高中数学苏教版必修三教学案：第2章 2.4 线性回归方程含答案

2019-2020年高中数学 2.4线性回归方程第2课时教案 苏教版必修3【学习导航】学习要求1.进一步了解非确定性关系中两个变量的统计方法；2.进一步掌握回归直线方程的求解方法． 【课堂互动】自学评价1.相关关系: 当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系 .2.回归分析： 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法 .3. 求线性回归方程的步骤：(1)x y (2)x y x y (3)i i i i 计算平均数、，计算与的积，求，计算，，∑∑∑x y i i 22(4)将上述有关结果代入公式，求，写出回归直线方程．【精典范例】例1一个工厂在某年里每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间由如下一组数据：【解】1）画出散点图：x2）设回归直线方程，利用⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==xb y a x x y x y x b i i i i i 121221211212,计算a ，b ，得b ≈1.215, a=≈0.974， ∴回归直线方程为：例2(（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线度且画出图形．【解】（1）图略（2）1(45424648423558403950)44.5010x =+++++++++= 1(6.53 6.309.527.50 6.99 5.909.49 6.20 6.558.72)10y =+++++++++= 设回归直线方程为，则10110221100.17510i ii i i x y x y b xx ==-==-∑∑，=所以所求回归直线的方程为追踪训练（１）画出数据的散点图；（２）用最小二乘法估计求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线．【解】（１）散点图（略）网]（２）55115,545,109,116,23.2,i i i i n x x y y =======∑∑ 5521160952,12952i i i i i xx y ====∑∑ 25129525451160.1962,23.20.1962109 1.8166560952545b a ⨯-⨯=≈=-⨯≈⨯- 所以，线性回归方程为．2、一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量x( 单位：万件)之间有如下一组数据：(2)求出月总成本与月产量x 之间的线性回归方程。

房地产涨价一直是受关注的民生问题之一，以下是某房地产开发商在2013年前两季度销售的新楼盘中的销售价格y(单位：万元)与房屋面积x(单位：m2)的数据.问题1：在平面直角坐标系中，以x为横坐标，y为纵坐标作出表示以上数据的点．提示：问题2：从上图中发现x，y有何关系？是函数关系吗？提示：从图中发现x逐渐增大时，y逐渐增大，但有个别情况．不是函数关系．1．变量间的常见关系(1)函数关系：变量之间的关系可以用函数表示，是一种确定性关系．(2)相关关系：变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．2．散点图从一个统计数表中，为了更清楚地看出变量x与变量y是否有相关关系，常将x的取值作为横坐标，将y的相应取值作为纵坐标，将表中数据构成的数对所表示的点在坐标系内标出，我们称这样的图形叫做散点图.某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：问题1：判断气温与杯数是否有相关关系？ 提示：作散点图可知具有相关关系．问题2：若某天的气温是－5℃，能否根据这些数据预测小卖部卖出热茶的大体杯数？ 提示：可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测．1．线性相关关系：能用直线y ^＝bx ＋a 近似表示的相关关系． 2．线性回归方程： 设有n 对观察数据如下：当a ，b 使Q ＝(y 1－bx 1－a )2＋(y 2－bx 2－a )2＋…＋(y n －bx n －a )2取得最小值时，就称方程y ^＝bx ＋a 为拟合这n 对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线．3．用回归直线进行数据拟合的一般步骤： (1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近． (2)如果散点在一条直线附近，用公式⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i－n x2＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2a ＝y －b x求出a ，b ，并写出线性回归方程．1．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，如试验田的施肥量x 与水稻的产量y .当自变量x 每取一确定值时，因变量y 的取值带有一定的随机性，即还受其他环境因素的影响．2．用最小平方法求回归直线的方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可用散点图判断)．否则求出的线性回归方程是无意义的．[例1] 关于人体的脂肪含量(百分比)与年龄关系的研究中，得到如下一组数据：(1)将上表中的数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现年龄与脂肪含量近似成什么关系吗？(3)若成线性相关关系，请你画一条直线近似地表示这种线性关系．[思路点拨] 作出散点图判断相关关系．[精解详析] (1)以年龄作为x轴，脂肪含量为y轴，可得相应散点图，如图所示．(2)从散点图可以发现，年龄与脂肪含量之间具有线性相关关系，且是正相关的．(3)画出的一条直线如上图．[一点通]判断变量间有无线性相关关系，一种常用的简便可行的方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量是线性相关的．1．根据两个变量x，y之间的观测数据画成散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系________．(填“是”或“否”)解析：从散点图看，形状呈团状，无任何规律，故不具有线性相关关系．答案：否2．5名学生的数学成绩和化学成绩如下表：解：以x 轴表示数学成绩，y 轴表示化学成绩，可得相应的散点图如右图所示．由散点图可知，两者之间具有线性相关关系且是正相关．[例2] (12分)假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (单位：万元)有如下的统计资料：若由资料知y 与(1)线性回归方程y ^＝bx ＋a 的系数a ，b ； (2)使用年限为10年时，试估计维修费用是多少．[思路点拨] 根据公式求b ，代入a ＝y －b x 求a 并判断．[精解详析] (1)∵x ＝4，y ＝5，∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15x i y i ＝112.3，∴b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23. (6分)a ＝y －b x ＝5－1.23×4＝0.08.(8分)(2)线性回归方程是y ^＝1.23x ＋0.08，当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38， 所以估计使用10年时维修费用是12.38万元． (12分)[一点通]1．求线性回归方程的一般步骤是：(1)画出散点图，判断是否具有相关关系．(2)计算x ，y ，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx i y i .(3)代入公式计算b 、a 的值． (4)写出线性回归方程．2．利用回归直线可以预测，若回归直线方程为y ^＝bx ＋a ，则x ＝x 0处的估计值为y ^＝bx 0＋a .(注意：估计值并不一定是真实值．)3．本例条件不变，试探究：(1)所求的回归直线必过(x ，y )点吗？(2)若设备的使用年限x 每增加一年，则所支出的维修费用y 如何变化？ 解：(1)由线性回归方程 y ^＝1.23x ＋0.08，又x ＝4，y ＝5，验证知必过(x ，y )点．(2)由线性回归方程知，使用年限每增加一年维修费用就提高1.23万元．4．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y ^＝bx ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．解析：x ＝10，y ＝40，回归方程过点(x ，y )， ∴40＝－2×10＋a ，∴a ＝60. ∴y ＝－2x ＋60.令x ＝－4，∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案：685．以下是江苏省某城镇收集到的新房屋的销售价格y 和房屋的大小x 的数据：(1)(2)求回归方程；(3)估算一下96 m 2的房价． 解：(1)散点图如图所示．(2)n ＝5，∑i ＝15x i ＝545，x ＝109，∑i ＝15y i ＝116，y ＝23.2，∑i ＝15x 2i ＝60 975，∑i ＝15x i y i ＝12 952.b ＝5i ＝1x i y i －5x y5i ＝1x 2i －5x2＝12 952－5×109×23.260 975－5×1092＝154785≈0.196 2，a ＝y －b x ＝23.2－154785×109≈1.816 6.∴回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.816 6. (3)当x ＝96时，y ^≈20.7.因此，96 m 2的新房屋大约为20.7万元．用线性回归方程估计总体的一般步骤：(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；(2)如果散点在一条直线附近，用公式求出a 、b ，并写出线性回归方程； (3)根据线性回归方程对总体进行估计．课下能力提升(十四)一、填空题1．已知x ，y 之间的一组数据为：则回归直线y ^＝bx ＋a 必过点________．解析：x ＝32，y ＝4，∴y ^＝bx ＋a 必过点(32，4)．答案：(32，4)2．对某台机器购置后的运营年限x (x ＝1,2,3…)与当年利润y 的统计分析知具备线性相关关系，回归方程为y ＝10.47－1.3x ，估计该台机器使用________年最合算．解析：只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即y ≥0，所以10.47－1.3x ≥0，解得x ≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．答案：83．已知某工厂在2013年每月产品的总成本y (万元)与月产量x (万件)之间有线性相关关系，回归方程为y ^＝1.215x ＋0.974，若月产量增加4万件时，则估计成本增加________万元．解析：由y ^1＝1.215x 1＋0.974， y ^2＝1.215(x 1＋4)＋0.974，得y ^2－y ^1＝1.215×4＝4.86(万元)． 答案：4.864．下表是广告费用与销售额之间的一组数据：销售额y (千元)与广告费用x (千元)之间有线性相关关系，回归方程为y ^＝2.3x ＋a (a 为常数)，现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元．解析：x ＝7，y ＝41.6，则a ＝y －2.3x ＝41.6－2.3×7＝25.5. 当y ＝6万元＝60千元时，60＝2.3x ＋25.5，解得x ＝15(千元)． 答案：155．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产A 产品过程中记录的产量x (单位：吨)与相应的生产能耗y (单位：×103kJ)几组对应的数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为________．解析：由y ＝0.7x ＋0.35，得2.5＋t ＋4＋4.54＝0.7×3＋4＋5＋64＋0.35，故11＋t4＝3.5，即t ＝3. 答案：3 二、解答题6．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示.(1)作出散点图；(2)如果y 与x 线性相关，求出回归直线方程． 解：(1)如下图．(2)由(1)知y 和x 线性相关． 设回归直线方程为y ^＝bx ＋a .由题意，得x ＝12.5，y ＝8.25，4i ＝1x 2i ＝660，4i ＝1x i y i ＝438.所以b ＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.73，a ≈8.25－0.73×12.5≈－0.88， 所以y ^＝0.73x －0.88.7．某企业的某种产品产量与单位成本数据如下：(1)(2)指出产量每增加1 000件时，单位成本下降多少？(3)假定产量为6 000件时，单位成本是多少？单位成本为70元时，产量应为多少件？ 解：(1)设x 表示每月产量(单位：千件)，y 表示单位成本(单位：元)，作散点图．由散点图可知y 与x 间具有线性相关关系， 设线性回归方程为：y ^＝bx ＋a .∵b ＝∑i ＝16x i y i －6x y∑i ＝16x 2i －6x 2≈－1.82，a ＝y －b x ≈77.37，∴线性回归方程为y ^＝－1.82x ＋77.37.(2)由线性回归方程知，产量每增加1 000件，单位成本下降1.82元． (3)当x ＝6时，y ＝－1.82×6＋77.37＝66.45， 故当产量为6 000件时，单位成本为66.45元． 当y ＝70时，x ≈4.049.故当单位成本为70元时，产量约为4 049件．8．一台机器由于使用时间较长，但还可以用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果.(1)(2)如果y 与x 有线性相关关系，求线性回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？解：(1)画出散点图，如图．(2)x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x i y i ＝438，∑i ＝14x 2i ＝660，所以b ＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x 2i －4x 2＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.728 6， a ＝y －b x ≈8.25－0.728 6×12.5＝－0.857 5.所以线性回归方程为y ^＝0.728 6x －0.857 5. (3)要使y ^≤10，则0.728 6x －0.857 5≤10，x ≤14.901 9.所以机器的转速应控制在15 rad/s 以下．2 2。

房地产涨价一直是受关注的民生问题之一，以下是某房地产开发商在年前两季度销售的新楼盘中的销售价格(单位：万元)与房屋面积(单位：)的数据.问题：在平面直角坐标系中，以为横坐标，为纵坐标作出表示以上数据的点．提示：问题：从上图中发现，有何关系？是函数关系吗？提示：从图中发现逐渐增大时，逐渐增大，但有个别情况．不是函数关系．．变量间的常见关系()函数关系：变量之间的关系可以用函数表示，是一种确定性关系．()相关关系：变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．．散点图从一个统计数表中，为了更清楚地看出变量与变量是否有相关关系，常将的取值作为横坐标，将的相应取值作为纵坐标，将表中数据构成的数对所表示的点在坐标系内标出，我们称这样的图形叫做散点图.某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：问题：判断气温与杯数是否有相关关系？提示：作散点图可知具有相关关系．问题：若某天的气温是－℃，能否根据这些数据预测小卖部卖出热茶的大体杯数？提示：可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测．．线性相关关系：能用直线＝＋近似表示的相关关系．．线性回归方程：设有对观察数据如下：当，使＝(－－)＋(取得最小值时，就称方程＝＋为拟合这对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线．．用回归直线进行数据拟合的一般步骤：()作出散点图，判断散点是否在一条直线附近．()如果散点在一条直线附近，用公式错误!求出，，并写出线性回归方程．．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，如试验田的施肥量与水稻的产量.当自变量每取一确定值时，因变量的取值带有一定的随机性，即还受其他环境因素的影响．．用最小平方法求回归直线的方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可用散点图判断)．否则求出的线性回归方程是无意义的．[例] 关于人体的脂肪含量(百分比)与年龄关系的研究中，得到如下一组数据：。

2.4线性回归方程(1)教学目标（1）通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；（2）在两个变量具有线性相关关系时，会在散点较长中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测；（3）知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义．教学重点散点图的画法，回归直线方程的求解方法．教学难点回归直线方程的求解方法．教学过程一、问题情境1．情境：客观事物是相互联系的过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度所以说，函数关系存在着一种确定性关系但还存在着另一种非确定性关系——相关关系2．问题：某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的气温/0C 26 18 13 10 4 1-杯数20 24 34 38 50 64-C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？如果某天的气温是5二、学生活动为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下图，今后我们称这样的图为散点图(scatterplot).从右图可以看出.这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系?我们有多种思考方案:(1)选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线；（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距；………………怎样的直线最好呢?三、建构数学1．最小平方法：=+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近。

线性回归方程第2课时【学习导航】学习要求1.进一步了解非确定性关系中两个变量的统计方法；2.进一步掌握回归直线方程的求解方法．【课堂互动】自学评价1.相关关系: 当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系 .2.回归分析： 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法 .3. 求线性回归方程的步骤：(1)x y (2)x y x y (3)i i i i 计算平均数、，计算与的积，求，计算，，∑∑∑x y i i 22(4)将上述有关结果代入公式，求,b a ，写出回归直线方程．【精典范例】例1一个工厂在某年里每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间由如下一组数据：(1）画出散点图；(2）求月总成本y 与月产量x 之间的回归直线方程.1）画出散点图：x2）设回归直线方程a bx y+=ˆ， 利用⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==xb y a x x y x y x b i i i i i 121221211212,计算a ，b ，得b ≈1.215, a=x b y -≈0.974，∴回归直线方程为：974.0215.1ˆ+=x y例2 已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下：x (（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线度且画出图形． 【解】（1）图略 （2）1(45424648423558403950)44.5010x =+++++++++= 1(6.53 6.309.527.50 6.99 5.909.49 6.20 6.558.72)10y =+++++++++=7.37 设回归直线方程为 y bx a =+，则10110221100.17510i ii ii x y x yb xx==-==-∑∑，a y bx =-=0.418-所以所求回归直线的方程为 0.1750.148y x =-追踪训练（１）画出数据的散点图；（２）用最小二乘法估计求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线． 【解】（１）散点图（略）网]（２）55115,545,109,116,23.2,ii i i n xx y y =======∑∑5521160952,12952ii i i i xx y ====∑∑25129525451160.1962,23.20.1962109 1.8166560952545b a ⨯-⨯=≈=-⨯≈⨯-所以，线性回归方程为0.1962 1.8166y x =+．2、一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量x( 单位：万件)之间有如下一(2) 求出月总成本yˆ与月产量x 之间的线性回归方程。

线性回归方程第1课时【学习导航】学习要求1．理解线性回归的基本思想和方法，体会变量之间的相关关系。

线性回归方程的求法。

2．会画出一组数据的散点图，并会通过散点图判断出这组数据是否具有线性关系。

【课堂互动】自学评价在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示，另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达2.建立平面直角坐标系，将数据构成的数对所表示的点在坐标系内标出，这样的图称为散点图(scatter diagram)3．在散点图中如果点散布在一条直线的附近，可用线性函数近似地表示x 和y 之间的关系。

选择怎样的直线我们有下列思考方案： (1)选择能反映直线变化的两个点(2)取一条直线，使得位于该直线一侧和另一侧点的个数基本相同(3)多取几组点，确定几条直线方程，再分别 算出各条直线斜率、截距的平均值，作为所求直线的斜率、截距4．用方程为a bx y+=ˆ的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近。

用最小二乘法来求a 、b 的原理和方法 见教科书P725.能用直线方程a bx y+=ˆ近似表示的相关关系叫做线性相关关系(linear correlation) 6.设有(x,y)的n 对观察数据如下：当a,b 使+--=211)(a bx y Q2222)()(a bx y a bx y n n --+⋯+--取得最小值时，就称a bx y+=ˆ为拟合这n 对数据的线性回归方程(linear regression equation),将该方程所表示的直线称为回归直线。

6．用书上的方法3，可求得线性回归方程a bx y+=ˆ中的系数： 2112111)())((∑∑∑∑∑=====--=ni i n i i ni i n i i n i i i x x n y x y x n ba =xb y - (*)7．用回归直线进行拟合的一般步骤为：(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近(2)如果散点在一条直线附近，用上面的公式求出a,b,并写出线性回归方程【精典范例】例1 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由。

[学习目标] 1.理解两个变量的相关关系的概念.2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系.3.会求线性回归方程．知识点一变量间的相关关系1．变量之间常见的关系2.知识点二求线性回归方程1．回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 2．线性回归方程与最小二乘法我们用y i －y ^i 来刻画实际观察值y i (i ＝1,2，…，n )与y ^i 的偏离程度，y i －y ^i 越小，偏离越小，直线就越贴近已知点．我们希望y i －y ^i 的n 个差构成的总的差量越小越好，这才说明所找的直线是最贴近已知点的．由于把y i －y ^i 这个差量作和会使差量中的正负值相互抵消，因此我们用这些差量的平方和即Q ＝i ＝1n (y i －a －bx i )2作为总差量，回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条．因为平方又叫二乘方，所以这种使“差量平方和最小”的方法叫做最小二乘法．用最小二乘法求线性回归方程中的a ，b 有下面的公式：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝i ＝1n (x i －x )(y i－y )i ＝1n (x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ＝y －b x ，其中x ＝1n ∑i ＝1n x i ，y ＝1n ∑i ＝1ny i .这样，线性回归方程的斜率为b ，截距为a ，即线性回归方程为y ^＝bx ＋a . [思考] 任何一组数据都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？答 用最小二乘法求线性回归方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的线性回归方程是无意义的．题型一 变量间相关关系的判断例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？ ①正方形边长与面积之间的关系； ②作文水平与课外阅读量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．解两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．综上，②④中的两个变量具有相关关系．反思与感悟函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．跟踪训练1下列两个变量间的关系不是函数关系的是________．①正方体的棱长与体积；②角的度数与它的正弦值；③单产为常数时，土地面积与粮食总产量；④日照时间与水稻的单位产量．答案④解析函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系，但是这两种关系是不同的，函数关系是指当自变量一定时，函数值是确定的，是一种确定性的关系．因为①V＝a3，②y＝sinα，③y＝ax(a＞0，且a为常数)，所以这三项均是函数关系．④是相关关系．题型二散点图例25名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下：解以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示．由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系．反思与感悟 1.判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．2．画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．跟踪训练2某公司利润y(单位：千万元)与销售总额x(单位：千万元)之间有如表对应数据：(1)画出散点图；(2)判断y与x是否具有线性相关关系．解(1)散点图如下：(2)由图知，所有数据点接近直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系．题型三求线性回归方程例3某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图；(2)求线性回归方程．解(1)散点图如图所示．(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.于是可得，b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝1380－5×5×50145－5×52＝6.5，a ＝y －b x ＝50－6.5×5＝17.5.于是所求的线性回归方程是y ^＝6.5x ＋17.5. 反思与感悟 1.求线性回归方程的步骤 (1)列表x i ，y i ，x i y i . (2)计算x ，y ，∑i ＝1n x 2i ，∑i ＝1ny 2i ，∑i ＝1nx i y i .(3)代入公式计算b ，a 的值．(4)写出线性回归方程y ^＝a ＋bx . 2．求线性回归方程的适用条件跟踪训练3 如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图：注：年份代码分别对应年份2008～2014(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑7i ＝1y i ＝9.32，∑7i ＝1t i y i ＝40.17， ∑7i ＝1（y i －y －）2＝0.55，7≈2.646. 参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1（t i －t －）（y i －y －）∑ni ＝1（t i －t －）2∑ni ＝1（y i －y －）2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑ni ＝1（t i －t －）（y i －y －）∑ni ＝1（t i －t －）2，a ^＝y －－b ^t －. 解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得t －＝4，∑7i ＝1 (t i －t －)2＝28，∑7i ＝1（y i －y －）2＝0.55， ∑7i ＝1 (t i －t －)(y i －y －)＝∑7i ＝1t i y i －t －∑7i ＝1y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99. 因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y －＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑7i＝1（t i －t －）（y i －y －）∑7i ＝1（t i －t －）2＝2.8928≈0.103.a ^＝y －－b ^t －≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．数形结合思想的应用例4 以下是在某地搜集到的不同楼盘房屋的销售价格y (单位：万元)和房屋面积x (单位：m 2)的数据：是正相关还是负相关？分析作出散点图，利用散点图进行判断．解数据对应的散点图如图所示．通过以上数据对应的散点图可以判断，房屋的销售价格和房屋面积之间具有线性相关关系，且是正相关．解后反思判断两个变量x和y是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就具有线性相关关系．注意不要受个别点的位置的影响．1．有下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；②曲线上点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系．其中具有相关关系的是________．答案①③④解析②⑤为确定关系不是相关关系．2．下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________．答案③解析 散点图①中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；③中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故填③. 3．根据如下样本数据得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则下列判断正确的是________． ①a >0，b >0；②a >0，b <0；③a <0，b >0；④a <0，b <0. 答案 ②解析 作出散点图如下：由图可以判断b ＜0，a ＞0.4．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的线性回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是________． ①y 与x 具有正的线性相关关系； ②回归直线过样本点的中心(x ，y )；③若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ； ④若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg. 答案 ④解析 当x ＝170时，y ^＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79kg.5．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y (kg)对身高x (cm)的线性回归方程为y ^＝0.72x －58.2，张明同学(20岁)身高178cm ，他的体重应该在________kg 左右． 答案 69.96解析 用线性回归方程对身高为178cm 的人的体重进行预测，当x ＝178时，y ^＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．1.判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关． 2．求线性回归方程时应注意的问题(1)知道x 与y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的． (2)用公式计算a 、b 的值时，要先算出b ，然后才能算出a .3．利用线性回归方程，我们可以进行估计和预测．若线性回归方程为y ^＝bx ＋a ，则x ＝x 0处的估计值为y ^0＝bx 0＋a .。

2.4 线性回归方程1．变量间的两种关系在实际问题中，变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．预习交流1相关关系与函数关系有何区别与联系？提示：相同点：两者均是指两个变量的关系；不同点：①函数关系是一种确定的关系；相关关系是一种非确定的关系；②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系．2．散点图为了刻画两个变量之间的相关关系，常用横坐标x 表示一个变量，纵坐标y 表示另一个变量，建立平面直角坐标系，将两个变量所表示的点在坐标系内标出，这样的图称为散点图．预习交流2散点图有什么作用？提示：可以用来判断两个变量是否相关． 3．线性回归方程(1)最小平方法：离差的平方和Q (a ，b )是直线y ^＝bx ＋a 与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和，可以用来衡量直线y ^＝bx ＋a 与图中各个点的接近程度．所以，设法取a ，b 的值，使Q (a ，b )达到最小值．这种方法叫做最小平方法，又称“最小二乘法”．其中y ^读作“y 估计”．(2)线性相关关系的概念：能用直线方程y ^＝bx ＋a 近似表示的相关关系叫做线性相关关系．(3)当a ，b 使Q ＝(y 1－bx 122n n a )2取得最小值时，就称方程y ^＝bx ＋a 为拟合这n 对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线．(4)线性回归系数公式：线性回归方程y ^＝bx ＋a 中的系数a ，b 可用下面的公式计算．⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i －n x 2＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2，a ＝y －b x .预习交流3线性回归方程y ^＝bx ＋a 是否一定经过一个定点？提示：由a ＝y －b x 代入线性回归方程，得y ^＝bx ＋y －b x ，整理得(y ^－y )＝b (x －x )．因此，线性回归方程一定经过定点(x ，y )．预习交流4(1)以下两变量之间具有相关关系的是__________． ①正方形的面积与边长 ②人的身高与年龄③匀速行驶车辆的行驶路程与时间 ④人的身高与视力(2)散点图的作用是__________． ①查找个体个数②比较个体数据大小关系 ③探究个体分类④粗略判断变量是否具有相关关系(3)若施化肥量x (千克/亩)与水稻产量y (千克/亩)的回归方程为y ^＝5x ＋250，当施化肥量为80千克/亩时，预计水稻产量为__________．提示：(1)② (2)④ (3)650千克/亩一、线性相关关系的判断某公司利润(1)(2)判断y 与x 是否具有线性相关关系．思路分析：本题中涉及两个变量：利润与销售总额，以销售总额为自变量，考察利润的变化趋势，从而作出判断．解：(1)散点图如下，(2)由图知，所有数据点接近直线排列，因此，认为y 与x 有线性相关关系．1．在下列各变量之间的关系中：①凸n 边形(n ≥3)的边数与内角度数之和；②烧香拜佛的次数与考试成绩；③某校高一学生的身高与体重；④一块农田的玉米产量与施肥量．其中具有相关关系的是__________． 答案：③④解析：①是函数关系，②没有相关关系，③④均具有相关关系，故填③④. 2．下列各图中所示两个变量之间具有线性相关关系的是__________．答案：②解析：由散点图易知②中变量具有线性相关关系．解：(1)画出散点图如图．(2)由图知，两变量间存在相关关系．(1)两个变量x 和y 相关关系的确定方法：①散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断； ②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断； ③经验法：借助积累的经验进行分析判断．(2)判断两个变量x 和y 之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．二、求线性回归方程求出y 关于x 的回归方程．思路分析：先画出散点图，判断它们是否具有相关关系，再根据题目中提供的数据先计算出x ，y ，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx i y i ，代入公式求a ，b 的值即可．解：散点图如图所示．设所求回归方程为：y ＝bx ＋a ，则由上表可得b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝112.3－5×4×590－5×42＝12.310＝1.23， a ＝y －b x ＝5－1.23×4＝0.08.∴回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08.1答案：y ^＝0.56x ＋997.4解析：利用公式b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝0.56，a ＝y －b x ＝997.4，故回归直线的方程为y ^＝0.56x ＋997.4.2解：x ＝706＝353，y ＝2306＝1153， x 21＋x 22＋…＋x 26＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1 286，x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x 6y 6＝－20＋96＋340＋13×38＋18×50＋26×64＝3 474.b ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x 6y 6－6x y x 21＋x 22＋…＋x 26－6x2＝3 474－6×353×11531 286－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫3532≈1.68，a ＝y －b x ≈18.73.即所求得的线性回归方程为y ^＝1.68x ＋18.73. (1)用公式求回归方程的一般步骤是：①列表x i ，y i ，x i y i ；②计算x ，y ，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx i y i ；③代入公式计算b ，a 的值； ④写出回归方程．(2)求回归方程时应注意的问题： ①知道x 与y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验；否则，应首先进行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的；②用公式计算a ，b 的值时，要先算出b ，然后才能算出a ；③使用计算器能大大简化手工的计算，迅速得出正确的结果，但输入数据时要细心，不能出任何差错；不同计算器的按键方式可能不同，可参考计算器的使用说明书进行相关计算．三、线性回归方程的应用(1)(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？解：(1)散点图如下：(2)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大．图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长．1．经调查知，某品牌汽车的销售量y (辆)与广告费用x (万元)之间的线性回归方程为y ^＝250＋4x .当广告费用为30万元时，预测汽车销售量为__________辆．答案：370解析：当x ＝30时，y ^＝250＋4×30＝370.2根据上表可得回归方程y ＝bx ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为__________．答案：65.5万元解析：∵a ＝y －b x ＝49＋26＋39＋544－9.4×4＋2＋3＋54＝9.1，∴回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.令x ＝6，得y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．3．(2012福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(Ⅰ)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80，所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25，当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．(1)回归分析是数理统计中最常见的统计方法之一，它研究的是一个变量与另一个变量的相关关系．应用线性回归方程解实际问题时，一般是先借助于散点图，直观地看出两个变量之间是否具有相关关系，再利用最小平方法思想建立线性回归方程，从而定量地描述两个变量的关系．回归系数a ，b 刻画了两个变量之间的变化趋势．利用回归直线方程，可以对实际问题进行预测．由一个变量的变化推测另一个变量的变化，从而为决策者提供依据．(2)关于回归分析的几个问题：①回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性； ②对于相关关系细节的分析，我们可以通过作统计图表来使我们对两个变量之间的关系有一个直观的印象和判断.当然还可以通过另一种图——散点图来分析两个变量间的关系.1．给出x ，y则根据数据可以判断x 和有关系”)答案：确定关系解析：由表中数据可以得到x ，y 之间是一种函数关系：y ＝2x ＋1.所以x 和y 是一种确定的关系，也即函数关系．2．下列关系中是相关关系的是__________． ①学生的学习态度和学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系． 答案：①②解析：根据相关性的定义可知①②为相关关系，③④不具有相关关系． 3．下列分别是3对变量的散点图，则具有相关关系的是__________．答案：①③解析：由散点图知①③中的点大致分布在一条直线附近．4．(2012湖南高考改编)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的个数是__________．①y 与x 具有正的线性相关关系；②回归直线过样本点的中心(x ，y )；③若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ； ④若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg. 答案：①解析：④中，若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重约为：0.85×170－85.71＝58.79 kg.故④不正确．5．以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格y (单位：万元)和房屋面积x (单位：m 2)(1)(2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系．如果有相关关系，是正相关还是负相关？解：(1)数据对应的散点图如图所示．(2)通过以上数据对应的散点图可以判断，新房屋的销售价格和房屋的面积之间具有线性相关关系，且是正相关．。