数学与应用数学-施瓦茨不等式的应用论文

柯西施瓦兹不等式的应用柯西施瓦兹不等式是数学中一个重要的不等式，它可以应用于许多领域，如线性代数、概率论、几何学等。

本文将从这些方面介绍柯西施瓦兹不等式的应用。

一、线性代数中的应用在线性代数中，柯西施瓦兹不等式可以被用来证明向量内积的性质。

向量内积是指两个向量之间的乘积，它可以用来计算两个向量之间的夹角和长度。

假设有两个n维实向量x和y，它们的内积可以表示为：x · y = x1y1 + x2y2 + … + xnyn柯西施瓦兹不等式表明：|x · y| ≤ ||x|| ||y||其中，||x||和||y||分别表示向量x和y的长度。

这个不等式告诉我们，当两个向量之间的夹角越小时，它们的内积也越大。

同时，当一个向量与自己做内积时，得到的结果就是该向量长度的平方。

二、概率论中的应用在概率论中，柯西施瓦兹不等式可以被用来证明随机变量之间协方差的性质。

协方差是用来衡量两个随机变量之间相关性的指标。

假设有两个随机变量X和Y，它们的协方差可以表示为：Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]其中，E表示期望值。

柯西施瓦兹不等式表明：|Cov(X, Y)| ≤ √Var(X) √Var(Y)其中，Var表示方差。

这个不等式告诉我们，当两个随机变量之间相关性越强时，它们的协方差也越大。

同时，当一个随机变量与自己做协方差时，得到的结果就是该随机变量的方差。

三、几何学中的应用在几何学中，柯西施瓦兹不等式可以被用来证明向量之间夹角余弦值的性质。

夹角余弦值是指两个向量之间夹角的余弦值，它可以用来计算两个向量之间的夹角大小。

假设有两个n维实向量x和y，它们之间夹角余弦值可以表示为：cosθ = (x · y) / (||x|| ||y||)其中，θ表示两个向量之间的夹角。

柯西施瓦兹不等式表明：-1 ≤ cosθ ≤ 1这个不等式告诉我们，两个向量之间的夹角余弦值的取值范围是-1到1之间。

柯西施瓦茨不等式数学归纳法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：柯西施瓦茨不等式是数学中一个非常重要的不等式，它在许多领域中都有着广泛的应用。

柯西施瓦茨不等式是由法国数学家柯西（Augustin Louis Cauchy）和瑞士数学家施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz）分别独立提出的，后来被称为柯西施瓦茨不等式。

这个不等式可以用来描述内积空间中的向量之间的关系，也可以用来证明各种数学问题。

柯西施瓦茨不等式的数学表达式如下：\left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right)a和b都是n维向量，\sum_{i=1}^{n} a_i b_i是向量a和b的内积，\sum_{i=1}^{n} a_i^2和\sum_{i=1}^{n} b_i^2分别是向量a和b的范数的平方。

柯西施瓦茨不等式的几何意义是，两个向量的内积的绝对值不会超过它们的范数的乘积。

这个不等式可以用来证明一系列的数学问题，例如在线性代数、实分析、概率论等领域中经常会用到。

下面我们将通过数学归纳法来证明柯西施瓦茨不等式。

我们来看一下当n=2时的情况。

假设有两个向量a和b，它们的分量分别为a=(a_1,a_2)，b=(b_1,b_2)。

根据柯西施瓦茨不等式的定义，我们有：(a_1b_1 + a_2b_2)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)展开计算可得：这就证明了当n=2时，柯西施瓦茨不等式成立。

假设当n=k时柯西施瓦茨不等式成立，即对于任意k维向量a=(a_1,a_2,...,a_k)和b=(b_1,b_2,...,b_k)，有：假设有两个k+1维向量a=(a_1,a_2,...,a_{k+1})和b=(b_1,b_2,...,b_{k+1})。

柯西施瓦茨不等式的应用柯西施瓦茨不等式是数学中一种重要的不等式，具有广泛的应用。

它得名于法国数学家柯西和德国数学家施瓦茨，被广泛应用于线性代数、概率论、几何学等多个领域。

本文将介绍柯西施瓦茨不等式的数学表达形式，以及它在不同领域的应用。

一、柯西施瓦茨不等式的数学表达形式柯西施瓦茨不等式的最基本形式如下：对于实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + an²)(b₁² + b₂² + ... + bn²)其中等号成立的条件是两个向量之间存在线性依赖关系。

这一不等式可以用向量的内积来表示，形式如下：|<a, b>|² ≤ <a, a> • <b, b>其中，a和b是n维向量，<a, b>代表a和b的内积。

二、柯西施瓦茨不等式在线性代数中的应用柯西施瓦茨不等式在线性代数中被广泛应用。

其中一个重要的应用是证明向量的正交性。

如果两个向量的内积等于零，那么它们就是正交的。

这可以通过柯西施瓦茨不等式来证明。

另一个应用是证明向量的长度和内积之间的关系。

根据柯西施瓦茨不等式，两个向量的内积的绝对值小于等于两个向量的长度的乘积。

这意味着向量的长度越大，它们之间的内积的绝对值就越大。

三、柯西施瓦茨不等式在概率论中的应用柯西施瓦茨不等式在概率论中也有重要的应用。

在概率论中，两个随机变量的协方差可以通过柯西施瓦茨不等式来估计。

协方差描述了两个随机变量之间的线性关系。

柯西施瓦茨不等式告诉我们，两个随机变量的协方差的绝对值小于等于它们的标准差的乘积。

这为我们估计随机变量之间的相关性提供了一个重要的工具。

四、柯西施瓦茨不等式在几何学中的应用柯西施瓦茨不等式在几何学中也有广泛的应用。

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)前言 (1)1. 预备知识 (1)2.Cauchy-Schwarz积分不等式及其推广 (2)2.1 Cauchy-Schwarz积分不等式 (2)2.2 Cauchy-Schwarz积分不等式形式上的推广 (4)2.3 Holder积分不等式 (5)2.4 Minkowski积分不等式 (9)3. 实例应用 (10)3.1 Cauchy-Schwarz积分不等式的实例 (10)3.2 Cauchy-Schwarz积分不等式形式推广的运用 (12)3.3 Holder积分不等式的应用 (12)3.4 运用Minkowski积分不得不等式证明范数 (13)4. 结束语 (13)参考文献 (14)各种Schwarz 积分不等式的归纳及其应用举例学生姓名： 学号：数学与信息科学学院 数学与应用数学指导老师： 职称：摘 要：本文归纳和总结给出不同形式的Schwarz 积分不等式，然后对其进行证明，并举例说明它在一些实际问题中的应用.关键词：Cauchy-Schwarz 积分不等式；行列式；Holder 积分不等式；Minkowski 积分不等式The examples of application and induction on some forms ofSchwarz integration inequalitiesAbstract ：This paper will enumerate and then prove some forms of Schwarz integration inequality, thereby illustrate its implementation in practical problems.Key words ：Cauchy-Schwarz integral inequality; D eterminant; Holder integral inequality; Minkowski integral inequality前言本文主要从三个方面归纳和总结了Schwarz 积分不等式，首先我们给出了Schwarz 积分不等式的一般形式、Schwarz 积分不等式的形式推广和Schwarz 积分不等式最出名的推广就是Holder 积分不等式以及Minkowski 积分不等式；其次运用理论来证明它的合理性；最后通过一些实例说明它在数学中，生活中的实际应用.1. 预备知识定理1.1 (Cauchy 不等式)[3]已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为实数，则222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. (1)等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,,i n =.这是最常见的Cauchy 不等式，其实当n=3可追朔至法国数学家grange . Cauc-hy 不等式可以推广至复数. 如何推广呢? 不等式只在实数时才有意义，对于复数自然的选择其长度. 对任意复数z x iy =+，其长度z =(1)而言我们只须将平方的意义，更改为复数的模数的平方即可.定理1.2 (Cauchy 不等式)[3]已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为复数, 则222111nn ni ii i i i i a ba b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (2) 等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,,i n =，λ为复数.定理1.3 (Cauchy 不等式)[3]已知i a ,i b ∈C ,则112222,111i j i j i j i j a b a b ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (3) 等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,,i n =，λ∈C .如果21i i a ∞=<∞∑、21i i b ∞=<∞∑，则1i ii a b∞=<∞∑.从Cauchy 不等式的角度而言，无穷数列{}1i i a ∞=的平方和收敛，21i i a ∞=<∞∑，是很自然而然出现的空间，在实变函数论或泛函分析中我们称之为2l 空间. 这是n 维实数空间n R 最自然的推广，它是一个Hilbert 空间，最重要的应用就是量子力学.在数学中尤其是分析学的思考过程通常是有限和⇔无穷级数⇔积分 (4)因此想当然Cauchy 不等式是可以推广至积分.2. Cauchy-Schwarz 积分不等式及其推广2.1 Cauchy-Schwarz 积分不等式定理2.1.1 (Cauchy-Schwarz 积分不等式)[1]已知()f x ,()g x 均在[],a b 上连续，则()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰. (5)证明 （法一:定义法）在积分学中，积分几乎都是从无穷级数推得的，下面我们也从级数开始，设[],a b 上有1n -个点，依次为0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，它们把[],a b 分成n 个小区间[]1,i i i x x -∆=，i =1,2,…,n. i b an-∆=，记{}12,,,n T =∆∆∆. 这些分点构成对[],a b 的一个分割.在每个小区间i ∆上任取一点i ξ，作以()()i i f g ξξ为高，i ∆为底的小矩形.因为()f x ,()g x 均在[],a b 上连续，则()f x ,()g x 均在[],a b 上可积，有222111()()()()nn n i i i i i i i b a b a b a f g f g n n n ξξξξ===---⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑， 两边求极限，()2201lim ()()()()nbi i aT i b a f g f x g x dx n ξξ→=-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰，2222011lim ()()()()n n b i i a T i i b a b a f g f x g x dx n n ξξ→==--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰， 则()222()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰.(法二:判别式）开始这个不等式最常见的证明方法就是利用判别式.因为[]()2222()()()2()()()bb b ba a a a xf t g t dt f t dt x f t g t dt x g t dt ⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰， 可视为x 的二次方程式，由于[]2()()0b axf t g t dt +≥⎰，而且2()0b a f t dt ≥⎰,所以上式表示的是开口向上而且在轴x 上方的抛物线，由于和x 轴不相交，所以没有实数，因此判别式小于或等于0.判别式()()()2224()()4()()0bbbaaaf tg t dtf t dtg t dt ∆=-≤⎰⎰⎰，整理得()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰.(法三:半正定)注意到关于1t ，2t 的二次型[]22222121122()()()2()()()bbbbaaaat f x t g x dx t f x dx t t f x g x dx t g x dx +=++⎰⎰⎰⎰为非负二次型，从而系数行列式()()()()()()()()bba a bbaaf x f x dx f xg x dx f x g x dxg x g x dx⎰⎰⎰⎰=2()baf x dx⎰2()bag x dx ⎰-()2()()0baf xg x dx≥⎰，即()222()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰，从而定理2.2.1得证.从实变函数论的角度而言，我们仅需要求()f x 、()g x 是平方可积分函数([]2,L a b )则Cauchy-Schwarz 积分不等式仍然成立. 其空间关系可对照前一式(4):222R l L ⇔⇔. (6)2.2 Cauchy-Schwarz 积分不等式形式上的推广根据上面的Cauchy-Schwarz 积分不等式()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⎰⎰⎰的证明方法三中我们可以看出这个不等式可以改写为以下行列式形式:()()()()()()()()bba a bbaaf x f x dx f xg x dx f x g x dxg x g x dx⎰⎰⎰⎰0≥ .以这种形式给出的好处在于形式便于推广.定理2.2.1 (Schwarz 积分不等式形式推广)[2]设()f x ，()g x ，()h x 均在[],a b 上可积，则有()()()()()()()()()()()()0()()()()()()bbba a a bbba a a bbbaaaf x f x dx f xg x dx f xh x dxf xg x dx g x g x dxh x g x dx f x h x dxh x g x dxh x h x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (7) 证明 注意到关于1t ，2t ，3t 的二次型[]2123()()()bat f x t g x t h x dx ++⎰222222123()()()b b baaat t f x dx t t g x dx t t h x dx=++⎰⎰⎰1213232()()2()()2()()b b baaat t f x g x dx t t f x h x dx t t g x h x dx +++⎰⎰⎰为非负二次型，从而其系数行列式()()()()()()()()()()()()0()()()()()()bbba a a bbba a a bbbaaaf x f x dx f xg x dx f xh x dx f x g x dx g x g x dx h x g x dx f x h x dxh x g x dxh x h x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 从而定理2.2.1得证. 2.3 Holder 积分不等式定理2.3.1 (Holder 不等式)[3]已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为任意复数，且p ，q 1≥，111p q+=，则 11111n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. (8) 证明 令11ii n pp i i a a a ==⎛⎫⎪⎝⎭∑ ， 11ii n qq i i b b b ==⎛⎫⎪⎝⎭∑，利用几何平均不等式①，得到11p qi i i i a b a b p q≤+， 或1111111111p q i ii i n nn n pqpqp q p q i i i i i i i i a b a b pqa b a b ====≤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑，取有限和，得11111111111111nnnpq i iii i i i n n n n pqpqp q p q i i i i i i i i a b a b pqa b a b =======≤+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑，因此可得11111n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 注 ①几何平均不等式2211()22a b ab a b ≤+⇔≤+.当2p q ==时就是Cauchy-Schwarz 不等式.Holder 不等式对n =∞也成立.另外最著名的就是积分不等式.定理2.3.2 ([],C a b 上的Holder 积分不等式)[3]已知()f x ，()g x [],C a b ∈，111p q+=，且p ，q 1≥则()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx≤⎰⎰⎰. (9)或更一般的形式定理2.3.3 ([],C a b 上的Holder 积分不等式)[3]已知1()f x ，2()f x ，…，()n f x [],C a b ∈，且1211p p ++ (1)p =1，1i p ≥ 则 ()()()12121111212()()()()()()nnbbbbpp p p p p n n aaaaf x f x f x dx f x dxf x dxf x dx≤⎰⎰⎰⎰. (10)证明 (定理2.3.2) 设()f x ，()g x [],C a b ∈，则当()0f x ≡或()0g x ≡时，上式(10)显然成立.令 i b ax a ia i x n-=+=+∆， (0,1,,i n =)则由Holder 不等式(9)可知11111()()()()n n npqp q i i i i i i i f x g x f x g x ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑， 上式两边同时乘以1n ，有1111111()()()()n nnpqp q i i i i i i i f x g x f x g x nn ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，上式右端=11111()()nnpqp q i i i i n f x g x -==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑=111111()()nnpqp q p q i i i i nf xg x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ =1111()()nnpqp q i i i i f x g x n n ==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，于是11111()()()()nnnpqp q i i i i i i i f x g x f x g x ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑可转化为 11111()()()()nnnpqp q iii i i i i f x g x f x g x nn n ===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ，而b a x n -∆=，故b an x-=∆，将n 代入11111()()()()nnnpqp q i i i i i i i f x g x f x g x nn n ===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，得 11111()()()()n nnpqp q i i i i i i i x x x f x g x f x g x b a b a b a ===∆∆∆⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑， 即11111111()()()()n n npqp qi i i i i i i f x g x x f x x g x x b a b a b a ===⎛⎫⎛⎫∆≤∆∆ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ， 对上式两端取极限，当n →∞时，0x ∆→，得()()1111()()()()bbbpqpqa aaf xg x dx f x dxg x dx b a b a≤--⎰⎰⎰，化简上式，即得()()11()()()()bbbpqpqa aaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰，又由 ()()()()bb aaf xg x dx f x g x dx ≤⎰⎰，故()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx≤⎰⎰⎰，从而定理2.3.2得证.定理2.3.4 (pL 上的Holder 积分不等式)[5]设1p >，111p q+=,()[,]p f x L a b ∈，()[,]p g x L a b ∈，那么()()f x g x 在[,]a b 上L 可积，并且成立()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰. (11)证明 首先证明当1p >，111p q +=时，对任何正数A 及B ，有11p q A BA B p q≤+.(12)事实上，作辅助函数 ()x x x αϕα=-(0)x <<∞，01α<<，则 '1()(1)x x αϕα-=-，所以在(0,1)上'()0x ϕ>，在(1,)∞上'()0x ϕ<，因而(1)ϕ是函数()x ϕ在(0,)∞上的最大值，即 ()(1)1x ϕϕα≤=-，(0,)x ∈∞. 由此可得(1)x x ααα≤+-，(0,)x ∈∞.令 Ax B =，代入上面不等式，那么 (1)A A B B αααα≤+-.两边乘以B ，得到 1(1)A A B Bαααα-≤+- .令1p α=，则 11q α-=，于是上式成为 11p q A B A B p q≤+.如果()1()0bppaf x dx=⎰或()1()0bqqag x dx=⎰，则()0f x =..a e 于[,]a b 或 ()0g x =..a e 于[,]ab ，这时不等式(11)自然成立，所以不妨设()1()0bppaf x dx>⎰，()1()0bqqag x dx>⎰.作函数 ()1()()()bppaf x x f x dxϕ=⎰， ()1()()()bqqag x x g x dxψ=⎰.令()pA x ϕ= ， ()qB x ψ=，代入不等式(12)，得到()()()()pqx x x x pqϕψϕψ≤+. (13)由(13)立即可知()()x x ϕψ在[,]a b 上L 可积，由此可知)(()f x g x 也L 可积，对(13)的两边积分，得到 ()()()()1pqbbba aax x x x dx dx dx pqϕψϕψ≤+=⎰⎰⎰.因此()()11()()()()bbbpqpqaaaf xg x dx f x dxg x dx ≤⎰⎰⎰，证毕.2.4 Minkowski 积分不等式定理2.4.1 ([,]pL a b 上的Minkowski 积分不等式)[5]设1p ≥，()f x , ()g x ∈[,]p L a b ，那么()()[,]p f x g x L a b +∈，并且成立不等式111()()()()ppppppb b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰. (14) 证明 当1p =时，因()()()()f x g x f x g x ≤+，由积分性质可知不等式(14)自然成立.如果1p >，因为(),()[,]pf xg x L a b ∈，所以()()[,]p q qf xg x L a b ∈，由Holder 积分不等式，有()11()()()()()()pppbbbpqqaa af x f xg x dx f x dx f x g x dx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，类似对()g x 也有()11()()()()()()pqqbbbpqqaa ag x f x g x dx g x dx f x g x dx⎛⎫≤ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，因而 1()()()()()()pbbp aaf xg x dx f x g x f x g x dx -=⎰⎰()()()()()()p pbbqqaaf x f xg x dx g x f x g x dx ≤+⎰⎰()111()()()()p q p q b b bpqa a af x dxg x dx f x g x dx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰(15)若()()0bpa f x g x dx =⎰，则()1()()bppaf xg x dx⎰，(14)式显然成立， 若()()0bpaf xg x dx ≠⎰，则在(15)式两边除以()1()()b pqaf xg x dx ⎰，得到()1111()()()()ppppbb b pqaa a f x g x f x dx g x dx -⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰. 由111p q+=，得到 111()()()()ppppppb b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰， 证毕.无论是Holder 积分不等式，还是Minkowski 积分不等式，当2p q ==时，就是Cauc- hy- Schwarz 积分不等式.上面我们从空间R 和p L 空间上说明Holder 积分不等式和Min- kowski 积分不等式，对于p l 空间也有类似的Holder 积分不等式和Minkowski 积分不等式，11111pqpqi i i i i i i ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑， (Holder 积分不等式)其中1p >，111p q+=，()123,,,p l ξξξ∈，()123,,,q l ηηη∈.pp p x yx y +≤+， (Minkowski 积分不等式)其中1p ≥，()123,,,x ξξξ=，()123,,,p y l ηηη=∈，11ppip i x ξ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，11qq i pi y η∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑.由此可知p l 按范数p x 成赋范线性空间.3. 实例应用3.1 Cauchy-Schwarz 积分不等式的实例例1. 设()f x 在[],a b 上连续，且()0f x ≥，()1b a f x dx =⎰. 证明:k R ∀>，有()()22()cos ()sin 1bbaaf x kxdx f x kxdx+≤⎰⎰.证明 因为()f x 在[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上可积，有()()22()cos baaf x kxdxkxdx =⎰⎰，()()22()()cos ()cos bb b aa af x dxf x kxdx f x kxdx =⎰⎰⎰，因为Cauchy-Schwarz 积分不等式，有()()()22()()cos bbaaakxdxf x dxf x kxdx ≤⎰⎰⎰，从而()22()cos ()cos bbaa f x kxdxf x kxdx ≤⎰⎰，同理()22()sin ()sin bbaaf x kxdxf x kxdx ≤⎰⎰，()()2222()cos ()sin ()(cos sin )1bb baaaf x kxdx f x kxdxf x kx kx dx +≤+=⎰⎰⎰.例2. 设()f x 在[]0,a 上连续可导，(0)0g =,证明:20()()()2a a a g x g x dx g x dx ≤⎰⎰′′. 等号成立()g x cx ⇔=(c 为常数).证明 设0()()xf xg t dt =⎰′，()()f x g t =′′，(0)0f =，因为()()(0)()()()xxg x g x g g t dt g t dt f x =-=≤=⎰⎰′′，()2222()()1()()()()1()()2222aaaa af x f a ag x g x dx f x f x dx g x dxg x dx ≤===⋅≤⎰⎰⎰⎰′′′′， 当()g x cx =时，左边=2222aa c c xdx =⎰，右边=222022a a a c c dx =⎰，则左边=右边.由Schwarz 积分不等式，()g x c =′，[]0,x a ∈()g x c =′或()g x c =-′，0()()x xg t dt cdt g x cx =⇒=⎰⎰′. 3.2 Cauchy-Schwarz 积分不等式形式推广的运用例3.[4]设()f x ，()g x 均在[],a b 上可积且满足: 1) ()0f x m ≥>， 2) ()0ba g x dx =⎰，则有:22222()()()()()()b b b b a aa a f x g x dx f x dx g x dx mb a g x dx ⎡⎤≤--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.证明 利用(7)，取()1h x =，并注意到()0bag x dx =⎰，则()()()()()()()()()()0bbba a abbaabaf x f x dx f xg x dx f x dx f x g x dxg x g x dxo f x dxb a-⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222()()()()()()()()bbbbbaaa aa b a f x dx g x dx f x dx g x dx b a f x g x dx ⎡⎤⎡⎤=----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰0≥， 由此得到:222221()()()()()()b b b b b a a a a a f x g x dx f x dx g x dx f x dx g x dx b a ⎡⎤⎡⎤≤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰⎰，注意到定理中的条件1): ()0f x m ≥>,于是22()()baf x dx m b a ≥-⎰，从而22222()()()()()()b b b b a aa a f x g x dx f x dx g x dx mb a g x dx ⎡⎤≤--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰. 3.3 Holder 积分不等式的应用例4. 设()f x ，()g x 为区间[],a b 上的可积函数，m N ∈，则:()()11()()()()m b m ba mm ab af x dx f x dxg x g x dx ++≥⎰⎰⎰.证明 把区间[],a b 分成n 等分，每个小区间长为x ∆，在每个小区间上取一点i ξ，则有11111()()()()nm m i ni i n m mi i ii f xf xg g xξξξξ++===∆∆≥∆∑∑∑因为()f x ，()g x 可积所以上式0x ∆→两端取极限，由极限保号性和黎曼积分定义有()()11()()()()m b m ba mmab af x dx f x dxg x g x dx ++≥⎰⎰⎰结论得证.3.4 运用Minkowski 积分不等式证明范数例5.[5]当1p ≥时，证明[,]p L a b 按1()()ppbpa f x f x dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰定义中的范数()p f x 成为赋范线性空间.证明 由 1()()0ppb pa f x f x dx ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭⎰，且()0f x =等价于()0f x =， ()()pp f x f x αα=，其中α为任意实(复)数.又由 Minkowski 积分不等式，当1p ≥时，对任何(),()[,]p f x g x L a b ∈，有 1()()()()ppb pa f x g x f x g x dx ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰11()()ppppb b a a f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()p p f x g x =+，所以[,]p L a b 按()p f x 成为赋范线性空间.4. 结束语本文主要给出了各种类型的Schwarz积分不等式，首先我们给出了的最基本Schwarz积分不等式，也就是最常见的Schwarz积分不等式；其次将Schwarz积分不等式进行一般形式推广；然后给出Schwarz积分不等式最出名的推广Holder积分不等式；最后给出Minkowski积分不等式.每一种Schwarz积分不等式都给出了相应的新的证明方法并给出一些实例加以说明.参考文献:【1】华东师范大学数学系编，数学分析上册(第三版)[M].高等教育出版社，2001.6.【2】匡继昌，常用不等式[M].长沙：湖南教育出版社，1989.【3】林琦焜，Cauchy-Schwarz不等式之本质和意义[J].数学传播，1995，24(1)：p26-42.【4】张小平, 解析不等式[M].北京:科学出版社，1987.【5】程其襄魏国强等编，实变函数与泛函分析基础(第二版)[M].高等教育出版社，2003.7.。

柯西施瓦茨不等式的应用及推广柯西施瓦茨不等式的应用及推广摘要本文探讨的是柯西施瓦茨不等式在不同数学领域的各种形式和内容及其多种证明方法和应用,并对其进行了一定程度上的推广.通过一系列的例题,反映了柯西施瓦茨不等式在证明相关的数学命题时可以使得解题方法得以简捷明快,甚至可以得到一步到位的效果,特别是在概率统计中的广泛应用.关键词 Cauchy-Schwarz不等式 Minkowski不等式 Holder不等式Hermite阵1引言柯西施瓦茨不等式在数学中的应用比较广泛,是异于均值不等式的另一个重要不等式,灵活巧妙的运用它,可以使一些较困难的实际问题得到比较简捷地解决,这个不等式结构和谐,无论代数、几何,都可以应用.本文正是从实数域、微积分.内积空间、概率空间以及矩阵分析这五个方面的内容进行证明并举例说明其应用,对实数域和微积分中的形式进行了一定程度的推广.2 在实数域中的Cauchy不等式命题1 设,则(1)其中当且仅当(为常数)等号成立.证明由则由于,因此上述不等式的判别式大于零,即:易得(1)式成立.例1 设求证证明由不等式左边的形式,很容易想到柯西不等式解之柯西施瓦茨不等式在实数域中的应用十分广泛,而且许多著名的不等式就是用柯西施瓦茨不等式直接导出.下面介绍两个著名的不等式.由上面的柯西施瓦茨不等式可以得到Minkowski不等式定理1 任意的个实数,有 (2)事实上,由(1)得这就证明了(2).将柯西施瓦茨不等式中的幂指数扩充,则有赫尔德不等式.定理2 对任意的非负数有其中,满足且.证明由杨格不等式,其中且得赫尔德不等式中,当时为柯西施瓦茨不等式,若将则可导出相应的无穷不等式.由定理2可将定理1的幂指数进行扩充定理3 若对任意的非负实数,,且,则证明由杨格不等式化简即得所要证得的不等式.还可将上述赫尔德不等式推广到无限和不等式:推论1 若对任意非负实数,有,则下面将上命题1进行推广:引理1 (算术-几何平均值不等式)设为个正数,则 ,等号成立的充要条件为.引理2 设,作定义:则在中定义了的加法、数乘、内积作成上的线性空间一定构成欧几里得空间,简称欧氏空间在介绍柯西施瓦茨不等式在内积空间中的应用时会用到此定义.推论2 设是组实数,则有(2)等号成立的充要条件为证明为方便起见,不妨设从而由引理1有对上式进行的累次求和,可得即(4)由于同理,这样(4)式为再两边同时次幂,得故证得(3)式成立.注1 在命题1中,除,其余均为1,且,则不等式(3)就是不等式(1)的推广.推论3 (将命题1推广为无限和不等式)设且,,,则(证明过程可仿推论2的证法并结合引理2).微积分中的Cauchy-Schwarz不等式命题2 设在可积,则(5)证明类似命题1可以利用判别式证明之.下面给出另一种证法:因为在上可积,则由定积分的性质均在上上可积,对区间进行n等分,分点为.由定积分的定义,有由(1)式知再由极限的保号性易知(5)式成立.注2 若对,或成正比,则(5)式等号成立,但其逆不真.例如,除有限点外,,有,但并不成比例.例 2 利用柯西施瓦茨不等式求极限:设在上连续,有正下界,记,求证:证明为了分析的变化趋势,研究邻项之间的关系因为,平方得,即.因为在连续,所以存在,使得,故因为单调有上界,所以有极限.即在微积分中的柯西施瓦茨不等式也可以得到一些比较著名的不等式,如下面介绍的Minkowski不等式:定理4 设在可积,则Minkowski不等式证明由(5)式因为两边都大于等于零,且右边大括号也大于等于零,所以有将柯西施瓦茨不等式的幂指数进行扩充,有Holder不等式定理5 ,,且,则证明得证.利用定理5,将定理4的幂指数进行扩充,有证明可参考定理3 的证明,且p2即为定理4中的不等式.同样将上命题2进行推广.推论4 设是闭区间上为正的个可积函数,则(6)证明不妨设则由引理1可得这样就证得不等式(6)成立.注3 在推论4中,取,则得到柯西施瓦茨不等式,即不等式(5).注4 不等式(5)可写成受此启发,易于得到柯西施瓦茨不等式更为一般的推广形式: 设是闭区间上的可积函数,则有即为并且等号成立的充要条件为:存在不全为零的常数使得.推论5 (将命题2再推广)设则(7)(可仿推论4并结合反常积分理论即证).4 维欧氏空间中Cauchy-Schwarz不等式在维欧氏空间中,对任意的向量定义内积定义的长度或范数为.命题3对任意的向量有(8)当且仅当线性相关时等号才成立.证明若,则,(8)式显然成立.若,则令,则,且当线性相关时等号显然成立.反之,如果等号成立,由以上证明过程可以看出,或或,即也就是说线性相关.根据上述在维欧氏空间中的柯西施瓦茨不等式,我们有三角不等式 (9) 因为所以(9)式成立.用柯西施瓦茨不等式不等式有时可很巧妙地解决相关数学命题,如下求证.证明这里可取由柯西施瓦茨不等式整理即得概率空间中的Cauchy-Schwarz不等式命题4 设为任意随机变量,若存在,则也存在,且(10)式中等号成立当且仅当存在常数,使得 (11)证明定义实变量的二次函数为因为对一切,必然有,从而有,于是方程要么无实根,要么就有一个实根,亦即重根,即判别式非正,从而即当等号成立时,方程有一个重根,使从而即且于是即反之,若存在常数,使得(11)式成立,即从而 ,于是 ,即 ,且故即在(10)式中等号成立.例4 设随机变量与的相关系数存在,则且的充要条件为与以概率1线性相关.即存在常数,使,其中当时,;当时.证明对随机变量与应用柯西施瓦茨不等式,有即,所以,此时等式成立当且仅当存在,使得其中是方程当时的解.显然,当时,,即当时,,即该定理表明:当时,与之间存在线性关系,从而相关系数作为“标准尺度下的协方差”是随机变量与之间的线性强弱程度的度量,更确切地说应该是线性相关系数.在统计教学中,求直线趋势方程的两个待定系数时,用到最小二乘法.柯西施瓦茨不等式在求方程系数和判断极值中起到了补充说明的作用,增强了预测模型的准确性、科学性、严密性.例 5 (求方程系数中的应用)当函数,是由实验或观察得到的,建立直线趋势方程的模型时,要求实际观察值与趋势值离差的平方和必须为最小.解设,这里令整理得到:消去,.由柯西施瓦茨不等式知,当且仅当时取等号.由于是时间变量,故,所以所以.在直线回归方程中,均为回归系数.在求回归系数时,同样用Cauchy不等式证明得到.事实上,如果,,由柯西施瓦茨不等式我们得到这时,总体回归直线就是一条平行于轴的直线了,这时与之间没有线性关系,从统计学的角度讲总体中没有变异,就没有必要进行统计了.例 6 (在判断极值存在中的应用)证明存在极小值.证明因为求二阶偏导得因为由柯西施瓦茨不等式我们得到所以又因为,所以存在极小值,可以证明也就是最小值.由以上几个例子可以发现,柯西施瓦茨不等式不等式在概率论与数理统计中有着广泛的实际应用.6 矩阵分析中的Cauchy-Schwarz不等式定义1 设为n阶方阵,记,即同时取共轭又转置.若,则称是一个Hermite 阵.当为实矩阵时,Hermite阵就是实对称阵.命题5 设,则a等号成立当且仅当与线性相关.证明当与至少一个为零向量时,结论显然不成立.不妨设,定义,则.于是此即等号成立与成比例.(b)设A为Hermite阵且,则等号成立当且仅当与线性相关.证明因为,则由Hermite阵的性质,存在矩阵B,使得.命,对和应用a,便得到b.c设A为的Hermite阵且,则‘ ,等号成立当且仅当与线性相关.证明因为,所以存在,对和应用a,即得欲证的c.由上可知为任意的一对列向量,我们要讨论的是当它们为正交向量时柯西施瓦茨不等式,是柯西施瓦茨不等式的另一种形式的推广.推论 6 表示复数域,表示的共轭转置向量, 阶正定矩阵的全体记为.设,A的特征值为,且都大于零,那么对于任意一对正交向量,有证明不失一般性,令,显然只需要证明当正交向量对时,推论6成立.令那么,B是一个Hermite阵,令其特征值为,由Poincare定理,有所以.同时所以又因为是单调递减的函数,所以这样定理得证.例7 设,A的特征值为,且都大于零,那么对于任意非零向量,有证明令,这样同时(12)由(12)式,我们可以得到,将(11)式带入推论6,有因为,所以将上式用于,我们得到即这样定理得证.注5 由柯西施瓦茨不等式的形式(b),我们可得到由推论6 (13)因此(13)式的结论较柯西施瓦茨不等式精确,所得结果更强.结束语本文从五个方面分别介绍了柯西施瓦茨不等式的五个等价形式,并进行了简洁的证明.并分别介绍了柯西施瓦茨不等式的简单应用,特别是在概率统计中的实际应用,而且在实数域和微积分中进行了一定的推广.由于知识所限,在对其他方面的柯西施瓦茨不等式没有进入深入的分析,也没有进行推广.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 2003.[2]吴传生.数学分析(上册)习题精解[M].合肥:中国科技大学出版社,2004.[3]邓天炎,叶留青.概率统计[M].北京:中国矿业大学出版社,2004.[4] 王松佳,吴密霞,贾忠贞[M].北京:科学出版社,2005.[5] 黄廷祝,杨传胜.特殊矩阵分析及应用[M].北京: 科学出版社, 2007.[6]K.G.宾莫尔.数学分析基础浅导[M].北京:北京大学出版社,2006.[7]孙永生,王昆扬.泛函分析讲义[M].北京:北京师范大学数学科学学院,2007.[8] 罗俊丽,朱白. Cauchy-Schwarz不等式的几中推广形式[J].商洛学院学报,23:42009,28-29.[9]常广平,李林衫,刘大莲.利用Cauchy-Schwarz不等式估计回归系数[J].北京联合大学学报,22:42008,77-78.Application and promotion of the Cauchy-Schwartz inequalityAuthor:Zha MinSuperviser: Cai GaixiangAbstract This paper explores all kinds of forms and content and a variety of ways of proof and applications of the Cauchy inequality in diffirent fields of mathematics,and makes some degrees of promotion of it. Through a series of examples,we can see that the Cauchy inequality makes the proof of related mathematical propositions more simple and even can reach onestop effect,especially in the field of probability and statisticsKeywords Cauchy-Schwartz inequality Minkowski inequality Holder inequality Hermite matrix。

柯西——施瓦兹不等式探讨作者: 张道皇 指导老师: 唐燕玉摘要：柯西—施瓦兹不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

本文在证明不等式，解三角形相关问题，应用方面给出几个例子。

近年来，许多学者在不同条件下提出柯西—施瓦兹不等式多种表现形式，并且对其性质及应用做了广泛而深入的研究，本文在已有的文献基础上，总结出了柯西—施瓦兹不等式4种表现形式及其在数学中的应用。

本文的结论是对柯西—施瓦兹不等式理论的进一步深化，也是对现有文献中相应结论进行改善。

关键词：柯西—施瓦兹不等式 证明 应用引言：柯西—施瓦兹不等式是一个非常重要的不等式，在证明不等式、解三角形相关问题 、数学分析中都有重要应用，本文在已有的文献基础上，总结了柯西—施瓦兹不等式4种表现形式，并且给出其一些应用性的例子。

柯西（Cauchy ）不等式在代数学中的表现形式222111n n ni i i i i i i a b a b ===⎛⎫≤• ⎪⎝⎭∑∑∑ ()n i R b a i i 2,1,=∈等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下：证明1：（判别式法） ()2222111102nn n n iii i i i i i i i a x b a x a b x b ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑， 关于小的二次三项式保持非负，故判别式2221110n n ni i i i i i i a b a b ===⎛⎫-•≤ ⎪⎝⎭∑∑∑，当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即1212n na a ab b b ===时等号成立证明2数学归纳法（1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b显然 左式=右式 当2n =时， 右式()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式仅当即 2112a b a b = 即1212a ab b =时等号成立 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()()2222211221212kk k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ====时等号成立设22212k a a a A ==== 22212k b b b B ====1122k k C a b a b a b =+++则()()2222211111k k k k k a b ba b +++++A +B +=AB +A +()22221111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+ ()()22222222121121k k k k a a a a b b b b ++∴++++++++()2112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ====时等号成立即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立； 证明3（配方法）因()2221112211112211112,1102n nn i i i i i i i nnnni j i i j ji j i j nn n ni j i i j ji j i j ni j j i i j a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ============⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=⋅-⋅=-=-≥∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑故柯西不等式获证。

柯西—施瓦茨不等式的推广与应用柯西—施瓦茨不等式是一个重要的几何不等式。

它表示一个轨迹在某个方向上的最大距离只能多于给定的固定距离。

这一不等式在许多不同的领域都有着广泛的应用，例如信息论、机器学习、几何优化等。

在信息论领域内，柯西—施瓦茨不等式提供了一种快速估计有效容量的方法，也就是可以根据柯西—施瓦茨不等式快速计算出通信信道的容量。

在机器学习领域，柯西—施瓦茨不等式用来计算给定数据集的最佳分类面，以此实现分类任务。

同时，柯西—施瓦茨不等式还可以用来求解很多优化问题，例如局部最小值搜索，梯度下降法等，它们都可以通过求解柯西—施瓦茨不等式来解决。

总之，柯西—施瓦茨不等式在不同领域都有着重要而深远的影响，它是几何不等式中的一颗明珠，在许多重要的计算机科学领域里都可以找到它的直接应用。

柯西—施瓦茨不等式（Kleene-Schwartz Inequality）是一个重要的数学不等式，它通过有限个变量的总和来比较他们的积和平方和的大小。

这个不等式最初是由美国数学家斯坦尼斯·柯西（Stephen Kleene）和俄国数学家谢尔盖·施瓦茨（Sergei Schwartz）在1934年提出的。

它最初是用来比较单变量的总和和它们的积和平方和的大小，但是它也可以推广到有限个变量的情况。

柯西—施瓦茨不等式的推广形式如下：∑_(i=1)^n▒〖a_i(x_i-y_i)〗^2≤2∑_(i=1)^n▒〖a_i(x_i-μ_i)〗^2+2∑_(i=1)^n▒〖a_i(μ_i-y_i)〗^2其中，a_i 是正常量，x_i 和 y_i 是两个变量，μ_i 表示变量 x_i 和 y_i 的中值。

该不等式有广泛的应用，其中最重要的是它可以用来分析不同变量之间的关系。

它可以用来分析两个变量之间的相关性，即检测它们之间是线性相关还是非线性相关。

此外，它还可以用来检验观测数据的正确性，以及分析观测数据中存在的潜在模式。

柯西施瓦茨不等式在实际应用中的应用1. 应用背景柯西施瓦茨不等式是数学分析中一种重要的不等式，被广泛应用于各个领域，尤其在概率论、信号处理、最优化问题和数学物理等领域中具有重要的应用价值。

柯西施瓦茨不等式最早由法国数学家柯西在1821年证明，后由德国数学家施瓦茨在1888年推广和证明。

柯西施瓦茨不等式给出了一个向量空间内两个向量的内积与它们的模的乘积之间的关系，是一种用于描述向量之间相互约束的数学工具。

2. 应用过程柯西施瓦茨不等式可以应用于多个不同领域，下面将分别介绍其在概率论、信号处理、最优化问题和数学物理中的应用过程和效果。

2.1 概率论中的应用柯西施瓦茨不等式在概率论中被广泛应用于推导概率的上界和下界，以及证明概率分布的相关性。

以随机变量的方差为例，应用柯西施瓦茨不等式可以得到方差的一个上界。

设X和Y是两个随机变量，它们的协方差为Cov(X,Y)，则有：Cov(X,Y)^2 <= Var(X) * Var(Y)这个不等式提供了一种有效的评估随机变量之间相关性的方法。

通过测量协方差和方差，我们可以得到两个随机变量之间的关系程度。

如果协方差的平方小于等于两个随机变量的方差乘积，则表明它们之间有强相关关系；反之，如果协方差的平方大于两个随机变量的方差乘积，则表明它们之间有弱相关关系。

2.2 信号处理中的应用柯西施瓦茨不等式在信号处理中被应用于量化信号的失真度。

以量化器为例，量化器将连续信号转换为离散信号。

在这个过程中，会产生量化误差，即原始信号与量化信号之间的差异。

柯西施瓦茨不等式可以用来衡量量化误差的上界。

假设原始信号为x(t)，量化信号为y(t)，则量化误差为e(t) = x(t) - y(t)。

那么量化误差的均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）定义为：RMSE = sqrt(E[e^2(t)])根据柯西施瓦茨不等式，可以得到：E[e^2(t)] <= E[x^2(t)] * E[y^2(t)]其中E[]表示期望值。

摘要柯西—施瓦茨不等式是数学学科中应用较为广泛的一类重要不等式,常常作为重要的基础去架设条件与结论之间的桥梁.柯西—施瓦茨不等式可以证明,推广其它不等式和解竞赛题,而且它也是发现新命题的重要工具.文章主要利用一元二次不等式,一元二次函数和向量三种方法证明了柯西—施瓦茨不等式,介绍了柯西—施瓦茨不等式在实数域,复数域,欧式空间,微积分和概率论中的表现形式以及柯西—施瓦茨不等式的推广,并且给出了它在初等数学,欧式空间,微积分,级数及概率论中的一些应用.灵活巧妙地运用柯西—施瓦茨不等式,可以使一些较困难的实际问题得到比较简单的解决,甚至可以得到一步到位的效果.关键词:柯西—施瓦茨不等式;向量;积分;级数;推广The Proof and Application of Cauchy -Schwartz Inequality 09404222 LIANG Xiao-wen Mathematics and Applied MathematicsFaculty adviser ZHANG An -lingAbstractCauchy-Schwartz inequality is a kind of important inequality which is widely used in mathematics,and it is often as an important basis to set up the bridge between condition and conclusion.Cauchy-Schwartz inequality can prove and promote other inequalities and solve contest questions,at the same time it is also the important tool to discover new propositions. The paper mainly uses one-variable quadratic inequality, quadratic equation in one unknown and vector to prove the Cauchy-Schwartz inequality, and this paper introduces the forms of Cauchy-Schwartz inequality in real number field, complex number field, euclidean space, calculus and probability theory and the promotion of Cauchy-Schwartz inequality , and the paper gives some applica- tions of Cauchy-Schwartz inequality in elementary mathematics,euclidean space, calculus, series and probability ing the Cauchy-Schwartz inequality flexibly can make some relatively difficult problems get more simple to slove and can even get an one-off effect.Key words: Cauchy-Schwartz inequality; vector; integral; series; promotion目录1 引言............................................. 错误！未定义书签。