高一数学-苏教版高一数学三角函数的周期性2 精品

理解三角函数的周期性问题的提出：等式sin(2π)sin ()x k x k +=∈Z ，及cos(2π)cos ()x k x k +=∈Z 成立，sin y x x =∈R ，和cos y x x =∈R ，的图象每隔2π重复．函数周期性定义：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．1． 理解定义时，要抓住定义域内任一个x 都满足()()f x T f x +=成立才行 如：πππsin sin 424⎛⎫+= ⎪⎝⎭，5ππ5πsin sin 424⎛⎫+= ⎪⎝⎭，但πππsin sin 626⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭， π2∴不是sin y x =的周期． 周期并不惟一，若T 是()y f x =的周期，那么2T 也是()y f x =的周期． 这是因为(2)[()]()()f T x f T T x f T x f x +=++=+=；若T 是()y f x =的周期，k ∈Z 且0k ≠，则kT 也是()f x 的周期． 2π是函数sin y x =和cos y x =的周期，那么2π(0)k k k ∈≠Z 且也是sin y x =和cos y x =的周期．2． 最小正周期的概念如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．例如：函数sin y x =的周期2π2π4π4π--，，，，…中，存在最小正数2π，那么2π就是sin y x =的最小正周期．函数cos y x =的最小正周期也是2π． 例1 求下列函数的最小正周期T ．（1）()3sin f x x =；（2）()sin 2f x x =；（3）1π()2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 解：（1）()3sin 3sin(2π)(2π)f x x x f x ==+=+，最小正周期2πT =．（2）()sin 2sin(22π)sin 2(π)(π)f x x x x f x ==+=+=+，最小正周期πT =；（3）1π1π()2sin 2sin 2π2424f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1π2sin (4π)(4π)24x f x ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦， 最小正周期4πT =．总结一般规律：sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最小正周期是2πω；tan()y A x ωϕ=+的最小正周期是πω．例2 求证：1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2π． 证明：1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2π4π12=，根据函数的图象特征，可知函数的周期减半，故其周期为2π．注：遇到求形式较复杂的函数的周期时要结合函数图象处理．。

课题：三角函数的周期性教学目标：1 •使学生理解函数周期性的概念。

2 •使学生掌握简单三角函数的周期的求法.3 •培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力。

教学重点：函数周期性的概念.教学难点：周期函数与最小正周期的意义。

课时安排：一课时授课类型：新授课教学过程与设计：一、问题情境：1、引入：通过前面三角函数线的学习，我们知道每当角增加或减少2k.时，所得角的终边与原来角的终边相同，因而两角的正弦函数值也相同，正弦函数的这种性质叫周期性.不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，这就是今天研究的课题：函数的周期性.2、问题：那么如何用数学语言来刻画函数的周期性呢？二、建构数学(一)、周期函数定义1、我们先看函数周期性的定义.定义对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，f (x・T)二f (x)都成立，那么就把函数f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期•2、需要注意的几点：①T是非零常数。

②任意x • D，都有x D , T = 0，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件。

③任取D，就是取遍D中的每一个x，可见周期性是函数在定义域上的整体性质。

理解定义时，要抓住每一个x都满足f (x +T) = f (x),成立才行周期也可推进，若T是y=f(x)的周期，那么2T也是y=f(x)的周期•这是因为f (2T x) = f[T (T x)] = f (t x) = f (x)，若T 是y 二f (x)的周期，k Z 且k = 0, 则kT也是f(x)的周期.即2是函数y =sin x和y = cos x的周期，那么2k二(k ：=Z且k =0)也是y =sin x和y = cosx 的周期.3：： 3 二如: sin(4/sin(4),sin q ?)"(?,J[ TE JI JI 、但sin( )=sin , 不是y = sinx的周期.6 2 6 2(二)、最小正周期的概念.对于一个函数f(x),如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.例如函数y = Sin X的周期中，2n , —2n , 4 n , — 4 n ,…，存在最小正数2 n ,那么，2 n就是y = sin x的最小正周期.函数y =COSX的最小正周期也是2n，今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期，不是每个周期函数都有最小正周期.例1 •求下列函数的最小正周期T.(1) f (x) = 3sin x(2) f (x) = sin 2x(3) f (x)二2sin(— x )2 4解：(1) f (x)二3sin x 二 3sin( x 2二)=f (x 2二) T = 2二(2)f(x) =sin2x =sin(2x 2~ ) = sin2(x：〔愿)=f(x：〔愿)•••函数的最小正周期为n .1 笄 1 仃 1 -TT(3)f(x) =2si n( x ) =2si n( x 2二)=2s in [—(x4二) ] = f(x 4二)2 4 2 4 2 4•函数的最小正周期为 4 n .2冗总结一般规律：y=Asin(^x + ®), y = Acos(tjx的最小正周期是G I令z z：x，「，由y r Asinz,z・R的周期是2-，i,z 2 ―贝H z 亠 2 二 _ ■，x J' j 亠 2 二 _ - x 亠1 00丿2 气2"~[因而自变量x只要并且至少要增加到x •，即T =co co例2 .求证：(1) y = cos2x sin 2x的周期为n ；(2) y =| sinx | | cosx |的周期为一.2证明：(1) f (x 亠‘)=cos2(x 亠■) sin 2(x 亠‘)=cos(2 ‘ 亠2x) - sin(2 ‘ 亠2x)=cos2x sin 2x = f (x) . y = cos2x sin 2x的周期是二(2) f (x ' ) =|si n(x ' )| 亠|cos(x ' )=|cosx|、|—s in x|=|s in x | 亠| cosx |= f (x)2 2 2JT• y sin x| • | cosx | 的周期是？.总结：(1) 一般函数周期的定义(2) y = Asin(，x ), y 二Acos(，x )周期求法课堂教学设计说明函数周期性概念的教学是本节课的重点•概念教学是中学数学教学的一项重要内容，不能因其易而轻视. 也不能因其难而回避. 概念教学应面向全体学生，但由于函数的周期的概念比较抽象，所以学生对它的认识不可能一下子就十分深刻•因此，进行概念教学时，除了逐字逐句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入布置作业：练习2,习题1.3 1。

三角函数的周期性【学习目标】1．了解周期函数，函数的周期、最小正周期。

2．掌握形如＝Ainω＋φ，＝Acoω＋φA≠0的函数周期计算方法T＝错误!。

3．会用函数的周期性解决简单实际问题。

【学习重点】周期函数定义的理解与运用【学习过程】知识梳理1．周期函数的概念一般地，对于函数f，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个值，都满足f＋T＝f，那么函数f就叫做________________，非零常数T叫做这个函数的________。

2．最小正周期的概念对于一个周期函数f，如果在它所有的周期中存在一个________________，那么这个________________就叫做f的最小正周期。

3．＝Ainω＋φ，＝Acoω＋φ的周期一般地，函数＝Ainω＋φ及＝Acoω＋φ其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0的周期T ＝______。

【达标检测】一、填空题1．函数＝3in2＋错误!的最小正周期是________。

2．函数f＝co错误!的最小正周期为错误!，其中ω错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误! 0的周期为T＝错误!。

参考答案知识梳理1．周期函数周期2．最小的正数最小的正数3．错误!达标检测1．π2．－10解析本小题考查三角函数的周期公式。

T＝错误!＝错误!⇒|ω|＝10∵ω0，∴≥2π，正整数的最小值是7．7．4π解析＝2in错误!－co错误!＋7＝2co错误!－co错误!＋7＝co错误!＋7，∴T＝错误!＝4π。

8．6解析由已知T＝错误!，∴10，∴错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!π>0，∴f错误!π＝in错误!π＝in错误!＝错误!，即f－错误!＝错误!。

13．解fn＝in错误!＝in2π＋错误!＝in错误!，fn＋6＝in错误!，∴fn＝fn＋6。

即6是fn的一个周期。

又f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）＝in错误!＋in错误!π＋in π＋in错误!π＋in错误!π＋in 2π＝0，且2 011＝6×335＋1，∴f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f2 011＝[f（1）＋f（2）＋…＋f2 010]＋f2 011＝f2 011＝f（1）＝in错误!＝错误!。