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2.2.2 不等式的解集(教师独具内容)课程标准：1.了解不等式的解集和不等式组的解集的概念，会求一元一次不等式组的解集.2.理解绝对值的几何意义，掌握去掉绝对值的方法.3.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.教学重点：1.求一元一次不等式组的解集.2.绝对值不等式的解法．教学难点：绝对值不等式的几何解法.【知识导学】知识点一不等式的解、不等式的解集及不等式组的解集的概念(1)能够使不等式成立的□01未知数的值称为不等式的解．02所有解组成的集合称为不等式的解集．(2)一般地，不等式的□(3)对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的□03解集的交集称为不等式组的解集．知识点二绝对值不等式一般地，含有□01绝对值的不等式称为绝对值不等式．知识点三数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为□01|a－b|，记作□02AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．如果线段AB的中点M对应的数为x，则x＝□03a＋b2，这就是数轴上的中点坐标公式．【新知拓展】1．解绝对值不等式的主要依据解绝对值不等式的主要依据是绝对值的定义、绝对值的几何意义及不等式的性质．2．绝对值不等式|x|≤a和|x|≥a的解法1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式2x－3≤1的解集为{x|x≤2}．( )(2)若|x|≥a的解集为R，则a＜0.( )(3)|x－1|＞1的解集为{x|x＞2或x＜－2}．( )(4)|x －a |＜|x －b |⇔(x －a )2＜(x －b )2.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．做一做(1)不等式|x |>x 的解集是( ) A ．{x |x ≤0} B ．{x |x <0或x >0} C ．{x |x <0}D ．{x |x >0}(2)不等式|3x －2|<1的解集为( ) A ．(－∞，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 (3)不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．(4)已知数轴上，A (－2)，B (x )，C (5)，若A 与C 关于点B 对称，则x ＝________；若线段AB 的中点到C 的距离小于3，则x 的取值范围是________．答案 (1)C (2)B (3)[－1，＋∞) (4)32 (6,18)题型一 一元一次不等式组的解法 例1 解下列不等式组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞x ＋1， ①x ＋8＜4x －1； ②(2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥x ＋11， ①2x ＋53－1＜2－x . ②[解] (1)将①式移项、合并同类项，得x ＞2.将②式移项、合并同类项，得3x ＞9.系数化为1，得x >3. 所以不等式组的解集为(3，＋∞)． (2)将①式移项、合并同类项，得x ≥8. 将②式去分母，得2x ＋5－3＜6－3x .移项、合并同类项，得5x <4.系数化为1，得x <45.所以不等式组的解集为∅. 金版点睛解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，最后写出不等式组的解集.[跟踪训练1] x 取哪些整数值时，不等式5x ＋2＞3(x －1)与12x －1≤7－32x 都成立？解 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2＞3x －1，①12x －1≤7－32x .②将①式去括号，得5x ＋2＞3x －3.移项、合并同类项，得2x >－5.系数化为1，得x >－52.将②式移项，合并同类项，得2x ≤8.系数化为1，得x ≤4.所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，4， 所以x 可取的整数值是－2，－1,0,1,2,3,4.题型二 |ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法 例2 解下列不等式：(1)|5x －2|≥8；(2)2≤|x －2|≤4.[解] (1)|5x －2|≥8可化为5x －2≥8或5x －2≤－8，解得x ≥2或x ≤－65，故原不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－65∪[2，＋∞)．(2)原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥2，|x －2|≤4.由|x －2|≥2，得x －2≤－2或x －2≥2， 所以x ≤0或x ≥4.由|x －2|≤4，得－4≤x －2≤4，所以一2≤x ≤6.故原不等式的解集为{x |－2≤x ≤0或4≤x ≤6}，即[－2,0]∪[4,6]． 金版点睛形如|ax ＋b |≤c c >0和|ax ＋b |≥c c >0型的不等式，均可采用等价转化法进行求解，即|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c .[跟踪训练2] 解下列不等式： (1)|2x －3|≤1；(2)|4－3x |＞5.解 (1)由|2x －3|≤1可得－1≤2x －3≤1， 所以1≤x ≤2.故原不等式的解集为[1,2]．(2)由|4－3x |>5可得4－3x >5或4－3x <－5，所以x <－13或x >3，即原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(3，＋∞). 题型三 |x －a |±|x －b |≤c 和|x －a |±|x －b |≥c 型不等式的解法 例3 解下列不等式：(1)|x ＋1|＋|x －1|≥3；(2)|x －3|－|x ＋1|＜1.[解] (1)解法一：如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么点A ，B 之间的点到A ，B 两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在点A 左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离之和为3，A 1对应数轴上的x .由－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设点B 右侧有一点B 1到A ，B 两点的距离之和为3，B 1对应数轴上的x ， 由x －1＋x －(－1)＝3，得x ＝32，从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左侧或点B 1的右侧的任何点到A ，B 的距离之和都大于3.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 解法二：当x ≤－1时，原不等式可以化为－(x ＋1)－(x －1)≥3， 解得x ≤－32.当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解． 当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3， 解得x ≥32.综上所述，原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 解法三：将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0. 构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3，x ≤－1，－1，－1<x <1，2x －3，x ≥1.作出函数的图像，如图．函数图像与x 轴交点的横坐标是－32和32.从图像可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.(2)解法一：如图所示，在数轴上－1,3，x 对应的点分别为A ，C ，P ，而点B 对应的实数为12，点B 到点C 的距离与到点A 的距离之差为1.由绝对值的几何意义知，当点P 在射线Bx 上(不含点B )时，不等式成立，故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 解法二：原不等式⇔①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－x －3＋x ＋1＜1或②⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜3，－x －3－x ＋1＜1或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x －3－x ＋1＜1，解得①的解集为∅，②的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜3，③的解集为{x |x ≥3}． 综上可知，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.解法三：将原不等式转化为|x －3|－|x ＋1|－1<0，构造函数y ＝|x －3|－|x ＋1|－1， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－1，－2x ＋1，－1＜x ＜3，－5，x ≥3.作出函数的图像，如图．函数图像与x 轴的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.由图像可知，当x >12时，有y <0，即|x －3|－|x ＋1|－1<0，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 金版点睛形如|x －a |±|x －b |≤c 和|x －a |±|x －b |≥c型不等式的解法这种类型的不等式在求解时有三种方法：(1)利用绝对值的几何意义求解，这种方法体现了数形结合的思想，是解绝对值不等式最简单的方法，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题的关键．(2)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根，把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间，然后利用区间分段讨论法去绝对值符号求解，这种方法体现了分类讨论的思想，是解绝对值不等式最常用的方法．(3)构造函数，利用函数图像求解，这种方法体现了函数与方程的思想，准确画出函数图像并求解函数图像与x 轴的交点坐标是解题的关键．[跟踪训练3] 解下列不等式：(1)|x －1|－|5－x |＞2；(2)|2x －1|＋|3x ＋2|≥8. 解 (1)原不等式即为|x －1|－|x －5|>2， 其等价于 ①⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，1－x －5－x ＞2或②⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，x －1－5－x ＞2或③⎩⎪⎨⎪⎧x ＞5，x －1－x －5＞2，解得①无解，②的解集为{x |4<x ≤5}，③的解集为{x |x >5}，故原不等式的解集为(4，＋∞)．(2)①当x ≤－23时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x －(3x ＋2)≥8⇔－5x ≥9⇔x ≤－95，所以x ≤－95；②当－23<x <12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x ＋3x ＋2≥8⇔x ＋3≥8⇔x ≥5，所以x ∈∅；③当x ≥12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔5x ＋1≥8⇔5x ≥7⇔x ≥75，所以x ≥75.故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－95∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫75，＋∞.1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＞0，3x －1≤2x －1的解集为( )A ．(－3,0]B ．(－3,2]C ．∅ D.⎝⎛⎦⎥⎤－3，－45答案 B解析 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＞0， ①3x －1≤2x －1， ②将①式移项，得x ＞－3.将②式去括号，得3x －3≤2x －1.移项、合并同类项，得x ≤2.所以不等式组的解集为(－3,2]，故选B.2．不等式|4－x |≥1的解集为( ) A ．[3,5] B ．(－∞，3]∪[5，＋∞) C ．[－4,4] D ．R答案 B解析 |4－x |≥1⇒x －4≥1或x －4≤－1，即x ≥5或x ≤3.所以所求不等式的解集为(－∞，3]∪[5，＋∞)．故选B.3．不等式1＜|x ＋1|＜3的解集为( ) A ．(0,2) B ．(－2,0)∪(2,4) C ．(－4,0) D ．(－4，－2)∪(0,2) 答案 D解析 由1＜|x ＋1|＜3，得1＜x ＋1＜3或－3＜x ＋1＜－1，所以0＜x ＜2或－4＜x ＜－2.所以所求不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．4．不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________．答案 [1，＋∞)解析 解法一：不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|，两边平方，得(x ＋1)2≥(x －3)2，解得x ≥1，故所求不等式的解集为[1，＋∞)．解法二：不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点x 到点－1的距离大于等于到点3的距离，到两点距离相等时x ＝1，故所求不等式的解集为[1，＋∞)．5．解不等式|x ＋2|＋|x －1|＜4.解 |x ＋2|＝0和|x －1|＝0的根－2,1把数轴分为三个区间：(－∞，－2]，(－2,1)，[1，＋∞)．在这三个区间上|x ＋2|＋|x －1|有不同的表达式，它们构成了三个不等式组．(1)当x ≤－2时，|x ＋2|＋|x －1|＜4⇔－2－x ＋1－x ＜4⇔－2x ＜5⇔x ＞－52， 所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2，|x ＋2|＋|x －1|＜4的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－2. (2)当－2＜x ＜1时，|x ＋2|＋|x －1|＜4⇔x ＋2＋1－x ＜4⇔3＜4，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ －2＜x ＜1，|x ＋2|＋|x －1|＜4的解集为(－2,1)．(3)当x ≥1时，|x ＋2|＋|x －1|＜4⇔x ＋2＋x －1＜4⇔2x ＜3⇔x ＜32， 所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，|x ＋2|＋|x －1|＜4的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 因此原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－2∪(－2,1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32.。
2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质第1课时不等式的性质课后训练巩固提升1.已知a,b分别对应数轴上的A,B两点,且A在原点的右侧,B在原点的左侧,则下列不等式成立的是( )A.a-b≤0B.a+b<0C.|a|>|b|D.a2+b2≥-2ab解析:由题意,得a>0,b<0,故A不成立,B,C都不一定成立,D成立.答案:D2.设M=3≥N解析:∵M-N=(3x2-x+1)-(2x2+x)=x2-2x+1=(≥N.答案:D3.设0<a<b,且a+b=1,则四个数1,a,2a,a2+b2中最小的数是( )2B.aC.2aD.a2+b2A.12,a<2a,故只需比较a2+b2与a的大小即可.解析:由0<a<b及a+b=1,得0<a<12由0<a<1,得a2+b2-a=a2+(1-a)2-a=2a2-3a+1>0.故a最小.2答案:B4.设a,b,c∈R,且a>b,则( )A.ac>bcB.1a <1bC.a2>b2D.a3>b3解析:由a>b,c∈R,不能得到ac>bc,所以排除A选项.假设a=2,b=-3,则B,C选项都不成立.易知D选项成立.答案:D5.若a>b>0,c<d<0,则一定有( )A.ad >bcB.ad<bcC.ac >bdD.ac<bd解析:∵c<d<0,∴1d <1c<0,∴-1d>-1c>0.∵a>b>0,∴-ad >-bc>0,∴ad<bc,故选B.答案:B6.设a=x2+1-2x,b=x2-8x+16,且3<x<4,则√a与√b的大小关系为( )A.√a<√bB.√a=√bC.√a>√bD.无法判断解析:由题意,得a=(x-1)2,b=(x-4)2.∵3<x<4,∴√a=x-1,√b=4-x,∴√a−√b=(x-1)-(4-x)=2x-5>0,即√a>√b.答案:C7.设a ∈R,则“a -1a 2-a+1<0”是“|a|<1”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:因为a 2-a+1=(a -12)2+34>0, 所以a -1a 2-a+1<0⇒a-1<0|a|<1;若|a|<1,则-1<a<1,所以a -1a 2-a+1<0.故选C.答案:C 8.已知a<0,-1<b<0,则下列不等式成立的是( )A.a>ab>ab 2B.ab 2>ab>aC.ab>a>ab 2D.ab>ab 2>a解析:因为-1<b<0,所以0<b 2<1.所以a<ab 2<0,且ab>0,故选D.本题也可以根据a,b 的取值范围取特殊值,比如令a=-1,b=-12,也容易得到正确答案.答案:D9.(多选题)若1a <1b<0,则下列结论正确的是( )A.a2<b2B.ab<b2C.ba +ab>2 D.|a|-|b|=|a-b|解析:∵1a <1b<0,∴b<a<0,∴b2>a2,∴A正确;∵1a <1b<0,∴b<a<0,又b<0,∴b2>ab,∴B正确;由1a <1b<0知b<a<0,∵ba +ab-2=(√ba-√ab)2>0,∴ba +ab>2,∴C正确.令a=-1,b=-2代入验证知,D不正确.答案:ABC10.已知a>0,b>0,M=√a+√b,N=√a+b,则M,N的大小关系为.解析:易知M>0,N>0.∵M2-N2=(√a+√b)2-(√a+b)2=2√ab>0,∴M2>N2,∴M>N.答案:M>N11.已知两实数a=-2x2+2x-10,b=-x2+3x-9,a,b分别对应数轴上两点A,B,则点A在点B的.(填“左边”或“右边”)解析:∵a-b=-2x2+2x-10+x2-3x+9=-x2-x-1=-(x2+x+1)<0,∴a<b,∴点A在点B的左边.答案:左边答案:313.若(a+1)2>(a+1)3,则实数a的取值范围是.解析:∵(a+1)2>(a+1)3,∴(a+1)2-(a+1)3=-a(a+1)2>0,∴a<0,且a≠-1.答案:(-∞,-1)∪(-1,0)14.已知不等式:①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a;④0<b<a;⑤b<a,且ab>0;⑥a<b,且ab<0.其中能使1a <1b成立的是.(填序号)解析:1a <1b⇔b-aab<0⇔b-a与ab异号,然后再逐个进行验证,可知①②④⑤⑥都能使1a <1b.答案:①②④⑤⑥15.设a>b>0,试比较a 2-b2a2+b2与a-ba+b的大小.解:a 2-b2a2+b2−a-ba+b=(a+b)(a 2-b2)-(a-b)(a2+b2)(a2+b2)(a+b)=(a-b)[(a+b)2-(a2+b2)](a2+b2)(a+b)=2ab(a-b)(a+b)(a2+b2).∵a>b>0,∴a+b>0,a-b>0,2ab>0,a2+b2>0,∴2ab(a-b)(a+b)(a2+b2)>0.∴a 2-b2a2+b2>a-ba+b.16.设P=a2b2+5,Q=2ab-a2-4a,若P>Q,求实数a,b应满足的条件. 解:P-Q=a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1)2+(a+2)2.∵P>Q,∴(ab-1)2+(a+2)2>0.∴ab≠1或a≠-2.即实数a,b应满足的条件为ab≠1或a≠-2.。
章末整合知识结构·理脉络等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式的性质与方程的解集一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)⎩⎨⎧求根公式：x ＝－b ±b 2－4ac2a 根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca 方程组的解集⎩⎪⎨⎪⎧二元一次方程组三元一次方程组二元二次方程组等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等关系与不等式⎩⎪⎨⎪⎧不等式的概念实数(代数式)大小的比较⎩⎪⎨⎪⎧ 依据⎩⎪⎨⎪⎧a －b <0⇔a <b a －b ＝0⇔a ＝ba －b >0⇔a >b基本方法：作差法、作商法不等式的性质：对称性、传递性、可加性、可乘性等式与不等式⎩⎪⎨⎪⎧一元二次不等式及其解法⎩⎪⎨⎪⎧概念解法⎩⎪⎨⎪⎧ 因式分解法、配方法含参不等式的解法应用⎩⎪⎨⎪⎧ 解分式不等式——化归为整式不等式从实际问题中建立一元二次不等式模型等式与不等式⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧均值不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧内容：a ＋b2≥ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立证明⎩⎪⎨⎪⎧ 几何证明代数证明应用⎩⎪⎨⎪⎧比较大小证明不等式求最值⎩⎪⎨⎪⎧⎦⎥⎤积定和最小和定积最大具备条件一正、二定、三相等解决实际问题要点梳理·晰精华1．不等式基本性质中注意问题(1)不等式的基本性质中性质4、6要注意符号，另外还有一些常用的结论，同学们也要掌握．如：“a >b 且ab >0，则1a <1b ”，“a >b ，c <d ，则a －c >b －d ”，“a >b >0，c >d >0，则a d >bc ”．在使用这些性质时，要注意上述各不等式成立的条件．(2)不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说，每条性质是否具有可逆性．运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误．2．一元二次不等式的解法 判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实数根x 1＝－b －Δ2a ，x 2＝－b ＋Δ2a(x 1<x 2) 有两相等实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1，或x >x 2} {x |x ∈R ，x ≠－b2a}R ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的{x |x 1<x <x 2}∅∅解集3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1＋x 2＝ca ，若bc＝0时，关系式仍然成立．4．不等式组、简单分式不等式、绝对值不等式的解法(1)不等式组的解集等于组成该不等式组的每个不等式解集的交集． (2)解简单分式不等式应等价转化为整式不等式(整式不等式组)求解．(3)解绝对值不等式可根据绝对值的几何意义求解，也可按零点分段法逐段脱去绝对值号求解．5．均值不等式及有关结论(1)均值不等式：如果a >0，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)几个常用的重要结论：①b a ＋ab≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)． ②a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)．③ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(3)利用均值不等式求最值 已知x >0，y >0，则①如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)． ②如果x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值s 24(简记：和定积最大)．素养突破·提技能类型 特殊不等式的解法 ┃┃典例剖析__■ 1．一元高次不等式的解法典例1 解不等式：(x ＋2)(x 2－x －12)>0.思路探究：可转化为不等式组或用数轴标根法两种方法求解．解析：方法一：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x 2－x －12>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2<0，x 2－x －12<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >－2，x <－3或x >4或⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－3<x <4.解得x >4或－3<x <－2.所以原不等式的解集为{x |－3<x <－2或x >4}． 方法二：令(x ＋2)(x 2－x －12)＝0， 得x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝4. 将－3，－2,4标在数轴上，如图．由图可知原不等式的解集为{x |－3<x <－2或x >4}．归纳提升：解简单的一元高次不等式，主要通过数轴标根法来求解，其步骤是 (1)将f (x )最高次项系数化为正数．(2)将f (x )分解为若干个一次因式或二次不可分解的因式的积，然后求出f (x )＝0的解，并在数轴上标出．(3)自数轴正方向起，用曲线从右至左、自上而下依次从各解穿过数轴． (4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式写出解集．在用数轴标根法求解高次不等式的过程中要注意：①区间端点能否取到；②各因式中最高次项的系数要全为正数；③奇数个等根，穿过，偶数个等根，穿而不过．2．分式不等式的解法典例2 解不等式：x 2＋2x －3－x 2＋x ＋6<0.思路探究：一般地，解分式不等式的基本思想是化分式不等式为整式不等式或整式不等式组．解析：原不等式可变形为x 2＋2x －3x 2－x －6>0，故原不等式的解集由下面两个不等式组的解集的并集构成：①⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，x 2－x －6>0；②⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3<0，x 2－x －6<0.解①得x <－3或x >3；解②得－2<x <1.综上可得，原不等式的解集是{x |x <－3或－2<x <1或x >3}．归纳提升：分式不等式的求解在高考中比较常见，解分式不等式的过程就是转化的过程，通过不等式的性质和符号运算规律将其转化为整式不等式问题，注意不等式的等价变形．类型 含参不等式恒成立问题的求解策略 ┃┃典例剖析__■不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以多种形式出现在高中数学的各个分支中，扮演着重要的角色．求解含参不等式的恒成立问题的关键是转化与化归思想．一般而言，针对不等式的表现形式，有如下两种策略．1．判别式法典例3 对于x ∈R ，不等式x 2－2x ＋3－m ≥0恒成立，求实数m 的取值范围．思路探究：不等式x 2－2x ＋3－m ≥0恒成立，可转化为函数y ＝x 2－2x ＋3－m 图像恒在x 轴及其上方，即Δ≤0.解析：不妨设y ＝x 2－2x ＋3－m ，其函数图像是开口向上的抛物线，为了使y ≥0(x ∈R )恒成立，只需对应方程的Δ≤0，即(－2)2－4(3－m )≤0，解得m ≤2.故实数m 的取值范围为(－∞，2]．归纳提升：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或一元二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．2．分离变量法典例4 若关于x 的不等式ax 2－2x ＋2>0对于满足1<x <4的一切实数x 恒成立．求实数a 的取值范围．思路探究：可先将参数的a 分离出来即a >2x －2x 2，然后再求2x －2x 2的最值．解析：∵1<x <4，∴不等式ax 2－2x ＋2>0可转化为a >2x －2x 2，令y ＝2x －2x 2＝－2(1x －12)2＋12≤12.∵14<1x<1， ∴当1x ＝12，即x ＝2时，函数取得最大值12，∴a >12，即实数a 的取值范围为(12，＋∞)．归纳提升：如果能够将参数分离出来，建立明确的参数和变量x 的关系，那么可以利用函数的最值求解．a >y 恒成立⇔a >y max ，a <y 恒成立⇔a <y min .类型 均值不等式的变形技巧 ┃┃典例剖析__■ 1．技巧一：添项典例5 求函数y ＝3x 2＋162＋x 2的最小值．思路探究：当求和的最小值时，尽可能凑定积，本题需添6，减6. 解析：易知2＋x 2>0， 所以y ＝3(2＋x 2)＋162＋x 2－6≥23(2＋x 2)·162＋x 2－6＝83－6，当且仅当3(2＋x 2)＝162＋x 2，即x ＝±433－2时，等号成立，此时y min ＝83－6. 2．技巧二：放入根号内或两边平方典例6 求函数y ＝x 1－x 2(0<x <1)的最大值．思路探究：求积的最值(因式中含根号)，把变量都放在同一条件下的根号里或者将两边平方去根号，整合结构形式，凑成定和，是解决本题的关键所在．解析：由0<x <1，可得y ＝x 1－x 2＝x 2(1－x 2)≤x 2＋1－x 22＝12，当且仅当x 2＝1－x 2，即x ＝22时，等号成立，此时y max ＝12. 3．技巧三：分子常数化典例7 设x ∈(0，＋∞)，求函数y ＝2xx 2＋4的最大值．思路探究：当分子的变量因子次数比分母的小且变量因子不为零时，都可同时除以分子所含变量因子使分子变量常数化，以实现变量形式的统一，从而使问题得以解决．解析：由题意知，y ＝2x x 2＋4＝2x ＋4x .∵x ∈(0，＋∞)，∴x ＋4x ≥2x ·4x＝4， 当且仅当x 2＝4， 即x ＝2时，等号成立， 此时，y max ＝12.归纳提升：运用均值不等式求解函数最值的关键是在求解过程中充分重视运用“一正、二定、三相等”这三个条件的基础上，观察结果，合理变形．其中，成功实现变形是关键．。
第二章等式与不等式本章小结学习目标能够从函数的观点认识方程和不等式,感悟函数和方程、不等式之间的联系,认识函数的重要性.掌握等式与不等式的性质.重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.自主预习{等式式与不等关系实数大小的比较依据——次不等式及其解法{{课堂探究任务一:不等式的基本性质的应用例1下列结论中正确的是()①a>b>0,d>c>0⇒ac>bd;②a>b,c>d⇒a-c>b-d;③ac2>bc2⇒a>b;④a>b⇒a n>b n(n∈N,n>1).A.①②③B.①③C.②③④D.①③④任务二:一元二次不等式的解法及其应用例2解下列不等式:(1)x-1x≥2;(2)2x3+x2-5x+2>0.例3解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0.解一元二次不等式的步骤:任务三:二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系例4当实数m取何范围的值时,方程x2+(m-3)x+m=0的两根满足:(1)都是正根;(2)都在(0,2)内?思考:根的分布问题应该从哪几个方面考虑?例5已知一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-2<x<1},则a= ,b= .任务四:基本不等式的应用例6已知3a2+2b2=5,试求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值.例7如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=3米,AD=2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?(2)当DN 的长为多少时,矩形花坛AMPN 的面积最小?并求出最小值.课堂练习1.若a ∈R 且a ≠0,比较a 与1a 的大小.2.求函数y=x 4+3x 2+3x 2+1的最小值.核心素养专练对任意x ∈[1,2],不等式1-mx ≤√1+x≤1-nx 恒成立,试求n 的最大值与m 的最小值.参考答案自主预习略 课堂探究例1 思路分析:判断不等关系的真假,要紧扣不等式的性质,应注意条件与结论之间的联系. 【解析】∵d>c>0⇒1c >1d>0,又a>b>0,∴a c >bd,∴①对;∵a>b ,-c<-d 不同向,不等式不可加,∴②错; ∵ac 2>bc 2,c 2>0,∴a>b ,∴③对;只有当a>b>0时,才有a n >b n ,∴④错,故选B .答案:B例2 【思路分析】对于(1),要先移项、通分化为f(x)g(x)≥0(或f(x)g(x)≤0)的形式,再化为整式不等式,转化必须保持等价;对于(2),要因式分解后借助穿根法处理.【解】(1)原不等式可化为x -1x -2≥0,∴-x -1x>0,∴{x(x +1)≤0,x ≠0,∴-1≤x<0.∴原不等式的解集为{x|-1≤x<0}.(2)原不等式可化为(x-1)(x+2)(2x-1)>0. 利用数轴标根法或穿根法(如图所示),∴-2<x<12或x>1.∴不等式的解集为{x |-2<x <12或x >1}.例3 【思路分析】不等式中含有参数a ,因此需要先判断参数a 对方程(x-2)(ax-2)=0的解的影响,然后求解.【解】(1)当a=0时,原不等式化为x-2<0,∴x<2,∴原不等式的解集为{x|x<2}.(2)当a<0时,原不等式化为(x-2)(x -2a )<0.方程(x-2)(x -2a )=0的两根为2,2a ,又2>2a,∴原不等式的解集为{x |2a<x <2}.(3)当a>0时,原不等式化为(x-2)(x -2a )>0.方程(x-2)(x -2a )=0的两根为2,2a .当0<a<1时,2a >2,原不等式的解集为{x |x >2a 或x <2}. 当a=1时,原不等式化为(x-2)2>0,解集为{x ∈R |x ≠2}. 当a>1时,2>2a >0,原不等式的解集为{x |x >2或x <2a }. 综上所述,不等式解集为当a=0时,{x ∈R |x<2};当a=1时,{x ∈R |x ≠2};当a<0时,{x |2a<x <2};当0<a<1时,{x |x >2a 或x <2};当a>1时,{x |x >2或x <2a }.解一元二次不等式的步骤: 1.若能因式分解,则用数轴穿根法; 2.若不能因式分解,则用配方法. 配方法的步骤:(1)把一元二次不等式的二次项系数化为1;(2)一元二次不等式通过配方变为(x-h )2>k 或(x-h )2<k 的形式; (3)根据k 值情况确定不等式的解集.例4 【思路分析】对于(1),可利用判别式及根与系数的关系求解;对于(2),可构造二次函数,结合二次函数的图像求解.【解】(1)设方程的两根为x 1,x 2.则由题意可得{Δ=m 2-10m +9≥0,x 1+x 2=3-m >0,x 1x 2=m >0.解得m 的取值范围是(0,1]. (2)(由对应的函数几何意义求解) 设f (x )=x 2+(m-3)x+m ,由题意得{Δ=m 2-10m +9≥0,f(0)=m >0,0<3-m2<2,f(2)=3m -2>0.解得23<m ≤1. 思考:根的分布问题应该从哪几个方面考虑? 1.开口方向; 2.判别式Δ; 3.对称轴;4.区间端点函数值的正负.例5 【思路分析】由于一元二次不等式解集的分界点是相应一元二次方程的两根,所以解答就从这个关系入手.【解析】由于ax 2+bx+1>0的解集为{x|-2<x<1},所以-2和1是方程ax 2+bx+1=0(a ≠0)的两根. 由根与系数的关系,得 {-2+1=-ba ,-2×1=1a ,解得a=b=-12. 答案:-12-12例6 【思路分析】要求积的最大值,关键是结合条件配凑出和为定值,然后利用基本不等式求解. 【解】∵2a 2+1>0,b 2+2>0,y=(2a 2+1)(b 2+2),∴√12y =√3(2a 2+1)·4(b 2+2)≤6a 2+3+4b 2+82.∵3a 2+2b 2=5,∴6a 2+4b 2=10. ∴√12y ≤212,可得√y ≤7√34.∴y 的最大值为14716.例7 【思路分析】对于(1),首先建立矩形AMPN 的面积y 与DN 的长x 的函数关系式,然后利用不等式求解;对于(2),根据(1)中建立的函数关系式结合基本不等式求解.【解】(1)设DN 的长为x (x>0)米,则AN 的长为(x+2)米,如图所示.∵DN AN =DC AM ,∴AM=3(x+2)x.∴矩形花坛AMPN 的面积y=AN ·AM=3(x+2)2x.由y>32,得3(x+2)2x>32.∵x>0,∴3x 2-20x+12>0.解得0<x<23或x>6,即DN 长的取值范围是(0,23)∪(6,+∞). (2)由(1)知矩形花坛AMPN 的面积为y=3(x+2)2x=3x 2+12x+12x=3x+12x +12≥2√3x ·12x +12=24.当且仅当3x=12x,即x=2时,矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24平方米.故DN 的长为2米时,矩形AMPN 的面积最小,最小值为24平方米. 课堂练习1.【思路分析】可以利用作差比较法比较两个代数式的大小. 【解】a-1a =(a -1)(a+1)a.当a=±1时,(a -1)(a+1)a=0,则a=1a ;当-1<a<0或a>1时,(a -1)(a+1)a>0,则a>1a . 当a<-1或0<a<1时,(a -1)(a+1)a<0,则a<1a .2.【思路分析】从函数解析式结构上看,它与基本不等式结构相差太大,而且利用前面求最值的方法不易求解,怎么办呢?事实上,我们可以把分母视为一个整体,用它来表示分子,原式即可展开.【解】令t=x 2+1,则t ≥1,且x 2=t-1.∴y=x 4+3x 2+3x 2+1=(t -1)2+3(t -1)+3t =t 2+t+1t=t+1t +1.∵t ≥1,∴t+1t ≥2√t ·1t =2,当且仅当t=1t ,即t=1时,等号成立.∴当x=0时,函数取得最小值3.核心素养专练【思路分析】对任意x ∈[1,2],不等式恒成立,且m 与n 都是一次的,因此可考虑分离参数m 和n. 【解】∵1-mx ≤√1+x≤1-nx 恒成立,∴-mx ≤√1+x -1≤-nx ,∴-mx ≤√1+x√1+x ≤-nx ,∴-mx ≤√1+x(1+√1+x)≤-nx.又∵x ∈[1,2],∴n ≤(√1+x)2+√1+x≤m 恒成立. 设y=(√1+x)2+√1+x,x ∈[1,2],令√1+x =t ,则t ∈[√2,√3],y=1t 2+t . 可求得y min =3-√36,y max =2-√22,∴m=2-√22,n=3-√36.故所求n 的最大值为3-√36,m 的最小值为2-√22.学习目标1.梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质,通过类比理解等式与不等式的共性与差异;2.会解常见的方程和不等式及不等式组,如一元二次方程、一元二次不等式、绝对值不等式、二元及三元方程组等;3.掌握基本不等式,结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值和最小值问题. 本章重点:绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法、均值不等式的应用.本章难点:均值不等式的灵活应用及不等式的证明.重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.培养学生类比思想、分类讨论思想和数形结合的数学思想等.知识点梳理课堂探究●不等式性质的应用例1(1)(多选)下列命题正确的有()A.若a>1,则1a<1B.若a+c>b,则1a <1 bC.对任意实数a,都有a2≥aD.若ac2>bc2,则a>b(2)已知2<a<3,-2<b<-1,求ab,b2a的取值范围.◎跟踪训练1(多选)已知a,b,c∈R,那么下列命题中错误的是() A.若a>b,则ac2>bc2B.若ac >bc,则a>bC.若a3>b3且ab<0,则1a >1 bD .若a 2>b 2且ab>0,则1a <1b●不等式组的解法 例21.解不等式组:{5x-1<3(x +1),2x-13-1≤5x +12.2.已知关于x 的不等式组{x +a ≤0,3+2x >5的整数解只有3个,求a 的取值范围.3.解下列关于x 的不等式. (1)-1<x 2+2x-1≤2; (2)m 2x 2+2mx-3<0.◎跟踪训练2 解下列不等式. (1)x -1x+2≤0; (2)-3x 2-2x+8≥0; (3)ax 2-(a+1)x+1<0.●绝对值不等式的解法 例3 解下列不等式. (1)|2x-5|>3; (2)|2x-1|+|2x+1|≤6.◎跟踪训练3解下列不等式.(1)|2x+1|-2|x-1|>0;(2)|x+3|-|2x-1|<x2+1.●均值不等式例4若x>0,y>0,且x+2y=5,求9x +2y的最小值,并求出取得最小值时x,y的值.◎跟踪训练41.函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是.2.当x>1时,不等式x+1x-1≥a恒成立,当x= 时等号成立,实数a的取值范围是.●等式与不等式的应用例5某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该空上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积.课堂练习1.已知集合M={x|-4≤x ≤7},N={x|x 2-x-12>0},则M ∩N=( ) A.{x|-4≤x<-3或4<x ≤7} B.{x|-4<x ≤-3或4≤x<7} C.{x|x ≤-3或x>4} D.{x|x<-3或x ≥4}2.(多选)已知a>b>0,下列不等式不成立的是( ) A.a+1b >b+1aB.a+1a ≥b+1bC.b a >b+1a+1D.b-1b>a-1a3.不等式|x+1|-|x-2|≥1的解集是 .4.已知x>0,y>0,且满足8x +1y=1,xy= 时,x+2y 的最小值为 .核心素养专练[A 基础达标]1.(多选)如果a ,b ,c 满足c<b<a ,且ac<0,那么下列不等式中一定成立的是( ) A .ab>ac B .c (b-a )>0 C .cb 2<ab 2 D .ac (a-c )<02.若a>0,b>0,且a 2+3b 2=6,则ab 的最大值为( ) A .1B .√2C .√3D .23.设m>1,P=m+4m -1,Q=5,则P ,Q 的大小关系为( ) A .P<QB .P=QC .P ≥QD .P ≤Q4.不等式1+x>11-x 的解集为( ) A .{x|x>0} B .{x|x ≥1} C .{x|x>1} D .{x|x>1或x=0} 5.设a ,b 是不相等的正数,x=√a+√b2,y=√a+b 2,则x ,y 的大小关系是 (用“>”“<”或“=”连接).6.设m+n>0,则关于x 的不等式(m-x )(n+x )>0的解集是 .7.已知0<x<12,则y=12x (1-2x )的最大值为 ,此时x= . 8.解下列不等式: (1)0<|x-2|≤|4x+2|; (2)2x+1x -5≥-1.9.已知x ,y 都是正数.(1)若3x+2y=12,求xy 的最大值;(2)若x+2y=3,求1x +1y 的最小值.[B 能力提升]10.不等式4x -2≤x-2的解集是( )A .(-∞,0]∪(2,4]B .[0,2)∪[4,+∞)C .[2,4)D .(-∞,2]∪(4,+∞)11.已知实数x ,y ,若x ≥0,y ≥0且x+y=3,则x+1x+2+y y+1的最大值为 ,此时xy= . 12.解不等式3x -7x 2+2x -3≥2.13.解关于x 的不等式ax 2+(1-a )x-1>0(a<0).14.志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD ,已知点E 在边CD 上,AE=CE ,AB>AD ,矩形的周长为8 cm .(1)设AB=x cm,试用x 表示出图中DE 的长度,并求出x 的取值范围;(2)计划在△ADE 区域涂上蓝色代表星空,如果要使△ADE 的面积最大,那么应怎样设计队徽的长和宽?参考答案课堂探究例1 (1)AD (2)-6<ab<-213<b 2a <2跟踪训练1 ABD例2 1.解集为[-1,2) 2.(-5,-4]3.解:(1){x 2+2x -1≤2,x 2+2x -1>-1⇒{x 2+2x -3≤0,x 2+2x >0⇒{-3≤x ≤1,x >0或x <-2,不等式的解集为{x|-3≤x<-2或0<x ≤1}.(2)当m=0时,-3<0恒成立,解集为R .当m ≠0时,二次项系数m 2>0,Δ=16m 2>0.不等式化为(mx+3)(mx-1)<0.当m>0时,解集为{x |-3m <x <1m }; 当m<0时,解集为{x |1m <x <-3m }.跟踪训练2 (1)(-2,1](2)[-2,43] (3)解:当a=0时,x>1,解集为(1,+∞);当a ≠0时,方程化简为(ax-1)(x-1)<0.当a<0时,方程整理为(x -1a )(x-1)>0,(1a <0), ∴x>1或x<1a ,解集为(-∞,1a )∪(1,+∞);当a>0时,方程整理为(x -1a )(x-1)<0,(1a>0), 当0<a<1时,1a >1,∴1<x<1a ,解集为(1,1a); 当a=1时,1a =1,∴方程无解,解集为空集;当a>1时,1a <1,∴1a <x<1,解集为(1a ,1). 例3 (1)(-∞,-1)∪(4,+∞)(2)[-32,32]跟踪训练3(1)不等式的解集为{x |x >14}.(2)不等式的解集为{x |x <-25或x >2}.例4 解:因为x>0,y>0,且x+2y=5, 所以9x +2y =15(x+2y )(9x +2y ) =15(13+18y x +2x y ) ≥15(13+2√18y x ·2x y )=5,当且仅当{x +2y =5,18y x =2x y,即{x =3,y =1时等号成立. 所以9x +2y 的最小值为5,此时x=3,y=1. 跟踪训练41.982.2 a ≤3例5 解:设将楼房建为x 层,平均综合费用设为y 元. 则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x =10 800x .∴每平方米的平均综合费用y=560+48x+10 800x =560+48(x +225x ). 当x+225x取最小值时,y 有最小值. ∵x>0,∴x+225x ≥2√x ·225x =30. 当且仅当x=225x ,即x=15时,上式等号成立.∴当x=15时,y 有最小值2 000元.因此该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最少. 课堂练习1.A2.BCD3.[1,+∞)4.36 18 核心素养专练A 基础达标1.ABD2.C3.C4.C5.x<y6.(-n ,m )7.116 148.(1){x |x ≤-43或x ≥0且x ≠2} (2){x |x >5或x ≤43}9.(1)6 (2)1+23√2B 能力提升10.B11.43 212.(-3,1)13.当-1<a<0时,解集为{x |1<x <-1a } 当a=-1时,解集为⌀ 当a<-1时,解集为{x |-1a <x <1} 14.解: (1)设DE=y cm,则AE=CE=(x-y )cm, 由矩形周长为8 cm,可得AD=(4-x )cm . 在三角形ADE 中,由勾股定理可得(4-x )2+y 2=(x-y )2, 整理得y=4-8x ,由AB>AD 可得x>2,由周长为8可得x<4, 综上DE 长度为(4-8x )cm,2<x<4. (2)S=12(4-x )×y ,由y=4-8x 可得S=12(4-x )·(4-8x )=2(4-x )(1-2x )=2(6-x -8x), 由2<x<4可得x+8x ≥2√8=4√2,当且仅当x=2√2时取到等号, 因此S max =2(6-4√2)=12-8√2,此时队徽的长为2√2 cm,宽为(4-2√2)cm .。
