近世代数练习题(附答案)

《近世代数》练习题（附答案）

一.选择题

1. 设R是实数集, 则对任意的,abR, 代数运算2abab ( C )

(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律

(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律

2. 在群G中,aG, a的阶为12, 则8a的阶为 ( B )

(A) 12 (B) 3 (C) 4 (D) 6

3．在7次对称群7S中(25)(437)和(13)(546), 则等于（ A ）

(A) (1376524) (B) (137)(6524) (C) (65)(24137) (D) (1746253)

4．在一个无零因子环R中,,abR,,0ab对加法来说,有( C )

(A) a的阶3b的阶 (B) a的阶3b的阶

(C) a的阶3b的阶 (D) 4a的阶3b的阶

5．设p为整环I中素元, 则下列正确的是 ( D )

(A) p为零元 (B) p为单位 (C) p有真因子 (D) p仅有平凡因子

6. 假定是A与A间的一一映射,Aa, 则)]([1a和)]([1a分别为 ( D )

(A) a, a (B) 无意义, a (C) 无意义,无意义 (D) a,无意义

7. 在群G中, Gba,, 则方程bax和bya分别有唯一解为 ( B )

(A) 1ba, ba1 (B) ba1, 1ba (C) ab1, ba1 (D) ba1, 1ab

8. 设M是正整数集, 则对任意的,abR, 下面“o”是代数运算的是( B )

(A) baba (B) baba (C) 2abab (D) 2abab

9. 设M是实数集, 代数运算是普通加法，下列映射是M的自同构的是( D )

(A) 2xx (B) sinxx (C) xx (D) 5xx

10. 在偶数阶群G中阶等于2的元数为 ( A )

(A) 奇数 (B) 偶数 (C) 1 (D) 不可确定

11．在5次对称群5S中元1(15)(24)和2(154)的乘积12是（ D ） (A) (14)(25) (B) (124) (C) (152) (D) (142)

12．若群G的阶为48, G的真子群H的阶不可能为 ( C )

(A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 24

13．群G中元a的阶为24中，那么G的循环子群9()a的阶为 ( C )

(A)3 (B) 4 (C) 8 (D) 9

14.在一个环R里如果有一个消去律成立，那么下面不正确的是( B )

(A) 另一个消去律也成立 (B) R中非零元都有逆元

(C) R是无零因子环 (D) R中非零元对加法的阶都一样

15．假定F是一个域，则一元多项式环[]Fx一定是 ( A )

(A) 欧式环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定

16．设12,为唯一分解环I中单位, a是I中任意元， 则下列正确的是 ( B )

(A) 12 也是单位 (B) 12,互为相伴元

(C) 12, 都是a的真因子 (D) a 有唯一分解

17．一个30个元的域的特征可能是( A )

(A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 15

18．假定域R与R同态, 则R是（ C ）

(A) 域 (B) 整环 (C) 环 (D) 除环

19．若I是一个唯一分解环,Ia且a21pp和a21qq(其中2121,,,qqpp都为素元),则下列说法正确的是 ( D )

(A) 1p与1q互为相伴元 (B) 1p与1q互为相伴元和2p与2q互为相伴元

(C) 2p与2q互为相伴元 (D) 1p与1q互为相伴元或1p与2q互为相伴元

20．假定)(a和)(b是整环I的两个主理想, 若)()(ba, 则 ( A )

(A) b是a的相伴元 (B) b与a互素 (C) b是a的真因子 (D) |ba

21．A{所有整数},令: 2aa,当a是偶数;21aa,当a是奇数.则为

( B )

(A) 单射变换 (B) 满射变换 (C) 一一变换 (D) 不是变换 22．若)(aG,且a的阶为有限整数n,则下列说法正确的是 ( A )

(A) G与模n的剩余类加群同构 (B) G的阶可能无限

(C) 元21012,,,,,naaaaa中没有相同元 (D) G与整数加群同构

23．若R是一个特征为有限整数n的无零因子环，且Rba,，则 （ D ）

(A) 0,00baba (B) 21nnn，其中21,nn 为素数

(C) 存在R中元c的阶为无限整数 (D) R对乘法成立两个消去律

24. 设Q是有理数集, 则对任意的,abQ,下列“o”是代数运算的是( C )

(A)22abbab (B)baba (C) 22abaabb (D) 10abab

25. 在群G中, ,,abcG, 则方程xaxbaxbc的唯一解为 ( D )

(A)11abcab (B) 111bcaab (C) 111ababc (D) 111abcab

26．在6次对称群6S中123456326514的阶是（ A ）

(A) 5 (B) 24 (C) 12 (D) 6

27．除环有理想( C )

(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个

28．假定F是一个域，则一元多项式环[]Fx一定是 ( B )

(A) 除环 (B) 欧式环 (C) 域 (D) 无法确定

29．若Q是一个域, 不正确的是 ( B )

(A) Q是交换除环 (B) Q对乘法作成群

(C) Q无零因子 (D) Q中不等于零的元都有逆元

30．若I是主理想环, p是I中素元, 且Iba, 则 ( C )

(A) 主理想)(p不是I的最大理想 (B) a没有唯一分解

(C) 若p|ab,有p|a 或p|b (D) I/()p不是域

31. 设R是实数集, 则对任意的,abR, 代数运算abab ( C )

(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律 (C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律

32. 设Q是有理数集, 则对任意的,abQ,下列“o”是代数运算的是( A )

(A) 2abab (B)baba (C) abba (D) 10aab

33. 在群G中, ,abG, 则方程xaxbxb的唯一解为 ( D )

(A)1aba (B) 11ab (C) 11bab (D) 1a

34．在5次对称群5S中1234532541的阶是（ B ）

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

35．除环有理想( C )

(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个

36．假定R是一个整环，则一元多项式环[]Rx一定是 ( A )

(A) 整环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定

37. 在16阶循环群()Ga中 , 循环子群6()a的阶为 ( D )

(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 8

38．一个有8个元的域的特征是( A )

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

39．设p为整环I中素元, 则下列正确的是 ( D )

(A) p为零元 (B) p为单位 (C) p有真因子 (D) p仅有平凡因子

40．若群G的阶为48, G的子群H的阶为16，则H在G中的指数为( C )

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

41. 设R是实数集, 则对任意的,abR, 代数运算abab ( C )

(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律

(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律

42. 设Q是有理数集, 则对任意的,abQ,下列“o”是代数运算的是( C )

(A)abba (B)baba (C) 2abab (D) 10aab

43. 在群G中, ,abG, 则方程xaxbxb的唯一解为 ( C )

(A)1aba (B) 11ab (C) 1a (D) 11bab 44．在5次对称群5S中1234532541的阶是（ B ）

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5