高中数学 第3章 概率 3.2 古典概型教学案 苏教版必修3

3.2 古典概型互动课堂疏导引导1.基本事件基本事件是指在一次试验中可能出现的每一个基本结果.若在一次试验中,每个基本事件发生的可能性相同,则称这些基本事件为等可能基本事件.例如：在掷硬币试验中,必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”组成；在掷骰子试验中,随机事件“出现偶数点”可以由基本事件“2点”“4点”和“6点”共同组成.案例1 从含有两件正品a 1,a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件,每次取出后不放回,连续取两次.（1）写出这个试验的基本所有事件；（2）下列随机事件由哪些基本事件构成：事件A ：取出的两件产品都是正品；事件B ：取出的两件产品恰有1件次品.【探究】(1)基本事件（a 1,a 2）,(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)共有6个基本事件.（2）事件A 包含2个基本事件（a 1,a 2）,(a 2,a 1).事件B 包含4个基本事件（a 1,b 1）,(b 1,a 1),(a 2,b 1)(b 1,a 2).规律总结 (1)在求基本事件时,一定要注意结果的机会是均等的,这样不会漏写.其次要按规律去写.（2）在这个试验中（a 1,a 2）和（a 2,a 1）,(a 1,b 1)和（b 1,a 1）,(a 2,b 1)和（b 1,a 2）是不同的基本事件,在取第1件产品时,a 1,a 2,b 1被取到的机会一样,假设第一次取出a 1,那么第2次取时,a 2,b 1的机会也是一样的.2.古典概型的定义古典概型是指具有以下两个特点的随机试验的概率模型称为古典概型：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件的发生都是等可能的.疑难疏引 （1）一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.②并不是所有的试验都是古典概型,例如在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”,这个试验的基本事件为“发芽”,“不发芽”,而种子“发芽”与“不发芽”这两种结果出现的机会一般不是均等的,这个试验就不属于古典概型.(2)古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征,所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验,而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.3.古典概型概率的计算如果一次试验的等可能基本事件共有n 个,则每一个等可能事件发生的概率为n1.若某个事件A 包含了其中m 个等可能事件,则事件A 发生的概率为P （A ）=nm =基本事件总数中所含的基本事件数A . 疑难疏引 （1）古典概型概率的取值范围在古典概型中,若基本事件的总数为n,某个事件A 包含了其中m 个基本等可能事件,则必有0≤m≤n,所以事件A 发生的概率的取值范围是0≤P(A)≤1.其中,当m=0时,事件A 是不可能事件,它发生的概率为0,当m=n 时,事件A 是必然事件,它发生的概率是1,当0＜m ＜n 时,事件A 是随机事件,此时它发生的概率的取值范围是0＜P(A)＜1.（2）解决古典概型的问题的关键是分清基本事件个数n 与事件A 中所包含的结果数,因此要注意以下三个方面：①本试验是否具有等可能性；②本试验的基本事件有多少个；③事件A 是什么.只有清楚了这三个方面的问题,解题才不至于出错.（3）求古典概率应按下面四个步骤进行：第一,仔细阅读题目,弄清题目的背景材料,加深理解题意.第二,判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件A.第三,分别求出基本事件的个数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m. 第四,利用公式P （A ）=nm 求出事件A 的概率. 可见在运用公式计算时,关键在于求出m 、n.在求n 时,应注意这n 种结果必须是等可能的,在这一点上比较容易出错.例如,先后抛掷两枚均匀的硬币,共出现“正,正”“正,反”“反,正”“反,反”这四种等可能的结果.如果认为只有“两个正面”“两个反面”“一正一反”这三种结果,那么显然这三种结果不是等可能的.在乘m 时,可利用列举法或者结合图形采取了列举的方法,数出事件A 发生的结果数.（4）用集合的观点去审视概率在一次试验中,等可能出现的n （例如n=5）个结果可组成一个集合I,这n 个结果就是集合I 的n 个元素.各个基本事件都对应于集合I 的含有1个元素的子集,包含m （例如m=3）个结果的事件A 对应于I 的含有m 个元素的子集A.从集合的角度看,事件A 的概率是I 的子集A 的元素个数card （A ）与集合I 的元素个数card(I)的比值,即P （A ）=n m I card A card )()((例如53). 案例2 抛掷两颗骰子,求（1）点数之和是4的倍数的概率；（2）点数之和大于5小于10的概率.【探究】抛掷两颗骰子,基本事件总数为36.但所求事件的基本事件个数不易把握,很容易出现遗漏或重复,故可借助直观图形,以便更准确地把握基本事件个数.作图,从下图中容易看出基本事件与所描点一一对应,共36种.(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A,从图中可以看出,事件A 包含的基本事件共有9个：（1,3）,（2,2）,（3,1）,（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）,（6,6）.所以,P（A ）=41. （2）记“点数之和大于5小于10”为事件B,从图中可以看出,事件B 包含的基本事件共有20个,即（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）,（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）,（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）,（3,6）,（4,5）,（5,4）,（6,3）.所以P （B ）=953620=. 规律总结 （1）计算这种概率一般要遵循这样的步骤：①算出基本事件的总个数n ；②算出事件A 中包含的基本事件的个数m ；③算出事件A 的概率,即P （A ）=n m .应注意这种结果必须是等可能的.（2）在求概率时,常常可以把全体基本事件用直角坐标系中的点表示,以便准确地找出某事件所含的基本事件个数.案例3 一个口袋内有大小相等的一个白球和已编有不同号码的3个黑球.(1)若从中摸出一球后放回,再摸一球,求两次摸出的球都是黑球的概率.(2)若从中一次摸出2球,求2球都是黑球的概率.【探究】(1)第一次摸球有4种不同的结果,每一种结果是等可能的,第二次摸球也有4种不同的结果,每一种结果也是等可能的,所以共有4×4=16种不同的结果.这16种结果是等可能的,所以一次试验是古典概型,它的基本事件总数为16.第一次摸出黑球有3种不同的结果,第二次摸出黑球也有3种不同的结果,故摸出的球都是黑球的基本事件数为3×3=9,设A=“有放回摸2球的黑球”,则P （A ）=169. （2）一次摸出2球,可以看作不放回抽样2次.第一次抽取有4种不同的结果,第二次抽取有3种不同的结果,且它们都是等可能的,所以一次试验共有4×3=12种不同的结果,并且是等可能的,是古典概型.共有12个基本事件. 第一次摸出黑球有3种结果,第二次摸出黑球有2种不同的结果,故摸出的2球,都是黑球的基本事件数为3×2=6.设B=“一次摸出2时为黑球”,则P （B ）=21126=. 规律总结(1)为有放回抽取问题,此类问题每次抽取的球可以重复,每次抽取的结果个数相同,可以无限地进行下去.（2）是不放回抽取问题,此类问题每次摸出的球不出现重复,每次抽取的结果个数不同,只能抽取有限次.案例 4 甲、乙两人做掷骰子游戏,两人各掷一次,谁掷得的点数多谁就取胜,求甲取胜的概率.【探究】首先列举出所有可能的基本事件,列出所求事件包含的基本事件,再根据古典概型的概率公式进行计算.解法一:甲将骰子抛掷一次,出现的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果,对甲掷得的每个结果,乙又掷得点数分别为1、2、3、4、5、6这6种结果,于是共有6×6=36种不同的结果. 把甲掷得i 点,乙掷得j 点（1≤i,j≤6）记为（i,j ）.事件“甲取胜”包含下列15种结果：（2,1）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）. 故甲取胜的概率为3615=125. 解法二：两人掷出相同的点数有（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）六种结果,“甲掷得的点数比乙多”与“乙掷得的点数比甲多”是等可能性事件,都有26-36=15种结果.故甲取胜的概率为3615=125. 规律总结 掷骰子是典型的题型,本题与解析几何知识相联系,在如下图所示的直角坐标系中,若x 表示甲掷得的点数,y 表示乙掷得的点数,本题实质就是求点（x,y ）落在直线y=x 下方的概率.活学巧用1.写出下列试验的基本事件：（1）甲、乙两队进行一场足球赛,观察甲队比赛结果（包括平局）________________；（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件,观察其中次品数__________________. 答案：（1）胜、平、负（2）0,1,2,3,42.连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现的正面还是反面.（1）写出这个试验的所有基本事件；（2）求这个试验的基本事件的总数；（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？解析：（1）这个试验的基本事件（正,正,正）,（正,正,反）,（正,反,正）,（正,反,反）,（反,正,正）,（反,正,反）,（反,反,正）（反,反,反）.（2）基本事件的总数是8.（3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正,正,反）,（正,反,正）,（反,正,正）.3.作投掷2颗骰子试验,用（x,y ）表示结果,其中x 表示第1颗骰子出现的点数,y 表示第2颗骰子出现的点数,写出：（1）事件“出现点数之和大于8”；（2）事件“出现点数相等”；（3）事件“出现点数之和大于10”.解析：（1）（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,3）,（6,4）,（6,6）.（2）（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）.（3）（5,6）,（6,5）,（6,6）.4.下列试验中,是古典概型的有（ ）A.种下一粒种子观察它是否发芽B.从规格直径为250 mm±0.6 mm 的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径dC.抛一枚硬币,观察其出现正面或反面D.某人射击中靶或不中靶解析：C 项中试验满足古典概型的两个特征——有限性和等可能性.答案：C5.向一圆面内随机地投一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这是古典概型吗？为什么？解析：不是古典概型.因为该试验虽具有古典概型的特征——等可能性,但不具有有限性,而具有无限性.6.同时掷相同的两枚硬币, 观察正、反面出现的情况,这个试验的基本事件为（正,正）,（正,反）,（反,反）,它共有3个基本事件,故出现（正,正）的概率是31.这个题目解法是否正确. 解析：基本事件为（正,正）,（正,反）,（反,正）,（反,反）,它有4个基本事件,故出现（正,正）的概率为41. 答案：不正确7.将1枚硬币抛2次,恰好出现1次正面的概率是（ ） A.21 B.41 C.43 D.0 解析：抛2次恰好出现1次正面包含2个基本事件,这个试验的基本事件总数为4, ∴恰好出现1次正面的概率是2142=. 答案：A8.据人口普查统计,育龄妇女生男生女是等可能的,如果允许生育二胎,则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是（ ） A.21 B.31 C.41 D.51 解析：事件“该育龄妇女连生两胎”包含4个基本事件,即（男,男）、（男,女）、（女,男）、（女,女）,故两胎均为女孩的概率是41. 答案：C9.在一次问题抢答的游戏中,要求找出对每个问题所列出的4个答案中唯一正确的答案.其抢答者随意说出了其中一个问题的答案,这个答案恰好是正确答案的概率为（ ） A.21 B.41 C.81 D.161 解析：P=41=n m . 答案：B10.一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出两只球.问：（1）共有多少个基本事件？（2）摸出的两只球都是白球的概率是多少？解析：（1）分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,从中摸出2只球,有如下基本事件（摸到1,2号球用（1,2）表示）：（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（2,3）（2,4）,（2,5）,（3,4）,（3,5）,（4,5）因此,共有10个基本事件.（2）如下图,上述10个基本事件发生的可能性相同,且只有3个基本事件是摸到两只白球（记为事件A ）,即（1,2）,（1,3）,（2,3）,故P （A ）=103.答：（1）共有10个基本事件；（2）摸出的两只球都是白球的概率为103. 11.将骰子先后抛掷2次,计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？（3）向上的数之和是5的概率是多少？分析：将骰子先后抛掷2次,实际上是分两个步骤完成,第一次抛掷骰子出现的点数有6种结果,第二次抛掷骰子出现的点数也有6种结果.只有将这两个步骤依次全部完成才算是将骰子先后抛掷两次这件事完成.因此将骰子先后抛掷两次试验的基本事件数为6×6=36.解：（1）将骰子抛掷1次,它落地时向上的数有1,2,3,4,5,6这6种结果,根据题意,先后将骰子抛掷2次,一共有6×6=36种不同的结果.（2）在上面所有结果中,向上的数之和为5的结果有（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）4种,其中括弧内的前、后两个数分别为第1、2次抛掷后向上的数.上面的结果可用下图表示,其中不在虚线框内的各数为相应的2次抛掷后向上的数之和.（3）由于骰子是均匀的,将它抛掷2次的所有36种结果是等可能出现的,其中向上的数之和是5的结果（记为事件A ）有4种,因此,所求的概率P （A ）=91364=. 答：先后抛掷骰子2次,一共有36种不同的结果；向上的数之和为5的结果有4种,概率是91. 12.有红、黄两种颜色的小旗各2面,从中任取2面挂在一根旗杆上,求：（1）2面旗子同色的概率；（2）2面旗子颜色各不相同的概率.解析：设两面红旗和两面黄旗分别记为红1、红2和黄1、黄2,则基本事件共有（红1,红2）,（红1,黄1）,（红2,黄1）,（红1,黄2）,（红2,黄2）,（黄1,黄2）计6个.（1）设2面旗子同色这一事件为A,则A 为（红1,红2）,（黄1,黄2）共2个,所以2面旗子同色的概率为P=3162=. （2）设2面旗子不同色这一事件为B,则B 为（红2,黄1）,（红2,黄1）,（红1,黄2）,（红1,黄2）,B 包含4个基本事件,所以2面旗子颜色不相同的概率为3264=. 13.从1,2,3,…,50中任取一个数,求下列事件的概率.（1）它是奇数；（2）它能被5整除；（3）它是奇数且能被5整除.解析：（1）设从50个数中任取一数,取得奇数为事件A,则A 包含25个基本事件,故P （A ）=215025=. （2）设取得一数,该数被5整除为事件B,B 包含10个基本事件,故P （B ）=515010=. （3）设取得一数,该数是奇数且被5整除为事件C,则C 包含5个基本事件,故P （C ）=101505=.。

高二年级数学学科学案古典概型（1）学习目标1.了解基本事件的特点。

2.了解古典概型的定义。

3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题。

一复习旧知：1概率必须满足的两个基本条件是什么发生的概率二．课堂导航（一）认识事件的特征材料一：有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克牌,将其牌点向下置于于桌上,现从中任意抽取一张,那么抽到的牌为红心的概率有多大问题1：试验的基本事件是什么？问题2：抽到红心“为事件B，那么事件B发生是什么意思？问题3：这5种情况是等可能的吗？问题4：抽到红心的概率是多大？材料二：投掷一个骰子，观察它落地时向上的点数，则出现的点数是3的倍数的概率是多大？问题1：试验的基本事件是什么？问题2：“出现的点数是3的倍数”为事件A，则事件A的发生是什么意思？问题3：这几种情况的发生是等可能的吗？问题4：点数为3的倍数的概率为多大？问题5：以上两段材料的基本事件有什么共同特征？（1）（2）（二）认识古典概型的计算公式（三）理解古典概型及其计算公式例1:一只口袋内装有大小相同的五只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出两只球。

1 共有多少个基本事件2 摸出两只球都是白球的概率是多少问题1：共有哪些基本事件？问题2：是古典概型吗？为什么？问题3“抽出两只求都是白球”为事件A，事件A的发生是什么意思？问题4：事件A的概率是多大？问题5：你能否总结一下运用古典概型解决实际问题的步骤？例2: 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定,其中决定高的基因记为D,决定矮的基因d,则杂交所得第一代的一对基因为Dd。

若第二子代的D, d基因的遗传是等可能的,求第二子代为高茎的概率。

请你按照上题的解题思路解决本题。

思考:你能求出上述第二代的种子经自花传粉得到的第三子代为高茎的概率吗例3：将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,问:1 共有多少种不同的结果2 两数之和是3的倍数的结果有多少种3 两数之和是3的倍数的概率是多少（四）巩固练习:1 某班准备到郊外野营,为此向商店定了帐篷。

3.2 古典概型共同成长见仁见智某商场为了促进销售，搞了一次抽奖活动，规定顾客只要在商场一次消费100元就可获得一次抽奖机会.抽奖规则如下：在抽奖箱内有100个大小、形状都相同的标签，其上标有1到100这100个自然数，抽到数字8或末位数字是8的可获20元购物券，抽到数字是88的可获200元购物券，抽到66或99这两个数字的可获100元购物券.小明一心想得到一张200元的购物券，他粗懂概率知识，于是他采用消费多，抽奖机会也多的策略，一次性购物10 000元，因而获得100次抽奖机会.李明：小明一定能获得一张200元的购物券.这是因为，在1～100的自然数中，数字8和末位数是8的数除88之外有10个，所以，从中任意取出一个数，则抽到数字8和末位数是8的数（除88之外）的概率为101，抽到88的概率为1001，抽到66或99的概率为501，他一次性购物10 000元，因而获得100次抽奖机会.所以一定有1次能抽到88这个数字 王宇：小明不一定能获得一张200元的购物券.这是因为，抽奖100次相当于做了100次试验，由于每次试验的结果都是随机的，所以这100次结果也是随机的，这就是说，每次既有可能抽到奖也有可能抽不到奖.在这100次抽奖中他也有可能一次奖也抽不到. 你有什么样的想法呢？合作共赢下面是17世纪中期的故事.请你和你的同学先阅读下面的故事，然后再按下述的提示探究、讨论下列问题.喜欢赌博的贵族梅莱一次又一次不厌其烦地将骰子弄转，他一边考察结果，一边记在本子上，最后他得出了这样一种考虑，如果将一个骰子投四次当中至少有一次（即一次以上）出现6点时，赌6点出现1次以上是有利的.按照他的考虑“投6次骰子中有一次是6点，所以投1次骰子出现6点的期望概率应该是61”.以上梅莱的考虑是正确的.“于是，投四次骰子概率是四倍，就是64或32，所以自己不应该输”，的确与很多人这样进行赌博他总是胜者.梅莱更加相信自己的考虑是正确的.但他的考虑实际上是错误的，幸好没因为这种赌博使梅莱破产，正确的概率是0.517 7. 不幸的是梅莱没有察觉自己的错误又开始了新的赌博.改换用两个骰子投24次，其中至少投出一次12点的赌博.按照他的考虑“投两个骰子出12点，是两个骰子的点数相乘，有6×6＝36种可能，其中两个骰子都出6点的期望概率应该是361”,此时梅莱的考虑是正确的.梅莱又考虑“按照以上的计算若投24次期望概率是24倍，和前面同样的道理应该是3624＝32”.梅莱这样的考虑就错了，这是因为前面的成功对自己的考虑过于自信，即使是一直在输也坚持认为“应该总有赢的时候”.由于他一直继续赌博，终于输得连一分钱都没有了.（1）和你的朋友一起讨论一下,梅莱的错误出在了哪里？（2）利用你所学的概率的知识，分析一下梅莱破产的原因.。

3.2《古典概型》教案(1)教学目标:（1）理解基本事件、等可能事件等概念；（2）会用枚举法求解简单的古典概型问题；教学重点、难点：古典概型的特征和用枚举法解决古典概型的概率问题．教学过程：一、问题情境1．情境：将扑克牌红心１,红心２, 红心3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其排牌向下置于，桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到红心的概率有多大？2．问题：是否一定要进行大量的重复试验，用“出现红心”这一事件的频率估计概率？这样工作量较大且不够准确．有更好的解决方法吗？二、学生活动把“抽到红心”记为事件B，那么事件B相当于“抽到红心１”，“抽到红心２”，…，“抽到红心K”这3种情况.把“抽到黑桃”记为事件Ａ, 那么事件A相当于“抽到黑桃4”，“抽到黑桃5”这2种情况.这5种情况有什么关系?把“抽到红心”记为事件B，那么事件B相当于“抽到红心１”，“抽到红心２”，…，“抽到红心K”这13中情况，而同样抽到其他牌的共有39种情况；由于是任意抽取的，可以认为这52中情况的可能性是相等的。

所以，当出现红心是“抽到红心１”，“抽到红心２”，…，“抽到红心K”这13中情形之一时，事件B就发生，于是131 ()524P B==；三、建构数学1．基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件；2．等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件；3．古典概型：满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型①所有的基本事件只有有限个；②每个基本事件的发生都是等可能的；4．古典概型的概率：如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为()mP An=．四、数学运用1．例题例1、一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，２只黑球，从中一次摸出两个球。

（1）共有多少个基本事件？（2）摸出的两个都是白球的概率是多少？分析：可用枚举法找出所有的等可能基本事件．解：(1)分别记白球为1,2,3号，黑球4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1,2号球用(1,2)表示）：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3)(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)因此，共有10个基本事件；（2）上述10个基本事件法上的可能性是相同的，且只有3个基本事件是摸到两个白球（记为事件A），即(1,2),(1,3),(2,3,)，故3 ()10 P A=∴共有10个基本事件，摸到两个白球的概率为3 10；【归纳】求古典概型的步骤：（1）判断是否为等可能性事件；（2）计算所有基本事件的总结果数n．（3）计算事件A所包含的结果数m．（4）计算P(A)=m/n例2、豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd，若第二子代的Dd基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因D则其就是高茎，只有两个基因全是d时，才显现矮茎）．解：Dd与Dd的搭配方式共有４中：,,,DD Dd dD dd，其中只有第四种表现为矮茎，故第二子代为高茎的概率为30.75 4答：第二子代为高茎的概率为0.75．思考：第三代高茎的概率呢？解：由于第二子代的种子中DD，Dd，dD，dd型种子各占1/4，其下一代仍是自花授粉，则产生的子代应为DD，DD，DD，DD；DD，Dd，dD，dd；DD，dD，Dd，dd；dd,dd,dd,dd。

《古典概型》的教学设计一、内容和内容解析内容：古典概型的概念及概率计算公式。

内容解析：本节课是高中数学（必修3）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是学生在初中阶段学习了概率初步，在高中阶段学习随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下进行教学的。

古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，它曾是概率论发展初期的主要研究对象，在概率论中占有相当重要的地位，它的引入，使我们可以解决一类随机事件（等可能事件）的概率，而且可以得到概率精确值，同时避免了大量的重复试验。

学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，有利于理解概率的概念，并能够解释生活中的一些问题。

本课题中古典概型是核心概念，但基本事件也是一个很重要的概念，它对学生正确认识与获得古典概型的概念起着十分关键的作用。

基本事件概念中有如下的两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

古典概型概念中的核心是它的两个特征，（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性）；（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性），尤其是特征（2），所以教学的重点不是“如何计算概率”，而是要引导学生动手操作，开展小组合作学习，通过举出大量的古典概型的实例与数学模型使学生概括、理解、深化古典概型的两个特征及概率计算公式。

同时使学生初步能够把一些实际问题转化为古典概型，并能够合理利用随机、统计、化归、数形结合等数学思想方法有效解决有关的概率问题。

教学重点：理解古典概型及其概率计算公式。

二、目标和目标解析目标：理解古典概型及其概率计算公式，并能计算有关随机事件的概率。

目标解析：1、借助掷硬币、骰子及例1的试验，使学生初步理解基本事件的两个特点，并由学生举例，通过比较、分析引导学生发现随机试验中出现的基本事件有等可能，也有不等可能的情形。

2、引导学生从具有等可能的基本事件的试验中概括出古典概型的两个特征。

3.2 古典概型（2）教学目标：1．进一步理解古典概型的两大特点：有限性、等可能性；2．了解实际问题中基本事件的含义；3．能运用古典概型的知识解决一些实际问题．教学重点：能用古典概型计算比较复杂的背景问题．教学难点：能用古典概型计算比较复杂的背景问题．教学方法：问题教学；合作学习；讲解法；多媒体辅助教学．教学过程：一、问题情境如何判断一个试验是否为古典概型？古典概型的解题步骤是什么？二、学生活动一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性；古典概型的解题步骤是：（1）判断概率模型是否为古典概型；（2）找出随机事件A中包含的基本事件的个数m和试验中基本事件的总数n；（3）计算P(A)．三、数学运用1．例题．例1有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投郑这两颗正四面体玩具的试验，试写出：（1）试验的基本事件的总数；（2）事件“出现点数之和大于3”的概率；（3）事件出现点数相同的概率．探究：（1）该实验为古典概型吗？（2）怎样才能把实验的所有可能结果的个数准确写出？学生活动：（1）要满足古典概型的条件：有有限个基本事件，基本事件发生的可能性相同；（2）学生们用枚举法、图表法写出实验的所有基本事件．建构数学：介绍树形图探究：（1）点数之和为质数的概率为多少？（2）点数之和为多少时，概率最大且概率是多少？例2用3种不同颜色给图3-2-3中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求（1）三个矩形颜色都相同的概率；（2）三个矩形颜色都不同的概率．图3-2-3问题：本题中基本事件的含义是什么？如何快速、准确的确定实验的基本事件的个数?口袋中有形状、大小都相同的两只白球和一只黑球，先摸出一只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出一只球，求“出现一只白球、一只黑球”的概率是多少？学生活动：记白球为1，2号，黑球为3号，画出树形图，分析该实验有27个基本事件．变式：一次摸一只球，摸两次，求“出现一只白球、一只黑球”的概率是多少？问题：例3与例3的变式有何区别？学生活动：例3中先摸出一只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出一只球，属于有序可重复类型，而变式中一次摸一只球，再摸一只球，属于有序不重复类型的问题．2．练习．（1）已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班一天，那么甲排在乙前面值班的概率是________．（2）已知集合{0,1,2,3,4}A=，,a Ab A∈∈；①求21y ax bx=++为一次函数的概率；②求21y ax bx=++为二次函数的概率．（3）从标有1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为偶数的概率为_________．（4）口袋中有形状、大小都相同的一只白球和一只黑球，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果．四、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．进一步理解古典概型的概念和特点；2．进一步掌握古典概型的计算公式；3．能运用古典概型的知识解决一些实际问题．。

3.2 古典概型整体设计教材分析本节课是必修（数学3）第3章概率第二大节内容——3.2古典概型.我们可以把它分为2个课时.第一课时主要学习古典概型的概念；第二课时主要是古典概型的运用，通过利用古典概型来解题进一步加深对概念及公式的理解，同时也激发学生对概率的热爱.第一个课时通过创设问题情境“现有方块J 、Q 、K 和梅花A 、2共5张扑克牌，将这些牌正面向下摆放在桌面上，现从中任意抽取一张，试问抽到的牌为方块的概率为多少？”引导学生发现求此事件的概率，如果再进行大量重复试验来求的话，既耗时又不精确.从而激发学生勇于探索的精神，引入古典概型（全称为：古典概率模型）的概念及特点.并围绕创设的问题情境，由学生通过自主探究来得到古典概型的概率计算公式：如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是n 1.如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为：P(A)=nm . 得出古典概型的概率计算公式之后，我们通过例题教学与课堂练习进一步理解古典概型的概念及特点，同时也进一步巩固古典概型的概率计算公式.在每个例题的讲解过程中，步步为营，注重学生的参与性.讲解完每个例题之后，由学生自己谈感受，总结得失.课堂练习主要由学生完成，教师适时作出适当的点拨.最后的课堂小结也让学生来参与，由他们自己来总结，更利于学生对知识、技能的掌握与提高.三维目标1.通过创设问题情境引出古典概型的概念及特点，采用启发式、探究式教学.2.理解古典概型的概念及特点，会判断一个随机事件是否符合古典概型.3.通过进行大量重复试验来求问题情境中概率，既耗时又不精确，所以必须找到方法来解决，从而探究出古典概型的概率计算公式.4.掌握古典概型的概率计算公式.会用列举法列举出随机事件所含的基本事件数.5.会利用古典概型的概率计算公式来解决一些简单的概率问题,培养学生实事求是的科学态度，激发学生勇于探索、坚持不懈的精神.重点难点教学重点:1.理解古典概型的概念及特点.2.古典概型的概率计算公式的运用.教学难点:1.会判断一个随机事件是否符合古典概型.2.会运用古典概型的概率计算公式来解题.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课设计思路一：（问题导入）请同学们思考并回答下面的问题：现有方块J 、Q 、K 和梅花A 、2共5张扑克牌，将这些牌正面向下摆放在桌面上，现从中任意抽取一张，试问抽到的牌为方块的概率为多少？设计思路二：（实验感知）在课前，教师布置任务，以数学小组为单位，完成下面两个模拟试验：试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，要求每个数学小组至少完成20次（最好是整十数），最后汇总起来；试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”的次数，要求每个数学小组至少完成60次（最好是整十数），最后汇总起来.推进新课新知探究对于导入思路一：倘若进行大量重复试验，用“出现方块”这一事件的频率估计概率，不仅工作量大而且还不准确.因此我们不妨这样来解决：把“抽到方块”记为事件A ，那么事件A 相当于“抽到方块J”、“抽到方块Q”、“抽到方块K”这3种情况，而“抽到梅花”相当于“抽到梅花A”、“抽到梅花2” 这2种情况，由于是任意抽取的，因此，认为出现这5种情况的可能性都相等.当出现方块J 、Q 、K 这3种情形之一时，事件A 就发生，因而有P(A)=53. 在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件（elementary event ）.如在上面的问题中“抽到方块”即为一个基本事件.如果在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件.上面的问题有这样两个特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即具有有限性；（2）每个基本事件出现的可能性相等即具有等可能性.我们将满足上述条件的概率模型称为古典概型（classical probability model ）.倘若一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是n 1.如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P(A)= nm . 对于导入思路二：在课上，学生展示模拟试验的操作方法和试验结果，并与同学交流活动感受.教师最后汇总方法、结果和感受，并提出问题.1.用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好？为什么？（不好，要求出某一随机事件的概率，需要进行大量的试验，并且求出来的结果是频率，而不是概率.）2.根据以前的学习，上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点？（在试验一中随机事件只有两个，即“正面朝上”和“反面朝上”，并且它们都是互斥的，由于硬币质地是均匀的，因此出现两种随机事件的可能性相等，即它们的概率都是21； 在试验二中随机事件有六个，即“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”，并且它们都是互斥的，由于骰子质地是均匀的，因此出现六种随机事件的可能性相等，即它们的概率都是61.） 我们把上述试验中的随机事件称为基本事件，它是试验的每一个可能结果.基本事件有如下的两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.特点（2）的理解：在试验一中，必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”组成；在试验二中，随机事件“出现偶数点”可以由基本事件“2点”“4点”和“6点”共同组成.因此有：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）（2）每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）我们将满足上述条件的概率模型称为古典概型（classical probability model ）.在实验一中，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即P （“正面朝上”）＝P （“反面朝上”），P （“出现正面朝上”)＝基本事件的总数数所包含的基本事件的个出现正面朝上”“21=. 在试验二中，出现各个点的概率相等，即P （“1点”）＝P （“2点”）＝P （“3点”）＝P （“4点”）＝P （“5点”）＝P （“6点”），所以P （“1点”）＝P （“2点”）＝P （“3点”）＝P （“4点”）＝P （“5点”）＝P （“6点”）＝61. 进一步地，还可以计算这个试验中任何一个事件的概率，例如， P （“出现偶数点”）＝P （“2点”）＋P （“4点”）＋P （“6点”）＝2163616161==++， 即P （“出现偶数点”）＝基本事件的总数数所包含的基本事件的个出现偶数点”“63=. 根据上述两则模拟试验，可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计算公式为 P （A ）＝基本事件的总数所包含基本事件个数A . 因此有：如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是n 1.如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P(A)= nm . 应用示例思路1例1 为了考查玉米种子的发芽情况，在1号、2号、3号培养皿中各种一粒玉米种子，（1）列举全体等可能基本事件；(2)下列随机事件由哪些等可能基本事件组成.事件A ：三粒都发芽；事件B ：恰有两粒发芽；事件C ：至少有一粒发芽.分析：根据实际问题，在正确理解等可能事件的含义的基础上来列举等可能事件，再根据所列举的等可能事件来确定某一个随机事件由哪些等可能事件组成.解：（1）按1号、2号、3号培养皿的顺序，玉米种子发芽的情况可能出现的结果有（发芽，发芽，发芽），（发芽，发芽，不发芽），（发芽，不发芽，发芽），（不发芽，发芽，发芽），（发芽，不发芽，不发芽），（不发芽，发芽，不发芽），（不发芽，不发芽，发芽），（不发芽，不发芽，不发芽），即1号培养皿有两种可能结果，对于1号培养皿的每种可能结果2号培养皿又有两种可能结果，对于1号、2号培养皿的每种可能结果，3号培养皿又有两种可能结果，所以共有2×2×2=8种不同的结果.因此全体等可能基本事件是：（发芽，发芽，发芽），（发芽，发芽，不发芽），（发芽，不发芽，发芽），（不发芽，发芽，发芽），（发芽，不发芽，不发芽），（不发芽，发芽，不发芽），（不发芽，不发芽，发芽），（不发芽，不发芽，不发芽）.（2）事件A 由一个基本事件组成即（发芽，发芽，发芽），事件B 由3个基本事件组成即（发芽，发芽，不发芽），（发芽，不发芽，发芽），（不发芽，发芽，发芽），事件C 由7个基本事件组成即（发芽，发芽，发芽），（发芽，发芽，不发芽），（发芽，不发芽，发芽），（不发芽，发芽，发芽），（发芽，不发芽，不发芽），（不发芽，发芽，不发芽），（不发芽，不发芽，发芽）.点评：(1)枚举法是一种重要的计数方法，在用枚举法计数时特别需要注意的是不重复不遗漏；(2)正确理解等可能事件的意义，能够正确地将某一个事件分解成等可能基本事件是解决古典概型问题的关键.例2 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球.（1）共有多少个基本事件？（2）摸出的两只球都是白球的概率是多少？分析：可以用枚举法找出所有的等可能基本事件.解：（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下基本事件〔摸到1，2号球用有序实数对（1，2）表示〕：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），因此，共有10个基本事件.（2）记事件A=“摸出的两只球都是白球”，（1）中的10个基本事件发生的可能性相同，事件A 包含了3个基本事件，即（1，2），（1，3），（2，3），如下图所示，根据古典概型的概率计算公式可得：P(A)=103.答：（1）共有10个基本事件；（2）摸出的两只球都是白球的概率是103. 点评：运用枚举法列举构成各个事件的基本事件是直接有效的方法，我们必须掌握这种方法，在运用枚举法时要做到不重复不遗漏.例3 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D ，决定矮的基因记为d ，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd.若第二子代的D ，d 基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因D 则其就是高茎，只有两个基因全是d 时，才显现矮茎）.分析：由于第二子代的D ，d 基因的遗传是等可能的，所以可以将各种可能的遗传情形都枚举出来：解：Dd 与Dd 的搭配方式有4种：DD ，Dd ， dD ，dd ，即总共有4个等可能基本事件；其中只有第四种“dd”1种表现为矮茎，即事件“第二子代为高茎”共包含了3个等可能基本事件，故事件“第二子代为高茎”的概率为43=75%. 答：第二子代为高茎的概率为75%.点评：应用枚举法时也可以用树形图来列举出所有的基本事件.例4 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A ，B ，C ，D 四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？分析：解决这个问题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型.如果考生掌握或者掌握了部分考查内容，这都不满足古典概型的第2个条件——等可能性，因此，只有在假定考生不会做，随机地选择了一个答案的情况下，才可以化为古典概型.解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A 、选择B 、选择C 、选择D ，即基本事件共有4个，考生随机地选择一个答案是选择A ，B ，C ，D 的可能性是相等的.从而由古典概型的概率计算公式得：P(“答对”)＝基本事件的总数数所包含的基本事件的个答对”“＝41＝0.25. 点评：解答本题的关键是判断随机事件是否适合古典概型，如果是古典概型则运用古典概型概率计算公式进行计算.例5 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品.（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率.分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样.解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z ）记录结果，则x,y,z 都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A 为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)= 33108=0.512. （2）可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z ），则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种.设事件B 为“3件都是正品”，则事件B 包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= 720336≈0.467. 点评：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误.对于问题（2）还可以有如下解法：看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z ）记录结果，则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，但（x,y,z ），（x,z,y ），（y,x,z ），（y,z,x ），（z,x,y ），（z,y,x ），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B 包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= 12056≈0.467. 思路2例1 有5段线段，它们的长度分别为2，4，6，8，10，从中任取三段，能构成三角形的概率是（ ）103.51.52.203.D C B A 分析：用枚举法将从5段线段中任取三段的等可能基本事件列举出来，再根据三角形的三边必须满足两边之和大于第三边来确定事件“任取三段线段能构成三角形”的等可能基本事件数.从5段长度分别为2，4，6，8，10的线段任取三段共有（2，4，6），（2，4，8），（2，4，10），（2，6，8），（2，6，10），（2，8，10），（4，6，8），（4，6，10），（4，8，10）（6，8，10）等10种情况，即共有10个等可能基本事件，能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”，因此能够作为三角形三边的线段长为（4，6，8），（4，8，10），（6，8，10）三种，即事件A“能够构成三角形”含有3个等可能基本事件，所以有P(A)=103. 答案：D点评：根据概率的计算公式P(A)=nm ，必须要解决m,n 的值是多少的问题，这可以运用枚举法来解决；对于本题运用枚举法时还可以有如下方法：因为任取三个数后剩下两个数，因此取三个数与取两个数的情况是相同的，因此只要列举取两个数的情况，如下：（2，4），（2，6），（2，8），（2，10），（4，6），（4，8），（4，10），（6，8），（6，10），（8，10），共10种情况，共有10个等可能基本事件，能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”，因此能够作为三角形三边的线段长为（4，6，8），（4，8，10），（6，8，10）三种，即事件A“能够构成三角形”含有3个等可能基本事件，所以有P(A)= 103. 例2 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率.分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型.解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……（出现6点），所以基本事件数n=6，事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），其包含的基本事件数m=3.所以，P （A ）=5.02163===n m . 点评：利用古典概型的计算公式时应注意两点：（1）所有的基本事件必须是互斥的；（2）m 为事件A 所包含的基本事件数，求m 值时，要做到不重复不遗漏.例3 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.分析：将符合“每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次”的所有结果一一列举出来，就得到等可能基本事件的总数，用同样的方法得到符合“取出的两件产品中恰有一件次品”所包含的基本事件总数，就可以得到本题的解答.解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a 1，a 2），（a 1，b 2），（a 2，a 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 2，a 2）.其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品用A 表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则A=［（a 1，b 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）］.事件A 由4个基本事件组成，因而，P （A ）=3264=. 点评：本题是不放回问题，注意与有放回问题的区别.例 4 袋中有红、白色球各一个，有放回地抽三次，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：(1)三次颜色恰有两次同色；(2)三次颜色全相同；(3)三次抽取的红球多于白球.分析：运用枚举法列出基本事件总数,然后再计算某个事件包含的基本事件总数.解：每个基本事件为(x,y,z)，其中x,y,z 分别取红、白球，全集U={(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(白，白，红)，(白，红，白)，(红，白，白)，(白，白，白)}，从而n=8.（1）记事件A 为“三次颜色恰有两次同色”，因为A 中含有基本事件的个数m=6， 所以P(A)=75.086==n m ； （2）记事件B 为“三次颜色全相同”，因为B 中含有基本事件的个数m=2， 所以P(B)=25.082==n m ； （3）记事件C 为“三次抽取的红球多于白球”，因为C 中含有基本事件的个数m=4， 所以P(C)=5.084==n m . 点评：对于第(3)小题，因为三次取球，红、白色球的个数必定不相等，故红球多于白球与白球多于红球的概率相等，都是0.5.例5 在一个口袋中装有10个标有1到10这十个整数的小球，从口袋中任意取出一个小球，记下它的标号x ，然后第二次再从口袋中任意取出一个小球，记下它的标号y ，试求：(1)x+y 是10的倍数的概率；(2)xy 是3的倍数的概率.分析：运用枚举法列出基本事件总数以及某一个事件包含的基本事件数.解：先后两次取出小球，第一次取出的小球有10种不同的结果，第二次取出的小球也有10种不同的结果，而且对于第一次的每一个结果第二次有10种结果与它对应，所以先后两次取出小球共有10×10=100个不同的结果，故基本事件个数是100个.(1)因为x+y 是10的倍数，它包含下列情况：（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（10，10）共10种基本事件，因此所求事件“x+y 是10的倍数”的概率P=10010=0.1. (2)因为xy 是3的倍数，所以x 是3的倍数或y 是3的倍数，又1到10这十个数可以分为是3的倍数和不是3的倍数两类，记A=｛3,6,9｝，B=｛1,2,4,5,7,8,10｝，当x ∈A ，y ∈B 时，xy 是3的倍数共有3×7=21种，当y ∈A ，x ∈B 时，xy 是3的倍数也有3×7=21种，当x ∈A ，y ∈A 时，xy 是3的倍数共有3×3=9种，因此所求事件“xy 是3的倍数”的概率P=1005110092121=++=0.51. 答：(1)x+y 是10的倍数的概率为0.1；(2)xy 是3的倍数的概率为0.51.点评：运用等可能事件的概率公式时，一定要将基本事件总数和满足条件的事件总数求正确，枚举法和分类讨论是解决这类问题行之有效的常用方法.知能训练1.先后抛掷两枚均匀的硬币，出现一枚正面、一枚反面的概率是（ ）1.21.31.41.D C B A2.在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为（ ）21.54.32.65.D C B A 3.从甲、乙、丙、丁四人中选3人作代表参加某个会议，则甲一定当选的概率为________________ .4.有4个房间安排3个人住宿，每个人可以住进任一房间，且住进房间是等可能的，求：(1)事件“指定的3个房间各有1人”的概率；(2)事件“第1号房间有1人，第2号房间有2人”的概率.（每个房间最多可以住3人） 解答：1.C2.B3.从四人中选出3人共有4种等可能结果（甲，乙，丙），(甲，乙，丁) ，(甲，丙，丁) ，(乙，丙，丁)，其中甲一定当选的有3种，故甲一定当选的概率为P=43=0.75. 4.(1)运用枚举法可得基本事件总数是43，记“指定的3个房间各有1人”为事件A ，则A 中包含的基本事件数为3×2=6个，所以P(A)= 323463=. (2) 记“第1号房间有1人，第2号房间有2人”为事件B ，则B 中包含的基本事件数为3个，所以P(B)= 643433=. 课堂小结数学是一门严谨的科学，而用进行大量重复试验来估计事件的概率，既麻烦又不准确，因此在一些特殊的情况下，我们可以构造出计算事件概率的通用方法，从而直接得到概率的准确值.就是运用古典概型的概率计算公式来计算相应事件的概率，比较简单.运用古典概型的概率计算公式计算事件的概率时，一定要验证该试验中所构造的基本事件是否满足古典概型的第二个条件，即每个结果出现是等可能的，否则计算出的概率将是错误的.利用“数形结合”的方法即画树形图的方法来得到基本事件的个数，可以帮助我们大大简化计算量，而且还很直观.尤其是树形图可以帮助我们来枚举随机试验包含的所有基本事件，不容易遗漏.作业课本习题3.21～5.设计感想根据本课时教学内容的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳古典概型的概念及其概率公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来.使学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，体现学生的主体地位，培养学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍的求学精神.本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念，由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；再通过学生观察类比推导出古典概型的概率计算公式.这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.在解决概率的计算上，鼓励学生尝试枚举和画出树形图，让学生感受求基本事件个数的一般方法，从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑.（设计者：王国冲）。

§3.2 古典概型内容要求 1.了解基本事件的特点(难点)；2.理解古典概型的定义(重点)；3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题(重点).知识点一 基本事件 1.基本事件的定义在1次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件.它们是试验中不能再分的最简单的随机事件.一次试验中只能出现一个基本事件.如在掷一枚质地均匀的骰子试验中，出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个结果，这就是这一随机试验的6个基本事件. 2.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.如在掷一枚质地均匀的骰子试验中，随机事件“出现奇数点”可以由基本事件“出现1点”“出现3点”“出现5点”共同组成. 【预习评价】“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件吗？提示 不是.“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上，两枚正面向上，所以不是基本事件. 知识点二 古典概型 1.古典概型的定义 如果一个随机试验满足： (1)所有的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件的发生都是等可能的，那么，我们将这个随机试验的概率模型称为古典概型.2.古典概型的概率公式 对于任何事件A ，P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) 1.任意事件都可以表示成基本事件的和.( ) 2.古典概型的基本事件的个数是有限的.( )3.有放回抽样与无放回抽样，对于概率计算是没有区别的.( )答案 1.√ 2.√ 3.×题型一基本事件的理解【例1】写出下列试验的所有基本事件.(1)先后掷两枚质地均匀的硬币；(2)某人射击一次命中的环数；(3)从集合A＝{a，b，c，d}中任取两个元素构成A的子集.解(1)正面、正面；正面、反面；反面、正面；反面、反面.(2)0环，1环，2环，3环，4环，5环，6环，7环，8环，9环，10环.(3){a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}.规律方法 1.求基本事件的基本方法是列举法.基本事件具有以下特点：(1)不可能再分为更小的随机事件；(2)两个基本事件不可能同时发生.2.当基本事件个数较多时还可应用列表法或树形图法求解.【训练1】从A，B，C，D，E，F 6名学生中选出4名参加数学竞赛.(1)写出这个试验的所有基本事件；(2)求这个试验的基本事件总数；(3)写出试验“A没被选中”所包含的基本事件.解(1)这个试验的所有基本事件如下：(A，B，C，D)，(A，B，C，E)，(A，B，C，F)，(A，C，D，E)，(A，C，D，F)，(A，B，D，E)，(A，B，D，F)，(A，B，E，F)，(A，C，E，F)，(A，D，E，F)，(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F).(2)从6名学生中选出4名参加数学竞赛，共有15种可能情况，即基本事件的总数为15.(3)“A没被选中”包含下列5个基本事件：(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F).题型二古典概型的理解【例2】(1)向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆面内任意一点都是等可能的，你认为该试验是古典概型吗？为什么？(2)射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中).你认为该试验是古典概型吗？为什么？解判断试验是否满足古典概型的两个特点.(1)试验的所有可能结果是圆面内的所有点.试验的所有可能结果数是无限的，不满足古典概型试验结果的有限性.因此，虽然每一个试验结果出现的可能性相同，但是这个试验仍不是古典概型.(2)试验的所有可能结果只有11个，但是命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)不是等可能的.因此，这个试验也不是古典概型.规律方法一个试验是否是古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型.【训练2】判断下列事件是否为古典概型.(1)在适宜的条件下种下一粒种子，求它发芽的概率；(2)向上抛掷一枚质地不均匀的硬币，求出现正面朝上的概率.解(1)基本事件包括“发芽”“不发芽”，而“发芽”与“不发芽”这两种结果的可能性一般是不均等的，不符合古典概型的第二个特点，即每一个基本事件的“等可能性”，所以这个试验不是古典概型.(2)由于硬币的质地不均匀，则出现“正面朝上”和“反面朝上”的可能性不相等，不符合古典概型的第二个特点，即每一个基本事件的“等可能性”，所以这个试验不是古典概型.探究1 列举法(或列表法)【例3－1】一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.(1)共有多少个基本事件？(2)2个都是白球包含几个基本事件？(3)求2个都是白球的概率.解法一(1)采用列举法.分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个(其中(1,2)表示摸到1号、2号).(2)“2个都是白球”包含(1,2)，(1,3)，(2,3)三个基本事件.(3)所求概率为P(A)＝310.法二(1)采用列表法.设5个球的编号为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球. 列表如下：故共有10个基本事件.(2)“2个都是白球”包含(a ，b )，(b ，c )，(c ，a )三个基本事件. (3)所求概率为P (A )＝310.探究2 坐标法【例3－2】 抛掷两枚骰子，求： (1)点数之和是4的倍数的概率； (2)点数之和大于5小于10的概率.解 如图，基本事件与所描点一一对应，共36种.(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A ，从图中可以看出，事件A 包含的基本事件共有9个，即(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6). 所以P (A )＝14.(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B ，从图中可以看出，事件B 包含的基本事件共有20个，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3).所以P (B )＝59. 探究3 树形图法【例3－3】 有A 、B 、C 、D 四位贵宾，应分别坐在a 、b 、c 、d 四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时， (1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率； (2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率； (3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率.解 将A 、B 、C 、D 四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：如图所示，本题中的等可能基本事件共有24个.(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P(A)＝1 24 .(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B)＝924＝38.(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C)＝824＝13.探究4 涂色问题【例3－4】用三种不同的颜色给如图所示的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色.(1)求3个矩形颜色都相同的概率；(2)求3个矩形颜色都不相同的概率；(3)求3个矩形颜色不都相同的概率.解设3个矩形从左到右依次为矩形1、矩形2、矩形3.用三种不同的颜色给题目中所示的3个矩形随机涂色，可能的结果如图所示.由图知基本事件共有27个.(1)记“3个矩形颜色都相同”为事件A ，由图知事件A 的基本事件有3个，故P (A )＝327＝19.(2)记“3个矩形颜色都不相同”为事件B ，由图知事件B 的基本事件有6个，故P (B )＝627＝29. (3)记“3个矩形颜色不都相同”为事件C . 由图，知事件C 的基本事件有24个， 故P (C )＝2427＝89.规律方法 1.古典概型概率求法步骤： (1)确定等可能基本事件总数n ； (2)确定所求事件包含基本事件数m ； (3)P (A )＝m n.2.使用古典概型概率公式应注意：(1)首先确定是否为古典概型；(2)A 事件是什么，包含的基本事件有哪些.3.当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树形图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法.树形图可以清晰准确地列出所有的基本事件，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.4.在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出基本事件的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便.课堂达标1.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b .则b ＞a 的概率是________.解析 基本事件总数为15个，满足“b ＞a ”的基本事件数为3个，所以P (b ＞a )＝15.答案 152.从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等)，则2名都是女同学的概率等于________.解析 设3名男生分别用A ，B ，C 表示，3名女生分别用a ，b ，c 表示，则从中任选2名学生，则有AB ，AC ，Aa ，Ab ，Ac ，BC ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc ，ab ，ac ，bc ，共15种选择.其中2名都是女同学的有ab ，ac ，bc ，共3种，所以2名都是女同学的概率为315＝15. 答案 153.现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________.解析 从正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)中任取两数的所有可能结果有X 1Y 1，X 1Y 2，X 1Y 3，…，X 7Y 9，共63个.其中m ，n 都取奇数的结果有X 1Y 1，X 1Y 3，X 1Y 5，…，X 7Y 9，共20个，故所求的概率为P ＝2063.答案20634.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________. 解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5这一组数，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为110.答案1105.先后抛掷3枚相同的硬币各一次，观察落地后这3枚硬币朝上的一面是正面还是反面. (1)一共可能出现多少种不同的结果？(2)出现“2枚正面，1枚反面”的结果有多少种？ (3)出现“2枚正面，1枚反面”的概率是多少？解 (1)因为抛第1枚硬币时，出现正面和反面2种结果，抛第2枚硬币时，又出现正面和反面2种结果，抛第3枚硬币时，又出现正面和反面2种结果，所以可能出现的结果为(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，其8种.(2)由(1)可知出现“2枚正面，1枚反面”的结果有(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3种.(3)因为每种结果出现的可能性均相等，所以为古典概型.由(1)(2)可知等可能基本事件的总数为8，而出现“2枚正面，1枚反面”的基本事件有3个，故出现“2枚正面，1枚反面”的概率为38.课堂小结1.古典概型是一种最基本的概率模型.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用公式P (A )＝m n时，关键是正确理解基本事件与事件A 的关系，从而求出m 、n .2.求某个随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树形图和列表)，注意做到不重不漏.基础过关1.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________. 解析 从1,2,3,6中随机取2个数，共有6种不同的取法，其中所取2个数的乘积是6的有1,6和2,3，共2种，故所求概率是26＝13.答案 132.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.解析 从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色相同有1种结果，则颜色不同有5种结果，故所求概率为56.答案 563.在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________.解析 设3张奖券中一等奖、二等奖和无奖分别为a ，b ，c ，甲、乙两人各抽取1张的所有情况有ab ，ac ，ba ，bc ，ca ，cb ，共6种，其中两人都中奖的情况有ab ，ba ，共2种，所以所求概率为13.答案 134.从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________.解析 从a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母的所有基本事件为：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10个，其中取到字母a 的有4个，故所求概率为410＝0.4.答案 0.45.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为________.解析 5个点中任取2个点共有10种方法，若2个点之间的距离小于边长，则这2个点中必须有1个为中心点，有4种方法，于是所求概率P ＝410＝25.答案 256.用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：从这100(1)事件A (6.92<d ≤6.94)的概率； (2)事件B (6.90<d ≤6.96)的概率； (3)事件C (d >6.96)的概率； (4)事件D (d ≤6.89)的概率.解 (1)事件A 的概率P (A )＝17＋26100＝0.43.(2)事件B 的概率P (B )＝10＋17＋17＋26＋15＋8100＝0.93.(3)事件C 的概率P (C )＝2＋2100＝0.04.(4)事件D 的概率P (D )＝1100＝0.01. 7.从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率： (1)事件A ＝{三个数字中不含1和5 }； (2)事件B ＝{三个数字中含1或5}.解 这个试验的基本事件为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以基本事件总数n ＝10.(1)因为事件A ＝{(2,3,4)}， 所以事件A 包含的事件数m ＝1.所以P (A )＝m n ＝110.(2)因为事件B ＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，所以事件B 包含的基本事件数m ＝9.所以P (B )＝m n ＝910.能力提升8.一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出2个黑球的概率为________. 解析 运用集合中的Venn 图直观分析.如图所示，所有结果组成集合U ，含有6个元素，故共有6种不同的结果.U 的子集A 有3个元素，故摸出2个黑球有3种不同的结果.因此，摸出2个黑球的概率是P ＝36＝12.答案 129.一次掷两枚骰子，得到的点数为m 和n ，则关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋4＝0有实数根的概率是________.解析 基本事件共有36个.因为方程有实根，所以Δ＝(m ＋n )2－16≥0，所以m ＋n ≥4，则方程如无实数根有m ＋n ＜4，其中有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件. 所以所求概率为1－336＝1112.答案111210.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________.解析 首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a －b |≤1，由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而依题意得基本事件的总数有36种.因此他们“心有灵犀”的概率为P ＝1636＝49. 答案 4911.甲、乙、丙三人玩传球游戏，开始由甲发球，传球三次后球又回到甲手中的概率是________.解析 画出“树形图”如图所示，由图知，基本事件共有8个，其中球又回到甲手中的有2个，所求概率为P ＝28＝14.答案 1412.某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：现从这6).(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.解 (1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种.因此，事件M 发生的概率P (M )＝615＝25. 13.(选做题)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率.解 (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13. (2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其所有结果组成的基本事件有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 5，B 1)，(A 5，B 2)，(A 5，B 3)，共15个.根据题意，这些基本事件的出现机会是等可能的.事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，共2个.因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215.。