近世代数练习题

§1 第一章 基础知识

1 判断题：

1.1 设A与B都是非空集合，那么BAxxBAx且。（ ）

1.2 A×B = B×A （ ）

1.3 只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射1f。（ ）

1.4 如果是A到A的一一映射,则[(a)]=a。( )

1.5 集合A到B的可逆映射一定是A到B的双射。（ ）

1.6 设A、B、D都是非空集合，则BA到D的每个映射都叫作二元运算。（ ）

1.7 在整数集Z上，定义“”：ab=ab(a,b∈Z)，则“”是Z的一个二元运算。（ ）

1.8 整数的整除关系是Z的一个等价关系。( )

2 填空题：

2.1 若A={0,1} , 则AA= __________________________________。

2.2 设A = {1，2}，B = {a，b}，则A×B =_________________。

2.3 设={1,2,3} B={a,b},则AB=_______。

2.4 设A={1,2}, 则AA=_____________________。

2.5 设集合1,0,1A；2,1B，则有AB 。

2.6 如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1 。

2.7 设A =｛a1, a2,…a8｝，则A上不同的二元运算共有 个。

2.8 设A、B是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A到B的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。

2.9 设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有____________个.

2.10 设A={a,b,c}，则A到A的一一映射共有__________个.

第一章 第二章

第一章

1. 如果在群

G中任意元素

,ab都满足

222()abab, 则

G是交换群.

证明: 对任意

,abG有

ababaabb. 由消去律有

abba. □

2. 如果在群

G中任意元素

a都满足2

ae,则

G是交换群.

证明: 对任意

,abG有222()abeab. 由上题即得. □

3. 设

G是一个非空有限集合, 它上面的一个乘法满足:

(1)

()()abcabc, 任意

,,abcG.

(2) 若

abac则

bc.

(3) 若

acbc则

ab.

求证:

G关于这个乘法是一个群.

证明: 任取

aG, 考虑2{,,,}aaG. 由于

||G必然存在最

小的

i

使得i

aa. 如果对任意

aG, 上述i都是1,

即, 对任意

xG都有2

xx, 我们断言

G只有一个元,

从而是幺群. 事实上, 对任意

,abG, 此时有:

()()()ababababab, 由消去律, 2

babbb; 2

abbb,

再由消去律, 得到

ab, 从而证明了此时

G只有一个元,

从而是幺群.

所以我们设

G中至少有一个元素

a满足: 对于满足

i

aa的最小正整数i有

1i. 定义

eG为1i

ea

, 往证

e 为一个单位元. 事实上, 对任意

bG, 由

||G, 存在

最小的

k

使得k

baba. 由消去律和i的定义知

ki:

i

baba, 即

beb.

最后, 对任意

xG, 前面已经证明了有最小的正整数

k

使得k

xx. 如果

1k, 则2

xxxe, 由消去律有

xe

从而22

xee, 此时

x有逆, 即它自身.

如果

1k, 则11kkk

xxxexxxx

, 此时

x也有逆:

1k

x. □

注: 也可以用下面的第4题来证明.

4. 设

G是一个非空集合,

G上有满足结合律的乘法. 如果该乘法

还满足: 对任意

,abG, 方程

近世代数试题

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分，共15分)

1.设A=R（实数域）， B=R+（正实数域）

:a→10a a∈A

则是从A到B的( )。

A.满射而非单射 B.单射而非满射

C.一一映射 D.既非单射也非满射

2.设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是( )。

A.x→10x B.x→2x

C.x→|x| D.x→-x

3.设S3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

4.整数环Z中，可逆元的个数是( )。

A.1个 B.2个 C.4个 D.无限个

5.剩余类加群Z18的子群有( )。

A.3个 B.6个 C.9个 D.12个

二、填空题(每空3分，共27分)

1.设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有____________个.

2.n次对称群Sn的阶是____________.

3.一个有限非可换群至少含有____________个元素.

4.设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有____________个.

5.除环的理想共有____________个.

6.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是____________.

7.设I是唯一分解环，则I［x］与唯一分解环的关系是____________.

8.在2, i+3, π2, e-3中，____________是有理数域Q上的代数元.

9.2+ 3在Q上的极小多项式是____________.

§1 第一章 基础知识

1 判断题：

1.1 设A与B都是非空集合，那么BAxxBAx且。（ ）

1.2 A×B = B×A （ ）

1.3 只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射1f。（ ）

1.4 如果是A到A的一一映射,则[(a)]=a。( )

1.5 集合A到B的可逆映射一定是A到B的双射。（ ）

1.6 设A、B、D都是非空集合，则BA到D的每个映射都叫作二元运算。（ ）

1.7 在整数集Z上，定义“”：ab=ab(a,b∈Z)，则“”是Z的一个二元运算。（ ）

1.8 整数的整除关系是Z的一个等价关系。( )

2 填空题：

2.1 若A={0,1} , 则AA= __________________________________。

2.2 设A = {1，2}，B = {a，b}，则A×B =_________________。

2.3 设={1,2,3} B={a,b},则AB=_______。

2.4 设A={1,2}, 则AA=_____________________。

2.5 设集合1,0,1A；2,1B，则有AB 。

2.6 如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1 。

2.7 设A =｛a1, a2,…a8｝，则A上不同的二元运算共有 个。

2.8 设A、B是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A到B的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。

2.9 设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有____________个.

2.10 设A={a,b,c}，则A到A的一一映射共有__________个.