2020中考数学 压轴专题：几何综合(含答案)

2020中考数学 压轴专题：几何综合（含答案）

1. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P是AC上的一个动点(点P与A、C不重合)，连接BP，分别过点B、C作BP、AC的垂线BQ、CQ，两垂线交于点Q，连接QP，交BC于点E.

(1)求证：CQ＝AP；

(2)求证：△CPB∽△CEQ；

(3)若AB＝22，在点P的运动过程中，是否存在一点P，使得CE＝38BC？若存在，请求出△ABP的面积，若不存在，请说明理由．

第1题图

(1)证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，

∴∠A＝∠ACB＝45°，

∵BQ⊥BP, CQ⊥AC，

∴∠QCB＝∠A＝45°，

∵∠ABP＋∠PBC＝∠QBC＋∠PBC ＝90°，

∴∠ABP ＝∠QBC.

又∵BA＝BC，

∴△BAP≌△BCQ(ASA).

∴CQ＝AP；

(2)证明：由(1)得，∠QCB＝∠ACB＝45°，

又∵∠PCQ＋∠PBQ ＝180°，

∴P、C、Q、B四点共圆，

∴∠CQP＝∠PBC，

∴△CPB∽△CEQ；

(3)解：存在．理由如下：

由CE＝38BC，可得CE＝38BC＝38AB＝324，

由勾股定理可得，AC＝AB2＋BC2＝4；

设AP＝CQ＝x，则PC＝4－x， 由(2)得△CPB∽△CEQ，

∴CPCE＝BCCQ，即4－x324＝22x，

可得x2－4x＋3＝0，

解得x＝3或1，

第1题解图

如解图，过点P作PD⊥AB于D，

易得△APD∽△ACB，

∴PDBC＝APAC，

即PD＝AP·BCAC＝AP·224＝22AP，

当AP＝3时，可得PD＝322，此时S△ABP＝12AB·PD＝12×22×322＝3，

当AP＝1时，可得PD＝22，此时S△ABP＝12AB·PD＝12×22×22＝1.

∴存在满足CE＝38BC的点P，此时△ABP的面积为3或1.

2. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P是线段BC延长线上任意一点，以AP为直角边作等腰直角△APD，且∠APD＝90°，连接BD.

(1)求证：ACAP＝ABAD；

(2)在点P运动过程中，试问∠PBD的度数是否会变化？若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势；

(3)已知AB＝2，设CP＝x，S△PBD＝S.

①试求S关于x的函数表达式；

②当S＝38时，求△BPD的外接圆半径．

第2题图

(1)证明：如解图，设AD与PB交于点K.

∵CA＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝45°，

∵PA＝PD，∠APD＝90°，

∴∠PDK＝∠PAD＝∠ABK＝45°，∵∠AKB＝∠DKP，

∴△AKB∽△PKD，

∴AKPK＝BKDK，

∴AKKB＝PKDK，∵∠AKP＝∠BKD，

∴△AKP∽△BKD，

∴∠BDK＝∠APK，∠PAK＝∠DBK＝45°，

∴∠ABD＝∠ABK＋∠DBK＝90°，

∴∠ABD＝∠ACP，∵∠ADB＝∠APC，

∴△ABD∽△ACP，

∴ACAP＝ABAD；

(2)解：∠PBD的度数是定值，恒为45°.

理由：由(1)可知△AKP∽△BKD，

∴∠PAK＝∠DBK＝45°，

∴在点P运动过程中，∠PBD的度数是定值，且∠PBD＝45°

(3)解：①在Rt△ABC中，∵AB＝2，

∴BC＝AC＝1，

在Rt△ACP中，PA＝AC2＋PC2＝1＋x2，

∵△ABD∽△ACP，

∴ACAB＝PCBD， ∴12＝xBD，

∴BD＝2x，

∴S＝S△ABD＋S△APD－S△ABP＝12·2·2x＋12·1＋x2·1＋x2－12(1＋x)·1＝12x2＋12x.

②如解图，取AD的中点O，连接OB、OP.

第2题解图

∵∠ABD＝∠APD＝90°，

∴OB＝OA＝OP＝OD，

∴点O是△PBD的外接圆的圆心，

∵S＝38，

∴12x2＋12x＝38，

解得x＝12或－32(舍去)，

∴PC＝12，

由(2)可知BD＝2x，

∴BD＝22，

在Rt△ABD中，

AD＝AB2＋BD2＝（2）2＋（22）2＝102，

∴OD＝12AD＝104，

∴△PBD的外接圆的半径为104.

3. 如图①，点P在∠MON的平分线上，且OP＝2，以P为顶点作∠APB, 与∠MON的两边分别交于点A、B，其中∠APB绕点P旋转时，始终满足OA·OB＝OP2. (1)已知∠MON＝α，求∠APB的度数(用含α的代数式表示)；

(2)如图②，若∠MON＝90°，求出四边形OAPB面积的最小值．

第3题图

解：(1)∵OA·OB＝OP2，

∴OAOP＝OPOB，

∵OP平分∠MON，

∴∠AOP＝∠POB，

∴△AOP∽△POB，

∴∠PAO＝∠BPO，

∴∠APB＝∠APO＋∠BPO＝∠APO＋∠PAO，

在△APO中，由三角形内角和定理得：∠APO＋∠PAO＝180°－∠AOP，

∵∠MON＝α，∴∠AOP＝12α，

∴∠APB＝180°－12α；

(2)∵(AO－BO)2＝AO－2AO·BO＋BO≥0，

∴AO＋BO≥2AO·BO＝2OP2＝4，

第3题解图

如解图，过点P作PG⊥OM、PH⊥ON，垂足分别为G、H，

∵∠MON＝90°，OP平分∠MON，

∴PG＝PH，∠POH＝45°，

∴S四边形APBO＝S△APO＋S△POB＝12OA·PG＋12OB·PH＝12(OA＋OB)·PH，

∴S四边形APBO≥12×4·PH＝2PH，

∵OP平分∠MON，∠MON＝90°，

又∵∠PHO＝90°，PO＝2，

∴PH＝OH＝2，

∴S四边形APBO≥22，

即四边形APBO面积的最小值为22.

4. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB＝90°，PM⊥AD，PN⊥AB.

(1)求证：四边形PMAN是正方形；

(2)求证：EM＝BN；

(3)若点P在线段AC上移动，其他不变，设PC＝x，AE＝y，求y关于x的解析式，并写出自变量x的取值范围．

第4题图

(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，

∵PM⊥AD，PN⊥AB，

∴PM＝PN，∠PMA＝∠PNA＝90°，

∴四边形PMAN是矩形，

∵PM＝PN，

∴四边形PMAN是正方形；

(2)证明：∵四边形PMAN是正方形，

∴PM＝PN，∠MPN＝90°，

∵∠EPB＝90°，

∴∠MPE＝∠NPB，

在△EPM和△BPN中，

∠PME＝∠PNBPM＝PN∠MPE＝∠NPB，

∴△EPM≌△BPN(ASA)，

∴EM＝BN；

(3)解：如解图，过P作PF⊥BC于F，

第4题解图

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，∠PCF＝45°，

∴AC＝12＋12＝2，△PCF是等腰直角三角形，

∴AP＝AC－PC＝2－x，BN＝PF＝22x，

∴EM＝BN＝22x，

∵∠PAM＝45°，∠PMA＝90°，

∴△APM是等腰直角三角形，

∴AP＝2AM＝2(AE＋EM)，

即2－x＝2(y＋22x)，

解得y＝1－2x，

∴x的取值范围为0≤x≤22，

∴y＝1－2x(0≤x≤22)．

5. 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝102，直线MN过点A且MN∥BC，以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D在直线MN上(不与点A重合)，如图①，DE与AC交于点P，设BD＝x，DP＋BC＝y，cos∠ADP＝z.

(1)小强同学通过几何画板画图及测量得到以下近似数据：

x 25 30 35 40

y 45 50 55

60

z 0.4 0.33 0.29 0.25

猜想y关于x的函数表达式，z关于x的函数表达式，并给出证明；

(2)如图②，DE与CA的延长线交于点P，以上y关于x的函数表达式仍成立吗？请证明；

(3)如图③，DE与AC的延长线交于点P，BD与AP交于点Q，若此时x＝BD＝202，求S△ABQ的值．

第5题图

解：(1)y关于x的函数表达式为y＝x＋20，z关于x的函数表达式为z＝10x，

证明：如解图①，过点D作DF⊥AD交AB于点F，交BC于点G，

∵AD∥BC，∠ABC＝45°，

∴∠BAD＝∠AFD＝45°，

∴△ADF是等腰直角三角形，∴AD＝DF，∠DAP＝45°＋90°＝135°，∠DFB＝180°－45°＝135°，

∵∠BDP＝∠ADF＝90°，

∴∠ADP＝∠FDB，

在△ADP和△FDB中，

∠ADP＝∠FDBAD＝FD∠DAP＝∠DFB，

∴△ADP≌△FDB，

∴DP＝BD＝x， ∵AB＝AC＝102，∠BAC＝90°，∴BC＝AB2＋AC2＝20，

∴y＝x＋20，

∵AD∥BC，∴DG＝22AB＝22×102＝10，

在Rt△BDG中，cos∠BDG＝DGDB＝10x，

∵∠ADP＝∠BDG，

∴z＝cos∠ADP＝cos∠BDG＝10x；

第5题解图①

(2)y关于x的函数表达式仍然成立，

第5题解图②

如解图②，过点D作DF⊥MN，交AB延长线于点F，

∵由(1)知∠BAD＝45°，∴∠AFD＝45°，∴DA＝DF，