电磁场与电磁波(第三版)课后答案第1章

ˆ y ˆ 2 yz z ˆ 的旋度。 1.33 计算矢量场 F xxy
解：
ˆ x F x Fx
ˆ y y Fy
ˆ ˆ z x z x Fz xy
ˆ y y 2 yz
ˆ z z 1
ˆ 2 y xz ˆ x
ˆ yx ˆ ，计算 A A 。 1.35 已知 A xy
2
电磁场与电磁波习题答案 chapter 1～2
Copyright @ ShengQian
dE x, y
S dx '
1/ 2
ˆ x x ' yy ˆ x
1/ 2
2 2 2 0 x x ' y 2 x x ' y 2 ˆ x x ' yy ˆ S x dx ' 2 2 2 0 x x ' y ˆ a 2 S x ˆ x x ' yy dx ' E x, y 2 a 2 2 2 0 x x ' y a 2 ˆ ˆ a2 S y x x x' y S dx ' dx ' 2 2 2 a 2 a 2 2 0 2 0 x x ' y x x ' y 2
D 0 E 0
当r a时
Sa D1n D2 n r a 0
当r b时
C 0C a a
Sb D1n D2 n r b 0
0C C b b
分析，本 题求解面电荷分布时， 法线方向和 D1 , D2 关系不要弄 混，这里公式

1电磁场与电磁波第⼀章习题答案第⼀章习题解答1.2给定三个⽮量A ，B ，C ：A =x a +2y a -3z aB = -4y a +z aC =5x a -2z a求：⑴⽮量A 的单位⽮量A a ；⑵⽮量A 和B 的夹⾓AB θ；⑶A ·B 和A ?B ⑷A ·（B ?C ）和（A ?B ）·C ；⑸A ?（B ?C ）和（A ?B ）?C解：⑴A a =A A（x a +2y a -3z a ）⑵cos AB θ =A ·B /A BAB θ=135.5o⑶A ·B =-11, A ?B =-10x a -y a -4z a⑷A ·（B ?C ）=-42（A ?B ）·C =-42⑸A ?（B ?C ）=55x a -44y a -11z a （A ?B ）?C =2x a -40y a +5z a1.3有⼀个⼆维⽮量场F(r) =x a （-y ）+y a (x)，求其⽮量线⽅程，并定性画出该⽮量场图形。

解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2y =c1.6求数量场ψ=ln （2x +2y +2z ）通过点P （1，2，3）的等值⾯⽅程。

解：等值⾯⽅程为ln （2x +2y +2z ）=c则c=ln(1+4+9)=ln14那么2x +2y +2z =141.9求标量场ψ（x,y,z ）=62x 3y +z e 在点P （2，-1，0）的梯度。

解：由ψ?=x a x ψ??+y a y ψ??+z a z ψ??=12x 3y x a +182x 2y y a +z e z a 得ψ?=-24x a +72y a +z a1.10 在圆柱体2x +2y =9和平⾯x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表⾯为S:⑴求⽮量场A 沿闭合曲⾯S 的通量，其中⽮量场的表达式为A =x a 32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x) ⑵验证散度定理。

第一章 矢量分析第一章 题 解1-1已知三个矢量分别为z y e e e A x 32-+=；z y e e e B x 23++=；z e e C x -=2。

试求①|| |,| |,|C B A ；②单位矢量c b a e e e , ,；③B A ⋅；④B A ⨯；⑤C B A ⨯⨯)(及B C A ⨯⨯)(；⑥B C A ⋅⨯)(及C B A ⋅⨯)(。

解 ① ()14321222222=-++=++=z y x A A A A② ()z y e e e A A A e x a 3214114-+===③ 1623-=-+=++=⋅z z y y x x B A B A B A B A④ z y zy zyxz y xz y B B B A A A e e e e e e e e e B A x x x5117213321--=-==⨯ ⑤ ()z y z y e e e e e e C B A x x 223111025117+-=---=⨯⨯因z y zy zyxz y xC C C A A A e e e e e e e e e C A x x x x x45212321---=--==⨯ 则()z y z y e e e e e e B C A x x 1386213452+--=---=⨯⨯⑥ ()()()152131532=⨯+⨯-+⨯-=⋅⨯B C A()()()1915027=-⨯-++⨯=⋅⨯C B A 。

1-2 已知0=z 平面内的位置矢量A 与X 轴的夹角为α，位置矢量B 与X 轴的夹角为β，试证证明 由于两矢量位于0=z 平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为已知()βα-=⋅cos B A B A ，求得 即βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-1-3 已知空间三角形的顶点坐标为)2 ,1 ,0(1-P ，)3 ,1 ,4(2-P 及)5 ,2 ,6(3P 。

第一章习题解答给定三个矢量、和如下：求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）在上的分量；（6）；（7）和；（8）和。

解（1）（2）（3）－11（4）由，得（5）在上的分量（6）（7）由于所以（8）三角形的三个顶点为、和。

（1）判断是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。

解（1）三个顶点、和的位置矢量分别为，，则，，由此可见故为一直角三角形。

（2）三角形的面积求点到点的距离矢量及的方向。

解，，则且与、、轴的夹角分别为给定两矢量和，求它们之间的夹角和在上的分量。

解与之间的夹角为在上的分量为给定两矢量和，求在上的分量。

解所以在上的分量为证明：如果和，则；解由，则有，即由于，于是得到故如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。

设为一已知矢量，而，和已知，试求。

解由，有故得在圆柱坐标中，一点的位置由定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。

解（1）在直角坐标系中、、故该点的直角坐标为。

（2）在球坐标系中、、故该点的球坐标为用球坐标表示的场，（1）求在直角坐标中点处的和；（2）求在直角坐标中点处与矢量构成的夹角。

解（1）在直角坐标中点处，，故（2）在直角坐标中点处，，所以故与构成的夹角为球坐标中两个点和定出两个位置矢量和。

证明和间夹角的余弦为解由得到一球面的半径为，球心在原点上，计算：的值。

解在由、和围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。

解在圆柱坐标系中所以又故有求（1）矢量的散度；（2）求对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求对此立方体表面的积分，验证散度定理。

解（1）（2）对中心在原点的一个单位立方体的积分为（3）对此立方体表面的积分故有计算矢量对一个球心在原点、半径为的球表面的积分，并求对球体积的积分。

解又在球坐标系中，，所以求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与轴和轴相重合。

再求对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

第一章习题解答【习题Ll解】【习题L2解】【习题L3解】(1)要使ALR,则须散度A-B=O所以从Z∙5=T+3H8c=0可得：3b+8c=l即只要满足3b÷8c=l就可以使向量二和向量了垂直。

(2)要使4||月，则须旋度AxB=O所以从可得b=-3,c=-8【习题1・4解】A=I2以+9e y+6z,B=CIeX+be y,因为3JLA,所以应有A∙3=0g∣j(12久+9e y+e z^∙^ae x+Z?Gy)=12Q+9/?=0(I)又因为同=1;所以病存=1；(2)一4由⑴，⑵解得Q=±《，"=+W【习题1.5解】由矢量积运算规则4_B=A?C a x a2a3=(%Z-+(a3x-a x z)e y+(01y-a2x)e7xyz =8名+纥5+BZeZ取一线元：dl=e x dx+e y dy+e z dz则有dx_dy_dz则矢量线所满足的微分方程为丁二万一=Hιy xy"z或写成=常数）a2z-a3ya3x-a l za↑y-a2x求解上面三个微分方程：可以直接求解方程，也可以采用以下方法d(qx)="(/丁)二d(%z)a i a2z-a i a3ya2a3x-a l a2za l a3y-a2a i xxdx_ydy_ZdZx(a2z-a3y)y{a3x-a x z)z(a l y-a2x)由（1）（2）式可得d(a2y)=k(a2a3x-aλa2z)ydy=k(a3xy-a}yz)(4)对⑶⑷分别求和所以矢量线方程为【习题L6解】矢量场A=(αxz+x2)eχ+Sy+孙2)0+{z-z1-∖-cxz-2xyz)e z假设A是一个无源场，则应有divΛ=O即：divA=V•4=空L+空L+空■=O∂x∂y∂z因为A=axz+X2∕ξ=by+xy1A z=z-z1+cxz-2xyzx所以有divA=az+2x+b+2xy+l-2z+cχ-2xy=X(2+c)÷z(a-2)+b+l=0 得a=2,b=-1,c=-2【习题1.7解】设矢径r的方向与柱面垂直，并且矢径不到柱面的距离相等（r=a）f∙ds-[rds=a∖ds=a2πah所以，①=S JSJS【习题1.8解】φ=3X2y i A=X2yze v+3xy2e^而rot((∕A)=Vx(以)=×A÷V^×A又=巴?十3?+再等=6xye x+3jc2e y ox-oy∂z所以+9x3y2e v-lSx2y3e v+6x3y2ze z=3X2y2[(9X一X2)e x-9yeγ+4xze z]【习题1.9解】所以&CyCzrotA=VXA=———∂x∂y∂zA x A y A(-1+1)&+(4/Z-4xz)e、+(2y-2y)&=6由于场H的旋度处处等于0,所以矢量场A为无旋场。

1.1 已知z y x B z y x A ˆ2ˆˆ;ˆˆ3ˆ2-+=-+=，求:(a) A 和B 的大小（模）； (b) A 和B 的单位矢量；(c)B A⋅；(d)B A⨯；(e)A 和B 之间的夹角；(f) A 在B 上的投影。

解：(a) A 和B 的大小74.314132222222==++=++==z y x A A A A A 45.26211222222==++=++==z y x B B B B B(b) A 和B 的单位矢量z y x z y x A A aˆ267.0ˆ802.0ˆ535.0)ˆˆ3ˆ2(74.31ˆ-+=-+==z y x z y x B B bˆ816.0ˆ408.0ˆ408.0)ˆ2ˆˆ(45.21ˆ-+=-+==(c)A B ⋅7232=++=++=⋅z z y y x x B A B A B A B A(d) B A ⨯z y xzy x B B B A A A z y xB A zyxz y xˆˆ3ˆ5211132ˆˆˆˆˆˆ-+-=--==⨯(e)A 和B 之间的夹角α根据αcos AB B A =⋅得764.0163.97cos ==⋅=AB B A α 019.40=α (f) A 在B 上的投影86.245.27ˆ==⋅=⋅B B A bA1.2如果矢量A 、B 和C 在同一平面，证明A ·(B ⨯C )=0。

证明：设矢量A 、B 和C 所在平面为xy 平面y A x A A y x ˆˆ+=y B xB B y x ˆˆ+=y C xC C y x ˆˆ+=z C B C B y C B C B x C B C B C C C B B B zy xC B x y y x z x x z y z z y zyxz y xˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆˆˆ-+-+-==⨯zC B C B x y y x ˆ)(-= 0ˆˆ)(0)(=⋅-⨯=⨯⋅z zC B C B C B A x y y x1.3已知A =ααsin ˆcos ˆy x+、B ββsin ˆcos ˆy x -=和C ββsin ˆcos ˆy x +=，证明这三个矢量都是单位矢量，且三个矢量是共面的。

况下，电场和磁场可以独立进行分析。（ √ ）
12、静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（ × ）
13、静电场是有源无旋场，恒定磁场是有旋无源场。（ √ ） 14、位移电流是一种假设，因此它不能象真实电流一样产生磁效应。（
×）
15、法拉第电磁感应定律反映了变化的磁场可以产生变化的电场。（ √ ） 16、物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不
D.有限差分法
6、对于静电场问题，仅满足给定的泊松方程和边界条件，
而形式上不同的两个解是不等价的。（ × ）
7、研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物 质内发生的静电现象。（ √ ）
8、泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ × ）
9、静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方 程的解都是唯一的。（ √ ）
是（ D ）。
A．镜像电荷是否对称
B．电位所满足的方程是否未改变
C．边界条件是否保持不变 D．同时选择B和C
5、静电场边值问题的求解，可归结为在给定边界条件下，对拉普拉斯
方程的求解，若边界形状为圆柱体，则宜适用( B )。
A.直角坐标中的分离变量法
B.圆柱坐标中的分离变量法
C.球坐标中的分离变量法
两个基本方程：
3、写出麦克斯韦方程组，并简述其物理意义。
答：麦克斯韦方程组的积分形式：
麦克斯韦方程组的微分形式：
每个方程的物理意义： (a) 安培环路定理，其物理意义为分布电流和时变电场均为磁
场的源。 (b) 法拉第电磁感应定律，表示时变磁场产生时变电场，即动
磁生电。 (c) 磁场高斯定理，表明磁场的无散性和磁通连续性。 (d)高斯定理，表示电荷为激发电场的源。

电磁场与电磁波第三版课后答案本文是对《电磁场与电磁波》第三版的课后习题答案的整理与解答。

本书是电磁场与电磁波领域的经典教材，其中的习题对于巩固和加深对电磁场与电磁波知识的理解非常重要。

以下是本文对第三版的习题答案的详细解析。

第一章电磁场基本概念1.1 电磁场基本概念习题答案：1.电磁场的基本概念是指在空间中存在着电场和磁场，它们相互作用产生相互关联的现象；它们是由带电粒子的运动而产生的，是物理学的基本概念之一。

2.宏观电荷位移是指电荷在物体内部的移动；它的存在使得物体表面或其周围的电场产生变化，从而产生an内部电磁场。

3.电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组，由四个方程组成：高斯定律、法拉第电磁感应定律、法拉第电磁感应定律的积分形式和安培环路定律。

1.2 矢量分析习题答案：1.根据题目所给的向量，求两个向量的点乘积：$\\vec{A}\\cdot\\vec{B}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{ z}$2.根据题目所给的向量，求两个向量的叉乘积：$\\vec{A}\\times\\vec{B}=(A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y})\\hat{i}+(A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z})\\hat{j}+(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x})\\hat{k}$3.定义标量和矢量场，然后利用高斯定理得出结论。

1.3 电场与静电场习题答案：1.静电场是指电场的源是静止电荷，不会随时间变化，不产生磁场。

2.在静电场中，高斯定律表示为：$\ abla \\cdot\\vec{E} = \\frac{1}{\\varepsilon_0}\\rho$，其中$\ abla\\cdot \\vec{E}$表示电场的散度，$\\varepsilon_0$表示真空介电常数，$\\rho$表示电荷密度。

3.电场的位移矢量$\\vec{D}$定义为$\\vec{D} =\\varepsilon_0 \\vec{E} + \\vec{P}$，其中$\\varepsilon_0$表示真空介电常数，$\\vec{E}$表示电场强度，$\\vec{P}$表示极化强度。

A A
=
A
=
1 49
（ ax +2 ay -3 az ）/
14
错误!未找到引用源。 cos = A · B / A B AB AB =135.5o
错误!未找到引用源。 A · B = 11, A B = 10 ax ay 4 az 错误!未找到引用源。 A ·（ B C ）= 42
（ A B ）· C = 42
=
27 2
A • ds =193
错误!未找到引用源。 •AdV = (6 6x)dV =6 ( cos 1)d d dz =193 V
V
V
即：
A • ds =
•AdV
s
V
1.13 求矢量 A = ax x+ ay x y2 沿圆周 x2 + y2 = a2 的线积分，再求 A 对此圆周所包围的表
（z z’）]
R = R3
即： ( 1 ) R
=
R R3
第二章 习题解答
2.5 试求半径为 a，带电量为 Q 的均匀带电球体的电场。 解：以带电球体的球心为球心，以 r 为半径，作一高斯面，
由高斯定理 D • dS =Q，及 D E 得， S
错误!未找到引用源。 r a 时，
由 D • dS = Q 4 r2 ，得
曲
曲
A• d S = (3y z)dxdz = 6
xoz
xoz
A• d S = 3x2dydz =0
yoz
yoz
上
A
•
d
S
+
下
A
•
d
S
=
上
(6
cos
)d
d

第一章 矢量场1.1 z y x C z y x B z y xA ˆˆˆ3;ˆ2ˆˆ;ˆˆ3ˆ2+-=-+=-+=ρρρ 求:(a) A ； (b) ∃b ； (c) ρρA B ⋅ ； (d) ρρB C ⨯ ； (e) ()ρρρA B C ⨯⨯ (f)()ρρρA B C ⨯⋅ 解：(a) 14132222222=++=++=z y x A A A A ; (b) )ˆ2ˆˆ(61ˆz y x BB b -+==ρρ( c) 7=⋅B A ρρ; (d) z y xC B ˆ4ˆ7ˆ---=⨯ρρ (e)z y x C B A ˆ4ˆ2ˆ2)(-+=⨯⨯ρρρ (f)19)(-=⋅⨯C B A ρρρ 1.2 ρA z =++2∃∃∃ρπϕ; ρB z =-+-∃∃∃ρϕ32 求:(a) A ； (b) ∃b ； (c) ρρA B ⋅ ； (d) ρρB A ⨯ ; (e) B A ρρ+解：(a) 25π+=A ;(b) )ˆ2ˆ3ˆ(141ˆz b -+-=ϕρ;(c) 43-=⋅πB A ρρ (d) z A B ˆ)6(ˆ3ˆ)23(+--+=⨯πϕρπρρ (e) z B A ˆˆ)3(ˆ-++=+ϕπρρρ 1.3 ρA r=+-22∃∃∃πθπϕ; ρB r =-∃∃πθ 求:(a) A ； (b) ∃b ； (c) ρρA B ⋅ ； (d) ρρB A ⨯ ; (e) ρρA B +解：(a) 254π+=A ； (b) )ˆˆ(11ˆ2θππ-+=r b ； (c) 22π-=⋅B A ρρ ； (d) ϕπθππˆ3ˆ2ˆ22++=⨯rA B ρρ ; (e) ϕπˆ2ˆ3-=+r B A ρρ 1.4 ρA x y z =+-∃∃∃2; ρB x y z =+-α∃∃∃3 当ρρA B ⊥时，求α。

解：当ρρA B ⊥时，ρρA B ⋅=0, 由此得 5-=α1.5 将直角坐标系中的矢量场ρρF x y z xF x y z y 12(,,)∃,(,,)∃==分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。

第一章 习题解答1.2给定三个矢量A ，B ，C ： A =x a +2y a -3z a B = -4y a +z aC =5x a -2za求：错误!未找到引用源。

矢量A 的单位矢量A a ； 错误!未找到引用源。

矢量A 和B 的夹角AB θ； 错误!未找到引用源。

A ·B 和A ⨯B错误!未找到引用源。

A ·（B ⨯C ）和（A ⨯B ）·C ；错误!未找到引用源。

A ⨯（B ⨯C ）和（A ⨯B ）⨯C解：错误!未找到引用源。

A a =A A=（x a +2y a -3z a ） 错误!未找到引用源。

cos AB θ=A ·B /A BAB θ=135.5o错误!未找到引用源。

A ·B =-11, A ⨯B =-10x a -y a -4z a 错误!未找到引用源。

A ·（B ⨯C ）=-42（A ⨯B ）·C =-42错误!未找到引用源。

A ⨯（B ⨯C ）=55x a -44y a -11z a（A ⨯B ）⨯C =2x a -40y a +5z a1.3有一个二维矢量场F(r)=x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。

解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2y =c1.6求数量场ψ=ln （2x +2y +2z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。

解：等值面方程为ln （2x +2y +2z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2x +2y +2z =141.9求标量场ψ（x,y,z ）=62x 3y +ze 在点P （2，-1，0）的梯度。

解：由ψ∇=x a x ψ∂∂+y a y ψ∂∂+z a zψ∂∂=12x 3y x a +182x 2y y a +ze z a 得ψ∇=-24x a +72y a +z a1.10 在圆柱体2x +2y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: 错误!未找到引用源。

第一章习题解答【习题1.1解】222222222222222222222222222222222222cos cos cos cos cos cos 1xx x y z yx y z z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z 矢径r 与轴正向的夹角为，则同理，矢径r 与y 轴正向的夹角为，则矢径r 与z 轴正向的夹角为，则可得从而得证a a b b g g a b g =++=++=++++=++++++++++==++【习题1.2解】924331329(243)54(9)(243)236335x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z A B e e e e e e e e e A B e e e e e e e e e A B e e e e e e A B +=--+-+=-+=----+=---∙=--∙-+=+-=⨯（）（）－（）(9)(243)19124331514x y z x y z x y z x y ze e e e e e e e e e e e =--⨯-+=---=--+【习题1.3解】已知,38,x y z x y z A e be ce B e e e =++=-++ （1）要使A B ⊥，则须散度 0A B =所以从 1380A B b c =-++=可得：381b c += 即只要满足3b+8c=1就可以使向量和向量垂直。

（2）要使A B ，则须旋度 0A B ⨯= 所以从1(83)(8)(3)0138xy zx y z e e e A B b c b c e c e b e ⨯==--+++=- 可得 b=-3，c=-8 【习题1.4解】已知129x y z A e e e =++，x y B ae be =+，因为B A ⊥，所以应有0A B ∙= 即()()1291290xy z x y ee e ae be a b ++∙+=+= ⑴又因为 1B =; 所以221a b +=； ⑵由⑴，⑵ 解得 34,55a b =±=【习题1.5解】由矢量积运算规则123233112()()()x y zx y z x x y y z ze e e A Ca a a a z a y e a x a z e a y a x e xyzB e B e B e B =?=-+-+-=++取一线元：x y z dl e dx e dy e dz =++则有xy z xyz e e e dlB B B dx dy dzB ?=则矢量线所满足的微分方程为 x y zd x d y d z B B B == 或写成233112()dx dy dzk a z a y a x a z a y a x==---＝常数 求解上面三个微分方程：可以直接求解方程，也可以采用下列方法k xa a y a a z a d z a a x a a y a d y a a z a a x a d =-=-=-323132132231211)()()( （1）k x a y a z zdzz a x a y ydy y a z a x xdx =-=-=-)()()(211332 （2）由（1）（2）式可得)()(31211y a a x a a k x a d -=)()(21322z a a x a a k y a d -= （3） )()(32313x a a y a a k z a d -= )(32xy a xz a k xdx -=)(13yz a xy a k ydy -= （4）)(21xz a yz a k zdz -=对（3）（4）分别求和0)()()(321=++z a d y a d x a d 0)(321=++z a y a x a d0=++zdz ydy xdx 0)(222=++z y x d所以矢量线方程为1321k z a y a x a =++ 2222k z y x =++【习题1.6解】已知矢量场222()()(2)x y z A axz x e by xy e z z cxz xyz e =++++-+- 若 A 是一个无源场 ，则应有 div A =0即： div A =0y x zA A A A x y z∂∂∂∇⋅=++=∂∂∂ 因为 2x A axz x =+ 2y A by xy =+ 22z A z z cxz xyz =-+- 所以有div A =az+2x+b+2xy+1-2z+cx-2xy =x(2+c)+z(a-2)+b+1=0 得 a=2, b= -1, c= - 2 【习题1.7解】设矢径 r 的方向与柱面垂直，并且矢径 r到柱面的距离相等（r ＝a ）所以，2sssr ds rds a ds a ah πΦ===⎰⎰⎰＝22a h π=【习题1.8解】已知23x y φ=,223yz A x yze xy e =+ 而 A A A A rot⨯∇+⨯∇=⨯∇=φφφφ)()(2222(6)3203xy zx y ze e e A xy x y e y e xyze x y z x yz xy ∂∂∂∇⨯==--+∂∂∂ 2223[(6)32]x y z A x y xy x y e y e xyze φ∴∇⨯=--+又y x z y xe x e xy ze y e x e 236+=∂∂+∂∂+∂∂=∇φφφφ 232233222630918603xy z x y z e e e A xyx x y e x y e x y ze x yz xy φ∇⨯==-+所以222()3[(6)32]x y z rot A A A x y xy x y e y e xyze φφφ=∇⨯+∇⨯=--+ +z y x e z y x e y x e y x 2332236189+-=]49)9[(3222z y x e xz e y e x x y x+--【习题1.9解】已知 222(2)(2)(22)x y zA y x z e x y z e x z y z e =++-+-+ 所以()()1144(22)0xyzyy x x z z x y z x yzx y z A A A A A A rot A A x y z y z z x x y A A A xz xz y y e e ee e e e e e ∂∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫=∇⨯==-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭-++-+-=由于场A 的旋度处处等于0，所以矢量场A 为无旋场。

ˆ cos ˆ cos sin ˆ F2 (r , , ) sin sin , F2 ( , , z ) 3 用直角坐标系中的坐标分 1.9 将圆柱坐标系中的矢量场 F1 ( , , z ) 2
量表示。 解：根据
习题
ˆ 3y ˆz ˆ y ˆ 2z ˆ; B x ˆ ，求:(a) A 和 B 的大小（模） 1.1 已知 A 2 x ； (b) A 和 B 的单位
矢量；(c) A B ；(d) A B ；(e)A 和 B 之间的夹角；(f) A 在 B 上的投影。 解：(a) A 和 B 的大小
ˆ sin ˆ cos cos ˆ F1 (r , , ) sin cos Fr 2 sin cos F 2 cos cos F 2 sin sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos sin sin cos sin cos cos Fx 2 sin Fy 2 0 Fz 2 cos 0 sin sin sin 1 cos sin 0 0 cos
ˆ Ay y ˆ A Ax x ˆ By y ˆ B Bx x ˆ x
ˆ y By Cy
ˆ z ˆ ( Bz C x Bx C z ) y ˆ ( Bx C y B y C x ) z ˆ Bz ( B y C z Bz C y ) x Cz
ˆ 12 y ˆz ˆ 3y ˆz ˆ 和 2x ˆ ，求从 P 点到 Q 点的距离矢 1.6 P 点和 Q 点的位置矢量分别为 5 x

《电磁场与电磁波》知识点及参考答案第1章 矢量分析1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F∇⋅≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。

2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ∇⨯≡，则矢量场是无旋场，由散度源所产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。

3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是：散度（高斯）定理：SVFdV F dS ∇⋅=⋅⎰⎰和斯托克斯定理：sCF dS F dl∇⨯⋅=⋅⎰⎰。

4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。

（ √ ）5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。

（ √ ）6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。

（ √ ）7、梯度的方向是等值面的切线方向。

（× ）8、标量场梯度的旋度恒等于0。

（ √ ） 9、习题1.12, 1.16。

第2章 电磁场的基本规律（电场部分）1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。

2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。

3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是：V V sD d S d V Q ρ⋅==⎰⎰和0lE dl ⋅=⎰。

4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ∇⋅=和0E∇⨯=。

5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。

6、在两种媒质分界面的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→B 的法向分量B 1n －B 2n ＝0。

7、在介电常数为e 的均匀各向同性介质中，电位函数为 2211522x y z ϕ=+-,则电场强度E=5x y zxe ye e --+。

8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。

(A B)A (A A)B (A C)A (A A)C
由于 A B A C ，于是得到 (A A)B (A A)C
故
BC
1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢
量。设 A 为一已知矢量， p A X 而 P A X ， p 和 P 已知，试求 X 。 解 由 P A X ，有
ex ey ez 解 A B 2 3 4 ex13 ey 22 ez10
6 4 1
所以 A B 在 C 上的分量为
(A B)C
(A B) C
C
25 3
14.43
1.6 证明：如果 A B A C 和 A B AC ，则 B C ； 解 由 A B AC ，则有 A (A B) A (AC) ，即
E
25 r2
且 RPP 与 x 、 y 、 z 轴的夹角分别为
x
cos1( ex RPP RPP
)
cos1(
5 ) 32.31 35
y
cos1(ey RPP ) cos1( RPP
3 ) 120.47 35
z
cos1( ez RPP RPP
)
cos 1 (
1 ) 99.73 35
1.4 给定两矢量 A ex 2 ey 3 ez 4 和 B ex 4 ey 5 ez 6 ，求它们之间的夹角和
故该点的直角坐标为 (2, 2 3, 3) 。
（2）在球坐标系中 r 42 32 5 、 tan1(4 3) 53.1 、 2 3 120 故该点的球坐标为 (5,53.1 ,120 )
1.9
用球坐标表示的场 E
er
25 r2
，
（1）求在直角坐标中点 (3, 4, 5) 处的 E 和 Ex ；

第一章习题解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下：23x y z =+-A e e e4y z =-+B e e52x z =-C e e求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A B C g 和()⨯A B C g ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C 。

解 （1）23A x y z +-===-e e e A a e e e A（2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e ee 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11（4）由cos AB θ===A B A B g ，得1cos AB θ-=(135.5=o（5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ==A B B g（6）⨯=A C 123502xy z-=-e e e 41310x y z ---e e e（7）由于⨯=B C 041502x y z-=-e e e 8520x y z ++e e e⨯=A B 123041xyz-=-e e e 1014x y z ---e e e所以 ()⨯=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e()⨯=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e（8）()⨯⨯=A B C 1014502x y z---=-e e e 2405x y z -+e e e()⨯⨯=A B C 1238520x y z -=e e e 554411x y z --e e e1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。

（1）判断123PP P ∆是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。

1 z02 )1 2
0
ez
2 0
而半径为 3z0 的圆内的电荷产生在 z 轴上 z z0 处的电场强度为
E ez
3z0 r z0 d r 0 20 (r2 z02 )3 2
ez
z0 20
1 (r2 z02 )1 2
3z0 0
ez
40
1E 2
2.10 一个半径为 a 的导体球带电荷量为 Q ，当球体以均匀角速度
(cos 30
cos150
) ey
3l1 2 0 L
E2
(ex cos 30
ey sin 30
)
3l 2 2 0 L
(ex
3
e
y
)
3l1 8 0 L
E3
(ex cos 30
ey sin 30
) 3l3 2 0 L
(ex
3
e
y
)
3l1 8 0 L
故等边三角形中心处的电场强度为
E E1 E2 E3
215图可知sincossincos如题216图所示设则电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为第三章习题解答31真空中半径为a的一个球面球的两极点处分别设置点电荷试计算球赤道平面上电通密度的通量如题31图所示321911年卢瑟福在实验中使用的是半径为的球体原子模型其球体内均匀分布有总电荷量为ze的电子云在球心有一正电荷ze是原子序数e是质子电荷量通过实验得到球体内的电通量密度表达式为位于球心的正电荷ze球体内产生的电通量密度为zeze33电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中体密度为如题33所示
x
y
a
0 I 4 a
( 2
1)
0I 4 a
By
a a