宁夏银川一中2015届高三第三次模拟考试数学理试题

宁夏银川一中2015届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M={x|2x≤4}，N={x|x（1﹣x）＞0}，则C M N=（）A．（﹣∞，0）∪[1，+∞] B．（﹣∞，0）∪[1，2] C．（﹣∞，0]∪[1，2] D．（﹣∞，0]∪[1，+∞]2．（5分）已知复数z=1+i+i2+i3+…+i2015，则化简得z=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．1+i3．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项和，a2+a8=6，则S9=（）A．B．27 C．54 D．1084．（5分）关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D．5．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．66．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题7．（5分）能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）A．f（x）=4x3+x B． C．D．f（x）=e x+e﹣x8．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=b1=1，，则数列的前10项的和为（）A．B．C．D．10．（5分）函数y=sin4x+cos4x是（）A．最小正周期为，值域为[，1]的函数B．最小正周期为，值域为[，1]的函数C．最小正周期为，值域为[，1]的函数D．最小正周期为，值域为[，1]的函数11．（5分）如图，矩形A n B n C n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），记矩形A n B n C n D n的周长为a n，则a2+a3+…+a10=（）A．208 B．216 C．212 D．22012．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数 f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．（5分）在△ABC中，已知内角，边，则△ABC的面积S的最大值为．15．（5分）已知，数列的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式为b n=n﹣8，则b n S n的最小值为．16．（5分）在技术工程中，经常用到双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=．其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正、余函数有cos（x+y）=cosxcosy﹣sinxsiny成立，而关于双曲正、余弦函数满足cb（x+y）=chxchy+shxshy．请你类比正弦函数和余弦函数关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新关系式．三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=．（1）求a n与b n；（2）设数列{c n}满足c n=|b n﹣a5|，求{c n}的前项和T n．18．（12分）已知函数（ω＞0，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求函数f（x）的达式；（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且满足2a=4asinC﹣csinA，求c的值．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．20．（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．21．（12分）已知函数g（x）=x3+（a﹣2）x2，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）﹣h（x）．（1）当a∈R时，讨论函数f（x）的单调性．（2）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＜a．若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，△AB C是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．一、选修4-4；坐标系与参数方程．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D 依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．一、选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．宁夏银川一中2015届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M={x|2x≤4}，N={x|x（1﹣x）＞0}，则C M N=（）A．（﹣∞，0）∪[1，+∞] B．（﹣∞，0）∪[1，2] C．（﹣∞，0]∪[1，2] D．（﹣∞，0]∪[1，+∞]考点：补集及其运算．专题：集合．分析：求出M与N中不等式的解集确定出M与N，根据全集M求出N的补集即可．解答：解：由M中不等式变形得：2x≤4=22，即x≤2，∴M=（﹣∞，2]，由B中不等式变形得：x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1，即N=（0，1），则∁M N=（﹣∞，0]∪[1，2]．故选：C．点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数z=1+i+i2+i3+…+i2015，则化简得z=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的周期性、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：∵i4=1，∴复数z=1+i+i2+i3+…+i2015===0．故选：A．点评：本题考查了复数的周期性、等比数列的前n项和公式，属于基础题．3．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项和，a2+a8=6，则S9=（）A．B．27 C．54 D．108考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据所给的项a2，a8的下标特点，和所求和的下标特点，可以根据等差数列性质，利用a2+a8=2a5，求出a5，而S9=9a5，问题获解．解答：解：根据等差数列性质，可得a2+a8=2a5=6，∴a5=3，根据等差数列和的性质可得，S9=9a5=27．故选：B．点评：本题考查等差数列通项公式，求和计算．合理利用性质求解，应是本题的立意所在．4．（5分）关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），利用根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，再利用基本不等式即可得出．解答：解：∵关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），∴△=16a2﹣12a2=4a2＞0，又a＞0，可得a＞0．∴x1+x2=4a，，∴=4a+==，当且仅当a=时取等号．∴的最小值是．故选：C．点评：本题考查了一元二次不等式解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、根与系数的关系、基本不等式的性质，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．6考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由•=（）•，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出•的值．解答：解：由题意得 AB=3，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=+=0+||•||cos45°=×3×3×=3，故选B．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，注意向量和的夹角等于45°这一条件的运用．6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：A中全称命题的否定是特称命题，并且一真一假；B中原命题与逆否命题是同真同假，写出它的逆否命题再判定真假；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”转化为“（）min≥a max在x∈[1，2]上恒成立”；D、写出原命题的逆命题再判定真假．解答：A、“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x0∈R，e x≤0”；∴命题错误；B、∵x=2且y=1时，x+y=3是真命题；∴若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（）min≥a max在x∈[1，2]上恒成立”，命题错误；D、“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是：“f（x）=ax2+2x﹣1有一个零点时，a=﹣1”，∵f（x）有一个零点时，a=﹣1或a=0；∴命题错误．故选：B．点评：本题通过命题真假的判定考查了简单的逻辑关系的应用，是基础题．7．（5分）能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）A．f（x）=4x3+x B． C．D．f（x）=e x+e﹣x考点：奇偶性与单调性的综合．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：由“和谐函数”的定义及选项知，该函数若为“和谐函数”，其函数须为过原点的奇函数，由此逐项判断即可得到答案．解答：解：由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．A中，f（0）=0，且f（x）为奇函数，故f（x）=4x3+x为“和谐函数”；B中，f（0）=ln=ln1=0，且f（﹣x）=ln=ln=﹣ln=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，所以f（x）=ln为“和谐函数”；C中，f（0）=tan0=0，且f（﹣x）=tan=﹣tan=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，故f（x）=tan为“和谐函数”；D中，f（0）=e0+e﹣0=2，所以f（x）=e x+e﹣x的图象不过原点，故f（x））=e x+e﹣x不为“和谐函数”；故选D．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生对新问题的分析理解能力及解决能力，属中档题．8．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．解答：解：∵sin2α=，∴cos2（α+）=[1+cos（2α+）]=（1﹣sin2α）=×（1﹣）=．故选A点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．9．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=b1=1，，则数列的前10项的和为（）A．B．C．D．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题．分析：根据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{a n}与{b n}的通项公式，进而表达出的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n项和的公式计算出答案即可．解答：解：由题意可得，所以数列{a n}是等差数列，且公差是2，{b n}是等比数列，且公比是2．又因为a1=1，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．所以=b 1•22n﹣2=22n﹣2．设c n=，所以c n=22n﹣2，所以，所以数列{c n}是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n项和的公式得：其前10 项的和为．故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的定义，以及它们的通项公式与前n项和的表示式．10．（5分）函数y=sin4x+cos4x是（）A．最小正周期为，值域为[，1]的函数B．最小正周期为，值域为[，1]的函数C．最小正周期为，值域为[，1]的函数D．最小正周期为，值域为[，1]的函数考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：利用平方关系与二倍角的正弦将y=sin4x+cos4x化为y=1﹣×sin22x，再利用降幂公式可求得y=+×cos4x，从而可求其周期和值域．解答：解：∵y=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x=1﹣×sin22x=1﹣×=+×cos4x，∴其周期T==，其值域为[，1]故选：C．点评：本题考查三角函数的周期性、值域及其求法，突出考查二倍角的正弦与余弦，降幂是关键，属于中档题．11．（5分）如图，矩形A n B n C n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），记矩形A n B n C n D n的周长为a n，则a2+a3+…+a10=（）A．208 B．216 C．212 D．220考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：依题意，可求得C n（n，n+），D n（，n+）从而可求得a n=4n；继而可求得a2+a3+…+a10的值．解答：解：∵点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上，∴C n（n，n+）；依题意知，D n（，n+）；∴|A n B n|=n﹣（n≥2，n∈N+），∴a n=2（n﹣）+2（n+）=4n．∴a n+1﹣a n=4，又a1=4，∴数列{a n}是首项为4，公差为4的等差数列，∴a2+a3+…+a10===216．故选：B．点评：本题考查数列的求和，求得a n=4n是关键，考查分析推理与运算能力，属于中档题．12．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数 f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4考点：函数的值．专题：压轴题；新定义．分析：首先弄清关于原点对称的点的特点，进而把问题转化为求方程的根的个数，再转化为求函数φ（x）=2e x+x2+2x零点的个数即可．解答：解：设P（x，y）（x＜0），则点P关于原点的对称点为P′（﹣x，﹣y），于是，化为2e x+x2+2x=0，令φ（x）=2e x+x2+2x，下面证明方程φ（x）=0有两解．由x2+2x≤0，解得﹣2≤x≤0，而＞0（x≥0），∴只要考虑x∈[﹣2，0]即可．求导φ′（x）=2e x+2x+2，令g（x）=2e x+2x+2，则g′（x）=2e x+2＞0，∴φ′（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，而φ′（﹣2）=2e﹣2﹣4+2＜0，φ′（﹣1）=2e﹣1＞0，∴φ（x）在区间（﹣2，0）上只存在一个极值点x0．而φ（﹣2）=2e﹣2＞0，φ（﹣1）=2e﹣1﹣1＜0，φ（0）=2＞0，∴函数φ（x）在区间（﹣2，﹣1），（﹣1，0）分别各有一个零点．也就是说f（x）的“姊妹点对”有两个．故选B．点评：本题考查了函数的零点，善于转化及熟练利用导数判断方程的根的个数是解决问题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为8．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即A（5，2）将A的坐标代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．即z=2x﹣y的最大值为8．故答案为：8点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．（5分）在△ABC中，已知内角，边，则△ABC的面积S的最大值为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据余弦定理结合三角形的面积公式以及基本不等式，即可求出结论．解答：解：由余弦定理，得12=b2+c2﹣bc．又S=bcsinA=bc；而b2+c2≥2bc⇒b c+12≥2bc⇒bc≤12，（当且仅当b=c时等号成立）所以S=bcsinA=bc≤3．即△ABC的面积S的最大值为：3．故答案为：3．点评：本题为三角函数公式的应用题目，属于中档题．解决本题的关键在于根据余弦定理以及基本不等公式得到bc≤12．15．（5分）已知，数列的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式为b n=n﹣8，则b n S n的最小值为﹣4．考点：定积分；数列的函数特性；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意，先由微积分基本定理求出a n再根据通项的结构求出数列的前n项和为S n，然后代入求b n S n的最小值即可得到答案解答：解：a n=（2x+1）dx=（x2+x）=n2+n∴==﹣∴数列{ }的前n项和为S n=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=又b n=n﹣8，n∈N*，则b n S n=×（n﹣8）=n+1+﹣10≥2 ﹣10=﹣4，等号当且仅当n+1=，即n=2时成立，故b n S n的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查微积分基本定理及数列的求和，数列的最值等问题，综合性强，知识转换快，解题时要严谨认真，莫因变形出现失误导致解题失败．16．（5分）在技术工程中，经常用到双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=．其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正、余函数有cos（x+y）=cosxcosy﹣sinxsiny成立，而关于双曲正、余弦函数满足cb（x+y）=chxchy+shxshy．请你类比正弦函数和余弦函数关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新关系式sh2x﹣ch2=﹣1，ch2x﹣sh2x=1．考点：类比推理．专题：计算题；推理和证明．分析：注意到双曲正弦函数和双曲余弦函数平方后的相同项，即可得到新的关系式．解答：解：sh2x=（e2x+﹣2）ch2x=（e2x++2）∴sh2x﹣ch2=﹣1∴ch2x﹣sh2x=1故答案为：sh2x﹣ch2=﹣1，ch2x﹣sh2x=1点评：本题为开放题型，考查类比推理，考查分析问题、解决问题的能力．三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=．（1）求a n与b n；（2）设数列{c n}满足c n=|b n﹣a5|，求{c n}的前项和T n．考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，由已知条件，列出方程组，分别求出等差数列的公差和等比数列的公比，由此能求出a n与b n．（2）由（1）及c n=|b n﹣a5|，推导出c n=|3n﹣1﹣15|=，由此利用分组求和法能求出{c n}的前项和T n．解答：（本题满分14分）解：（1）∵等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=，等差数列{a n}中，a1=3，∴，即，解得q=3，或q=﹣4（舍），d=3，∴a n=3n，（7分）（2）∵c n=|b n﹣a5|，∴c n=|3n﹣1﹣15|=，∴当n≤3时，=，当n≥4时，T n=﹣15n+2T3=．∴．（14分）点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意公组求和法的合理运用．18．（12分）已知函数（ω＞0，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求函数f（x）的达式；（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且满足2a=4asinC﹣csinA，求c的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，根据函数的周期求ω，把所给的点的坐标代入求出Φ的值，从而确定出函数的解析式．（Ⅱ）根据条件2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理求得sinC的值，可得cosC的值，再由余弦定理求得c的值．解答：解：（Ⅰ）由于．（2分）∵最高点与相邻对称中心的距离为=，则，即T=π，（3分）∴，∵ω＞0，∴ω=2．（4分）又f（x）过点，∴，即，∴．（5分）∵，∴，∴．（6分）（Ⅱ）2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理可得 2sinA=4sinAsinC﹣sinCsinA，解得．（8分）又∵，∴．（9分）又，，∴b=6，（11分）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=21，∴．（12分）点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式、正弦定理和余弦定理的应用，两个向量的数量积的定义，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：（1）化简构造新的数列，进而证明数列是等比数列．（2）根据（1）求出数列的递推公式，得出a n，进而构造数列，求出数列的通项公式，进而求出前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）由已知：，∴，（2分）∴，又，∴，（4分）∴数列是以为首项，为公比的等比数列．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，∴．（8分）设，①则，②由①﹣②得：，（10分）∴．又1+2+3+…．（12分）∴数列的前n项和：．（14分）点评：此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前n项和的方法．20．（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（1）令f′（x）=0，即可求得a值；（2）f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，即b=ln（x+1）﹣x2+x在区间[0，2]上有两个不同的实根，问题可转化为研究函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值情况．利用导数可以求得，再借助图象可得b的范围．解答：解：（1）f′（x）=﹣2x﹣1，∵f′（0）=0，∴a=1．（2）f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x所以问题转化为b=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上有两个不同的解，从而可研究函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值情况．∵g′（x）=﹣，∴g（x）的增区间为[0，1]，减区间为[1，2]．∴g max（x）=g（1）=+ln2，g min（x）=g（0）=0，又g（2）=﹣1+ln3，∴当b∈[﹣1+ln3，+ln2）时，方程有两个不同解．点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及方程根的个数问题，注意函数与方程思想、数形结合思想的运用．21．（12分）已知函数g（x）=x3+（a﹣2）x2，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）﹣h（x）．（1）当a∈R时，讨论函数f（x）的单调性．（2）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＜a．若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）通过讨论a的范围，从而得出函数的单调性；（2）先假设存在实数a，满足题意，通过讨论x1，x2的大小，得不等式组，求出a无解，从而得出结论．解答：解：（1）f（x）=x2+（a﹣2）x﹣2alnx（x＞0），f′（x）=x+a﹣2﹣=（x＞0），①当a＞0时，f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数．②当﹣2＜a≤0时，f（x）在（0，﹣a）上是增函数；在（﹣a，2）是减函数；在（2，+∞）上是增函数．③当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．④当a＜﹣2时，f（x）在（0，2）上是增函数；在（2，﹣a）上是减函数；在（﹣a，+∞）上是增函数．（2）假设存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＜a恒成立，当x1＞x2时，等价于 f（x2）﹣f（x1）＜a（x1﹣x2）即f（x2）+ax2＜f（x1）+ax1恒成立．令g（x）=f（x）+ax=x2﹣2alnx﹣2x+2ax，只要g（x）在（0，+∞）上恒为增函数，所以g′（x）≥0恒成立即可．又g′（x）=x﹣﹣2+2a=，只要x2+（2a﹣2）x﹣2a≥0在（0，+∞）恒成立即可．设h（x）=x2+（2a﹣2）x﹣2a，则由△=4（a﹣1）2+8a=4a2+4＞0及得，a∈∅，当x1＜x2时，等价于 f（x2）﹣f（x1）＞a（x1﹣x2）即f（x2）+ax2＞f（x1）+ax1恒成立，g（x）在（0，+∞）上恒为增函数，所以g′（x）＞0恒成立即可，a∈∅，综上所述，不存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，都有＜a．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了求参数的范围问题，考查了导数的应用，是一道综合题．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．解答：解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．一、选修4-4；坐标系与参数方程．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D 依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．考点：椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：综合题；压轴题．分析：（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．解答：解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]点评：本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．一、选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．考点：函数零点的判定定理；带绝对值的函数．专题：计算题．分析：①当a=1时，f（x）=，把和的解集取并集，即得所求．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+x﹣5=．由解得x≥2；由解得x≤﹣4．∴f（x）≥0的解为{x|x≥2或x≤﹣4}．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5．作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）有两个不同的零点．故a的取值范围是（﹣2，2）．点评：本题考查函数零点的判定定理，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于基础题．- 21 -。

2015年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，设集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，集合B＝{x|x≥2}，则A∩（∁U B）＝（）A．[1，2]B．（1，2）C．（1，2]D．[1，2）2．（5分）已知直线m、n和平面α，则m∥n的必要非充分条件是（）A．m、n与α成等角B．m⊥α且n⊥αC．m∥α且n⊂αD．m∥α且n∥α3．（5分）若等比数列{a n}的前n项和，则a2＝（）A．4B．12C．24D．364．（5分）已知复数（1+i）（a+bi）＝2+4i（a，b∈R），函数f（x）＝2sin（ax+）+b图象的一个对称中心是（）A．（﹣，1）B．（﹣，0）C．（﹣，3）D．（，1）5．（5分）如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）A．i＞100，n＝n+1B．i＞100，n＝n+2C．i＞50，n＝n+2D．i≤50，n＝n+26．（5分）设a＝（cos x﹣sin x）dx，则二项式（x2+）6展开式中的x3项的系数为（）A．﹣20B．20C．﹣160D．1607．（5分）给出下列四个结论：（1）如图Rt△ABC中，|AC|＝2，∠B＝90°，∠C＝30°．D是斜边AC上的点，|CD|＝|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD 上的概率是；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为＝0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79，则P（ξ≤﹣2）＝0.21；其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．48．（5分）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A．πB．3πC．4πD．6π9．（5分）已知z＝2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．10．（5分）对于函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如下表：数列{x n}满足x1＝1，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y＝f（x）的图象上，则x1+x2+x3+x4+…+x2013+x2014的值为（）A．7549B．7545C．7539D．7535 11．（5分）已知F2、F1是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．2D．12．（5分）已知函数f（x）＝a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）＝﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）等差数列{a n}中，a4+a8+a12＝6，则a9﹣a11＝．14．（5分）若α∈（0，π），且3cos2α＝sin（﹣α），则sin2α的值为．15．（5分）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．则抛物线C的方程为．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量＝（2sin B，﹣），＝（cos2B，2cos2﹣1）且∥．（Ⅰ）求锐角B的大小；的最大值．（Ⅱ）如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC18．（12分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB，AB＝4，tan∠EAB＝．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．19．（12分）前不久，省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）已知A，B，C是椭圆m：+＝1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为（2，0），BC过椭圆m的中心，且，且||＝2||．（1）求椭圆m的方程；（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且||＝||．求实数t的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣kx+1（k∈R）（Ⅰ）当k＝1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：+++…+＜（n∈N*且n＞1）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1；几何证明选讲．22．（10分）如图，圆O的直径AB＝10，P是AB延长线上一点，BP＝2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（1）求证：∠PEC＝∠PDF；（2）求PE•PF的值．选修4-4：坐标系与参数方程．23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．选修4-5；不等式选讲．24．选修4﹣5；不等式选讲．设不等式|2x﹣1|＜1的解集是M，a，b∈M．（I）试比较ab+1与a+b的大小；（II）设max表示数集A的最大数．h＝max，求证：h≥2．2015年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，设集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，集合B＝{x|x≥2}，则A∩（∁U B）＝（）A．[1，2]B．（1，2）C．（1，2]D．[1，2）【解答】解：集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}＝{x|x＞1}，∁U B＝{x|x＜2}，A∩（∁U B）＝）}＝{x|x＞1}∩{x|x＜2}＝{x|1＜x＜2}，故选：B．2．（5分）已知直线m、n和平面α，则m∥n的必要非充分条件是（）A．m、n与α成等角B．m⊥α且n⊥αC．m∥α且n⊂αD．m∥α且n∥α【解答】解：A．若m∥n，则m、n与α成等角，当m、n与α成等角是，m∥n 不一定成立，故m、n与α成等角是m∥n的必要非充分条件，B．若m∥n，则m⊥α且n⊥α，反之也成立，故m⊥α且n⊥α是充要条件．C．若m∥n，则m∥α且n⊂α不一定成立，D．若m∥n，则m∥α且n∥α不一定成立，故选：A．3．（5分）若等比数列{a n}的前n项和，则a2＝（）A．4B．12C．24D．36【解答】解：∵，∴，a2＝S2﹣S1＝（9a﹣2）﹣（3a﹣2）＝6a，a3＝S3﹣S2＝（27a﹣2）﹣（9a﹣2）＝18a，∵{a n}为等比数列，∴（6a）2＝（3a﹣2）×18a，解得a＝2，或a＝0（舍），∴a＝2，∴a2＝S2﹣S1＝6a＝12，故选：B．4．（5分）已知复数（1+i）（a+bi）＝2+4i（a，b∈R），函数f（x）＝2sin（ax+）+b图象的一个对称中心是（）A．（﹣，1）B．（﹣，0）C．（﹣，3）D．（，1）【解答】解：∵复数2+4i＝（1+i）（a+bi）＝（a﹣b）+（a+b）i，∴，解得a＝3，b＝1．故函数f（x）＝2sin（ax+）+b＝2sin（3x+）+1，∵3x＝kπ，k∈Z，∴x＝，k∈Z，当k＝1时，x＝，故函数f（x）＝2sin（ax+）+b图象的一个对称中心是（）．故选：D．5．（5分）如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）A．i＞100，n＝n+1B．i＞100，n＝n+2C．i＞50，n＝n+2D．i≤50，n＝n+2【解答】解：此时，经第一次循环得到的结果是，经第二次循环得到的结果是经第三次循环得到的结果是据观察S中最后一项的分母与i的关系是分母＝2（i﹣1）令2（i﹣1）＝100解得i＝51即需要i＝51时输出故图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是分别是i＞50，n＝n+2故选：C．6．（5分）设a＝（cos x﹣sin x）dx，则二项式（x2+）6展开式中的x3项的系数为（）A．﹣20B．20C．﹣160D．160【解答】解：由于a＝＝（sin x+cos x）＝﹣2，则二项式＝展开式的通项公式为T r+1＝•x12﹣2r•＝（﹣2）r••x12﹣3r，令12﹣3r＝3，解得r＝3，故展开式中的x3项的系数为﹣8×20＝﹣160，故选：C．7．（5分）给出下列四个结论：（1）如图Rt△ABC中，|AC|＝2，∠B＝90°，∠C＝30°．D是斜边AC上的点，|CD|＝|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD 上的概率是；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为＝0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79，则P（ξ≤﹣2）＝0.21；其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：（1）由题意，|CD|＝|CB|，∠C＝30°，所以∠CBD＝75°，所以E 点落在线段CD上的概率是＝，故不正确；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为＝0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，正确；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力，正确；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），图象关于x＝1对称，因为P （ξ≤4）＝0.79，则P（ξ≤﹣2）＝0.21，正确；故正确结论的个数为3，故选：C．8．（5分）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A．πB．3πC．4πD．6π【解答】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为．∴此四面体的外接球的表面积为表面积为＝3π．故选：B．9．（5分）已知z＝2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：由，得A（1，1），由，得B（a，a），当直线z＝2x+y过点A（1，1）时，目标函数z＝2x+y取得最大值，最大值为3；当直线z＝2x+y过点B（a，a）时，目标函数z＝2x+y取得最小值，最小值为3a；由条件得3＝4×3a，∴a＝，故选：B．10．（5分）对于函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如下表：数列{x n}满足x1＝1，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y＝f（x）的图象上，则x1+x2+x3+x4+…+x2013+x2014的值为（）A．7549B．7545C．7539D．7535【解答】解：∵数列{x n}满足x1＝1，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y＝f（x）的图象上，∴x n+1＝f（x n）∴x1＝1，x2＝3，x3＝5，x4＝6，x5＝1，x6＝3，x7＝5，x8＝6，…∴数列是周期数列，周期为4，一个周期内的和为1+3+5+6＝15，∴x1+x2+x3+x4+…+x2013+x2014＝503×（x1+x2+x3+x4）+x1+x2＝503×15+1+3＝7549．故选：A．11．（5分）已知F2、F1是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．2D．【解答】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y＝x，则F2到渐近线的距离为＝b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|＝2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2＝c2+4b2∴3c2＝4（c2﹣a2），∴c2＝4a2，∴c＝2a，∴e＝2．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）＝﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，即f（x）﹣g（x）＞0在x∈[1，e]时有解，设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝a（x﹣）﹣2lnx+＝ax﹣2lnx＞0有解，x∈[1，e]，即a，则F′（x）＝，当x∈[1，e]时，F′（x）＝≥0，∴F（x）在[1，e]上单调递增，即F min（x）＝F（1）＝0，因此a＞0即可．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）等差数列{a n}中，a4+a8+a12＝6，则a9﹣a11＝．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4+a8+a12＝6，得3a8＝6，a8＝2．则a9﹣a11＝（3a9﹣a11）＝（a9+a7+a11﹣a11）＝（a9+a7）＝a8＝．故答案为：．14．（5分）若α∈（0，π），且3cos2α＝sin（﹣α），则sin2α的值为1，或﹣．【解答】解：∵α∈（0，π），且3cos2α＝sin（﹣α），∴3cos2α﹣3sin2α＝cosα﹣sinα，∴cosα﹣sinα＝0，或3（cosα+sinα）＝．若cosα﹣sinα＝0，则α＝，sin2α＝1；若3（cosα+sinα）＝，平方求得sin2α＝﹣，故答案为：1，或﹣．15．（5分）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为．【解答】解：基本事件总数m＝＝17×16×3，选出火炬编号为a n＝a1+3（n﹣1），当n＝1时，由1，4，7，10，13，16可得4种选法，当n＝2时，由2，5，8，11，14，17可得4种选法，当n＝3时，由3，6，9，12，15，18可得4种选法，根据分类计算原理可得共有12种选法，∴所求概率为P＝＝＝．故答案为：．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．则抛物线C的方程为x2＝2y．【解答】解：抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F（0，），设M（x0，），x0＞0，Q（a，b），由题意知b＝，则点Q到抛物线C的准线的距离为b+＝＝＝，解得p＝1，∴抛物线C的方程为x2＝2y．故答案为：x2＝2y．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量＝（2sin B，﹣），＝（cos2B，2cos2﹣1）且∥．（Ⅰ）求锐角B的大小；的最大值．（Ⅱ）如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC【解答】解：（Ⅰ）∵＝（2sin B，﹣），＝（cos2B，2cos2﹣1）且∥，∴2sin B（2cos2﹣1）＝﹣cos2B，∴2sin B cos B＝﹣cos2B，即sin2B＝﹣cos2B，∴tan2B＝﹣，又B为锐角，∴2B∈（0，π），∴2B＝，则B＝；…（6分）（Ⅱ）当B＝，b＝2，由余弦定理cos B＝得：a2+c2﹣ac﹣4＝0，当B＝，b＝2，由余弦定理cos B＝得：a2+c2+ac﹣4＝0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a＝c＝2时等号成立），＝ac sin B＝ac≤（当且仅当a＝c＝2时等号成立），∴S△ABC的最大值为．…（12分）则S△ABC18．（12分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB，AB＝4，tan∠EAB＝．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…（1分），∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…（2分），∵CD∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD…（3分）∵CD∥BE，CD＝BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，∴DE⊥平面ACD…（4分），∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（5分）（Ⅱ）依题意，…（6分），由（Ⅰ）知＝＝，当且仅当时等号成立…（8分）如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），，，∴，，，…（9分）设面DAE的法向量为，，即，∴，…（10分）设面ABE的法向量为，，即，∴，∴…（12分）∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为．…（13分）19．（12分）前不久，省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75；（Ⅱ）设A i表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则；（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3．；；；．则ξ的分布列为：所以Eξ＝．另解：ξ的可能取值为0，1，2，3．则ξ～B（3，），．所以Eξ＝．20．（12分）已知A，B，C是椭圆m：+＝1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为（2，0），BC过椭圆m的中心，且，且||＝2||．（1）求椭圆m的方程；（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且||＝||．求实数t的取值范围．【解答】解（1）如图所示，∵＝2，且BC过点O（0，0），则；又•＝0，∴∠OCA＝90°，且A（2，0），则点C，由a＝，可设椭圆的方程m：；将C点坐标代入方程m，得，解得c2＝8，b2＝4；∴椭圆m的方程为：；（2）如图所示，由题意，知D（0，﹣2），∵M（0，t），∴1°当k＝0时，显然﹣2＜t＜2，2°当k≠0时，设l：y＝kx+t，则，消去y，得（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣12＝0；由△＞0，可得t2＜4+12k2 ①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），且PQ的中点为H（x0，y0）；则x0＝＝﹣，y0＝kx0+t＝，∴H；由，∴DH⊥PQ，则k DH＝﹣，∴＝﹣；∴t＝1+3k2 ②∴t＞1，将①代入②，得1＜t＜4，∴t的范围是（1，4）；综上，得t∈（﹣2，4）．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣kx+1（k∈R）（Ⅰ）当k＝1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：+++…+＜（n∈N*且n＞1）【解答】解：（Ⅰ）易知f（x）的定义域为（0，+∞），又f′（x）＝当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．（Ⅱ）当k≤0时，f（1）＝1﹣k＞0，不成立，故只考虑k＞0的情况又f′（x）＝当k＞0时，当0＜x＜时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0在上是增函数，在时减函数，此时要使f（x）≤0恒成立，只要﹣lnk≤0 即可解得：k≥1．（Ⅲ）当k＝1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）＝0，即lnx＜x﹣1在x∈（1，+∞）上恒成立，令x＝n2，则lnn2＜n2﹣1，即2lnn＜（n﹣1）（n+1），∴（n∈N*且n＞1）∴+++…+＜＝即：+++…+＜（n∈N*且n＞1）成立．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1；几何证明选讲．22．（10分）如图，圆O的直径AB＝10，P是AB延长线上一点，BP＝2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（1）求证：∠PEC＝∠PDF；（2）求PE•PF的值．【解答】（1）证明：连结BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝∠APE＝90°，∴P、B、C、E四点共圆．∴∠PEC＝∠CBA．又∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CBA＝∠PDF，∴∠PEC＝∠PDF﹣﹣﹣﹣（5分）（2）解：∵∠PEC＝∠PDF，∴F、E、C、D四点共圆．∴PE•PF＝PC•PD＝P A•PB＝2×12＝24．﹣﹣﹣﹣（10分）选修4-4：坐标系与参数方程．23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【解答】解：（I）l的普通方程为y＝（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2＝1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|＝＝1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d＝＝[sin（）+2]当sin（）＝﹣1时，d取得最小值．选修4-5；不等式选讲．24．选修4﹣5；不等式选讲．设不等式|2x﹣1|＜1的解集是M，a，b∈M．（I）试比较ab+1与a+b的大小；（II）设max表示数集A的最大数．h＝max，求证：h≥2．【解答】解：（I）由不等式|2x﹣1|＜1 可得﹣1＜2x﹣1＜1，解得0＜x＜1，从而求得M＝（0，1）．由a，b∈M，可得0＜a＜1，0＜b＜1．∴（ab+1）﹣（a+b）＝（a﹣1）（b﹣1）＞0，∴（ab+1）＞（a+b）．（II）设max表示数集A的最大数，∵h＝max，∴h≥，h≥，h≥，∴h3≥＝4•≥8，故h≥2．。

绝密★启用前银川一中2023届高三下学期5月第三次模拟理科数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}1,3,5,7A =，},31|{*N x x x B ∈<<-=，则A B ⋃中的元素个数为 A ．6B ．5C ．4D ．32．已知R a ∈，复数)31)((i i a -+是实数，则=a A ．31B ．31-C ．3D ．3-3．命题“有一个偶数是素数”的否定是 A ．任意一个奇数是素数B ．任意一个偶数都不是素数C ．存在一个奇数不是素数D ．存在一个偶数不是素数4．如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有12行、122字铭文． 铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅 兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文 字记载．“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量， 该组合体的高约为40cm ，上口的直径约为28cm ，圆柱的高和 底面直径分别约为24cm ，18cm ，则“何尊”的体积大约为 A ．40933 cm π B ．40823 cm πC ．40633 cm πD ．42823 cm π5．已知54sin =α，α是第一象限角，且tan()1αβ+=，则tan β的值为 A ．34-B ．34 C ．17-D ．176．已知两条不同的直线l ，m 及三个不同的平面α，β，γ，下列条件中能推出//αβ的是A ．l 与α，β所成角相等B ．αγ⊥，βγ⊥C ．l α⊥，m β⊥，//l mD ．l ⊂α，m β⊂，//l m7．函数m x x x f ++=22log )(在区间(2,4)上存在零点．则实数m 的取值范围是A ．)18,(--∞B ．),5(+∞C ．)18,5(D ．)5,18(--8．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将△POA 的面积 表示为x 的函数f （x ），则y =f （x ）在[﹣π，π]上的图象大 致为A B9．在ABC 中，9030C B ∠=︒∠=︒，，BAC ∠的平分线交BC 于点D ．若AD AB AC λμ=+(,)λμ∈R ，则λμ= A ．13B ．12C ．2D ．310．已知双曲线)0(15:22>=-m mx y C 的上、下焦点分别为1F ，2F ，若存在点(,)M λλ， 使得52||||12=-MF MF ，则实数m 的取值范围为 A ．(1,+∞)B ．(1,5)C ．(5,+∞)D ．(0,5)11．英国数学家泰勒1712年提出了泰勒公式，这个公式是高等数学中非常重要的内容之一.其正弦展开的形式如下：357211sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n --=-+-++-+-，（其中x ∈R ，*N n ∈），则111111(1)2!4!6!(22)!n n --+-++-+-的值约为（1弧度57≈︒）A ．sin57︒B ．sin57-︒C ．sin33-︒D ．sin33︒yxOAP12．已知关于x 的不等式e ax x b ≥+对任意x R ∈恒成立，则ba的最大值为 A ．12B ．1C ．2e D ．e二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则n =__________.14．若函数2()ln 2x f x x =-在区间)31,(+m m 上不单调，则实数m 的取值范围为________．15．已知直线l ：220kx y k --+=被圆C ：16)1(22=++y x 所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l 有______________条.16．已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，所对的角分别为A 、B 、C ，且满足cb ac b b a ++=+++311，且△ABC 的外接圆的面积为π3，则1s i n )(42c os )(+++=x c a x x f 的最大值的取值范围为___________．三、共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分) 17．(12分)已知公差不为零的等差数列{}n a 的首项为1，且125,,a a a 是一个等比数列的前三项，记数列{}n a 的前n 项和为n S ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}(1)nn S -的前20项的和．18．(12分)如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB BC ⊥，且1AB AP BC ===，2AD =.(1)求证：CD ⊥平面PAC ；(2)若E 为PC 的中点，求PD 与平面AED 所成角 的正弦值.为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设，某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x (单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图：(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x 和样本方差2s (同一组的数据用该组区间中点值代表)；(2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x 大致服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .①一般正态分布),(2σμN 的概率都可以转化为标准正态分布()0,1N 的概率进行计算：若()2~,X N μσ，令X Y μσ-=，则()~0,1Y N ，且()a P X a P Y μσ-⎛⎫≤=≤⎪⎝⎭.利用直方图得到的正态分布，求()10P X ≤；②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z 表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z 的均值.403≈，若()~0,1Y N ，则()0.750.7734P Y ≤=.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，有两个不同的点P 、Q 在椭圆C 上运动，且PF 的最小值为-P 不在x 轴上时点P 与椭圆C 的左、右顶点连线的斜率之积为12-.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线:20l x y -=与椭圆C 在第一象限交于点A ，若PAQ ∠的内角平分线的斜率不存在.探究：直线PQ 的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由.21．(12分)已知函数()()()()e 0=+->xf x x b a b 在()()1,1f --处的切线方程为()e 1e e 10x y -++-=．(1)求a ，b 的值；(2)若方程()f x m =有两个实数根12,x x①证明：12m >-;②当0<m 时，12||12+>-m x x 是否成立？如果成立，请简要说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]下图所示形如花瓣的曲线G 称为四叶玫瑰线，并在极坐标系中，其极坐标方程为2cos 2ρθ=．(1)若射线l ：6πθ=与G 相交于异于极点O 的点P ，G 与极轴的交点为Q ，求PQ ；(2)若A ，B 为G 上的两点，且23AOB π∠=， 求AOB 面积S 的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]设函数()2221f x x x =-++． (1)解不等式()4f x x ≤+；(2)令()f x 的最小值为T ，正数a ，b ，c 满足a b c T ++=．2023届高三下学期5月第三次模拟数学(理科)参考答案13．5 14．<m<1 15．9 16．（12，24]三、解答题 17．【答案】(1)21n a n =-，N n *∈ (2)210 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，所以()11n a n d =+-．因为125,,a a a 是一个等比数列的前三项，所以2125a a a =．即214(1)d d +=+又0d ≠，所以2d =所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，N n *∈（2）由（1）知数列{}n a的前n 项和21212n n S n n +-=⨯= 所以2(1)(1)n n n S n -=-，数列{}(1)n n S -的前20项的和为 ()()()2222221201234192012341920202102+-++-+++-+=++++++=⨯= 18.【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）作CF AD ⊥，垂足为F ，易证，四边形ABCF 为正方形. 所以1CF AF DF ===，CD =又AC =因为222AC CD AD +=，所以AC CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥. 又AC PA A ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， 所以CD ⊥平面PAC .（2）以点A 为坐标原点，以,,AB AD AP 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,0,1P ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭.则(0,2,0)AD =，(0,2,1)PD =-，111(,,)222AE =.设平面AED 的法向量为(),,n x y z =，由00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，令1z =，可得平面AED 的一个法向量为()1,0,1n =-. 设PD 与平面AED 所成角为θ，则sin cos ,2n PD n PD n PDθ⋅-====⨯⋅19.【答案】(1)9x =，21.78s =；(2)①0.7734；②4.532. 【详解】（1）根据频率分布直方图知，阅读时间在区间[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5),[9.5,10,5),[10.5,11.5),[11.5,12.5] 内的频率分别为0.03,0.1,0.2,0.35,0.19,0.09,0.04，60.0370.180.290.35100.19110.09120.049x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 222222(69)0.03(79)0.1(89)0.2(99)0.35(109)0.19s -⨯+-⨯+-⨯+-⨯⨯=+-22(119)0.09(129)0.04 1.78+-⨯+-⨯=，所以样本平均数x 和样本方差2s 分别为9，1.78.（2）①由题意知9μ=，2 1.78σ=，则有(9,1.78)X N ，43σ≈，109(10)()(0.75)0.773443P X P Y P Y -≤=≤=≤=， ②由①知(10)1(10)0.2266P X P X >=-≤=，可得(20,0.2266)Z B ， 所以Z 的均值()200.2266 4.532EZ =⨯=.20．【答案】(1)22163x y +=(2)直线PQ 的斜率为定值1，理由见解析【详解】（1）设()11,P xy ，椭圆C 的左、右顶点坐标分别为(),0a -，(),0a ，故221222111222221111112x b a y y y b x a x a x a x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅===-=--+--， 即222a b =，则2222c a b b =-=，又a c -b -=b =a即椭圆C 的方程为22163x y +=.（2）联立2216312x y y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，又A 在第一象限，所以()2,1A ，由题意知PAQ ∠的内角平分线的斜率不存在，即该角平分线与x 轴垂直， 设直线AP 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为k -，设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线AP 的方程为()12y k x -=-，即12y kx k =+-， 由2212163y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()()222214128840k x k k x k k ++-+--=，因为P 、A 为直线AP 与椭圆的交点，所以212884221k k x k --=+，即21244221k k x k --=+，把k 换为k -得22244221k k x k +-=+，所以212821k x x k -=+， 所以()()()212112*********ky y kx k kx k k x x k -=-++-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+，所以直线PQ 的斜率21211y y k x x -==-，即直线PQ 的斜率为定值1. 21．【答案】(1)1a =，1b = (2)①证明见解析，②成立，理由见解析（1）解：()()1e xf x x b a =++-'，因为函数()f x 在()()1,1f --处的切线方程为()e 1e e 10x y -++-=，所以()111e e b f a '-=-=-，()()1110e f b a ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭， ∴1a =，1b =或1e=a ，2e b =-（舍），所以1a =，1b =；（2）①证明：由（1）可知()()()1e 1x f x x =+-，()()2e 1xf x x '=+-， 令()()()2e 1xg x f x x '==+-，则()()3e xg x x '=+，令()0g x '=，得3x =-，所以函数()g x 在(),3-∞-上递减，在()3,-+∞上递增， 所以()()min 3g x g =-，即()()3min 3e 10f x f -''=-=--<，又x →+∞，()f x '→+∞，3x <-，()0f x '<，且()010f '=>，()1110ef '-=-<，∴()01,0x ∃∈-，使得()00f x '=，即()002e 10xx +-=，即001e 2x x =+， 当0x x <时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x ¢>， 所以函数()f x 在()0,x -∞上递减，在()0,x +∞上递增，所以()()()()()0000min 011e 1112xf x f x x x x ⎛⎫==+-=+-⎪+⎝⎭()()()()()22000000211122222x x x x x x +-⎡⎤+⎡⎤⎣⎦=-=-=-++-⎢⎥+++⎣⎦， ∵()01,0x ∈-，∴()021,2x +∈，令()()1,1,2h x x x x =+∈，则()()2110,1,2h x x x'=->∈ ，所以函数()h x 在()1,2上递增，故()001522,22x x ⎛⎫++∈ ⎪+⎝⎭， 所以()001122,022x x ⎡⎤⎛⎫-++-∈-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦， 即()min 12f x >-， ∴12m >-；②解：成立，理由如下：当直线过()1,0-，()()00,x f x 时割线方程为()()()00112x y x mx +=-+=+，得()()030211m x x x -+=-+， 当直线过()0,0，()()00,x f x 时割线方程为()()200012x y x m x x -+==+，得()()0042021mx x x x -+=+， ∴()()()0124320002112111222m x mx x x x m x x x +->-=+=+>++++-+.选考题【详解】（1）将6πθ=代入方程2cos 2ρθ=，得，2cos13P πρ== ，则P 的极坐标为1,6π⎛⎫⎪⎝⎭. 又G 与极轴的交点为Q 的极坐标为()2,0.则PQ =（2）不妨设()(),0A A ρθθπ≤≤，2,3B B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则2cos 2A ρθ=，42cos 23B πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 所以，AOB的面积12sin 23A B A B S πρρρ==414cos 2cos 22cos 2232πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+=⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)2332sin 2cos 21cos 4sin 424θθθθθ=+=++41cos 4416πθθθ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 所以，当3462ππθ-=，即512πθ=时，max S =所以，AOB 面积S23．【答案】(1)35,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)证明见解析【详解】（1）解：因为()41,1122213,12114,2x x f x x x x x x ⎧⎪->⎪⎪=-++=-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，所以不等式()4f x x ≤+，即1414x x x >⎧⎨-≤+⎩或11234x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪≤+⎩或12144x x x⎧<-⎪⎨⎪-≤+⎩，解得513x <≤或112x -≤≤或3152x -≤<-，综上可得原不等式的解集为35,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）解：由（1）可得函数()f x 的图象如右所示：所以()min 3f x =，即3T =，所以3a b c ++=，又0a >，0b >，0c >，)1122a b a c a b c ⎫≤+++=++=⎪⎝⎭当且仅当1324b c a ===.。

19．在 ABC 中，角 A，B，C 成等差数列，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．
(1)若
a b
a
a
b
b
c
，判断
ABC
的形状；
(2)若
ABC
不是钝角三角形，求
a c
的取值范围．
20．已知正项数列an 的前 n 项和为 Sn ，对一切正整数 n，点 Pn an , Sn 都在函数
A．1
B．
1 2
C． 3
D．2
10．已知数列an，bn中满足 2an1 an 3n 1 ，a1 10 ，bn an 1，若bn前 n 项
之和为 Sn ，则满足不等式
Sn
6
1 170
的最小整数 n 是（
）.
A．8
B．9
C．11
D．10
11．已知在
ABC
中，角
A,
B,
C
的对边分别为
a,
b,
c
，
C． 7 11i 10 10
4．已知 a 30.1 ， b
log 1 5 ， c log 3
3
2 ，则（
）.
D． 7 11i 10 10
A． a b c
B． b<c<a
C． c b a
D． a c b
5．为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精
(1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
(2)若直线 l 与
y 轴的交点为 M
，与曲线 C 的交点为 A ， B ，求
MA MB MA 2 MB 2
的值.
五、证明题 23．设函数 f (x) 2x 2 2x a .