[推荐学习]2018高考数学大一轮复习第七章立体几何课时跟踪检测四十二直线平面垂直的判定及其性质

课时作业45 直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α与直线l至少有两个公共点D．α内的直线与l都相交解析：因为l⊄α，直线l不平行于平面α，所以直线l只能与平面α相交，于是直线l与平面α只有一个公共点，所以平面α内不存在与l平行的直线．答案：B2．已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是( )A．存在一条直线b，a∥b且b⊂αB．存在一条直线b，a⊥b且b⊥αC．存在一个平面β，a⊂β且α∥βD．存在一个平面β，a∥β且α∥β解析：在A，B，D中，均有可能a⊂α，错误；在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，故C正确．答案：C3．平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( ) A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面解析：充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．答案：D4．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是( )A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α解析：l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．故选D.答案：D5．已知不重合的两条直线l，m和不重合的两个平面α，β，下列命题正确的是( ) A．l∥m，l∥β，则m∥βB．α∩β＝m，l⊂α，则l∥βC．α⊥β，l⊥α，则l∥βD．l⊥m，m⊥β，l⊥α，则α⊥β解析：对于选项A，m可能在β内，故A错；对于选项B，l可能与β相交，故B错；对于选项C，l可能在β内，故C错，所以选D.答案：D6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )A．有无数条B．有2条C．有1条D．不存在解析：因为平面D1EF与平面ADD1A1有公共点D1，所以两平面有一条过D1的交线l，在平面ADD1A1内与l平行的任意直线都与平面D1EF平行，这样的直线有无数条．答案：A二、填空题7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．解析：如图，连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案：平行8．如图，已知三个平面α，β，γ互相平行，a，b是异面直线，a与α，β，γ分别交于A，B，C三点，b与α，β，γ分别交于D，E，F三点，连接AF交平面β于G，连接CD交平面β于H，则四边形BGEH必为________．解析：由题意知，直线a与直线AF确定平面ACF，由面面平行的性质定理，可得BG∥CF，同理有HE∥CF，所以BG∥HE.同理BH∥GE，所以四边形BGEH为平行四边形．答案：平行四边形9．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.解析：如图，假设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.答案：Q为CC1的中点三、解答题10．如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG.证明：(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.11．(2016·山东卷)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.(Ⅰ)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；(Ⅱ)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC.证明：(Ⅰ)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF，因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(Ⅱ)设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.1．(2017·河南三市联考)如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M、N分别在AD1、BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )解析：过M作MQ∥DD1，交AD于Q，连QN.∵MN∥平面DCC1D1，MQ∥平面DCC1D1，MN∩MQ ＝M，∴平面MNQ∥平面DCC1D1，又QN⊂平面MNQ，∴NQ∥平面DCC1D1，∴NQ∥DC，∵AQ＝BN ＝x，DD1＝AA1＝2，AD＝AB＝1，∴MQ＝2x.在Rt△MQN中，MN2＝MQ2＋QN2，即y2＝4x2＋1.∴y2－4x2＝1(x≥0，y≥1)，∴函数y＝f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分．故选C.答案：C2．(2016·新课标全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)解析：对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA′为直线m，CD 为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．命题②正确，证明如下：设过直线n 的某平面与平面α相交于直线l ，则l ∥n ，由m ⊥α知m ⊥l ，从而m ⊥n ，结论正确．由平面与平面平行的定义知命题③正确． 由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确． 答案：②③④3．空间四边形ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是________．解析：设DH DA ＝GHAC＝k ，∴AH DA ＝EH BD＝1－k ， ∴GH ＝5k ，EH ＝4(1－k )， ∴周长＝8＋2k .又∵0<k <1，∴周长的范围为(8,10)． 答案：(8,10)4．(2016·北京卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC .(Ⅰ)求证：DC⊥平面PAC；(Ⅱ)求证：平面PAB⊥平面PAC；(Ⅲ)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．解：(Ⅰ)因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC，所以DC⊥平面PAC.(Ⅱ)因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.所以平面PAB⊥平面PAC.(Ⅲ)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：如图，取PB中点F，连接EF，CE，CF.又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF，所以PA∥平面CEF.。

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课时分层训练（四十一) 直线、平面平行的判定及其性质A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设m,n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（)【导学号：31222255】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m,n⊂α,m∥β，且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．］2．下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )图7.4。

5A．①③B．②③C．①④D．②④C[对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．］3．(2017·山东济南模拟）如图7。

4­6所示的三棱柱ABC.A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是( )图7.4.6A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能B[在三棱柱ABC。

课时跟踪检测 (四十一) 直线、平面平行的判定及其性质 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( ) A ．平行 B ．相交C ．直线b 在平面α内D ．平行或直线b 在平面α内解析：选D 依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．2．(2017·合肥模拟)在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CFFB得AC ∥EF ．又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，所以AC ∥平面DEF ．3．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A ．4．如图，α∥β，△PAB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________．解析：∵α∥β，∴CD ∥AB ， 则PC PA ＝CD AB ，∴AB ＝PA ×CD PC ＝5×12＝52． 答案：525．如图所示，在四面体ABCD 中，点M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．解析：连接AM 并延长，交CD 于点E ，连接BN ，并延长交CD 于点F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，连接MN ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB ．因此，MN ∥平面ABC且MN ∥平面ABD ．答案：平面ABC 、平面ABD二保高考，全练题型做到高考达标1．在空间中，已知直线a ，b ，平面α，则以下三个命题：①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α；②若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α；③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A 对于①，若a ∥b ，b ⊂α，则应有a ∥α或a ⊂α，所以①是假命题；对于②，若a ∥b ，a ∥α，则应有b ∥α或b ⊂α，因此②是假命题；对于③，若a ∥α，b ∥α，则应有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．2．设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内的两条相交直线．则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥l 1且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且n ∥l 2解析：选B 因为m ∥l 1，且n ∥l 2，又l 1与l 2是平面β内的两条相交直线，所以α∥β，而当α∥β时不一定推出m ∥l 1且n ∥l 2，可能异面．所以α∥β的一个充分而不必要条件是B ．3．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④解析：选C 对于图形①，平面MNP 与AB 所在的对角面平行，即可得到AB ∥平面MNP ；对于图形④，AB ∥PN ，即可得到AB ∥平面MNP ；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．4．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD ­A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形； ②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ， ∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ， ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)． ∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V ．∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C ．5．在三棱锥S ­ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H ，且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )A ．452B ．4532C ．45D ．45 3解析：选A 取AC 的中点G ，连接SG ，BG ． 易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ， 故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB ．因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD ．同理SB ∥FE ． 又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形． 又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S＝HF·HD＝12AC·12SB＝452．6．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ．如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③．答案：①或③7．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为________cm2．解析：如图所示，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F为AC与BD的交点，∴E为DD1的中点，∴S△ACE＝12×2×32＝64(cm2)．答案：6 48．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，若BC⊥AC，∠BAC＝π3，AC＝4，M为AA1的中点，点P为BM的中点，Q在线段CA1上，且A1Q＝3QC，则PQ的长度为________．解析：由题意知，AB＝8，过点P作PD∥AB交AA1于点D，连接DQ，则D为AM中点，PD＝12AB＝4．又∵A1QQC＝A1DAD＝3，∴DQ ∥AC ，∠PDQ ＝π3，DQ ＝34AC ＝3，在△PDQ 中，PQ ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13． 答案：139．(2017·长春质检)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PD⊥平面ABCD ，点D 1为棱PD 的中点，过D 1作与平面ABCD 平行的平面与棱PA ，PB ，PC相交于点A 1，B 1，C 1，∠BAD ＝60°．(1)求证：B 1为PB 的中点；(2)已知棱锥的高为3，且AB ＝2，AC ，BD 的交点为O ，连接B 1O ．求三棱锥B 1­ABO 外接球的体积．解：(1)证明：连接B 1D 1．由题意知，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ， 平面PBD ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，则BD ∥B 1D 1， 即B 1D 1为△PBD 的中位线，即B 1为PB 的中点．(2)由(1)可得，OB 1＝32，AO ＝3，BO ＝1，且OA ⊥OB ，OA ⊥OB 1，OB⊥OB 1，即三棱锥B 1­ABO 的外接球为以OA ，OB ，OB 1为长，宽，高的长方体的外接球，则该长方体的体对角线长d ＝12＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝52，即外接球半径R ＝54．则三棱锥B 1­ABO 外接球的体积V ＝43πR 3＝43×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫543＝125π48． 10．如图所示，在正方体ABCD ­A1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，A 1A 的中点．求证：(1)BF ∥HD 1； (2)EG ∥平面BB 1D 1D ； (3)平面BDF ∥平面B 1D 1H ．证明：(1)如图所示，取BB1的中点M ，连接MH ，MC 1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1．又∵MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1．(2)取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ，则OE 綊12DC ，又D 1G 綊12DC ，∴OE 綊D 1G ，∴四边形OEGD 1是平行四边形， ∴GE ∥D 1O ．又GE ⊄平面BB 1D 1D ，D 1O ⊂平面BB 1D 1D ， ∴EG ∥平面BB 1D 1D ． (3)由(1)知BF ∥HD 1，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1，HD 1⊂平面B 1D 1H ，BF ，BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1＝D 1，DB ∩BF ＝B ， ∴平面BDF ∥平面B 1D 1H ．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图所示，设正方体ABCD ­A1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a3，过B 1，D 1，P 的平面交平面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝________．解析：∵平面A1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD＝PQ ，平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥PQ ．又∵B 1D 1∥BD ，∴BD ∥PQ ， 设PQ ∩AB ＝M ， ∵AB ∥CD ， ∴△APM ∽△DPQ ． ∴PQ PM ＝PDAP＝2，即PQ ＝2PM ． 又知△APM ∽△ADB ， ∴PM BD ＝AP AD ＝13， ∴PM ＝13BD ，又BD ＝2a ，∴PQ ＝223a ．答案：223a2．如图，四棱锥P ­ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 为PB 的中点．(1)求证：CE ∥平面PAD ．(2)在线段AB 上是否存在一点F ，使得平面PAD ∥平面CEF ？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．解：(1)证明：取PA 的中点H ，连接EH ，DH ，因为E 为PB 的中点， 所以EH ∥AB ，EH ＝12AB ，又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD ，因此四边形DCEH 是平行四边形， 所以CE ∥DH ，又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ， 因此CE ∥平面PAD ．(2)存在点F 为AB 的中点，使平面PAD ∥平面CEF ， 证明如下：取AB 的中点F ，连接CF ，EF ， 所以AF ＝12AB ，又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD ，又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形， 因此CF ∥AD ，又CF ⊄平面PAD ，所以CF ∥平面PAD ， 由(1)可知CE ∥平面PAD ， 又CE ∩CF ＝C ， 故平面CEF ∥平面PAD ， 故存在AB 的中点F 满足要求．。

课时跟踪检测 (四十二) 直线、平面垂直的判定及其性质一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β．因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A．2．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β，其中正确的命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B ①中，α∥β，且m⊥α，则m⊥β，因为l⊂β，所以m⊥l，所以①正确；②中，α⊥β，且m⊥α，则m∥β或m⊂β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，可能相交，所以②不正确；③中，m⊥l，且m⊥α，l⊂β，则α与β可能平行，可能相交，所以③不正确；④中，m∥l，且m⊥α，则l⊥α，因为l⊂β，所以α⊥β，所以④正确，故选B．3．已知在空间四边形ABCD中，AD⊥BC，AD⊥BD，且△BCD是锐角三角形，则必有( ) A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面BDC解析：选C ∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BDC，又AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDC．4．一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平面的位置关系是________．解析：由线面平行的性质定理知，该面必有一直线与已知直线平行．再根据“两平行线中一条垂直于一平面，另一条也垂直于该平面”得出两个平面垂直相交．答案：垂直相交5．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若a∥α且b∥α，则a∥b；②若a⊥α且a⊥β，则α∥β；③若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；④若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β．上面命题中，所有真命题的序号是________．解析：①中a与b可能相交或异面，故不正确．②垂直于同一直线的两平面平行，正确．③中存在γ，使得γ与α，β都垂直．④中只需直线l⊥α且l⊄β就可以．答案：②③④二保高考，全练题型做到高考达标1．(2017·青岛质检)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是( )A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选C 对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C．2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P­ABC中直角三角形的个数为( )A．4 B．3C．2 D．1解析：选A 由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC．又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC 为直角三角形，故四面体P­ABC中共有4个直角三角形．3．(2017·南昌模拟)设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β( )A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对解析：选D 过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α．故选D．4．(2017·吉林实验中学测试)设a，b，c是空间的三条直线，α，β是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c解析：选B A的逆命题为：当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β．由线面垂直的性质知c⊥β，故A正确；B的逆命题为：当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，显然错误，故B错误；C的逆命题为：当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c．由三垂线逆定理知b⊥c，故C正确；D的逆命题为：当b⊂α，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α．由线面平行判定定理可得c∥α，故D正确．5．(2017·贵阳市监测考试)如图，在三棱锥P­ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：选B A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A能证明AP⊥BC；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C能证明AP⊥BC；由A知D能证明AP⊥BC；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B．6．如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有____________；与AP垂直的直线有________．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC．∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，又∵AP⊂平面PAC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB．答案：AB，BC，AC AB7．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD．而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)8．如图，直三棱柱ABC ­A1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ．要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF ．由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h ． 又2×2＝h ×22＋22，所以h ＝233，DE ＝33． 在Rt△DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66． 由面积相等得66× x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12． 即线段B 1F 的长为12． 答案：129．(2016·贵州省适应性考试)已知长方形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4．现将长方形沿对角线BD 折起，使AC ＝a ，得到一个四面体A ­BCD ，如图所示．(1)试问：在折叠的过程中，直线AB 与CD 能否垂直？若能，求出相应a 的值；若不能，请说明理由．(2)求四面体A ­BCD 体积的最大值．解：(1)直线AB 与CD 能垂直．因为AB ⊥AD ，若AB ⊥CD ，因为AD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面ACD ，又因为AC ⊂平面ACD ， 从而AB ⊥AC ．此时，a ＝BC 2－AB 2＝16－9＝7，即当a ＝7时，有AB ⊥CD ．(2)由于△BCD 面积为定值，所以当点A 到平面BCD 的距离最大，即当平面ABD ⊥平面BCD 时，该四面体的体积最大，此时，过点A 在平面ABD 内作AH ⊥BD ，垂足为H ，则有AH ⊥平面BCD ，AH 就是该四面体的高．在△ABD 中，AH ＝AB ·AD BD ＝125， S △BCD ＝12×3×4＝6，此时V A ­BCD ＝13S △BCD ·AH ＝245，即为该四面体体积的最大值． 10．(2017·河南省八市重点高中质量检测)如图，过底面是矩形的四棱锥F ­ABCD 的顶点F 作EF ∥AB ，使AB ＝2EF ，且平面ABFE ⊥平面ABCD ，若点G 在CD 上且满足DG ＝GC ．求证：(1)FG ∥平面AED ；(2)平面DAF ⊥平面BAF ．证明：(1)因为DG ＝GC ，AB ＝CD ＝2EF ，AB ∥EF ∥CD ，所以EF ∥DG ，EF ＝DG ．所以四边形DEFG 为平行四边形，所以FG ∥ED ．又因为FG ⊄平面AED ，ED ⊂平面AED ，所以FG ∥平面AED ．(2)因为平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE ∩平面ABCD ＝AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以AD ⊥平面BAF ，又AD ⊂平面DAF ，所以平面DAF ⊥平面BAF ．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·兰州市实战考试)α，β是两平面，AB ，CD 是两条线段，已知α∩β＝EF ，AB ⊥α于B ，CD ⊥α于D ，若增加一个条件，就能得出BD ⊥EF ．现有下列条件：①AC ⊥β；②AC 与α，β所成的角相等；③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上；④AC ∥EF ．其中能成为增加条件的序号是________．解析：由题意得，AB ∥CD ，∴A ，B ，C ，D 四点共面，①：∵AC ⊥β，EF ⊂β，∴AC ⊥EF ，又∵AB ⊥α，EF ⊂α，∴AB ⊥EF ，∵AB ∩AC ＝A ，∴EF ⊥平面ABCD ，又∵BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥EF ，故①正确；②不能得到BD ⊥EF ，故②错误；③：由AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上可知平面ABCD ⊥β，又AB ⊥α，AB ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥α．∵平面ABCD ⊥α，平面ABCD ⊥β，α∩β＝EF ，∴EF ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥EF ，故③正确；④：由①知，若BD ⊥EF ，则EF ⊥平面ABCD ，则EF ⊥AC ，故④错误，故填①③．答案：①③2．如图，在四棱锥S ­ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD ．四边形ABCD 为正方形，且点P 为AD 的中点，点Q 为SB 的中点．(1)求证：CD ⊥平面SAD ．(2)求证：PQ ∥平面SCD ．(3)若SA ＝SD ，点M 为BC 的中点，在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为四边形ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD ．又因为平面SAD ⊥平面ABCD ，且平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CD ⊥平面SAD ．(2)证明：如图，取SC 的中点R ，连接QR ，DR ．由题意知：PD ∥BC 且PD ＝12BC ． 在△SBC 中，点Q 为SB 的中点，点R 为SC 的中点，所以QR ∥ BC 且QR ＝12BC ， 所以PD ∥QR ，且PD ＝QR ，所以四边形PDRQ 为平行四边形，所以PQ ∥DR ．又因为PQ ⊄平面SCD ，DR ⊂平面SCD ，所以PQ ∥平面SCD ．(3)存在点N 为SC 的中点，使得平面DMN ⊥平面ABCD ．证明如下：如图，连接PC ，DM 交于点O ，连接DN ，PM ，SP ，NM ，ND ，NO ，因为PD ∥CM ，且PD ＝CM ，所以四边形PMCD 为平行四边形，所以PO ＝CO ．又因为点N 为SC 的中点，所以NO ∥SP ．易知SP ⊥AD ，因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，并且SP ⊥AD ，所以SP ⊥平面ABCD ，所以NO ⊥平面ABCD ．又因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD．。

2018年高考数学一轮复习 第七章 立体几何 课时达标41 直线、平面平行的判定及其性质 理[解密考纲]对直线、平面平行的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面平行的判定与性质常以解答题为主，难度中等．一、选择题1．(2017·广东揭阳模拟)设平面α，β，直线 a ，b ，a ⊂α，b ⊂α，则“a ∥β，b ∥β”是“α∥β”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为“a ∥β，b ∥β”，若a ∥b ，则α与β不一定平行，反之若“α∥β”，则一定“a ∥β，b ∥β”，故选B.2．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( B )A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形解析：由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF 綊15BD ，所以EF ∥平面BCD .又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG 綊12BD ，所以EF ∥HG 且EF ≠HG ，所以四边形EFGH 是梯形．3．设a ，b 表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是( D )A ．若a ⊥α且a ⊥b ，则b ∥αB ．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC ．若a ∥α且a ∥β，则α∥βD ．若γ∥α且γ∥β，则α∥β 解析：对于A 选项，若a ⊥α且a ⊥b ，则b ∥α或b ⊂α，故A 选项不正确；对于B 选项，若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β或α与β相交，故B 选项不正确；对于C 选项，若a ∥α且a ∥β，则α∥β或α与β相交，故C 选项不正确．排除A ，B ，C 三个选项，故选D.4．下面四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是( A)A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④解析：由线面平行的判定定理知图①②可得出AB ∥平面MNP .5．已知a ，b 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的是( C )A ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则 a ∥bB ．若a ∥b ，a ⊂α，b ⊂β，则α∥βC ．若a ∥b ，α∩β＝a ，则b ∥α或b ∥βD ．若直线a 与b 异面，a ⊂α，b ⊂β，则α∥β解析：对于A ，a 与b 还可能相交或异面，此时a 与b 不平行，故A 不正确；对于B ，α与β可能相交，此时设α∩β＝m ，则a ∥m ，b ∥m ，故B 不正确；对于D ，α与β可能相交，如图所示，故D 不正确，故选C ．6．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：① ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α；② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥βn ⊥β⇒m ∥n ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥β⇒α∥β；④ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂βα∥β⇒m ∥n .其中所有正确命题的序号是( B )A ．③④B ．②③C ．①②D ．①②③④解析：①不正确，n 可能在α内．②正确，垂直于同一平面的两直线平行．③正确，垂直于同一直线的两平面平行．④不正确，m ，n 可能为异面直线．故选B.二、填空题7．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF解析：因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ，又E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得EF ＝12AC ， 又在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝22，所以EF ＝ 2.8．(2017·北京模拟)设α，β，γ是三个不同平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且①，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是③(把所有正确的题号填上)．解析：①可以，由a ∥γ得a 与γ没有公共点，由b ⊂β，α∩β＝a ，b ⊂γ知，a ，b 在面β内，且没有公共点，故平行．②a ∥γ，b ∥β不可以．举出反例如下：使β∥γ，b ⊂γ，a ⊂β，则此时能有a ∥γ，b ∥β，但不一定a ∥b .这些条件无法确定两直线的位置关系．③b ∥β，a ⊂γ，可以，由b ∥β，α∩β＝a 知，a ，b 无公共点，再由a ⊂γ，b ⊂γ，可得两直线平行．9．在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点，点M 在线段PC 上，PM ＝tPC ，PA ∥平面MQB ，则实数t ＝13. 解析：连AC 交BQ 于N ，交BD 于O ，连接MN ，如图，则O 为BD 的中点．又∵BQ 为△ABD 边AD 上中线，∴N 为正三角形的中心．令菱形ABCD 的边长为a ，则AN ＝33a ，AC ＝3a . ∵PA ∥平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面MQB ＝MN ，∴PA ∥MN ，∴PM ∶PC ＝AN ∶AC ， 即PM ＝13PC ，t ＝13. 三、解答题10．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PCA ，△PAB 的重心．求证：平面 A ′ B ′ C ′∥平面 ABC ．证明：连接PA ′，PC ′并延长，分别交BC ，AB 于M ，N .∵A ′，C ′分别是△PBC ，△PAB 的重心，∴M ，N 分别是BC ，AB 的中点．连接MN ，由PA ′PM ＝PC ′PN ＝23知A ′C ′∥MN ，∵MN ⊂平面ABC ， ∴A ′C ′∥平面ABC ．同理，A ′B ′∥平面ABC ，而A ′C ′和A ′B ′是平面A ′B ′C ′内的相交直线，∴平面A ′B ′C ′∥平面ABC ．11．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．解析：当点F 为棱C 1D 1中点时，可使B 1F ∥平面A 1BE ，证明如下：分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接EG ，BG ，CD 1，FG ，因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1为平行四边形，因此D 1C ∥A 1B ，又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B ，这说明A 1，B ，G ，E 共面，所以BG ⊂平面A 1BE .因为四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1都为正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG ＝C 1C ＝B 1B ，因此四边形B 1BGF 为平行四边形，所以B 1F ∥BG ，而B 1F ⊄平面A 1BE ，BG ⊂平面A 1BE ，故B 1F ∥平面A 1BE .12．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，Q 是CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点且A 1F ∥平面D 1AQ ，求A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切值的取值范围．解析：设平面AD1Q 与直线BC 交于点G ，连接AG ，QG ，则G 为BC的中点．分别取B 1B ，B 1C 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MN ，A 1N ，如图所示．∵A 1M ∥D 1Q ，A 1M ⊄平面D 1AQ ，D 1Q ⊂平面D 1AQ ，∴A 1M ∥平面D 1AQ .同理可得MN ∥平面D 1AQ .∵A 1M ，MN 是平面A 1MN 内的两条相交直线，A 1M ∩MN ＝M ，∴平面A 1MN ∥平面D 1AQ .由此结合A1F ∥平面D 1AQ ，可得直线A 1F ⊂平面A 1MN ，即点F 是线段MN 上的动点．设直线A 1F 与平面BCC 1B 1所成角为θ，移动点F 并加以观察，可得当点F 与M (或N )重合时，A 1F 与平面BCC 1B 1所成角等于∠A 1MB 1，此时所成角θ达到最小值，满足tan θ＝A 1B 1B 1M＝2；当点F 与MN 的中点重合时，A 1F 平面BCC 1B 1所成角达到最大值，满足tan θ＝A 1B 122B 1M＝2 2.∴A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切值的取值范围为[2,22]．。

2018年高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第41讲 直线、平面平行的判定及其性质实战演练 理1．(2015·安徽卷)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( D )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面解析：若α，β垂直于同一个平面γ，则α，β可以都过γ的同一条垂线，即α，β可以相交，故A 错；若m ，n 平行于同一个平面，则m 与n 可能平行，也可能相交，还可能异面，故B 错；若α，β不平行，则α，β相交，设α∩β＝l ，在α内存在直线a ，使a ∥l ，则α∥β，故C 错；从原命题 的逆否命题进行判断，若m 与n 垂直于同一个平面，由线面垂直的性质定理知m ∥n ，故D 正确．2．(2015·北京卷)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β”是“α∥β”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：结合平面与平面平行的判定与性质进行判断．当m ∥β时，过m 的平面α与β可能平行也可能相交，因而m ∥β⇒/ α∥β，当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m ⊂α，所以m ∥β.综上知，“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．3．(2016·全国卷Ⅲ)如图，四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求四面体N ­BCM 的体积．解析：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN AM ，故四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .(2)因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12PA ． 取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N ­BCM 的体积V N －BCM ＝13S △BCM ·PA 2＝453. 4．(2016·四川卷)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .解析：(1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：连接CM .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ， 所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB .又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ，所以CM ∥平面PAB .(2)证明：连接BM ，由已知得，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD .从而PA ⊥BD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD .所以四边形BCDM 是平行四边形．所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB . 又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB .又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .。