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必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质1.比较大小的基本事实：比较两实数大小的方法——求差比较法0a b a b >⇔->；0a b a b =⇔-=；0a b a b <⇔-<。
2.恒成立的不等式：一般地，∀R b a ∈,，有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时等号成立。
说明：（1）指出定理适用范围：R b a ∈,；（2）强调取“=”的条件b a =。
3.等式的性质：性质1：若a =b ，则b =a ;性质2：若a=b,b=c,则a=c;性质3：若a=b ，则a±c=b±c;性质4：若a=b ，则ac=bc;性质5：若a=b ，c≠0，则cb c a = 4.不等式的性质：性质1：若a b >，则b a <；若b a <，则a b >．即a b >⇔b a <。
说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。
性质2：若a b >，b c >，则a c >。
不等式的传递性。
性质3：若a b >，则a c b c +>+。
性质4：如果b a >且0>c ，那么bc ac >；如果b a >且0<c ，那么bc ac <。
性质5：若,,a b c d a c b d >>+>+且则。
性质6：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >。
性质7：如果0>>b a ， 那么n n b a > )1(>∈n N n 且。
2.2 基本不等式1. 如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 说明：（1）这个定理适用的范围：,a b R +∈；（2）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数。
2.1 等式性质与不等式性质最新课程标准：梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．知识点一实数大小比较1．文字叙述如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．2．符号表示a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.状元随笔比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a －b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a －b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．知识点二不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a 可逆2传递性a>b，b>c⇒a>c3可加性a>b⇔a＋c>b＋c 可逆4可乘性}a>b c>0⇒ac>bc c的符号}a>b c<0⇒ac<bc5同向可加性a>b c>d⇒a＋c>b＋d 同向6同向同正可乘性a>b>0c>d>0⇒ac>bd 同向7可乘方性a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)同正状元随笔 (1)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a ＋b>c ⇒a>c －b.性质3是可逆性的，即a>b ⇔a ＋c>b ＋c.(2)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．(3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．[教材解难]教材P 40思考等式有下面的基本性质： 性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ； 性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； 性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc.[基础自测]1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系( )A ．T <40B ．T >40C ．T ≤40 D．T ≥40解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思． 答案：C2．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关解析：因为M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，所以M >N .答案：A3．已知x <a <0，则一定成立的不等式是( ) A ．x 2<a 2<0 B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<ax <0 D ．x 2>a 2>ax解析：因为x<a<0，不等号两边同时乘a，则ax>a2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.答案：B4．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．解析：因为－1≤b≤2，所以－2≤－b≤1，又1≤a≤5，所以－1≤a－b≤6.答案：－1≤a－b≤6题型一比较大小[教材P38例1]例1 比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小．【解析】因为(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4)＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4)＝2>0，所以(x＋2)(x＋3)>(x＋1)(x＋4)．状元随笔通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.教材反思用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练1 若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是( ) A．f(x)<g(x)B．f(x)＝g(x)C．f(x)>g(x)D．随x值变化而变化解析：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以f(x)>g(x)．故选C.作差→变形→判断差的符号→结合差的符号判定大小题型二 不等式的性质[经典例题] 分析条件→利用不等式性质逐一判断例2 对于实数a 、b 、c ，有下列说法： ①若a >b ，则ac <bc ； ②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a <b <0，则a 2>ab >b 2； ④若c >a >b >0，则ac －a >bc －b；⑤若a >b ，1a >1b，则a >0，b <0.其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】 对于①，令c ＝0，则有ac ＝bc .①错． 对于②，由ac 2>bc 2，知c ≠0， ∴c 2>0⇒a >b .②对． 对于③，由a <b <0， 两边同乘以a 得a 2>ab ， 两边同乘以b 得ab >b 2， ∴a 2>ab >b 2.③对． 对于④，⎭⎪⎬⎪⎫c >a >b >0⇒c －a >0，c －b >0a >b ⇒－a <－b ⇒c －a <c －b ⇒0<c －a <c －b⇒⎭⎪⎬⎪⎫1c －a >1c －b >0a >b >0⇒a c －a >b c －b .④对．对于⑤，⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒a －b >01a >1b ⇒b －a ab >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫ab <0a >b⇒a >0，b <0.⑤对．答案：C 方法归纳(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．跟踪训练2 (1)已知a <b ，那么下列式子中，错误的是( ) A.4a <4b B ．－4a <－4b C ．a ＋4<b ＋4 D ．a －4<b －4(2)对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2C ．若ac 2>bc 2，则a >b D ．若a >b ，则1a <1b解析：(1)根据不等式的性质，a <b,4>0⇒4a <4b ，A 项正确；a <b ，－4<0⇒－4a >－4b ，B 项错误；a <b ⇒a ＋4<b ＋4，C 项正确；a <b ⇒a －4<b －4，D 项正确．利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．(2)对于选项A ，当c <0时，不正确；对于选项B ，当c ＝0时，不正确；对于选项C ，∵ac 2>bc 2，∴c ≠0，∴c 2>0，∴一定有a >b .故选项C 正确；对于选项D ，当a >0，b <0时，不正确．答案：(1)B (2)C题型三 利用不等式性质求范围[经典例题]例3 已知－2<a ≤3,1≤b <2，试求下列代数式的取值范围： (1)|a |；(2)a ＋b ；(3)a －b ；(4)2a －3b . 【解析】 (1)|a |∈[0,3]；(2)－1<a ＋b <5；(3)依题意得－2<a ≤3，－2<－b ≤－1，相加得－4<a －b ≤2； (4)由－2<a ≤3得－4<2a ≤6 ①， 由1≤b <2得－6<－3b ≤－3 ②， 由①②得，－10<2a －3b ≤3.状元随笔 运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向.方法归纳利用不等式性质求范围的一般思路(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； (2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； (3)结合不等式的传递性进行求解．跟踪训练3 已知实数x ，y 满足：1<x <2<y <3， (1)求xy 的取值范围； (2)求x －2y 的取值范围．解析：(1)∵1<x <2<y <3，∴1<x <2,2<y <3，则2<xy <6，则xy 的取值范围是(2,6)． (2)由(1)知1<x <2,2<y <3，从而－6<－2y <－4，则－5<x －2y <－2，即x －2y 的取值范围是(－5，－2)．状元随笔 (1)根据不等式的性质6可直接求解；(2)求出－2y 的取值范围后，利用不等式的性质5即可求x －2y 的取值范围.课时作业 7一、选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B解析：因为A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，所以A ≥B .答案：B2．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，c <d ，则a c >bdD ．若a 2>b 2，则－a <－b解析：选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立．答案：B3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0 D ．－1<α－β<1 解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1. 又－1<α<1，∴－2<α＋(－β)<2，又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0.故选A. 答案：A4．有四个不等式：①|a |>|b |；②a <b ；③a ＋b <ab ；④a 3>b 3.若1a <1b<0，则不正确的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由1a <1b<0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①不正确；a >b ，②不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.答案：C 二、填空题5．已知a ，b 均为实数，则(a ＋3)(a －5)________(a ＋2)(a －4)(填“>”“<”或“＝”)．解析：因为(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0，所以(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．答案：<6．如果a >b ，那么c －2a 与c －2b 中较大的是________． 解析：c －2a －(c －2b )＝2b －2a ＝2(b －a )<0. 答案：c －2b 7．给定下列命题：①a >b ⇒a 2>b 2；②a 2>b 2⇒a >b ；③a >b ⇒b a<1；④a >b ，c >d ⇒ac >bd ；⑤a >b ，c >d ⇒a －c >b－d .其中错误的命题是________(填写相应序号)．解析：由性质7可知，只有当a >b >0时，a 2>b 2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a >0且a >b 时，b a<1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a >b >0，c >d >0时，ac >bd 才成立，故④错误；对于⑤，由c >d 得－d >－c ，从而a －d >b －c ，故⑤错误．答案：①②③④⑤三、解答题8．已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解析：x 3－1－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，因为x <1，所以x －1<0，又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0， 所以x 3－1<2x 2－2x .9．若bc －ad ≥0，bd >0.求证：a ＋b b ≤c ＋dd. 证明：因为bc －ad ≥0，所以ad ≤bc ， 因为bd >0，所以a b ≤cd， 所以a b ＋1≤c d ＋1，所以a ＋b b ≤c ＋dd. [尖子生题库]10．设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 解析：方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ， 于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故f (－2)的取值范围是[5,10]．方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －bf (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故f(－2)的取值范围是[5,10].。
2.2 基本不等式最新课程标准：掌握基本不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.知识点 基本不等式(1)重要不等式：对于任意实数a 、b ，都有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)基本不等式：ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中a ＋b2和ab分别叫做正数a ，b 的算术平均数和几何平均数．状元随笔 基本不等式ab ≤a ＋b 2(a ，b∈R ＋)的应用：(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a >0，b >0，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤M 24，当且仅当a ＝b 时等号成立．即：a ＋b ＝M ，M 为定值时，(ab )max ＝M 24.(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a >0，b >0，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，当且仅当a ＝b 时等号成立．[基础自测]1．已知a ，b ∈R ，且ab >0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋a b≥2解析：对于A ，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；对于B ，C ，虽然ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误；对于D ，因为ab >0，所以ba >0，ab >0，所以b a＋a b ≥2b a ·a b ，即b a ＋ab≥2成立． 答案：D 2．若a >1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A ．2 B ．aC.2aa －1D ．3 解析：a >1，所以a －1>0， 所以a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2(a －1)·1a －1＋1＝3. 当且仅当a －1＝1a －1即a ＝2时取等号． 答案：D3．下列不等式中，正确的是( ) A ．a ＋4a≥4 B．a 2＋b 2≥4abC.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3解析：a <0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错，a ＝4，b＝16，则ab <a ＋b2，故C 错误；由基本不等式可知D 项正确．答案：D4．已知x ，y 都是正数．(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________． (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．解析：(1)x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值．(2)xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1522＝2254，即xy 的最大值是2254.当且仅当x ＝y ＝152时xy 取最大值．答案：(1)215 (2)2254第1课时 基本不等式题型一 对基本不等式的理解[经典例题] 例1 (1)下列不等式中，不正确的是( ) A.a 2＋b 2≥2|a ||b |B.a 2b≥2a －b (b ≠0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2≥2ab－1(b ≠0) D ．2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(2)给出下列命题： ①若x ∈R ，则x ＋1x≥2；②若a <0，b <0，则ab ＋1ab≥2；③不等式y x ＋x y≥2成立的条件是x >0且y >0.其中正确命题的序号是________． 【解析】 (1)A 中，a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a ||b |，所以A 正确．由a 2＋b 2≥2ab ，得a 2≥2ab －b 2.B 中，当b <0时，a 2b ≤2a －b ，所以B 不正确．C 中，b ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2≥2ab－1，所以C 正确．D 中，由a 2＋b 2≥2ab ，得2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2，所以D 正确．1．举反例、基本不等式⇒逐个判断． 2．明确基本不等式成立的条件⇒逐个判断． 【答案】(1)B【解析】(2)只有当x >0时，才能由基本不等式得到x ＋1x≥2x ·1x＝2，故①错误；当a <0，b <0时，ab >0，由基本不等式可得ab ＋1ab≥2ab ·1ab＝2，故②正确；由基本不等式可知，当y x >0，x y >0时，有y x ＋x y ≥2y x ·xy＝2成立，这时只需x 与y 同号即可，故③错误．基本不等式的两个关注点(1)正数：指式子中的a ，b 均为正数， (2)相等：即“＝”成立的条件． 【答案】(2)②跟踪训练1 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A.a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<b C ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b解析：0<a <b ⇒a 2<ab <b 2⇒a <ab <b,0<a <b ⇒2a <a ＋b <2b ⇒a <a ＋b2<b ，又ab <a ＋b2，所以a <ab <a ＋b2<b .答案：B利用基本不等式时先要确定成立的条件，有的要适当变形处理． 题型二 利用基本不等式求最值[教材P 45例2] 例2 已知x ，y 都是正数，求证：(1)如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； (2)如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.【证明】 因为x ，y 都是正数，所以x ＋y2≥xy .(1)当积xy 等于定值P 时，x ＋y2≥P ，所以x ＋y ≥2P ，当且仅当x ＝y 时，上式等号成立．于是，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P . (2)当和x ＋y 等于定值S 时，xy ≤S2，所以xy ≤14S 2，当且仅当x ＝y 时，上式等号成立．于是，当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.积是定值，和有最小值． 和是定值，积有最大值． 教材反思1．利用基本不等式求最值的策略2．通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．特别提醒：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件． 跟踪训练2 (1)已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则 (1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9 D ．36(2)若正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，则x ＋2y 的最小值( ) A ．3 B ．4 C.92 D.112解析：(1)因为x >0，y >0，且x ＋y ＝8， 所以(1＋x )(1＋y )＝1＋x ＋y ＋xy ＝9＋xy ≤9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝9＋42＝25，因此当且仅当x ＝y ＝4时， (1＋x )·(1＋y )取最大值25.(2)因为正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0， 所以x ＋2y ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－8≥0.设x ＋2y ＝t >0， 所以t ＋14t 2－8≥0，所以t 2＋4t －32≥0， 即(t ＋8)(t －4)≥0， 所以t ≥4，故x ＋2y 的最小值为4. 答案：(1)B (2)B 状元随笔1．展开(1＋x)(1＋y)⇒将x ＋y ＝8代入⇒用基本不等式求最值．2．利用基本不等式得x ＋2y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－8≥0⇒设x ＋2y ＝t>0，解不等式求出x ＋2y的最小值．易错点 利用基本不等式求最值例 若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C ．5D ．6【错解】 由x ＋3y ＝5xy ⇒5xy ≥23xy ， 因为x >0，y >0，所以25x 2y 2≥12xy ，即xy ≥1225.所以3x ＋4y ≥212xy ≥212·1225＝245，当且仅当3x ＝4y 时取等号， 故3x ＋4y 的最小值是245.错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式，等号成立的条件必须一致．【正解】 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x5y ＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5， 当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5. 答案：C课时作业 8一、选择题1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b≥2成立的条件有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当b a ，a b 均为正数时，b a ＋a b≥2，故只须a 、b 同号即可，∴①③④均可以． 答案：C2．已知t >0，则y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为( )A ．－1B ．－2C ．2D ．－5解析：依题意得y ＝t ＋1t－4≥2t ·1t－4＝－2，等号成立时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1t(t >0)的最小值是－2. 答案：B3．若a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12 B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2 D．a 2＋b 2≤3 解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，∴(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)≥(a 2＋b 2)＋2ab ， 即2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2＝4， ∴a 2＋b 2≥2. 答案：C4．若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋4a b的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：因为a ，b 都是正数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号．答案：C 二、填空题5．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是________． 解析：当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0时“＝”成立，此时a ＝1. 答案：a ＝16．设a ＋b ＝M (a >0，b >0)，M 为常数，且ab 的最大值为2，则M 等于________． 解析：因为a ＋b ＝M (a >0，b >0)，由基本不等式可得，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝M 24，因为ab 的最大值为2， 所以M 24＝2，M >0，所以M ＝2 2.答案：2 27．已知x >0，y >0，且1y ＋3x＝1，则3x ＋4y 的最小值是________．解析：因为x >0，y >0，1y ＋3x＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝13＋3x y ＋12y x≥13＋3×2x y ·4yx＝25(当且仅当x ＝2y ＝5时取等号)，所以(3x ＋4y )min ＝25. 答案：25 三、解答题8．已知x <54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值．解析：因为x <54，所以4x －5<0,5－4x >0.f (x )＝4x －5＋3＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3 ≤－2(5－4x )·15－4x＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x 时等号成立，又5－4x >0， 所以5－4x ＝1，x ＝1. 所以f (x )max ＝f (1)＝1.9．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，求a 的值． 解析：因为f (x )＝4x ＋a x≥24x ·a x＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即4x 2＝a 时，f (x )取得最小值． 又因为x ＝3，所以a ＝4×32＝36.[尖子生题库]10．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，求函数y ＝1x ＋81－2x 的最小值． 解析：y ＝22x ＋81－2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋81－2x ·(2x ＋1－2x )＝10＋2·1－2x 2x ＋8·2x 1－2x ， 而x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，2·1－2x 2x ＋8·2x 1－2x ≥216＝8，当且仅当2·1－2x 2x ＝8·2x1－2x ，即x ＝16∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时取到等号，则y ≥18，所以函数y ＝1x ＋81－2x 的最小值为18.。
