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在什么情况下两个算符相互对易呢?
ˆ和B ˆ 有不止一个共同本征函数,且这些本 若线性厄米算符 A 征函数构成完备系,则 ˆ 和 ˆ 对易. A B
证明:
ˆ A n n n ˆ B
n
n n
假定这些共同本征函数构成分立谱本 征函数系 n
任意一个波函数 均可展开为:
ˆ 的本征函数，它们所属的本征 证：设 1 , 2 , n 是厄米算符 A 值 , , 1 2 n 都不相等，要证明当 k 时，有 l k d 0
ˆ 已知： A k k k ˆ A
(3.1) (3.2)
当 k 时，k
因 A 是厄米算符，它的本征值是实数，即 k k ˆ ) (3.3) (A k k k k k
以 右乘上式（3.3.3)两边，并对变量整个区域积分：
ˆ ) d d ( A k k k
(3.4)
以 k 左乘式（3.3.2)两边，并对变量整个区域积分：
1 ( 2 L )3 1 V A
周期性条件:
( L) ( L)
p ( L) p ( L)
x x
e e
i px L 2i px L
e 1
i px L
写成三角形式:
2 px L 2 px L sin 0, cos 0 n 0,1,2
ˆ dr A A ( A ) dr ˆ ( Adr )
A
由于力学量的观测值应为实数,一般地力学量在任何状态下的 观测量就是在该状态下的平均值
2. 厄米算符的本征值为实数
厄米算符在本征态中的平均值就等于本征值。
ˆ 得： 证： 由本征方程 A
ˆ 满足: 若算符 A
ˆ (c c ) c A ˆ c A ˆ A 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ 是线性算符 其中， 1 , 2是任意两函数， c1 , c2 是两个常数，则 A
2. 厄米算符
ˆ 满足: 对于任意两个函数 和 ，如果算符 A
ˆ ˆ ] dx A dx [ A
L p ( x) p ( x)dx
x x
L
L
Ae
2
L
i px x
Ae
i px x
dx
A 1 2L
A (2 L)
p (r ) p (r )dv L
L
对于三维平面波
L
Ae
2
L
i p r
Ae
i p r
dxdydz
A (2 L) 3
r r (r ) dr (r )r (r )dr
1 (2)
3 2
c ( p, t )
(r, t )e
i ( Et pr )
ˆ c( p, t )dp dr , p c ( p, t ) p
) (r , t )dr x p y (r , t )(i ) (r , t )dr y p z (r , t )(i ) (r , t )dr z p x (r , t )( i
二、 动量算符 1. 对易关系
ˆ i p
ˆ p i x x ˆ p i y y ˆ p i z z
a 它的各个分量之间是对易的
ˆx, p ˆx] [p ˆx, p ˆy] [p ˆx, p ˆz] 0 [p ˆy, p ˆx] [p ˆy, p ˆy] [p ˆy, p ˆz] 0 [p ˆz, p ˆx] [p ˆz, p ˆy] [p ˆz, p ˆz] 0 [p ˆ, p ˆx] [p ˆ, p ˆy] [p ˆ, p ˆz] 0 [p
一、 算符的对易关系
ˆ,B ˆB ˆ 之差为: ˆ 是两个算符,记 A ˆ和 B ˆA A
ˆ, B ˆB ˆ ˆ] A ˆB ˆA [A
上式称为算符 A ˆ和 B ˆ 的对易关系.
ˆ和B ˆ和 B ˆ 的对易关系为零,则称算符 A ˆ 对易,此时之 若算符 A 积满足交换律
ˆB ˆ ˆB ˆA A
利用对易关系的定义,存在下列恒等式
ˆ, B ˆ] ˆ ] [ B ˆ, A [A ˆ, A ˆ] 0 [A ˆ , c] 0 [A
(C为常数)
ˆ, B ˆ] [A ˆ, B ˆ,C ˆ] ˆ C ˆ][A [A ˆ, B ˆ] B ˆ,C ˆ][A ˆ, B ˆ ˆC ˆ[ A ˆ ]C [A ˆB ˆ] A ˆ[ B ˆ][A ˆ,C ˆ ]B ˆ,C ˆ,C ˆ [A
2 px L 2n
px n L
三、 能量算符 1. 动能算符
2 2 ˆ p ˆ T 2 2m 2m
2 2 2 其中, 2 2 2 2 是拉普拉斯算符,用这一算 x y z
三、 算符的本征值方程，本征值和本征函数
ˆ 作用于一个函数 ，结果等于 乘以一个常数 如果算符 A
ˆ A
ˆ 的本征值，为属于 ˆ 的 的本征函数，方程为算符 A 则称 为 A 本征值方程。
§3-3 厄米算符的本征值、本征函数 1. 厄米算符的平均值是实数
反过来，在任何状态下的平均值为实数的算符 必为厄米算符。
b 位置算符和动量算符之间的对易关系
ˆ x ] [ y, p ˆ y ] [ z, p ˆ z ] i [ x, p ˆ y ] [ x, p ˆz] 0 [ x, p ˆ x ] [ y, p ˆz] 0 [ y, p ˆ x ] [ z, p ˆy] 0 [ z, p
对于每一个表示成粒子的位置和动量的函数的力学量 A(r , p) , 对应着一个量子力学的算符 A(r ,i) ,它是用 i 代替p而得 到的,在波函数表示的状态中,力学量A的平均值为:
ˆ (r , t )dr A (r , t )A
物理意义:
ˆ 的所有测量值的平均 ; 当体系处于 态时, A 就等于对于 A
cnn
n
ˆB ˆ ) c ( A ˆB ˆ ) ˆB ˆA ˆ ˆ (A B A n n
n
cn (n n n n )n
n
0
所以
ˆ, B ˆB ˆ ˆ] A ˆB ˆA [A
逆定理:如果两个算符对易,则这两个算符有组成完全系的共 同本征函数.
ˆ A d k k d
(3.5)
由厄米算符定义得:
ˆ ) d d ( A k k
即式(4.3.4)和(4.3.6)两式相减得:
(3.6)
(k ) k d 0
(3.7)
ˆ 的一个本征态,则 A就等于对应的本征值; 如果 为 A
如果可以在经典力学与量子力学间建立对应关系,那么 与经典力学量对应的便是量子力学中的力学量的平均 值;
§3-2 算符的基本性质
算符就是代表某种运算的符号,把算符 F 作用到某个函数 u 上, 就是表示对函数 u进行某种运算,结果将会得出一个新的函数 ,不管这种具体运算是什么,都可以把它抽象地表示为:
2. 动量算符的本征值和本征函数
本征值方程
ˆ p (r ) p p (r ) p
ˆ x p (r ) p x p (r ) p ˆ y p (r ) p y p (r ) p ˆ z p (r ) p z p (r ) p
解为:
p (r ) Ae
2
i ( p r )
因 k ,则:
k d 0
(3.8)
设 k 已归一化
k k d 1
k d k
(3.9) (3.10)
1 k 0
k l k l
4. 厄米算符本征函数系具备完备性
设 n ( x) 是厄米算符的本征函数系,n即可以是连续也可以 是分立的,可以证明,任何与 n ( x)满足同样边界条件且在同样区 域内定义的波函数 ( x) 可按 n ( x) 展开.
结论:在状态 (r , t ) 中求动量分量 px , p y , pz 的平均值,只需要 (r , t ) 以相应的微算符 i x ,i y ,i z ,作用在 (r , t ) 上,然后乘以 ,再对全空间积分.
ˆ i p (r , t )(i) (r , t )dr , p ˆ (r , t )dr p (r , t ) p
第三章 量子力学中的力学量
力学量的平均值
算符的基本性质
厄米算符的本征值、本征函数
力学量算符
氢原子
测不准关系
§3-1 力学量的平均值
用算符表示力学量是由于量子体系所固有的波粒二象性所要求 的,表示量子态的波函数是一种几率波,即使在一确定量子态中 也并非各种力学量都有完全确定值,而表现为不同数值的统计 分布.从力学量的平均值的表示式出发,来说明引入算符的必要 2 性.
p (r ) p (r ) p (r )
归一化:
p
(r ) p (r )dr A解决这个问题有两个方法:
a 箱归一化,b 归一化为 函数的方法
3. 箱归一化
实际上是把本征值组成连续谱时本征函数的归一化问题变成分 立谱情况下的归一化问题. 对于一维平面波
2. 算符之积
ˆB ˆ ) ,定义为: ˆ和 B ˆ 之积 ( A 算符 A
ˆB ˆ (B ˆ ) A ˆ ) (A
算符之积与算符的前后次序有关,不满足交换律
