[高中数学]函数的零点归纳.ppt

•题型二 判断零点所在的区间
• [探究发现]
• (1)什么是函数的零点？ • 提示：函数的零点是函数y＝f(x)与x轴交点的横坐标．
• (2)f(a)f(b)＜0是连续函数f(x)在区间(a，b)上存在零点的 什么条件？f(a)f(b)＞0时函数在区间上一定没有零点吗？ • 提示：f(a)f(b)＜0是连续函数f(x)在(a，b)上存在零点的 充分不必要条件．f(a)f(b)＞0时函数在区间(a，b)上不一定 没有零点．
• (2)函数零点存在定理是不可逆的．因为由f(a)·f(b)<0可 以
•推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，但是，已知函 数y
•＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定能推出f(a)·f(b)<0. 如图，
• (二)基本知能小试
• 1．判断正误：
•(1)函数的零点是一个点．
()
•(2)任何函数都有零点．
• [方法技巧] 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是 解方程法
否落在给定区间上 首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看 函数零点 是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必 存在定理 有零点 数形 通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 结合法
()
•(3)函数y＝x的零点是O(0,0)．
()
•(4)若函数f(x)满足f(a)·f(b)＜0，则函数在区间[a，b]上至少
有一个零点．
()
•(5)函数的零点不是点，它是函数y＝f(x)的图象与x轴交点 的横坐标，是方程f(x)＝0的根．
•2．函数f(x)＝log2x的零点是 (

3+1
2
(2)由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10．]
2
• 类型2 确定函数零点所在的区间
2

• 【例2】 (1)函数f (x)＝ln (x＋1)－ 的零点所在的大致区间是(
• A．(3，4)
B．(2，e)
C．(1，2)
)
f (1)·f (2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1，2)，故选C．
• 发现规律 判断函数零点所在区间的3个步骤
端点值
• (1)代入：将区间______代入函数求出函数的值．
相乘
• (2)判断：把所得的函数值____，并进行符号判断．
• (3)结论：若符号为__且函数在该区间内是单调函数，则在
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
1
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝− ．所以函数g(x)的零
3
1
点为0和－ ．
3
• 反思领悟 函数零点的求法
• (1)代数法：求方程f (x)＝0的实数根．
• (2)几何法：对于不能用求根公式的方程f (x)＝0，可以将它与函数y＝f
类型1 求函数的零点
类型2 确定函数零点所在的区间
类型3 函数零点个数问题
• 类型1 求函数的零点
2

• 【例1】 (1)函数f (x)＝ቊ + 2 − 3， ≤ 0， 的零点为________；2
－3和e
−2 + ln ， > 0
－3和e2
当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
(2)方程、函数、函数图象之间的关系

要点3 函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条____连__续_不__断_____的曲线，且有 ___f_(a_)_f(_b)_<_0 ___，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得___f(_c)_＝_0____，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
解析 令f(x)＝0，得－x2＋5x－6＝0，即x2－5x＋6＝0，(x－2)(x－3)＝0，
∴x＝2或x＝3.故选B.
3．方程ex－x＝2在实数范围内的解有( C )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析 由题意令y1＝ex，y2＝x＋2，在同一坐标系下作出两个函数的图象， 如图，由图可知两图象有两个交点，即方程ex－x＝2有两个解．故选C.
3．如何正确理解函数零点存在定理？ 答：(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝1x就没有零点． (2)函数y＝f(x)若满足：①函数在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲 线；②f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点． (3)对于有些函数，即使它的图象是一条连续不断的曲线，当它通过零点 时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然函数值没有变 号．但是，对于任意一个函数，相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号． (4)函数在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单 调，若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有且只有一个零点．
4．若二次函数y＝x2＋2x＋k＋3有两个不同的零点，则k的取值范围是( B )
A．(－2，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(2，＋∞)

8.1.1 函数的零点
1
2
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何函数都有零点．
()
(2)任意两个零点之间函数值保持同号．
()
(3)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a)·f(b)＜
A 易知 f(x)＝ax2＋bx＋c 的图象是一条连续不断的曲线，又 f(－ 3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以 f(x)在(－3，－1)内有零点，即方 程 ax2＋bx＋c＝0 在(－3，－1)内有根，同理方程 ax2＋bx＋c＝0 在(2,4) 内有根．故选 A．
8.1.1 函数的零点
第8章 函数应用
8.1 二分法与求方程近似解 8.1.1 函数的零点
8.1.1 函数的零点
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1．理解函数的零点的概念以及函 1．通过零点的求法，培养数学运算 数的零点与方程根的关系．(重点) 和逻辑推理的素养． 2．会求函数的零点．(重点、难点) 2．借助函数的零点与方程根的关 3．掌握函数零点的存在定理并会 系，培养直观想象的数学素养． 判断函数零点的个数．(难点)
8.1.1 函数的零点
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
求函数的零点 求函数 fx的零点时，通常转化为解方程 fx＝0，若方程 fx＝0 有实数根，则函数 fx存在零点，该方程的根就是函数 fx的零点； 否则，函数 fx不存在零点.