习 题 一（A ） 1. 写出下列事件的样本空间：)1(把一枚硬币连续抛掷两次； )2(掷两颗骰子；)3(连续抛一枚硬币，直至出现正面为止； )4(在某十字路口，一小时内通过的机动车辆数； )5(某城市一天内的用电量．解 )1(1{(,),(,),(,)}H H H T T T Ω=，其中H 表示正面，T 表示反面． )2()}6,6(),5,6(),4,6(),3,6(),2,6(),1,6(),6,5(),5,5(),4,5(),3,5(),2,5(),1,5(),6,4(),5,4(),4,4(),3,4(),2,4(),1,4(),6,3(),5,3(),4,3(),3,3(),2,3(),1,3(),6,2(),5,2(),4,2(),3,2(),2,2(),1,2(),6,1(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1{(2=Ω)3(}),,,,(),,,(),,(),{(3 H T T T H T T H T H =Ω)4(},2,1,0{4 =Ω )5(}0,{5≥=Ωt t2.C B A ,,为三个事件，试将下列事件用C B A ,,表示出来： )1(仅A 发生；)2(均发生；)3(均不发生； )4(A 发生而C B ,至少有一个不发生； )5(A 不发生而C B ,至少有一个发生；)6(不全发生；)7(最多有2个发生；)8(至少有2个发生； )9(最多有一个发生；)10(恰有2个发生．解 )1(C B A ； )2(ABC ； )3(C B A 或C B A ++； )4(BC A ； )5(A C B -+)(； )6(ABC 或C B A ++；)7(ABC 或C B A ++；)8(AC BC AB ++； )9(C B A C B A C B A C B A +++； )10(BC A C B A C AB ++；3．掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件=A ＂偶数点＂，=B ＂奇数点＂，=C ＂点数小于5＂，=D ＂小于5的偶数点＂，讨论上述各事件间的关系．解 }6,5,4,3,2,1{=Ω，}6,4,2{=A ，}5,3,1{=B ，}4,3,2,1{=C ，}4,2{=D ．A 与B 为对立事件，即A B =；B 与D 互不相容；DCD A ⊃⊃,．４．事件i A 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务，3,2,1=i ，B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件B 及C B -的含义，并且用i A )3,2,1(=i 表示出来．解 B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务．323121A A A A A A B ++=321A A A C B =-表示三个车间均完成生产任务．５．抛两枚硬币，求至少出现一个正面的概率．解 设事件A 表示＂两枚硬币中至少出现一个正面＂．若用＂H ＂表示正面，＂T ＂表示反面，其出现是等可能的．则样本空间含有四个等可能样本点：},,,{HH HT TH TT =Ω，由于事件A 含有其中3个样本点．故43)(=A P ．６．抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率． 解 设事件A 表示＂三次中既有正面又有反面出现＂， 则A 表示＂三次均为正面或三次均为反面出现＂，其所包含的样本点数为2．而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，故样本空间的样本点总数为8，因此43821)(1)(=-=-=A P A P ．７．掷两颗骰子，求下列事件的概率： )1(点数之和为7； )2(点数之和不超过5；)3(两个点数中一个恰是另一个的两倍． 解)}6,6(),5,6(),4,6(),3,6(),2,6(),1,6(),6,5(),5,5(),4,5(),3,5(),2,5(),1,5(),6,4(),5,4(),4,4(),3,4(),2,4(),1,4(),6,3(),5,3(),4,3(),3,3(),2,3(),1,3(),6,2(),5,2(),4,2(),3,2(),2,2(),1,2(),6,1(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1{(=Ω=A ＂点数之和为7＂)}1,6(),2,5(),3,4(),4,3(),5,2(),6,1{(=， =B ＂点数之和不超过5＂)}1,4(),2,3(),1,3(),3,2(),2,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1{(=，=C ＂两个点数中一个恰是另一个的两倍＂)}3,6(),6,3(),2,4(),4,2(),1,2(),2,1{(=．所以)1(61)(=A P ； )2(185)(=B P ； )3(61)(=C P ．８．10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率．解 设事件A 表示＂门锁能被打开＂．则事件A 发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁．1581)(1)(21027=-=-=C C A P A P ．９．袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率及两个球中有黑球的概率．解 记事件A 表示＂取到的两个球颜色不同＂．则有利于事件A 的样本点数为1315C C ．而组成试验的样本点总数为235+C ，由古典概型概率公式有2815)(281315==C C C A P ．设事件B 表示＂取到的两个球中有黑球＂，则有利于事件B 的样本点数为25C ．1491)(1)(2825=-=-=C C B P B P ．10. 从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：)1(全是黑桃； )2(同花； )3(没有两张同一花色； )4(同色．解 52张牌中任取4张，共有452C 种等可能的取法．)1(用事件A 表示＂任取4张全是黑桃＂，由于4张黑桃只能从13张黑桃中取出共有413C 种取法，所以 002641.0)(452413==C C A P ． )2(用事件B 表示＂取出的4张牌同花＂，由于共有4种花色，而＂4张同花＂只能从同一花色的13张牌中取出，所以共有4134C 种取法，于是010564.04)(452413==CC B P ． )3(用事件C 表示＂取出的4张牌没有两张同一花色＂，4张牌只能从各种花色(13张牌)中各取1张，共有413种取法，于是 105498.013)(4524==CC P ． )4(用事件D 表示＂取出的4张牌同色＂，共有2种颜色，而每种颜色只能从同一颜色的26张牌中任取4张，共有4262C 种取法，于是 110444.02)(452426==CC D P ．11. 口袋内装有2个伍分、3个贰分、5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率．解 设事件A 表示＂取出的5枚硬币总值超过壹角＂．则样本点总数为252510=C ，事件A 所包含的样本点数为126)(25231533123822=++C C C C C C C ．21252126)(==A P ． 12. 袋中有红、白、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：=A ＂三次都是红球＂即＂全红＂，=B ＂全白＂，=C ＂全黑＂，=D ＂无红＂，=E ＂无白＂，=F ＂无黑＂，=G ＂三次颜色全相同＂，=H ＂颜色全不相同＂，=I ＂颜色不全相同＂．解 样本点总数为2733=；事件A 、事件B 、事件C 所包含的样本点数为1；事件D 、事件E 、事件F 所包含的样本点数为823=；事件G 所包含的样本点数为事件A 、事件B 、事件C 样本点数之和3；事件H 所包含的样本点数为6!3=；事件I 所包含的样本点数为总样本点数减去事件G 所包含的样本点数24327=-． 所以有 271)()()(===C P B P A P ； 278)()()(===F P E P D P ；91273)(==G P ；92276)(==H P ；982724)(==I P ．13.一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率．解 设事件A 表示＂有4个人的生日在同一个月份＂．样本点总数为612，C事件A 所包含的样本点数2178011211246=C C ，0073.01221780)(6==A P ．14. 从6,5,4,3,2,1,0，七个数字中任取4个排成一列，求下列事件的概率：（按不重复和可重复取分别计算） )1(可构成四位数； )2(可构成四位偶数； )3(可被5整除的四位数；)4(2不在千位、4在十位的四位数； )5(数字各不相同的四位数．解 设)1(,)2(,)3(,)4(,)5(分别为事件A ，B ，C ，D ，E ． 不重复选取时总的样本点数为840456747=⨯⨯⨯=A ．)1(A 包含的样本点数为72045663616=⨯⨯⨯=A A (先在六个非零数字中任取1个排在千位，再在六个数字中任取三个排在百位、十位和个位)．所以 857.0840720)(473616≈==A A A A P ．)2(B 包含的样本点数为420300120345545613251536=+=⨯⨯⨯+⨯⨯=+A A A A (将偶数分为两类：一类0作个位的有36A 个，另一类是2、4或6作个位的有132515A A A 个)．所以 5.0840420)(4713251536==+=AA A A AB P ．)3(C 包含的样本点数为220100120455456251536=+=⨯⨯+⨯⨯=+A A A (将能被5整除的数分为两类：一类是以0作个位的有36A 个，另一类是5作个位的有2515A A 个)．所以 262.0840220)(47251536≈=+=AA A A C P ．)4(D 包含的样本点数为804542514=⨯⨯=A A (4在十位，千位不能取2和0，共14A 个取法，剩下的百位和个位共有25A 个取法)．所以 095.084080)(472514≈==AA A D P ．)5(同)1(．857.0840720)(473616≈==A A A E P ．重复选取时总的样本点数为240174=．)1(A 包含的样本点数为20587673316=⨯=A (先在六个非零数字中任取1个排在千位，其余三位可在7个数字中重复选取)．所以 857.02401205877)(4316≈==A A P ．)2(B 包含的样本点数为117688229437767767713216216=+=⨯⨯⨯+⨯⨯=+A A A (将偶数分成两类：一类是以0作个位的，在六个非零数字中选取一个排在千位，百位和十位的数字在七个数字中重复选取)．所以 49.024011176777)(413216216≈=+=A A AB P ．)3(C 包含的样本点数为588776272216=⨯⨯⨯=A (将能被5整除的数分为两类，一类是以0作个位，一类是以5作个位，都是共有2167A 个)．所以 245.02401588772)(4216≈==A C P ．)4(D 包含的样本点数为2457757215=⨯⨯=A (4在十位，千位不能取2和0，共15A 个取法，剩下的百位和个位共有27个取法).所以 102.0240124577)(4215≈==A D P ．)5(E 包含的样本点数为72045663616=⨯⨯⨯=A A ．所以 2999.024017207)(43616≈==A A E P ．15. 有两本外语书，3本数学书，4本政治书，放到书架上排成一排，求下列事件的概率：)1(两本外语书恰排在两侧（一侧一本）； )2(3本数学书排在一起； )3(某指定一本书恰好排在中间； )4(4本政治书一侧两本．解 设)1(,)2(,)3(,)4(分别为事件A ，B ，C ，D ． 总样本点数为99A ．)1(A 包含的样本点数为7722A A (两本外语书在两侧有22A 种排法，其余7本书在中间有77A 种排法)．所以 0278.0722)(997722≈==AA A A P ．)2(B 包含的样本点数为7733A A (把3本数学书看成一本，与其余6本书共有77A 种排法．3本数学书共有33A 种排法)．所以 083.0726)(997733≈==A A AB P ．)3(C 包含的样本点数为88A (指定书排在中间，其余8本书在8个位置上共有88A 种排法)．所以 111.091)(9988≈==A A C P ．)4(D 包含的样本点数为225524A A A (4本政治书中先取2本排在一侧有24A种排法，剩余人两本排在另一侧有22A 种排法，其余5本书在中间共有55A 种排法)．所以 008.0302424)(99225524≈==A A A A D P ．16. 5封信随机地投到3个信筒中，求下列事件的概率： )1(第一个信筒恰有两封信； )2(第一个信筒至少有两封信； )3(第一个信筒最多有两封信．解 设)1(,)2(,)3(分别为事件A ，B ，C . 总样本点数为24335=.)1(A 包含的样本点数为802325=C (5封信中取两封信投入第一个信筒，共有25C 种投法，剩下3封信投入两个信筒中有32种投法)．所以 329.02438032)(5325≈==C A P ．)2(B 包含的样本点数为3122341555=--C (总样本点数减去第一个信筒中没有信有52种投法，再减去第一个信筒中有一封信有4152C 种投法)．所以 539.0243313223)(541555≈=--=C B P ．)3(C 包含的样本点数为1922223254155=++C C (第一个信筒中没有信有52种投法，第一个信筒中有一封信有4152C 种投法，第一个信筒中有两封信有3252C 种投法)．所以 79.02431923222)(53254155≈=++=C C C P ．17. 将5个人等可能地分配到十个房间去住，求下列事件的概率： )1(某指定5个房间各住1人； )2(5人被分配到5个不同的房间； )3(5人被分配到同一个房间； )4(某个指定房间恰住2人．解 设)1(,)2(,)3(,)4(分别为事件A ，B ，C ，D ． 总样本点数为510．)1(A 包含的样本点数为55A ．所以 0012.01012010)(5555===A A P ．)2(B 包含的样本点数为55510A C (先选出5个房间共510C 种选法，这5个房间各住一人有55A 种住法)．所以 3024.010302410)(4555510===A C B P ．)3(C 包含的样本点数为1．所以 5510101)(-==C P ．)4(D 包含的样本点数为3259C (先选出两人住指定房间有25C 种住法，其余3人分配到剩下的9个房间，有39种分配方法)．所以 0729.010729109)(45325===C D P ．18. 在区间)1,0(中随机地取两个数，求事件“两数之和小于5/6”的概率. 解 这个概率可用几何方法确定．在区间)1,0(中随机地取两个数分别记为x 和y ，则),(y x 的可能取值形成如下单位正方形Ω，其面积为1=ΩS ．而事件A ＂两数之和小于5/6＂可表示为}5/6{<+=y x A ，其区域为图1.1中的阴影部分．图1.1 所以由几何方法得 68.02517)54(211)(2==-==ΩS S A P A ． 19. 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的．如果甲船停泊时间是1小时，乙船停泊时间是2小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头的概率．解 这个概率可用几何方法确定．记x 和y 分别为甲乙两艘轮船到达码头的时间，则),(y x 的可能取值形成边长为24的正方形Ω，其面积为224=ΩS ．而事件A ＂不需要等候码头空出＂有两种可能情况：一种情况是甲船先到，则乙船在一小时之后到达，即满足1≥-x y ；另一种情况是乙船先到，则甲船在两小时之后到达，即满足2≥-y x ．所以事件A 可表示为}21:),{(≥--≤-=y x y x y x A 或．所以事件A 的区域形成了图1.2中的阴影部分，其面积为)2223(2122+=A S ，所以由几何方法得879.024)2223(21)(222=+==ΩS S A P A ．图1.220. 事件A 与B 互不相容，计算)(B A P +． 解 由于A 与B 互不相容，有Φ=AB ，0)(=AB P1)(1)()(=-==+AB P AB P B A P ．21. 已知a A P =)(，b B P =)(，)3.0(0a b ab >≠，a B A P 7.0)(=-，求)(A B P +，)(A B P -，)(A B P +．解 由于B A -与AB 互不相容，且AB B A A +-=)(，因此有 a B A P A P AB P 3.0)()()(=--=b a AB P B P A P B A P +=-+=+7.0)()()()( a b AB P B P A B P 3.0)()()(-=-=- a AB P A B P 3.01)(1)(-=-=+22. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率．解 记事件A 为＂取到废品＂．总样本点数为350C ，事件A 包含的样本点数为346C ．所以2255.07745.011176009108011)(1)(350346=-≈-=-=-=C C A P A P ．23. 一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率（设一年以365天计算）．解 设事件A 表示＂100名学生的生日都不在元旦＂，则有利于A 的样本点数目为100364，而样本空间中样本点数总数为100365，所求概率为2399.03653641)(1)(100100≈-=-=A P A P ．24. 有5副规格不同的手套，现从中任取4只，求至少能配成一副的概率． 解 设事件A 表示＂取出的四只手套至少有两只配成一副＂，则A 表示＂四只手套中任何两只均不能配成一副＂．21080)(4101212121245==C C C C C C A P ，62.0)(1)(=-=A P A P ．25. 设事件B A ,至少有一个发生的概率为31，A 发生而B 不发生的概率为91，求)(B P ．解 由已知条件知31)(=+B A P ，91)()(])[()(=-+=+=B P B A P B B A P B A P ，则 929131)()()(=-=-+=B A P B A P B P ．26. 某单位有%92的职工订阅报纸，%93的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有%85的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率：)1(该职工至少订阅一种报纸或期刊； )2(该职工不订阅杂志，但是订阅报纸．解 设事件A 表示＂任找一名职工订阅报纸＂，B 表示＂订阅杂志＂，依题意92.0)(=A P ， 93.0)(=B P ， 85.0)|(=A B P ．则 )1()|()()()()()(A B P A P A P B A P A P B A P +=+=+988.085.008.092.0=⨯+=．)2(058.093.0988.0)()()(=-=-+=B P B A P B A P ．27. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件A 表示数学成绩优秀，B 表示外语成绩优秀，若4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)|(B A P ，)|(A B P ，)(B A P +．解 7.04.028.0)()()|(===B P AB P B A P ，7.0)()()|(==A P AB P A B P ，52.0)()()()(=-+=+AB P B P A P B A P ．28. 为了防止意外，在矿内同时设有两种报警系统A 与B ，各系统单独使用时，其有效的概率系统A 为92.0，系统B 为93.0，在A 失灵条件下，B 有效的概率为85.0，求)1(发生意外时，至少有一个系统有效的概率； )2(在B 失灵的条件下，A 有效的概率．解 用事件A 表示＂报警系统A 有效＂，用事件B 表示＂报警系统B 有效＂，依题意 92.0)(=A P ，93.0)(=B P ，85.0)|(=A B P ．)1(068.085.008.0)|()()(=⨯==A B P A P B A P ，988.092.0068.0)()()(=+=+=+A P B A P B A P ．)2(058.093.0988.0)()()(=-=-+=B P B A P B A P ．829.093.01058.0)()()|(≈-==B P B A P B A P ．29. 袋中装有8个球，其中3个红球，5个白球，3个人依次摸球（不返样）．证明3人摸到红球的概率相等．证明 用事件A 表示＂第一个人摸到红球＂，事件B 表示＂第二个人摸到红球＂，事件C 表示＂第三个人摸到红球＂． 83)(1813==CC A P ，)|()()|()()()()(A B P A P A B P A P B A P AB P B P +=+=8373857283=⨯+⨯=，)|()()|()()(B A C P B A P AB C P AB P C P +=)|()()|()(B A C P B A P B A C P B A P ++而5667283)|()()(=⨯==A B P A P AB P ， 56157385)|()()(=⨯==A B P A P B A P ， 56157583)|()()(=⨯==A B P A P B A P ， 56207485)|()()(=⨯==A B P A P B A P ，61)|(=AB C P ， 62)|(=B A C P ， 62)|(=B A C P ，63)|(=B AC P ，所以 8363562062561562561561566)(=⨯+⨯+⨯+⨯=C P ．30. 设B A ,为二事件，4.0)(=A P ，7.0)(=+B A P ，当B A ,互不相容时，求)(B P ．当B A ,独立时，求)(B P ． 解 当B A ,互不相容时)()()(B P A P B A P +=+，所以 3.0)()()(=-+=A P B A P B P ． 当B A ,独立时，)()()()()()()()(B P A P B P A P AB P B P A P B A P -+=-+=+， )(4.0)(4.07.0B P B P -+=，5.0)(=B P ．31. 某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为8.0，求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率．解 设事件i A 表示＂使用1000小时后第i 个元件没有坏＂，3,2,1=i ，显然321,,A A A 相互独立，事件A 表示＂三个元件中最多只坏了一个＂，则321321321321A A A A A A A A A A A A A +++=．上式右边是四个两两互不相容的事件的和，且8.0)()()(321===A P A P A P)()]([3)]([)(12131A P A P A P A P +=896.02.08.038.023=⨯⨯+=．32. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为3.0，2.0，2.0，并且任何一道工序是否出废品与其他各道工序无关，求零件的合格率．解 设事件A 表示＂任取一个零件为合格品＂，依题意A 表示三道工序都合格．448.0)2.01)(2.01)(3.01()(=---=A P ．33. 某单位电话总机的占线率为4.0，其中某车间分机的占线率为3.0，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率（m 为任何正整数）． 解 设事件i A 表示＂第i 次能打通＂，m i ,,2,1 =，则42.0)3.01)(4.01()(1=--=A P ， 2436.042.058.0)(2=⨯=A P ，42.058.0)(1⨯=-m m A P ．34. 在一定条件下，每发射一发炮弹击中飞机的概率是6.0，现有若干门这样的炮独立地同时发射一发炮弹，问欲以%99的把握击中飞机，至少需要配置多少门这样的炮？解 设需配置n 门这样的炮，用i A 表示＂第i 门炮击中飞机＂，n i ,,2,1 =．则击中飞机的概率为nn n A P A P A P A A A P 4.01)()()(1)(12121-=-=- 由 99.04.01≥-n可得 026.5≥n所有至少需要配置6门这样的炮．35. 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率．解 设i A 表示＂第i 人拿到自己眼镜＂，4,3,2,1=i ．41)(=i A P ，设事件B 表示＂每个人都没有拿到自己的眼镜＂．显然B 则表示＂至少有一个拿到自己眼镜＂．且4321A A A A B +++=． )()(4321A A A A P B P +++=)()()()(4321414141A A A A P A A AP A AP A P k j i k j ij i j ii i-+-=∑∑∑≤<<≤≤<≤=)41(1213141)|()()(≤<≤=⨯==j i A A P A P A A P i j i j i ，)|()|()()(j i k i j i k j i A A A P A A P A P A A A P = )41(241213141≤<<≤=⨯⨯=k j i ，)|()|()|()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =2411213141=⨯⨯⨯=，85241241121414)(3424=-⨯+⨯-⨯=C C B P ，83)(1)(=-=B P B P ．36. 甲、乙、丙三人在同一时间内独立地破一份密码，如果这三人能译出的概率依次为2.0，35.0，25.0，求该密码能译出的概率．解 用事件C B A ,,分别表示甲、乙、丙三人能译出密码，事件E 表示＂该密码能被译出＂，则)()()(1)(1)(C P B P A P C B A P E P -=-=61.039.0175.065.08.01=-=⨯⨯-=．37. 甲乙两射手，每次射击命中目标的概率分别为8.0和7.0，射击是独立进行的，求)1(各射击1次，恰有1人命中目标的概率； )2(各射击1次，至少有1人命中目标的概率； )3(各射击2次，恰有2次命中目标的概率．解 用事件B A ,分别表示一次射击中甲、乙击中目标，则8.0)(=A P ，7.0)(=B P ．用事件F E D ,,分别表示)1(,)2(,)3()1(38.07.02.03.08.0)()()(=⨯+⨯=+=B A P B A P D P ． )2(94.038.07.08.0)()()(=+⨯=+=D P AB P E P ． )3(用事件i A 表示＂甲第i 次击中目标＂，2,1=i ．用事件i B 表示＂乙第i 次击中目标＂，2,1=i ． 则8.0)()()(21===A P A P A P ， 7.0)()()(21===B P B P B P ，所以)()()()(212121212121B B A A P B B A A P B B A A P F P ++=)()()(212121212121B B A A P B B A A P B B A A P +++ 7.07.02.02.03.03.08.08.0⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 7.03.02.08.04⨯⨯⨯⨯+2116.01344.00196.00576.0=++=．38. 设C B A ,,三事件独立，试证B A -与C 独立． 证明 )()(])[(ABC AC P BC AC P C B A P -=-=-)()()()()()()(C P B P A P C P A P ABC P AC P -=-= )()]()([)()]()()([C P AB P A P C P B P A P A P -=-= )()()()(C P B A P C P AB A P -=-=所以B A -与C 独立．39. 四重伯努利试验中，事件A 至少发生一次的概率为8704.0，求下列事件的概率：)1(一次试验中A 发生的概率；)2(4次试验A 恰好发生2次的概率．解 )1(设一次试验中A 发生的概率为p ，则依题意可得 8704.0)1(14=--p ， 1296.0)1(4=-p ，6.01=-p ， 4.0=p ．)2(用事件B 表示＂4次试验中事件A 恰好发生2次＂， 3456.0)6.0()4.0()(2224==C B P ．40. 有8门炮，每门炮命中目标的概率均为2.0，各射一炮，求下列事件的概率)1(目标被命中3弹； )2(目标至少被命中2弹； )3(目标至多被命中2弹；解 设)1(,)2(,)3(分别为事件A ，B ，C ．)1(1468.032768.0008.056)8.0()2.0()(5338≈⨯⨯==C A P ；)2(4967.0)8.0)(2.0()8.0(1)(7188≈--=C B P ；)3(7969.0)8.0()2.0()8.0)(2.0()8.0()(62287188≈++=C C C P ．41. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为4.0及5.0，问谁先投中的概率较大，为什么？解 设事件n n B A 212,-分别表示＂甲在第12-n 次投中＂与＂乙在第n 2次投中＂，显然 ,,,,4321B A B A 相互独立．设事件A 表示＂甲先投中＂． +++=)()()()(543213211A B A B A P A B A P A P A P 743.014.04.0)5.06.0(4.05.06.04.02=-=+⨯⨯+⨯⨯+= ．计算得知5.0)(>A P ，5.0)(<A P ，因此甲先投中的概率较大． 42. 某高校新生中，北京考生占%30，京外其他各地考生占%70，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占%80，而京外学生以英语为第一外语的占%95，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率．解 设事件A 表示＂任选一名学生为北京考生＂，B 表示＂任选一名学生以英语为第一外语＂．依题意3.0)(=A P ，7.0)(=A P ，8.0)|(=A B P ，95.0)|(=A B P ．由全概率公式有)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=905.095.07.08.03.0=⨯+⨯=．43. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为4:7:9，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内发病率依次为004.0，002.0，005.0，求A 地的甲种疾病的发病率．解 设事件321,,A A A 分别表示从A 地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见321,,A A A 两两互不下容，其和为Ω．设事件B 表示＂任选一名居民其患有甲种疾病＂，依题意：,45.0)(1=A P 35.0)(2=A P ，2.0)(3=A P ，004.0)|(1=A B P ， 002.0)|(2=A B P ， 005.0)|(3=A B P005.02.0002.035.0004.045.0)|()()(31⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P0035.0=．44. 一个机床有三分之一的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ，加工零件A 时，停机的概率为3.0，加工零件B 时的停机的概率为4.0，求这个机床停机的概率．解 设事件A 表示＂机床加工零件A ＂，则A 表示＂机床加工零件B ＂，设事件B 表示＂机床停工＂．37.0324.0313.0)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P ．45. 市场供应的灯泡中有%40是甲厂生产的，%60是乙厂生产的，若甲、乙两厂生产的灯泡次品率分别为02.0和03.0，求 )1(顾客不加选择的买一个灯泡为正品的概率；)2(已知顾客买的一个灯泡为正品，它是甲厂生产的概率．解 设事件A 表示＂顾客买一个灯泡是甲厂生产的＂，则A 表示＂顾客买一个灯泡是乙厂生产的＂，设事件B 表示＂顾客买一个灯泡是正品＂． )1()|()()|()()(A B P A P A B P A P B P += 974.097.06.098.04.0=⨯+⨯=． )2()|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=4025.0974.0392.097.06.098.04.098.04.0≈=⨯+⨯⨯=．46. 甲袋中装有4个红球，2个白球；乙袋中装有2个红球，4个白球，求下列事件的概率：)1(从甲袋任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，该球为红球； )2(从甲袋任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，该球为红球； )3(从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球放回甲袋，最后从甲袋中任取一球，该球为红球．解 )1(设事件A 表示＂第一次取出红球＂，事件A 表示＂第一次取出白球＂，事件B 表示＂第二次取出红球＂．381.021872627364)|()()|()()(≈=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P ．)2(设事件1A 表示＂第一次取出的两球都是红球＂，2A 表示＂第二次取出的两球都是白球＂，3A 表示＂第一次取出的两球一红一白＂，事件B 表示＂第二次取出红球＂．)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++= 18132614121812262218142624C C C C C C C C C C C C C ⋅+⋅+⋅=4167.0831588215184156≈⨯+⨯+⨯=．)3(设事件A 表示＂第一次取出的是红球＂，A 表示＂第一次取出的是白球＂，事件B 表示＂第二次取出的是红球＂，B 表示＂第二次取出的是白球＂，事件C 表示＂第三次取出的是红球＂．)|()()|()()(B A C P B A P AB C P AB P C P +=)|()()|()(B A C P B A P B A C P B A P ++)|()()|()|()()|(A B P A P B A C P A B P A P AB C P += )|()()|()|()()|(A B P A P B A C P A B P A P B A C P ++ 756264646463726265736464⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=619.02113≈=． 47. 有编号为)1(、)2(、)3(的3个口袋，其中)1(号袋内装有两个1号球，1个2号球和1个3号球，)2(号袋内装有两个1号球和1个3号球，)3(号袋内装有3个1号球和两个2号球，现在先从)1(号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大？为什么？解 设事件i A 表示＂第一次取到i 号球＂，i B 表示＂第二次取到i 号球＂，3,2,1=i ．依题意，321,,A A A 构成一个完全事件组．21)(1=A P ， 41)()(32==A P A P ，21)|(11=A B P ，41)|()|(1312==A B P A B P ， 21)|(21=A B P ，41)|()|(2322==A B P A B P ，21)|(31=A B P ，31)|(32=A B P ，61)|(33=A B P ，应用全概率公式)|()()(31i j i i j A B P A P B P ∑==可依次计算出21)(1=B P ，4813)(2=B P ，4811)(3=B P ，因此第二次取到1号球的概率最大．48. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为2:3:5，各机床所加工的零件合格率，依次为%94，%90，%95，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率．解 设事件321,,A A A 分别表示＂受检零件为甲机床加工＂，＂乙机床加工＂，＂丙机床加工＂．B 表示＂废品＂，应用贝叶斯公式有 ∑==31111)|()()|()()|(i iiA B P A P A B P A P B A P7305.02.01.03.006.05.006.05.0=⨯+⨯+⨯⨯=，74)|(1)|(11=-=B A P B A P ．49. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具，其概率分别为%5，%15，%30，%50，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为%100，%70，%60与%90，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率．解 设事件4321,,,A A A A 分别表示外出人＂乘坐飞机＂，＂乘坐火车＂，＂乘坐轮船＂，乘坐汽车＂，B 表示＂外出人如期到达＂．∑==41222)|()()|()()|(i iiA B P A P A B P A P B A P21.01.05.04.03.03.015.0005.03.015.0≈⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．50. 设发报台分别以6.0和4.0的概率发出＂－＂和＂∙＂信号．由于干扰作用，发＂－＂信号时，收报台以9.0的概率收到＂－＂，以1.0的概率收到＂∙＂；发＂∙＂信号时，收报台收到＂∙＂＂－＂＂不清＂的概率分别为8.0，1.0和1.0，求下列事件的概率． )1(收报台收到＂－＂信号； )2(收报台收到＂∙＂信号；)3(收报台收到＂－＂信号，确系发的＂－＂； )4(收报台收到＂∙＂信号，确系发的＂∙＂．解 设事件21,A A 分别表示＂发出＂－＂＂和＂发出＂∙＂＂，事件321,,B B B 分别表示＂收到＂－＂＂，＂收到＂∙＂＂，＂收到＂不清＂＂．依题意 6.0)(1=A P ，4.0)(2=A P ； 9.0)|(11=A B P ，1.0)|(12=A B P ；1.0)|(21=A B P ，8.0)|(22=A B P ，1.0)|(23=A B P ． )1()|()()|()()(2121111A B P A P A B P A P B P += 58.01.04.09.06.0=⨯+⨯=．)2()|()()|()()(2221212A B P A P A B P A P B P += 38.08.04.01.06.0=⨯+⨯=．)3(58.054.0)|()()|()()|()()|(11211111111=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P931.0≈． )4()|()()|()()|()()|(22212122222A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=842.038.032.08.04.01.06.08.04.0==⨯+⨯⨯=．51. 某企业采取三项深化改革措施，预计各项改革措施成功的可能性分别为6.0，7.0和8.0，设三项措施中有一项、两项、三项成功可取得明显经济效益的概率分别为4.0，7.0和9.0，若各项措施成功与否相互独立，求 )1(企业可取得明显经济效益的概率；)2(企业已取得经济效益，是由于有两项措施成功而引起的概率．（假定三项均不成功不会取得明显经济效益）解 设企业采取甲、乙、丙三项改革措施，用事件C B A ,,分别表示甲、乙、丙三项改革措施成功，则6.0)(=A P ，7.0)(=B P ，8.0)(=C P ，用事件D 表示“企业可取得明显经济效益”，用事件G F E ,,分别表示有一项、二项、三项措施成功，则 )()(C AB C B A BC A P E P ++=)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 188.08.03.04.02.07.04.02.03.06.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， )()(C AB BC A C AB P F P ++=)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 452.08.03.06.08.07.04.02.07.06.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 336.08.07.06.0)()()()()(=⨯⨯===C P B P A P ABC P G P ，4.0)|(=E D P ，7.0)|(=F D P ，9.0)|(=G D P ． )1()|()()|()()|()()(G D P G P F D P F P E D P E P D P ++=694.09.0336.07.0452.04.0188.0=⨯+⨯+⨯=． )2()|()()|()()|()()|()()|(G D P G P F D P F P E D P E P F D P F P D F P ++=456.0694.03164.0≈=．52. 一条生产线正常生产的时间为%95，不正常生产的时间为%5．正常运转时，产品%90为合格品，%10为不合格品；不正常运转时，产品合格品只占%40，从产品中任取1件检查，求下列事件的概率： )1(取出的产品为合格品；)2(取出的是合格品，它是正常运转时生产的； )3(取出的是合格品，它是不正常运转时生产的．解 用事件21,A A 分别表示生产线正常生产与不正常生产，用事件21,B B 分别表示取出一件产品为合格品与不合格品．依题意 95.0)(1=A P ，05.0)(2=A P ； 9.0)|(11=A B P ，1.0)|(12=A B P ； 4.0)|(21=A B P ，6.0)|(22=A B P .)1()|()()|()()(2121111A B P A P A B P A P B P +=875.04.005.09.095.0=⨯+⨯=；)2(977.0875.0855.0)()()|()()|()()|(21211111111≈=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P ．53. 某种零件可以用两种工艺方法加工制造，第一种方法需三道工序，其中各道工序出现废品的概率分别是1.0，2.0和3.0；第二种方法需两道工序，每道工序出现废品的概率均为3.0．设在合格品中得到优等品的概率分别为9.0和8.0．比较哪种方法得到优等品的概率较大？解 用事件A 表示＂用第一种方法生产出合格品＂，用事件B 表示＂用第二种方法生产出合格品＂．用事件21,C C 分别表示用第一、第二种方法生产出优等品．依题意504.07.08.09.0)(=⨯⨯=A P ， 49.07.07.0)(=⨯=B P ， 9.0)|(1=A C P ， 8.0)|(2=B C P ．4536.09.0504.0)|()()(11=⨯==A C P A P C P ， 392.08.049.0)|()()(22=⨯==B C P B P C P ． 所以第一种方法得到优等品的概率较大． 54. 设一条昆虫生产n 个卵的概率为 λλ-=en p nn !， ,2,1,0=n ，其中0>λ．又设一个虫卵能孵化成昆虫的概率等于)10(<<p p ．如果卵的孵化是互相独立的．问此虫的下一代有k 条的概率是多少？ 解 设事件=n A ＂一个虫产下几个卵＂， ,2,1,0=n ．=R B ＂该虫下一代有k 条虫＂， ,2,1,0=k ．依题意λλ-==en p A P nn n !)(，⎩⎨⎧≤≤>=-nk qp C n k A B P kn k k n n k 00)|(其中p q -=1．应用全概率公式有)|()()|()()(0n k kn nn k n nk A B P AP A B P AP B P ∑∑∞=∞===∑∑∞=----∞=-=-=kn kn k kn k kn nk n q ek p qp k n k n en )!()(!)()!(!!!λλλλλ由于qk n kn kn kn ek n q k n q λλλ=-=-∑∑∞=--∞=-0)!()()!()(，所以有ppqkk ekp eek p B P λλλλλ--==)(!)()(， ,2,1,0=k ．（B ）1. 对于任意二事件A 和B ，与B B A =⋃不等价的是：)(a B A ⊂ )(b A B ⊂ )(c Φ=B A )(d Φ=B A解 )(dΦ=⇔⊂⇔⊂⇔=⋃B A A B B A B B A ，而B A B A ⊃⇔Φ=．2. 设B A ,为两个随机事件，且1)|(,0)(=>B A P B P ，则必有： )(a )()(A P B A P >⋃ )(b )()(B P B A P >⋃ )(c )()(A P B A P =⋃ )(d )()(B P B A P =⋃ 解 )(c由题设条件可得1)()()|(==B P AB P B A P ，所以)()(B P AB P =，即B A ⊃，于是 A B A =⋃，故有)()(A P B A P =⋃．3. 当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则必有： )(a )()(AB P C P = )(b )()(B A P C P ⋃=)(c 1)()()(-+≤B P A P C P )(d 1)()()(-+≥B P A P C P 解 )(d当事件A 与B 同时发生时，事件C 发生AB C ⊃⇔，所有，)(a 非正确答案．虽然AB C ⊃，但可能有C B A ⊃⋃，所以，)(b 非正确答案． 显然，01)()(<-+B P A P 可能成立，所有，)(c 非正确答案． 4. 设a A P =)(，b B P =)(，c B A P =+)(，则_______)(=B A P ． )(a b a - )(b b c - )(c )1(b a - )(d )1(c a - 解 )(b)()()()]([)(AB P A P AB A P B A P B A P -=-=-Ω=，c AB P B P A P B A P =-+=+)()()()(，即c AB P b a =-+)(，所以c b a AB P -+=)(，于是得 b c c b a a AB P A P B A P -=-+-=-=)()()()(．5. 设C B A ,,三个事件两两独立，则C B A ,,相互独立的充分必要条件是： )(a A 与BC 独立 )(b AB 与C A ⋃独立 )(c AB 与AC 独立 )(d B A ⋃与C A ⋃独立 解 )(aC B A ,,相互独立C B A ,,⇔两两独立且)()()()(C P B P A P ABC P =．由题设条件已经知道了C B A ,,两两独立，因此C B A ,,相互独立)()()()(C P B P A P ABC P =⇔．对于)(a ，因为B 与C 已经相互独立，所以A 与BC 独立 )()()()()()()(C P B P A P ABC P BC P A P ABC P =⇔=⇔， 故应选)(a ．6. 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：=1A ｛掷第一次出现正面｝， =2A ｛掷第二次出现正面｝， =3A ｛正、反面各出现一次｝， =4A ｛正面出现两次｝ 则事件（ ）)(a 321,,A A A 相互独立 )(b 432,,A A A 相互独立 )(c 321,,A A A 两两独立 )(d 432,,A A A 两两独立 解 )(c21)(1=A P ， 21)(2=A P ， 21)(3=A P ， 41)(4=A P ．Φ=321A A A ， Φ=432A A A ， Φ=43A A ，所以)(a ，)(b ，)(d 非正确答案．)()(41)()(21421A P A P A P A A P ===，)()(31二次出现反面掷第一次出现正面，第P A A P =)()(4131A P A P ==，)()(32二次出现正面掷第一次出现反面，第P A A P =)()(4132A P A P ==，所以)(c 正确．7. 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为)10(<<p p ，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）． )(a 2)1(3p p - )(b 2)1(6p p - )(c 22)1(3p p - )(d 22)1(6p p -解 )(c前3次射击恰好1次命中目标的概率为2213)1(3)1(p p p p C -=-，第4次命中目标的概率为p ，再由独立性可得第4次射击恰好第2次命中目标的概率为22)1(3p p -．8. 把n 个＂0＂与n 个＂1＂随机地排列，求没有两个＂1＂连在一起的概率．解 考虑n 个＂1＂的放法：n 2个位置上＂1＂占有n 个位置，所有共有nn C 2种放法．而＂没有两个1连在一起＂，相当于在n 个＂0＂之间及两头（共1+n 个位置）去放＂1＂，这共有nn C 1+种放法． 所以没有两个＂1＂连在一起的概率为n nn nnn Cn CC 2211+=+．9. 从数字9,,2,1 中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率．解 记事件A 为＂至少取到一次5＂，事件B 为＂至少取到一次偶数＂，则所求概率为)(AB P ．因为nn A P 98)(=， nn B P 95)(=， nn B A P 94)(=⋂，所以)()()(1)(1)(B A P B P A P B A P AB P ⋂+--=⋃-=nnn n 94581-+-=．10. 考虑一元二次方程02=++C Bx x ，其中C B ,分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q ． 解 C B ,均可取值6,5,4,3,2,1，而且取每一个值的概率均为61．一枚骰子接连掷两次，其基本事件总数为36=n ，且这36个基本事件是等可能的，所以，这是一个古典概型问题．当C B 42≥时方程有实根；C B 42=时方程有重根．关键的问题是求出满足C B 42≥和C B 42=的基本事件数．用表格列出分析结果：由此可得，使方程有实根的基本事件数为1966421=++++， 所以3619=p ．使方程有重根的基本事件数为2个，所有181362==q ．11. 已知事件B A ,满足)()(B A P AB P ⋂=，记p A P =)(，试求)(B P ． 解 因为)(1)()()(B A P B A P B A P AB P ⋃-=⋃=⋂=)()()(1AB P B P A P ---=， 由此得 0)()(1=--B P A P ， 所以 p A P B P -=-=1)(1)(．。
