河南省南阳市高二数学上学期期末试卷 文(含解析)

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：河南省南阳市20XX-20XX学年高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知条件p：x>1，q：1x<1，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由x>1，推出1x <1，p是q的充分条件，由1x<1，得1−xx<0，解得：x<0或x>1.不是必要条件，故选：A．根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．本题考查了充分必要条件，考查了不等式的解法，是一道基础题．2.已知命题p：∀x>0，总有(x+1)e x>1，则￢p为()A. ∃x0≤0，使得(x0+1)e x0≤1B. ∃x0>0，使得(x0+1)e x0≤1C. ∀x0>0，使得(x0+1)e x0≤1D. ∀x0≤0，使得(x0+1)e x0≤1【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x>0，总有(x+1)e x>1，则￢p为：∃x0>0，使得(x0+1)e x0≤1．故选：B．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a3+a7=8，则S9等于()A. 272B. 36C. 54D. 120XX【答案】B【解析】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a3+a7=8，∴S9=92(a3+a7)=92×8=36．故选：B．由等差数列性质得S9=92(a3+a7)，由此能求出结果．本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.函数f(x)=x3−3x2−9x+2在[0,4]上的最大值和最小值分别是()A. 2，−18B. −18，−25C. 2，−25D. 2，−20【答案】C【解析】解：由f′(x)=3x 2−6x −9=3(x −3)(x +1)，x ∈(−1,3)时，f′(x)<0，函数是减函数，x ∈(3,+∞)时，f′(x)>0，函数是增函数，知f(x)在[0,3]递减，[3,4]递增，最小值f(3)=−25，又f(0)=2，f(4)=−18．故选：C ．求出导函数，判断的函数在区间上的单调性，然后区间最值即可．本题考查函数在闭区间上的最值的求法，函数的导数的应用，考查计算能力．5. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗.羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是()A. a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且a =520XXB. a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且c =520XXC. a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且a =520XXD. a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c =520XX【答案】D【解析】解：由题意可知a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，则a +b +c =a +12a +14a =5×10，解得a =47×50，∴c =47×50×14=520XX，故选：D ．由题意可知a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，根据等比数列的求和公式即可求出本题考查了等比数列在数学文化中的应用，属于基础题．6. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且c =2a ，则cosB等于()A. 14B. √24C. 34D. √23【答案】C【解析】解：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2=ac ，又c =2a ，∴b 2=2a 2，则cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+4a 2−2a 22a×2a=34，故选：C ．a ，b ，c 成等比数列，可得b 2=ac ，又c =2a ，可得b 2=2a 2，利用余弦定理即可得出．本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 已知变量x ，y 满足{x −y ≥−2x +y ≥−2x ≥0，则z =−2x +y 的取值范围为()A. [−2,2]B. (−∞,−2)C. (−∞,2]D. [2,+∞)【答案】C【解析】解：画出变量x ，y 满足{x −y ≥−2x +y ≥−2x ≥0表示的平面区域：将目标函数变形为z =−2x +y ，作出目标函数对应的直线，直线过A(0,2)时，直线的纵截距最大，z 最大，最大值为2；则目标函数z =−2x +y 的取值范围是(−∞,2]．故选：C ．作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过A 时，最大，从而得出目标函数z =−2x +y 的取值范围．本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．8. 如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是()A. |BF|−1|AF|−1B. |BF|2−1|AF|2−1C. |BF|+1|AF|+1D. |BF|2+1|AF|2+1【答案】A【解析】解：如图所示，抛物线的准线DE 的方程为x =−1，过A ，B 分别作AE ⊥DE 于E ，交y 轴于N ，BD ⊥DE 于D ，交y 轴于M ，由抛物线的定义知BF =BD ，AF =AE ，则|BM|=|BD|−1=|BF|−1，|AN|=|AE|−1=|AF|−1，则S △BCFS△ACF=|BC||AC|=|BM||AN|=|BF|−1|AF|−1，故选：A ．根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为|BC||AC|的关系进行求解即可．本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键． 9. 已知y =f(x)是可导函数，如图，直线y =kx +2是曲线y =f(x)在x =3处的切线，令g(x)=f(x)x，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)=()A. 14B. −29C. −19D. −14【答案】B【解析】解：直线y =kx +2是曲线y =f(x)在x =3处的切线，可得f(3)=3k +2=1，f′(3)=k ，即有k =−13，f′(3)=−13，g(x)=f(x)x，可得g′(x)=f′(x)x−f(x)x 2，则g′(3)=3f′(3)−f(3)9=3×(−13)−19=−29，故选：B ．由题意可得f(3)=3k +2=1，f′(3)=k ，求得k ，求出g(x)的导数，计算可得所求值．本题考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10. 已知抛物线y 2=2px(p >0)上一点M(1,m)(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2−ay 2=a 的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于()A. 19B. 14C. 13D. 12【答案】A【解析】解：抛物线y 2=2px 的焦点F 为(p2,0)，准线方程为x =−p2，由抛物线的定义可得|MF|=1+p2=5，解得p =8，可得抛物线的方程为y 2=16x ，M(1,4)，双曲线x 2−ay 2=a的左顶点为A(−√a,0)，直线AM 的斜率为1+a ，又双曲线的渐近线方程为y =√a ，由题意可得，√a =1+√a ，解得a =19，故选：A ．求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得p =8，进而求得M(1,4)，求出双曲线的左顶点和渐近线方程，由两直线平行的条件，解方程即可得到a 的值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查双曲线的渐近线方程，以及两直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于中档题．11. 设直线x =t 与函数f(x)=x 2，g(x)=2lnx 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN|达到最小值时，t 的值为()A. 1B. 12C. √22D. √32【答案】A【解析】解：设h(t)=f(t)−g(t)=t 2−2lnt ，则h′(t)=2t −2t =2(t−1)(t+1)t，当0<t <1时，h′(t)<0，当t >1时，h′(t)>0，即函数h(t)在(0,1)为减函数，在(1,+∞)为增函数，即h(t)min =h(1)，即当|MN|达到最小值时，t 的值为1，故选：A ．先构造函数：设h(t)=f(t)−g(t)=t 2−2lnt ，再利用导数求函数的单调性及极值：由h′(t)=2t −2t =2(t−1)(t+1)t，即函数h(t)在(0,1)为减函数，在(1,+∞)为增函数，即h(t)min =h(1)，得解．本题考查了构造函数求距离的最值及导数的应用，属中档题．12. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)点A ，B 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P ，使k AP ⋅k BP ∈(−13,0)，则离心率e 的取值范围为()A. (√22,1)B. (0,√63)C. (√63,1)D. (0,√32)【答案】C【解析】解：A(−a,0)，B(a,0).设M(x 0,y 0)，则y 02=b 2a 2(a 2−x 02)．k AP ⋅k BP =y 0x 0+a ⋅y0x 0−a =y 02x 02−a 2=b 2a 2(a 2−x 02)x 02−a2=−b 2a 2∈(−13,0)，可得：c 2−a 2a 2=e 2−1∈(−13,0)，∴e ∈(√63,1)故选：C ．由k AP ⋅k BP =y 0x 0+a ⋅y 0x 0−a=y 02x 02−a 2=b 2a 2(a 2−x 02)x 02−a2=−b 2a 2∈(−13,0)，可得：c 2−a 2a =e 2−1∈(−13,0)，即可求解．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ∈(1,+∞)，则y =3x +1x−1的最小值是______． 【答案】3+2√3【解析】解：∵x >1，∴y =3x +1x−1=3(x −1)+1x−1+3≥2√3(x −1)⋅1x−1+3=2√3+3，故答案为：2√3+3．由已知可知y =3x +1x−1=3(x −1)+1x−1+3，然后利用基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题． 14. 函数f(x)=e x x的单调递增区间是______．【答案】(1,+∞)(或[1,+∞)) 【解析】解：求导函数，可得f′(x)=xe x −e x x 2令f′(x)>0，可得x >1故函数f(x)=e x x的单调递增区间是(1,+∞)故答案为：(1,+∞)(或[1,+∞))求导函数，利用f′(x)>0，可得函数f(x)=e x x的单调递增区间．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，属于基础题． 15. 在数列{a n }中，“a n =1n+1+2n+1+⋯+n n+1(n ∈N ∗)，又b n =1an a n+1，则数列{b n }的前n项和S n 为______． 【答案】4nn+1【解析】解：a n =1n+1+2n+1+⋯+nn+1=1n+1⋅12n(n +1)=n2，则b n =1an a n+1=4n(n+1)=4(1n −1n+1)，可得数列{b n }的前n 项和S n =4(1−12+12−13+13−14+⋯+1n −1n+1)=4(1−1n+1)=4nn+1．故答案为：4nn+1．运用等差数列的求和公式可得a n =1n+1⋅12n(n +1)=n2，可得b n =1a n a n+1=4n(n+1)=4(1n −1n+1)，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等差数列的求和公式，数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．16. 设F 1、F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a,b >0)的左右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足∠MAN =120∘，则该双曲线的离心率为______． 【答案】√213【解析】解：设以F 1F 2为直径的圆与渐近线y =bax 相交与点M 的坐标为(x 0,y 0)(x 0>0)，根据对称性得N 点的坐标为(−x 0,−y 0)，∴{y 0=ba x 0x 02+y 02=c2；解得M(a,b)，N(−a,−b)；又∵A(−a,0)，且∠MAN =120∘，∴由余弦定理得4c 2=(a +a)2+b 2+b 2−2√(a +a)2+b 2⋅bcos120∘，化简得7a 2=3c 2，∴e =c a =√213．故答案为：√213．先求出M ，N 的坐标，再利用余弦定理，求出a ，c 之间的关系，即可得出双曲线的离心率．本题考查了双曲线的标准方程与几何性质的应用问题，解题时应熟记它的几何性质是什么，属于基础题． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知，在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且asinB =√3bcosA ．(1)求角A 的大小；(2)设△ABC 的面积为√3，求a 的取值范围．【答案】解：(1)∵asinB =√3bcosA ．∴由正弦定理可得：sinAsinB =√3sinBcosA ，又∵sinB ≠0，∴可得：tanA =√3，∴A =π3．(2)∵A =π3，△ABC 的面积为√3=12bcsinA =√34bc ，∴解得：bc =4，∴由余弦定理可得：a =√b 2+c 2−2bccosA =√b 2+c 2−bc ≥√2bc −bc =√bc =2，当且仅当b =c =2时等号成立．综上，边a 的取值范围为[2,+∞)．【解析】(1)根据正弦定理，化简整理得sinAsinB =√3sinBcosA ，结合sinB ≠0解出tanA =√3，从而可得A 的值．(2)由三角形的面积公式，从而解出bc =4，再结合基本不等式求最值，即可得到a 的取值范围．本题给出三角形的边角关系，求角A 的大小，并在已知面积的情况下求边a 的取值范围.着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面积公式和三角恒等变换等知识，属于中档题．18. 已知p ：∃x ∈(0,+∞)，x 2−2elnx ≤m ；q ：函数y =x 2−2mx +1有两个零点．(1)若p ∨q 为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．【答案】解：若p 为真，令f(x)=x 2−2elnx ，问题转化为求函数f(x)的最小值，f′(x)=2x −2e x=2x 2−2e x，令，解得x =√e ，函数f(x)=x 2−2elnx 在(0,√e)上单调递减，在(√e,+∞)上单调递增，故f(x)min =f(√e)=0，故m ≥0，若q 为真，则△=4m 2−4>0，m >1或 m <−1．(1)若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题，实数m 的取值范围为[−1,0)．(2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p ，q 一真一假．若p 真q 假，则实数m 满足{−1≤m ≤1m≥0，即0≤m ≤1；若p 假q 真，则实数m 满足{m >1或m <−1m<0，即m <−1．综上所述，实数m 的取值范围为(−∞,−1)∪[0，1]．【解析】(1)分别求出p ，q 为真时的m 的范围，再判断出p ∨q 为假命题时的m 的范围即可；(2)通过讨论p ，q 的真假，得到关于m 的不等式组，解出即可．本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道中档题．19. 已知数列{a n }前n 项和为S n ，且S n =2a n −1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =(2n +1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【答案】解：(1)S n =2a n −1，可得a 1=S 1=2a 1−1，即a 1=1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2a n −1−2a n−1+1，化为a n =2a n−1，则a n =a 1q n−1=2n−1；(2)b n =(2n +1)a n =(2n +1)⋅2n−1，可得前n 项和T n =3⋅20+5⋅21+⋯+(2n +1)⋅2n−1，2T n =3⋅2+5⋅22+⋯+(2n +1)⋅2n ，相减可得−T n =3+22+23+⋯+2n −(2n +1)⋅2n−1=1+2(1−2n )1−2−(2n +1)⋅2n−1，化简可得T n =1+(2n −1)⋅2n ．【解析】(1)运用数列的递推式：n =1时，a 1=S 1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1，结合等比数列的通项公式，可得所求；(2)求得b n =(2n +1)a n =(2n +1)⋅2n−1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为2，且FA ⃗⃗⃗⃗ ⋅OA⃗⃗⃗⃗⃗ =10．(Ⅰ)求此抛物线C 的方程；(Ⅱ)过点(4,0)做直线交抛物线C 于A ，B 两点，求证：OA ⊥OB ．【答案】(Ⅰ)解：设抛物线C ：y 2=2px(p >0)，点A(2,y 0)，则有y 02=4p ，∵F(p 2,0)，∴FA ⃗⃗⃗⃗ =(2−p 2,y 0),FA ⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4−p +y 02=4+3p =10，∴p =2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x ；(Ⅱ)证明：当直线l 斜率不存在时，此时l ：x =4，解得A(4,4)，B(4,−4)，满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴OA ⊥OB ；当直线l 斜率存在时，设l ：y =k(x −4)，联立方程{y =k(x −4)y 2=4x⇒k 2x 2−(8k 2+4)x +16k 2=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=8k 2+4k 2,x 1x 2=16，则OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2−4k 2(x 1+x 2)+16k 2=16(1+k 2)−32k 2−16+16k 2=0，即有OA ⊥OB ．综上，OA ⊥OB 成立．【解析】(Ⅰ)设抛物线C ：y 2=2px(p >0)，点A(2,y 0)，代入抛物线方程，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可求得p =2，进而得到抛物线方程；(Ⅱ)讨论当直线l 斜率不存在时，求出A ，B 坐标，可得OA ⊥OB ；当直线l 斜率存在时，设l ：y =k(x −4)，联立抛物线方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，化简整理即可得证．本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，以及直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，同时考查向量数量积的坐标表示，和向量垂直的条件，属于中档题．21. 已知函数f(x)=x −2−alnx ，a ∈R ．(1)求函数f(x)的极值；(2)当a =−2时，若直线l ：y =kx −2与曲线y =f(x)没有公共点，求k 的取值范围． 【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−ax =x−a x当a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上递增，无极值；当a >0时，由f′(x)=0，得x =a ，当x ∈(0,a)时，f′(x)<0，f(x)在(0,a)上递减，当x ∈(a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在∈(a,+∞)上递增，可得f(x)在x =a 处取到极小值，且极小值为f(a)=a −2−alna ，无极大值；(2)当a =−2时，f(x)=x −2+2lnx ，直线l ：y =kx −2与曲线y =f(x)没有公共点⇔kx −2=x −2+2lnx 在(0,+∞)无实根，即方程k −1=2lnx x在(0,+∞)无实根．令g(x)=2lnx x，g′(x)=2−2lnx x 2，令g′(x)=0，解得x =e ，当x ∈(0,e)时，g′(x)>0，g(x)在(0,e)上递增，当x ∈(e,+∞)时，g′(x)<0，g(x)在∈(e,+∞)上递减，且当x →0时，g(x)→−∞，x →+∞时，g(x)→0，g(x)在x =e 处有最大值2e ，∴g(x)(−∞,2e ]，∴k −1>2e ，即k >2e +1时，直线l ：y =kx −2与曲线y =f(x)没有公共点，∴k 的取值范围：(1+2e ,+∞)【解析】(1)求出f(x)的导数，讨论当a ≤0时，f′(x)>0，f(x)无极值；当a >0时，由f′(x)=0，得x =a ，求得单调区间，可得f(x)在x =a 处取到极小值，且极小值为f(a)=a −2−alna ，无极大值；(2)直线l ：y =kx −2与曲线y =f(x)没有公共点，⇔kx −2=x −2+2lnx 在(0,+∞)无实根，即方程k −1=2lnx x在(0,+∞)无实根，令g(x)=2lnx x，g′(x)=2−2lnx x 2，求出g(x)的值域即可．本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数方程的转化思想，注意运用零点存在定理，突出分类讨论思想的运用，属于中档题．22. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，椭圆C 的四个顶点围成的四边形的面积为4√3．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 与椭圆C 交于P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)两个不同点，O 为坐标原点，若△OPQ 的面积为√3，证明：x 12+x 22为定值． 【答案】解：(1)椭圆C ：x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的焦点在x 轴上，离心率为e =ca =12，a =2c ，椭圆C 的四个顶点围成的四边形的面积为4√3，即2ab =4√3，由a 2=b 2+c 2，解得：a =2，b =√3，∴椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1；(2)证明：当直线l ⊥x 轴时，x 124+y 123=1，△OPQ的面积S =12⋅|x 1|⋅|2y 1|=√3，解得：|x 1|=√2，|y 1|=√62，故x 12+x 22=4．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +m ，m ≠0，联立{3x 2+4y 2=12y=kx+m可得：(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，△=(8km)2−4(3+4k 2)⋅(4m 2−12)=48(3+4k 2−m 2)>0，即3+4k 2>m 2，由韦达定理可知x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2．∴|PQ|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√3√1+k 2⋅√3+4k 2−m 23+4k 2．点O 到直线l 的距离为d =√1+k 2则△OPQ 的面积S=12⋅d⋅|PQ|=12√1+k24√3√1+k2⋅√3+4k2−m23+4k2=√3．整理得：3+4k2=m2，满足△>0，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2=(−8km1+k2)2−24m2−123+4k2=4【解析】(1)由离心率为e=ca =12，a=2c，2ab=4√3，由a2=b2+c2，解得：a=2，b=√3，即可求得椭圆C的方程；(2)直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，x1=x2，y1=−y2，由三角形面积公式即可求得|x1|和|y1|的值，可知y12+y22均为定值，当直线斜率存在，设出直线方程代入椭圆方程，利用△>0及韦达定理求得x1+x2和x1⋅x2的关系，利用点到直线的距离公式和弦长公式求得△OPQ的面积，求得a和k的关系式，即可证明x12+x22=4，利用y1=kx1+b，y2=kx2+b，即可求得x12+x22为定值；本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式及三角形面积公式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．。

某某省某某市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）不等式≤1的解集为（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2] C．[﹣1，2] D．（﹣1，2]2．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若a=2ccosB，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形3．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0，a1=3，S3=21，若a n=48．则n=（）A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）已知圆C1：（x+4）2+y2=4，圆C2：（x﹣4）2+y2=1，若圆C与圆C1外切且与圆C2内切，则圆心C的轨迹是（）A．椭圆B．椭圆在y轴上及其右侧部分C．双曲线D．双曲线右支5．（5分）如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（）A．（30+30）m B．（30+15）m C．（15+30）m D．（15+15）m 6．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9在x=﹣1时取得极值，则a等于（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）在等差数列{a n}中公差d≠0，若a3+a m﹣a7=a n+a2﹣a5，则m﹣n=（）A．B．1 C．2 D．48．（5分）下面命题中，正确命题的个数为（）①命题：“若x2﹣2x﹣3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”；②命题：“∃x∈R，使x﹣2＞lgx”的否定是“∀x∈R，x﹣2≤lgx”；③“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标为（1，2）”的必要不充分条件．A．0个B．1个C．2个D．3个9．（5分）若x，y满足条件，z=x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．C．﹣D．﹣10．（5分）定义在R上的函数f（x），g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x）且f′（x）＜g′（x）．则下列结论一定成立的是（）A．f（1）+g（0）＜g（1）+f（0）B．f（1）+g（0）＞g（1）+f（0） C． f （1）﹣g（0）＞g（1）﹣f（0）D．f（1）﹣g（0）＜g（1）﹣f（0）11．（5分）若数列，则称数列{a n}为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+…+b9=90，则b4•b6的最大值是（）A．10 B．100 C．200 D．40012．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接了AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知函数f（x）=，f′（e）=．14．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为．15．（5分）若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣4的最小距离为．16．（5分）已知抛物线y=﹣x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=x3=ax2﹣4x+3（x∈R）．（1）当a=2时求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程（2）若函数f（x）在区间（1，2）上为减函数，某某数a的取值X围．．18．（12分）已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bsinA=c．（1）求角A的大小．（2）若a=1，bc=2﹣，求b+c的值．19．（12分）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．20．（12分）如图，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．（1）若，求直线l的斜率；（2）求∠ATF的最大值．21．（12分）已知数列{a n}的各项为正值且首项为1，a2=2，S n为其前n项和．函数f（x）=a n•a n+2x+a2n+1cosx在x=处的切线平行于x轴．（1）求a n和S n．（2）设b n=log2a n+1，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜1．22．（12分）已知两点F1（﹣1，0），F2（1，0），点P在以F1，F2为焦点的椭圆C，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m（|k|≤1）（m＞0）与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N 是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，当|F1M|+|F2N|最大时，求直线l的方程．某某省某某市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）不等式≤1的解集为（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2] C．[﹣1，2] D．（﹣1，2]考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：不等式即，等价转化为，由此求得它的解集．解答：解：不等式≤1，即，即，解得﹣1＜x≤2，故选：D．点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．2．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若a=2ccosB，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形考点：正弦定理；余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：已知等式利用正弦定理化简，将sinA=sin（B+C）代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到sin（B﹣C）=0，确定出B=C，即可得出三角形形状．解答：解：已知等式a=2ccosB，利用正弦定理化简得：sinA=2sinCcosB，将sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC代入得：sinBcosC+cosBsinC=2sinCcosB，即sinBcosC ﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，∴B﹣C=0，即B=C，则△ABC为等腰三角形．故选：B．点评：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．3．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0，a1=3，S3=21，若a n=48．则n=（）A．4 B．5 C．6 D．7考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知求得等比数列的公比，代入等比数列的通项公式得答案．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由a1=3，S3=21得3（1+q+q2）=21，解得：q=2．由=48，得2n﹣1=16，即n=5．故选：B．点评：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．4．（5分）已知圆C1：（x+4）2+y2=4，圆C2：（x﹣4）2+y2=1，若圆C与圆C1外切且与圆C2内切，则圆心C的轨迹是（）A．椭圆B．椭圆在y轴上及其右侧部分C．双曲线D．双曲线右支考点：轨迹方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据两圆外切和内切的判定，圆心距与两圆半径和差的关系，设出动圆半径为r，消去r，根据圆锥曲线的定义，即可求得动圆圆心C的轨迹．解答：解：设动圆圆心C（x，y），半径为r，∵圆M与圆C1：（x+4）2+y2=4外切，与圆C2：（x﹣4）2+y2=1内切，∴|CC1|=2+r，|CC2|=r﹣1，∴|CC1|﹣|CC2|=3＜8，由双曲线的定义，C的轨迹为以C1，C2为焦点的双曲线的右支，故选：D．点评：本题考查两圆的位置关系及判定方法和双曲线的定义，正确运用两圆的位置关系是关键．5．（5分）如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（）A．（30+30）m B．（30+15）m C．（15+30）m D．（15+15）m考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：要求建筑物的高度，需求PB长度，要求PB的长度，在△PAB由正弦定理可得．解答：解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=由正弦定理得：=30（+），∴建筑物的高度为PBsin45°=30（+）×=（30+30）m，故选A．点评：此题是实际应用题用到正弦定理和特殊角的三角函数值，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边．6．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9在x=﹣1时取得极值，则a等于（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：因为f（x）在x=﹣1时取极值，则求出f′（x）得到f′（﹣1）=0，解出求出a 即可．解答：解：∵f′（x）=3x2+2ax+3，f（x）在x=﹣1时取得极值，∴f′（﹣1）=6﹣2a=0∴a=3．故选：C．点评：本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，考查学生的计算能力，比较基础．7．（5分）在等差数列{a n}中公差d≠0，若a3+a m﹣a7=a n+a2﹣a5，则m﹣n=（）A．B．1 C．2 D．4考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的通项公式和条件化简已知的式子，即可得到答案．解答：解：∵在等差数列{a n}，有a3+a m﹣a7=a n+a2﹣a5，∴（a1+2d）+a1+（m﹣1）d﹣（a1+6d）=a1+（n﹣1）d+a1+d﹣（a1+4d），即（m﹣5）d=（n﹣4）d，∵公差d≠0，∴m﹣n=1，故选：B．点评：本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．8．（5分）下面命题中，正确命题的个数为（）①命题：“若x2﹣2x﹣3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”；②命题：“∃x∈R，使x﹣2＞lgx”的否定是“∀x∈R，x﹣2≤lgx”；③“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标为（1，2）”的必要不充分条件．A．0个B．1个C．2个D．3个考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①根据逆否命题的定义进行判断；②根据特称命题的否定是全称命题进行判断；③根据充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：①命题：“若x2﹣2x﹣3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”；故①正确，②命题：“∃x∈R，使x﹣2＞lgx”的否定是“∀x∈R，x﹣2≤lgx”；故②正确，③点（4，4）在曲线y2=4x上，但点M的坐标为（1，2）不正确，故③“点M在曲线y2=4x 上”是“点M的坐标为（1，2）”的必要不充分条件，故③正确，故选：D．点评：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点有四种命题之间的关系，含有量词的命题的否定，以及充分条件和必要条件的定义．9．（5分）若x，y满足条件，z=x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．C．﹣D．﹣考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y得y=x﹣z，平移y=x﹣z，由图象知当直线y=x﹣z经过点A时，直线的截距最大，此时z最小．由，解得，即A（3，3），则z═×3﹣3=﹣，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．10．（5分）定义在R上的函数f（x），g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x）且f′（x）＜g′（x）．则下列结论一定成立的是（）A．f（1）+g（0）＜g（1）+f（0）B．f（1）+g（0）＞g（1）+f（0） C． f （1）﹣g（0）＞g（1）﹣f（0）D．f（1）﹣g（0）＜g（1）﹣f（0）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由题意构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），从而可得F′（x）=f′（x）﹣g′（x）＜0，从而可判断出f（1）﹣g（1）＜f（0）﹣g（0）；从而求解．解答：解：设F（x）=f（x）﹣g（x），则F′（x）=f′（x）﹣g′（x）＜0，故F（x）=f（x）﹣g（x）在定义域上为减函数，故F（1）＜F（0），故f（1）﹣g（1）＜f（0）﹣g（0）；故f（1）+g（0）＜g（1）+f（0）；故选A．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，中档题．11．（5分）若数列，则称数列{a n}为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+…+b9=90，则b4•b6的最大值是（）A．10 B．100 C．200 D．400考点：等差数列的性质；基本不等式．专题：新定义．分析：由已知数列为调和数列可得{b n}为等差数列，由等差数列的性质及已知可求b4+b6，利用基本不等式可求b4•b6的最大值解答：解：由已知数列为调和数列可得b n+1﹣b n=d（d为常数）∴{b n}为等差数列，由等差数列的性质可得，b1+b2+…+b9=9b5=90，∴b4+b6=2b5=20，又b n＞0，∴．故选B点评：本题以新定义为载体在，注意考查了等差数列的通项公式、等差数列的性质及基本不等式在求解最值中的应用．12．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接了AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．分析：由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形，由此能求出离心率e．解答：解：如图所示，在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF=100+64﹣2×10×8×=36，∴|AF|=6，∠BFA=90°，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴e==．故选B．点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理、椭圆的对称性等知识点的合理运用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知函数f（x）=，f′（e）=﹣．考点：对数的运算性质．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的运算法则，先求导，再代入值计算解答：解：f（x）=，∴f′（x）==，∴f′（e）=﹣故答案为：﹣点评：本题考查了导数的运算法则，属于基础题14．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为44．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决．求出周长即可．解答：解：根据题意，双曲线C：的左焦点F（﹣5，0），所以点A（5，0）是双曲线的右焦点，虚轴长为：8；双曲线图象如图：|PF|﹣|AP|=2a=6 ①|QF|﹣|QA|=2a=6 ②而|PQ|=16，①+②得：|PF|+|QF|﹣|PQ|=12，∴周长为：|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44故答案为：44．点评：本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题．15．（5分）若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣4的最小距离为2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离．专题：导数的概念及应用；直线与圆．分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣4平行时，点P到直线y=x﹣4的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x ﹣4的距离即为所求．解答：解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣4平行时，点P到直线y=x﹣4的距离最小．直线y=x﹣4的斜率等于1，y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣令y′=1，解得x=1，或 x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣4平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣4的距离d=，故点P到直线y=x﹣4的最小距离为d==2，故答案为：2．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查点到直线的距离公式的应用，求出函数的导数及运用两直线平行的条件是解题的关键，体现了转化的数学思想．16．（5分）已知抛物线y=﹣x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|=3．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题．分析：设AB的方程为y=x+b，代入抛物线y=﹣x2+3化简利用根与系数的关系可得x1+x2=﹣1，x1•x2=b﹣3，根据AB的中点（﹣，﹣+b）在直线x+y=0上，求出b值，由|AB|=•求得结果．解答：解：由题意可得，可设AB的方程为 y=x+b，代入抛物线y=﹣x2+3化简可得 x2 +x+b﹣3=0，∴x1+x2=﹣1，x1•x2=b﹣3，故AB 的中点为（﹣，﹣+b）．根据中点在直线x+y=0上，∴﹣+（﹣+b）=0，∴b=1，故 x1•x2=﹣2，∴|AB|=•=3，故答案为3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，弦长公式的应用，求得 x1+x2=﹣1，x1•x2=﹣2，是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=x3=ax2﹣4x+3（x∈R）．（1）当a=2时求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程（2）若函数f（x）在区间（1，2）上为减函数，某某数a的取值X围．．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）a=2时，f（x）=x3+2x2﹣4x+3，f′（x）=3x2+4x﹣4；从而求得f′（1）=3，f（1）=2；从而写出切线方程．（2）求导f′（x）=3x2+2ax﹣4；从而由f（x）在区间（1，2）上单调递减可得f′（x）≤0在（1，2）上恒成立；从而可得a≤﹣x，令h（x）=﹣x，从而化为最值问题．解答：解：（1）a=2时，f（x）=x3+2x2﹣4x+3，f′（x）=3x2+4x﹣4；故f′（1）=3，f（1）=2；故所求切线方程为y=3（x﹣1）+2，即3x﹣y﹣1=0．（2）∵f（x）=x3=ax2﹣4x+3，∴f′（x）=3x2+2ax﹣4；∵f（x）在区间（1，2）上单调递减，∴f′（x）≤0在（1，2）上恒成立；即3x2+2ax﹣4≤0，即a≤﹣x，令h（x）=﹣x，又由h min（x）=h（2）=﹣2；故a≤﹣2；故实数a的取值X围为（﹣∞，﹣2]．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法应用，属于中档题．18．（12分）已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bsinA=c．（1）求角A的大小．（2）若a=1，bc=2﹣，求b+c的值．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（1）运用正弦定理和诱导公式及两角和的正弦公式，化简整理，即可得到A；（2）运用余弦定理，配方整理，计算即可得到b+c的值．解答：解：（1）由acosB+bsinA=c，运用正弦定理得sinAcosB+sinBsinA=sinC，而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，可得sinBsinA=cosAsinB，所以tanA=，由于A为三角形的内角，则A=；（2）a=1，bc=2﹣，由余弦定理知a2=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣bc（2+）即有1=（b+c）2﹣（2﹣）（2+），即有（b+c）2=2，可得b+c=．点评：本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查同角的基本关系式和两角和的正弦公式，考查运算能力，属于基础题．19．（12分）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=e x﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值．（2）设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．由此能够证明e x＞x2﹣2ax+1．解答：（1）解：∵f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，∴f′（x）=e x﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，ln2）ln2 （ln2，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）单调递减2（1﹣ln2+a）单调递增故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值．（2）证明：设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即e x﹣x2+2ax﹣1＞0，故e x＞x2﹣2ax+1．点评：本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用．解题时要认真审题，仔细解答．20．（12分）如图，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．（1）若，求直线l的斜率；（2）求∠ATF的最大值．考点：平面向量数量积的运算；抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意可得F（1，0），T（﹣1，0），当直线l与x轴垂直时，经过检验不满足条件．设直线l的方程为y﹣0=k（x﹣1），代入抛物线C的方程，利用根与系数的关系求得 x1+x2=，且x1•x2=1，且 y1y2=﹣4．结合求得k的值．（2）根据 y1＞0，tan∠ATF===，利用基本不等式求得tan∠ATF 的最大值，从而求得∠ATF 的最大值．解答：解：（1）由题意可得F（1，0），T（﹣1，0），当直线l与x轴垂直时，A（1，2），B（1，﹣2），此时，，这与矛盾．故直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为 y﹣0=k（x﹣1），代入抛物线C：y2=4x的方程化简可得 k2 x2﹣（2k2+4）x+k2=0．∴x1+x2=，且x1•x2=1…①．∴=16x1•x2=16，∴y1y2=﹣4…②．由可得（x1+1）（x2+1）+y1•y2=1．把①②代入可得 k2=4，∴k=±2．（2）∵y1＞0，tan∠ATF===≤1，当且仅当=，即 y1=2时，取等号，故tan∠ATF 的最大值为1，故∠ATF的最大值为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，抛物线的定义和性质，一元二次方程根与系数的关系以及基本不等式的应用，属于中档题．21．（12分）已知数列{a n}的各项为正值且首项为1，a2=2，S n为其前n项和．函数f（x）=a n•a n+2x+a2n+1cosx在x=处的切线平行于x轴．（1）求a n和S n．（2）设b n=log2a n+1，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜1．考点：数列与函数的综合．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系，判断数列为等比数列，求出公比即可求a n和S n．（2）求出b n=log2a n+1的表达式，利用裂项法进行求和，即可证明不等式．解答：解：（1）由f（x）=a n•a n+2x+a2n+1cosx知f′（x）=a n•a n+2﹣a2n+1sinx，∵f（x）=a n•a n+2x+a2n+1cosx在x=处的切线平行于x轴，∴f′（）=0，即a n•a n+2﹣a2n+1sin=a n•a n+2﹣a2n+1=0，即a n•a n+2=a2n+1，∴{a n}是等比数列，公比q=，∴a n=a1q n﹣1=2n﹣1，=2n﹣1，（2）由（1）知a n+1=2n，∴b n=log2a n+1=log22n=n．∴=﹣．∴T n=﹣=1﹣＜1，点评：本题主要考查数列通项公式和前n项和的计算，以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键．22．（12分）已知两点F1（﹣1，0），F2（1，0），点P在以F1，F2为焦点的椭圆C，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m（|k|≤1）（m＞0）与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N 是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，当|F1M|+|F2N|最大时，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，设椭圆C的方程为，c=1．再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，即可得到a，利用b2=a2﹣c2得到a即可得到椭圆的方程；（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得到关于x的一元二次方程，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=0，即可得到m，k的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到|F1M|+|F2N|，利用|F1M|+|F2N|最大时，即可求直线l的方程．解答：解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为（a＞b＞0）．∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，∴2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4，a=2．又∵c=1，∴b2=3．∴椭圆C的方程为…（4分）（Ⅱ）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，化简得：m2=4k2+3．…（6分）设坐标原点到动直线L的距离为d，则2d=|F1M|+|F2N|=2…（8分）=2，∵k2≤1，∴k2=1时，|F1M|+|F2N|最大此时m=．故所求直线方程为y=﹣x+或y=x+…（12分）点评：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、等差数列等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．。

河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）不等式≤1的解集为（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2] C．[﹣1，2] D．（﹣1，2]2．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若a=2ccosB，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形3．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0，a1=3，S3=21，若a n=48．则n=（）A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）已知圆C1：（x+4）2+y2=4，圆C2：（x﹣4）2+y2=1，若圆C与圆C1外切且与圆C2内切，则圆心C的轨迹是（）A．椭圆B．椭圆在y轴上及其右侧部分C．双曲线D．双曲线右支5．（5分）如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（）A．（30+30）m B．（30+15）m C．（15+30）m D．（15+15）m 6．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9在x=﹣1时取得极值，则a等于（）A．1 B．2 C．3D．47．（5分）在等差数列{a n}中公差d≠0，若a3+a m﹣a7=a n+a2﹣a5，则m﹣n=（）A．B．1 C．2 D．48．（5分）下面命题中，正确命题的个数为（）①命题：“若x2﹣2x﹣3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”；②命题：“∃x∈R，使x﹣2＞lgx”的否定是“∀x∈R，x﹣2≤lgx”；③“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标为（1，2）”的必要不充分条件．A．0个B．1个C．2个D．3个9．（5分）若x，y满足条件，z=x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．C．﹣D．﹣10．（5分）定义在R上的函数f（x），g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x）且f′（x）＜g′（x）．则下列结论一定成立的是（）A．f（1）+g（0）＜g（1）+f（0）B．f（1）+g（0）＞g（1）+f（0） C． f （1）﹣g（0）＞g（1）﹣f（0）D．f（1）﹣g（0）＜g（1）﹣f（0）11．（5分）若数列，则称数列{a n}为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+…+b9=90，则b4•b6的最大值是（）A．10 B．100 C．200 D．40012．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接了AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知函数f（x）=，f′（e）=．14．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为．15．（5分）若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣4的最小距离为．16．（5分）已知抛物线y=﹣x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=x3=ax2﹣4x+3（x∈R）．（1）当a=2时求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程（2）若函数f（x）在区间（1，2）上为减函数，求实数a的取值范围．．18．（12分）已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bsinA=c．（1）求角A的大小．（2）若a=1，bc=2﹣，求b+c的值．19．（12分）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．20．（12分）如图，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．（1）若，求直线l的斜率；（2）求∠ATF的最大值．21．（12分）已知数列{a n}的各项为正值且首项为1，a2=2，S n为其前n项和．函数f（x）=a n•a n+2x+a2n+1cosx在x=处的切线平行于x轴．（1）求a n和S n．（2）设b n=log2a n+1，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜1．22．（12分）已知两点F1（﹣1，0），F2（1，0），点P在以F1，F2为焦点的椭圆C，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m（|k|≤1）（m＞0）与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N 是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，当|F1M|+|F2N|最大时，求直线l的方程．河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）不等式≤1的解集为（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2] C．[﹣1，2] D．（﹣1，2]考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：不等式即，等价转化为，由此求得它的解集．解答：解：不等式≤1，即，即，解得﹣1＜x≤2，故选：D．点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．2．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若a=2ccosB，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形考点：正弦定理；余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：已知等式利用正弦定理化简，将sinA=sin（B+C）代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到sin（B﹣C）=0，确定出B=C，即可得出三角形形状．解答：解：已知等式a=2ccosB，利用正弦定理化简得：sinA=2sinCcosB，将sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC代入得：sinBcosC+cosBsinC=2sinCcosB，即sinBcosC ﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，∴B﹣C=0，即B=C，则△ABC为等腰三角形．故选：B．点评：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．3．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0，a1=3，S3=21，若a n=48．则n=（）A．4 B．5 C．6 D．7考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知求得等比数列的公比，代入等比数列的通项公式得答案．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由a1=3，S3=21得3（1+q+q2）=21，解得：q=2．由=48，得2n﹣1=16，即n=5．故选：B．点评：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．4．（5分）已知圆C1：（x+4）2+y2=4，圆C2：（x﹣4）2+y2=1，若圆C与圆C1外切且与圆C2内切，则圆心C的轨迹是（）A．椭圆B．椭圆在y轴上及其右侧部分C．双曲线D．双曲线右支考点：轨迹方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据两圆外切和内切的判定，圆心距与两圆半径和差的关系，设出动圆半径为r，消去r，根据圆锥曲线的定义，即可求得动圆圆心C的轨迹．解答：解：设动圆圆心C（x，y），半径为r，∵圆M与圆C1：（x+4）2+y2=4外切，与圆C2：（x﹣4）2+y2=1内切，∴|CC1|=2+r，|CC2|=r﹣1，∴|CC1|﹣|CC2|=3＜8，由双曲线的定义，C的轨迹为以C1，C2为焦点的双曲线的右支，故选：D．点评：本题考查两圆的位置关系及判定方法和双曲线的定义，正确运用两圆的位置关系是关键．5．（5分）如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（）A．（30+30）m B．（30+15）m C．（15+30）m D．（15+15）m考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：要求建筑物的高度，需求PB长度，要求PB的长度，在△PAB由正弦定理可得．解答：解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=由正弦定理得：=30（+），∴建筑物的高度为PBsin45°=30（+）×=（30+30）m，故选A．点评：此题是实际应用题用到正弦定理和特殊角的三角函数值，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边．6．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9在x=﹣1时取得极值，则a等于（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：因为f（x）在x=﹣1时取极值，则求出f′（x）得到f′（﹣1）=0，解出求出a 即可．解答：解：∵f′（x）=3x2+2ax+3，f（x）在x=﹣1时取得极值，∴f′（﹣1）=6﹣2a=0∴a=3．故选：C．点评：本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，考查学生的计算能力，比较基础．7．（5分）在等差数列{a n}中公差d≠0，若a3+a m﹣a7=a n+a2﹣a5，则m﹣n=（）A．B．1 C．2 D．4考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的通项公式和条件化简已知的式子，即可得到答案．解答：解：∵在等差数列{a n}，有a3+a m﹣a7=a n+a2﹣a5，∴（a1+2d）+a1+（m﹣1）d﹣（a1+6d）=a1+（n﹣1）d+a1+d﹣（a1+4d），即（m﹣5）d=（n﹣4）d，∵公差d≠0，∴m﹣n=1，故选：B．点评：本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．8．（5分）下面命题中，正确命题的个数为（）①命题：“若x2﹣2x﹣3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”；②命题：“∃x∈R，使x﹣2＞lgx”的否定是“∀x∈R，x﹣2≤lgx”；③“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标为（1，2）”的必要不充分条件．A．0个B．1个C．2个D．3个考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①根据逆否命题的定义进行判断；②根据特称命题的否定是全称命题进行判断；③根据充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：①命题：“若x2﹣2x﹣3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”；故①正确，②命题：“∃x∈R，使x﹣2＞lgx”的否定是“∀x∈R，x﹣2≤lgx”；故②正确，③点（4，4）在曲线y2=4x上，但点M的坐标为（1，2）不正确，故③“点M在曲线y2=4x 上”是“点M的坐标为（1，2）”的必要不充分条件，故③正确，故选：D．点评：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点有四种命题之间的关系，含有量词的命题的否定，以及充分条件和必要条件的定义．9．（5分）若x，y满足条件，z=x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．C．﹣D．﹣考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y得y=x﹣z，平移y=x﹣z，由图象知当直线y=x﹣z经过点A时，直线的截距最大，此时z最小．由，解得，即A（3，3），则z═×3﹣3=﹣，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．10．（5分）定义在R上的函数f（x），g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x）且f′（x）＜g′（x）．则下列结论一定成立的是（）A．f（1）+g（0）＜g（1）+f（0）B．f（1）+g（0）＞g（1）+f（0） C． f （1）﹣g（0）＞g（1）﹣f（0）D．f（1）﹣g（0）＜g（1）﹣f（0）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由题意构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），从而可得F′（x）=f′（x）﹣g′（x）＜0，从而可判断出f（1）﹣g（1）＜f（0）﹣g（0）；从而求解．解答：解：设F（x）=f（x）﹣g（x），则F′（x）=f′（x）﹣g′（x）＜0，故F（x）=f（x）﹣g（x）在定义域上为减函数，故F（1）＜F（0），故f（1）﹣g（1）＜f（0）﹣g（0）；故f（1）+g（0）＜g（1）+f（0）；故选A．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，中档题．11．（5分）若数列，则称数列{a n}为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+…+b9=90，则b4•b6的最大值是（）A．10 B．100 C．200 D．400考点：等差数列的性质；基本不等式．专题：新定义．分析：由已知数列为调和数列可得{b n}为等差数列，由等差数列的性质及已知可求b4+b6，利用基本不等式可求b4•b6的最大值解答：解：由已知数列为调和数列可得b n+1﹣b n=d（d为常数）∴{b n}为等差数列，由等差数列的性质可得，b1+b2+…+b9=9b5=90，∴b4+b6=2b5=20，又b n＞0，∴．故选B点评：本题以新定义为载体在，注意考查了等差数列的通项公式、等差数列的性质及基本不等式在求解最值中的应用．12．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接了AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．分析：由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形，由此能求出离心率e．解答：解：如图所示，在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF=100+64﹣2×10×8×=36，∴|AF|=6，∠BFA=90°，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴e==．故选B．点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理、椭圆的对称性等知识点的合理运用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知函数f（x）=，f′（e）=﹣．考点：对数的运算性质．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的运算法则，先求导，再代入值计算解答：解：f（x）=，∴f′（x）==，∴f′（e）=﹣故答案为：﹣点评：本题考查了导数的运算法则，属于基础题14．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为44．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决．求出周长即可．解答：解：根据题意，双曲线C：的左焦点F（﹣5，0），所以点A（5，0）是双曲线的右焦点，虚轴长为：8；双曲线图象如图：|PF|﹣|AP|=2a=6 ①|QF|﹣|QA|=2a=6 ②而|PQ|=16，①+②得：|PF|+|QF|﹣|PQ|=12，∴周长为：|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44故答案为：44．点评：本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题．15．（5分）若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣4的最小距离为2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离．专题：导数的概念及应用；直线与圆．分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣4平行时，点P到直线y=x﹣4的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x ﹣4的距离即为所求．解答：解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣4平行时，点P到直线y=x﹣4的距离最小．直线y=x﹣4的斜率等于1，y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣令y′=1，解得x=1，或 x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣4平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣4的距离d=，故点P到直线y=x﹣4的最小距离为d==2，故答案为：2．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查点到直线的距离公式的应用，求出函数的导数及运用两直线平行的条件是解题的关键，体现了转化的数学思想．16．（5分）已知抛物线y=﹣x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|=3．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题．分析：设AB的方程为y=x+b，代入抛物线y=﹣x2+3化简利用根与系数的关系可得x1+x2=﹣1，x1•x2=b﹣3，根据AB的中点（﹣，﹣+b）在直线x+y=0上，求出b值，由|AB|=•求得结果．解答：解：由题意可得，可设AB的方程为 y=x+b，代入抛物线y=﹣x2+3化简可得 x2 +x+b﹣3=0，∴x1+x2=﹣1，x1•x2=b﹣3，故AB 的中点为（﹣，﹣+b）．根据中点在直线x+y=0上，∴﹣+（﹣+b）=0，∴b=1，故 x1•x2=﹣2，∴|AB|=•=3，故答案为3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，弦长公式的应用，求得 x1+x2=﹣1，x1•x2=﹣2，是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=x3=ax2﹣4x+3（x∈R）．（1）当a=2时求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程（2）若函数f（x）在区间（1，2）上为减函数，求实数a的取值范围．．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）a=2时，f（x）=x3+2x2﹣4x+3，f′（x）=3x2+4x﹣4；从而求得f′（1）=3，f（1）=2；从而写出切线方程．（2）求导f′（x）=3x2+2ax﹣4；从而由f（x）在区间（1，2）上单调递减可得f′（x）≤0在（1，2）上恒成立；从而可得a≤﹣x，令h（x）=﹣x，从而化为最值问题．解答：解：（1）a=2时，f（x）=x3+2x2﹣4x+3，f′（x）=3x2+4x﹣4；故f′（1）=3，f（1）=2；故所求切线方程为y=3（x﹣1）+2，即3x﹣y﹣1=0．（2）∵f（x）=x3=ax2﹣4x+3，∴f′（x）=3x2+2ax﹣4；∵f（x）在区间（1，2）上单调递减，∴f′（x）≤0在（1，2）上恒成立；即3x2+2ax﹣4≤0，即a≤﹣x，令h（x）=﹣x，又由h min（x）=h（2）=﹣2；故a≤﹣2；故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法应用，属于中档题．18．（12分）已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bsinA=c．（1）求角A的大小．（2）若a=1，bc=2﹣，求b+c的值．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（1）运用正弦定理和诱导公式及两角和的正弦公式，化简整理，即可得到A；（2）运用余弦定理，配方整理，计算即可得到b+c的值．解答：解：（1）由acosB+bsinA=c，运用正弦定理得sinAcosB+sinBsinA=sinC，而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，可得sinBsinA=cosAsinB，所以tanA=，由于A为三角形的内角，则A=；（2）a=1，bc=2﹣，由余弦定理知a2=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣bc（2+）即有1=（b+c）2﹣（2﹣）（2+），即有（b+c）2=2，可得b+c=．点评：本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查同角的基本关系式和两角和的正弦公式，考查运算能力，属于基础题．19．（12分）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=e x﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值．（2）设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．由此能够证明e x＞x2﹣2ax+1．解答：（1）解：∵f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，∴f′（x）=e x﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，ln2）ln2 （ln2，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）单调递减 2（1﹣ln2+a）单调递增故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值．（2）证明：设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即e x﹣x2+2ax﹣1＞0，故e x＞x2﹣2ax+1．点评：本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用．解题时要认真审题，仔细解答．20．（12分）如图，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．（1）若，求直线l的斜率；（2）求∠ATF的最大值．考点：平面向量数量积的运算；抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意可得F（1，0），T（﹣1，0），当直线l与x轴垂直时，经过检验不满足条件．设直线l的方程为y﹣0=k（x﹣1），代入抛物线C的方程，利用根与系数的关系求得 x1+x2=，且x1•x2=1，且 y1y2=﹣4．结合求得k的值．（2）根据 y1＞0，tan∠ATF===，利用基本不等式求得tan∠ATF 的最大值，从而求得∠ATF 的最大值．解答：解：（1）由题意可得F（1，0），T（﹣1，0），当直线l与x轴垂直时，A（1，2），B（1，﹣2），此时，，这与矛盾．故直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为 y﹣0=k（x﹣1），代入抛物线C：y2=4x的方程化简可得 k2 x2﹣（2k2+4）x+k2=0．∴x1+x2=，且x1•x2=1…①．∴=16x1•x2=16，∴y1y2=﹣4…②．由可得（x1+1）（x2+1）+y1•y2=1．把①②代入可得 k2=4，∴k=±2．（2）∵y1＞0，tan∠ATF===≤1，当且仅当=，即 y1=2时，取等号，故tan∠ATF 的最大值为1，故∠ATF的最大值为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，抛物线的定义和性质，一元二次方程根与系数的关系以及基本不等式的应用，属于中档题．21．（12分）已知数列{a n}的各项为正值且首项为1，a2=2，S n为其前n项和．函数f（x）=a n•a n+2x+a2n+1cosx在x=处的切线平行于x轴．（1）求a n和S n．（2）设b n=log2a n+1，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜1．考点：数列与函数的综合．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系，判断数列为等比数列，求出公比即可求a n和S n．（2）求出b n=log2a n+1的表达式，利用裂项法进行求和，即可证明不等式．解答：解：（1）由f（x）=a n•a n+2x+a2n+1cosx知f′（x）=a n•a n+2﹣a2n+1sinx，∵f（x）=a n•a n+2x+a2n+1cosx在x=处的切线平行于x轴，∴f′（）=0，即a n•a n+2﹣a2n+1sin=a n•a n+2﹣a2n+1=0，即a n•a n+2=a2n+1，∴{a n}是等比数列，公比q=，∴a n=a1q n﹣1=2n﹣1，=2n﹣1，（2）由（1）知a n+1=2n，∴b n=log2a n+1=log22n=n．∴=﹣．∴T n=﹣=1﹣＜1，点评：本题主要考查数列通项公式和前n项和的计算，以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键．22．（12分）已知两点F1（﹣1，0），F2（1，0），点P在以F1，F2为焦点的椭圆C，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m（|k|≤1）（m＞0）与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N 是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，当|F1M|+|F2N|最大时，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，设椭圆C的方程为，c=1．再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，即可得到a，利用b2=a2﹣c2得到a即可得到椭圆的方程；（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得到关于x的一元二次方程，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=0，即可得到m，k的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到|F1M|+|F2N|，利用|F1M|+|F2N|最大时，即可求直线l的方程．解答：解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为（a＞b＞0）．∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，∴2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4，a=2．又∵c=1，∴b2=3．∴椭圆C的方程为…（4分）（Ⅱ）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，化简得：m2=4k2+3．…（6分）设坐标原点到动直线L的距离为d，则2d=|F1M|+|F2N|=2…（8分）=2，∵k2≤1，∴k2=1时，|F1M|+|F2N|最大此时m=．故所求直线方程为y=﹣x+或y=x+…（12分）点评：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、等差数列等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．。

河南省南阳市2021-2022学年高二上学期期末考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．命题“x ∀∈R ，sin x x >”的否定是（ ） A ．x ∀∈R ，sin x x ≤ B ．x ∀∈R ，sin x x ≥ C ．x ∃∈R ，sin x x >D ．x ∃∈R ，sin x x ≤2．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )·(n ＋x )>0的解集是（ ） A ．{x |x <－n 或x >m } B ．{x |－n <x <m } C ．{x |x <－m 或x >n }D ．{x |－m <x <n }3．在ABC 中，“A B >”是“22cos cos A B <”的（ ）． A ．充要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件4．已知命题p ：x R ∀∈，3ln x x ->，命题q ：0x R ∃∈，使得200320x x -+<，则（ ）A ．p q ∨是假命题B ．p q ∧是真命题C ．()p q ∨⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题5．若x ，y 满足||1x y -，且1y -，则32x y +-的最大值为（ ） A ．7-B ．3C ．5D ．76．已知等比数列{}n a 中，123n n a -=⨯，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前n 项和为（ ） A ．31n -B ．()331n-C ．()1914n- D ．()3914n- 7．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3C A π=-，则ba的取值范围是（ ）A ．2)B ．C ．D ．4)8．若抛物线2:(0)C y px p =>上的一点1,4p A y ⎛⎫⎪⎝⎭到它的焦点的距离为6，则p =（ ） A ．12B ．10C ．8D ．69．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是AC 的中点，1:=AA AB .则异面直线1AB 与BD 所成角的正弦值为（ ）A ．1BC ．2D ．1210．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则()[]f x x =称为高斯函数.已知数列{}n a 满足21a =，且121(1)2n n n n a na +++-=，若[]lg n n b a =数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2021T =（ ） A ．3950B ．3953C ．3840D ．384511．设,a b c >>，n N ∈，且2110n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．512．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b +=>>的左､右焦点，若在椭圆E 上存在点M ，使得12MF F △的面积等于2122sin b F MF ∠，则椭圆E 的离心率e 的取值范围为（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．⎛ ⎝⎦C ．12⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭二、填空题13．已知双曲线222:1(0)x C y m m -=>的一条渐近线为0y x m -=，则C 的焦距为___________.14．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 120B ︒=，223a c ac +=，则b =___________.15．若0m ≠，则双曲线22211x y m m+=+的离心率的取值范围是___________.16．如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD ，则下列叙述正确的是___________.①平面BCD 的法向量与平面ACD 的法向量垂直； ①异面直线BC 与AD； ①四面体ABCD 有外接球且该球的半径等于棱BD 长； ①直线DC 与平面ABC 所成的角为30︒. 三、解答题17．已知m R ∈，命题[]:0,1p x ∀∈，不等式22321m m x x -≤--恒成立；命题(]:,0q x ∃∈-∞使得2x m ≤成立（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围.18．在平面四边形ABCD 中， AB ＝2，BDAB①BC ，①BCD ＝2①ABD ，①ABD 的面积为2．(1)求AD 的长； (2)求①CBD 的面积．19．定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.(1)已知等比数列{}n a 满足：245a a a =，321440a a a -+=，求证：数列{}n a 为“M -数列”.(2)已知数列{}n b 满足：11b =，1122n n n S b b +=-，其中n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列{}n b 的通项公式，并判断数列{}n b 是否为“M -数列”.20．已知抛物线2:2(0)>C x py p =的通径长为12，若抛物线C 上有一动弦AB 的中点为M ，且弦AB 的长度为3.(1)求抛物线C 的方程； (2)求点M 的纵坐标的最小值.21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PAB △为等边三角形，平面PAB ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点.(1)求证：CE PD ⊥；(2)在线段BD （不包括端点）上是否存在点F ，使直线AP 与平面PEF 所成角的余弦F 的位置；若不存在，请说明理由. 22．已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(>0)x y C a b a b+=>的左､右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上的任意一点，1PF 11. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若1OA OB ⋅=-，点N 在l 上，且ON l ⊥.试问是否存在定点M ，使得MN 为定值，若存在，求出MN 的值；若不存在，请说明理由.参考答案：1．D 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定变换形式即可求解. 【详解】∀的否定是∃，sin x x >的否定是sin x x ≤，故“x ∀∈R ，sin x x >”的否定是“x ∃∈R ，sin x x ≤”， 故选：D 2．B 【解析】 【分析】不等式变形为最高次项系数为正，然后比较相应二次方程两根的大小后可不等式的解集． 【详解】不等式变形为()()0x m x n -+<，方程()()0x m x n -+=的两根为,m n -，显然由0m n +>得m n >-，所以不等式的解为n x m -<<． 故选：B ． 3．A 【解析】 【分析】可以由22cos cos A B ＜反向推导得到A ＞B ﹒ 【详解】由22cos cos A B ＜得， 221sin 1sin A B --＜， 22sin sin A B ＞，在ABC 中sin 0sin 0A B ＞，＞，所以sin sin A B ＞， 由正弦定理得a b ＞，由大边对大角的结论知A B ＞． 所以为充要条件．4．D 【解析】 【分析】根据命题的描述，应用特殊值法判断各命题的真假，再判断各选项中复合命题的真假即可. 【详解】对于命题p ，当1x =时显然32ln 0x x -=->=不成立，故为假命题； 对于命题q ，当032x =时有20013204x x -+=-<成立，故为真命题；①q ⌝为假命题；p ⌝为真命题.①p q ∨为真，p q ∧为假，()p q ∨⌝为假，()p q ⌝∧为真. 故选：D 5．B 【解析】 【分析】根据x ，y 满足的约束条件作出可行域，平移直线32y x z =-++，由直线在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值求解. 【详解】由x ，y 满足||1x y -且1y -，作出可行域如图：令32z x y =+-，平移直线32y x z =-++， 当直线经过()2,1A -时，在y 轴上的截距最大， 此时，目标函数取得最大值，最大值为3，6．C 【解析】 【分析】根据给定条件可得新数列是首项为2，公比为9的等比数列，再用等比数列前n 项和公式计算作答. 【详解】等比数列{}n a 中，123n n a -=⨯，则221212329,N k k k a k --*-=⨯=⨯∈，2112129929kk k k a a +--⨯==⨯， 因此，等比数列{}n a 的奇数项所组成的新数列是首项为2，公比为9的等比数列， 所以新数列的前n 项和n S 有：2(19)1(91)194n nn S -==--. 故选：C 7．C 【解析】 【分析】根据题意可得2B A =，由锐角三角形可求出A 的范围，再由正弦定理及余弦函数的值域即可求解. 【详解】3C A =-πsin sin 22cos ,sin sin b B AA a A A∴=== 2(0,),2B A =∈π3(0,)2C A =-∈ππ,(,)64A ∴∈ππ，cos A ∴∈ba∴∈. 故选：C 8．A 【解析】根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可列出464p p+=，即可求出p . 【详解】由抛物线2:(0)C y px p =>上的一点1,4p A y ⎛⎫⎪⎝⎭到它的焦点的距离为6，61244p pp ∴+=⇒=. 故选：A. 9．B 【解析】 【分析】先构造辅助线，找到直线1AB 与BD 所成角为EDB ∠，再利用题干中条件得到三角形BDE 为等边三角形，得到π3EDB ∠=，求出正弦值. 【详解】取1B C 中点E ，连接DE ，BE ，因为D 是AC 的中点，所以DE 是△1ACB 的中位线，所以1AB ①DE ，所以直线1AB 与BD 所成角为EDB ∠，由于正三棱柱111ABC A B C -，1:AA AB ，不妨设AB m =（0m >），则BD =，1BB ，由勾股定理得：11AB BC =，所以DE BE ==，所以BD DE BE ===，从而三角形BDE为等边三角形，所以π3EDB ∠=，sin EDB ∠=故选：B【解析】 【分析】先根据累加法求出2n na =，进而求出lg 2n nb ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，结合对数运算，算出前2021项之和. 【详解】121(1)2n n n n a na +++-=①，()()121112n n n na n a --+--=①，()()()12221122n n n n a n a ---+---=①， (32221)322a a ⨯+-=， 上面（n -1）个式子相加得：()()21121(1)222n n n n n a a +-+-+-=+，其中21a =，所以112n n a ++=，即2n n a =，令1n =得：21322a a -=，解得：112a =，经检验，符合2n n a =，故{}n a 的通项公式为：2n na =，所以[]lg lg 2n n nb a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，11lg 12b ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦，219≤≤n 时，0n b =，当20199n ≤≤时，1n b =，当2001999n ≤≤时，2n b =，当20002021n ≤≤时，3n b =，所以202110181180218003223845T =-+⨯+⨯+⨯+⨯=故选：D 11．C 【解析】 【分析】原式等价于2110()a c n a b b c ⎛⎫+-≥ ⎪--⎝⎭，根据均值不等式求得左侧最小值，进而估算出结果. 【详解】解：2110n a b b c a c+≥---等价于2110()a c n a b b c ⎛⎫+-≥ ⎪--⎝⎭， ()110110()a c a b b c a b b c a b b c ⎛⎫⎛⎫+-=+-+- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭10()111111b c a b a b b c --=++≥++--故得到211,n n N +∈则n 的最大值是4. 故选：C. 【点睛】易错点睛：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 12．A 【解析】 【分析】根据给定条件用2b 表示出12||||MF MF ⋅，再结合椭圆定义并借助均值不等式计算作答. 【详解】 依题意，1212121221||||s 2sin in 2MF F SMF MF b F F F MF M =⋅∠∠=，而12n 0si F MF >∠，则有212||||4MF MF b ⋅=，由椭圆定义知：122||||4a MF MF b =+≥=，当且仅当12||||2MF MF b ==，即2a b =时取“=”，于是有12b a ≤，则c e a ==1e <1e ≤<，所以椭圆E 的离心率e 的取值范围为⎫⎪⎪⎣⎭. 故选：A 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见方法：①求出a ，c ，代入公式 ； ①只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b a c =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．13．【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线，结合题干条件得到方程，求出m ，进而得到焦距. 【详解】双曲线222:1(0)x C y m m-=>的渐近线为y x m =±，由题干条件可知：21m =，所以2112c =+=，所以C的焦距为故答案为：14．4 【解析】 【分析】根据ABCac ，再根据223a c ac +=，利用余弦定理求解. 【详解】因为ABC所以1sin 2ABCSac B == 解得4ac =， 又因为223a c ac +=，由余弦定理得：2222cos 416b a c ac B ac =+-==， 所以4b =， 故答案为：4 15．⎛ ⎝⎦【解析】 【分析】根据给定条件可得0m <，列出用m 表示的离心率的函数关系，再借助均值不等式计算作答. 【详解】因方程22211x y m m +=+表示双曲线，则0m <，方程可写成：22211x y m m-=+-， 令双曲线的半焦距为c ，则221()c m m =++-，双曲线的离心率e 有：22221()131111112m m m e m m m m ++--==+=+≤=++-+- ，当且仅当1m m -=-，即1m =-时取“=”，解得：e ≤，而1e >，则有1e <≤所以所求离心率的取值范围是⎛ ⎝⎦.故答案为：⎛ ⎝⎦16．①①① 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量解决①①①，利用向量求出AD ①AC ，取两个直角三角形斜边中点，可证明此点为球心，进而得到解答. 【详解】如图，以BD 为x 轴，BC 为y 轴，垂直于平面BCD 为z 轴建立空间直角坐标系，设1BD =，则，BC ()1,0,0D，()C ，()0,0,0B，A ⎛ ⎝⎭，平面BCD 的法向量为()0,0,1m =，平面ACD 的法向量为(),,n x y z =，则30230AC n y z CD n xy ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=-=⎩，令1y =，则x =1z =，则()3,1,1n =，因为1m n ⋅=，则平面BCD 的法向量与平面ACD 的法向量不垂直，①错误；设异面直线BC 与AD 所成角为θ，其中()BC =，1,AD ⎛= ⎝⎭，则(0,cos cos ,BC AD θ===①正确； 0AD AC ⎛⎛⋅=⋅= ⎝⎭⎝⎭，所以ADC 是直角三角形，取CD 中点O ，则因为DBC △和ADC 为直角三角形，OA =OB =OC =OD ，则O 为四面体ABCD 的外接球球心，半径为12OB CD =，而根据①CBD =30°，故12BD CD =，故四面体ABCD 有外接球且该球的半径等于棱BD 长，①正确；平面ABC 的法向量为()1,0,0a =，设直线DC 与平面ABC 所成角为α，(1,0,01sin cos ,2a DC α===，故30α=︒，故①正确.故答案为：①①①17．（1）[]1,2；（2）()(],11,2-∞.【解析】 【分析】（1）根据[]0,1x ∀∈，不等式22321m m x x -≤--恒成立，由()22min 321m m x x -≤--求解；（2）根据p 且q 为假，p 或q 为真，由p 、q 中一个是真命题，一个是假命题求解. 【详解】（1）①[]0,1x ∀∈，不等式22321m m x x -≤--恒成立，①()22min 321m m x x -≤--，即2320m m -+≤， 解得12m ≤≤，因此，若P 为真命题时，实数m 的取值范围是[]1,2； （2）若命题q 为真，则()max2xm ≤，①1m ，①p 且q 为假，p 或q 为真，①p 、q 中一个是真命题，一个是假命题，当p 真q 假时，则121m m ≤≤⎧⎨>⎩，解得12m <≤；当p 假q 真时，1? 21m m m ⎧⎨≤⎩或，即1m <综上所述，m 的取值范围为()(],11,2-∞.18．（1（2）58【解析】 【分析】（1）利用面积公式可以求出sin①ABD 的值，利用同角三角函数的关系求出cos①ABD 的值，利用余弦定理，求出AD 的长；（2）利用AB①BC ，可以求出以sin①CBD 的大小，利用∠BCD ＝2∠ABD ，可求出sin∠BCD的大小，通过角之间的关系可以得到所以①CBD 为等腰三角形，利用正弦定理，可求出CD 的大小，最后利用面积公式求出①CBD 的面积． 【详解】(1)由已知ABD S ∆＝12AB·BD·sin①ABD ＝12sin∠ABD ＝2，可得sin∠A BD，又①ABD①(0,)2π，所以cos∠ABD， 在∠ABD 中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD ， 可得AD2＝5，所以AD(2)由AB∠BC ，得∠ABD ＋∠CB D ＝2π，所以sin∠CBD ＝cos∠ABD又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin∠BCD ＝2sin∠ABD·cos∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－()2ABD π-∠－2①ABD ＝2π－∠ABD ＝∠CBD ，所以∠CB D 为等腰三角形，即CB ＝CD ，在∠CBD 中，由正弦定理sin sin BD CD BCD CBD =∠∠，得CD BD sin CBD554sin BCD 45⋅∠===∠， 所以1554524458CBD S ∆=⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式.19．(1)证明见解析(2)数列{}n b 的通项公式为()n b n n +=∈N ，数列{}n b 不是“M -数列” 【解析】 【分析】（1）根据题干条件求出首项和公比，证明出结论；（2）利用11,1,2n n n S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出{}n b 为等差数列，求出通项公式，证明出不是是“M -数列”.(1)证明：设等比数列{}n a 的公比为q ，则10a ≠，0q ≠.由245321,440,a a a a a a =⎧⎨-+=⎩得：244112111,440,a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩ 解得：11,2.a q =⎧⎨=⎩因此数列{}n a 为“M -数列”.(2) 因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠. 由11b =，11S b =，得212211b =-，则22b =.由1122n n n S b b +=-，得()11 2n n n n n b b S b b ++=-，当2n 时，由1n n n b S S -=-， 得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=.所以数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{}n b 的通项公式为()n b n n +=∈N ， 显然数列{}n b 不是“M -数列”. 20．(1)212x y = (2)118【分析】（1）由抛物线的通径为2p ，可得122p =，即可求得p 值; （2）由题意得直线AB 的斜率一定存在，设出直线AB 的方程，并和抛物线的方程联立消去y 得220x kx b --=，利用弦长公式求得229214k b k =-+，再用中点坐标公式求得M 的纵坐标201222k y b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，消去2b ，最后用基本不等式即可求解.(1)由题意可知：122p =，所以抛物线C 的方程为：212x y =； (2)由题意可知：直线AB 斜率必存在，设其方程为：y kx b =+. 设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y .则：1202x x x +=，1202y yy +=联立方程：212y kx b x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩得：220x kx b --=.所以121222k x x b x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，21222k y y b +=+. 又知：3AB =，得229214k b k =-+, ①222120211922222214y y k k k y b k⎛⎫⎛⎫+==+=+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭22191111112144248k k ⎛⎫⎛⎫+=+-≥= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ 当且仅当2291=14k k ++，即25k =时取等号， 则点M 的纵坐标的最小值为118. 21．(1)证明见解析(2)存在，点F 为靠近点B 的三等分点【分析】（1）取AB 的中点O ，连结PO ，取CD 的中点G ，连结OG ，通过证明OB ，OP ，OG 两两垂直，可建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明垂直即可；（2）设(01)BF BD λλ=<<，利用向量法求出线面角，然后根据题目提供的数据列方程求解即可. (1)证明：取AB 的中点O ，连结PO ， 因为PA PB =，所以PO AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ， 所以PO ⊥底面ABCD ，取CD 的中点G ，连结OG ，则OB ，OP ，OG 两两垂直，分别以OB ，OG ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设2AB =，则(1,2,0)C ，P ，(1,1,0)E -，(1,2,0)D -，所以(2,1,0)CE =--，(1,2,PD =-， 则220CE PD ⋅=-=，故CE PD ⊥， 所以CE PD ⊥； (2)由（1）可知，(1,0,0)A -，(1,0,0)B ，P ，(1,1,0)E -，(1,2,0)D -，所以(1,1,PE =-，AP =，(2,2,0)BD =-，(2,1,0)BE =-， 设(01)BF BD λλ=<<，则(2,2,0)BF λλ=-，所以(22,21,0)EF BF BE λλ=-=-+-， 设平面PEF 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PE n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0(22)(21)0x y x y λλ⎧-+=⎪⎨-++-=⎪⎩，令1y =，则2122x λλ-=-，z =故2122n λλ⎛⎫-= -⎝， 因为直线AP 与平面PEF， 所以直线AP 与平面PEF所以|||cos ,|||||22AP n AP n AP n ⋅〈〉===⎛，整理可得29610λλ-+=，解得13λ=，所以在BD 上存在点F ，使得直线AP 与平面PEF ， 13BF BD =，此时点F 为靠近点B 的三等分点.22．(1)2212x y +=(2)【解析】 【分析】（1）设出(),P m n ，其中a m a -≤≤，表达出1cPF m a a=+，根据a m a -≤≤得到最大值和最小值，求出,a c ，进而求出b ，得到椭圆方程；（2）设出直线方程，联立后根据1OA OB ⋅=-，得到直线过的定点，进而找到定点M ，使得MN 为定值. (1)由题意得：设(),P m n （a m a -≤≤），则22221m n a b+=，则1cPF m a a==+，当m a =时，1PF 取得最大值，当m a =-时，1PF 取得最小值，即1a c +=，1a c -=，a ∴=211cb ==，，所以椭圆C 的标准方程为：2212x y +=.(2)显然直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为：y kx t =+， 将y kx t =+带入2212x y +=得：()222124220k x ktx t +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122412kt x x k +=-+，21222212t x x k -=+，()()()2222121212122212t k y y kx t kx t k x x kt x x t k -=++=+++=+，2212122322·112t k OAOB x x y y k --=+==-+，解得：213t =，t =当t =时，直线y kx t =+过定点Z ⎛ ⎝⎭，根据题意，N 在以OZ 为直径的圆上，该圆的圆心为M ⎛ ⎝⎭此时MN =M ⎛ ⎝⎭，使得MN当t =-y kx t =+过定点0,Z ⎛ ⎝⎭，同理可得：存在定点0,M ⎛ ⎝⎭，使得MN综上：存在点定点M 使得MN 为定值，MN = 【点睛】圆锥曲线定点定值问题，设出直线方程y kx b =+，利用题干条件列出方程，求出,k b 的关系式，或者求出b 的值，进而确定定点，而定值则要求得到关系式后，通过观察求出定值.。

2019-2020学年河南省南阳市高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．在数列{}n a 中，11a =，120n n a a +-=，则5a =（ ） A ．16 B ．32 C ．64 D ．128【答案】A【解析】根据题意，{}n a 为等比数列，用基本量求解即可. 【详解】因为120n n a a +-=，故{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，故4451216a a q ===.故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的定义，属基础题.2．若2()(1)x f x f x e '=+，则()1f =（ ） A ．e B ．1e + C ．0 D ．1e -【答案】C【解析】对函数求导，令自变量为1，求得()1f '，再求()1f . 【详解】因为2()(1)xf x f x e '=+，故()()21xf x f x e ''=+故()()121f f e ''=+，解得()1f e '=- 故()2xf x ex e =-+ 故()10f e e =-+=故选：C. 【点睛】本题考查导数的运算，属基础题；本题需要注意将()1f '视为常数看待. 3．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为 （ ） A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒【答案】B 【解析】【详解】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5， 设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ， 有余弦定理可得，cosθ=25644912582+-=⨯⨯，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°-θ=120°，故选B ． 4．不等式2230x x --<成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．13x -<< B ．22x -<< C ．12x -<< D ．23x -<<【答案】D【解析】先求解不等式，再根据选项进行选择. 【详解】2230x x --<解得13x -<<，若13x -<<，则23x -<<一定成立， 但若23x -<<，则13x -<<不一定成立，故2230x x --<成立的一个必要不充分条件是23x -<<. 故选：D. 【点睛】本题考查充要条件的判定，属基础题.5．已知：双曲线2214x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为其右支上一点，若1260F PF ∠=︒，则12F PF ∆的面积是（ ）A ．1 BC D ．2【答案】C【解析】根据双曲线中，焦点三角形的面积公式求解即可. 【详解】由双曲线焦点三角形面积公式可得：21330tan2b S tan θ==︒= 故选： C. 【点睛】本题考查双曲线焦点三角形面积的求解，属基础题.6．已知实数，满足约束条件则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】本道题结合不等式组,绘制可行域,将转化为,在可行域平移,计算的范围,即可. 【详解】 绘制出可行域将转化为即该直线从虚线位置平移,平移到A(1,1),该直线此时截距最大,对应z 最小，此时，当平移到B （3,0 ），此时截距最小，对应z 最大，z=3-0=3,所以,故选C.【点睛】本道题考查了线性规划问题,题目难度一般.7．若三个实数4，a ，9成等比数列，则圆锥曲线221yx a+=的离心率是（ ）A ．305或7 B ．77或306 C ．30或7D ．30或7 【答案】D【解析】根据等比中项求得a ，根据曲线类型，求离心率. 【详解】实数4，a ，9成等比数列，故可得236a =，解得6a =±；当6a =时，221y x a+=表示焦点在y 轴的椭圆，解得离心率为130166-=当6a =-时，221y x a+=表示焦点在x 轴上的双曲线，解得离心率为167+=故选：D. 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的离心率求解，属基础题.8．设曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】【详解】试题分析：因为曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则可知g(x ）=cosx,因此可知函数22()cos y x g x x x ==，可知函数2222()()cos ()()()cos h x x g x x x h x x g x x x ==∴-=--=为偶函数．故排除选项A,B ，然后看选项C,D ，当x 取正数且趋近于0时，函数值也趋近于0，故选C ． 【考点】本试题考查了函数图像的运用．点评：解决该试题的关键是能通过解析式分析函数的奇偶性和对称性，以及特殊点的函数值，利用这些知识来逐一的判定，属于基础题．9．已知数列{}n a 满足：11a =，0n a >，2211n n a a +-=()*n ∈N ，那么使5n a <成立的n 的最大值为（ ）A ．22B ．23C ．24D ．25【答案】C【解析】先求得n a 的通项公式，再求解不等式即可. 【详解】因为211a =，2211n n a a +-=，故数列{}2n a 是一个首项为1，公差为1的等差数列，则：2n a n =，因为0n a >，故可得n a则5n a <5<，解得25n <，又n n +∈ 故n 的最大值为24 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求解，属基础题.10．若点(,1)P a a +不在二元一次不等式组0333x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域之内，则a 满足的条件是（ ） A ．12a << B ．1a <或2a > C ．01a << D ．0a <或1a >【答案】D【解析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，解决问题.由题可知，不等式组对应的平面区域如下：(,1)P a a +点坐标满足直线1y x =+直线1y x =+与平面的交点为()()0,1,1,2 若满足点P 不在平面区域内， 只需满足0a <或1a >即可. 故选：D. 【点睛】本题考查线性规划，其中把点P 视为函数1y x =+上一点是本题的关键.11．抛物线C :22y px =(0)p >的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．16【答案】B【解析】求出圆的半径，根据抛物线的性质，列出p 的方程，解方程即可. 【详解】由题意，容易知6r =，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故外接圆圆心的横坐标为4p 因为外接圆与准线相切， 故可得642p p += 解得8p =.【点睛】本题考查抛物线的准线方程，焦点坐标及几何性质，属基础题. 12．已知函数()212ln f x x x e e ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭， ()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图像上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．23,3e e -⎡⎤-⎣⎦C ．2,3e e -⎡⎤-⎣⎦D ．322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】1g x mx =+Q （）关于直线1y = 对称的直线为1y mx =-+， ∴直线212P Fs mgs mv μ-= 与2ln y x = 在21x e e≤≤上有交点． 作出212P Fs mgs mv μ-=与2ln y x =的函数图象，如图所示： 若直线212P Fs mgs mv μ-=经过点12e-（，） ，则3m e = ， 若直线212P Fs mgs mv μ-= 与2ln y x =相切，设切点为x y （，）． 则1 22y mx y lnx m x⎧⎪=-+⎪=⎨⎪⎪=-⎩ ，解得322.m e -=-3223em e -∴-≤≤．故选D ．二、填空题13．若曲线3y x ax =+在原点处的切线方程是20x y -=，则实数a =______．【答案】【解析】本题考查导数的几何意义，利用导数求某点处的切线斜率．函数3y x ax =+的导数为23y x a '=+因为在原点处的切线斜率为2 所以有(0)02f a =+=' 即2a =14．椭圆221169x y +=的左、右顶点分别为A 、B 、P 为椭圆上任意一点，则直线PA 和直线PB 的斜率之积等于___________． 【答案】916-【解析】根据椭圆的性质，斜率之积为定值，代值计算即可. 【详解】根据椭圆的性质，22916PA PB b k k a ⋅=-=-.故答案为：916-. 【点睛】本题考查椭圆的性质，需要牢记圆锥曲线中的结论.15．若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集是(1,m )，则m = ． 【答案】2【解析】试题分析：x=1时，a-6+2a =0（1）1a =-3，-32x -6x+9<0,得x<-3,或x>1,与题不合。

2023-2024学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若＝，则n＝（）A．8B．7C．6D．92．点P为两条直线2x﹣3y+1＝0和x+y﹣2＝0的交点，则点P到直线l：kx﹣y+k+2＝0的距离最大为（）A．B．C．D．53．长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约20%的人近视，而该校大约有10%的学生每天玩手机超过1小时，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A．B．C．D．4．已知焦点在x轴上的双曲线实轴长为4，渐近线方程为x±2y＝0，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．5．南阳市博物院为国家二级博物馆，是豫西南最大的地方综合性博物馆、文化新地标，是展示南阳悠久历史和灿烂文化的重要窗口．南阳市博物院每周一闭馆（节假日除外）（周一）——3月10日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去南阳市博物院参观研学，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天（）A．20种B．50种C．60种D．100种6．若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则△PF1F2的面积值为（）A．4B．8C．12D．167．已知过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面α的方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z ﹣z0）＝0．若平面α的方程为x+y﹣z﹣3＝0，直线l是平面x+2y﹣1＝0与x+z+3＝0的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在底面ABCD所在的平面上运动．下列说法不正确的是（）A．若点P满足D1P⊥AC，则动点P的轨迹为一条直线B．若DA＝1，动点P满足，则动点P的轨迹是圆C．若点P到点A与点C的距离比为2：1，则动点P的轨迹是椭圆D．若点P到直线AB的距离与到直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹为抛物线二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（3，0，5），B（2，3，0），C（0，5，0），则下列各点在平面ABC 内的是（）A．D（4，﹣1，2）B．E（3，2，0）C．F（﹣1，4，5）D．G（1，2，5）10．下列说法不正确的是（）A．过点（3，4）且在x，y轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣7＝0B．过点P（2，1）与圆x2+y2＝5相切的直线有两条C．若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式共有7项D．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则11．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（）A．B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等C．记第n行的第i个数为a i，则D．第20行中第12个数与第13个数之比为4：312．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线于点M，则下列结论正确的是（）A．|AB|≥4B．的最小值为2C．△ABM的面积为定值D．若M在x轴上，则△ABM为直角三角形三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则抛物线的标准方程为．（写出一个即可）14．已知x，y，z∈N*，且x+y+z＝6，记随机变量X为x，y，z中的最小值（X）＝．15．南阳素有“月季花城”的美誉，是“中国月季之乡”和世界月季名城．某社区对一个街心公园进行改造，在公园中央有一个正方形区域如图示，有5种不同的月季可供选择，要求相邻区域种植的月季不同．在所有的种植方案中随机选择一种方案．16．已知椭圆C：，经过原点O的直线l交C于A、B两点．P是C上异于A、B的一点，直线BP交x轴于点M，则椭圆的离心率e＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在下列所给的两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①与直线4x﹣3y＝0垂直；②一个方向向量为；问题：已知直线l过点P（1，﹣2），且_____．（1）求直线l的一般式方程；（2）若直线l与圆x2+y2＝10相交于A、B两点，求弦AB的长．18．（12分）一个袋子里放有除颜色外完全相同的2个白球、3个黑球．（1）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求两个小球颜色不同的概率；（2）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求在第1次摸到的是黑球的条件下19．（12分）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，∠BAA1＝∠DAA1＝，AA1＝2．（1）求对角线AC1的长；（2）求直线AC1与A1B所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），且经过点，点M为椭圆C的右顶点，B（异于点M）两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若以AB为直径的圆过点M，求证直线l过定点，并求该定点坐标．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PB⊥平面ABCD，PB＝5，AD＝3，N为PC的中点．（1）求证：DN∥平面P AB；（2）求点N到面PBD的距离；（3）求平面P AD与平面PBC的夹角的余弦值．22．（12分）某省2025年将开始全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）某校生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X，求X的分布列和均值；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y服从正态分布N（75.8，36）．若Y～N（μ，σ2），令η＝，则η～N（0，1）①若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的学生人数（ξ＝k）取得最大值时k的值．附：若η～N（0，1），则P（η≤0.8）≈0.788，P（η≤1.04）2023-2024学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若＝，则n＝（）A．8B．7C．6D．9解：由可得：n（n﹣8）＝，n∈Z，则n﹣2＝6，所以n＝7．故选：A．2．点P为两条直线2x﹣3y+1＝0和x+y﹣2＝0的交点，则点P到直线l：kx﹣y+k+2＝0的距离最大为（）A．B．C．D．5解：，解得，5）；直线l：kx﹣y+k+2＝0，整理得k（x+2）﹣（y﹣2）＝0，6），故点P（1，1）到直线l的最大距离d＝．故选：B．3．长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约20%的人近视，而该校大约有10%的学生每天玩手机超过1小时，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A．B．C．D．解：令A1＝“玩手机时间超过1h的学生”，A7＝“玩手机时间不超过1h的学生”，B＝“任意调查一人，则Ω＝A1∪A3，且A1，A2互斥，P（A8）＝0.1，P（A5）＝0.9，P（B|A7）＝0.6，P（B）＝2.2，依题意，P（B）＝P（A1）P（B|A2）+P（A2）P（B|A2）＝4.1×0.5+0.9×P（B|A7）＝0.2，解得，所以所求近视的概率为．故选：C．4．已知焦点在x轴上的双曲线实轴长为4，渐近线方程为x±2y＝0，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．解：根据题意，要求双曲线的焦点在x轴上，即2a＝4，a＝7，又由双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，即＝，则b＝1，故双曲线的标准方程为﹣y2＝6．故选：D．5．南阳市博物院为国家二级博物馆，是豫西南最大的地方综合性博物馆、文化新地标，是展示南阳悠久历史和灿烂文化的重要窗口．南阳市博物院每周一闭馆（节假日除外）（周一）——3月10日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去南阳市博物院参观研学，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天（）A．20种B．50种C．60种D．100种解：首先，我们需要将高一年级的这两天看作一个整体，高二年级，然后，我们先安排高一年级参观，周三和周四，周五和周六，共5种选择，再从剩下的四天里安排高二年级，高三年级，有，根据乘法原理，我们可以得到总的方案数为．故选：C．6．若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则△PF1F2的面积值为（）A．4B．8C．12D．16解：对于椭圆可知：半长轴长为5，半焦距为34F2|＝6，设点P（m，n），则，所以△PF7F2的面积值为×6×．故选：A．7．已知过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面α的方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z ﹣z0）＝0．若平面α的方程为x+y﹣z﹣3＝0，直线l是平面x+2y﹣1＝0与x+z+3＝0的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．解：因为平面α的方程为x+y﹣z﹣3＝0，所以平面α的一个法向量为＝（8，1，同理可得，平面x+2y﹣6＝0的一个法向量为，2，7），平面x+z+3＝0的一个法向量为＝（5，0，设直线l的方向向量为＝（x，y，则，取x＝2，则y＝﹣7，所以，﹣1，设直线l与平面α所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＝＝，所以直线l与平面α所成角的正弦值为．故选：A．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在底面ABCD所在的平面上运动．下列说法不正确的是（）A．若点P满足D1P⊥AC，则动点P的轨迹为一条直线B．若DA＝1，动点P满足，则动点P的轨迹是圆C．若点P到点A与点C的距离比为2：1，则动点P的轨迹是椭圆D．若点P到直线AB的距离与到直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹为抛物线解：对于A，连接DB，D1B1，AC，∵BB5⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD1⊥AC，∵四边形ABCD是正方形，∴DB⊥AC，∵BB1∩DB＝B，∴AC⊥平面D8B1BD，当点P在直线BD上时，D1P⊂平面D8B1BD，∴AC⊥平面D1B6BD，当点P在直线BD上时，D1P⊂平面D1B6BD，∴D1P⊥AC，∴动点P的轨迹为直线BD，故A正确；对于B，连接DP1＝6，D1P＝，∴DP＝＝，∵DB＝，∴动点P的轨迹是在平面ABCD内以D为圆心，，故B正确；对于C，在平面ABCD内，以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，如图，设|DA|＝2，则A（﹣，C（，设P（x，y），∵，∴＝2）2+y2＝，∴动点P的轨迹是以（，0）为圆心，，故C错误；对于D，∵CC7⊥平面ABCD，PC⊂平面ABCD1⊥PC，∴点P到直线CC1的距离就是点P到点C的距离，∵点P到直线CC7的距离与到点C的距离相等，根据抛物线定义，动点P的轨迹是在平面ABCD内的抛物线．故选：C．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（3，0，5），B（2，3，0），C（0，5，0），则下列各点在平面ABC 内的是（）A．D（4，﹣1，2）B．E（3，2，0）C．F（﹣1，4，5）D．G（1，2，5）解：根据共面向量基本定理：对于A：，，，设，整理得（1，﹣3）＝λ（﹣4，3，5，﹣4），故，无解；故A错误；对于B：，，；设，整理得（7，2，3，﹣7）+μ（﹣3，5，故，有解，故B正确；同理：对于C和D采用同样的方法求出点F，G在平面ABC内，故选：BCD．10．下列说法不正确的是（）A．过点（3，4）且在x，y轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣7＝0B．过点P（2，1）与圆x2+y2＝5相切的直线有两条C．若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式共有7项D．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则解：A：当截距为0时，设直线方程为y＝kx，4）解得k＝，当截距不为0时，设直线方程为，3）解得a＝7，故A错误；B：因为23+12＝7，即点P在圆上，故B错误；C：令x＝1，则展开式的各项系数和为（，所以展开式共有7+2＝8项；D：由已知可得正太曲线关于ξ＝0对称，则P（ξ＞2）＝P（ξ＜﹣1）＝p﹣p．故选：ABC．11．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（）A．B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等C．记第n行的第i个数为a i，则D．第20行中第12个数与第13个数之比为4：3解：对于A：…+＝＝…+﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝209；对于B：第2023行中的数为（x+1）2023的展开式的二项式系数，则从左往右第1011个数为，≠，故B错误；对于C：第n行的第i个数为，则＝＝+…+ n＝4n，故C正确；对于D：第20行中的数为（x+1）20的展开式的二项式系数，则从左往右第12个数为，第13个数为，则＝＝＝×＝＝，故D正确．故选：AB．12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线于点M，则下列结论正确的是（）A．|AB|≥4B．的最小值为2C．△ABM的面积为定值D．若M在x轴上，则△ABM为直角三角形解：由椭圆的方程可知，椭圆的右焦点坐标为（1，则抛物线焦点为（1，所以p＝5，抛物线的标准方程为y2＝4x，准线方程为x＝﹣6，抛物线的焦点弦中，通径最短，则|AB|≥4；显然直线AB的斜率为0时不合题意，则设直线AB的方程为x＝ty+5，A（x1，y1），B（x6，y2），联立，得y2﹣7ty﹣4＝0，Δ＝16t5+16＞0，得y1+y7＝4t，y1y8＝﹣4，所以，则，因为MF与AB垂直，所以直线MF的斜率为﹣t，联立，解得，2t），所以点M到直线AB的距离，所以，当且仅当t＝0时，所以的最小值为2；△ABM的面积，当且仅当t＝0时，等号成立，即选项C错误；若M在x轴上，则M（﹣1，此时AB为通径，有A（4，2），﹣2），，满足|MA|5+|MB|2＝|AB|2，则△ABM为直角三角形，D选项正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则抛物线的标准方程为y2＝4x（答案不唯一）．（写出一个即可）解：根据题意，抛物线的焦点到准线的距离为2，当抛物线的焦点在x轴正半轴时，抛物线方程可以为：y2＝8x，故答案为：y2＝4x（答案不唯一）．14．已知x，y，z∈N*，且x+y+z＝6，记随机变量X为x，y，z中的最小值（X）＝．解：x，y，z∈N*，且x+y+z＝6，相当于6个7之间的5个空中插入两个挡板，故共有种情况，X的可能取值为1，2，其中X＝7时，只有三个数为2，2，7，故，则，所以．故答案为：．15．南阳素有“月季花城”的美誉，是“中国月季之乡”和世界月季名城．某社区对一个街心公园进行改造，在公园中央有一个正方形区域如图示，有5种不同的月季可供选择，要求相邻区域种植的月季不同．在所有的种植方案中随机选择一种方案．解：区域⑤有5种选择，区域①有4种选择，若区域③和区域①相同，则区域④有6种选择，若区域③和区域①不相同，则区域③有2种选择，∴所有的选择方案总数n＝5×4×3×（1×7+2×2）＝420种，该方案恰好只用到四种月季的方案：先从2种月季中选择4种，有＝5种选法，区域⑤有4种选择，则区域①③相同或区域②④相同，若区域①③相同，则区域②④不同，则区域①③不同，此时不同的选择方案种数为m＝＝240种，∴在所有的种植方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到四种月季的概率是：P＝＝＝．故答案为：．16．已知椭圆C：，经过原点O的直线l交C于A、B两点．P是C上异于A、B的一点，直线BP交x轴于点M，则椭圆的离心率e＝．解：∵P是C上异于A、B的一点，且∠BMO＝∠BOM，∴k AB＝﹣k PB，又直线AB、AP的斜率之积为，∴直线PB、AP的斜率之积为﹣，设P（m，n），y），﹣y），∴，，∴，∴＝﹣，∴k PB•k AP＝＝＝﹣＝，∴，∴椭圆的离心率e＝＝＝＝＝．故答案为：．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在下列所给的两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①与直线4x﹣3y＝0垂直；②一个方向向量为；问题：已知直线l过点P（1，﹣2），且_____．（1）求直线l的一般式方程；（2）若直线l与圆x2+y2＝10相交于A、B两点，求弦AB的长．解：（1）若选①，由直线4x﹣3y＝3，因为直线l与直线8x﹣3y＝0垂直，所以所求直线l的斜率为．因为直线l过点P（1，﹣4），即3x+3y+5＝0；若选②，因为直线l的一个方向向量为，所以直线l的斜率为，因为直线l过点P（1，﹣2），即3x+2y+5＝0．（2）由（1）可得：直线l的方程为8x+4y+5＝7．圆x2+y2＝10的圆心（6，0）到直线3x+8y+5＝0的距离为：．又圆x2+y2＝10的半径为，所以．18．（12分）一个袋子里放有除颜色外完全相同的2个白球、3个黑球．（1）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求两个小球颜色不同的概率；（2）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求在第1次摸到的是黑球的条件下解：（1）根据题意，设事件C：用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球．因为采取放回抽样方式，则每次摸一个白球的概率都为，摸到的两个小球颜色不同，即一次白球和一次黑球，其概率；即用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球的概率为．（2）设事件A为第一次摸到黑球，事件B为第二次摸到黑球，所以，，所以在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率为：．19．（12分）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，∠BAA1＝∠DAA1＝，AA1＝2．（1）求对角线AC1的长；（2）求直线AC1与A1B所成角的余弦值．解：（1）因为，又底面ABCD是正方形，，AB＝11＝4，所以，所以＝．（2）因为，所以，又，设直线AC1与A6B所成角为θ，所以，即直线AC1与A2B所成角的余弦值为．20．（12分）已知椭圆C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），且经过点，点M为椭圆C的右顶点，B（异于点M）两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若以AB为直径的圆过点M，求证直线l过定点，并求该定点坐标．解：（1）设椭圆C的半焦距为c＞0，由题意c＝1，，，由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|＝7＝2a，即a＝22＝a2﹣c2＝4，所以椭圆C的标准方程为：；（2）证明：由题意可知：M（5，0），若直线l的斜率为0，则A（x2，y1），B（﹣x1，y5），又因为，，由题意可知：，即，且，解得y1＝0，此时直线l：y＝4；若直线l的斜率不为0时，设x＝ty+n（n≠2），联立方程，整理可得：（3t3+4）y2+8tny+3n2﹣12＝3，则Δ＞0，可得，，又因为，，由题意可知：，则（ty1+n﹣2）（ty5+n﹣2）+y1y7＝0，整理得，则，又因为n≠2，则n﹣2≠0，整理得，即直线l：；综上所述：直线l过定点．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PB⊥平面ABCD，PB＝5，AD＝3，N为PC的中点．（1）求证：DN∥平面P AB；（2）求点N到面PBD的距离；（3）求平面P AD与平面PBC的夹角的余弦值．解：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PB⊥平面ABCD，PB＝5，AD＝3，以B为原点，，，分别为x，y，则B（0，0，8），0，0），5，0），6，7），0，5），．（1）证明：为平面P AB的一个法向量．．∵，∴．又DN⊄平面P AB，∴DN∥平面P AB．（2）设为面PBD的一个法向量，则，取y＝1，得，记点N到面PBD的距离为d，则d＝＝＝．∴点N到面PBD的距离为．（3）为平面PBC的一个法向量．设＝（a，b，则，取b＝5，则．设平面P AD与平面PBC的夹角为θ，则．∴平面P AD与平面PBC的夹角的余弦值为．22．（12分）某省2025年将开始全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）某校生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X，求X的分布列和均值；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y服从正态分布N（75.8，36）．若Y～N（μ，σ2），令η＝，则η～N（0，1）①若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的学生人数（ξ＝k）取得最大值时k的值．附：若η～N（0，1），则P（η≤0.8）≈0.788，P（η≤1.04）解：（1）某校生物学科获得A等级的共有10名学生，现从这10名学生中随机抽取3人，则随机变量X的所有可能的取值为0，2，2，3，根据条件得，，，，则随机变量X的分布列为：；（2）①若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，设该划线分为m，36）得μ＝75.8，令，则Y＝6η+75.8，依题意，P（Y≥m）≈3.85，即，因为当η～N（4，1）时，所以P（η≥﹣1.04）≈5.85，所以，故m≈69.56，则该划线分大约为70分；②由①讨论及参考数据得P（Y≥71）＝P（6η+75.8≥71）＝P（η≥﹣8.8）＝P（η≤0.5）≈0.788，即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788，故ξ～B（800，8.788），，由即解得630.188≤k≤631.188，又k∈N，所以k＝631，所以当k＝631时P（ξ＝k）取得最大值．。

河南省南阳市2019-2020学年度高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知条件p：，q：，则p是q的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．解：由x＞1，推出＜1，p是q的充分条件，由＜1，得＜0，解得：x＜0或x＞1．不是必要条件，故选：A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．2.已知命题,总有,则为A. ,使得B. ,使得C. ,总有D. ,总有【答案】B【解析】由全称性命题的否定是特称性命题，可知选C.3.已知为等差数列的前n项和，，则等于A. B. 36 C. 54 D. 108【答案】B【解析】【分析】由等差数列性质，利用等差数列前n项和公式得，由此能求出结果．【详解】解：为等差数列的前n项和，，．故选B．【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.函数在上的最大值和最小值分别是（）A. 2，-18B. -18，-25C. 2，-25D. 2，-20 【答案】C【解析】由题意得，令，解得或，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数的最小值为，又，则，所以函数的最大值为，故选C.5.中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是A. a，b，c依次成公比为2的等比数列，且B. a，b，c依次成公比为2的等比数列，且C. a，b，c依次成公比为的等比数列，且D. a，b，c依次成公比为的等比数列，且【答案】D【解析】由条件知，，依次成公比为的等比数列，三者之和为50升，根据等比数列的前n项和，即故答案为D.6.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】a，b，c成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出答案．【详解】解：，b，c成等比数列，，又，，则，故选C．【点睛】本题考查了余弦定理、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.已知变量满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图：可得当，时取得最大值，所以，故选8.如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故选A.考点：抛物线的标准方程及其性质9.已知是可导函数，如图，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，，求得k，求出的导数，计算可得所求值．【详解】解：由直线是曲线在处的切线，曲线过可得，，即有，，，可得，则，故选B．【点睛】本题考查导数的几何意义，直线方程的运用，函数求导，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据题意，抛物线上一点到其焦点的距离为5，则点到抛物线的准线的距离也为5，即即抛物线的方程为易得，即M的坐标为;双曲线的左顶点为，则，且的坐标为其渐近线方程为,而，又由若双曲线的一条渐近线与直线平行，则有,选A考点：抛物线，双曲线的有关性质【名师点睛】本题考查双曲线与抛物线的有关性质，属容易题；解题时需要牢记双曲线的渐近线方程、顶点坐标等知识．同时也要理解记忆抛物线的定义，解题时才能得心应手.11.设直线与函数，的图象分别交于点M，N，则当达到最小值时，t的值为A. 1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先构造函数：设，再利用导数求函数的单调性及极值：由，即函数在为减函数，在为增函数，即，得解．【详解】解：设，则，当时，，当时，，即函数在为减函数，在为增函数，所以时取极小值即，即当达到最小值时，t的值为1，故选A．【点睛】本题考查了建立函数解析式，函数求导，利用导数求函数的最值，属中档题．12.已知椭圆C：点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则离心率e的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得：，解不等式求解．【详解】解：，设，由M在椭圆上，则．所以，可得：，解不等式得故选C．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若，则的最小值是______．【答案】【解析】【分析】由已知可知，然后利用基本不等式即可求解．【详解】解：，，（当且仅当取等号）故答案为．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．14.函数的单调递增区间是______．【答案】或【解析】【分析】求的导函数，利用，可得函数的单调递增区间．【详解】解：由，得令，可得故函数的单调递增区间是故答案为或.【点睛】本题考查导数知识的运用，函数求导，考查函数的单调性，属于基础题．15.在数列中，“，又，则数列的前n项和为______．【答案】【解析】【分析】运用等差数列的求和公式可得，可得，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【详解】解：，则，可得数列的前n项和．故答案为．【点睛】本题考查数列的前项和，首先运用数列的裂项法对项进行分解，然后重新组合，最终达到求和目的，考查化简整理的运算能力，属于基础题．16.设、分别为双曲线C：的左右焦点，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于M、N两点，且满足，则该双曲线的离心率为______．【答案】【解析】如图，，由已知条件知圆的方程为由，得，，又，，，，即双曲线的离心率为，故答案为. 【方法点睛】本题主要考查双曲线的渐近线、离心率及简单性质，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据题平面向量夹角的余弦公式，建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出之间的关系，求出离心率．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知，在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且．求角A的大小；设的面积为，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】根据正弦定理，化简整理得，结合解出，从而可得A的值．由三角形的面积公式，从而解出，再结合基本不等式求最值，即可得到a的取值范围．【详解】解：．由正弦定理可得：，又，可得：，又．，的面积为，解得：，由余弦定理可得：，当且仅当时等号成立．综上，边a的取值范围为．【点睛】本题考查了利用正余弦定理解三角形，三角形的面积公式和三角恒等变换及运用，基本不等式求值域等知识，由函数值求角，要考虑角的范围，属于中档题．18.已知；函数有两个零点．(1)若为假命题，求实数的取值范围；(2)若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）若为假命题，则两个命题均为假命题，先求出为真时参数的范围再求补集即可；（2）若为真命题，为假命题，则一真一假试题解析：若为真，令，问题转化为求函数的最小值，，令，解得，函数在上单调递减，在上单调递增，故，故．若为真，则，或．(1)若为假命题，则均为假命题，实数的取值范围为．(2)若为真命题，为假命题，则一真一假．若真假，则实数满足，即；若假真，则实数满足，即．综上所述，实数的取值范围为．19.已知数列前n项和为，且．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】运用数列的递推式：时，，当时，，结合等比数列的通项公式，可得所求；求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【详解】解：，可得，即，当时，，化为，所以为等比数列，则；，可得前n项和，，相减可得，化简可得．【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.已知抛物线C：焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且．Ⅰ求此抛物线C的方程；Ⅱ过点做直线交抛物线C于A，B两点，求证：．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）设抛物线C：，点，代入抛物线方程，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可求得p=2，进而得到抛物线方程；（Ⅱ）讨论当直线l斜率不存在时，求出A，B坐标，可得OA⊥OB；当直线l斜率存在时，设l：y=k（x-4），联立抛物线方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，化简整理即可得证试题解析：（1）设，点，则有，所以抛物线的方程为．（2）当直线斜率不存在时，此时，解得满足当直线斜率存在时，设，联立方程设，则综上，成立．考点：抛物线的方程和性质21.已知函数，.（1）求函数的极值；（2）当时，若直线：与曲线没有公共点，求的取值范围.【答案】（1）当时，函数无极值；当时，有极小值为，无极大值. （2）.【解析】试题分析：（1）求得，可分和两种情况分类讨论，得出函数的单调性，即可求得函数的极值；（2）当时，把直线：与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程在上没有实数解，即在上没有实数解，令，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求解实数的取值范围.试题解析：（1）定义域为，.①当时，，为上的增函数，所以函数无极值.②当时，令，解得.当，，在上单调递减；当，，在上单调递增.故在处取得极小值，且极小值为，无极小值.综上，当时，函数无极值；当时，有极小值为，无极大值.（2）当时，，直线：与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程在上没有实数解，即在上没有实数解.令，则有.令，解得，当变化时，，的变化情况如下表：且当时，；时，的最大值为；当时，，从而的取值范围为.所以当时，方程无实数解，解得的取值范围是.点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的极值，以及函数与方程思想的应用，试题综合性较强，属于中档试题，此类问题的解答中正确把握导数与函数性质的关系是解答关键，同时准确求解函数的导数也是一个重要的环节.22.已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为．求椭圆C的方程；直线l与椭圆C交于，两个不同点，O为坐标原点，若的面积为，证明：为定值．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】由离心率为，，，由，解得：，，即可求得椭圆C的方程；直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，，，由三角形面积公式即可求得和的值，可得的值，当直线斜率存在，设出直线方程代入椭圆方程，利用及韦达定理求得和的关系，利用点到直线的距离公式和弦长公式求得的面积，求得m和k的关系式，即可证明为定值.【详解】解：椭圆C：的焦点在x轴上，离心率为，，椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为，即，由，解得：，，椭圆的标准方程为：；证明：当直线轴时，，的面积，解得：，，故．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，联立可得：，，即，由韦达定理可知，．．点O到直线l的距离为则的面积．整理得：，满足，代入综上为定值.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式及三角形面积公式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．。

2019-2020学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在数列{}n a 中，11a =，120n n a a +-=，则5(a = ) A ．16B ．32C ．64D ．1282．（5分）若()f x f ='（1）2x x e +，则f （1）(= ) A ．eB ．0C ．1e +D ．1e -3．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒4．（5分）不等式2230x x --<成立的一个必要不充分条件是( ) A ．13x -<<B ．03x <<C ．23x -<<D ．21x -<<5．（5分）已知双曲线2214x y -=两个焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线上，1260F PF ∠=︒，则△12F PF 的面积为( ) A ．2B ．4C ．33D ．36．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件0230y y x x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩，则2z x y =-的取值范围是( )A ．[3-，1]B ．[1-，0]C ．[1-，3]D ．[0，3]7．（5分）若三个实数4，a ，9成等比数列，则圆锥曲线221y x a+=的离心率是( )A ．305或7 B ．77或306C ．305或77D ．306或7 8．（5分）设曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为( )A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知数列{}n a 满足：11a =，0n a >，22*)11(n n a a n N +-=∈，那么使5n a <成立的n的最大值为( ) A ．4B ．5C ．24D ．2510．（5分）若点(,1)P a a +不在二元一次不等式组0333x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩表示的平面区域之内，则a 满足的条件是( ) A ．12a <<B ．1a <或2a >C ．01a <<D ．0a <或1a >11．（5分）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为36π，则(p = ) A ．2B ．4C ．6D ．812．（5分）已知函数21()2()f x lnx x e e=，()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图象上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是( )A ．2[,2]e e-B ．2[3e --，3]eC ．2[e --，3]eD ．32[2,3]e e --二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若曲线3y x ax =+在原点处的切线方程是20x y -=，则实数a = ．14．（5分）椭圆221169x y +=的左、右顶点分别为A 、B 、P 为椭圆上任意一点，则直线PA和直线PB 的斜率之积等于 ．15．（5分）若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1,)m ，则实数m = ． 16．（5分）已知直线1:220l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．命题p ：关于x 的不等式2240x mx ++>对一切x R ∈恒成立；命题q ：方程22113x y m m +=+-表示的曲线是双曲线．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围． 18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos a c B b C -=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若,24A a π==，求ABC ∆的面积．19．已知1x =是函数()(2)x f x ax e =-的一个极值点．()a R ∈ （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当1x ，2[0x ∈，2]时，证明：12()()f x f x e -． 20．已知数列{}n a 满足12a =-，124n n a a +=+．()I 证明数列{4}n a +是等比数列； （Ⅱ）求数列{||}n a 的前n 项和n S ．21．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． （Ⅰ）若2AF FB =，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．22．已知函数22()()f x lnx ax a x a R =+-∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的1(0,)2a ∈，存在[1x ∈，2]，使得()(21)1f x m a <++成立，求实数m 的取值范围．2019-2020学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在数列{}n a 中，11a =，120n n a a +-=，则5(a = ) A ．16B ．32C ．64D ．128【解答】解：在数列{}n a 中，11a =，120n n a a +-=，即12n n a a +=， 则数列{}n a 以11a =，公比为2的等比数列， 则451216a =⨯=， 故选：A ．2．（5分）若()f x f ='（1）2x x e +，则f （1）(= ) A ．eB ．0C ．1e +D ．1e -【解答】解：由()f x f ='（1）2x x e +，求导得：()2f x f '='（1）x x e +，令1x =可得，f '（1）2f ='（1）e +，解得f '（1）e =-． 2()x f x ex e ∴=-+，f ∴（1）0e e =-+=．故选：B ．3．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒【解答】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5， 设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180θ︒-， 有余弦定理可得，2564491cos 2582θ+-==⨯⨯，易得60θ=︒，则最大角与最小角的和是180120θ︒-=︒， 故选：B ．4．（5分）不等式2230x x --<成立的一个必要不充分条件是( ) A ．13x -<<B ．03x <<C ．23x -<<D ．21x -<<【解答】解：由22301323x x x x --<⇔-<<⇒-<<， 故选：C ．5．（5分）已知双曲线2214x y -=两个焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线上，1260F PF ∠=︒，则△12F PF 的面积为( ) A ．2B ．4CD【解答】解：双曲线2214x y -=的2a =，1b =，c =设1||PF m =，2||PF n =，则||24m n a -==，222242cos60()20c m n mn m n mn =+-︒=-+=， 即有4mn =，则△12F PF的面积为11sin 60422mn ︒=⨯故选：D ．6．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件0230y y x x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩，则2z x y =-的取值范围是( )A ．[3-，1]B ．[1-，0]C ．[1-，3]D ．[0，3]【解答】解：实数x ，y 满足约束条件0230y y x x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩作出可行域如图：由2z x y =-得1122y x z =-， 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）: 平移直线1122y x z =-， 由图象可知当直线1122y x z =-，过点C 时，直线1122y x z =-的截距最小，此时z 最大， 由230y x x y =⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)A ，代入目标函数2z x y =-，得1z =-； ∴目标函数2z x y =-的最小值是1-．当直线1122y x z =-，过点(3,0)B 时，直线1122y x z =-的截距最小，此时z 最大， 代入目标函数2z x y =-，得3z =， ∴目标函数2z x y =-的最大值是3．则2z x y =-的取值范围是：[1-，3]． 故选：C ．7．（5分）若三个实数4，a ，9成等比数列，则圆锥曲线221y x a+=的离心率是( )A 307 B 730C 307D 307【解答】解：由4，a ，9成等比数列，得236a =，6a ∴=-或6a =．当6a =-时，圆锥曲线221y x a+=是焦点在x 轴上的双曲线，此时1a =，6b =，7c =7当6a =时，圆锥曲线221y x a+=是焦点在y 轴上的椭圆，此时6a ，1b =，615c =-5306=． ∴圆锥曲线221y x a+=307 故选：D ．8．（5分）设曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，()cos g x x ∴=，则函数22()cos y x g x x x ==，设2()cos f x x x =， 则()()f x f x -=，cos()cos x x -=，()y f x ∴=为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A 、B ． 令0x =，得(0)0f =．排除D ． 故选：C ．9．（5分）已知数列{}n a 满足：11a =，0n a >，22*)11(n n a a n N +-=∈，那么使5n a <成立的n的最大值为( ) A ．4B ．5C ．24D ．25【解答】解：由题意2211n n a a +-=，2n a ∴为首项为1，公差为1的等差数列，21(1)1n a n n ∴=+-⨯=，又0n a >，则n a n =由5n a <5n ，25n ∴<．那么使5n a <成立的n 的最大值为24． 故选：C ．10．（5分）若点(,1)P a a +不在二元一次不等式组0333x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩表示的平面区域之内，则a 满足的条件是( ) A ．12a <<B ．1a <或2a >C ．01a <<D ．0a <或1a >【解答】解：因为点(,1)P a a +不在二元一次不等式组0333x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩表示的平面区域之内；0a ∴<或(1)3a a ++>或3(1)3a a ++<； 所以：0a <或1a >或0a <； 即0a <或1a >； 故选：D ．11．（5分）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为36π，则(p = ) A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，OFM ∴∆的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径 圆面积为36π，∴圆的半径为6， 又圆心在OF 的垂直平分线上，||2pOF =， ∴624p p+=， 8p ∴=， 故选：D ．12．（5分）已知函数21()2()f x lnx x e e=，()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图象上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是( )A ．2[,2]e e-B ．2[3e --，3]eC ．2[e --，3]eD ．32[2,3]e e --【解答】解：设(,)a b 是函数()f x 上的点，则21a e e，2b lna =， 则点(,)a b 关于1y =对应的点为(,2)a b -在()g x 上， 即21b am -=+有解，即12lna am -=， 当0m =时，不满足条件． 当0m ≠时，12lnam a-=， 设h （a ）12lnaa-=， 则h '（a ）2222(12)121232a lna lna lnaa a a a -⨯--⨯--+-+===， 当21a e e时，12lna -，则，224lna -， 即由h '（a ）0>，得320lna -+>，得32lna >，即322e a e <<，时，函数为增函数，由h '（a ）0<，得320lna -+<，得32lna <，即321a e e <<时，函数为减函数，即当32a e =时，函数h （a ）取得极小值同时也是最小值3332223212()2lne h e e e--==-，又2222123()lne h e e e--==，1121()31ln e h e e e-==，∴函数h （a ）的最大值为3e ，即h （a ）的取值范围是32[2,3]e e --， 则m 的取值范围是32[2,3]e e --， 故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若曲线3y x ax =+在原点处的切线方程是20x y -=，则实数a = 2 ． 【解答】解：函数的导数为2()3f x x a '=+，因为在原点处的切线方程是20x y -=，所以切线的斜率2k =， 即(0)2f '=，即2a =． 故答案为：2．14．（5分）椭圆221169x y +=的左、右顶点分别为A 、B 、P 为椭圆上任意一点，则直线PA和直线PB 的斜率之积等于 916- ．【解答】解：椭圆221169x y += 的左、右顶点分别为(4,0)A -、(4,0)B ，由22229(1)0091644161616PA PBx y y y k k x x x x ---====-+---， 故答案为：916-． 15．（5分）若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1,)m ，则实数m = 2 ． 【解答】解：关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1,)m ， ∴方程2260ax x a -+=的两个实数根1和m ，且1m >；由根与系数的关系得， 611m a m a⎧+=⎪⎨⎪⨯=⎩， 解得2m =或3m =-；2m ∴=． 故答案为：2．16．（5分）已知直线1:220l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是455． 【解答】解：由抛物线24y x =，得焦点坐标为(1,0)F ，准线方程为2:1l x =-， 由抛物线定义知，P 到直线2l 的距离等于P 到抛物线焦点F 得距离．故问题化为在抛物线24y x =上找一点P ，使得P 到F 的距离和到直线1:220l x y -+=的距离和最小．最小值为F 到1:220l x y -+=的距离，等于|202|45541-+=+． 故答案为：455．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．命题p ：关于x 的不等式2240x mx ++>对一切x R ∈恒成立；命题q ：方程22113x y m m +=+-表示的曲线是双曲线．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围． 【解答】解：不等式2240x mx ++>对一切x R ∈恒成立， 故△24160m =-<，22m ∴-<<．又方程22113x y m m +=+-表示的曲线是双曲线，(1)(3)0m m ∴+-<，解得13m -<<．由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假． （1）若p 真q 假，则2213m m m -<<⎧⎨-⎩或，21m ∴-<-；（2）若p 假q 真，则2213m m m -⎧⎨-<<⎩或，23m ∴<．综上可知，所求实数m 的取值范围是(2-，1][2-，3)．18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos a c B b C -=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若,24A a π==，求ABC ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=． ⋯（2分） 2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B C B B C B C A ∴=+=+=，⋯（4分） (0,)A π∈，sin 0A ∴≠． 1cos 2B ∴=． 又0B π<<，3B π∴=． ⋯（6分）（Ⅱ）由正弦定理sin sin a bA B=，得2b == ⋯（8分） 4A π=，3B π=，512C π∴=，sin sin C ∴= 5sin()sin cos 12646ππππ=+= cos 4π+ 4πsin 6π． ⋯（11分）11sin 222S ab C ∴==⨯=． ⋯（13分）19．已知1x =是函数()(2)x f x ax e =-的一个极值点．()a R ∈ （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当1x ，2[0x ∈，2]时，证明：12()()f x f x e -．【解答】（Ⅰ）解：已知()(2)x f x ax a e '=+-，f '（1）0=，1a ∴=． 当1a =时，()(1)x f x x e '=-，在1x =处取得极小值．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，()(2)x f x x e =-，()(1)x f x x e '=-． 当[0x ∈，1]时，()(1)0x f x x e '=-，()f x ∴在区间[0，1]单调递减； 当(1x ∈，2]时，()(1)0x f x x e '=->，()f x ∴在区间(1，2]单调递增．所以在区间[0，2]上，()f x 的最小值为f （1）e =-，又(0)2f =-，f （2）0=， 所以在区间[0，2]上，()f x 的最大值为f （2）0=． 对于1x ，2[0x ∈，2]，有12()()()()max min f x f x f x f x --． 所以12()()0()f x f x e e ---=．20．已知数列{}n a 满足12a =-，124n n a a +=+．()I 证明数列{4}n a +是等比数列； （Ⅱ）求数列{||}n a 的前n 项和n S ．【解答】()I 证明：数列{}n a 满足12a =-，124n n a a +=+，142(4)n n a a +∴+=+，∴数列{4}n a +是等比数列，公比与首项为2．()II 解：由()I 可得：42n n a +=，24n n a ∴=-，∴当1n =时，12a =-；2n 时，0n a ，2n ∴时，231232(24)(24)(24)n n n S a a a a =-+++⋯+=+-+-+⋯+- 12(21)4(1)24221n n n n +-=--=-+-．1n =时也成立．1242n n S n +∴=-+．*n N ∈．21．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． （Ⅰ）若2AF FB =，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意(1,0)F ，设直线AB 方程为1x my =+． ⋯（1分） 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2440y my --=．⋯（3分） 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，所以124y y m +=，124y y =-． ①⋯（4分） 因为2AF FB =，所以122y y =-． ②⋯（5分） 联立①和②，消去1y ，2y ，得24m =±．⋯（6分） 所以直线AB 的斜率是22±． ⋯（7分）（Ⅱ）解：由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点， 从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2AOB S ∆． ⋯（9分） 因为12122||||2AOBSOF y y =⨯-⋯（10分） 221212()441y y y y m =+-=+，⋯（12分）所以0m =时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4． ⋯（13分）22．已知函数22()()f x lnx ax a x a R =+-∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的1(0,)2a ∈，存在[1x ∈，2]，使得()(21)1f x m a <++成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域为(0,)+∞，222121()2a x ax f x a a x x x-++'=+-=若0a =，1()0f x x='>，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞； 若0a >，令()0f x ='，解得12x a=-，1x a =．当0a >时，()f x '，()f x 的变化情况如下表故函数()f x 的单调递增区间是1(0,)a ，单调递减区间是1(a ，)+∞；当0a <时，()f x '，()f x 的变化情况如下表，故函数()f x 的单调递增区间是1(0,)2a-，单调递减区间是1(,)2a -+∞．（2）由（1）可知，函数()f x 在[1，2]上是单调递增的，所以()min f x f =（1）2a a =-，由题意可得，2210a ma ++>在1(0,)2a ∈上恒成立．即m ．11()2a a -+在1(0,)2a ∈上恒成立．因为函数1y x x=+在1(0,)2是单调递减的，所以，54m -．。

2020-2021学年河南省南阳地区高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 命题p ：∀x ∈R ，x 2−sinx <0的否定是( )A. ∀x ∈R ，x 2−sinx ≥0B. ∃x ∈R ，x 2−sinx ≥0C. ∀x ∈R ，x 2−sinx >0D. ∃x ∈R ，x 2−sinx >02. 双曲线mx 2−y 2=1的渐近线方程为y =±2x ，则m =( )A. 4B. 2C. 12D. 143. 在等差数列{a n }中，若a 2=4，a 5=13，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=( )A. 27B. 35C. 38D. 424. 已知函数f(x)=2lnx −f′(2)x +3，则f(1)=( )A. 12B. 32C. 52D. 925. 已知实数x ，y 满足{x +y ≥1x ≤1y ≤1，则z =2x −y 的最大值为( )A. −1B. 0C. 1D. 26. 已知a >0，b >0，a +4b =2，则4a +9b 的最小值为( )A. 32B. 16C. 8D. 47. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,m)，则“m <1”是“<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >为钝角”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 若函数f(x)=x 3−6x +a 在[−2,1]上的最大值是4，则a =( )A. 0B. 4−4√2C. 9D. 4√2−19. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，A ，B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且|AB|=4b ，则双曲线C 的离心率为( )A. 2√33B. √2C. √3D. 210. 已知数列{a n }满足12a 1+122a 2+123a 3+⋅⋅⋅+12n a n =2n ，则a 1a 22+a 2a 322+a 3a 423+⋅⋅⋅+a n a n+12n=( )A. 2n+5−48B. 2n+4−16C. 4n+1+323D. 2⋅4n+2−60311.a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知bsinB+csinC−asinA=32csinB，且b+2c=323cosA，当a取得最小值时，c=()A. 94B. 52C. 114D. 312.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为f′(x)，且对任意实数x都有f(x)+f′(x)>1，则不等式e x f(x)>e x−1的解集为()A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,1)D. (1,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13.函数f(x)=x2−xe x的图象在点(0,f(0))处的切线方程为______ ．14.已知p：x2−2ax+a2<4，q：log2(x+1)<3.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______ ．15.给出下列命题：①函数f(x)=x2+1x2+2的最小值是0；②“若x2=4，则x=2”的否命题；③若b2=ac，则a，b，c成等比数列；④在△ABC中，若sinA>sinB，则BC>AC．其中所有真命题的序号是______ ．16.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点.点D为OA的中点，B，D在y轴上的投影分别为P，Q，则|PQ|的最小值是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知p：−2<x+1<5.q：x2+4x−5>0．(1)若￢q是真命题，求x的取值范围；(2)若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求x的取值范围．,2S n成等差数列．18.设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且a1,3a n2(1)证明：数列{a n}是等比数列；(2)求数列{a n a n+1}的前n项和T n．19.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点．(1)若x12+x22=12，求弦长|AB|；(2)若直线l的斜率为2，O为坐标原点，求△AOB的面积．20.a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知(a+2b)(a2+b2−c2)=a(b2+c2−a2)+2b(a2+c2−b2).(1)若a=4，b=2，求△ABC的面积；(2)证明：tanC=sinA+2sinB．cosA+2cosB21. 已知函数f(x)=x 3−x 2−alnx ．(1)当a =0时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在定义域内单调递增，求a 的取值范围．22. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，且经过点(1,√22)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知M(0,m)(m >1)，经过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若原点到直线l 的距离为1，且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线l 的方程．答案和解析1.【答案】B【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，x2−sinx≥0故选：B．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由题意双曲线mx2−y2=1，，b2=1，可得a2=1m双曲线的渐近线方程为y=±2x，=m=4．则b2a2故选：A．利用已知条件，求解a，b，结合双曲线的渐近线方程，求解m即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法与应用，是基础题．3.【答案】B【解析】解：数列{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，=3，a1=1，∵a2=4，a5=13，∴d=13−45−2∴a1+a2+a3+a4+a5=(1+13)×5=35，2故选：B．由题意利用等差数列的定义、通项公式求出首项a1，公差d的值，可得要求式子的值．本题主要考查等差数列的定义、通项公式，前n项和公式，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由题意可得f′(x)=2x−f′(2)，则f′(2)=22−f′(2)，解得f′(2)=12，所以f(x)=2lnx−12x+3，所以f(1)=0−12+3=52．故选：C．先对函数进行求导，然后令x=2，即可求出f′(2)求出函数f(x)的解析式，代入x=1即可．本题考查了函数的求问题，解题的关键是先求出f′(2)，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由约束条件画出可行域如图，化目标函数z=2x−y为y=2x−z，由图可知当直线y=2x−z过点(1,0)时，直线在y轴上的截距最小，z取得最大值2，故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．6.【答案】A【解析】解：∵4a +9b=12(a+4b)(4a+9b)=12(40+16ba+9ab)，16ba+9ab≥2√16ba⋅9ab=24，∴4a +9b≥32，当且仅当4b=3a=32时取等号．∴4a +9b的最小值为32．故选：A ．利用“乘1法”与基本不等式即可得出．本题考查了基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：若〈AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉为钝角，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ <0，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 不反向共线， 所以−2+2m <0，所以m <1． 当AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线时，可得−21= m 2，所以m =−4，即<AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >为钝角时，m <1且m ≠−4， 所以“m <1”是“〈AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉为钝角”的必要不充分条件． 故选：B ．根据向量夹角为钝角求出m 的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量夹角为钝角的等价条件是解决本题的关键，是基础题．8.【答案】B【解析】解：函数f(x)=x 3−6x +a ，可得f′(x)=3x 2−6． 当x ∈[−2,−√2)时，f′(x)>0；当x ∈(−√2,1]时，f′(x)<0． 所以f(x)在[−2,1]上的最大值是f(−√2)=4√2+a =4， 解得a =4−4√2． 故选：B ．求出函数的导数，判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的最值，列出方程求解a 即可．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．9.【答案】A【解析】解：由双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1，则其渐近线方程为y =±ba x ，因为A ，B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以|AO|=|BO|=|FO|=c ，所以2c =4b ， 所以c =2b =2√c 2−a 2，所以3c 2=4a 2， 所以e =ca =2√33， 故选：A ．求得双曲线的渐近线方程，结合向量垂直的条件和直角三角形的性质，可得|AO|=|BO|=c ，|AB|=2c =4b ，结合a ，b ，c ，e 的关系，计算双曲线C 的离心率即可． 本题考查双曲线的方程和性质，以及向量垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：依题意，由12a 1+122a 2+123a 3+⋯+12n a n =2n ，可得12a 1+122a 2+123a 3+⋯+12n a n +12n+1a n+1=2(n +1)， 两式相减，可得12n+1a n+1=2， ∴a n+1=2⋅2n+1=2n+2，n ∈N ∗， ∴a n =2n+1，n ≥2， 又∵12a 1=2，∴a 1=4， ∴a n =2n+1，n ∈N ∗， ∴a n a n+12n =2n+1⋅2n+22n=2n+3，∴a 1a 22+a 2a 322+a 3a 423+⋯+a n a n+12n=24+25+26+⋯+2n+3 =24(1−2n )1−2=2n+4−16． 故选：B ．本题根据已知条件进行转化计算可得12n+1a n+1=2，然后进一步推导出a n =2n+1，n ≥2，再计算出a n a n+12n=2n+3，代入所求算式并根据等比数列的求和公式即可计算出结果．本题主要考查数列求通项公式，以及求前n项和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，是中档题．11.【答案】C【解析】解：因为bsinB+csinC−asinA=32csinB，所以b2+c2−a2=32bc，所以cosA=b2+c2−a22bc =34，则b+2c=8，所以a2=b2+c2−32bc=(8−2c)2+c2−32(8−2c)c=8c2−44c+64，当c=−−442×8=114时a2取得最小值，即a取得最小值．故选：C．由正弦定理化简已知等式可得b2+c2−a2=32bc，利用余弦定理可求cos A，进而利用余弦定理可求a2=8c2−44c+64，进而利用二次函数的性质即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及二次函数的性质的综合应用，考查了计算能力和函数思想，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：设g(x)=e x[f(x)−1]，则g′(x)=e x f(x)+e x f′(x)−e x．因为f(x)+f′(x)>1，所以e x f(x)+e x f′(x)>e x，即e x f(x)+e x f′(x)−e x>0，故g(x)在R上单调递增．因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，所以g(0)=−1，不等式e x f(x)>e x−1，即g(x)>g(0)，则x>0．故选：B．利用函数的导数判断函数的单调性，结合函数的奇偶性转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．13.【答案】x+y=0【解析】解：由题意可得f′(x)=2x −(x +1)e x ，则f′(0)=−1． 因为f(0)=0，所以所求切线方程为−x ，即x +y =0． 故答案为：x +y =0．求出函数的导数，求解切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程． 本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，是基础题．14.【答案】[1,5]【解析】解：由x 2−2ax +a 2<4，得x 2−2ax +a 2−4<0， 所以p ：a −2<x <a +2，由log 2(x +1)<3，得0<x +1<8，所以q ：−1<x <7， 因为p 是q 的充分不必要条件， 所以(a −2,a +2)⫋(−1,7)，所以{a +2≤7a −2≥−1，即{ a ≤5a ≥1，即1≤a ≤5．故答案为：[1,5]．根据不等式的解法求出p ，q 的等价条件，结合充分不必要条件的定义转化为不等式关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合不等式的解法求出p ，q 的等价条件是解决本题的关键，是基础题．15.【答案】②④【解析】解：对于①，设t =x 2+2≥2，则y =t +1t −2在[2,+∞)上单调递增， 从而y min =2+12−2=12，即f(x)的最小值为12，故①是假命题；对于②，由x 2≠4，得x ≠±2，则“若x 2=4，则x =2”的否命题是真命题，故②是真命题；对于③，当a =b =0时，b 2=ac =0，此时，a ，b ，c 不能构成等比数列，故③是假命题；对于④，因为A ，B 是△ABC 的内角，所以0<A +B <π， 又因为sinA >sinB ，所以A >B ，则BC >AC ，故④是真命题． 故答案为：②④．利用换元法以及函数的单调性求解最小值判断①；写出否命题，判断真假，判断②；反例判断③；正弦定理判断④．本题考查命题的真假的判断与应用，考查四种命题的逆否关系，正弦定理以及等比数列的判断，函数的性质的应用，的中档题．16.【答案】4√2【解析】 【分析】本题考查抛物线的性质及均值不等式，属于中档题．设直线的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而可得OA 的中点D ，P ，Q 的坐标，由均值不等式求出|PQ|的最小值． 【解答】解：如图，设直线l 的方程为x =my +2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{x =my +2y 2=8x ，整理得y 2−8my −16=0，则y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−16．因为D 为OA 的中点，所以D(x 12,y 12)，则Q(0,y12)，P(0,y 2)，从而|PQ|=|OP|+|OQ|=|y 2|+|y 12|≥2√|y 1y 2|2=4√2，当且仅当|y 2|=|y 12|，即y 1=4√2，y 2=−2√2或y 1=−4√2，y 2=2√2时，等号成立． 故答案为：4√2．17.【答案】解：(1)由q ：x 2+4x −5>0，可得q ：x <−5或x >1，则￢q ：−5≤x ≤1，因为￢q 是真命题，所以x 的取值范围为[−5,1]．(2)因为p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题， 所以p 和q 一个是真命题，一个是假命题．当p 为真命题，且q 为假命题时，则{−2<x +1<5x 2+4x −5≤0，解得−3<x ≤1；当q 为真命题，且p 为假命题时，则{x +1≤−2或x +1≥5x 2+4x −5>0，解得x <−5或x ≥4．综上，x的取值范围为(−∞,−5)∪(−3,1]∪[4,+∞)．【解析】(1)由题意解出q命题的x范围，在由否命题是真命题，可求x的取值范围；(2)由复合命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，分类讨论转化为不等式组可求x的取值范围．本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，属于基础题．18.【答案】证明：(1)∵a1,3a n2,2S n成等差数列，∴3a n=2S n+a1，当n≥2时，3a n−1=2S n−1+a1，则3a n−3a n−1=2a n，即a n=3a n−1，即a na n−1=3．∵a1=1，∴数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列；解：(2)由(1)可得a n=a1q n−1=3n−1，则a n a n+1=3n−1⋅3n=32n−1，则T n=3+33+35+⋯+32n−1，……故T n=3×[1−(32)n]1−32=32n+1−38．【解析】(1)由已知结合等差数列的性质可得3a n=2S n+a1，当n≥2时，得3a n−1=2S n−1+a1，两式联立，可得a na n−1=3.再由a1=1，得到数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列；(2)由(1)求出数列{a n}的通项公式，进一步得到数列{a n a n+1}的通项公式，再由等比数列的前n项和求数列{a n a n+1}的前n项和T n．本题考查数列递推式，考查等差数列的性质，训练了等比数列通项公式及前n项和的求法，是中档题．19.【答案】解：(1)由抛物线的性质可得|AF|=y1+1=x124+1，|BF|=y2+1=x224+1，则|AB|=|AF|+|BF|=x12+x224+2．因为x12+x22=12，所以|AB|=x12+x224+2=124+2=5．(2)由题意可得F(0,1)．因为直线l 过点F ，且斜率为2，所以直线l 的方程为y =2x +1． 联立{y =2x +1x 2=4y ，整理得x 2−8x −4=0，则x 1+x 2=8，x 1x 2=−4，从而x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=64+8=72，故|AB|=724+2=20．点O 到直线l 的距离d =√4+1=√55， 则△AOB 的面积为12|AB|⋅d =12×20×√55=2√5．【解析】(1)由抛物线的定义和点满足抛物线的方程，化简整理可得所求弦长； (2)可得直线l 的方程为y =2x +1，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，三角形的面积公式，计算可得所求值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为a =4，b =2，所以8(20−c 2)=4(c 2−12)+4(c 2+12)，解得c 2=10， 则cosC =a 2+b 2−c 22ab=58，所以sinC =√398， 故△ABC 的面积S =12absinC =√392．(2)证明：因为(a +2b)(a 2+b 2−c 2)=a(b 2+c 2−a 2)+2b(a 2+c 2−b 2)， 所以2ab(a +2b)a 2+b 2−c 22ab=2abc ⋅b 2+c 2−a 22bc+4abca 2+c 2−b 22ac，即(a +2b)cosC =c(cosA +2cosB)，由正弦定理得(sinA +2sinB)cosC =sinC(cosA +2cosB)， 故tanC =sinCcosC =sinA+2sinBcosA+2cosB ，得证．【解析】(1)由已知代入a =4，b =2，可求c ，利用余弦定理可求cos C ，根据同角三角函数基本关系式可求sin C 的值，进而根据三角形的面积公式即可计算求解． (2)利用正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式化简即可求证．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.【答案】解：(1)因为a =0，所以f(x)=x 3−x 2(x >0)，则f′(x)=3x 2−2x =x(3x −2)(x >0)，由f′(x)>0，得x >23，则f(x)的单调递增区间为(23,+∞)， 由f′(x)<0，得0<x <23，则f(x)的单调递减区间为(0,23)； (2)由题意可得f′(x)=3x 2−2x −ax=3x 3−2x 2−ax．因为f(x)在定义域内单调递增，所以f′(x)≥0对∀x ∈(0,+∞)恒成立， 设g(x)=3x 3−2x 2−a(x >0)，则g′(x)=9x 2−4x(x >0)， 由g′(x)>0，得x >49，由g′(x)<0，得0<x <49， g(x)在(0,49)上单调递减，在(49,+∞)上单调递增， 从而g(x)≥g(49)=−32243−a ； 因为f′(x)≥0对∀x ∈(0,+∞)恒成立， 所以g(x)≥0对∀x ∈(0,+∞)恒成立， 所以−32243−a ≥0，解得a ≤−32243， 故a 的取值范围为(−∞,−32243]．【解析】(1)代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，结合题意得到f′(x)≥0对∀x ∈(0,+∞)恒成立，设g(x)=3x 3−2x 2−a(x >0)，求出g(x)的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．22.【答案】解：(1)设椭圆C 的焦距为2c ，则{ ca =√221a 2+12b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2=2，b 2=c 2=1， ∴椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1．(2)由题可知直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线方程为y =kx +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， ∵原点到直线l 的距离为1，∴√1+k 2=1，即m 2=1+k 2.① 联立直线与椭圆方程可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0， 则△=16k 2m 2−4(1+2k 2)(2m 2−2)>0， 则k ≠0，x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−21+2k 2=2k 21+2k 2．∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x 2=2x 1， ∴x 1=−4km3(1+2k 2)，x 12=k 21+2k 2，则16m 29(1+2k 2)=1，②联立①②，解得k 2=72，即k =±√142，m =3√22，∴所求直线方程为y =±√142x +3√22．【解析】(1)由已知椭圆的离心率以及椭圆上的点建立方程，即可求解；(2)设出直线的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理以及已知点到直线的距离建立方程即可求解．本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到向量的运算性质，属于中档题．。

一、单选题1．在等差数列{an }中，a 1＝2，a 5＝3a 3，则a 3等于（ ） A ．－2 B ．0C ．3D ．6【答案】A【分析】利用已知条件求得，由此求得.d 3a 【详解】a 1＝2，a 5＝3a 3，得a 1＋4d ＝3(a 1＋2d )，即d ＝－a 1＝－2， 所以a 3＝a 1＋2d ＝－2. 故选：A.2．直线的斜率为2，，直线l 2过点且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为（ ） 1l 12l l //()1,1-A ．(3,0) B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)【答案】D【分析】由两直线,它们的斜率相等得到直线的斜率,又过点,由斜率公式即可求出答12l l //2l 2l ()1,1-案.【详解】设P (0，y )，因为，所以， 12l l //1201y -=+所以y ＝3.即P (0,3). 故选：D3．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） (2,1,2)a =- (1,2,1)b =- b aA ．B ．C ．D ．424(,,)333-(2,1,2)-242(,,)333-(1,2,1)-【答案】A【分析】由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案． b a||cos ,||a b a b a <>【详解】解：向量，(2,1,2)a =-(1,2,1)b =- 则，，，||3a=||b = ()()2112126a b =⨯+-⨯-+⨯= A 所以向量在向量上的投影向量为b a．()2,1,2424cos ,,,3333aa b a b a b b a aa b -⋅⎛⎫=⋅==- ⎪⎝⎭ 故选：．A 4．在正项等比数列中，和为方程的两根，则等于（ ） {}n a 1a 19a 210160x x -+=812a a ⋅A ．8B ．10C ．16D ．32【答案】C【分析】根据和为方程的两根，得到，然后再利用等比数列的性质1a 19a 210160x x -+=11916a a ⋅=求解.【详解】因为和为方程的两根， 1a 19a 210160x x -+=所以，11916a a ⋅=又因为数列是等比数列， {}n a 所以， 81211916a a a a ⋅=⋅=故选：C5．已知实数m ，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ）36m <<22136x y m m+=--A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据椭圆方程的特征，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】曲线表示椭圆，则有且， 22136x y m m +=--30603636m m m m m->⎧⎪->⇒<<⎨⎪-≠-⎩4.5m ≠所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件，36m <<22136x y m m+=--故选：A6．已知，，圆C ：，若圆C 上存在点M ，使()1,0A -()10B ,()()22230x y R R +-=>90AMB ∠=︒，则圆C 的半径的取值范围是（ ） R A ． B ．C ．D ．24R ≤≤2R ≤≤25R ≤≤45R ≤≤【答案】A【分析】设，由得，即可知的轨迹为，要使圆00(,)M x y 90AMB ∠=︒0MA MB ⋅= M 22001x y +=C 上存在点，即圆与有交点，进而可得半径的范围.M C 22001x y +=R 【详解】设，则，，00(,)M x y 00(1,)MA x y =---00(1,)MB x y =-- ∵，即，90AMB ∠=︒0MA MB ⋅=∴，即在以原点为圆心，半径为1的圆上，22001x y +=M而圆的圆心为，半径为R ，C (0,3)∴圆上存在点，即圆与有交点，C M C 22001x y +=∴. []11,131,2,4R OC R R R R -≤≤+-≤≤+∈故选：A7．已知直线：与圆：，则上各点到距离的最小值为l 40x y -+=C ()()22112x y -+-=C l （ ）A BCD ．1-1【答案】C【分析】先判断直线与圆的位置关系，再结合图形求距离最小值.【详解】易知圆心，半径 (1,1)C r =圆心到直线l ：的距离d ，(1,1)C 40x y -+=r >所以圆与直线相离，如图所示：C l所以圆C 上各点到l 距离的最小值为 d r -=故选：C ．8．如图，在正方体中，E 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值1111ABCD A B C D -AB 1A E 11A BC 为（ ）A B C D 【答案】D【分析】构建空间直角坐标系，求直线的方向向量、平面的法向量，应用空间向量的坐1A E 11A BC标表示，求直线与平面所成角的正弦值.1A E 11A BC 【详解】以点D 为坐标原点，向量分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，1,,DA DC DD则，，，，可得，，1(1,0,1)A (1,1,0)B 1(0,1,1)C 11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭11(1,1,0)AC =- 1(1,0,1)BC =- ，110,,12A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设面的法向量为，有，取，则， 11A BC (,,)n x y z = 1110A C n x y BC n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1x =(1,1,1)n = 所以，则直线与平面所成角的正弦值为111122⋅=-=- A E n ||n1A E 11A BC ． 故选：D.9．设双曲线C ：（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一22221x y a b-=点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】A【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】，根据双曲线的定义可得， ca=c ∴=122PF PF a -=，即， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△12||8PF PF ⋅=，， 12F P F P ⊥ ()22212||2PF PF c ∴+=，即，解得，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=22540a a -+=1a =故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.10．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． (3,4)A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案. C M O【详解】设圆心，(),C x y 1=化简得，()()22341x y -+-=所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，C (3,4)M所以，所以， ||1||OC OM +≥5==||514OC ≥-=当且仅当在线段上时取得等号， C OM 故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.11．已知椭圆C 1：+y 2=1（m ＞1）与双曲线C 2：–y 2=1（n ＞0）的焦点重合，e 1，e 2分别为22x m 22x n C 1，C 2的离心率，则 A ．m ＞n 且e 1e 2＞1 B ．m ＞n 且e 1e 2＜1C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜1【答案】A【详解】试题分析：由题意知，即，由于m ＞1，n ＞0，可得m ＞n ，2211m n -=+222m n =+又= ，故．故选22212222222111111()(1)(1(1)2m n e e m n m n n n -+=⋅=-+=-++42422112n n n n ++>+121e e >A ．【解析】椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质．【易错点睛】计算椭圆的焦点时，要注意；计算双曲线的焦点时，要注意1C 222c a b =-2C．否则很容易出现错误．222c a b =+12．已知数列满足，若，则数列{}n a ()23*1232222N n n a a a a n n ++++=∈ 2211loglog n n n b a a +=⋅的前项和（ ）{}n b 20232023S =A ． B ． 2022202320232022C ．D ．2023202420242023【答案】C【分析】利用数列的递推关系及对数的运算，结合裂项相消法即可求解. 【详解】当时，，解得， 1n =121a =112a =当时，，2n ≥231232222nn a a a a n ++++= ①，231123122221n n a a a a n --++++=- ②由，得，即， ①-②()21nn a n n =--12n na =取时，，此式也满足， 1n =111122a ==1a 所以数列的通项公式为， {}n a 12n na =所以，()2212211111111log log 11log log 22n n n n n b a a n n n n ++====-⋅++⋅.20231111112023112232023202420242024S =-+-++-=-= 故选：C.二、填空题13．设空间向量，，若，则___________. ()1,,2a m =- ()2,2,4b =- a b ⊥ m =【答案】5【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为，a b ⊥所以， 01222405a b m m ⋅=⇒-⨯+-⨯=⇒=故答案为：514．已知是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列，则_______．{}n a 1a 3a 9a 12510a a a a ++⋅⋅⋅=【答案】##1.532【分析】根据题意，由条件可得与的关系，然后代入计算，即可得到结果.1a d 【详解】设的公差为，由，，成等比数列可得，{}n a ,0d d ≠1a 3a 9a 2319a a a =即，结合可得()()211128a d a a d +=+0d ≠1a d =则125110151015 1.5910a a a a d da a d d ++⋅⋅⋅+===+故答案为:1.515．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱，且M ABCD -3AM =，N 是CM 的三等分点（靠近M 点），则BN 的长为___________.60MAB MAD∠=∠=︒【分析】用表示出，求向量的模. AB AD AM ，，BN【详解】，MC AC AM AB AD AM =-=+- ()1133MN MC AB AD AM ==+-则，()12123333BN BA AM MN AB AM AB AD AM AB AD AM =++=-+++-=-++ 则()222222121444843339BN AB AD AM AB AD AM AB AD AB AM AM AD⎛⎫=-++=++-⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭111444444942208234329229⎛⎫=⨯++⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭=所以，BN16．已知点分别是抛物线和圆上的动点，到的准线的距离,M N 2:8C y x =22:(3)1D x y ++=M C 为，则的最小值为__________． d MN d +【答案】4【分析】将到抛物线的准线的距离转化为M 到抛物线焦点的距离，再根据三角形三边关M d MF 系将的最小值表示为，最后根据圆外一点到圆上动点的距离转化为到圆心的距离减MN MF +NF 去半径求的最小值即可.NF 【详解】抛物线的焦点为，则， (2,0)F d MF =圆D 的圆心为，半径为(3,0)D -1r =所以. 514MN d MN MF NF DF r +=+≥≥-=-=故答案为：4.三、解答题17．已知等差数列和正项等比数列满足． {}n a {}n b 1124351,10,a b a a b a ==+==(1)求，的通项公式；{}n a {}n b (2)求数列的前n 项和时的最小值．{}n a 5n S b >n 【答案】(1)121,3n n n a n b -=-=(2) 10n =【分析】（1）根据条件列出公差与公比的方程，代入计算，即可得到结果； （2）由（1）中的结论得到数列的前n 项和，然后代入计算，即可得到结果. {}n a n S 【详解】（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为， {}n a d {}n b ()0q q >因为， 1124351,10,a b a a b a ==+==则， 211310,14d d q d +++==+所以，且，则，2d =0q >3q =所以，；()11221n a n n =+-⨯=-11133n n n b --=⨯=（2）由（1）知，，则，且，21n a n =-()21212n n n S n +-==45381b ==所以，即，所以的最小值为.5n S b >281n >n 1018．已知圆C ：，直线l ：.228120x y y +-+=20ax y a ++=(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |=l 的方程.【答案】(1)；34a =-(2)或. 20x y -+=7140x y -+=【分析】（1）由题设可得圆心为，半径，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公()0,4C 2r =式列方程求参数a 的值即可.（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a ，即可得直线方程. 【详解】（1）由圆：，可得， C 228120x y y +-+=()2244x y +-=其圆心为，半径，()0,4C 2r =若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：.l C C l 2dr =43a =-34a =-（2）由（1）知：圆心到直线的距离d因为，即，解得：2222AB d r ⎛⎫+=⎪⎝⎭2222d +=d =所以，解得：或，d 2870a a ++=1a =-7a =-则直线为或.l 20x y -+=7140x y -+=19．如图，在三棱柱中，平面，，，，点111ABC A B C -1CC ⊥ABC AC BC ⊥2AC BC ==13CC =D 、分别在棱和棱上，且，，为棱的中点.E 1AA 1CC 1AD =2CE =M 11A B（1）求证：；11C M B D ⊥（2）求二面角的正弦值. 1B B E D --【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）证明出平面，即可证得；1C M ⊥11AA B B 11C M B D ⊥（2）计算出的边上的高，并求出点到平面的距离，由此可得出二面角1A B DE DE h D 11BCC B d 的正弦值为. 1B B E D --dh【详解】（1）在三棱柱中，平面，则平面，111ABC A B C -1CC ⊥ABC 1BB ⊥111A B C 平面，则，1C M ⊂ 111A B C 11C M BB ⊥，则，为的中点，则，AC BC = 1111A C B C =M 11A B 111C M A B ⊥，平面， 1111BB A B B = 1C M ∴⊥11AA B B 平面，因此，；1B D ⊂ 11AA B B 11C M B D ⊥（2），，，所以，112B C = 11C E =111B C C E⊥1B E ==同理可得1B D ==取的中点，连接，则，1A D F EF 111A F C E ==因为且，故四边形为矩形，则， 11//AF C E 111A C C E ⊥11A CEF 112EF A C ==所以，DE ==由余弦定理可得，则22211111cos 25B E DE B D B ED B E DE +-∠==-⋅1sin B ED ∠=所以，的边上的高 1A B DE DE 1sin h DE B ED =∠=平面，平面，则，1CC ⊥ ABC AC ⊂ABC 1AC CC ⊥，，平面，AC BC ⊥Q 1BC CC C ⋂=AC ∴⊥11BB C C 因为，平面，平面，故平面，11//AA CC 1AA ⊄11BB C C 1CC ⊂11BB C C 1//AA 11BB C C ，故点到平面的距离，1D AA ∈ D 11BB C C 2d AC ==设二面角为，则1B B E D --θsin 2d h θ===20．已知抛物线，点到抛物线的焦点的距离为2.2:2(0)C y px p =>()01,A y C (1)求抛物线的方程；C (2)直线与抛物线交于两个不同的点，若，求实数的值.:l y x m =+,P Q OP OQ ⊥m 【答案】(1)24y x =(2)4-【分析】（1）运用抛物线定义即可；（2）联立方程解到韦达定理，再将转化为向量垂直，根据数量积为0列方程，化简，求OP OQ ⊥值即可.【详解】（1）已知抛物线过点，且，22(0)y px p =>()01,A y 2AF =则， 122p +=，2p ∴=故抛物线的方程为.24y x =（2）设.()()1122,,,P x y Q x y 联立， 24y x m y x =+⎧⎨=⎩消去整理得，y ()22240x m x m +-+=，22Δ(24)40m m ∴=-->则，1m <则.2121242,x x m x x m +=-=由得OP OQ ⊥1212OP OQ x x y y ⋅=+()()1212x x x m x m =+++()212122x x m x x m =+++()222420,m m m m =+-+=或.4m ∴=-0m =当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，不符合题意，0m =l O 综上，实数的值为.m 4-21．已知正项数列的前项和为和的等差中项．{}n a n n S n a 1a (1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，求的前项和． n =2n n a b {}n b n n T 【答案】(1)；21n a n =-(2)﹒ 13(23)2n nT n =-+【分析】(1)根据和关系可求的通项公式；n a n S {}n a (2)根据通项公式可知，其前n 项和采用错位相减法求解﹒{}n b【详解】（1），∴当， 12n a a +=1n =11a =∴，， 2(1)4n n a S +=211(1)4n n a S --+=(2)n ≥因此当时：2n ≥， 2211(1)(1)4n n n n n a a a S S --+-+=-=2211224n n n n a a a a ---+-=∴，11()(2)0n n n n a a a a --+--=∵，10n n a a ->+∴时，即2n ≥120n n a a ---=12n n a a --=∴数列是首项为1，公差为2的等差数列，{}n a ；12(1)21n a n n =+-=-（2）， 211=(21)222n n n n n a n b n -==-⋅……① 1231111=135(21)2222n nT n ⨯+⨯+⨯+-⨯ ……② 234111111=135(21)22222n n T n +⨯+⨯+⨯+-⨯ ①－②得： 1231111111=222(21)222222n n n T n ++⨯+⨯+⨯--⨯ 1111(1)1122=(21)12212n n n -+-+--⨯-11111=1(21)222n n n -++---⨯∴ 1131(23)222n n T n +=-+﹒ ∴13(23)2n nT n =-+22．已知椭圆C ：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构22221x y a b+=0a b >>成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，3x =-Q ．证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；【答案】(1) 22162x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据焦距及短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形,结合椭圆中的关a b c 、、系,即可求得的值,即可得椭圆方程.a b c 、、（2）设出点的坐标,联立方程，即可求解.P 【详解】（1）因为椭圆（）的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端2222:1x y C a b+=0a b >>点构成正三角形.所以解方程组可得 222242c b a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩2a b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以椭圆的方程为 22162x y +=（2）设，，，又设中点为，因为，(3,)T m -11(,)P x y 22(,)Q x y PQ 00(,)N x y (2,0)F -所以直线的方程为：联立方程得， PQ 2x my =-22222(3)420162x my m y my x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩所以， 222122122Δ168(3)24(1)04323m m m m y y m y y m ⎧⎪=++=+>⎪⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩于是，，所以． 1202223y y m y m +==+20022262233m x my m m -=-=-=++2262(,)33m N m m -++因为所以，，三点共线，即OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）. 3OT ON m k k =-=O N T。