§1 一维无限深势阱 §2 线性谐振子 §3 势垒贯穿
§1 §2 §3
§1 一维无限深势阱
l l l l
（一）一维运动 （二）一维无限深势阱 （三）宇称 （四）讨论
（一） 一维运动
中运动时， 当粒子在势场 V(x,y,z) 中运动时， 方程为： 其Schrödinger 方程为：
ˆ ψ = [ − h ∇ 2 + V ( x , y , z )]ψ ( x , y , z ) = E ψ ( x , y , z ) H 2µ 此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： 此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 形式，则 形式， Schrödinger 方程可在直角坐标系中分离变量。 方程可在直角坐标系中分离变量。
2
设：V ( x, y, z) = V1 ( x) + V2 ( y) + V3 ( z)
令：ψ ( x, y, z) = X ( x)Y ( y)Z ( z)
h2 2 ∇ +V ( x, y, z)ψ ( x, y, z) = Eψ ( x, y, z) − 2µ
h2 d 2 d2 d2 − dx 2 + dy 2 + dz 2 X ( x)Y ( y ) Z ( z ) + 2µ [V1 ( x) + V2 ( y) + V3 ( z )]ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z )
{
Asin(−αa+δ )=0 Asin(αa+δ )=0
(1) ( 2)
Asin(−αa )cosδ + Acos(αa )sinδ =0 Asin(αa )cosδ + Acos(αa )sinδ =0
(1)+(2) (2)-(1)
cos(αa ) sin δ = 0 sin(αa ) cos δ = 0
( 3) (4)
sinδ =0 cosαa=0 cosδ =0 sinαa=0
两种情况： 两种情况：
I.
sin δ = 0 ⇒ δ = 0
由 （ 4） 式
则
cos δ = 1
sin αa = 0
( n = 0, ±1, ±2, L)
αa = nπ
nπ α = a
αa = nπ
2
h2 d 2 h2 d 2 YZ − X + V1 ( x )ψ + XZ − Y + V2 ( y )ψ + 2 2 2 µ dx 2 µ dy h2 d 2 XY − Z + V3 ( z )ψ = Eψ ( x, y , z ) 2 2 µ dz
等式两边除以 ψ（x , y , z ) = X ( x )Y ( y ) Z ( z )
1 X 1 h2 d 2 h2 d 2 − 2µ dx 2 X + V1 ( x) + Y − 2µ dy 2 Y + V2 ( y) +
结果，最后得： 综合 I 、II 结果，最后得： 2 2 2 m π h Em = 2 8µa
ψ ψ = ψ ψ
I
II
ψ
m
I
II
= 0 mπ x = A sin 2a = ψ III = 0 mπ x = A cos 2a
III
=ψ
对应 m = 2 n
ψ
ψ
I
I
d2 ψ dx 2 d2 ψ 2 dx d2 ψ 2 dx
I
− β 2ψ + α 2ψ
I
= 0 = 0 = 0
II
II
III
− β 2ψ
β2 =
III
= A sin( α x + δ ) = B 1e
βx
− βx
= C 1e βx
β → ∞
I
2µ (V − E ) h2
d2 2µ I x ≤ −a ψ ( x ) − 2 (V − E )ψ I ( x ) = 0 2 dx h α2 d2 2µ II −a< x<a ψ ( x ) + 2 E ψ II ( x ) = 0 2 dx h β2 d2 2µ III x≥a ψ ( x ) − 2 (V − E )ψ III ( x ) = 0 2 dx h
βx
+ C 2e
− βx
= A sin( α x + δ ) = B 1e
βx
+ B 2e
− βx
∞
V(x)
∞
I -a
ψ ψ ψ
I II III
II 0
= C 1e
βx
III a
+ C 2e − βx + B 2e
1 单值； 单值； 2 有限：当x 有限： →-∞，ψ有限 ， 有限 条件要求C 条件要求 2=0
I
II
III
-a
0
a
ψ (−a) = ψ (−a)
I II
→
→
Asin(−αa + δ ) = 0,
Asin( a + δ ) = 0 . α
ψ II (a) = ψ III (a)
•
l
l l
2）波函数导数连续： ）波函数导数连续： 在边界 x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。 ，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。 这是因为： 这是因为： 若ψI(-a)’ = ψII(-a)’， 则有，0 = A αcos(-αa + δ) ， 则有， 与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-αa + δ)= 0 矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无 矛盾，二者不能同时成立。 穷跳跃处不连续。 穷跳跃处不连续。
第三章 一维定态问题
本章要求
1 掌握求解一维定态 掌握求解一维定态Schrödinger 方程的 基本步骤; 基本步骤 2 掌握能量量子化 束缚态 宇称 隧道效应 掌握能量量子化,束缚态 宇称,隧道效应 束缚态,宇称 隧道效应, 零点能,分立谱 连续谱,厄密多项式等概 分立谱,连续谱 零点能 分立谱 连续谱 厄密多项式等概 念;
ψ
= 0
III
= 0
I = 0, ψ II ψ = Asin(αx + δ ), III ψ = 0.
(3) 使用标准条件定解： 使用标准条件定解：
I = 0, ψ II ψ = Asin(αx + δ ), III = 0. ψ
V(x)
1）波函数连续： ）波函数连续：
( n = 0,±1,±2, L)
讨论
E0 = 0 α 当n = 0时： = 0， II 0 = Asin 0 x = 0 ψ
状态不存在
ψ 当n = ±k时： ±k
II
kπ ± kπ x = ± Asin x = Asin a a
只取正整数， 所以 n 只取正整数，即
描写同一状态
( n = 1,2, L)
nπ α = a
( n = 0, ±1, ±2, L)
因
2µ α = 2E h
h h 2 E = α = 2µ 2µ
II
2 2
所以
nπ a
2
=
n2π 2h2 2µa
2
= En
ψn
nπ x = Asinαx = Asin a
En =
n2π 2h2 2µa
2
ψn
II
nπ x = Asin a
h2 d 2 h2 d 2 YZ − X + V1 ( x )ψ + XZ − Y + V2 ( y )ψ + 2 2 2 µ dx 2 µ dy h2 d 2 XY − Z + V3 ( z )ψ = Eψ ( x, y , z ) 2 2 µ dz
则
sin δ = 1
cos αa = 0 cos(αa ) sin δ = 0
1 ( n+ )π 2 α = a
2 2
( 3)
1 αa = ( n + )π 2
所以 En
( n = 0, ±1, ±2, L)
2
h 2 α = 2µ
1 ( n+ )π h 2 = 2µ a
( − a ) = lim C 1 e − β a = 0
（3）使用波函数标准条件 ）
从物理考虑， 从物理考虑，粒子不能透过无穷 高的势壁。 高的势壁。根据波函数的统计解 释，要求在阱壁上和阱壁外波函 数为零， 数为零，特别是 ψ(-a) = ψ(a) = 0。 。
所以
ψ
同理： 同理：
则解为： 则解为：
于是： 于是：
I = ψ III = 0 ψ ψ n = II nπ x ψ n = Asin a
n = 1,2,L
或
2nπ x = Asin 2a
En =
( 2n) π h
2
2 2
8µa 2
cosδ =0 sinαa=0 II .
由（3）式 ）
π cos δ = 0 ⇒ δ = 2
2
⇒
1 A= a
（取实数） 取实数）
定态波函数为
Ψn ( x, t ) = ψ n ( x)e
m ≠ 0 的偶数
对应 m = 2n+1
m 奇数。 奇数。
