高考诊断性测试数学试卷(含答案) (2)

2024学年河北省邢台三中高三第二学期3月高考诊断性测试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a b a b b a b ⎧=⎨<⎩，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．2．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，当(]0,1x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为( )A ．3-B ．3C ．13- D ．133．已知圆锥的高为33体积的比值为( )A ．53B ．329C ．43D ．2594．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ）A ．13B ．310C ．25D ．345．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．26C ．5D ．5346．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则AB =（ ） A ．{2} B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-7．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．的是 A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段B ．平面DMN ⊥平面11BCC BC ．三棱锥1A DMN -的体积为定值D ．DMN ∆可能为直角三角形8．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e上有三个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．222,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭10．函数()32f x x x x =-+的图象在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．211．双曲线()221x y m c m -=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（ ） A ．3 B ．5 C ．62 D ．5212．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ）A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试（二）理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U R =，集合{}|53A x x =-<≤，{}|14B x x =<<，则()U C A B ⋃=（）A .{x |5x ≤-或1x >}B .{x |5x ≤-或3x >}C .{}|14x x <<D .{x |13}x <≤2.已知复数3211iz i =++，则|z |＝（）A .21+B .2C .1D .53.已知,a b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A .若//,//a b b α，则//a αB .若//,,//a b a b αβ⊥，则αβ⊥C .若βααα∥，∥，∥b a ，则//a bD .若//,//,a b αβαβ⊥，则a b⊥4.古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中，记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的办法．如图，已知圆锥的高与底面半径均为2，过轴1OO 的截面为平面OAB ，平行于平面OAB 的平面α与圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分．若双曲线C 的两条渐近线分别平行于,OA OB ，则建立恰当的坐标系后，双曲线OC 的方程可以为（）A .2214x y -=B .2214y x -=C .221y x -=D .2212y x -=5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.安排甲、乙、丙、丁4名航天员到空间站开展工作，每个舱至少安排1人，若甲、乙两人不能在同一个舱开展工作，则不同的安排方案共有（）A.36种B.18种C.24种D.30种6.将函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度，所得图象的对称轴中与y 轴距离最近的是（）A .12x π=-B .6x π=-C .6x π=D .12x π=7.有诗云：“芍药承春宠，何曾羡牡丹”，芍药不仅观赏性强，且具有药用价值，某地以芍药为主打造了一个如图的花海大世界，其中大圆半径为8，大圆内部的同心小圆半径为3，两圆之间的图案是对称的．若在其中阴影部分种植红芍．倘若你置身此花海大世界之中，则恰好处在红芍中的概率是（）A .12B .2150C .55128D .55648.已知1211log 1,1,143aa a ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为（）A .(0，14)∪(1，＋∞)B .(0，14)C .(14，1)D .(13，1)9.已知函数()lg xf x e x =-，则f （x ）的图象大致为（）10.等腰三角形ABC 内接于半径为2的圆O 中，2AB AC ==，且M 为圆O 上一点，则+⋅MA MO MB MC ⋅的最大值为（）A .2B .5C .14D ．1611.已知曲线221:0C x y x y +--=，曲线21:C x y +=，直线0y y =与曲线1C 的交点记为1M ，与曲线2C 的交点记为2M ．执行如图的程序框图，当0y 取遍[－1，212+]上所有实数时，输出的点构成曲线C ，则曲线C 围成的区域面积为（）A .42π+B .22π+C .44π+D .24π+12.已知m m e e +=，5n n e +=，则m n lg 与n m lg 的大小关系是（）A .m n lg ＜nm lg B .m n lg ＞nm lg C .m n lg ＝nm lg D .不确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知0tan <θ，sin 323πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin θ＝.14.已知点P 为抛物线C ：22(0)y px p =>上一点，若点P 到y 轴和到直线34120x y -+=的距离之和的最小值为2，则抛物线C 的准线方程为.15.已知函数2ln ,044,0x x x x x ⎧>⎨++≤⎩若方程()f x k =有3个互不相等的实数根321,,x x x ()321x x x <<，则321x x x 的取值范围为.16.已知四棱锥P ABCD -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，//AD BC ，3AB AD CD ===，3ABC π∠=，PA =，M 是线段AB 上一点，且AM AB λ=．过点M 作球O 的截面，所得截面圆面积的最小值为2π，则λ＝.三、解答题：本大题共7小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且()*1nS n n N n=+∈．（I ）求数列{n a }的通项公式；（II ）求数列{}2na n a ⋅的前n 项和nT ．18.（12分）某中学组织学生进行地理知识竞赛，随机抽取500名学生的成绩进行统计，将这500名学生成绩分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80,90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，若,,a b c 成等差数列，且成绩在区间[80,90)内的人数为120．（I ）求a ，b ，c 的值；（II ）估计这500名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（III ）若用频率估计概率，从该中学生中抽取5人，成绩在区间[90,100]内的学生人数为X ，求X 的数学期望.19.（12分）正方体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 交于点O ，点E 为1AA 的中点，点F 在1CC 上，且平面11B D F /平面BEO．（I ）求1FC CF的值；（II ）求二面角11B F D O --的余弦值．20.在圆22:1O x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为D ，点Q 满足2DQ PQ =．当点P 在圆O 上运动时，点Q 的轨迹为曲线C ．（I ）求曲线C 的方程；（II ）设曲线C 与y 轴正半轴交点为A ，不过点A 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，若0AM AN ⋅=，试探究直线l 是否过定点．若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．21.（12分）已知函数()1cos ,2x x f x x x e ππ⎛⎫-⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎣⎦⎝⎭．（I ）求证：函数f （x ）在[-π，2π]上单调递增；（II ）当[]0,π-∈x 时，()sin cos cos xk x f x x e x ⎡⎤≥+-⎣⎦恒成立，求实数k 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑．22.（10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2cos sin x t a y t α=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<）．（I ）求曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的普通方程；（II ）点P （2，0），若曲线1C 与曲线2C 有且只有一个交点M ，求|PM |的值．23.（10分）选修4－5：不等式选讲已知a ，b ，c 都是正数，且a b c ++=1.证明：（I ）127abc ≤；（II ）b c a c a b ++≤+++参考答案一、选择题题号123456789101112答案ACBCDDCBACAB二、填空题13.322-14.1x =-15.()4-∞-，16.13或23三、解答题17.解：（I ）由1nS n n=+得2n S n n =+，当2n ≥时,()()2111n S n n -=-+-，两式相减得，当2n ≥时,12n n n a S S n -=-=，当1n =时，112a S ==，满足2n a n =，∴数列{n a }通项公式为()*2n a n n N =∈（II ）由222224na n n n a n n ⋅=⋅=⋅，∴23244464 (24)nn T n =⨯+⨯+⨯++⨯23414244464...24n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯，两式错位相减得()2341181432424242424242414nn n n n T n n ++⨯--=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-⨯=-⋅-∴8884399n n T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（*n N ∈）18.解：（I ）依题意可得：120500100.024c =÷÷=又∵,a b ，c 成等差数列，∴2b a c =+且（0.0052)101a b c ⨯+++⨯=，解得：0.036,0.03a b ==（II ）设估计中位数为t ，则[70,80)t ∈，∴()()0.0050.03610700.030.5t +⨯+-⨯=，解得：73t =，即中位数估计为73，估计平均数为：550.05650.36750.3850.24950.0573.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（III ）由题意可知：成绩在区间[90,100]内概率为20110005.0=⨯，X 的取值为0,1,2,3,4,5，根据条件可知，⎪⎭⎫ ⎝⎛2015~，B X ，∴()412015=⨯=X E .19.（I ）证明：连接11A C 交11B D 于M ，连接1AC ，MF ∵在正方体中，O 为AC 的中点，E 为1AA 的中点∴1//EO A C ，∵平面F D B 11∥平面BEO ，平面11A ACC ∩平面MF F D B =11，平面11A ACC ∩平面EO BEO =，∴//MF EO∴C A MF 1∥，∴M 是11C A 的中点，∴F 是1CC 的中点，∴11=FC CF.（II ）以A 为坐标原点，1,,AA AD AB 分别为z y x ,,轴建立如图所示空间直角坐标系xyz A -，设2=AB .∴()()()()20212222001111，，，，，，，，，，，B F D O ∴()()()0221022111111，，，，，，，，-=-=--=B D F D O D ∴平面FO D 1的一个法向量()2,3,11-=n，平面11FB D 的一个法向量()2,1,12=n，设二面角11B F D O --的大小为θ，则θ为锐角，∴2121cos 2121=⋅=n n n nθ，∴二面角11B F D O --的余弦值为2121.20.解：（I ）设点P （0x ，0y ），Q （x ，y ）∵2DQ PQ = ，∴0012x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩，∵22001x y +=，2214x y +=（II ）A （0，1），设M （1x ，1y ），N （2x ，2y ）由0AM AN ⋅=∴()()()()11221212,1,1110AM AN x y x y x x y y ⋅=-⋅-=+--=当直线l x ⊥轴时，△MAN 为钝角三角形，且90MAN ∠< ，不满足题意．∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为：y kx b=+由2244y kx b x y =+⎧⎨+=⎩，化简得：()222148440k x kbx b +++-=()()22222206441444014k b k bb k ∆>⇒-+->⇒<+2121222844,1414kb b x x x x k k --+==++∴()()()2212121211AM AN x x k x x k b x x b ⋅=++-++- ()()()()()22222222144114810141414k b b k k b b k k k +--+-=-+=+++∴()()()()()22222144811140kb k b b b k +---+-+=35b =-∴直线l 的方程为：35y kx =-，恒过点（0，35）21.（I ）证明：∵()()()212sin sin x xxx e x e xf x x x e e ---=+=+'当0≤≤-x π时，π+≤-≤222x ，x x e e≤≤11，0sin 1≤≤-x ，∴()ππe x exx+≤+-≤<2sin 220，即()0>'x f 当20π≤≤x 时，()0>'x f 恒成立.∴当2ππ≤≤-x 时，()0>'x f 恒成立∴函数f （x ）在[-π，2π]上单调递增.（II ）当x π=-，0时，不等式显然成立当0<<-x π时，1sin 0x -≤<，∴1cos sin x x k x--≤令()1cos sin x xg x x--=，则()()()()221sin sin 1cos cos 1sin 1cos sin sin x x x x xx x xg x xx'+---++-==令()()1sin 1cos h x x x x =++-，()()()cos cos 1sin 1sin 0h x x x x x x x =---=->'在()0，π-上成立，∴h （x ）在()0，π-上为单调递增函数，且02=⎪⎭⎫⎝⎛-πh ∴当⎪⎭⎫⎝⎛--∈2,ππx 时，()0<x h ，即()0g x '<；∴当⎪⎭⎫⎝⎛-∈02，πx 时，()0>x h ，即()0>'x g ；∴g （x ）在,2ππ⎛⎤--⎥⎝⎦上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛-02，π上单调递增；∴()min 122g x g ππ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭∴12k π≤+22.解：（I ）由题意得：1C 的普通方程为2212x y +=∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴1C 的极坐标方程为()221sin 2ρθ+=11由2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0)απ<<当2πα=时，2C 的普通方程为：2x =当2πα≠时，2C 的普通方程为：()2tan y x α=-（II ）点P 在直线l 上，将2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入方程：2212x y +=，得：()222cos 2sin 4cos 20t t ααα+++=由曲线1C 与2C 只有一个交点，得：()22216cos 8cos 2sin 0ααα-+=解得：6cos 3α=±()224cos 622cos 2sin t ααα=-=±+∴2PM t ==23.解：（I ）∵a ，b ，c 都是正数133a b c ++≤=，（当且仅当a b c ==取“＝”）∴127abc ≤（II ）∵,,a b c 都是正数∴b c +≥，（当且仅当b c =取“＝”）∴b c ≤=+（当且仅当b c =取“＝”）同理a c ≤=+（当且仅当a c =取“＝”）a b ≤=+（当且仅当a b =取“＝”）b c a c a b ++≤+++（当且仅当a b c ==取“＝”）.。

2022年海南省海口市高考数学学科能力诊断试卷（二）1. 已知集合，，则( )A. B.C. D.2. 复数的虚部为( )A.B.C.D.3. 已知x ，且，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 在核酸检测时，为了让标本中DNA 的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR 技术对DNA 进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA 的数量单位：与PCR扩增次数n 满足，其中为DNA 的初始数量．已知某待测标本中DNA 的初始数量为，核酸探针能检测到的DNA 数量最低值为，则应对该标本进行PCR 扩增的次数至少为参考数据：，( )A. 5B. 10C. 15D. 205. 设公差不为0的等差数列的前n 项和为，已知，则( )A. 9B. 8C. 7D. 66.已知双曲线E ：的两个焦点为，，以为圆心，为半径的圆与E 交于点P ，若，则E 的离心率为( )A. B. 2 C. D. 37. 如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4，则该圆台的体积为( )A.B. C. D.8. 已知函数是定义在R 上的奇函数，函数的图象关于直线对称，若，则( )A. 5B. 1C.D.9. 一组样本数据，，…，的平均数和中位数均为5，若去掉其中一个数据5，则( )A. 平均数不变B. 中位数不变C. 极差不变D. 方差不变10. 已知，，则( )A.B. C. D.11. 如图所示，正方体的棱长为2，点E ，F分别为和的中点，则( )A. 平面B.平面C. 平面截正方体的截面面积为3D. 点D 到平面的距离为12. 已知函数及其导函数满足，且，则( )A. 在上单调递增B. 在上有极小值C.的最小值为D.的最小值为013. 函数的最小正周期为______.14. 已知向量，的夹角为，，且，若，则______.15. 第二届消博会中国国际消费品博览会于2022年5月在海南国际会展中心举办，甲、乙两人每人从A ，B ，C ，D 四个不同的消博会展馆中选2个去参观，则他们参观的展馆不完全相同但都参观A 展馆的概率为__________.16. 已知抛物线C ：的焦点为F ，第一象限的A ，B 两点在C 上，若，，，则直线AB 的斜率为______.17. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，求；若，AB 边的中点为D ，求18. 已知数列的各项均为正整数且互不相等，记为的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等比数列；②数列是等比数列；③注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．19. 如图，正三棱柱的高和底面边长均为2，点P，Q分别为，BC 的中点．证明：平面平面；求直线BP与平面所成角的正弦值．20. 为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，某校组织学生加强100米短跑训练．在某次短跑测试中，抽取100名男生作为样本，统计他们的成绩单位：秒，整理得到如图所示的频率分布直方图每组区间包含左端点，不包含右端点若规定男生短跑成绩小于秒为优秀，求样本中男生短跑成绩优秀的概率；估计样本中男生短跑成绩的平均数；同一组的数据用该组区间的中点值为代表根据统计分析，该校男生的短跑成绩X服从正态分布，以中所求的样本平均数作为的估计值．若从该校男生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在以外的人数为Y，求附：若，则21. 已知椭圆的离心率为，且经过点求C的方程；动直线l与圆O：相切，与C交于M，N两点，求O到线段MN的中垂线的最大距离．22. 已知函数，若，求的最小值；若当时，恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：，或，或，，故选：根据集合的基本运算即可求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】D【解析】解：，则复数的虚部为故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，先化简，再结合虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：当时，，则，即；当时，，即；当时，；是的充分条件；当时，由于，则，即是的必要条件；综上，是的充要条件．故选：从充分性和必要性两个角度分别判断，即可得出答案．本题考查充要条件的判断以及不等式的性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查对数函数的实际应用，属于基础题.由题意可知，，，令，结合对数函数的公式，解出n，即可求解．【解答】解：由题意可知，，，令，得，两边同时取对数可得，，所以故选5.【答案】C【解析】解：，，故选：根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，以及等差中项的性质，即可求解．本题主要考查等差数列的前n项和公式，以及等差中项的性质，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：如图，依题意可得，则，取的中点为D，连接，，，则，则，可得，则E的离心率为故选：依题意可得，取的中点为D，连接，，利用，即可求解．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7.【答案】D【解析】解：圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为，则其面积为，得，所以扇环的两个圆弧长分别为和，设圆台的上底半径，下底半径分别为，，圆台的高为h，则，，所以，又圆台的母线长，所以圆台的高为，所以圆台的体积为故选：由条件结合扇形面积公式可求圆台的上下底面的半径，结合圆台的轴截面图形可求圆台的高，利用圆台体积公式求其体积．本题考查圆台的体积，考查学生的运算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：因为的图象关于对称，则是偶函数，，且，所以，对任意的恒成立，所以，因为且为奇函数，所以，因此，故选：分析可知是偶函数，利用偶函数的定义推导出，利用已知条件求出的值，即可求得的值．本题考查了抽象函数的奇偶性、对称性，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：假设…，则原来的中位数为，去掉后，由于去掉的正好是平均数，且是中间的数，则平均数和极差极差是极大值与极小值的差不变，故A，C正确；去掉数据5后，中位数为，这个值不一定为5，所以B不正确，对于D，原来的方差为……，去掉后，新的方差……因为去掉的数据恰好等于平均值，有…………，所以剩下的数据的方差增大，故选：根据平均数．中位数．极差．方差概念求解即可紧扣平均数．中位数．极差．方差定义和公式，属于简单题型10.【答案】BD【解析】解：因为，，又，所以，故B正确，所以，，，故A错误，由已知可得，可得，故C错误，可得，故D正确．故选：由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式以及二倍角的余弦公式化简即可逐项判断求解．本题考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式以及二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：如图所示，设BC的中点为G，连接GE，FG和GA，GE与交于点I，连接与交于点H，连接HI，平面截正方体所得的截面即，因为在正方体中，F，G分别为，BC的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，，因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，故A正确；在矩形中可看出与HI不垂直，所以与平面不垂直，故B错误；截面是一个等腰梯形，上底，下底，在矩形中，，所以，所以，故C错误；，所以，因为，所以，所以，设点D到平面的距离为d，则，，所以，得，即点D到平面的距离为，所以D正确．故选：如图所示，设BC的中点为G，连接GE和GA，GE与交于点，连接与交于点H，连接HI，平面截正方体所得的截面即，然后逐个分析判断即可．本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：设，则，所以为常数，所以，又，所以，所以，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得极小值，因为，所以，所以在上有极小值，可知A，B都正确．，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的极小值即最小值为，故C错误．，当时，，，所以，当时，，，所以，而当时，，所以的最小值为0，故D正确．故选：构造函数，利用导数运算公式求出函数的解析式，由此可得函数的解析式，再由导数与函数的单调性，极值及最值的关系判断各选项．本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．13.【答案】【解析】解：函数的最小正周期故答案为：由题意利用正弦函数的周期性即可得出结论．本题主要考查正弦函数的周期性，考查了函数思想，属于基础题．14.【答案】【解析】解：向量，的夹角为，，且，，可得，，可得：，，故答案为：根据已知条件求得，进而求解结论．本题主要考查向量的数量积，考查计算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．根据题意得到全部基本事件为36种，再用列举法列举法列出符合条件的基本事件，即可得到答案．【解答】解：甲选2个去参观，有种方法，乙选2个去参观，有种方法，共有种，他们参观的展馆不完全相同但都参观A 展馆的情况有：，，，，，，共6种，对应的概率为故答案为：16.【答案】【解析】解：如图所示，设C 的准线为1，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足分别为D ，E ，过A 作于点P ，由抛物线的定义可知，，所以，又因为，所以，所以直线AB 的斜率故答案为：利用抛物线的几何性质，以AB为斜边，构建直角三角形即可求解．本题考查了抛物线的性质，属于基础题．17.【答案】解：根据正弦定理得，所以；由已知得由余弦定理得，即，解得或舍去，在中，由余弦定理得，所以【解析】由正弦定理可求；由余弦定理可求c，进而可求本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属中档题．18.【答案】解：选①②为条件，③为结论，即已知数列是等比数列，数列是等比数列，求证：证明：设等比数列的公比为q，由题意知且，则，，，是等比数列，，，展开整理得，，；选择①③为条件，②为结论，即已知数列是等比数列，，求证：数列是等比数列．证明：设等比数列的公比为q，由题意知且，，，，，，，，数列是首项为q，公比为q的等比数列；选择②③为条件，①为结论，即已知数列是等比数列，，求证：数列是等比数列．证明：设数列的公比为q，由题意得，且，则，，，且，，，当时，，，数列是首项为，公比为q的等比数列．【解析】选①②为条件，③为结论，根据已知条件及等比数列的通项公式，再利用等比数列数列的前n项和公式，结合等比中项即可求解；选择①③为条件，②为结论，根据已知条件及等比数列的通项公式，再利用等比数列前n项和公式，结合等比数列的定义即可求解；选择②③为条件，①为结论，根据已知条件及等比数列的通项公式，得出，再利用与的关系，结合等比数列的定义即可求解．本题考查等比数列的运算，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：因为是正三角形，Q为BC的中点，所以，因为平面ABC，平面ABC，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面设线段AC，的中点分别为O，，以O为坐标原点，分别以OB，OC，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．因为正三棱柱的底面边长和高均为2，所以，，，，，所以，，设为平面的一个法向量，则，令，则设直线BP与平面所成角为，则，所以直线BP与平面所成角的正弦值为【解析】由于是正三角形，Q为BC的中点，可得，再由正棱柱的性质得，则由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论，设线段AC，的中点分别为O，，以O为坐标原点，分别以OB，OC，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解．本题主要考查面面垂直的证明，线面角的计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：由频率分布直方图可得，，解得，故样本中男生短跑成绩优秀的概率为估计样本中男生短跑成绩的平均数为：由可知，，则X服从正态分布，故该校男生短跑成绩在以外的概率为，由题意可得，，【解析】本题主要考查频率分布直方图的应用，以及正态分布的对称性，属于基础题．根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，求出a，即可求解．结合平均数公式，即可求解．根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及二项分布的概率公式，即可求解．21.【答案】解：根据题意列出方程组：，解得所以C的方程为当l的斜率不存在时，线段MN的中垂线为x轴，此时O到中垂线的距离为当l的斜率存在时，设l：，，因为l与圆相切，则O到l的距离为，所以联立方程，得，则，可得MN的中点为则MN的中垂线方程为，即因此O到中垂线的距离为，当且仅当时等号成立综上所述，O到线段MN的中垂线的最大距离为【解析】首先根据题意列出方程组，再解方程组即可．当l的斜率不存在时，O到中垂线的距离为当/的斜率存在时，设l：，，根据直线与圆相切得到，求出中垂线得到O到中垂线的距离为，再利用基本不等式即可得到答案．本题考查圆锥曲线的综合，考查学生的运算能力，属于难题．22.【答案】解：当时，，所以，易知单调递增，且，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为设，由题意可得对任意恒成立．，若，则，则存在，使得当时，，所以在上单调递减，故当时，，不符合题意．若，由知当时，，所以，当时，，因此在上单调递增．又，所以当时，综上，a的取值范围是【解析】对函数求导后，求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值，设，由题意对任意恒成立，然后利用导数求出函数的最小值大于零即可．此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查数学转化思想、分类讨论思想，属于难题．。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 答案：B解析：根据三角函数的定义，sin(α) = 对边/斜边，cos(α) = 邻边/斜边，tan(α) = 对边/邻边。

故选B。

2. 答案：A解析：由指数函数的性质可知，当底数大于1时，指数函数是增函数。

故选A。

3. 答案：C解析：根据向量的数量积定义，a·b = |a|·|b|·cosθ，其中θ为向量a和向量b的夹角。

当a和b同向时，θ=0°，cosθ=1；当a和b反向时，θ=180°，cosθ=-1。

故选C。

4. 答案：D解析：由二项式定理可知，(a+b)^n = C(n,0)a^n·b^0 + C(n,1)a^(n-1)·b^1 + ... + C(n,n)a^0·b^n。

故选D。

5. 答案：B解析：根据函数的性质，若函数在区间[a,b]上单调递增，则其导数大于0。

故选B。

6. 答案：A解析：由数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

故选A。

7. 答案：C解析：根据函数的定义域和值域，函数的定义域为实数集，值域为(0,1]。

故选C。

8. 答案：D解析：由函数的周期性可知，f(x+T) = f(x)，其中T为函数的周期。

故选D。

9. 答案：B解析：由函数的对称性可知，f(-x) = f(x)，故函数关于y轴对称。

故选B。

10. 答案：A解析：由不等式的性质可知，若a>b，则a+c>b+c。

故选A。

二、填空题（每题5分，共25分）11. 答案：2解析：由题意知，2x + 3 = 7，解得x = 2。

12. 答案：3解析：由题意知，3a - 5 = 4，解得a = 3。

13. 答案：5解析：由题意知，a^2 + b^2 = 25，且a - b = 4，解得a = 5，b = 3。

14. 答案：-1解析：由题意知，sinθ + cosθ = 0，且sinθ - cosθ = 1，解得sinθ = -1/2，cosθ = 1/2。