近世代数参考答案

近世代数参考答案

安徽大学2008－2009学年第一学期《近世代数》

考试试卷（B 卷）参考答案

一、名词解释题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

1、对，显然模n 的同余关系满足以下条件：

1）对Z 中的任意元素a 都有(mod )a a n ≡；（反身性）

2）如果(mod )a b n ≡，必有(mod )b a n ≡；（对称性）

3）如果(mod )a b n ≡，(mod )b c n ≡，必有(mod )a c n ≡（传递性）

则这个关系是的一个等价关系．

2、错，因为2Z ∈，在Z 中没有逆元．

3、错，因为由于[]Z x x Z <>?，而整数环Z 不是一个域．

4、错，在同态满映下，正规子群的象是正规子群．

5、对，[]F x 是一个有单位元的整环，且

1）存在?：()()f x f x →的次数，

是非零多项式到非负整数集的一个映射；

2）在[]F x 中任取()f x 及()0g x ≠，存在[]F x 上的多项式()q x ，()r x 满足 ()()()(f x g x q x r x =+，其中()0r x =或()r x 的次数<()g x

的次数． 因此[]F x 作成一个欧式环．

二、计算分析题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

1、στ=(2453)，2τσ=(2346)，1τστ-=(256413)．

2、12Z 的所有的可逆元为1,5,7,11；n Z 的子环共有()T n 个，故12Z 共有6个子环，它们分别是{}10S =，{}20,6S =，{}30,4,8S =，{}40,3,6,9S =，{}

50,2,4,6,8,10S =和12Z 本身． 3、在8Z 中：32([4][3][2])([5][3])x x x x +--+

5432

[4][4][3][5][3][6]x x x x x =-+-+-． 三、举例题（本题共3小题，1,2题各3分，第3题4分，共10分） 1、在整数环上的一元多项式[]Z x 中，由于[]Z x x Z <>?，整数环Z 是一个

整环而不是一个域，故主理想x <>是整数环的一个素理想而不是极大理想．

2、22,,,a b R Z a b c d Z c d ==∈?? ?

对普通的矩阵的加法和乘法作成一个环，R 有单位元1001?? ，000a S a Z =∈?? ?

对普通的矩阵的加法和乘法作成R 的一个子环，S 有单位元1000?? ???

，二单位元不相等． 3、Klein 四元群4K 是四次对称群4S 的一个正规子群，

{}4(1),(12)(34)B =是4K 的一个正规子群（4K 是一个交换群），但4B 不是4S 的正规子群

（44(13)(13)B B ≠）．

四、证明题（本题共6小题，每小题10分，共60分）

1、证明：1）设G 是一个有限群，a 是G 的任意一个阶大于2的元素，则显

然1a a -≠（否则将有2a e =，与a 阶大于2矛盾！），但a 与1a -有相同的阶，即1a -的阶也是大于2．

又设b 也是G 的一个阶大于2的元素，且

1,b a b a -≠≠，则容易得到：111,b a b a ---≠≠，

这就是说，G 中阶大于2的元素总是成对出现的，由于G 是一个有限群，

故中的阶大于2的元素个数必为偶数．

2）设G 是一个偶数阶的有限群，由于单位元是阶为1的惟一元素，又由

1）知G 中的阶大于2的元素个数一定是偶数，这样阶等于2的元素的个数一定是奇数．

2、证明：设H 是G 的一个子群，任取1axa -，1aya -1aHa -∈（,x y H ∈），则由 于H 是一个子群，故1xy H -∈，这样

11111()()a x a a y a a x y a a H a ------=∈，从而1aHa G -≤．

又由于易证1:x axa ?- 是H 到1aHa -的一个双射，且

1()()x y a x y a ?-=11()()axa axa --=()()

x y ??= 故?是H 到1aHa -的一个同构映射，从而1aHa H -?．

2、证明：首先易证集合2,a b R a b F b a =∈?? ?

数域关于普通的矩阵的加法作成一个加群，其零元为零矩阵，负元为负矩阵．

其次，对22,a b c d R b a d

c ∈ ? ，其中,,,a b c

d F ∈，我们有 2222a b c d c d a b b a d c d c b

a = 2222ac bd ad bc R bc ad bd ac

++??=∈ ?++??

, 即普通矩阵的乘法是R 上的一个代数运算．且有 222a b c d e f

b a d c f e ? 222a b c d e f b a d c f

e = ? ?

， 即R 对于普通的矩阵的乘法作成一个半群．另外，1001R ∈

，使得

对 2a b R b a ∈ ，1022100101a b a b b a b

a = ??? ???2a b b a ??= ???

， 综上所述，2,a b R a b F b a =∈?? ?

数域关于普通的矩阵的加法和乘法作成一个有单位元的交换环．

4、证明：1）若R 的每个非零元素的阶都是无限，命题成立；若R 中有某个元素0a ≠的阶为n ，则在R 中任取0b ≠，有()()00na nb

na b b ===． 但0a ≠，且R 无零因子，故nb 0=，b n ≤．

设b m =，则()()0ma b a mb ==，0ma =，故n m ．从而n m

b ≤=． 因此b n =，即R 中每个非零元素的阶都是n ．

2）设char R 1n =>，且12n n n =， 1i n n <<．

则在R 中任取0a ≠，由于R 中每个非零元素的阶都是n ，故10n a ≠，20n a ≠．

但21212()()()n a n a n n a =20na == 这与R 中无零因子环矛盾，故n 必为素数．

5、证明：1）任取,x y G ∈，则由于G H 与G K 都是交换群，故

x y H y x H =，xyK yxK =．

于是()xy H K xyH xyK = yxH yxK = ()yx H K = ，即G

H K 也是一

个交换群． 2）任取h H ∈，k K ∈，由于,H K 都是群G 的正规子群，故

1111()hkh k h kh k H ----=∈，1111()hkh k hkh k K ----=∈，

从而{}11hkh k H K e --∈= ，故11hkh k e --=，即得到hk kh

=，得证！

6、证明：(1)设N 是R 的诣零理想，若R 是诣零的，下证R N 也是诣零的． 对R a N N ?+∈，因为R 是诣零的，故存在n Z +∈，使得0n a =，从而

()

0n n a N a N N N +=+=+=，即R N 也是诣零的． 反之，若R

N 是诣零的，下面说明R 也是诣零的．

对a R ?∈，因R N 是诣零的，故存在m Z +∈，使得

()m m a N a N N +=+=，即m a N ∈，

又N 是R 的诣零理想，故存在n Z +∈，使得()0m n mn a a ==，从而R 是诣零的．

(2) 若,A B 是环R 的诣零理想，则A B ?是R 的诣零理想，且A B ?分别是,A B 的诣零理想．由环第二同构定理知A B B A A B +??，

由(1)知，B A B ?是诣零的，从而A B A +也是诣零的．

而A 是R 的诣零理想，也是A B +的诣零理想，因此由(1)知

A B +也是R 的诣零理想，得证．

安徽大学2009－2010学年第一学期《近世代数》

考试试卷（B 卷）参考答案

一、分析判断题（请判断下列命题对错，并简要说明理由） 1、设:X Y ?→为一个映射，A 是X 的一个非空子集，则1(())A

A ??-=．

答：不正确．只有当?为单射时等号才成立，一般的1(())A A ??-?．

2、整数集Z 对于普通的数的乘法作成一个半群．

答：正确．利用半群的定义易验证．

3、整数环的全部素理想是由所有素数p 生成的主理想p <>和自己本身． 答：不正确．由于整数环无零因子，故零理想也是它的素理想．

4、若,H G K G ≤≤，则HK G ≤．

答：不正确．两个子群的乘积是原来群的子群充要条件是它们相乘时可交换．

5、域是一个欧氏环．

答：正确。可利用欧氏环的定义直接验证．

二、计算分析题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

1、给出剩余类环12Z 的所有素理想和极大理想．

解：12Z 的全部素理想有：12Z ，{}0, 3, 6, 93=<>,{}

0, 2, 4, 6, 8, 10 2=<>； 12Z 的全部极大理想有：{}0, 3, 6,

93=<>,{}

0, 2, 4, 6, 8, 10 2=<>；

2、设(143)(45)(26)τ=，7(267)(43)S σ=∈，

1) 求τ，σ的阶； 2) 计算1?στσ-=， 1?στσ-=．

解：1) (1453)(26)τ=，阶为4．(267)(43)σ=，阶为6．

2) 1(1354)(67)στσ-=．1(1354)(72)στσ-=．

3、求多项式321x x x +-- 在8Z 中的所有根． 解：3221(1)(1)x

x x x x +--=+-，直接验证可得原多项式的根为：1, 3, 5, 7．

三、举例题（本题共2小题，每小题5分，共10分）

1、除环而非域； 解：四元数除环{}1, , , D a b i c j d k a b c d Q

=?+?+?+?∈（其中加法乘法见书上定义）是一个除环而不是一个域，由于ij ji ≠．

2、群的正规子群而非特征子群．