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4.2 提取公因式法教案【教学内容分析】“提取公因式法”是因式分解的最基本、最常用的方法.它的理论依据是逆用分配律，因此，学生接受起来并不难，但因题目各有其特点，形式变化多，所以需要学生具有观察、分析能力和应变能力，这就需要在教学中加以指导、训练.例题讲授及练习题的匹配都要由浅入深，形式多样化.利用这个方法，首先对要分解的多项式进行考察，发现特点及多项式各项之间的内在联系，适当变形.（可利用计算机辅助教学手段，增大教学的容量和教学质量，改变传统的言传身教的方式.）【教学目标】认知目标：⑴在具体情境中认识公因式⑵通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式能力目标：⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想.⑵树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力.情感目标：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性.【教学重点、难点】1．教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则.2．教学难点∶正确地找出公因式【教学方法】理论与实例相结合（采用设问式、启发式）【教学工具】应用投影仪（计算机）【教学过程】㈠创设情境，提出问题如图，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7 m,如何计算这块菜园的面积呢？3.8列式：3.7×3.8+3.7×6.2(学生思考后列式)3.7 有简便算法吗?=3.7×(3.8+6.2)=3.7×10=37(m2)在这一过程中,把3.7换成m,3.8换成a,6.2换成b,于是有:ma＋mb =m(a＋b)利用整式乘法验证: m(a＋b)=ma＋mb可能有学生会提出把两个小的长方形补成一个大的长方形,那就更好,或其他的方法，教师都应该及时肯定学生思维中的闪光点.（使学生初步意识到因式分解可以使运算简便,同时起到使知识进行迁移化归.）【以问题引入能引起学生的学习兴趣，符合学生的认知规律.本课时用“复习引入”亦是一种好办法，即先复习分配律，同时可让学生说出整式乘法与因式分解的联系与区别，以便复习上一节的内容，然后让学生观察引出新内容.】㈡观察分析，探究新知让学生观察多项式：ma+mb（让学生说出其特点：都有m，含有两种运算乘法、加法；然后教师规范其特点，从而引出新知.）各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式.【把主动权交给学生，尽量让他们自己说，也可尝试让他们取名，使他们体验到成功的喜悦.】注意：公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式.又如：b是多项式ab-b2各项的公因式2xy是多项式4x2y-6xy2z各项的公因式让学生说出公因式，学生可能会说是2或者是x 、y、2x、2y、2xy等，最后一起确定公因式2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法.㈢独立练习，巩固新知。
提公因式法（2）学习目标：1、进一步孰悉找公因式.2、进一步巩固提公因式法分解因式.学习过程：一、快乐自学（自信使人成功）根据学习目标，自学教材P8“说一说”- P10内容，并完成下列问题：1、提公因式法分解因式的关键是: 确定公因式. 确定多项式公因式的步骤是: ①公因式的系数取各项系数的____公约数；②字母(或式子)取各项____的字母(或式子),而且各字母(或式子)的指数取最__的；③先定系数再定字母和指数. 另还需注意: 首项符号和等号变形及整体项是公因式的等.2、由例5和例6可归纳以下恒等变形, 经常在提取公因式时用到: ① a+b=b+a ② a-b=-(b-a) ③ ()2a b -=()2b a - ④ ()()33a b b a --=- 即当n 为偶数时 ()n b a -=_________; 当n 为奇数时()n b a -=________3、下面各组多项式有公因式吗？如果有怎样分解因式呢？① a (x-2)+b (2-x) ② a ()2a b -+b ()2b a - ③ a ()3a b --b ()3b a -4、⑴22()()x x y a y x ---的公因式是________________⑵把多项式(a+b-c) (a-b+c)-(b+c-a) (c-a-b)分解因式⑶、已知x,y 都是正整数，且x (x-y)- y(y-x)=12,求x 和y二 、合作探究（团结就是力量）三、拓展延伸（勇攀知识高峰）1、725-125能被120整除吗?2、解方程：2x(3x -1)+( 2x -2 )(1-3x )=28四、达标训练（迅达成功彼岸）（一）、必做题：1、在下列各横线上填上“+”或“-”,使等式成立. (1)____()y x x y -=-;(2)22()____()x y y x -=-; (3)33()_____()x y y x -=-.2、把下列各式因分解:(1) 6()4()q p q p p q +-+； (2) 24()()6()a a b a b a a b +--+；(3) 223()2()a x y a y x ---； (4) ()()()a x a b a x c x a -----；(5) 2()(1)x y x xy y +---； (6) 324(1)2(1)q p p -+-。
2、下面各组多项式有公因式吗？如果有怎样分解因式呢？斗笠山镇中心学校八年级科导学案备课日期3 2①a(x-2)+b(2-x) ②6(m-n)-12(n-m)课题提公因式法二课型新授课小主人姓名班级学习目标1、进一步掌握公因式为多项式的因式分解；3、把下列各式分解因式：2 、利用类比、转化思想，掌握公因式不明显而需要转化才能找到公因式的因式分解。
2(－a－b)（1）2a(y－z)－3b(y－z) (2)5c(a＋b)－10c学习重点：能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行因式分解。
学习难点：确定各项的公因式以及各项的符号。
学习流程四、综合提升已知a 2 b c ,求代数式a(a b c) b(a b c) c(b a c) 的值。
一、课前反馈21、多项式-12x y＋18xy－15y 的公因式是。
2、把下列多项式因式分解：五、课堂小结提公因式法分解因式的步骤是什么？要注意什么？2＋y (2)-6m 3n2－4m2n3＋10m2n2（1）3xy －5y 六、当堂反馈：1、把下列各式分解因式：（1）a（x－3）+2b（3－x）（2) 2 ( )( )(a c)(a b) a c ba2二、新知探究阅读课本P8——P11的内容，思考下列问题：1、在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：（1）2–a= （a–2）（2）y–x= （x–y）(3) 6（m－n）3－12（n－m）(4)232 2a x y a y x（3）b+a= （a+b）（4）（b–a）3 3（5）（x－y）= （y－x）2= （a–b）23b2(a＋b2)－36a2b3(a＋b2) 的公因式是。
2、多项式24an n n n3、当n为___时, ( y x) (x y) ;当n 为___时, (y x) (x y) 。
(填“奇数”或“偶数”).2（5）2(y–x）2（n–m）2＋3(x–y）（6）12mn(m–n）–6mn4、自学P9—P10。
湘教版数学七年级下册《3.2提取公因式法（2）》教学设计一. 教材分析湘教版数学七年级下册《3.2提取公因式法（2）》这一节，是在学生已经掌握了提取公因式法的基础上进行进一步的深入学习。
本节内容主要让学生进一步掌握提取公因式法分解因式的技巧，提高学生的因式分解能力。
教材通过具体的例子，引导学生发现和总结提取公因式法的运用规律，让学生在实践中掌握提取公因式法。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了提取公因式法的基本概念和运用方法，对因式分解有一定的理解。
但部分学生在运用提取公因式法时，容易出错，对一些特殊情况提取公因式法不熟练。
因此，在教学过程中，要注意引导学生发现和总结提取公因式法的运用规律，并通过大量的练习，提高学生运用提取公因式法的能力。
三. 教学目标1.让学生掌握提取公因式法分解因式的技巧。
2.提高学生的因式分解能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.提取公因式法分解因式的技巧。
2.对一些特殊情况提取公因式法的运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生发现和总结提取公因式法的运用规律。
2.使用案例教学法，通过具体的例子，让学生在实践中掌握提取公因式法。
3.运用分组合作法，让学生在小组讨论中，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。
4.采用巩固练习法，让学生在大量的练习中，提高运用提取公因式法的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.制作课件，用于辅助教学。
3.准备黑板，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个简单的例子，引出提取公因式法，激发学生的学习兴趣。
示例：分解因式：x^2 - 4解：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)提问：如何将x^2 - 4分解成两个一次因式的乘积？2.呈现（10分钟）呈现几个提取公因式法的例子，让学生观察和分析，引导学生发现和总结提取公因式法的运用规律。
示例：分解因式：a^2 - ab解：a^2 - ab = a(a - b)提问：如何将a^2 - ab分解成两个一次因式的乘积？3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试运用提取公因式法分解因式，并互相交流心得。
《提公因式法》教案2教学目标一、知识与技能让学生了解多项式公因式的意义；初步学会用提公因式法分解因式．二、过程与方法通过找公因式，培养学生的观察能力和类比推理能力．三、情感态度和价值观在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识．教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来．教学难点：让学生识别多项式的公因式教学方法：启发引导，观察讨论课前准备：多媒体课件课时安排：2课时教学过程：一、导入新课 一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为34，23，47，宽都是21，求这块场地的面积． 解法一：S=21×34+21×23+21×47=83+43+87=2 解法二：S=21×34+21×23+21×47=21（34+23+47）=21×4=2 从两种不同的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些．这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法．二、新课学习1、公因式与提公因式法分解因式的概念．若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma＋mb＋mc，或m（a＋b＋c），可以用等号来连接．从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？由于m是左边多项式ma＋mb＋mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式．由上式可知，把多项式ma＋mb＋mc写成m与（a＋b＋c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma＋mb＋mc的一个因式，把m从多项式ma＋mb＋mc各项中提出后形成的多项式（a＋b＋c），作为多项式ma＋mb＋mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．归纳：①把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式②如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．这种因式分解的方法叫做提公因式法．2、例题讲解．例1、将下列各式分解因式：（1）3x+6；（2）7x2-21x；（3）8a3b2-12ab3c+abc；（4）-24x3-12x2+28x．分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来．学生自主完成，解题过程：解：（1）3x +x3=x⋅3+x⋅x2 =x(3+x2)；（2）7x3-21x2=7x2⋅x-7x2⋅3=7x2(x-3)（3）8a3b2-12ab3c+ab=ab⋅8a2b-ab⋅12b2c+ab⋅1=ab(8a2b-12b2c+1)；(4)- 24x3+12x2-28x=-(24x3-12x2+28x)=-(4x⋅6x2-4x⋅3x+4x⋅7)=-4x(6x2-3x+7)根据以上的做题过程。
提公因式法【教学目标】1、知识与技能：⑴在具体情境中认识公因式⑵通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式2、过程与方法：⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。
⑵树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力。
3、情感、态度与价值观：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。
【教学重点、难点】1．教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。
⒉．教学难点∶正确地找出公因式【教学过程】㈠预学如图8－1，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是,6.2m,宽都是 3.7 m,如何计算这块菜园的面积呢？3.8×× (学生思考后列式)有简便算法吗?×10=37(m2在这一过程中,把换成m,换成换成b,于是有:ma＋mb =m(a＋b)利用整式乘法验证: m(a＋b)=ma＋mb㈡探究让学生观察多项式：ma+mb（让学生说出其特点：都有m，含有两种运算乘法、加法；然后教师规X其特点，从而引出新知。
）各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式。
注意：公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式。
又如：b是多项式ab-b2各项的公因式2xy是多项式4x2y-6xy2z各项的公因式让学生说出公因式，学生可能会说是2或者是 x 、 y、2x、2y、2xy等，最后一起确定公因式2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法。
㈢精导指出下列各多项式中各项的公因式（以抢答的形式）⑴ax+ay-a （a）⑵5x2y3-10x2y （5x2y）⑶24abc-9a2b2 （3ab）⑷m2n+mn2 （mn）⑸x(x-y)2-y(x-y) (x-y)说明:本活动也可以改为寻找公因式游戏如:(根据提供的多项式和整式,寻找出这个多项式的公因式.)⑴ax+ay-a ⑵5x2y3-10x2y ⑶24abc-9a2b2 ⑷m2n+mn2 ⑸x(x-y)2-y(x-y)a, x, y 5xy,5x2y3,5x2y 3abc,9ab,3ab mn,m2n,mn2 x(x-y),y(x-y),(x-y)游戏规则:准备好写有整式和多项式的纸牌,学生分为四组,每组选四个同学游戏,其中3个同学举一组题中的整式牌,第四个根据组员建议寻找出题中的公因式,并说明理由。
提公因式法
一、教材分析：
（一）教材所处的地位
学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。
它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。
本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用
（二）根据课程标准，本课的教学目标是：
A：知识目标：
1、经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体（整式乘法与因式分解）联系.
2、了解因式分解的意义，会用提公因式法进行因式分解.
B：能力目标：
经历探索多项式各项公因式的过程,并在具体问题中,能确定多项式各项的公因式;会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况);进一步了解分解因式的意义,加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法C：情感目标：培养学生独立思考的习惯，同时又要培养大家合作交流意识。
二、本课内容及重点、难点分析：
根据《标准》的要求，本章教材介绍了最基本的分解因式的方法：提公因式法和应用公式法．每一节课的引入，立足渗透类比这种重要的思想方法．通过如类比因数分解的意义导入因式分解的意义等．另外本章的设计多以问题串的形式创设问题情境，如观察多项式x2- 25和9x2- y2，它们有什么共同特征？能否将它们分别写成两个因式的乘积？与同伴交流你的想法等，让学生经历观察、发现、类比、归纳、总结、反思的过程，感受整式乘法与因式分解之间的互逆变形关系，发展学生有条理的思考及语言表达能力
3、教学重点、难点
根据八年级学生的认知规律和知识基础，结合本节课的内容以及新课程标准确定本节课的重点为：
（1）学生能确定多项式中各项的公因式；
（2）学生能用提公因式法把多项式分解因式。
难点为：正确找出多项式中各项的公因式及提公因式后另一个因式的确定。
二、学情分析
学情是教师确定教学重点，难点，选择教学方法和手段的依据，本节课学情主要有：
1、学生已经学习了整式乘法及因式分解的意义，有了初步的逆变形思维具备一定的分析、判断和运用法则的意义，对乘法的分配律也得到了进一步的理解。
2、八年级学生好奇心强，对新内容感兴趣，但学习急于求成，同时主动性和目地性不够明确，学习方法还比较欠缺，特别是符号问题，这对学生学习本节课内容带来一定的难度，因此，在教学中教师要对他们进行学法指导，尤其要对他们进行数学学习方法和数学思想的培养。
三、教学方法分析
根据本节课内容，遵循学生认知规律和心理特点，为了突出重点，突破难点，培养学生的创新能力，我采用演示、讨论、观察、比较、概括等多种方法交叉教学，利用多媒体辅助教学，呈现知识的形成过程，充分调动多种感官参与教学，激发学生学习的兴趣，使数学教学成为学生“探索、发现、再发现、创造”的过程。
四、学法分析
教学的矛盾主要是解决学生的学，“学”是中心，“会”是目的。
因此，在教学过程中，我通过创设问题的情境，以激发学生“乐学”；启发诱导，以指导学生“会学”；变式训练，以引导学生“活学”；引导学生反思自己的分析过程，以指导学生“善学”。
使学生通过观察、比较、分析、概括等一系列思维训练，不断提高学习数学的探究意识和创新能力。
五、教学过程
本节课的教学过程由五个环节组成：
（一）创设情境，导入新课；
（二）师生合作，探究新知；
（三）反馈练习，巩固新知；
（四）引导小结，巩固提高；
（五）布置作业，形成技能。
教学过程设计：
一、复习提问
乘法对加法的分配律．
二、新课
1．新课引入：用类比的方法引入课题．
在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把12分解成3×4，把6分解成2×3。
在第七章我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法．
2．因式分解的概念：
1．分析讨论，探究新知．出示投影片
把下列多项式写成整式的乘积的形式
（1）x2
（2）x2-1
（3）
[生]根据整式乘法和逆向思维原理，可以做如下计算：
（1）x2（1）
（2）x2-1=（1）（1）
（3）（）
[师]像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向思维．再观察上面的第（1）题和第（3）题，你能发现什么特点． [生]我发现（1）中各项都有一个公共的因式x，（2）中各项都有一个公共因式m，是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式呢？[师]你分析得合情合理．因为（）．
于是就把分解成两个因式乘积的形式，•其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是除以m所得的商，•像这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2．例题教学，运用新知．
出示投影片：
[例1]把8a3b2-123c分解因式．
[例2]把2a（）-3（）分解因式．
[例1]分析：先找出8a3b2与123c的公因式，再提出公因式．•我们看这两项的系数8与12，它们的最大公约数是4，两项的字母部分a3b2与3c都含有字母a 和b．其中a的最低次数是1，b的最低次数是2．我们选定42为要提出的公因式．提出公因式42后，•另一个因式2a2+3就不再有公因式了．
解：8a3b2+12242·2a2+42·342（2a2+3）．
总结：提取公因式后，要满足另一个因式不再有公因式才行．可以概括为一句话：括号里面分到“底”，这里的底是不能再分解为止．
[例2]分析：（）是这两个式子的公因式，可以直接提出．这就是说，公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时应整体考虑直接提出．解：2a（）-3（）=（）（23）．
诊断：(1)小明解的有误吗？把12x2182分解因式
解: 原式 =3(4x + 6y)
正确解：原式=6(23y)
注意：公因式要提尽。
（2）小亮解的有误吗？把3x2 - 6分解因式
解：原式 (36y)
正确解：原式=361 (361)
注意：某项提出莫漏1。
(3)小华解的有误吗？把 - x2分解因式
解：原式= - x()
正确解：原式= - (x2) x()
注意：首项有负常提负。
这类题常常有些学生犯下面的错误，3x2-6(36y)，这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因．还应提醒学生注意：提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样，这样可以检查是否漏项．
课堂练习：（投影）把下列各式分解因式：
(2)129x2y2 (1)8 m22
(3)p( )- q( a ) (4) 3y32y2
(三)小结
1、什么叫因式分解？
2、确定公因式的方法：
(1)定系数 (2)定字母 (3)定指数
3、提公因式法分解因式步骤(分两步)：
第一步，找出公因式；第二步，提取公因式.
4、提公因式法分解因式应注意的问题：（1）公因式要提尽；
（2）小心漏掉1;（3）提出负号时,要注意变号.。
