电磁场与电磁波 第五章答案

第五章 恒定磁场重点和难点该章重点及处理方法与静电场类似。

但是磁感应强度的定义需要详细介绍，尤其要强调磁场与运动电荷之间没有能量交换，电流元受到的磁场力垂直于电流的流动方向。

说明磁导率与介电常数不同，磁导率可以小于1，而且大多数媒质的磁导率接近1。

讲解恒定磁场时，应与静电场进行对比。

例如，静电场是无散场，而恒定磁场是无旋场。

在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，而磁感应强度的法向分量是连续的。

重要公式磁感应强度定义：根据运动电荷受力： B v F ⨯=q根据电流元受力： B l F ⨯=d I 根据电流环受力： B m T ⨯=真空中恒定磁场方程： 积分形式： I ⎰=⋅ll B 0d μ⎰=⋅SS B 0d微分形式：J B 0 μ=⨯∇0=⋅∇B已知电流分布求解电场强度：1，A B ⨯∇=V V ''-'=⎰'d )(4)( 0 r r r J r A πμ2，V V ''-'-⨯'=⎰'d )()( 4)(30 r r r r r J r B πμ 毕奥─萨伐定律。

3，I ⎰=⋅ll B 0d μ安培环路定律。

面电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为S ''-'=⎰'d )(4)(0 r r r J r A S S πμS ''-'-⨯'=⎰'d )()(4)( 30 r r r r r J r B S S πμ 线电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为⎰''-'=l r r l r A d 4)(0I πμ⎰''-'-⨯'=l r r r r l r B 30 )(d 4)(I πμ矢量磁位满足的微分方程：J A 0 2μ-=∇无源区中标量磁位满足的微分方程： 0 2=∇m ϕ 媒质中恒定磁场方程： 积分形式： I l =⋅⎰l H d⎰=⋅SS B 0d微分形式：J H =⨯∇ 0=⋅∇B磁性能均匀线性各向同性的媒质：场方程积分形式：⎰=⋅lI d μl B⎰=⋅BS H 0d场方程微分形式： J B μ=⨯∇ 0=⋅∇H矢量磁位微分方程：J A 2μ-=∇矢量磁位微分方程的解： V V ''-'=⎰'d )(4)(r r r J r A πμ 恒定磁场边界条件：1，t t H H 21=。

对于各向同性的线性媒质，2211μμttB B =2，n n B B 21=。

对于各向同性的线性媒质，n n H H 22 11 μμ=题 解5-1 在均匀线性各向同性的非磁性导电媒质（即0μμ=）中，当存在恒定电流时，试证磁感应强度应满足拉普拉斯方程，即02=∇B 。

证 在均匀线性各向同性的非磁性导电媒质中，由H B 0μ=及J H =⨯∇，得J B 0μ=⨯∇对等式两边同时取旋度，得J Β0μ⨯∇=⨯∇⨯∇ J Β⨯∇=⨯∇⨯∇0μ但是0=⨯∇J ，考虑到恒等式()A A A 2∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，得()0=∇⋅∇-⋅∇∇B B又知0=⋅∇B ，由上式求得 02=∇B 。

5-2 设两个半径相等的同轴电流环沿x 轴放置，如习题图5-2所示。

试证在中点P 处，磁感应强度沿x 轴的变 化率等于零，即0d d d d 22==xx BB解 设电流环的半径为a ，为了求解方便，将原题中坐标轴x 换为坐标轴z ，如图示。

那么，中点P 的坐标为（z ，0，0），电流环①位于⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a z 处，电流环②位于⎪⎭⎫ ⎝⎛+2a z 处。

根据毕奥—沙伐定律，求得电流环①在P 点产生的磁感应强度为()⎰'-'-⨯=13101d 4l I r r r r l B πμ取圆柱坐标系，则φφd d 1Ia I e l =，z z e r =，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+='2r z r z r e e r ，因此⎰⎰+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---⨯=πφπφφπμφπμ2030203122d 4 22d 4rr r r Ir r z r z r z r z Ir zr zr z r z z r z e e e e e e e e e e e e B同理可得，电流环②在P 点产生的磁感应强度为⎰--⎪⎭⎫⎝⎛--⨯=πφφπμ2030222d 4rrr r Ir r z r z e e e e e B习题图5-2那么，P 点合成磁感应强度为21B B B +=由于1B 和2B 均与坐标变量z 无关，因此P 点的磁感应强度沿z 轴的变化率为零，即0d d d d 22==zz BB 5-3 已知边长为a 的等边三角 形回路电流为I ，周围媒质为 真空，如习题图5-3所示。

试求 回路中心点的磁感应强度。

解 取直角坐标系，令三角形的AB 边沿x 轴，中心点P 位于y 轴上，电流方向如图示。

由毕奥—沙伐定律，求得AB 段线电流在P 点产生的磁感应强度为()⎰'-'-⨯=lI 31d 4r r r r l B πμ式中x I I x d d e l -=，a y63e r =，x x e r ='，即 a I xa x a x I z a a x y x y x πμπμ2336363d 4022301e e e e e e B -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=⎰- 由于轴对称关系，可知BC 段及AC 段电流在P 点产生的磁感应强度与AB 段产生的磁感应强度相等。

因此，P 点的磁感应强度为aIzπμ239301e B B -== 5-4 已知无限长导体圆柱半径为a ，通过的电流为I ，且电流均匀分布，试求柱内外的磁感应强度。

a习题图5-3解 建立圆柱坐标系，令圆柱的轴线为Z 轴。

那么，由安培环路定律得知，在圆柱内线积分仅包围的部分电流为I ar I 221ππ=，又φφd d r e l =，则I a r l⎰=⋅22d ππl H 22a rI H πφ=⇒ 即202arI πμφe B = 在圆柱外，线积分包围全部电流I ，那么I l⎰=⋅l H d rI H πφ2=⇒ 即rIπμφ20e B = 5-5 已知无限长导体圆柱的半径为a ，其内部存在的圆柱空腔半径为b ，导体圆柱的轴线与空腔圆柱的轴线之间的间距为c ，如习题图5-5（a ）所示。

若导体中均匀分布的电流密度为0J z e J =，试求空腔中的磁感应强度。

解 柱内空腔可以认为存在一个均匀分布的等值反向电流，抵消了原有的电流而形成的。

那么，利用叠加原理和安培环路定律即可求解。

已知半径为a ，电流密度为0J 的载流圆柱在柱内半径r 处产生的磁场强度H 1为习题图5-5(a ) 习题图5-5(b )X021d J r lπ⎰=⋅l H 求得201r J H =φ，或写为矢量形式 21r J H ⨯= 对应的磁感应强度为 21rJ B ⨯=μ 同理可得半径为b ，电流密度为J -的载流圆柱在柱内产生的磁场强度为22r J H '⨯-=对应的磁感应强度为202r J B '⨯-=μ 上式中r r ',的方向及位置如习题图5-5（b ）示。

因此，空腔内总的磁感应强度为21B B B +=()r r J'-⨯=20μ200cJ x z e e ⨯=μ200c J y μe =5-6 两条半无限长直导线与一个半圆环导线形成一个电流回路，如习题图5-6所示。

若圆环半径r =10cm ，电流I = 5A ，试求半圆环圆心处的磁感应强度。

解 根据毕奥—沙伐定律，载流导线产生的磁场强度为()⎰'-'-⨯=lI 3d 41r r r r l H π设半圆环圆心为坐标原点，两直导线平行于X 轴，如图所示。

那么，对于半无限长线段①x I I x d d e l -=，0=r ，r x y x e e r +-='因此，在圆心处产生的磁场强度为习题图5-6()()rI rxr x x I zy x x ππ4d 41023221e e e e H =+-⨯-=⎰∞- 同理线段③在圆心处产生的磁场强度为rI zπ43e H =对于半圆形线段②φφd d Ir I e l =, 0=r , r r e r ='因此，它在半圆心处产生的磁场强度为()rI r r Ir zr 40d 412232e e e H ⎰-=-⨯=ππφφπ那么，半圆中心处总的磁感应强度为()3210H H H B ++=μ)T (107.2512460-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πμr I ze 5-7 若在a y -=处放置一根无限长线电流I z e ，在y = a 处放置另一根无限长线电流I x e ，如习题图5-7所示。

试 求坐标原点处的磁感应强度。

解 根据无限长电流产生的磁场强度公式，求得位于a y -=处的无限长线电流I z e 在原点产生的磁场为aI xπ21e H -=位于a y =处的无限长线电流I x e 产生的磁场为YZ -a aI 0IX习题图5-7aI zπ22e H -=因此，坐标原点处总磁感应强度为()210H H B +=μ()x z aIe e +-=πμ20 5-8 已知宽度为W 的带形电流的面密度s x J e J s =，位于z = 0平面内，如习题图5-8所示。

试求),0,0(d P 处的磁感应强习题图5-8(a)习题图5-8(b)解 宽度为y d ，面密度为s J 的面电流可看作为线电流y J s d ，其在P 点产生的磁场为()()y d d y yJ z y s e e H --+=222d d π由对称性可知，z 方向的分量相互抵消，如习题图5-8（b ） 所示，则()y ws dy y dJ e H ⎰+-=20222d 2πd wJ s y 2arctan πe -= 因此，在()d P ,0,0处的磁感应强度为dw J s y2arctan00πμμe H B -== 5-9 已知电流环半径为a ，yY电流为I ，电流环位于z = 0 平面，如习题图5-9所示。

试求),0,0(h P 处的磁感应强度。

解 由毕奥—沙伐定律得⎰⨯=l rrI 24d πe l H 因为l d 处处与r e 正交，则φd d a r =⨯e l 即⎰⎰=⨯=224d 4d rIa r I H r πφπe l 由对称性可知，P 点磁场强度只有z H 分量，所以()⎰+=ππφ20232224d ha Ia H z ()232222ha Ia +=因此，()h P ,0,0处的磁感应强度为()23222002ha Ia z+==μμe H B5-10 当半径为a 的均匀带电圆盘的电荷面密度为s ρ，若圆盘绕其轴线以角速度ω旋转，试求轴线上任一点磁感应强度。