《近世代数》练习题及参考答案
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《近世代数》练习题及参考答案
1．设A={a，b，c，d} 试写出集合A的所有不同的等价关系。
2．证明：:实数域R上全体n阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。
3．证明:实数域R上全体n阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n阶正交群.
4．设G=。
0,aRaaaaa证明：G关于矩阵的乘法构成群。
5．证明：所有形如nm32的有理数（m，nZ）的集合关于数的乘法构成群。
参考答案
1． 设A= 试写出集合A的所有不同的等价关系。 解
2．证明：:实数域R上全体n阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。
证：（1）显然，Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。
（2）∵矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。
（3）∵矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。
（4）零元是零矩阵。A∈Mn(R),A+0=0+A=A。
（5）A∈Mn(R),负元是-A。A+(-A)=(-A)+A=0。
∴（Mn(R),+）构成一个Abel群。
3．证明:实数域R上全体n阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n阶正交群.
证：（1）由于E∈On (R),∵On (R)非空。
(2 ) 任意A,B∈On (R)，有（AB）T=BTAT=B-1A-1=(AB) -1,
∴AB∈On(R),于是矩阵的乘法在On(R)上构成代数运算。
(3) ∵矩阵的乘法满足结合律，那么有结合律成立。
（4）对任意A∈On (R)，有AE=EA=A．
∴E为On (R)的单位元。
（5）对任意A∈On (R)，存在AT∈On (R)，
满足AAT=E=AA-1, ATA=E=A-1A．
∴AT为A在On (R)中的逆元。
∴On (R)关于矩阵的乘法构成一个群。 dcba,,,4．设G=。
0,aRaaaaa证明：G关于矩阵的乘法构成群。
证：记aaaa=aI，I=1111。
（1） G非空，1111∈G。
（2）aI,bI∈G，则a,b∈R,a,b0，∴2ab0,aIbI=2abI∈G。
（3）a,b,c∈R,且a,b,c0,有（aIbI）cI=2abIcI=4abcI=aI2bcI=aI(bIcI),结合律成立。
（4）单位元为21I∈G. a∈R,a0,aI(21I)= 21IaI=aI。
（5）aI∈G，则a41I∈G。aI(a41I)=(a41I)aI=21I。
∴（G，•）为群。
5．证明：所有形如nm32的有理数（m，nZ）的集合关于数的乘法构成群。
证明：记G={nm32| m，nZ}
（1） G是一个非空集合；
（2） 221132,32nmnmG，有22113232nmnm=212132nnmmG，
是G上的一个代数运算；
（3） 结合律，交换律均成立（数的乘法满足结合律和交换律）；
（4） 1是单位元。
1=0032G，且1nm32=nm32；
（5）nm32G，有nm32G，且nm32nm32=1；
G关于数的乘法构成群。
