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1.1.2 四种命题1.1.3四种命题间的相互关系一、【教学目标】重点：了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，主要是会分析四种命题间的相互关系； 难点：能运用命题及其逆否命题间的等价性，判断或证明命题的真假性；知识点：原命题、逆命题、否命题与逆否命题的相互关系图及其真假性之间的联系； 能力点：能熟练地由一种命题出发，准确地写出其他三种命题； 教育点：从生活中的命题问题出发，体会学习常用逻辑用语的意义；自主探究点:通过小组讨论的形式，列举大量具体命题归纳得到原命题与逆否命题相同的真假性； 训练点：熟练写出四种命题形式，并进行真假判断；考试点：运用原命题与逆否命题逻辑等价，逆命题与否命题逻辑等价解决命题真假问题；四种命题真假成对性的特点；易错点：不能正确写出原命题的否命题及逆否命题； 易混点：混淆命题的否命题和命题的否定；拓展点：体会在直接证明原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题这种间接证明命题的方法，了解它是反证法的一种．二、【引入新课】 观察下列四个命题：（1）若两个角是对顶角，则它们相等； （2）若两个角相等，则它们是对顶角； （3）若两个角不是对顶角，则它们不相等； （4）若两个角不相等，则它们不是对顶角．提问：命题（1）与命题（2）（3）（4）的条件和结论分别是什么？它们之间分别有什么关系？ 【设计意图】学生通过思考和讨论，回顾了本章研究的命题的形式，同时也将学生的注意力集中在思考四种命题的条件和结论的关系上．三、【探究新知】探究一 思考：下列两个命题间有什么关系？ （1）35能被5整除； （2）35不能被5整除．学生很容易发现并理解，命题（2）是命题（1）的否定．定义：一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记做p ⌝，读作“非p ”或“p 的否定”． 上面的思考中，命题（1）是真命题，命题（2）是假命题．命题p ⌝是p 的否定，p ⌝与p 不能同为真命题，也不能同为假命题．也就是说，若命题p 是真命题，命题p ⌝是假命题；若命题p 是假命题，命题p ⌝是真命题．【设计意图】提前让学生理解命题的否定的概念，以便能正确书写否命题．探究二 下列四个命题中，命题（1）（2）（3）（4）的条件和结论之间分别有什么关系？ （1）若()f x 是正弦函数，则()f x 是周期函数； （2）若()f x 是周期函数，则()f x 是正弦函数； （3）若()f x 不是正弦函数，则()f x 不是周期函数； （4）若()f x 不是周期函数，则()f x 不是正弦函数；结论1：命题（1）的条件是命题（2）的结论，且命题（1）的结论是命题（2）的条件，即它们的条件和结论互换了．定义：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．也就是说，如果原命题为“若p ，则q ”，那么它的逆命题为“若q ，则p ”． 例如“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”． 这里我们同样可以发现命题（3）和（4）是互逆命题．结论2：对于命题（1）（3），其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题．也就是说，如果原命题为“若p ，则q ”，那么它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”． 例如“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同位角不相等，两直线不平行”． 这里我们同样可以发现命题（2）和（4）是互否命题．结论3：对于命题（1）（4），其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，如果原命题为“若p ，则q ”，那么它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”．例如“同位角相等，两直线平行”的否命题是“两直线不平行，同位角不相等”． 这里我们同样可以发现命题（2）和（3）是互否命题．总结：一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系，如图所示．【设计意图】理解四种命题的概念，及通过关系图，让学生直观感受它们之间的相互关系，熟练掌握由一种命题出发，准确地写出其他三种命题的能力．探究三 四种命题的真假性是否也有一定的相互关系呢？思考：写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题,并判断它们的真假． （1）若0a =，则0ab =；（2）若22a b >，则a b >；（3）若a b >，则a c b c +>+；（4）若一个四边形四条边相等，则它是正方形．学生通过分组讨论，不难发现：一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假假假假既而总结出以下规律，即：逆否命题互 否 逆命题互否原命题 否命题互逆 互逆互 互 为 逆否为 逆 否若p ，则q 若p ⌝，则q ⌝若q ，则p 若q ⌝，则p ⌝由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此这四种命题的真假性之间的关系如下： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．【设计意图】通过大量列举实例，让学生自主感受四种命题真假性的相互关系，使之更有说服力．四、【理解新知】1．四种命题的转化首先要找出原命题的条件和结论，然后写出命题条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构直接转化即可．2．如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．有时命题的表示是简略式，此时应先分清命题的条件p 和结论q ，然后根据概念写四种命题． 3．判断四种命题的真假，首先要正确写出四种命题，如果直接判断有难度，可以利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价性判断命题的真假．四种命题的真假性是成对出现的．4．注意命题的否定和原命题的否命题之间的区别：命题的否定指的是命题p 这种形式的命题，得到的是p ⌝；原命题的否命题指的是命题“若p ，则q ”这种形式的命题，得到的是“若p ⌝，则q ⌝”． 5．等价命题转换法：在直接证明原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题这种间接证明命题的方法，是反证法的一种．五、【运用新知】例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．（1）等底等高的两个三角形是全等三角形；（2）在ABC 中，若a b >，则A B ∠>∠．分析：先把命题写成“若p ，则q ”的形式，再按照四种命题的关系写出逆命题、否命题、逆否命题． 解：（1）逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高． 否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等． 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高． （2）逆命题：在ABC 中，若A B ∠>∠，则a b >． 否命题：在ABC 中，若a b ≤，则A B ∠≤∠． 逆否命题：在ABC 中，若A B ∠≤∠，则a b ≤． 【设计意图】指导学生熟练掌握四种命题的概念．变式训练：命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）．A ．若一个数是负数，则它的平方不是正数B ．若一个数的平方是正数，则它是负数C ．若一个数不是负数，则它的平方不是正数D ．若一个数的平方不是正数，则它不是负数 答案：B ．例2 下列命题中为真的是（ ）．①“若220x y +≠，则,x y 不全为零”的否命题； ②“正三角形都相似”的逆命题；③“若2x -是有理数，则x 是无理数”的逆否命题． A ．①②③ B ．①③ C ．②③ D ．①② 分析： 解：①原命题的否命题为“若220x y +=，则,x y 全为零”．真命题．确定条件和结论 写出所求命题判断真假②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．假命题． ③原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则2x -不是有理数”．x 不是无理数，x ∴是有理数．又2是无理数，2x ∴-是无理数，不是有理数，故为真命题． 故真命题为①③，选B ．【设计意图】掌握四种命题的真假判断．变式训练：下列命题中，真命题是（ ）．A ．命题“若a b >，则22a b >”B ．命题“若3b =，则29b =”的逆命题 C ．命题“当2x =时，2320x x -+=”的否命题 D ．命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题 答案：D ．例3 已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的增函数，,a b ∈R ，证明：若()()()()f a f b f a f b +≥-+-，则0a b +≥．分析：法一：法二：证明：原命题的逆否命题为“已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的增函数，以,a b ∈R ，若0a b +<，则()()()()f a f b f a f b +<-+-．”若0a b +<，则,a bb a<-<-，又()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，()(),()()f a f b f b f a ∴<-<-．所以()()()()f a f b f a f b +<-+-， 即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．【设计意图】引导学生运用原命题与逆否命题逻辑等价，逆命题与否命题逻辑等价解决命题真假问题，也是重要的考点．变式训练：证明：若220x y +=，则0x y ==．证明：若,x y 中至少一个不为0，不妨设0x ≠，则20x >，所以220x y +>． 这与已知条件220x y +=矛盾，故0x y ==．六、【课堂小结】1．原命题、逆命题、否命题与逆否命题四种命题的定义及其相互关系图．原命题 逆否命题 判断逆否命题真假原命题真假假设原命题不成立否定后的结论作已知条件推出矛盾假设错误，原命题真2．由一种命题出发，准确地写出其他三种命题．3．运用原命题与逆否命题逻辑等价、逆命题与否命题逻辑等价解决命题真假问题．七、【布置作业】必做题：l ．命题“若()f x 是奇函数，则()f x -是奇函数”的否命题是（ ）．A ．若()f x 是偶函数，则()f x -是偶函数B ．若()f x 不是奇函数，则()f x -不是奇函数C ．若()f x -是奇函数，则()f x 是奇函数D ．若()f x -不是奇函数，则()f x 不是奇函数 2．一个命题及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中（ ）．A ．真命题的个数一定是奇数B ．真命题的个数一定是偶数C ．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D ．上述判断都不正确 3．有下列命题：（ ）． ①“若1xy =，则,x y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若1b ≤-，则方程2220x bx b b -++=有实根”的逆否命题； ④“若AB B =，则A B ⊇”的逆否命题．其中真命题是 （填序号）． 4．证明：若224210a b a --+≠，则21a b ≠+． 答案：l ．B 2．B 3．①③ 选做题：l ．已知,,a b c ∈R ，命题“若3a b c ++=，则2223a b c ++≥”的否命题是（ ）． A ．若3a b c ++≠，则2223a b c ++< B ．若3a b c ++=，则2223a b c ++< C ．若3a b c ++≠，则2223a b c ++≥ D ．若2223a b c ++≥，则3a b c ++= 2．设,a b 是向量，命题“若=-a b ，则a =b ”的逆命题是（ ）． A ．若≠-a b ，则≠a b B ．若=-a b ，则≠a b C ．若≠a b ，则≠-a b D ．若a =b ，则=-a b 答案：l ．A 2．D八、【教后反思】l ．本节主要是依据四种命题及其关系是简单逻辑的基础来设计的．虽然本节内容较为简单，但是学生易忽视细节问题从而导致出错．所以本节注重定义的产生过程，让学生自主参与举例，并结合大量命题来探究四种命题的真假性，使得教学过程有根有源，学生理解自然．再通过三种题型的训练，让学生熟练掌握本节的重难点，达到学有所用的目的．在作业的选做题里选用近两年的高考题，让学生重视本节的基础知识，进一步明确考点．2．本教案也有许多不足之处，比如命题的否定出现在1.3简单的逻辑联结词中，而本节要写出原命题的逆命题和逆否命题，则需要正确写出条件的否定和结论的否定，在例3的变式训练即课本的例4中，甚至用到了全称量词的否定，让学生产生了本节难点以外的困惑．但是受限于课堂时间和篇幅，本节课无法涉及到过多的内容，只能抓住冰山一角，让学生稍作了解．所以从细致程度上，本节课尚有欠缺．但是按照课程安排，本节课的设计整体上还是合适的．未能深入探究的部分，可以留到后三节的学习中再度加深．九、【板书设计】1.1.2-1.1.3 四种命题及其关系引例：定义:：例1例2例3小结作业。
《1.1.3 四种命题间的相互关系》教学片段教案【课题】1.1.3 四种命题间的相互关系【教学目标】【知识与技能目标】进一步了解命题的概念，了解四种命题间的相互关系，及真假性的必然联系，并会利用四种命题真假性之间的内在联系进行推理证明。
【过程与方法目标】通过对大量的例子进行分析和总结，培养学生分析问题的能力和归纳总结的能力，培养学生逻缉思维的能力。
【情感、态度、价值观】通过合作和自主探究活动，激发学生浓厚的学习兴趣。
【教学重点】1.四种命题间的相互关系2.四种命题的真假性之间的关系【教学难点】利用互为逆否命题的两个命题的真假性一致这一结论来间接证明问题【课型】新授课【课时】1课时【授课教师】刘洋教学过程：一、知识回顾1、命题的概念：一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.2、四种命题：原命题：若p，则q.逆命题：若q，则p.否命题：若¬p，则¬q.逆否命题：若¬q，则¬p.二、新课讲解思考1：观察下面四个命题：(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数;(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数;(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数;我们已经知道命题（1）与命题（2）（3）（4）之间的关系。
你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; 互为逆否命题(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数;(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; 互为否命题(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数;(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; 互为逆命题(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数;1练一练：写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题,并判断它们的真假.(1)若a=0,则ab=0 真逆命题: 若ab=0,则a=0. 假否命题:若a≠0,则ab≠0. 假逆否命题:若ab≠0,则a≠0. 真(2)若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。
1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标：1.了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．(易混点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点)[自主预习·探新知]1．四种命题的概念及表示形式名称定义表示形式互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.原命题为“若p，则q”；逆命题为“若q，则p”互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题原命题为“若p，则q”；否命题为“若p，则q”互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题原命题为“若p，则q”；逆否命题为“若q，则p”2.四种命题间的相互关系(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．[基础自测]1．思考辨析(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”．( )(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．[答案](1)×(2)√(3)√2．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”B[根据逆命题的定义知，选B.]3．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )【导学号：97792008】A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题C[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.][合作探究·攻重难]四种命题把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；(3)正方形的对角线互相平分．[解](1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．[规律方法] 1.写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：原词语等于(＝)大于(>)小于(<)是都是至多有一个否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是至少有两个原词语至少有一个至多有n个任意的任意两个所有的能否定词语一个也没有至少有(n＋1)个某一个(确定的)某两个某些不能1．(1)命题“若y ＝kx ，则x 与y 成正比例关系”的否命题是( )【导学号：97792009】A ．若y ≠kx ，则x 与y 成正比例关系B ．若y ≠kx ，则x 与y 成反比例关系C ．若x 与y 不成正比例关系，则y ≠kxD ．若y ≠kx ，则x 与y 不成正比例关系D [条件的否定为y ≠kx ，结论的否定为x 与y 不成比例关系，故选D.] (2)命题“若ab ≠0，则a ，b 都不为零”的逆否命题是________．若a ，b 至少有一个为零，则ab ＝0 [“ab ≠0”的否定是“ab ＝0”，“a ，b 都不为零”的否定是“a ，b 中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a ，b 至少有一个为零，则ab ＝0”．]四种命题的关系及真假判断(1)对于原命题：“已知a 、b 、c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个(2)判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． [思路探究] (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可． (2)思路一 写出原命题的逆否命题→判断其真假 思路二 原命题与逆否命题同真同假即等价关系→判断原命题的真假→得到逆否命题的真假[解析] (1)当c ＝0时，ac 2>bc 2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac 2>bc 2，则a >b ”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C.[答案] C(2)法一：原命题的逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. ∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，解得a <－14<0，∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a ≥0，∴4a ≥0，∴对于方程x 2＋x －a ＝0，根的判别式Δ＝1＋4a >0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．[规律方法]判断命题真假的方法1解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证.2原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可.[跟踪训练]2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．[解](1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2<y2，所以“若x>y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．等价命题的应用1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立．提示：根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”成立．(1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.【导学号：97792010】[思路探究] (1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．[解析](1)∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，若a＝0，则－3≤0恒成立，∴a＝0符合题意．若a≠0，由题意知{a<0Δ＝4a2＋12a≤0，即{a<0－3≤a≤0，∴－3≤a<0综上知，a的取值范围是－3≤a≤0.[答案][－3,0](2)证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．[规律方法] 1.若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．3．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.[证明]“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．[当堂达标·固双基]1．命题“若a∉A，则b∈B”的逆命题是( )A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉AC[“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a∉A”．]2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3A[同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.]3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )A．1 B．2 C．3 D．4B[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.]4．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________.【导学号：97792011】若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．]5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．[解] (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．。
