基于变阶次分段曲线拟合的MTPA控制

基于分段曲线拟合的HTPB固体推进剂损伤数值模拟作者：沙宝林来源：《计算机辅助工程》2013年第05期摘要：通过对HTPB固体推进剂单轴试验所得的结果进行分段曲线拟合，并对损伤变量进行分段定义，将其引入到HTPB固体推进剂材料的刚度矩阵中，采用Abaqus/Standard中的用户子程序UMAT接口进行编程计算，对材料的损伤特性进行有限元模拟.模拟结果接近于实际结果，可以应用于固体发动机的工程设计中.关键词： HTPB；本构方程；分段曲线拟合；有限元；损伤变量；连续介质损伤力学中图分类号： V512；TB151.1文献标志码： B0引言复合固体推进剂是一种高填充比颗粒增强复合材料，主要由以高分子化合物为母体的黏合剂和掺入其中的大量固体氧化剂颗粒及金属燃料颗粒（如铝粒子等）组成，此外还有少量的附加组分，见图1.黏合剂为黏弹性的橡胶材料，为粒子提供垫子和高氯酸铵，相对于弹性体的黏合剂，主要表现为弹性.铝粉由于具有金属晶体的一些性质，表现出弹塑性.在外载荷作用下，如此复杂的一个复合体不断变形，必然表现出弹性和黏弹性的特征，其中一个力学特性就是拉压与拉剪强度不等.如果考虑大的氧化剂颗粒从黏合剂体系脱开，即所谓的“脱湿”，会形成微裂纹和空洞.事实上，这些微观结构的损伤足以导致推进剂表现出宏观非线性行为.HTPB固体推进剂材料的损伤行为可由BIEGLER和MEHRABADI提出的基于能量的本构模型进行描述[12].图 1推进剂的主要组分和典型物理模型对复合固体推进剂损伤性质的研究，必须建立在试验的基础之上，国内外学者在这方面发表过很多文章[36]，但从应用角度看，多是理论强于实践，需要的测试参数很多，在工程上应用起来有很多不便之处.在单轴拉压条件下的试验结果需通过曲线拟合得到相应的应力应变曲线.若该曲线在一个比较广泛的应变域中，很难用一个统一的函数对其进行精确描述.本文考虑将所描述的应变域进行分段，在每段中以不同的简单函数进行拟合，使固体推进剂的力学行为模拟结果更接近于试验结果.1本构方程和损伤变量1.1本构方程描述根据MEHRABADI和COWIN的表述：（1）对于任意弹性对称体，全应力张量和全应变张量可以分解为6个或少于6个的等同形式的特征张量之和；（2）对于任意弹性对称体，每个特征应力张量直接与其等同形式的特征应变张量成正比；（3）总应变能可分解为6项或少于6项之和，每项都是等同形式的特征应力与特征应变的标量积，表示6个互不作用的能量模态.所建立材料模型只适用于平面应力情况.在没有损伤影响下，材料在单向应力状态下应力与应变之间的本构关系是线性的.对于正交各向异性的复合材料，应力与应变之间的弹性本构关系为T=C：E（1）式中：C为2阶刚度张量，其矩阵形式可写为与其他各向异性材料相同，HTPB推进剂表现为拉压和剪切性质的不同，因此式（2）是假定材料为正交各向异性后所得出的沿2个不同方向的初始值.E11和E22可考虑在2个正交方向上取拉伸和压缩试验的平均值，υ12和υ21同样可以通过试验确定.根据文献，要描述复合材料的正交各向异性，应该分解应力张量和应变张量.在平面应力状态下，全应力和全应变分解成对应其特征值的3个特征张量.由上述第二个性质可知，第i个特征值λi，特征应力与特征应变之间的关系可写为Tci=λiEci（3）由第三个性质，可得2ρ=3iTciEci（4）式中：ρ为总应变能密度.对于这些非相互作用的能量模态，可用于建成立失效准则.1.2损伤变量的定义根据连续介质损伤力学可以假定，复合固体推进剂材料的非线性特性完全是由材料的损伤引起的.当损伤变量D=0时，材料是完全弹性的；当D=1时，材料完全损伤.对于线弹性材料，可以证明按材料刚度的改变定义损伤变量与连续介质损伤力学中按横截面损伤的比值定义损伤变量是等价的，因此若损伤之前材料的刚度为C0，损伤后的刚度为C（02应力应变曲线的分段拟合通过对复合固体推进剂材料的试样进行拉伸、剪切或者压缩试验，可以得到固体推进剂材料的力学性质.若能对应力应变试验值进行较简单的拟合，得到一个统一表达的函数，则可以使上述编程过程变得相对简单.但是，在一个较大的应变域中，可能很难找到一个能够描述试验形态的统一函数.因此，可以考虑用分段拟合的方法得到相应的应力应变关系曲线.设第r（r=1，2，…）组试验数据，取线性无关组φ（i）ij（ε）=εi-1ri=1，2，…，m，j=1，2…，n（21）由m次最小二乘拟合，可得多项式σr（ε）=mk=0Crkφrk（ε）=mk=0Crkεk-1r（22）将式（22）代入式（15）中，可以得到在不同区域的范围内，对损伤变量的不同定义为Dr=I-1CroTr（E）E（23）式（23）中需要确定Cro，在增量计算中Cro为分段区域端点上2条拟合曲线所共同具有的切线斜率，因此在分段拟合中，保持2条拟合曲线在端点处满足条件Tr-1（E-0）=Tr（E+0）=k0Tr-1（E）EE=E-0=Tr（E）EE=E+0（24）k0需满足在计算过程中的稳定性要求.将计算所得的Dr代入（21）式，通过修改Abaqus/Standard中UMAT的DDSDDE进行计算.某配方常温下HTPB固体推进剂应力应变曲线见图2.图 2HTPB固体推进剂典型应力应变曲线局部放大后，当ε表 1HTPB推进剂材料性质参数εmaxab数值102.13.2但是，当ε>10%以后，用双曲正切函数并不能很好地拟合试验曲线，因此在此区间，可采用最小二乘法进行拟合，见表2.表 2HTPB固体推进剂的材料性质第二段试验数据应变102555应力/MPa0.410.690.92由表2 拟合出如下函数.σ（ε）=0.187 9ε0.6-0.024 92ε（26）根据式（26）可得出在ε>10%后的损伤变量定义为D2=1-175.40（0.112 7ε-0.6+0.024 92）（27）3有限元模拟和结果讨论推进剂材料使用圆柱型试件，其尺寸为Φ25 mm×50 mm圆柱型裂纹试件，两端采用专用夹具与拉伸机连接.程序开头片段见图3.图 3程序开头片段计算结果均通过von Mises应变εe和应力σe进行分析.试件的整体应力云图见图4；推进剂材料在破坏前的整体应力云图见图5；载荷时间分别为推进剂在1，2.5，7.5和15 s时的剖面应力云图见图6.图 4含夹具试件的整体应力云图图 5推进剂的整体应力云图图 6推进剂在载荷时间分别为1，2.5，7.5和15 s时的剖面应力云图根据应力计算分析的结果，推进剂发生破坏的位置在推进剂材料的中心位置，随着载荷时间的增加，推进剂内部的应力逐渐增大.若要发生破坏，则从推进剂最中心的位置产生，从这个位置扩展，向外层表面延伸，直到试件完全破坏.由图6可知，推进剂表现出明显的非线性黏弹性特征.随着位移的增加，应力呈曲线上升；因为拉伸速率为定值，所以应变为线性发展趋势，这与试验情况一致.材料单轴加载试验表明，在ε4结束语依据试验结果，通过对单轴试验曲线的适当分段拟合，用有限元法进行模拟，可以对HTPB推进剂材料的损伤行为做出较好解释，其模拟结果与试验也有较好的一致性.参考文献：[1]COWIN S C， MEHRABADI M M. The structure of the linear anisotropic elastic symmetries[J]. Mech Phys Solids， 1992， 40（7）： 14591471.[2]ARRAMON Y P， MEHRABADI M M， MARTIN D W， et al. A multidimentional anistropic strength criterion based on kelvin modes[J]. Int J Solids & Struct， 2000， 37（21）：29152935.[3]沈观林，胡更开. 复合材料力学[M]. 北京：清华大学出版社， 2006： 2944.[4]李灏. 损伤力学基础[M]. 济南：山东科学技术出版社， 1992： 4349.[5]LEMAITRE J. A continuous damage mechanics model for ductile fracture[J]. J Eng Mat & Technol， 1983， 107（1）： 8389.[6]LOCKYEAR S A. Mechanical analysis of transversely loaded wood/plastic sections[D]. Pullman： Washington State University， 1999.。

种分段曲线拟合方法研究摘要：分段曲线拟合是一种常用的数据处理方法，但在分段点处往往不能满足连续与光滑.针对这一问题，本文给出了一种能使分段点处连续的方法.该方法首先利用分段曲线拟合对数据进行处理；然后在相邻两段曲线采用两点三次Hermite插值的方法，构造一条连结两条分段曲线的插值曲线，从而使分段点处满足一阶连续.最后通过几个实例表明该方法简单、实用、效果较好.关键词：分段曲线拟合Hermite 插值分段点连续Study on A Method of Sub-Curve Fitting Abstract：Sub-curve fitting is a commonly used processing method of data, but at sub-points it often does not meet the continuation and smooth, in allusion to to solve this problem, this paper presents a way for making sub-point method continuous. Firstly, this method of sub-curve fitting deals with the data; and then uses the way of t wo points ' cubic Hermite interpolation in the adjacent, structures a interpolation curve that links the two sub-curves, so the sub-point meets first-order continuation; lastly, gives several examples shows that this method is simple, practical and effective.Key words: sub-curve fitting Hermite interpolation sub-point continuous前言数据拟合是一种重要的数据处理方法,其中最常用的是多项式曲线拟合.然而当数据点较多时,多项式阶数太低,拟合精度和效果不太理想，要提高拟合精度和效果就需要提高曲线阶数,但阶数太高又带来计算上的复杂性及其他方面的不利.因此,如果只采用一种多项式曲线函数拟合较多的数据点,难以取得较好的拟合精度和效果.为有效地解决上述问题,一般采用分段曲线拟合.以往的分段曲线拟合方法主要是针对在自然科学领域中测量的数据而使用的拟合方法,这些数据的变化一般都遵循一定的规律.因此,在对这些测量数据拟合时,传统的分段曲线拟合方法一般是先根据主观经验对数据分段, 然后进行拟合.但是对于有些实际问题的数据,比如社会、经济生活中的大量统计数据,这些数据变化的机理一般非常复杂,往往不像物理定律那样有着严格的规律,所以变化的不确定性很强.因此,传统的分段曲线拟合根据主观经验对数据进行分段的做法就显现出明显地不足针对这种不足,国内外许多文献也讨论过，文献[1] 研究的是最小二乘法在曲线拟合中的实现，给出了最小二乘法在多元正交基函数拟合中的计算机实现方法，以常见的二次曲线拟合为例说明了程序编制的要点，在实验的数据处理中具有实用价值；文献[2] 讨论分段最小二乘曲线拟合方法，本文在一般最小二乘的基础上提出分段最小二乘曲线拟合的方案，讨论了连接分段拟合曲线的方法，并且给出分段最小二乘多项式拟合的计算方法；文献[4]主要介绍基于最小二乘原理的分段曲线拟合法，在最小二乘的基础上，运用实测数据点的分段曲线拟合法，探讨相应的模型以及用不同类型的曲线拟合同时拟合数据点的具体应用，对一实例,应用MATLAB 编程设计，完成模型的求解、显著性检验等，可以得到拟合精度比较高的拟合曲线，该方法原理简便，其模型易用MATLAB 编程求解；文献[5]研究的是基于最小二乘法的分段三次曲线拟合方法研究，多项式曲线拟合是一种较常用的数据处理方法，但当数据点较多时，只采用一种多项式曲线函数拟合所有数据点难以得到较好的拟合效果，针对传统分段曲线拟合方法中对数据点分段时经验成分较多的不足，提出了一种基于最小二乘法原理的分段三次曲线拟合方法，建立三次拟合曲线方程，通过实际数据的检验，验证了该方法的拟合效果；文献[6,7,8] 主要研究基于分段三次曲线拟合的广州周发案量预测，随着城市化进程的不断加快，城市人口不断增多，广州市未来治安形势预警，支持政府部门和政法部门关于治安工作的决策，首先需要对未来时期的发案量做出比较精确的预测，由于目前广州市方案量统计数据比较少，且发案量受农历春节影响较明显，针对传统时间序列预测方法在此情况下应用不足，提出了基于分段三次曲线拟合的周发案量预测模型，并给出了具体的建模、计算步骤，最后通过实际数据的检验，证明了方法预测效果较好；文献[9]提出了分段函数的光滑方法及其在曲线拟合中的应用，在分析复杂实验数据时，采用分段曲线拟合方法，利用此方法在段内可以实现最佳逼近，但在段边界上却可能不满足连续性与可导性.为了克服这种现象，本文主要研究一种能使段边界连续的方法，具有一定的理论和实际意义.在前人的基础上，本文总结分段曲线拟合的方法与步骤，介绍了分段三次曲线的拟合方法和两点三次Hermite插值，然后讨论如何利用Hermite插值方法使得分段拟合曲线在连接点处满足连续方法，最后通过一些实例应用，表明本文所介绍的方法具有一定的应用价值.1最小二乘曲线拟合 1.1最小二乘法⑴令待求的未知量为a 1,a 2,川,a t ，它们可由n(n >t)个直接测量y 1,y 2,川，y n 通过下列函 数关系求得：力=f 1(a 1,a 2」||,a t ) y 2 = f 2(a 1,a 2,川,a t )W = f 3(a 1,a 2,川,a t )IHIIIHIy n = f n (a 1,a 2,川，a t )若a j 为真值，由上述已知函数求出真值y j ，若其测量值为y *，则对应的误差为b j=y j-y j ，(j i ，2,Hin).最小二乘法可定量表示为：nZ b 2 =minj4对不等精度的测量，应加上各测量值的权重因子P j ，即：nZ PjO"2 = minjrn最小二乘法是在随机误差为正态分布时，由最大似然法推出的这个结论 .它可使测 量误差的平方和最小，因此被视为从一组测量值中求出一组未知量的最可信赖的方法 .1.2最小二乘多项式曲线拟合的基本原理⑵1.2.1线性拟合原理将拟合函数取线性函数是一种简单的数据拟合方法，将数据点(X 1, f (X 1)),( X 2, f(X 2)),川,(X m , f(X m ))确定线性拟合函数®(x) = a + bx称为对数据的线性拟合。

PA指标分析一．PA的工艺PA的设计指标包括频率、带宽、功率、效率、线性度,甚至可能也要要求噪声。

目前主要有两种工艺CMOS和GaAs。

CMOS工艺比GaAs有优势的地方，主要是集成度和成本。

所以但凡是要求效率、噪声、线性度等指标的放大器都不会选择CMOS工艺。

同时，CMOS的衬底损耗大,在大功率（1W以上）和低噪声方面都做不过砷化镓,所以无线网络和手机市场就被GaAs PA所统治，因为它可以支持高频率和高功率应用，而且效率很高。

CMOS PA则在蓝牙和ZigBee应用领域占据主导地位，因为它一般运行功率更低，而且性能要求没有那么苛刻。

二．PA选型GSM是恒包络调制，对线性度要求不高，所以使用非线性PA即可;LTE是非恒包络调制，幅度包含调制信息，所以对线性度要求很高，采用的是线性PA；CMOS目前无法满足高线性的要求,目前LTE PA几乎都是使用GaAs。

GaAs电子迁移速率是传统SI的六倍，所以截止频率高适合作为PA, 常见的PA多为GaAs材质。

但是CMOS工艺比较成熟，容易和transceiver集成在同一芯片内，但是前提是解决好大信号和小信号的隔离比较困难.一般这种SOC带内杂散都比较高三。

PA指标详解衡量各类功率放大器性能的主要性能指标有：工作频带及带宽、输出功率、增益及增益平坦度、输入及输出反射系数(驻波比)、线性度等,1.工作频带及带宽工作频带是指满足其他所有性能指标要求的连续工作频率范围。

带宽用来表示传输信号所占有的频率宽度，由传输信号的最高频率和最低频率决定，两者之差就是带宽值，即。

相对带宽定义为信号带宽与中心频率之比，公式表示为对于窄带、宽带的划分而言，目前尚无统一的严格定义，但通常有以下几种约定或定义方法。

在天线应用中，相对带宽时，称为窄带天线；当时，称为宽带天线；当时，称为超宽带天线。

对于射频电路模块，按工程设计经验，相对工作带宽低于，划为窄带模块；若一个射频电路模块的相对工作带宽高于，就被划为宽带模块。

第27卷㊀第11期2023年11月㊀电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报Electri c ㊀Machines ㊀and ㊀Control㊀Vol.27No.11Nov.2023㊀㊀㊀㊀㊀㊀基于机器学习正则化理论的永磁同步电机转矩跟踪型MTPA 控制方法漆星,㊀郑常宝,㊀曹文平,㊀张倩(安徽大学电气学院,安徽合肥230601)摘㊀要:内置式永磁同步电机(IPMSM )中的最大转矩电流比控制(MTPA )是交流电机控制中的经典问题㊂电动汽车用IPMSM 要求其控制策略不仅能够满足MTPA ,还能够精确地跟踪转矩指令㊂为解决这一问题,引入机器学习中的正则化理论,将传统的MTPA 控制问题转化成机器学习中的L 1㊁L 2正则化问题进行求解㊂首先将MTPA 控制问题等效为机器学习中的L 2正则问题,再对上述L 2正则问题中的转矩约束条件进行L 1正则转矩建模,从而实现对IPMSM 的转矩跟踪;最后使用拉格朗日对偶方法,对正则化后的MTPA 问题进行最优化求解㊂理论分析和试验结果表明,将IPMSM 中的MTPA 控制问题转化为正则化问题求解后,可以得到兼顾最大转矩电流比和高转矩跟踪精度的最优电流分配方案㊂所提方法结构简单㊁易于解释,还可以避免由于模型误差和电感饱和特性而造成的性能降低,从而融合了模型驱动法和数据驱动法的优势㊂关键词:内置式永磁同步电机;最大转矩电流比;转矩跟踪;机器学习;正则化;拉格朗日对偶DOI :10.15938/j.emc.2023.11.014中图分类号:TM351文献标志码:A文章编号:1007-449X(2023)11-0138-11㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀收稿日期:2022-03-17基金项目:国家自然科学基金(51507001)作者简介:漆㊀星(1985 ),男,博士,讲师,研究方向为电机控制中的人工智能技术;郑常宝(1963 ),男,博士,教授,博士生导师,研究方向为交流电机及其控制㊁电力电子技术;曹文平(1969 ),男,博士,教授,博士生导师,研究方向为交流电机及其控制㊁电机故障诊断;张㊀倩(1984 ),女,博士,教授,博士生导师,研究方向为交流电机及其控制㊁电机优化设计㊂通信作者:漆㊀星Torque-tracking MTPA control strategy of permanent magnet synchronous motors based on machine learning regularization theoryQI Xing,㊀ZHENG Changbao,㊀CAO Wenping,㊀ZHANG Qian(College of Electrical Engineering,Anhui University,Hefei 230601,China)Abstract :Maximum torque per ampere (MTPA )in internal permanent magnet synchronous motor (IPMSM)is a classical problem in AC motor control.The control strategy of IPMSM for electric vehicle not only need to achieve the MTPA,but also need to accurately track the torque commands.In order tosolve above problem,a regularization concept from machine learning theory was introduced to transform the traditional MTPA problem into L 1and L 2regularization issues.Firstly,the MTPA control problem is equivalent to the L 2regularization issue,and then the L 1regularization torque modeling was carried out for the torque tracking.Finally,the Lagrange dual method was used to optimize the above regularization-based MTPA problem.Theoretical and experimental analysis show that the proposed method can achieve an optimal current distribution scheme which both the maximum torque current ratio and the high torquetracking accuracy can be considered.Moreover,the proposed method solves the problem in a simple andanalytical manner,and the solution is easy to be interpreted.Thus,it combines the advantages of model-driven and data-driven methods.Keywords:interior permanent magnet synchronous motor;maximum torque per ampere;torque tracking; machine learning;regularization;Lagrange duality0㊀引㊀言内置式永磁同步电机(interior permanent magnet synchronous motor,IPMSM)由于其高效㊁高功率密度㊁宽调速范围等优点,在工业控制领域中大量应用㊂IPMSM本身具有的凸极性可以产生磁阻转矩,相较于表贴式永磁电机具有更高的动力输出㊂然而,IPMSM的凸极性会使得电机内部的交㊁直轴电感不一致,进而引出IPMSM控制中的交㊁直轴电流分配问题㊂在实际工程中,为减小损耗㊁最大限度地利用磁阻转矩,一般采用最大转矩电流比(maximum torque per ampere,MTPA)方式对IPMSM中的交㊁直轴电流进行分配[1]㊂近年来,一些特定领域的高速发展对IPMSM中的MTPA控制策略提出新的需求㊂例如,在电动汽车㊁数控机床等应用领域,其IPMSM中的MTPA控制策略不仅要求能够找出满足最大转矩电流比的最优交-直轴电流,还要求能够精确地跟踪转矩指令,称为转矩跟踪型MTPA控制㊂在已知给定转矩指令的条件下,如何使得电机的实际输出转矩与指令转矩保持一致,也是转矩跟踪型MTPA控制策略研究中需要解决的问题㊂现如今主流的MTPA方法主要分为模型驱动法和数据驱动法两类㊂模型驱动方法是利用电机本身的电感㊁磁链等模型,或者是利用谐波注入㊁在线搜索等手段,通过公式解析的方法推导出IPMSM中交㊁直轴电流的最优设定值[2-4]㊂模型驱动法具有结构简单㊁容易实现和易于解释的特性,其缺点在于使用的是电机的近似模型而非精确模型,往往无法克服模型误差的问题,在处理电感中的交叉饱和效应时难度较大[5-6],从而导致实际转矩跟踪精度下降,往往不能满足转矩跟踪型MTPA方法的要求㊂另一类MTPA方法主要基于电机实测数据,称为数据驱动法,具体而言,是搜集电机的有限元分析数据[7]或者电机离线测试数据[8],再通过数据拟合或数据挖掘的方法建立MTPA问题的数据模型㊂数据驱动的方法不依赖电机的近似模型,并且在数据挖掘的过程中已经考虑了由于电感磁饱和或交叉磁饱和而引起的非线性,因此转矩跟踪精度优于模型驱动方法㊂不过与模型驱动法使用的解析表达不同,现有的数据驱动方法大多使用非解析的隐式表达,例如神经网络㊁随机森林㊁支持向量机等[9-11],或者以网格搜索的形式建立 转速-转矩-电流形式查找表并存储在电机控制器的MCU中[12]㊂相较于模型驱动方法,数据驱动方法虽然具有较高的转矩精度,但是存在数据结构复杂㊁算法结果不易解释等缺陷㊂以上两种方法都具有各自的优缺点,而迄今为止还没有一种方法能够融合两种方法之间的优势,从而实现算法简洁㊁结果精确的转矩跟踪型MTPA控制㊂基于此,本文借鉴机器学习理论中的正则化思想,研究一种将MTPA问题转化成机器学习理论中的L1㊁L2正则化问题的方法㊂首先将MTPA控制问题等效为机器学习中的L2正则问题,再对上述L2正则问题中的转矩约束条件进行L1正则转矩建模,最后使用拉格朗日对偶方法,对正则化后的MT-PA问题进行优化求解㊂理论分析和实验结果表明,将IPMSM中的MTPA问题转化成机器学习中的正则化问题后,可以得到兼顾最大转矩电流比和高转矩跟踪精度的最优解,从而满足转矩跟踪型MTPA 的需求㊂本文方法结构简单㊁模型易于解释,又避免由于模型误差和电感饱和特性而造成的性能降低,从而融合模型驱动方法和数据驱动方法的优势㊂1㊀IPMSM的MTPA控制和机器学习正则化理论1.1㊀IPMSM的数学模型与MTPA控制假设IPMSM模型为线性,即交㊁直轴电感为恒值,并忽略温度变化引起的电阻变化,则IPMSM在d-q轴坐标系下的电压方程为:u sd=R s i sd+dψsdd t-ωeψsq;u sq=R s i sq+dψsqd t-ωeψsd㊂üþýïïïï(1)式中:u sd㊁u sq为d-q轴电压;i sd㊁i sq为d-q轴电流; R s为定子电阻;ωe为电角频率;ψsd和ψsq分别为d-q 轴磁链,其中:931第11期漆㊀星等:基于机器学习正则化理论的永磁同步电机转矩跟踪型MTPA控制方法ψsd =L d i sd +ψf ;ψsq =L q i sq ㊂}(2)其中:L d ㊁L q 分别为d㊁q 轴电感;ψf 为永磁体磁链㊂IPMSM 的转矩方程为T e =32n p [ψf i sq +(L d -L q )i sd i sq ]㊂(3)式中n p 为电机的极对数㊂MTPA 控制方法是IPMSM 控制中较为常用的方法,其目的是以最小铜损实现IPMSM 的最大转矩控制,以输出电流最小为优化目标,可将传统的模型驱动MTPA 控制方法用数学描述为:min(i 2sd +i 2sq );s.t.T e =32p [ψf i sq +(L d -L q )i sd i sq ];i2sd+i 2sqɤi2smax㊂}(4)对式(4)使用拉格朗日乘子法,可将其等效为L (i sd ,i sq ,λ)=i 2sd +i 2sq +λ{T e -1.5p [ψf i sq +(L d -L q )i sd i sq ]}㊂(5)式中:L (㊃)表示拉格朗日函数;λ为拉格朗日乘子㊂对式(5)求偏导,最终可得最优的d -q 轴电流的设定值为:i sd =-ψf +ψ2f+4(L d -L q )2i 2sq2(L d -L q );i sq =i 2smax-i sd ㊂üþýïïïï(6)可以看出,使用式(3)~式(6)的MTPA 方法需要预知电机的转矩模型,以及ψf ㊁L d 和L q 等模型参数,考虑到模型的非线性和电感的交叉饱和特性,实际电机运行过程中ψf ㊁L d 和L q 的精确值往往难以获得,因此模型驱动方法通常只能获得最优电流值的近似解而非精确解,从而影响到最终的转矩跟踪精度㊂同时,传统的MTPA 控制问题为转矩开环的电流分配问题㊂例如,从式(3)~式(6)可知,i sd ㊁i sq 的选取只与实际输出转矩T e 有关,与指令转矩无关,因此不能构成指令转矩闭环的转矩跟踪控制㊂1.2㊀机器学习中的正则化理论由于本文方法是建立在机器学习中的正则化理论上的,因此本节对正则化理论进行简要介绍㊂机器学习中的正则化理论是通过最小化系数矩阵来降低学习器训练过程中存在的泛化误差,防止学习器陷入过拟合㊂同时,正则化理论可将特征选择和学习器的训练过程融为一体,即在学习器训练过程中自动进行特征选择[13]㊂给定数据集D ={x ,y ɪR |(x 1,y 1), ,(x n ,y n )},以线性回归模型为例,未正则化时,学习器的最小化训练损失函数为arg min w {ðni =1(y i -w T x i )2}㊂(7)而正则化后,学习器的最小化训练损失函数为arg min w {ðni =1(y i -w T x i )2+λ w P }㊂(8)式中:w =[w 1,w 2, ,w n ]为线性回归模型的系数矩阵; ㊃ P 表示P 范数;λ为拉格朗日乘子㊂可以发现,加入正则项后,使得系数矩阵w 最小也是其优化训练损失函数的目标㊂称P =1时的式(8)求解问题为L 1正则问题,其中系数矩阵w 的L 1范数为w 1=|w 1|+|w 2|+ +|w n |㊂(9)称P =2时的式(8)求解问题为L 2正则问题,其中系数矩阵w 的L 2范数为w 2=w 21+w 22+ +w 2n ㊂(10)L 1正则和L 2正则在特征选择上的区别如图1所示,其中椭圆和菱形(圆形)区域的切点就是目标函数的最优解㊂可以发现L 1正则和L 2正则都有助于降低过拟合的风险,然而L 1正则中,均方误差(mean square error,MSE)等高线和L 1范数的交点大多在某项坐标轴上,这表明L 1正则更倾向于获得多项系数为0的稀疏模型,以使模型具有结构简洁㊁易于解释的特性;而在L 2正则中,MSE 等高线和L 2范数的交点大多不在坐标轴上,这表明L 2正则更倾向于获得各项系数尽可能小的精确模型,以使模型具有高精确性[14]㊂在本文的方法中,将会综合使用L 1和L 2正则技巧,从而使得本文方法兼具简洁性㊁易解释性和高精确性的优势㊂图1㊀L 1和L 2正则化示意图Fig.1㊀Demonstration of L 1and L 2regularizations41电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第27卷㊀2㊀基于正则化理论MTPA 控制方法2.1㊀转化为L 1和L 2正则问题的MTPA 控制方法本节将IPMSM 的MTPA 问题转化为L 1和L 2正则化问题,并给出方法的总体框架㊂若考虑转矩指令跟踪精度的要求,则可将转矩跟踪精度作为优化目标,即IPMSM 的转矩跟踪MTPA 问题可重写为以转矩跟踪精度为目标的电流最优分配问题,即:argmin i s (T ref e -T e )2;s.t.T e =f (i s );i s 2ɤi 2smax ㊂}(11)式中:T e 表示电机实际输出转矩;Trefe表示指令转矩;i s ={i sd ,i sq }为d -q 轴电流的向量表示㊂再使用拉格朗日松弛法,可得式(11)的等价形式为MTPA argmin i s {(Tref e-T e )2+λ( i s 2-i 2smax )} argmin i s [(T ref e -T e )üþýïïïMSE2+λ i s 2}L 2REG]㊂(12)至此得到了式(8)所示的MTPA 的L 2正则等价形式,根据1.2节正则项的定义,其中转矩误差项MSE 保证了转矩跟踪精度最优特性,而正则项L 2REG 使得输出电流最小,使其具有最大转矩电流比特性,从而兼具了转矩跟踪精度和MTPA 的要求㊂事实上,可将式(3)代入式(12)中的约束项T e =f (i s ),则可将式(12)中转化为模型驱动的转矩跟踪型MTPA 问题进行求解㊂然而,根据1.1节分析,由于ψf ㊁L d 和L q 的参数真实值往往未知,并且ψf ㊁L d 和L q 还可能存在着非线性和交叉饱和问题,使用模型驱动求解方法往往无法获得理想的转矩跟踪精度㊂因此,本文将采用数据驱动的L 1正则化方法进行转矩模型T e =f (i s )的求解㊂由此得到的最终模型为:MTPA argmin i s {(T refe-T e )2+λ i s 2},L 2正则;s.t.T e =f (i s ),L 1正则;i s 2ɤi 2smax ㊂}(13)或简写成MTPA arg min i s {(T ref e -f (i s )üþýïïïL 1正则)2+λ i s 2üþýïïïïïïïïïïL 2正则-λi 2smax }㊂(14)由此,便可以将转矩跟踪型MTPA 控制问题转化成机器学习中的L 1㊁L 2正则化问题㊂其中L 2正则可以保证算法结果的精确性,而L 1正则可以保证算法结构的简洁性和可解释性㊂在实践中,本文研究方法的实际操作可分为离线测试阶段和在线调节阶段,如图2所示㊂具体步骤为:1)在离线阶段采集电机的测试数据,包括不同转速下的转矩T e ㊁d 轴电流i sd 和q 轴电流i sq ;2)将步骤1中采集的数据存储至数据池中,并建立电机转矩的L 1正则模型,具体方法由2.2节给出;3)将步骤2中建立的L 1正则转矩模型代入式(14)中的L 2正则MTPA 问题,并使用拉格朗日对偶原理求解最优拉格朗日乘子λ,具体方法由2.3节给出;4)在求出步骤3中的最优λ后,使用优化理论完成最优i sd 和i sq 的求解,从而实现在线的转矩跟踪型MTPA 控制㊂图2㊀基于L 1、L 2正则化问题的MTPA 控制框图Fig.2㊀MTPA control block based on L 1and L 2regularization2.2㊀基于L 1正则问题的转矩建模本节分析式(13)㊁式(14)中,基于L 1正则化理论的转矩建模方法㊂首先借鉴传统转矩模型的结构建立字典库,再基于字典库,采用L 1正则化理论中的LASSO 回归方法建立结构最优的数据驱动转矩模型,使得建立的转矩模型兼具精确性㊁简洁性和可解释性㊂具体步骤为:1)采集电机的台架测试数据{T e ,i sd ,i sq };2)建立数据驱动的转矩模型结构为T e =ΞΘ(i s ),其中,Ξ=[ξ1, ,ξn ]为模型系数矩阵,Θ(i s )为在转矩模型中有可能出现的i sd ㊁i sq 的组合,称之为字典库[15]㊂借鉴式(3)中传统的转矩模型结构,认为Θ(i s )中的字典复杂度不会超过i s 的二次型结构,即Θ(i s )=[1i P1s i P2s ]=[1i sdi sq i 2sd i 2sqi sd i sq ]㊂(15)141第11期漆㊀星等:基于机器学习正则化理论的永磁同步电机转矩跟踪型MTPA 控制方法式中i P1s ={i sd ,i sq }和i P2s ={i 2sd ,i 2sq ,i sd i sq }分别表示i s 内部元素的一次型和二次型结构㊂则模型的展开式为T e =ΞΘ(i s )=ξ1+ξ2i sd +ξ3i sq +ξ4i 2sd +ξ5i 2sq +ξ6i sd i sq ㊂(16)3)使用L 1正则化理论中的LASSO 回归[16]进行最优模型系数ξ∗1~ξ∗6的求解,表示为LASSO Ξ=arg min ξ∗i{(ð6i =1ξi Θ(i s )-T e )2+λ i s 1}㊂(17)由1.2节分析可知,使用L 1正则可以获得稀疏的最优系数矩阵Ξ∗=[0, ,ξ∗k , ,0],即式(16)模型中大部分系数为0,如图3所示,由此获得的数据驱动转矩模型具有结构简洁㊁易于解释的特性㊂图3㊀基于L 1正则化的转矩建模Fig.3㊀Torque modelling based on L 1regularization4)求得最优稀疏系数矩阵Ξ∗后,代入式(14),最终可将IPMSM 的MTPA 问题转化为MTPA arg min i s {[T ref e -Ξ∗Θ(i s )]2+λ( i s 2-i 2smax )}㊂(18)式中:i s =(i sd ,i sq )为需要求解的d -q 轴电流值;λ为未知参数㊂2.3㊀使用拉格朗日对偶求解最优参数对式(18)进行分析可知,λ的选择会影响到最优i sd ㊁i sq 的求解:过低的λ值会导致过大的i s 绝对值,而过高的λ值会导致过大的转矩跟踪误差,如图4所示㊂因此在求解最优i sd ㊁i sq 前,须先确定最优λ值,记为λ∗㊂针对上述问题,本节使用拉格朗日对偶方法[17]求解λ∗,步骤如下:首先引入拉格朗日函数L (i s ,λ,i smax ),表达式为L (i s ,λ,i smax )=(T ref e -Ξ∗Θ(i s ))2+λ( i s 2-i 2smax )㊂(19)图4㊀λ的选择对最优i sd 、i sq 的影响Fig.4㊀Selection of λand its effect to i sd and i sq则可将式(18)重写为MTPA min i s min λL (i s ,λ,i smax )㊂(20)则与之对应的拉格朗日对偶问题为MTPA min i s min λL (i s ,λ,i smax )min λmin i s L (i s ,λ,i smax )=min λmin i s [(T ref e -Ξ∗Θ(i s ))2+λ( i s 2-i 2smax )]㊂(21)再令g (i s ,λ)=(T ref e -Ξ∗Θ(i s ))2+λ i s 2,对g (i s ,λ)以i sd ㊁i sq 为自变量求偏导,并令其为0,记为:g (i s ,λ)i sd[]i sd=-(T refe-Ξ∗Θ(i s )) Ξ∗Θ(i s ) i sd+λi sd =0; g (i s ,λ) i sq[]i sq=-(T ref e -Ξ∗Θ(i s)) Ξ∗Θ(i s ) i sq+λi sq =0㊂üþýïïïïïïïï(22)对式(22)求解可得i sd ㊁i sq 基于λ的表达式,记为i sd (λ)和i sq (λ)㊂再将i sd (λ)和i sq (λ)代入式(18),可将式(18)转化为最优λ∗求解问题,表示为min λ{[T ref e -Ξ∗Θ(i sd (λ),i sq (λ)]2+λ[i sd (λ)2+i sq (λ)2-i 2smax )]}㊂(23)对式(23)进行求极值,可求得最优λ∗,将λ∗代入式(18),便可求解式(18)中的L 2正则问题,进而可使用牛顿法或单纯形法[18]等经典优化算法得到最优值i ∗sd 和i ∗sq ㊂241电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第27卷㊀3㊀仿真算例分析为能直观地说明本文方法的操作步骤,并验证本文方法的有效性,在MATLAB/Simulink仿真环境下进行实际算例演示,仿真电机参数如表1所示㊂在本节中,分别考虑L d㊁L q为恒参数值和变参数值这两种情况进行算例分析㊂表1㊀电机参数Table1㊀Parameters of motor㊀㊀参数数值额定功率/kW60额定电流/A350额定转速/(r/min)3000额定转矩/(N㊃m)205控制器直流电压/V340极对数4定子电阻/Ω0.02永磁体磁链/Wb0.0773.1㊀恒L d、L q参数值的MTPA控制策略假定L d㊁L q数值不会随着i sd㊁i sq变化,在仿真模型中设L d=0.00033H㊁L q=0.00082H,根据式(3)得到传统的转矩模型为T e=0.462i sq-0.0029i sd i sq㊂(24)在本节的仿真中,不考虑电机的数学模型和转矩模型,而直接让电机运行于不同的转速和转矩,采集转矩T e㊁d轴电流i sd以及q轴电流i sq数据,并使用式(16)中的L1正则方法进行T e=ΞΘ(i s)求解,解得T e的模型为T e=Ξ∗[1i s i P2s]=ξ3ξ6éëêêêêêêêêùûúúúúúúúú1i sd i sq i2sd i2sq i sd i sq[]=0.4539i sq-0.0029i sd i sq㊂(25)将式(25)与式(24)中的传统转矩模型T e= 0.462i sq-0.0029i sd i sq进行比较,可以发现,L1正则方法虽然是数据驱动的模型,但是和传统的转矩模型相比结构相同㊁系数相似㊂因此,相较于以往的神经网络㊁支持向量机等数据驱动模型,本文方法具有结构简洁㊁易于解释的特性㊂同时,重复上述实验50次,得到的系数均相似,如图5中的箱线图所示,表明了算法的可重复性和可靠性㊂图5㊀L1正则转矩模型的系数箱型图Fig.5㊀Coefficient boxplot of L1regularization图6为分别使用式(25)的L1正则转矩模型和式(3)的传统转矩模型,在不同的转矩指令T∗e下,真实转矩与计算转矩之间的转矩误差比较,可以发现,两种方法差别不大,表明了L1正则转矩模型的精确性㊂图6㊀L1正则转矩模型和传统转矩模型的比较Fig.6㊀Torque comparison between L1regularization model and classical model根据式(18)和式(25),可得最终的L1㊁L2正则表达式为arg min i s{[T∗e-(0.4539i sq-0.0029i sd i sq)]2+λ( i s 2-i2smax)}㊂(26)再使用2.3节所述方法进行最优λ求解,将式(26)代入式(22),得:g(i s,λ)i sd=0.0029i sq(T∗e-0.4539i sq+0.0029i sd i sq)+λi sd=0;g(i s,λ)i sq=-0.4539(T∗e-0.4539i sq+0.0029i sd i sq)+λi sq=0㊂üþýïïïïïïïï(27)341第11期漆㊀星等:基于机器学习正则化理论的永磁同步电机转矩跟踪型MTPA控制方法再结合式(23),经过简化计算,解得最优λ∗近似值为λ∗=10.45392i smax+(0.0029T ∗e)2㊂(28)将式(28)代入式(18),在不同转矩指令T ∗e 下使用单纯形法求极值,最终可得不同T ∗e 下的最优电流指令i ∗sd 和i ∗sq ㊂至此,正则化的MTPA 方法计算结束㊂图7为使用正则化MTPA 方法和使用传统MT-PA 方法,在不同转矩指令Trefe={20,40,60,80, ,200N㊃m}下的效果比较㊂其中,传统的MTPA 方法使用式(3)~式(6)所示的方法㊂为清晰起见,在图7中分别标出了在转矩指令T ref e 为{80,100,120,140}时,两种比较方法的实测转矩T e 和实测电流绝对值|i s |数据㊂可以发现,在转矩跟踪精度以及i sd ㊁i sq 最优电流分配的性能指标上,使用正则化MTPA 方法与传统MTPA 方法相比优势并不显著,只是在电流较大时,正则化MTPA 方法在转矩跟踪精度上才显著优于传统MTPA 方法㊂图7㊀正则化MTPA 方法和传统MTPA 方法的比较Fig.7㊀Comparison between regularization method andclassical method3.2㊀变L d ㊁L q 参数值的MTPA 控制策略考虑磁饱和以及交叉磁饱和的影响,实际中L d ㊁L q 的值往往会跟随不同i sd ㊁i sq 的值发生变化,在实际中,测得某台电机的L d ㊁L q 变化如图8所示,根据图8中的i sd ㊁i sq 建立L d ㊁L q 的查找表㊂同样在弱磁区以下让电机运行于不同的转速和转矩,并采集转矩数据T e ㊁d 轴电流数据i sd 以及q 轴电流数据i sq ,最后使用式(16)中的L 1正则方法进行T e =ΞΘ(i s )求解,解得变L d ㊁L q 参数下的转矩T e 模型为T e =Ξ∗1i s i P2s []=00ξ30ξ5ξ6éëêêêêêêêêêùûúúúúúúúúú1i sd i sq i 2sd i 2sq i sd i sq[]=-0.0298i sd +0.3272i sq +0.0006i 2sq -0.0014i sd i sq ㊂(29)可以发现,虽然L d ㊁L q 的变化较为复杂,但基于L 1正则方法仍然给出了最简洁的转矩模型㊂图8㊀变L d ㊁L q 条件下的L d ㊁L q 值分布Fig.8㊀L d and L q distribution under varying L d ,L qconditions图9为分别使用式(29)的L 1正则转矩模型和式(5)的传统转矩模型,在不同的转矩指令T ∗e 下,真实转矩与计算转矩之间的误差比较㊂可以发现正则化MTPA 方法明显优于传统方法㊂441电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第27卷㊀图9㊀使用L 1正则模型和传统模型的转矩比较Fig.9㊀Torque comparison between L 1regularizationmodel and classical model根据式(18)和式(29),可得最终的L 1㊁L 2正则表达式为argmin i s {[T ∗e -(-0.0298i sd +0.3272i sq +0.0006i 2sq -0.0014i sd i sq )]2+λ( i s 2-i 2smax )}㊂(30)后续最优λ∗及i ∗sd 和i ∗sq 计算与3.1节类似㊂使用正则化MTPA 方法和使用传统MTPA 方法在不同转矩指令T ∗e ={40,60,80, ,180N㊃m}下的比较结果如图10所示㊂同样的,传统MTPA 方法由式(3)~式(6)所示,转矩模型采用式(24)中的数值㊂为清晰起见,在图10中分别标出了转矩指令T ref e 为{80,100,120,140}时的两种方法实测转矩T e 和实测电流绝对值|i s |数据㊂可以发现,使用正则化MTPA 方法在各个转矩指令下,转矩跟踪精度和电流分配上都较传统的MTPA 方法具有明显的提高㊂图10㊀正则化MTPA 方法和传统MTPA 方法比较Fig.10㊀Comparison between regularization method and classical method3.3㊀结果讨论从3.1节的结果中可以看出,在恒L d ㊁L q 的工况下,正则化MTPA 方法与传统MTPA 相比结果相差不大㊂这是因为在L d ㊁L q 的精确值已知㊁且为恒定的条件下,转矩模型较为简单,传统转矩模型和L 1正则转矩模型具有相同的结构和相近的系数,同时,在Simulink 仿真环境中的电机模型多为理想模型,不用考虑模型误差和外部环境干扰的问题㊂由此可以得出结论:在模型参数精确值已知且恒定,并且不存在模型误差和外部干扰的条件下,本文研究的正则化MTPA 方法相较传统MTPA 方法优势并不明显㊂不过,上述的条件过于理想,在实际工程中并不容易实现㊂而从3.2节的结果中可以看出,在L d ㊁L q 根据不同工况发生变化的条件下,正则化MTPA 方法较传统MTPA 具有明显优势㊂这是因为在变L d ㊁L q 的工况下,使用式(3)已经无法描述精确的转矩模型,从而造成了较大的转矩跟踪误差;而正则化MTPA 方法使用实际运行数据来对转矩进行数据建模,从而有效避免了由于电感饱和效应导致的模型误差以及实际运行环境带来的干扰,显著提升了转矩跟踪精度㊂同时,从式(25)和式(29)可以看出,虽然本文的方法也是数据驱动方法,但是使用L 1正则方法可以获得结构简洁㊁易于解释㊁利于工程实现的数据模型,这是其他数据驱动方法,例如神经网络㊁支持向量机等方法不具备的优势㊂综上所述,本文研究的正则化MTPA 方法适用于存在模型误差和实际环境干扰的运行场合,并且兼顾了精确性㊁简洁性和可解释性㊂4㊀实验验证4.1㊀实验环境与实验步骤所研究的方法在AVL 电机台架上进行试验验证,试验平台如图11所示,由被测电机㊁被测电机控制器以及测功机构成㊂实验时,被测电机运行于转矩模式,测功机运行于转速模式㊂被测内置式永磁同步电机与第3节仿真中的电机参数相同,被测电机控制器的主控芯片为TI 公司的TMS320280049型DSP㊂具体实验步骤如下:1)测功机以300r /min 转速步长分别运行于n ={300,600, ,3000r /min},被测电机在不同转速n 下,以不同的i sd ㊁i sq 电流运行,以便输出不同转矩㊂2)在步骤1所述的不同转速㊁转矩㊁电流条件541第11期漆㊀星等:基于机器学习正则化理论的永磁同步电机转矩跟踪型MTPA 控制方法下,分别采集被测电机的运行数据,包括转速n ㊁电机转矩T e ㊁d 轴电流i sd ㊁q 轴电流i sq ,记为{n ,T e ,i sd ,i sq },共计400组㊂3)使用步骤2采集的400组数据进行被测电机转矩的L 1正则化建模,L 1正则化建模使用式(17)所示的LASSO 回归实现,并用MATLAB 语言在PC 机中完成㊂所建立的L 1正则化转矩模型具有结构简单的特征,可以移植到电机控制器的DSP 中㊂4)将步骤3建立的转矩模型移植进被测电机控制器的DSP 中,并建立式(18)所示的L 2正则转矩跟踪型MTPA 模型,进而在不同的转矩指令T ref e 下实现兼顾转矩跟踪精度和最优转矩电流比的d -q 轴电流分配㊂图11㊀实验平台示意图Fig.11㊀Experimental test-bench4.2㊀实验结果与分析在电机转速为300r /min,转矩指令T refe={20,40,60,80, ,200N㊃m}的条件下,分别使用本文正则化方法和基于模型方法进行d -q 轴电流分配,并记录本文方法和基于模型方法的实际输出转矩T e ,如图12和图13所示,上述两种方法对转矩指令的跟踪误差比较如图14所示㊂可以发现,使用本文方法较传统方法转矩精确跟踪优化的目标函数,同时使用数据驱动的L 1正则进行转矩建模,从而规避了由于交叉饱和效应引起的模型误差㊂图12㊀使用本文方法的输出转矩示意图Fig.12㊀Torque output of the proposedmethod图13㊀使用基于模型方法的输出转矩示意图Fig.13㊀Torque output of the model-basedmethod图14㊀本文方法和基于模型方法转矩跟踪误差Fig.14㊀Torque tracking comparison between the pro-posed method and model-based method图15为本文方法和基于模型方法的i s 电流绝对值比较,可以发现,在转矩指令较小时,基于模型方法的i s 电流绝对值大于本文的正则化MTPA 方法,而在转矩指令较大时,基于模型方法的i s 电流绝对值小于本文的正则化MTPA 方法㊂这是由于图15所示的转矩跟踪误差所导致的㊂在转矩指令较低时,基于模型的方法会输出远大于指令的转矩,从而需要更高的电流值;而在转矩指令较高时,基于模型的方法会输出远小于指令的转矩,从而需要更低的电流值㊂而在转矩误差相近的区域,两种方法的电流值相差不大㊂这表明,基于模型的方法和本文的方法都是以最小电流作为优化指标,因此都可以输出较小的电流值㊂不过由于转矩误差的不同,两种方法在不同的转矩指令范围内输出的电流值也不尽相同㊂641电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第27卷㊀。

基于曲线特征分段的多阶 FRFT 滤波提取齿轮早期故障特征王国威;梅检民;曾锐利;常春【摘要】对于变速器齿轮早期微弱故障特征难以提取的问题，提出了一种基于曲线特征进行分段的多阶分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，FRFT）滤波方法。

首先，依据振动信号频率曲线的特征将目标档位的啮合频率曲线分成若干频率近似线性变化的信号段，然后通过计算确定相应信号段的分数阶傅里叶变换的滤波最佳阶次，再逐段进行滤波，从而分离出包含故障特征信息的目标阶比分量，进而进行故障特征提取。

通过采用该方法分析变速器变加速工况振动信号，结果表明，基于曲线特征进行分段的多阶 FRFT 滤波能够有效分离出啮合频率分量，对分离出的分量进行阶次包络解调分析，能准确提取出齿轮微弱故障特征。

%To solve the difficulty of extracting early weak fault features of a gearbox,a method of multilevel fractional Fourier transformation (FRFT)filtering based on segmenting with features of a curve was proposed.Firstly,the time-frequency curve of a gear vibration signal in target-gears was segmented according to features of the curve so that the frequency variation in each segment was approximately linear.Then the best FRFT filtering order of each segment was calculated and each segment was filtered to eliminate interference components,at last the fault features were extracted. Vibration signals of a gearbox under variably accelated conditions were analyzedwith FRFT,and the test results showed that the target order components under variably accelerated conditions can be extracted using multilevel FRFT;gear fault features can be obtained with envelope demodulation analysis of the extracted order components.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2016(035)011【总页数】6页(P161-166)【关键词】基于曲线特征分段;多阶FRFT滤波;变加速工况;特征提取【作者】王国威;梅检民;曾锐利;常春【作者单位】军事交通学院研究生管理大队，天津 300161;军事交通学院军用车辆系，天津 300161;军事交通学院军用车辆系，天津 300161;军事交通学院研究生管理大队，天津 300161【正文语种】中文【中图分类】TH132变速器早期故障特征微弱，在稳态运行时难以暴露；而变转速过程更能充分暴露微弱的故障特征，但其他分量和噪声干扰也更强，因此如何有效剥离噪声和其他分量干扰，提取携带故障特征信息的目标阶比分量成为提取早期故障微弱故障特征的关键[1]。

专利名称：基于二元二次函数拟合的变励磁同步电机MTPA控制方法
专利类型：发明专利
发明人：焦宁飞,刘卫国,张华,侯奕,蒋鸿,田高礼
申请号：CN201210350616.2
申请日：20120920
公开号：CN102857159A
公开日：
20130102
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：本发明涉及一种基于二元二次函数拟合的变励磁同步电机MTPA控制方法，针对控制结构图中的直交轴电流解算模块，提出一种采用二元二次函数进行直交轴电流函数拟合的方法，即将式（3）中的直交轴电流函数分别拟合为关于T和Ψ的二元二次函数，最终完成变励磁同步电机的最大转矩电流比控制。

本发明有益效果：1）采用二元二次函数拟合方法进行直交轴电流函数的拟合，解决了变励磁同步电机MTPA控制中直交轴电流函数难以获得的问题；2）本发明方法中采用的二元二次函数拟合方法简单有效，相比于二维查表法等其他方法，具有拟合程度好，所占内存小的优势。

申请人：西北工业大学,陕西航空电气有限责任公司
地址：710072 陕西省西安市友谊西路127号
国籍：CN
代理机构：西北工业大学专利中心
代理人：王鲜凯
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