下载文档原格式
1.1.2弧度制的教学设计一、内容及其解析本节内容包括弧度制，其核心内容是角度制和弧度制的转化，理解它的关键是掌握公式。
、学生在上一节内容中已学习了任意角的概念，本节内容是在上节的基础上，是角的度量的一个延伸，对后面三角公式，三角函数的学习是个奠基。
二、目标及其解析（1）理解弧度的概念，会熟练的进行角度与弧度的转换；(2）熟记并能熟练应用弧长公式、扇形面积公式.2、目标解析：（1）我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．（2）角度与弧度之间的转换：①将角度化为弧度：；；；．②将弧度化为角度：；；；．（3）(1);(2); (3).其中是半径,是弧长,为圆心角,是扇形的面积.三、问题诊断分析在本节课中学生可能遇到的问题是把角度制转化成弧度制，产生问题的原因是“角度制”与“弧度制”间的区别与联系掌握不好，要解决问题关键是多做练习。
四、教学设计问题一：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的,在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？解析：我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．问题1：什么叫角度制？解析：规定把周角的作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．问题2：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？解析：我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．问题3：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？①将角度化为弧度：；；；．②将弧度化为角度：；；；．°°°°°°°°°°°例题：课本上例1、例2设计意图：让学生进一步熟练角度与弧度进行互化。
1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角【教学内容解析】本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修4第一章《三角函数》1.1《任意角和弧度制》中第1.1.1节《任意角》的第一课时，本节教学内容为任意角，主要学习任意角的推广、象限角、用几何和符号表示终边相同的角.本节内容为三角函数的第一节，终边相同的角的表示为后面证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值奠定基础.由此确定本节课的教学重点为：教学重点：将0°~360°的角的概念推广到任意角．【学情分析】学生早在小学与初中学习过“角”，对角的概念有一定印象，但是过去接触过的角都在0°~360°，在对角的认识上已经形成一定的思维定势，所以在本小节要将角的概念推广可能会有一定的困难.用集合和符号来表示终边相同的角，涉及任意角、象限角、终边相同的角等新概念，对学生来说刚刚将角推广到任意角，然后就利用它来解决终边相同的角，是学习的主要难点.故确定本节课的教学难点为：教学难点：角的概念的推广，终边相同的角的表示.【教学目标设置】根据上述教学内容的地位和作用，结合课程标准与学情，确定了以下目标：1.结合生活中实例，认识角的概念推广的必要性；2.初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角，并能熟练写出与已知角终边相同的角的集合.3.通过从特殊的三个角找关系，推广到一般的终边相同的角的集合的书写，体会类比的思想方法，同时利用直角坐标系作出角解决问题，渗透数形结合的数学思想.【教学策略分析】根据本节课的教学内容、学生情况和教学目标，教学中采用“教师设疑引导，学生自主探究”的教学方法．通过启发引导，激发学生的思维，鼓励学生发现、探究、合作、展示，使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高．针对本节课的重点——将0°~360°的角的概念推广到任意角，教学中，通过“思考”提出拨手表指针问题，引导学生感受推广角的概念的必要性，使他们明白要正确表达“校准”手表的过程，需要同时说明分针的旋转量和旋转方向，教学时，让学生自己描述“校准”过程，让学生体会仅用0°~360°的角已经难以回答当前的问题，进而引出学习课题.同时还以体操转体运动为例，进一步说明引入新概念的必要性和实际意义.针对本节课的主要难点，教学中此处设置问题，让学生自己在直角坐标系中画30°,330°，-390°，（这一组角比教材上的那组角更容易找关系）通过观察这些角得出终边相同，然后提问这些角之间有怎样的数量关系？能不能用其中一个角表示这些角？让学生自己得出这一组角中任意两角之差是360°的整数倍，进一步类比得出所有与任意角α终边相同的角，连同α在内构成一个集合的表示.通过学生自己活动解决“探究”，经历由具体数值到一般值的抽象的过程，形成对“终边相同的角相差360°的整数倍”的直观感知.教学中同时多媒体，建立坐标系，画出任意角，并测出角的大小，旋转角的终边，观察角的变化规律，从而将数、形联系起来，使角的几何表示和集合表示相结合.对例题和习题的处理上，对教材上的例2改编为终边落在x轴上的角的集合，将终边落在y轴上的角的集合作为变式，变式设置了4个问题，让学生对终边落在各个坐标轴与象限角的表示有深刻认识，总结两种方法，为后面章节学习打下基础。
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算学习目标1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式=l rα（l 为以α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
重点、难点弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。
学习过程（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定r 角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？（二） 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。
练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2r 的弧所对的圆心角分别为多少？ <思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为l ,那么，角α的弧度数的绝对值是： ，α的正负由 决定。
正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。
<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是44l r r rπαπ-=-=-=-． （三）角度与弧度的换算3602rad π= 180r a dπ=1rad 0.01745rad 180π=≈ 1801rad 5718'π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭1 归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化为弧度的方法是：<试一试>：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整例1、把下列各角从度化为弧度：(1)252 （2）1115' (3)30 (4)6730'变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º例2、把下列各角从弧度化为度：（1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4)4π变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1）12π （2）43π- （3）310π（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.（五） 弧度下的弧长公式和扇形面积公式 弧长公式：l r α=⋅扇形面积公式：12S lr =．说明：以上公式中的α必须为弧度单位．例3、知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。
《任意角和弧度制》教案篇一：人教A版高中数学必修四1.1《任意角和弧度制》1.1 《任意角和弧度制》教案【教学目的】1.理解任意角的概念.2.学会建立直角坐标系讨论任意角，推断象限角，掌握终边一样角的集合的书写.3.理解弧度制，能进展弧度与角度的换算.4.认识弧长公式，能进展简单应用.对弧长公式只要求理解，会进展简单应用，不必在应用方面加深.5.理解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、处理征询题. 【导入新课】复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出征询题：1．初中所学角的概念.2．实际生活中出现一系列关于角的征询题. 3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？4.1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？5.角的范围是什么？如何分类的？新授课阶段一、角的定义与范围的扩大1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，构成一个角?，点O是角的顶点，射线OA,OB分别是角?的终边、始边. 说明：在不引起混淆的前提下，“角?”或“??”能够简记为?．2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转构成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转构成的角叫做负角；零角：假设一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角. 说明：零角的始边和终边重合. 3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负轴重合，那么（1）象限角：假设角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30?,390?,?330?都是第一象限角；300?,?60?是第四象限角.（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90?,180?,270?等等.说明：角的始边“与x轴的非负半轴重合”不能说成是“与x轴的正半轴重合”.由于x轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线.4．终边一样的角的集合：由特别角30看出：所有与30角终边一样的角，连同30角本身在内，都能够写成30?k?360??????k?Z?的方式；反之，所有形如30??k?360??k?Z?的角都与30?角的终边一样.从而得出一般规律：所有与角?终边一样的角，连同角?在内，可构成一个集合S|?k?360?,k?Z?，即：任一与角?终边一样的角，都能够表示成角?与整数个周角的和. 说明：终边一样的角不一定相等，相等的角终边一定一样.例1在0与360范围内，找出与以下各角终边一样的角，并推断它们是第几象限角？（1）?120；（2）640；（3）?95012?.?????解：（1）?120?240?360，因而，与?120角终边一样的角是240，它是第三象限角；（2）640?280?360，因而，与640角终边一样的角是280角，它是第四象限角；（3）?95012??12948??3?360，??????????因而，?95012?角终边一样的角是12948?角，它是第二象限角.??例2 假设??k?360??1575?,k?Z，试推断角?所在象限. 解：∵??k?360??1575?(k?5)?360??225?, (k?5)?Z ∴?与225终边一样，因而，?在第三象限.?例3 写出以下各边一样的角的集合S，并把S中适宜不等式?360720?的元素? 写出来：（1）60；（2）?21；（3）36314?．?????解：（1）S??|??60?k?360,k?Z，??S中适宜?360720?的元素是60??1?360300?,60??0?360??60?,?60??1?360??420.??（2）S??|21?k?360,k?Z，??S中适宜?360720?的元素是?21??0?36021?,?21??1?360??339?,?21??2?260??699???（3）S??|??36314??k?360,k?ZS中适宜?360720?的元素是363?14??2?360356?46?, 363?14??1?360??3?14?,?363?14??0?360??363?14.例4 写出第一象限角的集合M．分析：（1）在360内第一象限角可表示为090；（2）与0,90终边一样的角分别为0?k?360,90?k?360,(k?Z)；（3）第一象限角的集合确实是夹在这两个终边一样的角中间的角的集合，我们表示为：?????????M|k?360?90??k?360?,k?Z?．学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：P|90??k?360?180??k?360?,k?Z?；N|90??k?360?180??k?360?,k?Z?；Q|270??k?360?360??k?360?,k?Z?．说明：区间角的集合的表示不唯一.例5写出y??x(x?0)所夹区域内的角的集合.??解：当?终边落在y?x(x?0)上时，角的集合为?|??45?k?360,k?Z；????当?终边落在y??x(x?0)上时，角的集合为?|45?k?360,k?Z；??因而，按逆时针方向旋转有集合：S??|?45?k?36045?k?360,k?Z．??二、弧度制与弧长公式1.角度制与弧度制的换算：∵360?=2?（rad），∴180?=? rad. ∴1?=?180rad?0.01745rad.??180 1rad?57.30?5718.oSl2．弧长公式：l?r?. 由公式：?ln?r?l?r??.比公式l?简单. r180lR，其中l是扇形弧长，R是圆的半径. 2弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积3．扇形面积公式S?留意几点：1．今后在详细运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”能够省略，如：3表示3rad ，sin?表示?rad角的正弦；2．一些特别角的度数与弧度数的对应值应该记住：3．应确立如下的概念：角的概念推行之后，不管用角度制仍然弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.任意角的集合实数集R例6 把以下各角从度化为弧度：(1)252?；（2）1115；(3) 30；(4)67?30. 解：(1)/71? （2）0.0625? (3) ? (4) 0.375? 56变式练习：把以下各角从度化为弧度：(1)22o30′；（2）-210o；(3)1200o. 解：(1) ?；（2）? 18720?；(3)?. 63例7 把以下各角从弧度化为度：（1）?；(2) 3.5；(3) 2；(4)35?. 4解：（1）108 o；(2)200.5o；(3)114.6o；(4)45o. 变式练习：把以下各角从弧度化为度：（1）?4?3?；（2）-；（3）.12310解：（1）15 o；（2）-240o；（3）54o.例8 知扇形的周长为8cm，圆心角?为2rad，，求该扇形的面积. 解：由于2R+2R=8,因而R=2,S=4. 课堂小结1．弧度制的定义；2．弧度制与角度制的转换与区别；3．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵敏运用；篇二：(教案3)1.1任意角和弧度制1.1.1任意角教学目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边一样的角”的含义。
人教B版数学必修4 第一章基本初等函数（Ⅱ）教学设计一、教材分析1、本单元教学内容的范围1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图象与性质1.3.1 正弦函数的图象与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3 已知三角函数值求角本章知识结构如下：2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用（1）三角函数是一类十分重要的初等函数，它与本模块第三章“三角恒等变换”构成了高中“三角”知识的主体，是中学数学的重要内容之一，也是学习后继内容和高等数学的基础。
（2）三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。
（3）三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其它学科如天文学、物理学等联系非常紧密。
因此三角函数的学习可以培养学生的数学应用能力。
（4）三角函数的基础知识，主要是平面几何中的相似形和圆。
研究三角函数的方法，主要是在必修1中建立的研究初等函数的方法。
因此，通过对三角函数的学习，可以初步地把“数”与“形”联系起来。
（5）通过对三角函数的学习，不仅能使学生获得新的知识和技能，而且可以培养学生的辨证唯物主义观点，提高分析问题和解决问题的能力。
3、本单元教学内容总体教学目标 （1）任意角的概念、弧度制了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． （2）任意角的三角函数理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解任意角的余切、正割、余割的定义；并会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余弦和正切，并理解其原理。
理解同角三角函数的基本关系式： 22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=；借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式，能进行同角三角函数之间的变换，会求任意角的三角函数值，并记住某些特殊角的三角函数值。
示范教案整体设计教学分析在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要．现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单位进行度量，并且一度的角等于周角的1360，记作1°.通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法．在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础．通过探究讨论，关键弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的．通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性．通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式，使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的．进一步加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点．有条件的学校可进行计算机练习，学习电子表格和Scilab中的公式计算功能．以后学生可使用这一功能检查自己的计算结果.三维目标1．通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．通过弧度制的学习，培养学生理性思维的良好习惯．2．通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣．重点难点教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算．教学难点：弧度的概念及其与角度的关系．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷，或者利用普遍使用的钟表．在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法——弧度制．推进新课新知探究提出问题(1)在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢？(2)我们从度量长度和重量上知道，不同的单位制能给我们解决问题带来方便，那么角的度量是否也能用不同单位制呢？活动：教师先让学生思考或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识，提出这是认识弧度制的关键，为更好地理解角度弧度的关系奠定基础．讨论后教师提问学生，并对回答好的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键．教师板书弧度制的定义：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad.如图1中，的长等于半径r ，AB 所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角，即lr＝1.图1讨论结果： (1)1°的角可以理解为将圆周角分成360等份，每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值，与所取圆的半径大小无关．(2)能，用弧度制． 提出问题 (1)作半径不等的甲、乙两圆，在每个圆上作出等于其半径的弧长，连结圆心与弧的两个端点，得到两个角，将乙图移到甲图上，两个角有什么样的关系？(2)如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数是多少？既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间如何换算？活动：教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系，使学生明确：第一，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；第二，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的1360；第三，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值．教师要强调，为了让学生习惯使用弧度制，本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制．讨论结果：(1)完全重合，因为都是1弧度的角．(2)α＝l r ；将角度化为弧度：360°＝2π rad ，1°＝π180 rad ≈0.017 45 rad ；将弧度化为角度：2π rad ＝360°，1 rad ＝(180π)°≈57.30°＝57°18′.弧度制与角度制的换算公式：设一个角的弧度数为α rad ＝(180απ)°，n°＝n π180(rad)．在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角，相应地，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数．圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然．提出问题 (1)引入弧度之后，在平面直角坐标系中，终边相同的角应该怎么用弧度来表示？扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？(2)填写下列的表格，找出某种规律． 的长(3)你能写出把角度值n 换算为弧度值的一个算法吗？活动：设置这个表格的意图是让学生对一些特殊角填表，然后概括出一般情况．教师让学生互动起来，讨论并总结出规律，提问学生的总结情况，让学生板书，教师对做正确的学生给予表扬，对没有总结完全的学生进行简单的提示．检查完毕后，教师做个总结．由上表可知，如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数的绝对值是lα.这里，应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题，即角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们一定可以换算．推而广之，同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间一定有内在联系，认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一．教师指出，角的概念推广以后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应．在理解以上的对应关系时，应该注意角度制是60进位制，遇到35°6′这样的角，应该把它化为10进制的数值35.1°，但是弧度数不存在这个问题，因为弧度数是十进制的实数．这是角度制与弧度制的一个重要区别．值得注意的是：今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两种单位不能混用，绝对不能出现k·360°＋π3或者2kπ＋60°一类的写法．在弧度制中，与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k ∈Z )的形式．如图2为角的集合与实数集R 之间的一一对应关系．图2讨论结果：(1)与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k ∈Z )的形式．弧度制下关于扇形的公式为l ＝αR ，S ＝12αR 2，S ＝12lR.(2)的长 (3)把角度值n 换算为弧度值的一个“算法”如下：①给变量n 和圆周率π的近似值赋值；②如果角度值n 是以“度、分、秒”形式给出，先把n 化为以“度”为单位的10进制表示；③计算π180(把1°换算为弧度值)，得出的结果赋给变量a ；④计算na ，赋值给变量α. α就是这个角的弧度值． 应用示例思路1例 1下列命题中，真命题是( ) A ．一弧度是一度的圆心角所对的弧 B ．一弧度是长度为半径的弧C ．一弧度是一度的弧与一度的角之和D ．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 活动：本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别，熟练掌握定义．根据弧度制的定义，对照各项，可知D 为真命题．例 2(1)把112°30′化成弧度(精确到0.001)； (2)把112°30′化成弧度(用π表示)．解：(1)按照上面写出的算法步骤，依次计算： ①n ＝112°30′，π＝3.141 6； ②n ＝1123060＝112.5；③a ＝π180≈0.017 5；④α＝na ＝1.968 75. 因此α≈1.969 rad.(2)112°30′＝(2252)°＝2252×π180＝5π8.例 3将下列用弧度制表示的角化为2kπ＋α(k ∈Z ，α∈[0,2π))的形式，并指出它们所在的象限：(1)－15π4；(2)32π3；(3)－20；(4)－2 3. 活动：本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角，教师给予指导并讨论归纳出一般规律，即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是：{β|β＝kπ，k ∈Z }，{β|β＝π2＋kπ，k ∈Z }．第一、二、三、四象限角的集合分别为：{β|2kπ<β<2kπ＋π2，k ∈Z }，{β|2kπ＋π2<β<2kπ＋π，k ∈Z }，{β|2kπ＋π<β<2kπ＋3π2，k ∈Z }，{β|2kπ＋3π2<β<2kπ＋2π，k ∈Z }．解：(1)－15π4＝－4π＋π4，是第一象限角．(2)32π3＝10π＋2π3，是第二象限角．(3)－20＝－3×6.28－1.16，是第四象限角．(4)－23≈－3.464，是第二象限角．点评：在这类题中对于含有π的弧度数表示的角，我们先将它化为2kπ＋α(k ∈Z ，α∈[0,2π))的形式，再根据α角终边所在的位置进行判断，对于不含有π的弧度数表示的角，取π＝3.14，化为k ×6.28＋α，k ∈Z ，|α|∈[0,6.28)的形式，通过α与π2，π，3π2比较大小，估计出角所在的象限.例 4如图3，(1)扇 形AOB 中，所对的圆心角是60°，半径为50米，求A B 的长l(精确到0.1米)．图3(2)利用弧度制推导扇形面积公式：S ＝12lr ，其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径．活动：本例目的是让学生在教师的指导下以扇形为背景，进一步理解弧度制的优越性．可先让学生多做相应的随堂练习，在黑板上当场演练，教师给予批改指导，对易出错的地方特别强调．对学生出现的种种失误，教师不要着急，在学生的练习操作中一一纠正，这对以后学习大有好处．解：(1)如图3，因为60°＝π3，所以l ＝α·r ＝π3×50≈1.05×50＝52.5.答：的长约为52.5米．(2)如图4，因为圆心角为1 rad 的扇形的面积为πr 22π＝12r 2，而弧长为l 的扇形的圆心角的大小为l r rad ，所以它的面积S ＝l r ·r 22＝12lr ，即S ＝12lr.图4例 5已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．活动：这道应用题考查了函数思想．教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤，函数法求最值所包括的五个基本环节：(1)选取自变量；(2)建立目标函数；(3)指出函数的定义域；(4)求函数的最值；(5)作出相应结论．其中自变量的选取不唯一，建立目标函数结合有关公式进行，函数定义域要根据题意确定，有些函数是结构确定求最值的方法，并确保在定义域内能取到最值．解：设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S.由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r.∴S ＝12l·r ＝12(a －2r)·r ＝－r 2＋a 2r ＝－(r －a 4)2＋a 216.∵r>0，l ＝a －2r>0，∴0<r<a 2.∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a 2，∴α＝lr＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积取最大值a 216.由学生总结弧度制的定义，角度与弧度的换算公式与方法．教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad 这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算．作业课本本节练习A 组 3,4；练习B 组 3,4,5.设计感想 本节课的设计思想是：在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．通过探究让学生明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更宽的广度．本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础．备课资料一、密位制度量角度量角的单位制，除了角度制、弧度制外，军事上还常用密位制．密位制的单位是“密位”.1密位就是圆的16 000所对的圆心角(或这条弧)的大小．因为360°＝6 000密位，所以1°＝6 000密位360≈16.7密位，1密位＝360°6 000＝0.06°＝3.6′≈216″. 密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如7密位写成0—07，读作“零，零七”，478密位写成4—78，读作“四，七八”．二、备用习题1．一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )A.π3B.π6 C ．1 D ．π 2．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增大到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍3．下列表示的为终边相同的角的是( )A ．kπ＋π4与2kπ＋π4(k ∈Z ) B.kπ2与kπ＋π2(k ∈Z )C ．kπ－2π3与kπ＋π3(k ∈Z ) D ．(2k ＋1)π与3kπ(k ∈Z )4．已知0<θ<2π，7θ角的终边与θ角的终边重合，则θ＝__________.5．已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形的中心角的弧度数．6．若α∈(－π2，0)，β∈(0，π2)，求α＋β，α－β的范围，并指出它们各自所在的象限．7．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图5所示)．图58．(1)角α，β的终边关于直线y ＝x 对称，写出α与β的关系式； (2)角α，β的终边关于直线y ＝－x 对称，写出α与β的关系式． 参考答案：1．A 2.B 3.C 4.π3，2π3，π，4π3，5π35．解：设扇形所在圆的半径为R ，扇形的中心角为α，依题意有 αR ＋2R ＝6，且12αR 2＝2，∴R ＝1，α＝4或R ＝2，α＝1. ∴α＝4或1.6．解：－π2<α＋β<π2，∴α＋β在第一象限或第四象限，或α＋β的终边在x 轴的非负半轴上．－π<α－β<0，∴α－β在第三象限或第四象限，或α－β的终边在y 轴的非正半轴上． 7．解：(1){θ|2kπ－π6<θ<2kπ＋5π12，k ∈Z }；(2){θ|2kπ－3π4<θ<2kπ＋3π4，k ∈Z }； (3){θ|2kπ＋π6<θ<2kπ＋π2，k ∈Z }∪{θ|2kπ＋7π6<θ<2kπ＋3π2，k ∈Z }＝{θ|nπ＋π6<θ<nπ＋π2，n ∈Z }．8．解：(1)β＝π2－α＋2kπ，k ∈Z ；(2)β＝3π2－α＋2kπ，k ∈Z .三、钟表的分针与时针的重合问题弧度制、角度制以及有关弧度的概念，在日常生活中有着广泛的应用，我们平时所见到的时钟上的时针、分针的转动，其实质都反映了角的变化．时间的度量单位时、分、秒分别与角2π(rad)，π30(rad)，π1 800(rad)相对应，只是出于方便的原因，才用时、分、秒．时钟上的数学问题比较丰富，下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨．例题 在一般的时钟上，自零时开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)?甲生：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)开始到分针与时针再一次重合，设时针转过了x 弧度，则分针转过了2π＋x 弧度，而时针走1弧度相当于经过6π h ＝360π min ，分针走1弧度相当于经过30 min ，故有360x ＝30(2π＋x)，得x ＝2π11，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是2π11＋2π＝24π11(rad)． 乙生：设再一次重合时，分针转过弧度数为α，则α＝12(α－2π)(因为再一次重合时，时针比分针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的12倍)，得α＝24π11，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是24π11(rad)． 点评：两名同学得出的结果相同，其解答过程都是正确的，只不过解题的角度不同而已．甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解，而乙同学则从时针与分针所转过的弧度数入手，当分针与时针再次重合时，分针所转过的弧度数α－2π与时针所转过的弧度数相等，利用弧度数之间的关系列出方程求解．。
1.1任意角的概念与弧度制
学习目标:
1．理解象限角的概念、意义及其表示方法．
2．理解象限角的概念、意义及其表示方法．
3．理解l弧度的角、弧度制的定义．能进行角度与弧度的换算．
4．掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力。
学习重点、难点
重点：理解角概念的推广；使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算．
难点：理解弧度制与角度制的区别．
学习过程：
（一）知识梳理：
1、象限角：
2、终边相同的角：
3、弧度制定义：
（1）平角= rad、周角= rad
（2）正角的弧度数是，负角的弧度数是，零角的弧度数是
α（l为弧长，r为半径）
（3）圆心角α的弧度数的绝对值=
注：角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同．
4、（1）弧长公式：=l
公式180
r n l π=（初中） （2）对比扇形面积公式 =S = 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径，扇形面积公式
（二）、典例示范：
例1、在
～ 间，找出与列列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限
角（1）
；（2） ；并化为弧度表示。
例2、将下列各角化成2kπ+α(k ∈Z ，0≤α＜2π)的形式，并确定其所在的象限。
注意：用弧度制表示终边相同角2kπ+α(k ∈Z)时，是π的偶数倍，而不是π的整数倍．
（三）、归纳总结：。
高中数学必修4《任意角和弧度制》教案一、教学目标1. 理解任意角的概念，掌握任意角的几何性质；2. 理解弧度制的概念，掌握弧度制的基本用法；3. 掌握任意角的三角函数及其基本性质。
二、教学内容1. 任意角的定义和性质；2. 弧度制的概念和计算公式；3. 三角函数的定义、性质及其图象。
三、教学方法1. 归纳法、演示法、讨论法；2. 短片展示、综合练习。
四、教学步骤步骤一：导入新课1. 充分利用素材，抛出有关问题，启发学生思考，激发探究兴趣，从而引出新课。
2. 展示台湾百事可乐的广告，提问：“你们觉得这是哪种角度？”3. 解释任意角的概念，举一些例子，使学生了解不同角度的概念。
步骤二：学习任意角的定义和性质1. 任意角的定义和表示方法。
2. 讲解任意角的性质。
步骤三：学习弧度制的概念和计算公式1. 弧度的概念和推导过程。
2. 弧度与角度的换算公式及例题。
步骤四：学习三角函数的定义、性质及图象1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象。
2. 三角函数的性质及相互关系。
步骤五：练习讲解1. 小组讨论，练习几何问题。
2. 练习弧度制的换算，解答相关问题。
3. 课后作业：巩固基础知识，拓展思维应用。
五、教学反思本节课的核心是任意角和弧度制，由于任意角和弧度制是高中数学必修课程，因此教学难度较大，需要遵循步步深入的原则，先从角度和任意角说起，再讲述弧度制及其换算公式，最后介绍三角函数及其相关性质。
在教学过程中，教师应运用多种教学方法，使学生更直观地理解这些概念和公式，同时也需要拓展学生的思维应用，使他们发现数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。
1．1.1角的概念的推广预习课本P3～6，思考并完成以下问题(1)角是如何定义的？角的概念推广后，分类的标准是什么？(2)角的旋转量的性质是什么？(3)象限角的含义是什么？判断角所在的象限时，要注意哪些问题？(4)终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？[新知初探]1．任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类：(4)角的旋转量的性质：各角和的旋转量等于各角旋转量的和，即α－β可化为α＋(－β)．2．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．[点睛]象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，包括角α本身构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)－30°是第四象限角．()(2)钝角是第二象限的角．()(3)终边相同的角一定相等．()答案：(1)√(2)√(3)×2．与45°角终边相同的角是()A．－45°B．225°C．395°D．－315°答案：D3．下列说法正确的是()A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角答案：A4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________．答案：－25°395°任意角的概念[典例]下列命题正确的是()A．终边与始边重合的角是零角B ．终边和始边都相同的两个角一定相等C ．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D ．小于90°的角是锐角[解析] 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A 错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B 错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C 正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D 错误．[答案] C理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．[活学活用]如图，射线OA 绕端点O 旋转90°到射线OB 的位置，接着再旋转－30°到OC 的位置，则∠AOC 的度数为________．解析：∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝90°＋(－30°)＝60°. 答案：60°终边相同角的表示[典例] 写出与75°角终边相同的角β的集合，并求在360°≤β<1 080°范围内与75°角终边相同的角．[解] 与75°角终边相同的角的集合为 S ＝{β|β＝k ·360°＋75°，k ∈Z}．当360°≤β<1 080°时，即360°≤k ·360°＋75°<1 080°， 解得1924≤k <21924.又k ∈Z ，所以k ＝1或k ＝2.当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°≤β<1 080°范围内的角为435°角和795°角．1．终边落在直线上的角的集合的步骤(1)写出在0°～360°范围内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．2．终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．[活学活用]分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．解：(1)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．(2)由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}.象限角的判断[典例]已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[解] 作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角． (2)由图②可知：855°是第二象限角． (3)由图③可知：－510°是第三象限角．象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．[活学活用]若α是第四象限角，则180°－α一定在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ∵α与－α的终边关于x 轴对称，且α是第四象限角，∴－α是第一象限角． 而180°－α可看成－α按逆时针旋转180°得到， ∴180°－α是第三象限角.角αn ，nα(n ∈N ＋)所在象限的确定[典例] 已知α是第二象限角，求角α2所在的象限．[解] 法一：∵α是第二象限角， ∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)． ∴k 2·360°＋45°<α2<k 2·360°＋90°(k ∈Z)．当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z)，得 n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，得 n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x 轴正向的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为α2的终边所在的区域，故α2为第一或第三象限角． [一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求角2α的终边的位置． 解：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)． ∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上． 2．[变条件]若角α变为第三象限角，则角α2是第几象限角？解：如图所示，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角α2的终边所在的区域，故角α2为第二或第四象限角．倍角、分角所在象限的判定思路(1)已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．(2)已知角α终边所在的象限，确定αn 终边所在的象限，分类讨论法要对k 的取值分以下几种情况进行讨论：k 被n 整除；k 被n 除余1；k 被n 除余2，…，k 被n 除余n －1.然后方可下结论．几何法依据数形结合思想，简单直观．1．－215°是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．下面各组角中，终边相同的是( ) A ．390°，690° B ．－330°，750° C ．480°，－420°D ．3 000°，－840°解析：选B ∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°， ∴－330°与750°终边相同．3．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α所在的象限是( ) A ．第一、三象限 B ．第一、二象限 C ．第二、四象限D ．第三、四象限解析：选A 由题意知α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ， 当k ＝2n ＋1，n ∈Z ， α＝2n ·180°＋180°＋45° ＝n ·360°＋225°，在第三象限， 当k ＝2n ，n ∈Z ， α＝2n ·180°＋45°＝n ·360°＋45°，在第一象限． ∴α是第一或第三象限的角．4．终边在第二象限的角的集合可以表示为( ) A ．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④－2 000°是第二象限角．其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．答案：①③7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.解析：5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°.答案：270°8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k ∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216°－144°9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－133<k<113，又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)∵集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.层级二应试能力达标1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：选D①－15°是第四象限角；②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，所以四个结论都是正确的．2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝()A．120°＋k·360°，k∈ZB．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈ZD．240°＋k·180°，k∈Z解析：选B角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在()A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上解析：选A∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是()A．M∩N＝∅B．M NC．N M D．M＝N解析：选C对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，∴N M，故选C.5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.答案：－30°－360°6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．1．1.2弧度制和弧度制与角度制的换算预习课本P7～11，思考并完成以下问题(1)1弧度的角是如何定义的？(2)如何求角α的弧度数？(3)如何进行弧度与角度的换算？(4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？[新知初探]1．度量角的两种制度(1)角度制：①定义：用度作单位来度量角的制度．②1度的角：把圆周360等分，则其中1份所对的圆心角是1度．(2)弧度制：①定义：以弧度为单位来度量角的制度．②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．③弧度数的计算公式：在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，则α＝lr.[点睛] 用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写，如2 rad 的单位“rad ”可省略不写，只写2.2．角度与弧度的互化 (1)180°＝π rad.(2)常用的角度数与弧度数的互化：[点睛] 由扇形的弧长及面积公式可知：对于α，r ，l ，S “知二求二”，它实质上是方程思想的运用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度＝1°.( )(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( ) (3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．若α＝k π＋π3，k ∈Z ，则α所在的象限是( )A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第一、三象限D ．第一、四象限答案：C3．半径为1，圆心角为2π3的扇形的弧长是( )A.4π3B ．πC.2π3D.π3答案：C4．(1)2π3＝________；(2)－210°＝________.答案：(1)120° (2)－7π6角度与弧度的换算[典例] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9. [解] (1)72°＝72×π180＝2π5.(2)－300°＝－300×π180＝－5π3. (3)2＝2×⎝⎛⎭⎫180π°＝⎝⎛⎭⎫360π°. (4)－2π9＝－⎝⎛⎭⎫2π9×180π°＝－40°.角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×180π＝度数．[活学活用]将下列角度与弧度进行互化： (1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°.解：(1)5116π＝5116×180°＝15 330°.(2)－7π12＝－712×180°＝－105°. (3)10°＝10×π180＝π18.(4)－855°＝－855×π180＝－19π4.用弧度制表示角的集合[典例] (1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角． [解] (1)2 005°＝2 005×π180 ＝401π36＝⎝⎛⎭⎫5×2π＋41π36，又π<41π36<3π2， ∴角α与41π36终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角为2k π＋41π36(k ∈Z)， 由－5π≤2k π＋41π36＜0，k ∈Z 知k ＝－1，－2，－3. ∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－31π36，－103π36，－175π36.用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z)时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．[活学活用]1．将－1 125°表示成2k π＋α，0≤α<2π，k ∈Z 的形式为________． 解析：因为－1 125°＝－4×360°＋315°， 315°＝315×π180＝7π4， 所以－1 125°＝－8π＋7π4. 答案：－8π＋7π42．用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解：如题图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧θ⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z . 扇形的弧长公式及面积公式题点一：利用公式求弧长和面积1．已知扇形的半径为10 cm ，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积．解：已知扇形的圆心角α＝60°＝π3，半径r ＝10 cm ，则弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3(cm)，于是面积S ＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3(cm 2)．题点二：利用公式求半径和弧度数2．扇形OAB 的面积是4 cm 2，它的周长是8 cm ，求扇形的半径和圆心角． 解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm ，半径为r cm ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝8， ①12l ·r ＝4， ②由①②，得r ＝2，∴l ＝8－2r ＝4，θ＝lr ＝2. 故所求扇形的半径为2、圆心角为2 rad. 题点三：利用公式求扇形面积的最值3．已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则l ＋2r ＝30，故l ＝30－2r ，从而S ＝12lr ＝12(30－2r )r ＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254⎝ ⎛⎭⎪⎫15π＋1<r <15， 所以，当r ＝152cm 时，α＝2， 扇形面积最大，最大面积为2254cm 2.弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．[提醒] 运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．1．把50°化为弧度为( ) A ．50 B.5π18 C.185πD.9 000π解析：选B 50°＝50×π180＝5π18. 2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是( ) A ．16π B ．32π C ．16D ．32解析：选C 弧长l ＝2r,4r ＝16，r ＝4，得l ＝8， 即S ＝12lr ＝16.3．角α的终边落在区间⎝⎛⎭⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π2的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A.143π B ．－143π C.718π D ．－718π 解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.5．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z}B ．终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π2＋k π，k ∈ZC ．终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k ·π2，k ∈Z D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π4＋2k π，k ∈Z解析：选D 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π4＋k π，k ∈Z .6．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________．解析：－135°＝－135×π180＝－34π，113π＝113×180°＝660°. 答案：－34π 660°7．扇形的半径是6，圆心角是60°，则该扇形的面积为________． 解析：60°＝π3，扇形的面积公式为S 扇形＝12αr 2＝12×π3×(6)2＝π.答案：π8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2， ∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12l ·R .联立⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝4，12l ·R ＝1，解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2.10．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角． (1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k (k ∈Z)． 解：(1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋5π12＝－10π＋5π12，是第一象限角． (2)－60°＋360°·k ＝－π180×60＋2π·k ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，是第四象限角．层级二 应试能力达标1．下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15° 解析：选C 对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.故C 错误． 2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.3．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)D ．α－β＝2k π＋π2(k ∈Z)解析：选D ∵α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z)，β＝x －π4＋2k 2π(k 2∈Z)，∴α－β＝π2＋2(k 1－k 2)·π(k 1∈Z ，k 2∈Z)．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z. ∴α－β＝π2＋2k π(k ∈Z)．4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3 C. 3D ．2解析：选C 如图，设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝3RR ＝ 3.5．若角α的终边与85π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是____________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z)．令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.答案：2π5，9π10，7π5，19π106．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________．解析：设原来圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则l ＝αr .设将圆的半径变为原来的3倍后圆心角为α1，则α1＝l 3r ＝αr 3r ＝α3，故α1α＝13.答案：137．已知α＝1 690°，(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π.(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋2518π<4π.解得－9736<k <4736(k ∈Z)，∴k ＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.8．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)弧AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积．解：(1)因为120°＝120180π＝23π，所以l ＝α·r ＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π.(2)因为S 扇形AOB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点，于是有S △OAB ＝12AB ·OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3. 所以弓形的面积为S 扇形AOB －S △OAB ＝12π－9 3.。
