高一 数学 孟九章 必修 不等式 第七讲 不等式章末总结课(上)

高一上册不等式知识点总结在高一上册的数学学习中，不等式是一个重要的知识点，它是数学中一个基本的概念和工具。

通过学习不等式，我们可以解决各种实际问题，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。

本文将总结高一上册不等式的相关知识点，并提供相关例题和解题思路，帮助同学们更好地掌握不等式的内容。

一、不等式的基本概念不等式是数学中用不等号（<、>、≤、≥）表示的数之间的大小关系。

在解不等式时，我们要找出使不等式成立的数的范围。

例如，对于不等式2x + 3 > 9，我们首先解出等式2x + 3 = 9的解集{x | x = 3}，然后绘制数轴，标记出解集的位置，最后确定不等式的解集{x | x > 3}。

二、不等式的性质与运算1. 相等性原理不等式两侧加减、乘以同一个非负数或除以同一个正数，不等号方向不变。

例如，对于不等式3x + 5 > 7，我们可以将两侧同时减去5得到3x > 2，不等号方向保持不变。

2. 基本性质（1）加法性质：若 a > b，则 a + c > b + c。

（2）乘法性质：若 a > b 且 c > 0，则 ac > bc；若 a > b 且 c < 0，则 ac < bc。

3. 不等式的求解解不等式的基本步骤：（1）把不等式化为一次不等式。

（2）解一次不等式。

（3）判断不等式的解集。

三、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax + b > 0或ax + b < 0的不等式，其中a和b为实数，a ≠ 0。

解一元一次不等式的步骤：（1）将一元一次不等式化为一次不等式。

（2）解一次不等式。

（3）判断一次不等式的解集。

例题1：解不等式2x - 3 < 9。

解：首先将不等式化为一次不等式，得到2x < 12。

接下来解一次不等式，将不等式两侧同时除以2，得到x < 6。

最后判断一次不等式的解集，得到解集{x | x < 6}。

高一数学不等式知识点总结一、要点精析比法比法是明不等式的最根本、最重要的方法之一，它是两个数大小序和运算性的直接用，比法可分差比法(称求差法)和商比法(称求商法)。

差比法的理依据是不等式的根本性：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b〞。

其一般步：①作差：考察不等式左右两构成的差式，将其看作一个整体;②形：把不等式两的差行形，或形一个常数，或形假设干个因式的，或形一个或几个平方的和等等，其中形是求差法的关，配方和因式分解是常使用的形手段;③判断：根据条件与上述形果，判断不等式两差的正号，最后肯定所求不等式成立的。

用范：当被的不等式两端是多式、分式或数式一般使用差比法。

商比法的理依据是：“假设a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b〞。

其一般步：①作商：将左右两端作商;②形：化商式到最形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。

用范：当被的不等式两端含有、指数式，一般使用商比法。

合法利用事(条件、重要不等式或已明的不等)作基，借助不等式的性和有关定理，逐步的推理，最后推出所要明的不等式，其特点和思路是“由因果〞，从“〞看“需知〞，逐步推出“〞。

其关系：AB1B2B3⋯BnB，即从A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出B。

分析法分析法是指从需的不等式出，分析个不等式成立的充分条件，而化判定那个条件是否具，其特点和思路是“果索因〞，即从“未知〞看“需知〞，逐步靠“〞。

用分析法明AB的关系：BB1B1B3⋯BnA，写的模式是：了明命B成立，只需明命B1真，从而有⋯，只需明B2真，从而又有⋯，⋯⋯只需明A真，而A 真，故B必真。

种模式告我，分析法是步步求上一步成立的充分条件。

反法有些不等式的明，从正面不好清楚，可以从正反的角度考，即要明不等式A>B，先假A≤B，由及其它性，推出矛盾，从而肯定A>B。

凡涉及到的明不等式否认命、惟一性命或含有“至多〞、“至少〞、“不存在〞、“不可能〞等，可以考用反法。

高一基本不等式知识点总结《高一基本不等式知识点总结》
嘿，同学们呀！今天咱来唠唠高一的基本不等式那些事儿。

先来说说那个重要的“均值不等式”吧，就是a+b≥2√ab（当且仅当a=b 时取等号）。

这就好像咱平时分东西一样，要尽量公平合理嘛。

我记得有一次我和朋友一起去买糖果，我买了 5 颗，他买了 3 颗，然后我们打算把糖果平均分着吃。

这时候不就用到基本不等式的感觉了嘛，我们得找到一个最公平的分法呀。

然后我们就开始算呀算，想着怎么分才能让每个人都开心。

还有那个“柯西不等式”，哎呀，那可复杂了点，但其实也不难理解。

它就像搭积木一样，要把不同的部分组合好，才能搭出牢固的城堡。

在学习基本不等式的时候，我还闹过笑话呢。

有一次做作业，我把不等式的符号给搞反了，结果答案全错啦，被老师狠狠批评了一顿。

从那以后呀，我可就长记性了，对待基本不等式那是格外小心。

总之呢，高一的基本不等式虽然有点小复杂，但只要我们认真去学，多结合实际例子去理解，就一定能掌握好哒！就像我们分糖果那次一样，只要用心，总能找到最合适的办法。

加油吧，同学们，和基本不等式好好“战斗”一番！。

高中数学中的不等式知识点总结不等式是数学中的一个重要概念，它描述了数值之间的大小关系。

在高中数学中，学生将接触到各种不等式的性质和解法，这些知识点对于理解和应用数学具有重要意义。

本文将对高中数学中的不等式知识点进行总结，包括基本性质、不等式的运算和解法等。

一、基本性质1. 不等式符号：在不等式中，常见的符号包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。

这些符号表示了数值之间的大小关系。

2. 不等式性质：不等式有着类似于等式的一些基本性质，例如：- 传递性：如果a > b且b > c，则a > c。

- 加法性：如果a > b，则a + c > b + c。

- 乘法性：如果a > b且c > 0，则ac > bc。

3. 绝对值不等式：绝对值不等式是一类特殊的不等式，其中涉及到了绝对值的概念。

常见的绝对值不等式包括：- |x| > a，其中a为正数，解为x > a或x < -a；- |x| < a，其中a为正数，解为-a < x < a。

二、不等式的运算1. 不等式的加法和减法：如果a > b，c > d，则有以下规律：- a + c > b + d；- a - c > b - d。

2. 不等式的乘法和除法：如果a > b，c > 0，d > 0，则有以下规律：- ac > bc；- a/c > b/c（当c > 0）；- ad > bd（当d > 0）；- a/d > b/d（当d > 0）。

三、不等式的解法1. 不等式的图像法：将不等式对应的不等式图像进行分析，通过观察图像上的点的位置，得出不等式的解。

例如，对于不等式2x + 3 > 5，可以将该不等式转化为2x + 3 = 5的等式，再通过图像判断2x + 3大于5的区间。

高一数学不等式知识点总结在高一数学学习中，不等式是一个非常重要的知识点。

不等式作为一种比较关系，可以在数学问题中起到很大的作用。

本文将对高一数学中的不等式知识点进行总结和归纳，并从基础概念到常见问题解答，介绍不等式的相关内容。

1. 不等式的基础概念不等式是数学中用于表示两个数之间的大小关系的一种符号表示法。

常见的不等式符号有“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）和“≥”（大于等于）。

不等式的解集包括使不等式成立的所有实数。

2. 不等式的性质和运算规则不等式具有一些与等式相似的基本性质和运算规则。

（1）对于任意实数a，若a > 0，则a乘方不等式保持不等号的方向；（2）对于任意实数a、b和c，若a > b且c > 0，则a + c > b + c；（3）对于任意实数a和b，若a > b且c < 0，则ac < bc。

3. 一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数且次数最高的项是一次的不等式。

解一元一次不等式的方法一般有图像法和代数法。

（1）图像法：通过将不等式转化为图像，找出使不等式成立的区间；（2）代数法：通过代数计算，将不等式转化为等价的形式，求解出未知数所在的范围。

4. 一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数且次数最高的项是平方的不等式。

解一元二次不等式的方法一般有图像法和代数法。

（1）图像法：通过将不等式转化为图像，找出使不等式成立的区间；（2）代数法：通过代数计算，将不等式转化为等价的形式，求解出未知数所在的范围。

此外，还可以使用配方法、求导等方法求解特殊的一元二次不等式。

5. 系统不等式系统不等式是多个不等式同时存在的情况，需要求解不等式的共同解集。

解系统不等式的方法一般有图像法和代数法。

（1）图像法：通过将不等式转化为图像，找出使所有不等式都成立的区域；（2）代数法：通过代数计算，将系统不等式转化为等价的形式，求解出未知数所在的范围。

高中数学-不等式章末总结二、根置教材，考在变中一、选择题1．(必修5 P 100练习T 3改编)用长为a (a >0)的铁丝折成一个矩形，则矩形面积的最大值为( )A ．a 22B.a 24 C ．a28D.a 216解析：选D.设折成的矩形的两边分别为x ，y (x >0，y >0)．则x ＋y ＝a2.因为x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤14(x ＋y )2＝a 216，即S 矩形≤a 216.当且仅当x ＝y ＝a 4时，S max ＝a 216.故选D.2．(必修5P 91练习T 1改编)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a （a <1），y ≥x ，x ＋y ≤2，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A ．211 B.14 C ．12D.34解析：选B.在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点B (1，1)时有最大值3；当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点A (a ，a )时有最小值3a ，由3＝4×3a ，得a ＝14.3．(必修5 P 93B 组T 1改编)设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ≤6，x －6y ≤－6，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为8，则3a ＋1b的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选C.画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，当直线z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过直线2x －3y ＝6与直线x －6y ＝－6的交点(6，2)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值8，即6a ＋2b ＝8，所以3a ＋b ＝4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b )＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥16.所以3a ＋1b≥4.当且仅当a ＝b ＝1时，取等号．故选C.4．(必修5 P 85例4改编)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要主要原料磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要主要原料磷酸盐1吨，硝酸盐15吨，现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，若生产1车皮甲种肥料获利润1万元，生产1车皮乙种肥料获利润0.5万元，则该化肥厂的最大利润为( )A ．2万元B ．2.5万元C ．3万元D ．3.5万元解析：选C.设生产甲、乙两种肥料各x 车皮与y 车皮，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0，表示的区域如图中阴影部分．目标函数为z ＝x ＋0.5y .由图可知，当直线x ＋0.5y ＝z 经过点M 时，z取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝1018x ＋15y ＝66，解得x ＝2，y ＝2，即M (2，2)．此时z max ＝2＋0.5×2＝3，故选C.二、填空题5．(必修5 P 91练习T 1(1)改编)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0，若z ＝2x －y的最大值为3，则实数m 等于________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中的△ABO 及其内部．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，mx －y ＝0， 解得A ⎝⎛⎭⎪⎫22m －1，2m 2m －1.化目标函数z ＝2x －y 为y ＝2x －z ，由图可知，当直线y ＝2x －z 过点A 时，直线在y轴上的截距最小，此时z 有最大值，且z max ＝42m －1－2m 2m －1＝4－2m 2m －1＝3，解得m ＝78.答案：786．(必修5 P 93A 组T 4改编)某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按40个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台．已家电名称 空调器 彩电 冰箱 工时 12 13 14 产值/千元432则每周的最高产值是________千元．解析：设每周生产空调器x 台、彩电y 台，则生产冰箱120－x －y 台，产值为z .目标函数为z ＝4x ＋3y ＋2(120－x －y )＝2x ＋y ＋240， 所以，题目中包含的限制条件为⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋13y ＋14（120－x －y ）≤40，120－x －y ≥20，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤120，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0.可行域如图．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝120，x ＋y ＝100，得点M的坐标为(10，90)，所以z max＝2×10＋90＋240＝350.答案：350三、解答题7．(2017·高考天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x＋60y≤600，5x＋5y≥30，x≤2y，x≥0，y≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x＋6y≤60，x＋y≥6，x－2y≤0，x≥0，y≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－125x＋z25，这是斜率为－125，随z变化的一族平行直线.z25为直线在y轴上的截距，当z25取得最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距z25最大，即z最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x＋6y＝60，x－2y＝0，得点M的坐标为(6，3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．8．如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB ，AC 的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆．(1)若围墙AP ，AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？(2)已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？解：设AP ＝x 米，AQ ＝y 米．(1)则x ＋y ＝200，△APQ 的面积S ＝12xy ·sin 120°＝34xy .所以S ≤34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝2 500 3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＋y ＝200，即x ＝y ＝100时取“＝”．(2)由题意得100×(x ＋1.5y )＝20 000， 即x ＋1.5y ＝200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以PQ 2＝x 2＋y 2－2xy cos 120°＝x 2＋y 2＋xy ＝(200－1.5y )2＋y 2＋(200－1.5y )y ＝1.75y 2－400y ＋40 000＝1.75⎝⎛⎭⎪⎫y －80072＋120 0007⎝ ⎛⎭⎪⎫0<y <4003，当y ＝8007时，PQ 有最小值200217，此时x ＝2007.所以当AP 为2007米，AQ 为8007米时，用料最省．。

高一不等式数学知识点总结不等式是数学中重要的概念之一，它在我们的生活中随处可见。

在高一的数学学习中，我们将接触到各种类型的不等式，掌握不等式的性质和解题方法对于我们的数学学习至关重要。

本文将对高一不等式的数学知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、不等式与数轴数轴是我们描述不等式的重要工具之一。

当我们遇到简单的一元一次不等式时，我们可以将其绘制在数轴上，直观地表示出不等式的解集。

需要注意的是，当不等式中含有等号时，解集应该包括对应的点。

例如，对于不等式x>3，我们可以在数轴上绘制一个开口向右的空心圆点3，并从该点向右画一条箭头，表示解集为大于3的所有实数。

二、绝对值不等式绝对值不等式是高一阶段的重点之一。

当我们遇到含有绝对值的不等式时，常常需要按照不同的情况进行讨论。

以下是几个常见的类型：1. |x|<a，其中a>0当a为正数时，这个不等式相当于-ax<a<ax，即-x<a<x，解集为(-a, a)。

2. |x|>a，其中a>0当a为正数时，这个不等式相当于x<-a或x>a，解集为(-∞, -a)∪(a, +∞)。

3. |x|≤a，其中a≥0当a为非负数时，这个不等式相当于-x≤a≤x，解集为[-a, a]。

4. |x|≥a，其中a≥0当a为非负数时，这个不等式相当于x<-a或x>a，解集为(-∞, -a]∪[a, +∞)。

三、一元二次不等式一元二次不等式在高一数学中也占有重要地位。

解一元二次不等式的方法与解二次方程类似，但需要注意解集的符号。

1. 形如ax^2+bx+c>0的不等式首先，我们需要求出该二次函数的零点，即ax^2+bx+c=0的解。

假设解为x1和x2，那么解集分为三个部分：当x<x1或x>x2时，不等式成立；当x1<x<x2时，不等式不成立；当x1<x<x2时，需要进一步判断。

高一不等式知识点总结不等式是代数学中的一个重要概念，它是用来表示数之间大小关系的数学式子。

在高中数学的学习中，不等式是一个重要的知识点，它涉及到绝对值不等式、一元一次不等式、一元二次不等式等内容。

本文将从不等式的定义、性质、解法以及应用等方面对高一不等式知识点进行总结。

一、不等式的定义不等式是用不等号（<、>、≤、≥）表示的数之间的大小关系。

一般地，如果a和b是两个实数，那么a>b表示a大于b，a<b表示a小于b，a≥b表示a大于等于b，a≤b表示a小于等于b。

例如，2>1表示2大于1，3<4表示3小于4，5≥3表示5大于等于3，6≤9表示6小于等于9。

二、不等式的性质1. 加法性质：若a>b，则a+c>b+c，其中c为任意实数。

2. 减法性质：若a>b，则a-c>b-c，其中c为任意实数。

3. 乘法性质：若a>b且c>0（或c<0），则ac>bc（或ac<bc）。

4. 除法性质：若a>b且c>0（或c<0），则a/c>b/c（或a/c<b/c）；若a>b且c<0，则a/c<b/c（或a/c>b/c）。

5. 对称性：若a > b，则-b > -a。

6. 传递性：若a>b，b>c，则a>c。

三、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax + b < c或ax + b > c的不等式，其中a、b、c均为实数且a不等于0。

一元一次不等式的解法主要有以下几种方法：1. 图解法：根据不等式的符号关系和一次函数图像的性质，画出函数图像，并确定不等式的解集。

2. 实数法：根据不等式的性质和实数的加减乘除性质，通过变形等方式求出不等式的解集。

3. 区间法：将不等式转化为求解方程的问题，根据方程解的个数和不等式的符号关系，求出不等式的解集。

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高中数学不等式知识点总结精选7篇高中数学不等式知识点总结精选7篇计算机科学和信息技术是数字化时代的重要工具和核心竞争力。

人工智能、机器人等科技前沿领域对人类生活和工作产生了巨大影响。

下面就让小编给大家带来高中数学不等式知识点总结，希望大家喜欢!高中数学不等式知识点总结11、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ>0时，λa与a同方向;当λ<0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。