ξξξη+++= ，用中心极限定理求}10{≤ηP 的近似值。
解: 因为 i ξ（20,,2,1 =i ）的概率密度为 ⎩⎨⎧≤≤=其他0102)(x x x ϕ ，所以32d 2d )(102===⎰⎰∞+∞-x x x x x E i ϕξ ，1819421)32(d 2)()(210322=-=-=-=⎰x x E E D i i i ξξξ。
