中考数学专题-几何综合压轴问题(解答题)-(解析版)
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几何综合压轴问题
一、解答题
1．（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形ABC中，90BAC．点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：AHBAGC≌；
（2）如图2，连接GF，HC，AF交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有90HFG；
①若4ABAC，当EH的长度为多少时，AQG为等腰三角形？
【答案】（1）见详解；（2）①见详解；①当EH的长度为2或2时，AQG为等腰三角形
【分析】
（1）由旋转的性质得AH=AG，①HAG=90°，从而得①BAH=①CAG，进而即可得到结论；
（2）①由AHBAGC≌，得AH=AG，再证明AEHAFG≌，进而即可得到结论；①AQG为等腰三角形，分3种情况：（a）当①QAG=①QGA=45°时，（b）当①GAQ=①GQA=67.5°时，（c）当①AQG=①AGQ=45°时，分别画出图形求解，即可．
【详解】
解：（1）①线段AH绕点A逆时针方向旋转90得到AG，
①AH=AG，①HAG=90°，
①在等腰直角三角形ABC中，90BAC，AB=AC，
①①BAH=90°-①CAH=①CAG，
①AHBAGC≌；
（2）①①在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，点E，F分别为AB，AC的中点，
①AE=AF，AEF是等腰直角三角形，
①AH=AG，①BAH =①CAG，
①AEHAFG≌，
①①AEH=①AFG=45°，
①①HFG=①AFG+①AFE=45°+45°=90°，即：90HFG；
①①4ABAC，点E，F分别为AB，AC的中点，
①AE=AF=2，
①①AGH=45°，AQG为等腰三角形，分3种情况：
（a）当①QAG=①QGA=45°时，如图，则①HAF=90°-45°=45°，
①AH平分①EAF，
①点H是EF的中点，
①EH=22221122222AEAF；
（b）当①GAQ=①GQA=（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则①EAH=①GAQ=67.5°，
①①EHA=180°-45°-67.5°=67.5°，
①①EHA=①EAH，
①EH=EA=2；
（c）当①AQG=①AGQ=45°时，点H与点F重合，不符合题意，舍去，
综上所述：当EH的长度为2或2时，AQG为等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键．
2．（2021·湖北中考真题）问题提出 如图（1），在ABC和DEC中，90ACBDCE，BCAC，ECDC，点E在ABC内部，直线AD与BE交于点F，线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；
（2）再探究一般情形．如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展 如图（3），在ABC和DEC中，90ACBDCE，BCkAC，ECkDC（k是常数），点E在ABC内部，直线AD与BE交于点F，直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．
【答案】（1）2BFAFCF．（2）见解析；问题拓展：21BFkAFkCF．
【分析】
（1）先证明①BCE①①ACD,得到AF=BE，BF-BE=BF-AF=EF=2CF；
（2）过点C作CGCF交BE于点G，证明ACDBCE△△，ACFBCG△△，CGF△是等腰直角三角形即可；利用前面的方法变全等为相似证明即可．
【详解】
问题探究 （1）2BFAFCF．理由如下：如图（2），
①①BCA=①ECF=90°，
①①BCE=①ACF，
①BC=AC，EC=CF，
①BCE①①ACF，
①BE=AF，
①BF-BE=BF-AF=EF=2CF；
（2）证明：过点C作CGCF交BE于点G，则90FCGACB，
①BCGACF．
①90ACBDCE，
①BCEACD．
又①ACBC，DCEC，
①ACDBCE△△，
①CAFCBG．
①ACFBCG△△．
①AFBG，CFCG，
①CGF△是等腰直角三角形．
①2GFCF．
①2BFAFBFBGGFCF．
问题拓展 21BFkAFkCF．理由如下：
①①BCA=①ECD=90°，
①①BCE=①ACD，
①BC=kAC，EC=kCD，
①①BCE①①ACD，
①①EBC=①FAC，
过点C作CMCF交BE于点M，则90FCMACB，
①BCMACF．
①①BCM①①ACF，
①BM:AF=BC:AC=MC:CF=k，
①BM=kAF,MC=kCF，
①BF-BM=MF，MF=22222MCCFkCFCF=21kCF
①BF- kAF =21kCF．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解题的关键．
3．（2021·浙江中考真题）（证明体验）
（1）如图1，AD为ABC的角平分线，60ADC，点E在AB上，AEAC．求证：DE平分ADB．
（思考探究）
（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FBFC，2DG，3CD，求BD的长．
（拓展延伸）
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分,2BADBCADCA，点E在AC上，EDCABC．若5,25,2BCCDADAE，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）92；（3）163
【分析】
（1）根据SAS证明EADCAD≌△△，进而即可得到结论；
（2）先证明EBDGCD∽，得BDDECDDG，进而即可求解；
（3）在AB上取一点F，使得AFAD，连结CF，可得AFCADC≌，从而得DCEBCF∽，可得,CDCECEDBFCBCCF，4CE，最后证明EADDAC∽，即可求解．
【详解】
解：（1）①AD平分BAC，
①EADCAD，
①,AEACADAD，
①EADCADSAS≌，
①60ADEADC，
①18060EDBADEADC，
①BDEADE∠∠，即DE平分ADB；
（2）①FBFC，
①EBDGCD，
①60BDEGDC，
①EBDGCD∽，
①BDDECDDG．
①EADCAD≌△△，
①3DEDC．
①2DG，
①92BD；
（3）如图，在AB上取一点F，使得AFAD，连结CF．
①AC平分BAD，
①FACDAC
①ACAC，
①AFCADCSAS≌，
①,,CFCDACFACDAFCADC．
①2ACFBCFACBACD，
①DCEBCF．
①EDCFBC，
①DCEBCF∽，
①,CDCECEDBFCBCCF．
①5,25BCCFCD，
①4CE．
①180180AEDCEDBFCAFCADC，
又①EADDAC，
①EADDAC∽
①12EAADADAC，
①4ACAE，
①41633ACCE．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键．
4．（2021·浙江中考真题）如图1，四边形ABCD内接于O，BD为直径，AD上存在点E，满足AECD，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．
（1）若DBC，请用含的代数式表列AGB．
（2）如图2，连结,CECEBG．求证；EFDG．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，2AD．
①若3tan2ADB，求FGD的周长．
①求CG的最小值．
【答案】（1）90AGB；（2）见解析；（3）①572；①3
【分析】
（1）利用圆周角定理求得90BAD，再根据AECD，求得ABGDBC，即可得到答案；
（2）由90BECBDC，得到BECAGB，从而推出CEFBGD，证得CFEBDGASA≌，由此得到结论；
（3）①连结DE．利用已知求出332ABAD，证得DACE，得到2BGAD，利用RtABG中，根据正弦求出160,12AGBAGBG，求出EF的长，再利用RtDEG△中，60EGD，求出EG及DE，再利用勾股定理求出DF即可得到答案；
①过点C作CHBF于H，证明BADCHFAAS≌，得到FHAD，证明BHCCHF∽，得到BHCHCHFH，设GHx，得到222CHx，利用勾股定理得到222CGGHCH ，求得2222(2)(1)3CGxxx，利用函数的最值解答即可．
【详解】
