二次函数课堂同步专项练习题
1、二次函数
1． 若()m
m x
m m y -+=22
是二次函数，求m 的值。
2．
用100cm 长的铁丝围成一个扇形，试写出扇形面积S （cm 2）与半径R （cm ）的函数关系式。 3．
已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求
该函数解析式。
2、函数2ax y =的图象与性质
1、根据图象填空：（1）抛物线22
1
x y =的对称轴是 （或 ），
顶点坐标是 ，抛物线上的点都在x 轴的 方，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；
（2）抛物线22
1
x y -=的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，抛物线上的点都在x 轴的 方，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； 1．
已知函数()42
2-++=m m x m y 是关于x 的二次函数，求：
（1） 满足条件的m 的值；
（2） m 为何值时，抛物线有最底点？求出这个最底点，这时x 为何值时，y
随x 的增大而增大；
（3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x
的增大而减小？ 2．
对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；
②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称。其中正确的是 。 3．
二次函数12
-=m mx y 在其图象对称轴的左则，y 随x 的增大而增大，求
m 的值。 4．
二次函数22
3
x y -=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系。
5．
函数2ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3、函数c ax y +=2的图象与性质
1．抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小.
2．将抛物线23
1x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 。
3．二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值等于 。
4．任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点。其中判断正确的是 。
5．将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 。 6．已知函数：22
1x y -=， 32
12+-=x y 和12
12--=x y 。 （1）分别画出它们的图象；
（2）说出各个图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（3）说出函数62
12+-=x y 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （4）试说明函数3212+-=x y 、1212--=x y 、62
12+-=x y 的图象分别有抛物线22
1x y -=作怎样的平移才能得到
（2）（3）解答： 抛物线
开口方向
对称轴 顶点坐标
2
2
1x y -
=
3212
+-
=x y
12
12
--
=x y 62
12
+-
=x y
（4）答：
4、函数()2h x a y -=的图象与性质
1．填表：
抛物线
开口方向
对称轴 顶点坐标
()
2
23--=x y
()232
1
+=
x y
2．已知函数22x y =，2)4(2-=x y 和2)1(2+=x y 。
（1）在同一坐标系中画出它们的图象；
（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
（3）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线2
=x
y
y=得到抛物线2)4
(2-
2x
和2)1
y？
=x
(2+
答:
3．试写出抛物线2
y=经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称
3x
轴和顶点坐标。
2个单位；（3）先左移1个单位，再右移4（1）右移2个单位；（2）左移
3
个单位。
4．试说明函数()232
1-=x y 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。
5．二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知2
1
=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式。
5、()k h x a y +-=2的图象与性质
1．
分别在同一坐标系内画出函数
()1221
2-+=
x y 和()212
12+-=x y 的图象，并根据图象写出对称轴、顶点坐标、最值和增减性。 答：
2．已知函数()9
=x
y。
-
-
2
32+
（1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当x= 时，抛物线有最值，是。
（3）当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小。
（4）求出该抛物线与x轴的交点坐标；
（5）求出该抛物线与y轴的交点坐标；
（6）该函数图象可由2
=的图象经过怎样的平移得到的？
3x
y-
3．已知函数()4
y。
=x
12-
+
（1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）若图象与x轴的交点为A、B和与y轴的交点C，求△ABC的面积；（3）指出该函数的最值和增减性；
（4）若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式；
（5）该抛物线经过怎样的平移能经过原点。
（6）画出该函数图象，并根据图象回答：当x取何值
时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0。
6、c bx ax y ++=2的图象和性质
1．抛物线942++=x x y 的对称轴是 。
2．抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 。
3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。
4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）122
12+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； （3）44
12-+-=x x y
5．把抛物线c bx x y ++=2的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是532+-=x x y ，试求b 、c 的值。
6．把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。
7．某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？
7、c bx ax y ++=2的性质
1．已知a ＜0，b ＞0，那么抛物线22++=bx ax y 的顶点在第 象限？理由是： 答:
2．请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个） 答：
3．已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 。 解：
4．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限。 理由： 5．
二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，试判断a 、b 、c 和?的符号。
解： 6．
二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，下列结论（1）c ＜0；（2）b ＞0；
（3）4a+2b+c ＞0；（4）（a+c ）2
＜0，其中正确的是：（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 理由： 7．
二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么abc 、2a+b 、a+b+c 、a-b+c
这四个代数式中，值为正数的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 理由： 8．
已知直线b ax y +=的图象经过第一、二、三象限，那么12++=bx ax y 的
图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8、c bx ax y ++=2的最值
1．
心理学家发现，学生对概念的接受能力y 和提出概念所用的时间x
（单位：分）之间大体满足函数关系式：436.21.02++-=x x y （0≤x ≤30）。y 的值越大，表示接受能力越强。试根据关系式回答： （1） 若提出概念用10分钟，学生的接受能力是多少？ （2） 概念提出多少时间时？学生的接受能力达到最强？ 2．
某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形
柱子OA ，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，
抛物线形状如图（1）所示。图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系是4
5
22++-=x x y 。请回答下列问题：
（1） 柱子OA 的高度是多少米？
（2） 喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？
（3） 若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于
落在池外？ 3．
体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为
抛物线212
12
++-=x x y 的一部分，根据关系式回答：
（1） 该同学的出手最大高度是多少？
（2） 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？ （3） 该同学的成绩是多少？ 4．
如图，正方形EFGH 的顶点在边长为a 的正方形ABCD
的边上，若AE=x ，正方形EFGH 的面积为y 。 （1） 求出y 与x 之间的函数关系式；
（2）正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由。
9、函数解析式的求法（1）
1．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如
图：
（1）根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式；
（2）若菜农身高为1.60米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？（精确到0.01米）
2．根据下列条件求抛物线的解析式：
（1）图象过点（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）；
（2）图象的顶点坐标为（-1，-1），且与y轴交点的纵坐标为-3；
（3）图象过点（1，-5），对称轴是直线x=1，且图象与x轴的两个交点之间的距离为4。
3．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离为6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高为2.44米，问能否射中球门？
4．已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2。
（1）求二次函数的图象的解析式；
（2）设次二次函数的顶点为P，求△ABP的面积。
5．如图：
（1）求该抛物线的解析式；
（2）根据图象回答：当x为何范围时，该函数值大于0。
6．已知抛物线经过A（-3，0）、B（0，3）、C（2，0）三点。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如果点D（1，m）在这条抛物线上，求m值和点D关于这条抛物线对称轴的对称点E的坐标，并求出tan∠ADE的值。
10、函数解析式的求法（2）
1．已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜，从四月一日起开始上市的30天内，大蒜每10千克的批发价y（元）是上市时间x (天)的二次函数，有近几年的行情可知如下信息：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）大蒜每10千克的批发价为10.8元时，问此时是在上市的多少天？
2．如图，某建筑物从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点M离墙1m，
40m，求水流落点B离墙的距离OB的长。
离地面
3
5米，且当3．一男生推铅球，成绩为10米，已知该男生的出手高度为
3铅球运行的水平距离为4米时达到最大高度，试求铅球运行的抛物线的解析式。
4．某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高处各有一个壁灯，两壁
灯之间的水平距离为6米，试求厂门的高度。
5．抛物线经过A、B、C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E。（1）求该抛物线的解析式；
（2）求四边形ABDE的面积；
（3）求证：△AOB∽△BDE 。
6．在平面直角坐标系中，O为原点，A点坐标为（-8，0），B点坐标为（2，0），以AB为直径的⊙P与y轴的
负半轴交于点C。
（1）求图象经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）设M点为（1）中抛物线的顶点，求直线MC的解析式；（3）判定（2）中的直线MC与⊙P的位置关系，并说明理由。
22.1.1 二次函数 A 组 ◆基础练习 1、分别说出下列函数的名称： (1) y= 21x-1, (2)y=-3x 2, (3)y= x 2 (4)y=3x-x 2 (5)y=x 2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)d= 21n 2-2 3n , (2)y=1-x 2 , (3)y=-x(x-3) 3、 二次函数y=ax 2 +c 中，当x=3时，y=26 ;当x=2时，y=11 ;则当x=5时， y= . 4、已知一个直角三角形的两条直角边的和为10cm 。 （1）求这个直角三角形的面积S 与其中一条直角边长x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围； （2）求当x=5cm 时直角三角形的面积。 5、函数y=ax 2 +bx+c (a 、b 、c 是常数)，问当a 、b 、c 满足什么条件时， （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？ ◆能力拓展 6、若() m m x m m y -+=2 2是二次函数，求m 的值。 7、一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如下表： 时间t （秒） 1 2 3 4 … 距离s （米） 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式。 8、 富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如 图，它们的平面图是一排大小相等的长方形。 （1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2 ）与x 有怎样的函数关系？ （2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2 ，应该如何安排猪舍的长B C 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？
二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．
总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
二次函数单元测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 当-2≤ x ≦1,二次函数y=-（x-m ）2 + m 2 +1有最大值4，则实数m 值为（ ） A.-4 7 B. 3或-3 C.2或-3 D. 2或3或- 4 7 2. 函数 2 2y mx x m =+-（m 是常数）の图像与x 轴の交点个数为（ ） A. 0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 3. 关于二次函数 2 y ax bx c =++の图像有下列命题：①当0c =时，函数の图像经过原点；②当0c >，且函数の图像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等の实根；③函数图像最高点の纵坐标是 2 44ac b a -；④当0b =时，函数の图像关于y 轴对称．其中正确命题の个数是（ ） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 关于x の二次函数 2 2(81)8y mx m x m =+++の图像与x 轴有交点，则m の范围是（ ） A ． 1 16m <- B ． 116m - ≥且0m ≠ C ． 1 16m =- D ． 1 16m >- 且0m ≠ 5. 下列二次函数中有一个函数の图像与x 轴有两个不同の交点，这个函数是（ ） A ．2 y x = B ．24y x =+ C ．2325y x x =-+ D ．2 351y x x =+- 6. 若二次函数2 y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ） A ．a c + B ．a c - C ．c - D ．c 7. 下列二次函数中有一个函数の图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（ ） A ．1x y 2 —= B ．24y x =+ C ．1x 2x y 2+=— D ．2 351y x x =+- 8. 抛物线2 321y x x =-+-の图象与坐标轴交点の个数是（ ） A ．没有交点 B ．只有一个交点 C ．有且只有两个交点 D ．有且只有三个交点 9. 函数2 y ax bx c =++の图象如图所示，那么关于x の一元二次方程2 30ax bx c ++-=の根の情况是（ ） A ．有两个不相等の实数根 B ．有两个异号の实数根
26.1 二次函数 知|识|目|标 1．通过对教材“问题1”“问题2”中所列函数关系式共同点的探索，归纳出二次函数的定义，并会判断一个函数是不是二次函数． 2．类比根据实际问题列出一次函数关系式的方法，能根据实际问题或几何图形写出二次函数的关系式及自变量的取值范围． 目标一能识别二次函数 例1 教材补充例题下列函数：①y＝x＋2；②y＝2x2；③y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)； ④y＝3 x2；⑤y＝x(x＋1)；⑥y＝－ 1 3 x2－x＋2；⑦y＝(x＋1)2－x(x＋1)．其中y一定是x的 二次函数的有哪些？请指出二次函数中相应的a，b，c的值． 【归纳总结】 1．一个函数是二次函数必须同时满足： (1)函数关系式是整式；(2)化简后自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于零．三者缺一不可． 2．确定二次函数中各项系数时，应先将关系式化为一般形式，注意各项系数应包括它前面的符号． 目标二会列二次函数关系式 例2 教材练习第1题针对训练如图26－1－1，有长为30 m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度为15 m)围成中间隔有一道篱笆的长方形菜园．设菜园的一边AB＝x m，总面积为S m2，求S关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围． 图26－1－1 【归纳总结】列二次函数关系式“三步法”： (1)审清题意，找到实际问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，分析各量之间的关系，找出等量关系． (2)根据实际问题中的等量关系，列出二次函数关系式，并化成一般形式． (3)根据实际问题的意义及所列函数关系式，确定自变量的取值范围．
知识点一 二次函数的概念 定义：形如__________________________________的函数叫做二次函数． 其中x 是自变量，ax 2，bx ，c 分别是二次函数的二次项、一次项和常数项．a ，b ，c 分别是 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．自变量x 的取值范围是__________． 知识点二 列二次函数关系式 根据题意用自变量表示出题目中的相关量，然后列出函数关系式．列出函数关系式后，要注意标明自变量的取值范围． 当m 为何值时，y ＝(m ＋1)是关于x 的二次函数？ 解：令x 的指数是2，即m 2－3m －2＝2， 解得m 1＝－1，m 2＝4. 所以当m ＝－1或m ＝4时，y ＝(m ＋1)是关于x 的二次函数． 以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确的解答过程． 教师详解详析 【目标突破】 例1[解析] ①自变量的最高次数是1，不是二次函数；②是二次函数，a ＝2，b ＝0，c ＝0；③当a ＝0时不是二次函数；④函数关系式不是整式，故不是二次函数；⑤是二次函数，a ＝1， b ＝1， c ＝0；⑥是二次函数，a ＝－13 ，b ＝－1，c ＝2；⑦化简得y ＝x ＋1，不是二次函数． 解：y 一定是x 的二次函数的有②⑤⑥. ②y ＝2x 2：a ＝2，b ＝0，c ＝0； ⑤y ＝x(x ＋1)：a ＝1，b ＝1，c ＝0；
1、二次函数 1． 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t 时间t （秒） 1 2 3 4 … 距离s （米） 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式。 2． 若() m m x m m y -+=2 2是二次函数，求m 的值。 3． 用100cm 长的铁丝围成一个扇形，试写出扇形面积S （cm 2）与半径R （cm ）的函数关系式。 4． 已知二次函数),0(2 ≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式。 5． 等边三角形的边长为4，若边长增加x ，则面积增加y ，求y 关于x 的函数关系式。 6． 富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的 平面图是一排大小相等的长方形。 （1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？ （2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？
2、函数2ax y =的图象与性质 1． 在同一坐标系内，画出下列函数的图象：（1）221x y = ；（2）2 2 1x y -=。 根据图象填空：（1）抛物线2 2 1x y = 的对称轴是 （或 ） ，顶点坐标是 ，抛物线上的点都在x 轴的 方，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； （2）抛物线2 2 1x y - =的对称轴是 （或 ） ，顶点坐标是 ，抛物线上的点都在x 轴的 方，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； 2． 已知函数()4 2 2-++=m m x m y 是关于x 的二次函数，求： （1） 满足条件的m 的值； （2） m 为何值时，抛物线有最底点？求出这个最底点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大； （3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？ 3． 对于函数2 2x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增 大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称。其中正确的是 。 4． 二次函数1 2 -=m mx y 在其图象对称轴的左则，y 随x 的增大而增大，求m 的值。 5． 二次函数2 2 3x y - =，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系。 6． 函数2 ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ）