黑龙江大庆铁人中学2011届高三上学期期中考试(数学理)

大庆铁人中学2010-2011学年度高三年级上学期期末考试数 学（文） 试 题 2011.1时间：120分钟 总分：150分 命题人：王海峰一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）1．设集合},23{Z x x x M ∈<<-=,},31{Z y y y N ∈≤≤-=,则=⋂N M （ ） A. Φ B. }1,0,1{- C. [)2,1- D. {}1,02. 复数i Z +=31，i Z -=12，则21Z Z Z ⋅=的复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．函数[]ππ,0),62sin(3∈+-=x x y 的单调递减区间为( )A ．]65,3[ππ B ．],65[]3,0[πππ⋃ C ．]1211,6[ππ D ．]1211,3[ππ4．若数列{}n a 是等差数列，且4813a a =，则2a 等于（ ） A ．42aB ．4aC ．0D ．812a 5．圆422=+y x 截直线0323=-+y x 所得的弦长为（ ）A ．2B ．1C ．3D ．326．已知01a <<，则函数|||log |x a y a x =-的零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．在以下关于向量的命题中，不正确．．．的是（ ） A ．若向量a =(x ，y )，向量b =(－y ，x )(x 、y ≠0)，则a ⊥b B ．若220,a b +=则a b ==C ．若向量a 和向量b 都是单位向量且a ∥b ，则a ＝bD ．△ABC 中，和CA 的夹角等于π－A8. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是( )A B C D9．设函数12210()0x x f x xx -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，若0()1f x >， 则0x 的取值范围是( )(A)()1,1- (B)()1,-+∞ (C)()(),20,-∞-⋃+∞ (D) ()(),11,-∞-⋃+∞10. 直三棱柱111C B A ABC -的各顶点都在同一球面上．若1AA AC AB ==＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于（ ）A.π20B.π10C.π320D.π210 11．函数)(x f 在定义域R 内可导，若()(2),f x f x =-且(1)'()0x f x ->，若),3(),21(),0(f c f b f a ===则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>12. 已知函数)(x f 的定义域是[)+∞-,2且1)2()4(=-=f f 。

大庆铁人中学2016届高三上学期期中数学试卷（理）第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合{}01832<--=x x x A ，Z 为整数集，则集合Z A ⋂中所有元素的和为（ ） A ．12 B ．15 C ．18 D ．21 2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的函数是 ( )A ．y=sin xB ．y=cos xC ．y=ln xD ． 3．sin20°cos10°－cos160°sin170°=（ ） A ． B ．C ．－12D ．124．若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x ，则y x z 23+=的最小值为 ( )A ．531 B. 6 C. 523 D. 4 5．已知△ABC 和点M 满足MB →＋MC →＝－MA →，若存在实数m 使得mAB →＋mAC →＝AM →成立，则m 等于( )A ．12B ．2C ．13D ．36．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( ) A ．4 B ．8 C ．9 D ．18 7．将函数()cos2f x x =的图象向左平移3π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x ( ) A ．一个对称中心是(－π3，0) B ．一条对称轴方程为x ＝3πC ．在区间[－π3，0]上单调递减D ．在区间[0，π3]上单调递增8．函数的图象大致为( ) 21y x =+32-32()2sin 1xf x x =+9．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若5041008S S ＝110，则10082016SS = ( ) A ．126B ．182 C ． 25 D ．1072910．设α、β都是锐角，且cos α＝13，sin(α＋β)＝45，则cos β等于( )A ．82315-B ．82315+C ．82315-或82315+ D ．以上都不对 11．已知向量a ，b 满足|a |=2|b |≠0，且关于x 的函数f(x)=2x 3－3| a |x 2+6 a •b x +5在实数集R 上有极值，则向量a ，b 的夹角的取值范围是（ ） A ．(π3，π)B ．(π3，π]C ．[π3，π]D ．(0， π3)12．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -.例如，当()()()()31212,sin x x x x x A x B ϕϕϕϕ==∈∈时，，.现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“(),,b R a D f a b ∀∈∃∈=”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()()()(),f x A g x B f x g x B ∈∈+∉，则 ④若函数()()()2ln 22,1xf x a x x a R x =++>-∈+有最大值，则()f x B ∈. 其中的真命题为 ( )A ．①③B ．②③C ．①②④D ．①③④第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________。

大庆铁人中学高三学年上学期期中考试理科数学试题试题说明：1.本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。

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第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）第四象限第三象限第二象限第一象限复平面内位于的共轭复数对应的点在复数....)(12.1D C B A iiz +-={}{}()),1.[),3.[)1,0.(),3[)0,.()(,13|,03|.22+∞+∞+∞⋃-∞=⋂>=<-=D C B A B A C x B x x x A R R x 则，集合已知全集为实数集6)62sin(2)(..012,,012,.21,0.)(.32222ππ=+=<<<--∈∀⌝>--∈∃≥+≠x x x f D b a bc ac C x x R x p x x R x p B xx x A 线图像的一条对称轴是直函数”的充要条件”是““”：“则命题”：“若命题则若下列说法正确的是)()10(||||log )(.4图像的大致形状是函数<<=a x x x x f a.A .B .C.D103.101.101.103.)(,)52(),4,2(),,1(),1,2(.5D C B A m c b a c m b a --=⊥-===则实数且已知向量95.94.92.91.)()4(cos ,34cos sin .62D C B A =-=-απαα则已知ee D C ee B A e e e ee3223log log .33.log 3log .3.)(718.2.7><><≈--πππππππ为自然对数的底数，则为圆周率，已知8.1,0,3(1)8,3()1513.8.6..22x y y x x x y A B C D ><-=+-已知且则的最小值是(){}{}{}{}9.()2(),-11()||.()()log (0,1)4().4,5.4,6.5.6a f x f x f x x f x x y f x g x x a a a A B C D +=≤≤===>≠函数满足且当时，若函数图像与函数且的图像有且仅有个交点，则的取值集合为[]3121210.()31,3,2,|()()|,().20.18.3.0f x x x x x f x f x t t A B C D =----≤函数若对于区间上的任意都有则实数的最小值是{}263412310''231020911.64,32,()1(),()()211.10.(21).2.5532n a a a a a f x a x a x a x a x f x f A B C D ===++++=--各项均为正数的等比数列满足若函数的导函数为则12.,3ln(23)ln(235),()12141816 (5577)x y x y x y x y x y A B C D -≤+-+-++=已知实数满足则第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题（每小题5分，共20分）313.cos(),,tan __________.2322πππααα⎛⎫+=∈= ⎪⎝⎭已知则 14.,60||2,||1,|2|__________.a b a b a b ==+=已知向量的夹角为，则._________,10501,.15的取值范围是则满足线性约束条件已知实数x y y y x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-- {}*16.221(),__________.n n n n n a n a n N a =-+∈=已知数列的前项和S 则其通项公式三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（本小题满分10分）[].3,0)()2(,)1(,01039))1(,1(,31)(3上的最值的单调区间以及在区间函数的值；实数求处的切线方程为在点已知函数x f b a y x f M b ax x x f =-++-=18．（本小题满分12分）,,,,,3,sin (1);(2).ABC A B C a b c a b B A A ABC ∆==+=∆在锐角中，角的对边分别为已知求角的大小求的面积19. （本小题满分12分）12()4sin()cos 3(1)()(2)()()0,,.2f x x x f x g x f x m x x m ππ=-+⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦已知函数求函数的最小正周期和单调递增区间；若函数在，上有两个不同的零点求实数的取值范围20. （本小题满分12分）{}{}.2)2(;)1(.065,242项和的前求数列的通项公式求的根是方程是递增的等差数列，已知n a a x x a a a n n n n ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+-21．（本小题满分12分）{}{}{}{}{}.,14)2()1(.,122,411,1,2*11n n n nn n n n n n n n n T n c c n a c a b N n a b a a a b a 项和的前求数列设的通项公式；列是等差数列，并求出数求证：数列其中满足已知数列+++=∈-=-==22.(本小题满分12分）.)()()3(,,,),1()()1,0()()2()()()(1)1(.,,)(,)(22的最大值恒成立，求若的值；求切于点与曲线处的切线在点若曲线的单调区间；时，求函数当已知函数b a x g x f c b a c x g y l x f y x g x f x F a R b a b ax x x g x x e x f x +≥==-==∈++=-+=大庆铁人中学高三学年上学期期中考试数学试题答案二、填空题131415、12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦16、12nn-⋅三、解答题17.解：因为在点处的切线方程为，所以切线斜率是，且，求得，即点，又函数，则，所以依题意得，解得；由知，所以，令，解得或当或；当，所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，又，x．223,sin 3sin ,7sin sin sin .3(2)796cos ,1231cos 0,12,sin 2ABC BB A B A A ABC A a c c c c c B B ABC c S bc A ππ==+==∆∴===+-⋅∴====<∴=∴==18.解：(1)在三角形又为锐角三角形，根据余弦定理得或当时，故为钝角，与三角形为锐角三角形矛盾，19.解：函数． 化简可得：函数的最小正周期，由时单调递增， 解得：函数的单调递增区间为 ：，， ．函数 所在 匀上有两个不同的零点 ， ，转化为函数 与函数 有两个交点，令，，可得 的图象 如图 ．从图可知：m 在 ，函数 与函数 有两个交点，其横坐标分别为 ， 故得实数m 的取值范围是20.解： 方程 的根为2， 又 是递增的等差数列， 故 ， ，可得 ，， 故， 设数列的前n 项和为 ，，，得，解得．21.证明：，数列是公差为2的等差数列，又，，，解得解：由Ⅰ可得，，数列的前n项和为：，．22（理）解：（Ⅰ），则.令得，所以在上单调递增.令得，所以在上单调递减.（Ⅱ）因为，所以，所以的方程为.依题意，，.于是与抛物线切于点，由得.所以-（Ⅲ）设,则恒成立.易得（1）当时，因为，所以此时在上单调递增.①若，则当时满足条件，此时；②若，取且此时，所以不恒成立．不满足条件；（2）当时，令，得由，得；由，得所以在上单调递减，在上单调递增.要使得“恒成立”，必须有“当时，”成立.所以.则令则令，得由，得；由，得所以在上单调递增，在上单调递减,所以，当时，从而，当时，的最大值为.-22（文）解：（Ⅰ），得由f'（x）＞0，得0＜x＜ef（x）的递增区间是（0，e），递减区间是（e，+∞）…（4分）（Ⅱ）对一切x（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，可化为对一切x（0，+∞）恒成立令，当x（0，1）时h'（x）＜0，即h（x）在（0，1）递减当x（1，+∞）时h'（x）＞0，即h（x）在（1，+∞）递增h（x）min=h（1）=4，m≤4，即实数m的取值范围是（-∞，4]…（8分）（Ⅲ）证明：等价于，即证由（Ⅰ）知，（当x=e时取等号）令，则，易知φ（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增（当x=1时取等号）f（x）＜φ（x）对一切x（0，+∞）都成立则对一切x（0，+∞），都有成立．…（12分）。

大庆铁人中学第一学期高三期中考试试题数 学（理科）考试时间 120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若全集U =Ｒ，集合A =｛2|430x x x ++>｝，B =｛3|log (2)1x x -≤｝，则()()U UC A C B =A ．｛x |1-<x 或2>x ｝B ．｛x |1-<x 或2≥x ｝C ．｛x |1-≤x 或2>x ｝D ．｛x |1-≤x 或2≥x ｝ 2.已知 4cos 5α=-,且(,)2παπ∈,则tan()4πα-等于 A ．17- B ．7- C ．71 D ．73.设a ＞1,且m =log a (a 2+1)，n =log a (a -1)，p =log a (2a )，则m ,n ,p 的大小关系为A. n ＞m ＞pB. m ＞p ＞nC. m ＞n ＞pD. p ＞m ＞n4．定义在R 上的偶函数f （x ）在[)∞+,0上递增，0)31(=f ，则满足)(log 81x f ＞0的x的取值范围是A ．()∞+,0B ．()∞+⎪⎭⎫⎝⎛,221,0 C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2181,0 D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 5.已知{}n a 为等差数列，若9843=++a a a ，则9S = A.24B. 27C. 15D. 546．实数x 满足3log 1sin x θ=+，则|1||9|x x -+-的值为 A ．8 B ．-8 C ．0 D ．10 7.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4),AB =(1,3),AC BD ==则A.(2,4）B.(3,5）C.(—3,—5）D.(—2,—4）8.定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数sin ()cos x f x x -=向左平移m 个单位(0)m >，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是A .6π B .3π C .56π D .23π9.若1()1(1)f x f x +=+，当[0x ∈，1]时，()f x x =，若在区间(1-,1] 内()()g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是 A .[0，1)2 B .1[2，)+∞ C .[0，1)3 D .(0，1]210.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且3100(12)S x dx =+⎰，2017S =，则30S 为A ．15B ．20C ．25D ．3011.设函数122log (0)()()()log ()(0)xx f x f m f m x x >⎧⎪=<-⎨⎪-<⎩,若， 则实数m 的取值范围是A ．(1,0)(1,0)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)-+∞D ．(,1)(0,1)-∞-12.设函数()f x 在R 上满足(2)(2),f x f x -=+(7)(7)f x f x -=+ 且在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0f f ==，则方程()0f x =在 闭区间[—2005，2005]上的根的个数为A ．802B ．803C ．804D ．805第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测的刹车后t 秒内列车前进的距离为2270.45S t t =-米，则列车刹车后 秒车停下来，期间列车前进了 米．14．已知y x y x 222log log )(log +=+,则y x +的取值范围是15.如图，在△ABC 中， =31NC , P 是BN 上的一点，若AP =m AB +112AC ，则实数m 的值为___________.16. 等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项的积为n T ，并且满足1200920101,10,a a a >-> 20092010(1)(1)0,a a --<给出下列结论 ①01q <<； ②200920111a a < ； ③2010T 是n T 中最大的；④使得n T >1成立的最大的自然数n 是4018. 其中正确结论的序号为 . 三、解答题:本大题共6小题，满分70分. 17. (本小题满分10分)已知不等式a x x 2|4||3|2<-+-． （Ⅰ）若1=a ，求不等式的解集；（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围． 18.（本小题满分12分）已知正项数列}{n a 为等比数列,256,151==a a ;n S 为等差数列}{n b 的前n 项和，,21=b 8525S S =.(1)求}{n a 和}{n b 的通项公式； (2)设n T n n b a b a b a ++=2211,求n T . 19. (本小题满分12分)已知向量(sin m x =u r ,1)-,向量n x =r ,1)2-,函数.()()f x m n m =+u r r u r .(Ⅰ)求()f x 的最小正周期T ；(Ⅱ)已知a ,b ,c 分别为ABC D 内角A ,B ,C 的对边,A 为锐角,a =4c =,且()f A 恰是()f x 在[0，]2p上的最大值，求A ,b 和ABC D 的面积S . 20．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x.(1)若f (x )在区间[1,＋∞)上是增函数,求实数a 的取值范围； (2)若x ＝－13是f (x )的极值点,求f (x )在[1,a ]上的最大值；(3)在(2)的条件下,是否存在实数b ,使得函数g (x )＝bx 的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由． 21．（本小题满分12分）已知向量 a =（cos α,sin α）,b =（cos β，sin β），|b a -(1)求cos （α－β）的值； (2)若０＜α＜2π，－2π＜β＜０,且sin β＝－513，求sin α的值．22.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝a x－x ln a ，其中a ∈(1，e ]．(1)讨论f (x )的单调性；(2)对∀x 1，x 2∈[－1,1]，求|f (x 1)－f (x 2)|的最大值.参考答案一、选择题：DDBBB ACADA CC 二、填空题：13.30;405 14.[4,+∞）； 15.11316. ①②④ 三、解答题:本大题共6小题，满分70分. 17.解：（Ⅰ）2|4||3|2<-+-x x ， ① 若4≥x ，则2103<-x ，4<x ，∴舍去． ② 若43<<x ，则22<-x ，43<<∴x ． ③ 若3≤x ，则2310<-x ，338≤<∴x ．综上，不等式的解集为}438|{<<x x ． ……………5分 （Ⅱ）设|4||3|2)(-+-=x x x f ，则⎪⎩⎪⎨⎧≤-<<-≥-=3,31043,24,103)(x x x x x x x f ，1)(≥∴x f12>∴a ，21>a ．…………………………10 18. 解 1)设}{n a 的公比为q ,由451a a q =,得 4.q =所以14.n n a -=设}{n b 的公差为d ，由8525S S =得3223231=⨯==a d , 所以()113 1.n b b n d n =-=- （2）n T ()1124548431n n -=⨯+⨯+⨯+- ①()244245431n n T n =⨯+⨯++- ②②-①得：()()()2132344...44312324.n n n n T n n -=--++++-=+-⋅所以224.33n n T n ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭ 19.解:（1）21()()sin 1cos 2f x m n m x x x =+⋅=++ …2分1cos 211222x x -=+++12cos 222x x =-+ sin(2)26x π=-+…………5分因为2ω=，所以22T ππ==…………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知：()sin(2)26f A A π=-+[0,]2x π∈时,52666x πππ-≤-≤由正弦函数图象可知,当262x ππ-=时()f x 取得最大值3所以262A ππ-=,3A π=…………8分由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-∴211216242b b =+-⨯⨯∴2b =………10分从而11sin 24sin 6022S bc A ==⨯⨯= 12分 20.解: (1)f′(x)＝3x 2－2ax －3.∵f(x)在[1，＋∞)是增函数，∴f′(x)在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0，即3x 2－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立，则必有a3≤1且f′(1)＝－2a≥0.∴a≤0. ………4分(2)依题意，f′(－13)＝0，即13＋23a －3＝0.∴a ＝4，∴f(x)＝x 3－4x 2－3x.令f′(x)＝3x 2－8x －3＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.则当x 变化时，f′(x)与f(x)变化情况如下表∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)＝－6. ………8分(3)函数g(x)＝bx 的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x 3－4x 2－3x ＝bx 恰有3个不等实根．∴x3－4x2－3x －bx ＝0， ∴x ＝0是其中一个根，∴方程x 2－4x －3－b ＝0有两个非零不等实根．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16＋4(3＋b)＞0－3－b≠0∴b ＞－7且b≠－3.∴存在满足条件的b 值，b 的取值范围是b>－7且b≠－3.…12分21. 解：（Ⅰ） ()()cos sin cos sin a b ααββ==，，，，()cos cos sin sin a b αβαβ∴-=--，． -------------1分5a b -= ，5=． -------2分即 ()422cos 5αβ--=． ()3cos 5αβ∴-=．--------5分 （Ⅱ）∵0,022ππαβ<<-<<， ∴0.αβπ<-<-----6分∵ ()3cos 5αβ-=，∴ ()4sin .5αβ-= ------8分 ∵ 5sin 13β=-，∴ 12cos .13β=----------9分 ∴()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-⎡⎤⎣⎦412353351351365⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭． -----------------12分 22. 解:(1)∵f (x )＝a x－x ln a∴f ′(x )＝a xln a －ln a a ∈(1，e ] 由f ′(x )>0可得x >0 由f ′(x )＝0可得x ＝0 由f ′(x )<0可得x <0∴f (x )在(－∞,0)上单调递减,在(0,＋∞)上单调递增．----4分 (2)由(1)知f (x )在[－1,0]单调递减，在[0,1]在单调递增 ∴当x ＝0时f (x )取得最小值f (x )min ＝f (0)＝1f (x )的最大值为f (1)与f (－1)中的较大值． ----6分又f (1)＝a －ln a ，f (－1)＝1a＋ln af (1)－f (－1)＝a －1a－2ln a设g (a )＝a －1a－2ln a ，a ∈[1，e ]∵g ′(a )＝1＋1a 2－2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12>0∴g (a )在[1，e ]上单调递增． 又g (1)＝0，∴g (a )>0，a ∈(1，e ] ∴f (1)－f (－1)>0，∴f (1)>f (－1)∴在[－1,1]上，f (x )的最大值为f (1)＝a －ln a . ----9分 ∴对∀x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤f (1)－f (0) 又f (1)－f (0)＝a －ln a －1即对∀x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤a －ln a －1. 设h (a )＝a －ln a －1，a ∈[1，e ]则h ′(a )＝1－1a>0，∴h (a )在(1，e ]上单调递增，∴h (a )max ＝h (e )＝e －2， ∴a －ln a －1≤e －2，综上所述，对∀x 1，x 2∈[－1,1], |f (x 1)－f (x 2)| max ＝e －2--12分。

黑龙江省大庆铁人中学2009届高三上学期期中检测英语试卷时间：120 分钟满分：150 分第Ⅰ卷第一部分：听力测试（共两节，满分30分；每小题1.5分）第一节（共5小题）听下面5段对话，每段对话后有一小题，从题中所给的A 、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试题的相应位置，听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What did the man do?A. Checked on something.B. Stopped at a traffic light.C. Got some money.2. Who was at the door?A. A delivery boy.B. A postman.C. A neighbour’s daughter.3. Where does the conversation most probably take place?A. At a bookstore.B. At an art gallery.C. In a department store.4. What does the woman think about George?A. He spends too much money on a TV.B. He actually likes television.C. He seldom watches television.5. What will the woman probably do?A. Wash clothes.B. Do her homework.C. Enjoy the beautiful day.第二节（共15小题）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后都有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

2014-2015学年黑龙江省大庆市铁人中学高三（上）期中数学试卷（理科）一.选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A={x|y=}，B={y|y=2x，x＞1}，则A∩B为（）A．[0，3]B．（2，3]C．[3，+∞）D．[1，3]2．（5分）命题“∃x∈R，2x+x2≤1”的否定是（）A．∀x∈R，2x+x2＞1，假命题B．∀x∈R，2x+x2＞1，真命题C．∃x∈R，2x+x2＞1，假命题D．∃x∈R，2x+x2＞1，真命题3．（5分）已知△ABC中，tanA=﹣，那么cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣4．（5分）若奇函数f（x）（x∈R）满足f（3）=1，f（x+3）=f（x）+f（3），则等于（）A．0 B．1 C．D．5．（5分）已知函数f（x）=sin（2x﹣），若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x+3a）恒成立，则a=（）A．B．C．D．6．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0相切，则p的值为（）A．B．1 C．2 D．47．（5分）圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）2=2或（x+1）2+（y﹣1）2=28．（5分）设O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，若=﹣4则点A的坐标是（）A．（2，±2）B．（1，±2）C．（1，2） D．（2，2）9．（5分）函数y=log a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，则m+n的最小值为（）A．2+B．2 C．1 D．410．（5分）若满足条件AB=，C=的三角形有两个，则边长BC的取值范围是（）A．（1，2） B．（，）C．（，2）D．（，2）11．（5分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1}D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}12．（5分）已知点P是椭圆+=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且•=0，则||的取值范围是（）A．[0，3） B．（0，2）C．[2，3）D．[0，4]二.填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设不等式组所表示的平面区域为S，若A、B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为．14．（5分）已知||=||=2，（+2）•（﹣）=﹣2，则与的夹角为．15．（5分）两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为．16．（5分）函数f（x）=xe x﹣a有两个零点，则实数a的取值范围是．三.解答题（共70分）17．（10分）已知函数f（x）=2sinxcos（x+）﹣cos2x+m．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，函数f（x）的最小值为﹣3，求实数m的值．18．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．19．（12分）各项均为正数的数列{a n}，满足a1=1，a﹣a=2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（﹣2，0），且长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．21．（12分）设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且=2，⊥．（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是曲线C上的点，且||，||，||成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求B点坐标．22．（12分）已知f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．（1）若a=﹣1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（2）当a=﹣1，b=﹣1时，证明函数f（x）只有一个零点；（3）f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，AB中点为C（x0，0），求证：f'（x0）＜0．2014-2015学年黑龙江省大庆市铁人中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A={x|y=}，B={y|y=2x，x＞1}，则A∩B为（）A．[0，3]B．（2，3]C．[3，+∞）D．[1，3]【解答】解：由题意得，要使函数有意义，需3x﹣x2≥0，解得0≤x≤3，所以集合A=[0，3]，由y=2x，x＞1得，y＞2，则结合B=（2，+∞），所以=（2，3]，故选：B．2．（5分）命题“∃x∈R，2x+x2≤1”的否定是（）A．∀x∈R，2x+x2＞1，假命题B．∀x∈R，2x+x2＞1，真命题C．∃x∈R，2x+x2＞1，假命题D．∃x∈R，2x+x2＞1，真命题【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，2x+x2≤1”的否定是：∀x∈R，2x+x2＞1，当x=0时，不等式不成立，所以是假命题．故选：A．3．（5分）已知△ABC中，tanA=﹣，那么cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵在△ABC中，tanA=﹣，∴cosA=﹣=﹣．故选：C．4．（5分）若奇函数f（x）（x∈R）满足f（3）=1，f（x+3）=f（x）+f（3），则等于（）A．0 B．1 C．D．【解答】解：∵f（x+3）=f（x）+f（3），令x=﹣，则f（﹣+3）=f（﹣）+f（3），即f（）=f（﹣）+f（3），∴f（）=故选：C．5．（5分）已知函数f（x）=sin（2x﹣），若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x+3a）恒成立，则a=（）A．B．C．D．【解答】解：f（x+a）=sin（2x+2a﹣）f（x+3a）=sin（2x+6a﹣）因为f（x+a）=f（x+3a），且a∈（0，π）所以2x+2a﹣+2π=2x+6a﹣∴a=即存在a=使得f（x+a）=f（x+3a）恒成立．故选：D．6．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0相切，则p的值为（）A．B．1 C．2 D．4【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为，因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，所以故选：C．7．（5分）圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）2=2或（x+1）2+（y﹣1）2=2【解答】解：画出圆A满足题中的条件，有两个位置，当圆心A在第一象限时，过A作AC⊥x轴，又|OB|=2，根据垂径定理得到点C为弦OB的中点，则|OC|=1，由点A在直线y=x上，得到圆心A的坐标为（1，1），且半径|OA|=，则圆A的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；当圆心A′在第三象限时，过A′作A′C′⊥x轴，又|OB′|=2，根据垂径定理得到点C′为弦OB′的中点，则|OC′|=1，由点A′在直线y=x上，得到圆心A′的坐标为（﹣1，﹣1），且半径|OA′|=，则圆A′的标准方程为：（x+1）2+（y+1）2=2，综上，满足题意的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2．故选：C．8．（5分）设O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，若=﹣4则点A的坐标是（）A．（2，±2）B．（1，±2）C．（1，2） D．（2，2）【解答】解：F（1，0）设A（，y0）则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由•=﹣4∴y0=±2，∴A（1，±2）故选：B．9．（5分）函数y=log a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，则m+n的最小值为（）A．2+B．2 C．1 D．4【解答】解：当x=1时，y=log a1+1=1，∴函数y=log a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（1，1），∵点A在直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，∴．∴m+n===1，当且仅当m=n=时取等号．故选：C．10．（5分）若满足条件AB=，C=的三角形有两个，则边长BC的取值范围是（）A．（1，2） B．（，）C．（，2）D．（，2）【解答】解：∵C=，AB=，设BC=a，∴由正弦定理得：，即，解得：sinA=，由题意得：当A∈（，）时，满足条件的△ABC有两个，所以＜＜1，解得：＜a＜2，则BC的取值范围是（，2）．故选：C．11．（5分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1}D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}【解答】解：令g（x）=e x•f（x）﹣e x，则g′（x）=e x•[f（x）+f′（x）﹣1]∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=e x•f（x）﹣e x在R上为增函数又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=e x•f（x）﹣e x＞1的解集为{x|x＞0}即不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为{x|x＞0}故选：A．12．（5分）已知点P是椭圆+=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且•=0，则||的取值范围是（）A．[0，3） B．（0，2）C．[2，3）D．[0，4]【解答】解：延长PF2，与F1M 交与点G，则PM是∠F1PG 的角平分线．由•=0可得F1M垂直PM，可得三角形PF1G为等腰三角形，故M为F1G的中点，由于O为F1F2的中点，则OM为三角形F1F2G的中位线，故OM=F2G．由于PF1=PG，所以F2G=PF1﹣PF2，∴OM=|PF1﹣PF2|=|2a﹣2PF2|．问题转化为求PF2的最值．而PF2的最小值为a﹣c，PF2的最大值为a+c，即PF2的值域为[a﹣c，a+c]．故当PF2=a+c，或PF2=a﹣c时，|OM|取得最大值为|2a﹣2PF2|=|2a﹣2（a﹣c）|=c===2；当PF2 =a时，P在y轴上，此时，G与PF2重合，M与O重合，|OM|取得最小值为0，∴|OM|的取值范围是（0，），故选：B．二.填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设不等式组所表示的平面区域为S，若A、B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象可知当A位于（0，3），B位于（2，0）时，|AB|的长度最大为|AB|=，故答案为：14．（5分）已知||=||=2，（+2）•（﹣）=﹣2，则与的夹角为．【解答】解：∵||=||=2，∴||2=||2=4∵（+2）•（﹣）=﹣2展开得：||2+•﹣2||2=4cosθ﹣4=﹣2，即cosθ=又∵0≤θ≤π故θ=故答案为：15．（5分）两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为3：1．【解答】解：设这两个等差数列的前n项和分别为S n，T n，由题意知===3，故答案为：3：116．（5分）函数f（x）=xe x﹣a有两个零点，则实数a的取值范围是＜a＜0．【解答】解：∵函数f（x）=xe x﹣a的导函数f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）=0，则x=﹣1∵当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；故当x=﹣1时，函数取最小值f（﹣1）=﹣e﹣1﹣a若函数f（x）=xe x﹣a有两个零点，则f（﹣1）=﹣e﹣1﹣a＜0即a＞又∵a≥0时，x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）=xe x﹣a＜0恒成立，不存在零点故a＜0综上，＜a＜0故答案为：＜a＜0三.解答题（共70分）17．（10分）已知函数f（x）=2sinxcos（x+）﹣cos2x+m．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，函数f（x）的最小值为﹣3，求实数m的值．【解答】解：（I）∵f（x）=2sinx===（3分）==sin（2x﹣）+m﹣．（5分）∴f（x）的最小正周期（6分）（Ⅱ）当，有（8分）∴．（10分）得到f（x）的最小值为m．（11分）由已知，有m=﹣3则m=（12分）18．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，所以A=；=bcsinA=，所以bc=4，（2）S△ABCa=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．19．（12分）各项均为正数的数列{a n}，满足a1=1，a﹣a=2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【解答】解：（1）因为a﹣a=2，所以数列{a}是首项为1，公差为2的等差数列．所以a=1+2（n﹣1）=2n﹣1．因为a n＞0，所以a n=．（2）由（1）知，a n=，所以．所以，S n=++…+①则S n=+…+，②①﹣②得，S n=++…+﹣=+2（+…+）﹣=．所以S n=3﹣．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（﹣2，0），且长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为．由题意解得a2=16，b2=12．所以椭圆C的方程为（Ⅱ）设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故﹣4≤x≤4．因为，所以=．因为当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x=4m时，取得最小值．而x∈[﹣4，4]，故有4m≥4，解得m≥1．又点M在椭圆的长轴上，即﹣4≤m≤4．故实数m的取值范围是m∈[1，4]．21．（12分）设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且=2，⊥．（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是曲线C上的点，且||，||，||成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求B点坐标．【解答】解：（1）设N（x，y），则由=2，得P为MN的中点，所以M（﹣x，0），P（0，）又⊥，∴•=0∴y2=4x（x≠0）；（2）由（1）知F（1，0）为曲线C的焦点，由抛物线定义知抛物线上任一点P0（x0，y0）到F的距离等于其到准线的距离，即|P0F|=x0+故||=x1+，||=x2+，||=x3+，又||，||，||成等差数列∴x1+x3=2x2，∵直线AD的斜率k AD=∴AD的中垂线方程为y=﹣（x﹣3）又AD的中点（，）在直线上，代入上式，得=1，∴x2=1故所求点B的坐标为（1，±2）．22．（12分）已知f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．（1）若a=﹣1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（2）当a=﹣1，b=﹣1时，证明函数f（x）只有一个零点；（3）f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，AB中点为C（x0，0），求证：f'（x0）＜0．【解答】（1）解：依题意：f（x）=lnx+x2﹣bx．∵f（x）在（0，+∞）上递增，∴f′（x）=+2x﹣b≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即b对x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤（+2x）min．∵x＞0，∴，当且仅当x=时取“=”，∴b，∴b的取值范围为（﹣]；（2）证明：当a=﹣1，b=﹣1时，f（x）=lnx+x2+x，其定义域是（0，+∞），f′（x）=+2x+1=，则f（x）在x＞0上递增，又f（）=﹣1＜0，f（1）=2＞0∴函数f（x）只有一个零点；（3）证明：由已知得则，两式相减，得ln=a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]由f′（x）=﹣2ax﹣b，及2x0=x1+x2，得f′（x0）=﹣2ax0﹣b=﹣[a（x1+x2）+b]=﹣ln=[﹣ln]=[﹣ln]令t=，h（t）=﹣lnt（0＜t＜1），由于h′（t ）=﹣＜0，则h （t ）在（0，1）递减，则h （t ）＞h （1）=0，由于x 1＜x 2，则f′（x 0）＜0．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式xOxOlog 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。

数学本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、导数，数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、数列，圆锥曲线等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 【题文】一.选择题（每小题5分，共60分）【题文】1.设集合A ＝{x |y ＝3x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x，x >1}，则A ∩B 为( )A ．[0,3]B ．(2,3]C ．[3，＋∞) D．[1,3] 【知识点】集合及其运算A1 【答案】B【解析】A ＝{x |0≤x 3≤},B={y |y >2}则A ∩B=(2,3] 【思路点拨】先分别求出A ，B 再求交集。

【题文】2.命题“∃x ∈R,2x ＋x 2≤1”的否定是( )A ．∀x ∈R,2x ＋x 2>1，假命题 B ．∀x ∈R,2x ＋x 2>1，真命题 C ．∃x ∈R,2x ＋x 2>1，假命题 D ．∃x ∈R,2x ＋x 2>1，真命题【知识点】命题及其关系A2 【答案】A【解析】∵原命的否定为∀x ∈R ，2x +x 2＞1，∴取x=0，则20+02=1，故它是假命题.【思路点拨】易得其否定为∀x ∈R ，2x +x 2＞1，直接推断其真假有困难，这不防反过来思考，是否所有的∀x ∈R ，都满足2x+x 2＞1，如取x=0则不满足. 【题文】3. 已知△ABC 中，tanA ＝－512，则cosA ＝( )A.1213 B.513 C ．－513 D ．－1213【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案】D【题文】4. 若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－12【知识点】函数的奇偶性B4 【答案】C【题文】5. 已知函数f (x )＝sin(2x －4)，若存在α∈(0，π)使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α等于( )A.π6 B.π3 C.π4 D.π2【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】D【题文】6.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.12 D.14【知识点】抛物线及其几何性质H7【答案】A【解析】整理圆方程得（x-3）2+y 2=16∴圆心坐标为（3，0），半径r=4 ∵圆与抛物线的准线相切∴圆心到抛物线准线的距离为半径切推断圆心到抛物线的准线的距离为半径，进而求得P ．【题文】7.圆心在直线y ＝x 上，经过原点，且在x 轴上截得弦长为2的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝或(x ＋1)2＋(y －1)2＝2【知识点】直线与圆H4【答案】C【解析】由于圆心在y=x上，所以可设圆的方程为（x-a）2+（y-a）2=r2，将y=0代入得：x2-2ax+2a2=r2∴x1+x2=a，x1•x2=2a2-r2，∴弦长=|x1-x2代入可得：7a2-4r2+4=0 ①再将点（0，0）代入方程（x-a）2+（y-a）2=r2，得2a2=r2=0…②，联立①②即可解出a=1、r2=2，或a=-1，r2=2(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2【思路点拨】根据直线与圆的位置关系根与系数的关系求出方程。

大庆铁人中学2013－2014学年度上学期高三期中考试数学试题(理科) 2013.11考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共计60分，每个选项中，只有一个是正确的）1、已知集合}06{},21{2<--=≤-∈=x x x B x N x A ，那么=⋂B A （ ）A ]3,1[-B )3,1[-C }2,1,0,1{-D }2,1,0{ 2、下列函数中，即是偶函数又在区间),0(+∞上单调递减的是（ ）A xy 1=B x e y -=C x y lg =D 12+-=x y 3、设函数,ln 1)(xx x f =则)(x f 的递增区间为( ) A )1,(e -∞ B )1,0(e C )1,1(eD ),(+∞e4、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5、在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若,sin 5sin 3,2B A a c b ==+，则角=C （ ）A 3π B 32π C 43π D 65π6、已知,1log log 22≤+ba 则ba 21+的最小值为（ ）A 22 B22C 2D 217、已知命题R x p ∈∃0:使得23cos sin 00=+x x ；命题+∈∀R x q :,都有2212>+x x，则下列结论正确的是（ ）A q p ∧为真B q p ∨为假C q p ∧⌝)(为真D p ⌝为真 8、为得到函数)32cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ）A 向左平移125π个长度单位 B 向右平移125π个长度单位 C 向左平移65π个长度单位 D 向右平移65π个长度单位9、如图，设D 是图中边长分别为21和的矩形区域，E 是D 内位于函数)0(1>=x xy 图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为（ ）Oyx12A 2lnB 2ln 1-C 2ln 2-D 2ln 1+10、设对任意实数]1,1[-∈x ，不等式032<-+a ax x 总成立，则实数a 的取值范围是（ ） A 0>a B 120-<>a a 或 C 21>a D 41>a 11、如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长度为d ，则函数)(l f d =的图象大致是（ ）12、已知函数x x x f ln )(2=若关于x 的方程1)(-=kx x f 有实数解，求实数k 的取值范围是（ ）A ),1[]1,(+∞⋃--∞B ),2[]2,(+∞⋃--∞C ),1[]2,(+∞⋃--∞D ),2[]1,(+∞⋃--∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13、若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-0070x y x x y 则y x +2的最大值为__________14、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，xe x xf +=)(，则)6(l n f 的值为_______ 15、求函数x x y cos 1sin 1+=在)2,0(π∈x 上的值域是_________ 16、关于函数,2sin cos )(x x x f =下列说法中正确的是_________① )(x f y =的图象关于)0,(π中心对称；② )(x f y =的图象关于直线2π=x 对称③ )(x f y =的最大值是23； ④ )(x f 即是奇函数，又是周期函数三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，18-22每题各12分，共70分）17、已知)2sin()2cos()(tan )23cos()23sin()(2απαπαπαππαα+-----=f（1）化简)(αf（2）若αsin 是方程06752=--x x 的根，且α是第三象限的角， )(αf 求的值18、在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知C B A cos 5sin ,32cos == （1）求C tan 的值 （2）,2=a 若求ABC ∆的面积。

大庆铁人中学2015级高三·上学期期中考试数学(理)试题答题时长（分钟）：120 分值：150第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）(1)已知集合A ={x |x 2-2x -3≤0}，B ={x |4x ≥2}，则A ∪B =（ ）A.]3,21[B.)3,21[ C. )3,(-∞ D. ),1[+∞- 2. 已知复数i z 2321+-=，则=+||z z A .i 2321-- B . i 2321+- C .i 2321+ Di 2321- 3. 已知向量)1,2(),2,1(),1,3(=-=-=c b a ，若),,(R y x c y b x a ∈+=则=+y x （ ）2.A 1.B 0.C 21.D4.已知函数f (x )＝322--x x ，则该函数的单调递增区间为 ( )A. (－∞，1]B. [3，＋∞)C. (－∞，－1]D. [1，＋∞) 5.已知)3sin(2)(πω-=x x f ，则“∀x ∈R ，f （x +π）=f （x ）”是“ω=2”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件6.若{}n a 是等差数列，0103>+a a ，011<S ，则在11321,,,S S S S ΛΛ中最小的是（ ） A .4S B .5S C . 6S D . 9S7.已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( ) A.45 B ．－45 C.35 D ．－358.P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝3ln x ＋x ＋k (k ∈R)上的一点，曲线在点P 0处的切线方程 为4x －y －1＝0，则实数k 的值为( )A ．2B ．－2C ．－1D ．－49.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各 个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A. 10B. 12C. 14D. 1610.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在(]0,∞-上是增函数设()7log 4f a =，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3log 21f b ，()6.02.0f c =，则c b a ,,的大小关系是( )A.．a b c << B ．a c b << C.．c a b << D.．c b a <<11. 已知△ABC 中，||10,16,BC AB AC D =⋅=-u u u r u u u r u u u r 为边BC 的中点，则||AD u u u r等于A. 6B. 5C. 4D. 312.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<--+=10,23,01,311)(2x x x x x x g ,若方程g (x )－mx －m ＝0有且仅有两个不等的实根，则实数m 的取值范围是( )A ．)2,0[]2,49(Y --B ．]2,0[]2,411(Y -- C ． ]2,0[]2,49(Y -- D ．)2,0[]2,411(Y --第(II)卷 (非选择题，共90分)二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）． 13．函数()2()log 6f x x =-的定义域是________．14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,111+==+n n S a a ，则=n a ________．15.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，设点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得,2=则=•_________________．16.已知函数)(x f 的导函数为)('x f ，若函数)(x f 满足xxx f x xf ln )()('=+ ， 且ee f 1)(=，则不等式:e x e f x f ->+-+)1()1(的解集为__________________三．解答题（本大题共6小题，第17题10分,其余每题12分，解题写出详细必要的解答过程） 17.(本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*∈+=N n n n S n (,22）（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式. （Ⅱ）设11+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.(本小题满分12分） 设函数)2sin()6sin()(πωπω-+-=x x x f ，其中0＜ω＜3，已知0)6(=πf .（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数)(x f y =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数)(x g y =的图象，求)(x g 在]43,4[ππ-上的最小值． 19.(本小题满分12分）已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n （n ∈N +），{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2+b 3=12，b 3=a 4-2a 1，S 11=11b 4．（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{a 2n b 2n -1}的前n 项和n T （n ∈N +）． 20.(本小题满分12分）已知向量2,1),(sin ,cos 1)m x n x x ==-u r r ，函数1()2f x m n =⋅+u r r ，（Ⅰ）若()0,,43x f x π⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，求cos2x 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别是,,a b c ，且满足2cos 2b A c ≤，当B 取最大值时，1,a ABC =∆面积为43，求sin sin a c A C++的值.21. (本小题满分12分）已知函数x xa x a x f ++=22ln )( （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若对任意m ，n ∈(0，e)且m ≠n ，有1)()(<--nm n f m f 恒成立，求实数a 的取值范围．22.(本小题满分12分）已知函数.)(2ax x e x f x--=．（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点x =0处的切线斜率为1，求函数f （x ）在[0，1]上的最值； （Ⅱ）令)(21)()(22a x x f x g -+=，若0≥x 时，0)(≥x g 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当0=a 且0>x 时，证明:1ln )(2+--≥-x x x x ex x f ．大庆铁人中学2015级高三·上学期期中考试数学(理)试题答案一、选择题： DDCB CCCA BCDA 二、填空题：13]6,3[- 14.⎩⎨⎧≥⋅==-)2(23)1(,12n n a n n 15．2116),0(e 三．解答题：17、（5+5）解：当1=n 时，31=a当2≥n 时，=-=-1n n n S S a 12+n 满足1=n ，12+=∴n a n (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝anan ＋11＝（2n ＋1）（2n ＋3）1＝212n ＋31. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝21－1 2n ＋31＝3（2n ＋3）n .=)32(3]32131[21+=+-n nn 18、（6+6）解：（Ⅰ）函数f （x ）=sin （ωx -）+sin （ωx -） =sinωx cos -cosωx sin -sin （-ωx ） =sinωx -cosωx =sin （ωx -），又f （）=sin （ω-）=0， ∴ω-=k π，k ∈Z ， 解得ω=6k +2，又0＜ω＜3， ∴ω=2； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=sin （2x -），将函数y =f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y =sin （x -）的图象； 再将得到的图象向左平移个单位，得到y =sin （x +-）的图象，∴函数y =g （x ）=sin （x -）； 当x ∈[-，]时，x -∈[-，]， ∴sin （x -）∈[-，1]， ∴当x =-时，g （x ）取得最小值是-×=-．19、（6+6）解：（1）)62sin()(π+=x x f ，3262640ππππ≤+≤∴≤≤x x Θ 656243,,4626223321ππππππ<+<<+<∴<<x or x Θ36)62cos(4626=+∴<+≤∴ππππx x 6323]6)62cos[(2cos +=-+=∴ππx x（2）2)由2b cos A ≤2c －a ，得2sin B cos A ≤2sin C －sin A,所以2sin B cos A ≤2sin(A ＋B )－sin A ，所以2sin B cos A ≤2(sin A cos B ＋cos A sin B )－sin A, 所以2sin A cos B ≥sin A ，所以cos B ≥23， π<<B 0Θ得60π≤<B 有3,43,30.1=∴=︒==c S B a 由余弦定理的,1=b 且sin sin a c A C ++2sin ==Bb20.（5+7） 解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ． 由已知b 2+b 3=12，得b 1（q +q 2）=12，而b 1=2，所以q +q 2-6=0．又因为q ＞0，解得q =2．所以，b n =2n ． 由b 3=a 4-2a 1，可得3d -a 1=8①．由S 11=11b 4，可得a 1+5d =16②， 联立①②，解得a 1=1，d =3，由此可得a n =3n -2． 所以，数列{a n }的通项公式为a n =3n -2，数列{b n }的通项公式为b n =2n ． （II ）设数列{a 2n b 2n -1}的前n 项和为T n ， 由a 2n =6n -2，b 2n -1=4n ，有a 2n b 2n -1=（3n -1）4n ，故T n =2×4+5×42+8×43+…+（3n -1）4n ， 4T n =2×42+5×43+8×44+…+（3n -1）4n +1，上述两式相减，得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n -（3n -1）4n +1 ==-（3n -2）4n +1-8 得T n =．所以，数列{a 2n b 2n -1}的前n 项和为．21、（6+6）解：(1)由题意知2')2)(()(xa x a x x f -+=①当a ＝0时，f ′＝1>0，所以f 在上单调递增；②当a >0时，由f ′<0得0<x <a ，由f ′>0得x >a ，所以f 在上单调递减，在上单调递增； ③当a <0时，由f ′<0得0<x <－2a ，由f ′>0得x >－2a ， 所以f 在上单调递减，在上单调递增．综上，a ＝0时，f 在),0(+∞上单调递增；a >0时，f 在),0(a 上单调递减，在),(+∞a 上单调递增；a <0时，f 在)2,0(a -上单调递减，在),2(+∞-a 上单调递增．(2)若m >n ，由1)()(<--n m n f m f <1得n n f m m f -<-)()(若m <n ，由1)()(<--nm n f m f 得n n f m m f ->-)()(令g ＝x x f -)(＝a ln x ＋xa 22所以)(x g 在),0(e 上单调递减，又)0()2(2)(222'>-=-=x xa x a x a x a x g ①当a ＝0时，g ′＝0，不符合题意；②当a >0时，由g ′<0得0<x <2a ，由g ′>0得x >2a ，所以g 在)2,0(a 上单调递减，在),2(+∞a 上单调递增，所以2a ≥e ，即a ≥2e； ③当a <0时，在),0(+∞上，都有g ′<0，所以g 在),0(+∞上单调递减，即在),0(e 上也单调递减．综上，实数a 的取值范围为),2[)0,(+∞-∞e Y (2)0)(,0)0(),,0(,0)2()(≤≤≤-=e h h e a x a x h 即可22. （3+6+3）解：（1）∵f ′（x ）=e x -2x -a ，∴f ′（0）=1-a =1，∴a =0，∴f ′（x ）=e x -2x ，记h （x ）=e x -2x ，∴h ′（x ）=e x -2，令h ′（x ）=0得x =ln2．当0＜x ＜ln2时，h ′（x ）＜0，h （x ）单减；当ln2＜x ＜1时，h ′（x ）＞0，h （x ）单增， ∴h （x ）min =h （ln2）=2-2ln2＞0，故f ′（x ）＞0恒成立，所以f （x ）在[0，1]上单调递增， ∴f （x ）min =f （0）=1，f （x ）max =f （1）=e -1． （2）∵g （x ）=e x -（x +a ）2，∴g ′（x ）=e x -x -a ． 令m （x ）=e x -x -a ，∴m ′（x ）=e x -1，当x ≥0时，m ′（x ）≥0，∴m （x ）在[0，+∞）上单增，∴m （x ）min =m （0）=1-a ．（i ）当1-a ≥0即a ≤1时，m （x ）≥0恒成立，即g ′（x ）≥0，∴g （x ）在[0，+∞）上单增， ∴g （x ）min =g （0）=1-≥0，解得-≤a ≤，所以-≤a ≤1．（ii ）当1-a ＜0即a ＞1时，∵m （x ）在[0，+∞）上单增，且m （0）=1-a ＜0， 当1＜a ＜e 2-2时，m （ln （a +2））=2-ln （2+a ）＞0， ∴∃x 0∈（0，ln （a +2）），使m （x 0）=0，即e=x 0+a ．当x ∈（0，x 0）时，m （x ）＜0，即g ′（x ）＜0，g （x ）单减；当x ∈（x 0，ln （a +2））时，m （x ）＞0，即g ′（x ）＞0，g （x ）单增． ∴g （x ）min =g （x 0）=e -（x 0+a ）2=e-e=e（1-e ）≥0，∴e≤2可得0＜x 0≤ln2，由e =x 0+a ， ∴a =e-x 0．记t （x ）=e x -x ，x ∈（0，ln2]，∴t ′（x ）=e x -1＞0，∴t （x ）在（0，ln2]上单调递增，∴t（x）≤t（ln2）=2-2ln2，∴1＜a≤2-2ln2，综上，a∈[-，2-ln2]．（3）证明：f（x）-ex≥x ln x-x2-x+1等价于e x-x2-ex≥x lnx-x2-x+1，即e x-ex≥x lnx-x+1．∵x＞0，∴等价于-ln x--e+1≥0．令h（x）=-ln x--e+1，则h′（x）=．∵x＞0，∴e x-1＞0．当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单增．∴h（x）在x=1处有极小值，即最小值，∴h（x）≥h（1）=e-1-e+1=0，∴a=0且x＞0时，不等式f（x）-ex≥x ln x-x2-x+1成立．。