安陆一中高二数学圆锥曲线同步练习轨迹问题(三)

安陆一中高二数学同步测试 直线与圆锥曲线(三)一．选择题1．过点(2，4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条2．设椭圆3422y x +＝1的长轴两端点为M 、N ，异于M 、N 的点P 在椭圆上，则PM 与PN 的斜率之积为（ ）A ．－43B ．－34 C ．43D ．34 3．双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点(异于顶点)，则直线PF 的斜率的变化范围是（ ）A ．(－∞，0)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．若双曲线x 2－y 2＝1的右支上一点P(a ，b)到直线y ＝x 的距离为2，则a ＋b 的值为（ ）A ．－21B ．21 C ．±21 D ．±25．曲线y ＝x 2－｜x ｜－12与x 轴相交，则两交点间的距离为（ ）A ．8B ．0C ．7D ．1二．填空题6．一个正三角形的顶点都在抛物线y 2＝4x 上，其中一个顶点在坐标原点，则这个三角形的面积是_____．7．已知(4，2)是直线l 被椭圆93622y x +＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是_____． 8．过椭圆3x 2＋4y 2＝48的左焦点F 引直线交椭圆于A 、B 两点，若｜AB ｜＝7，则此直线的方程为______．9．已知双曲线x 2－32y ＝1，过P(2，1)点作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为______．三．解答题10、如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积.1、 已知双曲线C ：2x 2－y 2=2与点P (1，2)(1)求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点. (2)若Q (1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在.12、如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标；(3)弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ，求m 的取值范围.13、(2004年北京春卷18) 已知点A （2，8∆ABC 的重心与此抛物线的焦点F （I ）写出该抛物线的方程和焦点F （II ）求线段BC 中点M 的坐标；（III ）求BC 所在直线的方程．14、(2004年天津卷理22) 椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程； （3）设λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明λ-=．15、(2004年全国卷Ⅳ21)设椭圆1122=++y m x 的两个焦点是)0,(1c F -与)0,(2c F (c>0),且椭圆上存在点P,使得直线PP 1与直线PF 2垂直. (Ⅰ)求实数m 的取值范围; (Ⅱ)设L 是相应于焦点F 2的准线,直线PF 2与L 相交于点Q , 若,3222-=PF QF 求直线PF 2的方程.16、(2004年湖北卷)直线l ：1+=kx y 与双曲线C ：1222=-y x 的右支交于不同的两点A 、B ．（Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C的右焦点F ？若存在，求出k 的值．若不存在，说明理由．17．求过点(0，2)的直线被椭圆x 2＋2y 2＝2所截弦的中点的轨迹方程．18．已知抛物线C ：y ＝－x 2＋mx －1，点A(3，0)，B(0，3)，求C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件(用m 的取值范围表示)．19．如图8—4，椭圆的长轴A 1A 2与x 轴平行，短轴B 1B 2在y 轴上，中心为M(0，r) (b ＞r ＞0)．图8—4(Ⅰ)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；(Ⅱ)直线y ＝k 1x 交椭圆于两点C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)(y 2＞0)；直线y ＝k 2x 交椭圆于两点G(x 3，y 3)，H(x 4，y 4)(y 4＞0)．求证：4343221211x x x x k x x x x k +=+；(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的C 、D 、G 、H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q ． 求证：|OP|＝|OQ|．(证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形)本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力．20.已知双曲线x 2－22y ＝1与点P(1，2)，过P 点作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点(1)求直线AB 的方程．(2)若Q(1，1)，证明不存在以Q 为中点的弦．21.中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为23，与直线x ＋y －1＝0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程．22.在抛物线y 2＝4x 上恒有两点关于直线y ＝kx ＋3对称，求k 的取值范围．23.以椭圆222y ax ＝1(a ＞1)的短轴的一个端点B(0，1)为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，问这样的直角三角形是否存在．如果存在，请说明理由，并判断最多能作出几个这样的三角形?如果不存在，请说明理由．24.已知椭圆的一个焦点F 1(0，－22)，对应的准线方程为y ＝－429，且离心率e 满足：32，e ，34成等比数列． (1)求椭圆方程；(2)是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线x ＝－21 平分．若存在，求出l 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．直线与圆锥曲线(三)参考答案一．选择题1.B2.A3.C4.B5.A 二．填空题6.4837.x ＋2y －8＝08.y ＝±23(x ＋2) 9.6 三．解答题10.解:由题意，可设l 的方程为y =x +m ,－5＜m ＜0,由方程组⎩⎨⎧=+=x y m x y 42,消去y ,得x 2+(2m －4)x +m 2=0 ①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0) ,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=4)1(2m -, 点A 到直线l 的距离为d =25m +.∴S △=2(5+m )m -1,从而S △2=4(1－m )(5+m )2=2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(35522m m m ++++-)3=128.∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号. 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为8 2.11.解:(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =1,与曲线 1C .当l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y －2=k (x －1),代入C 的方程，并整理得(2－k 2)x 2+2(k 2－2k )x －k 2+4k －6=0 ①(ⅰ)当2－k 2=0,即k =±2时，方程 ① 有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k 2≠0,即k ≠±2时Δ=［2(k 2－2k )］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k ) ①当Δ=0,即3－2k =0,k =23时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点.②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时，方程 ①有两不等实根，l 与C 有两个交点.③当Δ＜0，即k ＞23时，方程 ①无解，l 与C 无交点.综上知：当k =±2,或k =23，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点；当k ＞23时，l 与C 没有交点.(2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2) 又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 , ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1 , 即k AB =2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在.12.解:利用椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法.(1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3 故椭圆方程为92522y x +=1. (2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=59.因为椭圆右准线方程为x =425,离心率为54，根据椭圆定义，有|F 2A |=54(425－x 1),|F 2C |=54(425－x 2)，由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得 54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×59,由此得出：x 1+x 2=8. 设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=221x x +=4. (3)解析法一：由A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)在椭圆上.得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x , ①－②得9(x 12－x 22)+25(y 12－y 22)=0,即9×)()2(25)2(21212121x x y y y y x x --⋅+++=0(x 1≠x 2) 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0) 代入上式，得9×4+25y 0(－k 1)=0(k ≠0) 即k =3625y 0(当k =0时也成立). 由点P (4，y 0)在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m ,所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0. 由点P (4，y 0)在线段BB ′(B ′与B 关于x 轴对称)的内部，得－59＜y 0＜59,所以－516＜m ＜516. 解析法二：因为弦AC 的中点为P (4,y 0)，所以直线AC 的方程为y －y 0=－k1(x －4)(k ≠0) ③ ,将③代入椭圆方程92522y x +=1,得(9k 2+25)x 2－50(ky 0+4)x +25(ky 0+4)2－25×9k 2=0 所以x 1+x 2=259)4(5020++k k =8,解析得k =3625y 0.(当k =0时也成立)(以下同解析法一).13.解: （I ）由点A （2，8）在抛物线y px 22=上，有8222=⋅p , 解得p =16. 所以抛物线方程为y x 232=，焦点F 的坐标为（8，0）（II ）如图，由F （8，0）是∆ABC 的重心，M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的定比分点，① ②且AFFM=2 设点M 的坐标为()x y 00，，则 221288212000++=++=x y ， 解得x y 00114==-，所以点M 的坐标为()114，-（III ）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在的直线不垂直于x 轴． 设BC 所成直线的方程为 y k x k +=-≠4110()()由y k x y x +=-=⎧⎨⎩411322()消x 得 ky y k 232321140--+=() 所以y y k 1232+=由（II ）的结论得y y 1224+=- , 解得k =-4 ,因此BC 所在直线的方程为 y x +=--4411() 即 4400x y +-=.14.解:（1）由题意，可设椭圆的方程为)2(12222>=+a y a x ．由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-==-).(2,2222c c a c c a 解得2,6==c a . 所以椭圆的方程为12622=+y x ，离心率36=e ． （2）〖解〗由（1）可得A （3，0）．设直线PQ 的方程为)3(-=x k y ．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y y x 得062718)13(2222=-+-+k x k x k 依题意0)32(122>-=∆k ，得3636<<-k ． 设),(),,(2211y x Q y x P ，则 13182221+=+k k x x ， ① 136272221+-=k k x x ． ② 由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y ．于是]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y ． ③∵0=⋅，∴02121=+y y x x ． ④ 由①、②、③、④得152=k ，从而)36,36(55-∈±=k ． 所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x（3）证明：),3(),,3(2211y x y x -=-=．由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126,126,),3(3222221212121y x y x y y x x λλ 注意1>λ，解得λλ2152-=x 因),(),0,2(11y x M F -， 故),1)3((),2(1211y x y x -+-=--=λ),21(),21(21y y λλλλ--=--=． 而),21(),2(222y y x λλ-=-=，所以FQ FM λ-=. 15.解:(Ⅰ) 由题设有m>0， m c =.设点P 的坐标为),,(00y x 由,21PF PF ⊥得10000-=+⋅-cx y c x y , 化简得 .2020m y x =+ ① 将①与112020=++y m x 联立,解得.1,12022m y m m x =-= 由m>0. ,01220≥-=mm x 得m ≥1. 所以m 的取值范围是m ≥1.(Ⅱ)准线L 的方程为.1mm x +=设点Q 的坐标为),,(11y x 则 .11mm x +=.1112x m mmm x c c x PF QF --+=--= ② 将mm x 120-=代入②,化简得.1112222-+=---mmmmPFQF由题设,3222-=PFQF得,3212-=-+mm无解,将mmx12--=代入②,化简得.1112222--=-+=mmmmPFQF由题设=22PFQF,32-得.3212-=--mm解得m=2.从而,2,22,23=±=-=cyx得到PF2的方程, ).2)(23(--±=xy16.解:（Ⅰ）将直线l的方程1+=kxy代入双曲线C的方程1222=-yx后，整理得22)2(22=++-kxxk．…………①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，得22≠-k，)22(8)2(2>--=∆kk，222>--kk，222>-k．解得k的取值范围为22-<<-k．（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，则由①得22122kkxx-=+，22221-=⋅kxx．………………②假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0），则由FA⊥FB得))((2121=+--yycxcx．即0)1)(1())((2121=+++--kxkxcxcx．整理得01))((|)1(221212=+++-+cxxckxxk．……………………③把②式及26=c代入③式化简得066225=-+kk．解得566+-=k 或)2,2(566--∉-=k （舍去）． 可知566+-=k 使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点． 17.解:设直线方程为y ＝kx ＋2，把它代入x 2＋2y 2＝2整理得 (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0要使直线和椭圆有两个不同交点，则Δ＞0，即k ＜－2626>k 或， 设直线与椭圆两个交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，中点坐标为C(x ，y)，则 x ＝1242221+-=+k kx x y ＝1222124222+=++-k k k从参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=12212422k y k k x (k ＜－26或k ＞26)消去k 得 x 2＋2(y －1)2＝2 且｜x ｜＜26，0＜y ＜21．综上，所求轨迹方程为2)1y (2x 22=-+，其中26|x |<，21y 0<< 18.解:线段AB 所在直线方程为x ＋y ＝3，与方程y ＝－x 2＋mx －1消去y 得：x 2－(m ＋1)x ＋4＝0曲线C 与线段AB 有两个交点的充要条件是该方程在[0，3］上有两个不同解，令f(x)＝x 2－(m ＋1)x ＋4，则19.解(1) 椭圆方程为1b)r y (a x 2222=-+． 焦点坐标为F 1(－r ,b a 22-)，F 2(r ,b a 22-)，离心率e ＝ab a 22-．(Ⅱ)【证明】将直线CD 的方程y ＝k 1x 代入椭圆方程，得 b 2x 2＋a 2(k 1x －r)2＝a 2b 2，整理得(b 2＋a 2k 12)x 2－2k 1a 2rx ＋(a 2r 2－a 2b 2)＝0． 根据韦达定理，得x 1＋x 2＝2122222221212221k a b b a r a x x ,k a b r a k 2+-=+所以r k b r x x x x 12221212-=+①将直线GH 的方程y ＝k 2x 代入椭圆方程，同理可得rk b r x x x x 22243432-=+．②由①，②得4343222212112x x x x k r b r x x x x k +=-=+． 所以结论成立．(Ⅲ)【证明】设点P(p ，0)，点Q(q ，0)． 由C ，P ，H 共线，得421141x k x k p x p x =--，解得p ＝42114121)(x k x k x x k k --．由D ，Q ，G 共线，同理可得q ＝32213221)(x k x k x x k k --．由4343221211x x x x k x x x x k +=+变形得－421141322132x k x k x x k k x k x x -=-， 即－4211412132213221)()(x k x k x x k k x k x k x x k k --=--． 所以|p|＝|q|，即|OP|＝|OQ|． 所以结论成立．20.解(1)设过P(1，2)点的直线为y －2＝k(x －1)代入双曲线方程得(2－k 2)x 2＋(2k 2－4k)x －(k 2－4k ＋6)＝0 由AB 中点为P(1，2)∴ x 1＋x 2＝24222--k kk ＝2，解得k ＝1，又k ＝1时，使Δ＝16＞0，从而直线AB 方程为x －y ＋1＝0(2)【证明】按同样方法求得k ＝2，而k ＝2使此时Δ＜0，所以直线CD 不存在21.解:设椭圆方程2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)∵e ＝23 ∴a 2＝4b 2，即a ＝2b ∴椭圆方程为2222by b 4x +＝1把直线方程代入化简得5x 2－8x ＋4－4b 2＝0设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝58，x 1x 2＝51(4－4b 2)∴y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝51(1－4b 2) 由于OM ⊥ON ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0 解得b 2＝85，a 2＝25所以椭圆方程为52x 2＋58y 2＝1．22.解:设B 、C 关于直线y ＝kx ＋3对称，直线BC 方程为x ＝－ky ＋m 代入y 2＝4x 得，y 2＋4ky －4m ＝0，设B(x 1，y 1)、C(x 2，y 2)，BC 中点M(x 0，y 0)，则 y 0＝221y y +＝－2k ，x 0＝2k 2＋m ∵点M(x 0，y 0)在直线l 上，∴－2k ＝k(2k 2＋m)＋3，∴m ＝－kk k 3223++又BC 与抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k 2＋16m ＞0，把m 代入化简得 k k k 323++＜0即kk k k )3)(1(2+-+＜0，解得－1＜k ＜0．23.解:由题意可知：直角边BA ，BC 不可能垂直或平行于x 轴．故可设BC 边所在直线方程为y ＝kx ＋1(不妨设k ＜0)，则BA 边所在直线方程为y ＝－k1x ＋1． ∵⎪⎩⎪⎨⎧=++=1y ax 1kx y 222 消去y 得： (1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0解得x 1＝0，x 2＝－222k a 1ka 2+∴｜BC ｜＝21k +｜x 1－x 2｜＝2222k a 1k 1|k |a 2++用－k 1代替上式中的k 得｜AB ｜＝2222ka k 1a 2++ 由｜BC ｜＝｜BA ｜，得｜k ｜(a 2＋k 2)＝1＋a 2k 2注意到k ＜0得(k ＋1)[k 2＋(a 2－1)k ＋1］＝0①当(a 2－1)2－4＜0即1＜a ＜3时，①有惟一解k ＝－1； 当a ＝3时，①有惟一解k ＝－1； 当a ＞3时，①有三个不同的解．综上所述：当1＜a ≤3时，只能作出一个三角形；当a ＞3时，能作出三个三角形． 24.解:依题意e ＝322． (1)∵c a 2－c ＝322,4222429==-e 又 ∴a ＝3，c ＝22，b ＝1，又F 1(0，－22)，对应的准线方程为y ＝－429． ∴椭圆中心在原点，所求方程为x 2＋91y 2＝1 (2)假设存在直线l ，依题意l 交椭圆所得弦MN 被x ＝－21平分，∴直线l 的斜率 存在．设直线l ：y ＝kx ＋m由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1922y x m kx y 消去y ，整理得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋m 2－9＝0∵l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，∴Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)＞0即m 2－k 2－9＜0 ① 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2) ∴2192221-=+-=+k km x x ， ∴m ＝kk 292+②把②代入①式中得2224)9(kk +－(k 2＋9)＜0 ∴k ＞3或k ＜－3 ∴直线l 倾斜角α∈(3π，2π)∪(2π，32π)。

姓名： 抛物线的几何性质
求圆锥曲线的轨迹方程练习三
1. 动点(,)M x y 在运动过程中，总满足5)5(22+=+-x y x ，点M 的轨迹是
2. 动点(,)M x y 在运动过程中，总满足5)5(2
2+=+-x y x ，点M 的轨迹是
3. 点M 到(0,8)F 的距离比它到直线7y =-的距离大1，求M 点的轨迹方程．
4. 已知点)1,0(A ，直线1:-=x l 上任意一点H ，在线段AH 的垂直平分线上一点M ，满
足l MH ⊥，当点H 在l 上运动时，求M 点的轨迹方程。

5. 已知点)2,0(A ，直线2:-=x l 上任意一点H ，点E 在直线AH 上，满足2=，
动点M 满足0=⋅AH ME ，当点H 在l 上运动时，求M 点的轨迹方程。

6. 已知动圆过点)0,4(A ，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8，求动圆圆心的轨迹C 的方
程。

7. 已知椭圆
14
162
2=+y x ,点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R . 当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程
8. 在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运
动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？
9. 已知ABC ∆的两个顶点A ，B 坐标分别是(5,0)-，(5,0)，且AC ，BC 所在直线的斜率
之积等于m (0)m ≠，试探求顶点C 的轨迹．
参考答案： 6.x y 82 9.。

圆锥曲线题型训练轨迹方程的求法总论 (2)1 直接法 (3)练习1 (4)2 定义法 (5)练习2 (7)3 代入法 (9)练习3 (11)4、交轨法 (11)练习4 (13)5参数法 (14)练习5 (18)6、练习题答案 (20)练习1答案 (20)练习2答案 (23)练习3答案 (28)练习4答案 (29)练习5答案 (34)总论轨迹:是指一个动点按某种特点来运动，运动构成的曲线，可以是，直线，线段，圆，或椭圆，双曲线等等，我们这里把“曲线”也叫做“轨迹”；求动点轨迹方程:即已知动点的运动规律，我们来求满足此条件的动点的坐标),(y x 满足的方程（即等式）0),( y x f ；这个过程要求我们善于将几何图形中点、线之间的关系转化为代数形式，比如，长度，距离，向量的关系式等等，将条件坐标化，注意分析运动过程中不变的等量关系，将“不变的关系”化为“等式”，即达到了求轨迹方程的目的。

可能用到的公式： 两点间距离： 点到直线的距离： 两条平行新间的距离： 平面向量的数量积的坐标形式： 平面向量数乘的坐标形式：1 直接法本着“求谁设谁”的原则，将所求轨迹的动点的坐标设为),(y x ,根据其运动特点列等式,利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式等）进行整理、化简，把运动特点“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程0),(=y x f 。

例 一条线段AB 的长等于2a ,两个端点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点M 的轨迹方程？解：设),(y x M ，则)0,2(),2,0(x B y A ，由a AB 2||=得a y x 24422=+，化简得222a y x =+变式：若21=MABM，则点M 的轨迹方程是什么？ 例 已知点(3,0),(3,0)A B -，动点P 满足||2||PA PB =，求动点P 的轨迹方程 解：因为2222||(3),||(3)PA x y PB x y =++=-+代入||2||PA PB =，得222222224)3(4)3(2)3()3(y x y x y x y x +-=++⇒=+-++化简得22(5)16x y -+=，说明轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆. 说明：由此题可以得到一个推论：已知平面上两点A 、B ，则所有满足(1)PAk k PB=≠的点P 的轨迹是一个圆（阿氏圆） 例2 （2009海南20）已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OPOM=λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

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圆锥曲线测试题及详细答案一、选择题：1、双曲线221102x y -=的焦距为（ ）D 。

2。

椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ）A ．23 B ．3 C ．27D ．4 3．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是( ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对4．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ )A 。

1或5 B. 1或9 C 。

1 D. 95、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是（ )。

C. 21 6．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．163B ．83C ．316D ．387. 若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( ）（A)2 （B)3 (C ）4 8．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2）平分,则这条弦所在的直线方程是（ ） A 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 9、无论θ为何值，方程1sin 222=⋅+y x θ所表示的曲线必不是（ ）A 。

圆锥曲线中的轨迹问题练习题一、单选题1．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．曲线的一支2．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体表面上的一个动点，且总有1PC BD ⊥，则动点P 的轨迹所围成图形的面积为（ ）A ．3B ．32C ．32D ．13．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且13AM =，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．直线二、填空题4．已知分别过点(1,0)A -和点(1,0)B 的两条直线相交于点P ，若直线PA 与PB 的斜率之积为-1，则动点P 的轨迹方程是________.5．动圆经过点(3,0)A ，且与直线:3l x =-相切，求动圆圆心M 的轨迹方程是____________.三、解答题 6．圆C 过点()60A ，，()1,5B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上.（1）求圆C 的方程； （2）P 为圆C 上的任意一点，定点()8,0Q ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.7．若平面内两定点(0,0)O ，(3,0)A ，动点P 满足||1||2PO PA =. （1）求点P 的轨迹方程；8．点(,)M x y 与定点(3,0)F 的距离和它到直线25:3l x =的距离之比是常数35，求点M 的轨迹方程. 9．在圆:C 223x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当P 在圆上运动时，线段PD 上有一点M ，使得33DM PD =， （1）求M 的轨迹的方程；试卷第2页，总2页 10．已知点()1,0F ，点P 到点F 的距离比点P 到y 轴的距离多1，且点P 的横坐标非负，点()1,M m (0m <)； （1）求点P 的轨迹C 的方程；.（2）过点M 作C 的两条切线，切点为A ，B ，设AB 的中点为N ，求直线MN 的斜率.。

安陆一中高二数学同步测试直线与圆锥曲线(一)一、选择题1.斜率为1的直线l 与椭圆42x+y 2=1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( ) A.2B.554C.5104 D.51082.抛物线y =ax 2与直线y =kx +b (k ≠0)交于A 、B 两点，且此两点的横坐标分别为x 1,x 2,直线与x 轴交点的横坐标是x 3,则恒有( )A.x 3=x 1+x 2B.x 1x 2=x 1x 3+x 2x 3C.x 1+x 2+x 3=0D.x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=03. (浙江)函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )(A)18(B)41 (C)21 (D)14. （上海）过抛物线xy42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 5. （山东卷）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214yx +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使P A B ∆的面积为12的点P 的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46. (全国卷Ⅰ)已知双曲线)0( 1222>=-a ya x的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为（ ）（A ）23（B ）23（C ）26（D ）3327. (全国卷III)设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）（A ）2 （B ）2（C ）2- （D 1-8.（湖南卷）已知双曲线22a x－22by＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a（O 为原点），则两条渐近线的夹角为( ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º9. （福建卷）已知定点A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是（ ）A ．21B ．23C ．27D ．510. （广东卷）若焦点在轴上的椭圆2212xym+=的离心率为12，则m=( )（Ｂ）32 （Ｃ）83 （Ｄ）23二、填空题11.已知两点M (1，45)、N (－4，－45)，给出下列曲线方程：①4x +2y －1=0,②x 2+y 2=3,③22x+y 2=1,④22x－y 2=1,在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是_________.12.正方形ABCD 的边AB 在直线y =x +4上，C 、D 两点在抛物线y 2=x 上，则正方形ABCD 的面积为_________.13.在抛物线y 2=16x 内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________.三、解答题14.已知抛物线y 2=2px (p ＞0),过动点M (a ,0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，且|AB |≤2p .(1)求a 的取值范围.(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值.15.已知中心在原点，顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率e =321的双曲线过点P (6，6).(1)求双曲线方程.(2)动直线l 经过△A 1PA 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问：是否存在直线l ,使G 平分线段MN ，证明你的结论.16.已知双曲线C 的两条渐近线都过原点，且都以点A (2，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A 1与A 点关于直线y =x 对称.(1)求双曲线C 的方程.(2)设直线l 过点A ，斜率为k ,当0＜k ＜1时，双曲线C 的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2，试求k 的值及此时B 点的坐标.17.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程.18.如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4的直线l与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积.19. 已知双曲线C ：2x 2－y 2=2与点P (1，2)(1)求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.(2)若Q (1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在.20.如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标；(3)设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ，求m 的取值范围.直线与圆锥曲线(一) 参考答案一、选择题1.. C2. B3.B4.B5.B6.A7.D8.D9. C 10.B二、填空题11.解析：点P 在线段MN 的垂直平分线上，判断MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交点.答案：②③④12.解析：设C 、D 所在直线方程为y =x +b ,代入y 2=x ,利用弦长公式可求出|CD |的长，利用|CD |的长等于两平行直线y =x +4与y =x +b 间的距离，求出b 的值，再代入求出|CD |的长.答案：18或5013.解析：设所求直线与y 2=16x 相交于点A 、B ，且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入抛物线方程得y 12=16x 1,y 22=16x 2,两式相减得，(y 1+y 2）(y 1－y 2)=16(x 1－x 2).即⇒+=--21212116y y x x y y k AB =8.故所求直线方程为y =8x －15. 答案：8x －y －15=0 三、解答题14.解：(1)设直线l 的方程为：y =x －a ,代入抛物线方程得(x －a )2=2px ,即x 2－2(a +p )x +a 2=0∴|AB |=224)(42a p a -+⋅≤2p .∴4ap +2p 2≤p 2,即4ap ≤－p 2 又∵p ＞0,∴a ≤－4p .(2)设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，AB 的中点 C (x ,y ), 由(1)知，y 1=x 1－a ,y 2=x 2－a ,x 1+x 2=2a +2p , 则有x =222,2212121ax x y y y p a x x -+=+=+=+=p .∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －p =－(x －a －p ),从而N 点坐标为(a +2p ,0） 点N 到AB 的距离为p a p a 22|2|=-+从而S △NAB =2222224)(4221pap p p a p a +=⋅-+⋅⋅当a 有最大值－4p 时，S 有最大值为2p 2.15.解：(1)如图，设双曲线方程为2222by ax -=1.由已知得321,16622222222=+==-ab a e ba,解得a 2=9,b 2=12.所以所求双曲线方程为12922yx-=1.(2)P 、A 1、A 2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0）， ∴其重心G 的坐标为(2，2）假设存在直线l ，使G (2，2)平分线段MN ，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2).则有34912441089121089122121212122222121==--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-x x y y y y x x y x y x ，∴k l =34 ∴l 的方程为y =34 (x －2)+2,由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)2(3410891222x y y x ,消去y ,整理得x 2－4x +28=0. ∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l 不存在. 16.解：(1)设双曲线的渐近线为y =kx ,由d =1|2|2+k k =1,解得k =±1.即渐近线为y =±x ,又点A 关于y =x 对称点的坐标为(0，2). ∴a =2=b ,所求双曲线C 的方程为x 2－y 2=2.(2)设直线l ：y =k (x －2)(0＜k ＜1),依题意B 点在平行的直线l ′上，且l 与l ′间的距离为2.设直线l ′：y =kx +m ,应有21|2|2=++km k ,化简得m 2+22k m=2.②把l ′代入双曲线方程得(k 2－1)x 2+2mkx +m 2－2=0, 由Δ=4m 2k 2－4(k 2－1)(m 2－2)=0.可得m 2+2k 2=2③ ②、③两式相减得k =2m ,代入③得m 2=52,解设m =510,k =552,此时x =2212=--kmk ,y =10.故B (22,10).17.解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)， P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由⎩⎨⎧=++=1122ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0, Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0, 由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0, ∴nm n nm n --+-2)1(2+1=0,∴m +n =2① 又2)210()(4=+-+nm mn n m 2,将m +n =2,代入得m ·n =43②由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21故椭圆方程为22x+23y 2=1或23x 2+21y 2=1.18.解：由题意，可设l 的方程为y =x +m ,－5＜m ＜0. 由方程组⎩⎨⎧=+=xym x y 42,消去y ,得x 2+(2m －4)x +m 2=0①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0) 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2,∴|MN |=4)1(2m -. 点A 到直线l 的距离为d =25m +.∴S △=2(5+m )m -1,从而S △2=4(1－m )(5+m )2=2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(35522mm m ++++-)3=128.∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号. 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为82.19.解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =1,与曲线C 有一个交点.当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k (x －1),代入C 的方程，并整理得(2－k 2)x 2+2(k 2－2k )x －k 2+4k －6=0(*)(ⅰ)当2－k 2=0,即k =±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k 2≠0,即k ≠±2时Δ=［2(k 2－2k )］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k ) ①当Δ=0,即3－2k =0,k =23时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点.②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点.③当Δ＜0，即k ＞23时，方程(*)无解，l 与C 无交点.综上知：当k =±2,或k =23，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点；当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点；当k ＞23时，l 与C 没有交点.(2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2) 又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1即k AB =2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在.20.解：(1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3. 故椭圆方程为92522yx+=1.(2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=59.因为椭圆右准线方程为x =425,离心率为54，根据椭圆定义，有|F 2A |=54(425－x 1),|F 2C |=54(425－x 2)，由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×59,由此得出：x 1+x 2=8.设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=221x x +=4.(3)解法一：由A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)在椭圆上.得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x①－②得9(x 12－x 22)+25(y 12－y 22)=0, 即9×)()2(25)2(21212121x x y y y y x x --⋅+++=0(x 1≠x 2)将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0)代入上式，得9×4+25y 0(－k1)=0(k ≠0)即k =3625y 0(当k =0时也成立).由点P (4，y 0)在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m ,所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0.由点P (4，y 0)在线段BB ′(B ′与B 关于x 轴对称)的内部，得－59＜y 0＜59,所以－516①②＜m ＜516.解法二：因为弦AC 的中点为P (4,y 0)，所以直线AC 的方程为 y －y 0=－k1(x －4)(k ≠0)③将③代入椭圆方程92522yx+=1,得(9k 2+25)x 2－50(ky 0+4)x +25(ky 0+4)2－25×9k 2=0 所以x 1+x 2=259)4(5020++kk =8,解得k =3625y 0.(当k =0时也成立)(以下同解法一).。

圆锥曲线的轨迹方程1．已知直线2:220(1)l x ay a a --=>椭圆222:1x C y a+=，1F ，2F 分别为椭圆的左右焦点．（Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求C 的标准方程；2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的一点，I 为△12PF F 的内切圆圆心，11222PIF IF F PIF S S S =-V V V ，且△12PF F 的周长为6． （1）求椭圆C 的方程．3．椭圆2222:1(1)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆E 上两动点P ，Q 使得四边形12PFQF为平行四边形，且平行四边形12PFQF 的周长和最大面积分别为8和 （1）求椭圆E 的标准方程；4．已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 在平面内运动，14PA PB k k =-g ．（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，且1F 是圆2270x y +-+=的圆心，点H 的坐标为(0,)b ，且△12HF F 的面积为 （1）求椭圆C 的方程．6．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 两点分别是椭圆C 的上，下顶点，△12AF F 是等腰直角三角形，延长1AF 交椭圆C 于D 点，且2ADF ∆的周长为 （1）求椭圆C 的方程；7．已知点F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左右焦点分别为1F 、2F ，A 为椭圆上一点，1AF 与y 轴交于点B ，2||||AB F B =，||OB =． （1）求椭圆C 的方程；9．已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点P 在椭圆E 上，212PF F F ⊥，且12||3||PF PF =．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；10．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，过F 的直线与椭圆E交于A 、B 两点，线段AB 的中点为21(,)33P ．（1）求椭圆E 的方程；11．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0F ，)(0)c c >关于直线:20l x y --=的对称点为M ，且||FM =P 为C 的准线上的任意一点，过点P 作C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C 的方程；12．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且过点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△1AF B 的周长为．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；13．有一种曲线画图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且12DN ON ==，1DM =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C 的轨迹方程；14．已知圆22(4)(4)25x y -+-=经过抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F ，且与抛物线E 的准线l 相切． （1）求抛物线E 的标准方程；15．已知焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>与圆222:1O x y p +=+交于点0(1,)P y ． （1）求抛物线C 的方程；16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A ，B的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ，且焦距为4．（1）求椭圆C 的标准方程；18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为28y x =的焦点重合．（1）求椭圆C 的标准方程；19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为B ，圆22:4C x y '+=与y 轴的正半轴交于点A ，与C 有且仅有两个交点且都在x 轴上||,||OB O OA =为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程；20．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在x ，1F ，2F 分别为椭圆E 的左、右焦点，点P 在椭圆E 上，以线段12F F 为直径的圆经过点P ，线段1F P 与y 轴交于点B ，且11||||6F P F B =g ． （1）求椭圆E 的方程；21．已知(0,2)P -，点A ，B 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点，直线BP 交E 于另一点Q ，ABP ∆为等腰直角三角形，且||:||3:2PQ QB =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；22．已知圆221:(3)16F x y ++=，圆心为1F ，定点2(3,0)F ，P 为圆1F 上一点，线段2PF 上一点K 满足222PF KF =u u u r u u u r，直线1PF 上一点Q 满足20QK KF =u u u r u u u r g ．（1）求点Q 的轨迹E 的方程；23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 是椭圆C 的一个焦点，点(0,2)M ，直线MF 的斜率为2．（1）求椭圆C 的方程；24．、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率12e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，(4,0)P -，过点P 的直线斜率为k ，交椭圆E 于A ，B 两点，12211221sin sin sin()BF F BF F a BF F BF F ∠+∠=∠+∠． （1）求椭圆E 的方程；25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，||3AB =． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；26．已知椭圆2222:1x y C a b +=，右顶点为A ，右焦点为F ，O 为坐标原点，2OA OF =u u u r u u u r ，椭圆C 过点3(1,)2-．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；27．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为1:4l x =与x 轴的交点为G ，过点(,0)M l 且不与x 轴重合的直线2l 交E 于点A ，B ．当2l 垂直x 轴时，ABG ∆． （1）求E 的方程；28．已知点M 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，1260F MF ∠=︒，△12MF F 的面积为12．（1）求椭圆的方程；29．已知Q ，R 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，P 点为椭圆C 上一点，点P 关于x 轴的对称点为H ，且12PQ RH k k =g ．（1）若椭圆C 经过圆22(1)4x y +-=的圆心，求椭圆C 的方程；30．已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，离心率为12，P 是椭圆上异于左右顶点的一动点，已知△12F PF 的内切圆半径的最大值为3． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；31．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为4，直线1:bl y x c=与椭圆相交于A 、B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E 恰好在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；32．已知点3(1,)2P ，(1,)a x y =-r ，(1,)b x y =+r ，且||||4a b +=r r ，满足条件的点(,)Q x y 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；33．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为抛物线上一点，当P 的横坐标为1时，3||2PF =． （1）求抛物线C 的方程；34．已知过点(4,0)A -的动直线l 与抛物线2:2(0)G x py p =>相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，4AC AB =u u u r u u u r ．（1）求抛物线G 的方程；35．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，Q 是抛物线上的一点，FQ =u u u r．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；36．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线2:4D y x =-有共同的焦点F ，且两曲线的公共点到F 的距离是它到直线4x =-（点F 在此直线右侧）的距离的一半． （1）求椭圆C 的方程；37．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点3(1,)2P 在椭圆C 上，满足1294PF PF =u u u r u u u u r g ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；38．直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，点P 为椭圆C 上的动点（点P 与C 的左右顶点不重合），当△12PF F 为等边三角形时，123PF F S =V ． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，M 为AP 的中点，直线MO 交直线4x =-于点D ， 过点O 作//OE AP 交直线4x =-于点E ，证明11OEF ODF ∠=∠．39．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为1F ，过点1F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2，且1F 与短轴两端点的连线相互垂直．（1）求椭圆C 的方程；40．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的离心率为2，过椭圆Γ的焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆Γ截得的弦长为2． （1）求椭圆Γ的方程；41．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与C 交于M ，N 两点．2MNF ∆的周长为8，且||MN 的最小值为3． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；42．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，F 为其右焦点，1111B A B F =u u u u r u u u u r g ，且该椭圆的离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；43．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，与x 轴交于点1A ，2A ，过x 轴上一点Q 引x 轴的垂线，交椭圆C 于点1P ，2P ，当Q 与椭圆右焦点重合时，12||1PP =． （1）求椭圆C 的方程；44．在平面直角坐标系内，点(1,0)F ，过点P 作直线:l x m =的垂线，垂足为M ，MF 的中点H 在y 轴上，且()0PM PF FM +=u u u u r u u u r u u u u rg ．设点P 的轨迹为曲线Q ．（1）求曲线Q 的方程；45．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点坐标为(，A ，B 分别是椭圆的左，右顶点，P 是椭圆上异于A ，B 的一点，且PA ，PB 所在直线斜率之积为14-．（1）求椭圆C 的方程；46．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在x ，1F 、2F 分别为楠圆E 的左、右焦点，点P 在椭圆E 上，以线段12F F 为直径的圆经过点P ，线段1F P 与y 轴交于点B ，且11||||6F P F B =g ． （1）求椭圆E 的方程；47．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过左焦点1F 的最短弦长为3，离心率为12． （1）求椭圆的标准方程；48．点(1,1)A 是抛物线2:2C x py =内一点，F 是抛物线C 的焦点，Q 是抛物线C 上任意一点，且已知||||QA QF +的最小值为2．（1）求抛物线C 的方程；圆锥曲线的轨迹方程参考答案1.【解答】（Ⅰ）由题可得：22222,12,12a c a c a c =-=⇒==，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．2.【解答】（1）因为11222PIF IF F PIF S S S =-V V V ，所以1212||||2||PF PF F F +=，即2a c =①， 又因为△12PF F 的周长为6，所以1212||||||6PF PF F F ++=，即226a c +=②，由①②可得2a =，1c =，则3b =，所以椭圆的方程为22143x y +=．3.【解答】（1）由平行四边形12PFQF 的周长为8，可知48a =，即2a =．由平行四边形的最大面积为23，可知3bc =，又1a b >>，解得3,1b c ==．所以椭圆方程为22143x y +=．4.【解答】（Ⅰ）设(,)P x y ，0y ≠，则2124n yy x x -=-+g ，22221(4)144x y x y =--⇒+=；所以点P 的轨迹方程：221(0)4x y y +=≠；5.【解答】（1）由224270x y x +-+=，可得22(22)1x y -+=，则圆心坐标为(22，0)， 即1F (22，0)，22c ∴=，Q △12HF F 的面积为22，∴12222c b ⨯⨯=， 1b ∴=，2229a b c ∴=+=，∴椭圆C 的方程为：2219x y +=；6.【解答】（1）2ADF ∆Q 的周长为42，由椭圆的定义可知，12||||2AF AF a +=，12||||2DF DF a +=， 442a ∴=，2a ∴=，又Q △12AF F 是等腰直角三角形，且222a b c =+，1b c ∴==，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=；7.【解答】（Ⅰ）由题意可知，31a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，2223b a c ∴=-=，∴椭圆的标准方程为：22143x y +=； 8.【解答】（1）连接2AF ，如图所示：， 由题意得21||||||AB F B F B ==， 所以BO 为△12F AF 的中位线， 又因为12BO F F ⊥，所以212AF F F ⊥，且222||2||2b AF OB a ===， 又22c e a ==，222a b c =+，得22a =，21b =， ∴椭圆C 的方程为：2212x y +=；9.【解答】（Ⅰ）因为P 在椭圆上，所以12||||2PF PF a +=，又因为12||3||PF PF =， 所以2||2a PF =，13||2aPF =，因为212PF F F ⊥，所以2222121||||||PF F F PF +=，又12||2F F =，所以22a =，2221b a c =-=，所以椭圆的标准方程为：2212x y +=；10.【解答】（1）由题意可知，1c =，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，∴1243x x +=，1223y y +=， 又Q 点A ，B 在椭圆上，∴22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=， ∴2122122y y b x x a -=--，即直线AB 的斜率为：222b a -，又Q 直线AB 过右焦点(1,0)F ，过点21(,)33P ， ∴直线AB 的斜率为：1031213-=--，2221b a ∴-=-，222a b ∴=，又222a b c =+Q ，1c =，22a ∴=，21b =，∴椭圆E 的方程为：2212x y +=；11.【解答】（1）由题意可知，焦点(0,)F c 到直线:20l x y --=的距离d =∴=1c =（负根舍去），∴抛物线C 的方程为：24x y =； 12.【解答】（Ⅰ）根据椭圆的定义，可得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a +=，∴△1AF B 的周长为111122||||||||||||||4AF BF AB AF BF AF BF a ++=+++=，∴4a =，a =∴椭圆E 的方程为22213x y b +=，将P 代入得22b =，所以椭圆的方程为22132x y +=． 13.【解答】（1）设(,)M x y 则(,0)2x D1，即2214x y +=；14. 【解答】（1）由已知可得：圆心(4,4)到焦点F 的距离与到准线l 的距离相等，即点(4,4)在抛物线E 上，168p ∴=，解得2p =．∴抛物线E 的标准方程为24y x =．15.【解答】（1）将点0(1,)P y 代入得20220211y p y p ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，解得2p =，则抛物线C 的方程为24y x =； 16.【解答】（1）已知点P 在椭圆上，设0(P x ，0)y ，即有2200221x y a b+=，又2200022200034AP BPy y y b k k x a x a x a a ===-=-+--g ，且22c =，可得椭圆的方程为22143x y +=； 17.【解答】（1）由题意可知，2222242124a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得22a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为：22184x y +=；18.【解答】（1）由抛物线的方程可得抛物线的焦点坐标为(2,0)，所以由题意可得椭圆的右焦点(2,0)，即2c =，2a =a =222642b a c =-=-=，所以椭圆的标准方程为：22162x y +=； 19.【解答】（1）Q 圆22:4C x y '+=与C 有且仅有两个交点且都在x 轴上，所以2a =， 又Q ||||OB OA =∴2b，解得b =C 的方程为22143x y +=；20.【解答】（1）设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12||2F F c =，112BFO PF F ∠=∠Q ，1122FOB F PF π∠=∠=，∴△1F BO ∽△12F F P ，∴11121||||||||F B FO F F F P =， 即211112||||||||26F P F B FO F F c ===，c ∴=c e a ==，解得2a =，所以2221b a c =-=， 则椭圆E 的方程为2214x y +=；21.【解答】（Ⅰ）根据题意ABP ∆是等腰直角三角形，2a ∴=，(2,0)B ，设0(Q x ，0)y ，由||:||3:2PQ QB =，得32PQ QB =u u u r u u u r ，则006545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入椭圆方程得21b =，∴椭圆E 的方程为：2214xy +=；22.【解答】（1）Q 222PF KF =u u u r u u u r，K ∴是线段2PF 的中点．又20QK KF =u u u r u u u r g ，QK ∴为线段2PF 的中垂线，则2||||QP QF =，1112||||||||||4F P FQ QP FQ QF =+=+=Q ， ∴由椭圆的定义可知，点Q 的轨迹是以1F ，2F 为焦点，长轴为4的椭圆，则2a =，c ，21b ∴=，故点Q 的轨迹C 的方程为2214x y +=；23.【解答】（1）由题意，可得1222c a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，则2223b a c =-=，故椭圆C 的方程为22143x y +=；24.【解答】（1）由正弦定理得2112||||||BF BF a F F +=，由椭圆的定义可得22a ac =，1c ∴=， 又Q 离心率12e =，∴12c a =，2a ∴=，2223b a c ∴=-=，∴椭圆E 的方程为：22143x y +=；25.【解答】（Ⅰ）由题意得：222223,1,2,b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2,1a b c ===．所以椭圆的标准方程为：22143x y +=；26.【解答】（Ⅰ）由2OA OF =u u u r u u u r ，可得，2a c =，且过点3(1,)2-，则221914a b +=，焦解得：2a =，b =，所以椭圆的方程为：22143x y+=；27.【解答】（1）由焦距为2c =c =，即2223a b c -== ①；由题意可得(4,0)G，13||||||22AB MG AB ==g可得||AB =，由在椭圆上可得221314a b+=②； 由①②解得2a =，1b =，则椭圆的方程为2214xy +=；28.【解答】（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c ，1||MF m =，2||MF n =可得2m n a +=，1sin 602mn ︒=，即8mn =， 又2222cos604m n mn c +-︒=，即22()24m n mn mn c +--=，即222444324a c b mn -===，可得b =，由12c e a ==，即2a c =，又2226b a c =-=，解得a =，c 22186x y +=；29.【解答】（1）设(,)P x y ，因为(,0)P a -，(,0)Q a ，则点P 关于x 轴的对称点(,)H x y -， PQy k x a =+，RH y k a x=-，因为22221x y a b +=，所以22222222(1)()x b y b a x a a =-=-， 所以2222212PQ RH y b k k a x a ===-g ，又椭圆C 过圆22(1)4x y +-=的圆心(0,1)，∴22011a b+=， 所以22a =，21b =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；30.【解答】（Ⅰ）由题意知：12c a =，2a c ∴=，222b a c =-，∴b =，设△12PF F 的内切圆半径为r ，则12121211(||||||)(22)()22PF F S PF PF F F r a c r a c r =++=+=+V g g g ，故当△12PF F 面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r ，)a c bc +=，把2a c =，b =代入，解得：2a =，b =，所以椭圆方程为22143x y +=； 31.【解答】（1）Q 焦距为4，2c ∴=，2(2,0)F ∴，Q 点2F 关于直线1:bl y x c=的对称点E 恰好在椭圆上，∴由椭圆的对称性可知，当b c =时，点2(2,0)F 关于直线1:l y x =的对称点E 坐标为(0,2)，恰在椭圆上， 2b c ∴==，2228a b c =+=，∴椭圆的标准方程为：22184x y +=； 32.【解答】（1）设1(1,0)F -，2(1,0)F ，由(1,)a x y =-r，(1,)b x y =+r ，||||4a b +=r r ，4，即为12||||4QF QF +=，由124||F F >，可得Q 的轨迹是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点，且24a =的椭圆，由1c =，2a =，可得b ==，可得曲线C 的方程为22143x y +=；33.【解答】（1）由抛物线的方程可得准线方程为：2px =-，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，3||2PF =，又P 的横坐标为1，所以3122p +=，所以1p =，所以抛物线的方程为：22y x =；34.【解答】（1）设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为1(4)2y x =+，即24x y =-，由2224x py x y ⎧=⎨=-⎩得22(8)80y p y -++=，∴21212(8)640424p p y y y y ⎧=+->⎪⎪+=+⎨⎪=⎪⎩V ，①；又4AC AB =u u u r u u u r ．214y y ∴=，②； 由①②和0p >得11y =，24y =，2p =，则抛物线的方程为24x y =；35.【解答】（Ⅰ）由题意可知，(2p F ，0)，Q 点Q 在物线2:2C y px =上，∴设20(2y Q p ，0)y ，∴200(,)22y p FQ y p =-=u u u r ，∴200122y pp y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得2p =，∴抛物线C 的方程为：24y x =；36.【解答】（1）由题意知(1,0)F -，因而1c =，即221a b =+，又两曲线在第二象限内的交点(Q Q x ，)Q y 到F 的距离是它到直线4x =-的距离的一半，即42(1)Q Q x x +=-+，得23Q x =-，则283Q y =，代入到椭圆方程，得2248193a b+= ．由2222481931a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得24a =，23b =， ∴所求椭圆的方程为22143x y +=．37.【解答】（1）设1F (,0)c -，2(,0)F c ，0c >，则12(1PF PF c =--u u u r u u u u r g ，3)(12c --g ，2399)1244c -=-+=，1c ∴=，∴2222219141a b a b c c ⎧+=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的标准方程为：22143x y +=； 38.【解答】(1设椭圆的半个焦距c ，因为△12PF F 是等边三角形，所以P 此时在上顶点或下顶点，所以2a c =，所以bc 222a b c =+，解得24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；39.【解答】（1）设右焦点为1(,0)F c ，令x c =，可得2b y a =±=±，可得22b a=1F 与短轴两端点的连线相互垂直，可得b c =，且222a b c -=，解得a 1b c ==，则椭圆方程为2212x y +=；40.【解答】（1）根据题意得22c ab a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为222b ac =-，解得22a =，则21b =， 所以椭圆Γ的方程为：2212x y +=；41.【解答】（1）根据椭圆的定义可得：122MF MF a +=，122NF NF a +=，则2MNF ∆的周长22112248MN MF NF MF NF MF MF a =++=+++==，解得2a =，又因为||MN 的最小值为3，所以223b a=，解得23b =，所以椭圆的标准方程为22143x y +=，42.【解答】（Ⅰ）1(,0)A a -，1(0,)B b ，(,0)F c ，11(,)B A a b =--u u u u r ，1(,)B F c b =-u u u u r ，由1111B A B F =u u u u r u u u u rg ，得21b ac -=，又12c a =，222a b c =+，解得：2a =，b =1c =．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；43.【解答】（1）由题意可得离心率c e a ==x c =代入椭圆方程可得2||b y a =，所以221b a=，222c a b =-可得22a =，21b =，所以椭圆的方程为：2214x y +=；44.【解答】（1）设点(,)P x y ，依题意可得||||PM PF =，则222(1)(1)x x y +=-+，整理可得：24y x =，所以曲线Q 的方程24y x =；45.【解答】（1）设(,)P x y ，有题意可得(,0)A a -，(,0)B a ，由PA ，PB 所在直线斜率之积为14-，可得14y y x a x a =-+-g ，即22214y x a =--， 而P 在椭圆上可得：22222222(1)()x b y b a x a a =-=-g ，所以2214b a =，即224a b =，2223c a b ==-，解得：24a =，21b =，所以椭圆的方程为：2214x y +=；46.【解答】（1）设椭圆的方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，12||2F F c =，因为112BFO PF F ∠=∠，1122FOB F PF π∠=∠=，所以△1F BO ∽△12F F P ，所以 11121||||||||F B FO F F F P =， 所以211112||||||||26F P F B FO F F c ===g g，可得c =，又c e a ==2a =，2221b a c =-=， 所以椭圆的方程为：2214x y +=；47.【解答】（1）由题意可得：12c a =，223b a =，222c a b =-，解得24a =，23b =，所以椭圆的标准方程为22143x y +=；48.【解答】（1）抛物线的准线方程为：2py =-，因为A 点在抛物线内部，过A 做AN 垂直于准线交于N ，抛物线于Q ，由抛物线的性质可得||||||||||QA QF QA QN AN +=+…，当且仅当，A ，Q ，N 三点共线时||||QA QF +最小，即||2AN =，即122p +=，解得：2p =，所以抛物线的方程为：24x y =；。

圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题一、临阵磨枪1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程。

这种求轨迹的方法称之为直接法。

2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。

3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。

4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。

5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。

二、小试牛刀1.已知M （-3,0），N （3,0）6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析：MN PM PN =-Q ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。

故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥2.已知圆O 的方程为222=+y x ，圆O '的方程为010822=+-+x y x ，由动点P 向两圆所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为析：∵圆O 与圆O '外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等， 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为2x =3.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，M 是椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，则线段1MF 的中点P 的轨迹方程为析：设P (,)x y 00(,)M x y 又1(,0)F c - 由中点坐标公式可得：00002222x c x x x c y y y y -⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ 又点00(,)M x y 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上 ∴2200221(0)x y a b a b +=>> 因此中点P 的轨迹方程为2222(2)41x c y a b++= 4.已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，O 是平面ABC 内的一定点，P 是动点，若[)+∞∈+=-,0),21(λλBC AB OA OP ,则点P 的轨迹一定过三角形ABC 的 重 心。

圆锥曲线轨迹的例题和练习(优秀)专题:圆锥曲线轨迹首先，准备第一场战斗。

直接法(五部分法):如果运动点所满足的几何条件本身是某些几何量的等价关系，或者这些几何条件简单、明了、易于表达，我们只需要将这种关系“转化”为包含方程，就可以得到曲线的轨迹方程。

这种寻找轨迹的方法叫做直接法。

2.定义方法:如果运动点轨迹的条件满足基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义)，则运动点的轨迹方程可以根据定义直接计算。

3.坐标转移法(替代法):在一些问题中，移动点满足的条件不容易在方程中列出，但是移动点随着另一个移动点(称为相关点)移动。

如果相关点满足的条件是明显的或可分析的，那么我们可以用移动点的坐标来表示相关点的坐标。

根据相关点所满足的方程，我们可以得到运动点的轨迹方程。

这种寻找轨迹的方法也称为坐标转移法或替代法。

4.参数方法: 有时很难找出一个运动点应该满足的几何条件，并且没有明显的相关点，但是更容易发现(或者可以通过分析找到)这个运动点的运动经常受到另一个变量(角度、斜率、比率、截距或时间等)的限制。

)，也就是说，移动点的坐标随着另一个变量的变化而变化。

我们可以将这个变量设置为一个参数，并建立轨迹的参数方程。

这种方法称为参数方法。

如果我们需要得到轨迹的一般方程，我们只需要消除参数变量。

5.钢轨穿越方法:在寻找运动点轨迹的过程中，有时会出现需要两条运动曲线相交的轨迹问题。

这类问题通常可以通过求解方程来获得带参数的交点坐标，然后消除参数来获得期望的轨迹方程来解决。

这个方法被称为交集方法。

(2)小型试验手术刀1把。

已知的M轨迹(-圆锥曲线)首先，准备第一场战斗。

直接法(五部分法):如果运动点所满足的几何条件本身是某些几何量的等价关系，或者这些几何条件简单、明了、易于表达，我们只需要将这种关系“转化”为包含方程，就可以得到曲线的轨迹方程。

这种寻找轨迹的方法叫做直接法。

2.定义方法:如果运动点轨迹的条件满足基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义)，则运动点的轨迹方程可以根据定义直接计算。

专题9：圆锥曲线中的轨迹问题（解析版）一、单选题1．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ） A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．曲线的一支 【答案】A【分析】先找出定点A 和直线l 确定的一个平面，结合平面相交的特点可得轨迹类型.【详解】如图，设l 与l '是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面β，且α的斜线AB β⊥，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在平面β与平面α的交线上.【点睛】本题主要考查轨迹的类型确定，熟悉平面的基本性质及推论是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.2．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体表面上的一个动点，且总有1PC BD ⊥，则动点P 的轨迹所围成图形的面积为（ ）A 3B ．32C 3D ．1【答案】C【分析】本题首先可以根据题意确定当1PC BD ⊥时直线PC 所在平面区域，然后结合图像即可得出动点P 的轨迹所围成图形为1AB C ，然后求出1AB C 面积即可得出结果.【详解】如图，易知直线1BD ⊥平面1ACB ，故动点P 的轨迹所围成图形为1AB C ，因为1AB C 为边长为2的正三角形，所以其面积()2332S =⋅=， 故选：C.【点睛】本题考查线面垂直的相关性质，若直线与平面垂直，则直线垂直这个平面内的所有直线，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题.3．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且13AM =，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．直线【答案】B【分析】 作PQ AD ⊥，11QR A D ⊥，PR 即为点P 到直线11A D 的距离，由勾股定理得2221PR PQ RQ -==，由已知221PR PM -=，故PQ PM =，即P 到点M 的距离等于P 到AD 的距离【详解】。