人教版数学高一-新人教A必修三第三章概率复习中应注意的问题素材.

高中数学必修3 第三章 概率 知识点总结及强化训练一、 知识点总结3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。

（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。

我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

高中数学第三章概率本章整合新人教A版必修3 知识网络专题探究专题一互斥事件与对立事件问题(1)利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．(2)利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B，全集为I.①事件A与B互斥，即集合A∩B＝∅；②事件A与B对立，即集合A∩B＝∅，且A∪B ＝I，也即A＝∁I B或B＝∁I A；③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B.(3)对立事件是针对两个事件来说的，而互斥则可以是多个事件间的关系．(4)如果A1，A2，…，A n中任何两个都是互斥事件，那么我们就说A1，A2，…，A n彼此互斥．(5)若事件A1，A2，A3，…，A n彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．应用互斥事件的概率加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求其对立事件的概率．(6)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A)求解．应用1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花的点数为1～10，各10张)中任取1张．判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．解：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，也不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，这二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．应用2在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：；(2)[8,12)(m)；(3)[14,18)(m)．解：记该河流某处的年最高水位在[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)(单位：m)分别为事件A，B，C，D，E，它们彼此互斥．(1)P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.(2)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.(3)P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.所以年最高水位在[10,16)(m)，[8,12)(m)，[14,18)(m)的概率分别为0.82,0.38,0.24.专题二概率与频率关系的应用频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，在实际问题中，常用事件发生的频率作为概率的估计值．频率本身是随机的，而概率是一个确定的数，是客观存在的，因此概率与每次试验无关．应用下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题：(2)估计该油菜籽发芽的概率是多少？提示：(1)代入公式得频率，(2)估计频率的稳定值即为概率．解：(1)从左到右依次填入：1,0.8,0.9,0.857，0.892，0.897，0.898,0.897,0.896. (2)由于每批种子发芽的频率稳定在0.897附近， 所以估计该油菜籽发芽的概率为0.897. 专题三 古典概型问题古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，要掌握古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P (A )＝mn时，关键是要正确理解基本事件与事件A 的关系，从而求出n ，m .在求基本事件的总数时，可以用列举法、列图表或设有序数对的方法来求．应用1如图，a ，b ，c ，d ，e 是处于断开状态的开关，任意闭合两个，则电路被接通的概率是__________．解析：“任意闭合两个开关”所包含基本事件有：闭合ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共有10个，“电路被接通”包含6个基本事件(闭合ad ，ae ，bd ，be ，cd ，ce )，所以电路被接通的概率P ＝610＝35.答案：35应用2一个均匀的正四面体面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现在随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .(1)记z ＝(b －3)2＋(c －3)2，求z ＝4的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解：(1)因为是投掷两次，因此基本事件是(b ，c )，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．共有16个基本事件．当z ＝4时，(b ，c )的所有取值为(1,3)、(3,1)， 所以P (z ＝4)＝216＝18.(2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2. ③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.综合①②③④知，(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)， 所以“漂亮方程”共有3个，方程为“漂亮方程”的概率为P ＝316.应用3已知实数a ，b ∈{－2，－1,1,2}， (1)求直线y ＝ax ＋b 不过第四象限的概率；(2)求直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率． 解：实数对(a ，b )的所有取值为(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，共16种．设“直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限”为事件A ，“直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点”为事件B .(1)若直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0.即满足条件的实数对(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种．则P (A )＝416＝14.故直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率为14.(2)若直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点， 则必须满足|b |a 2＋1≤1，即b 2≤a 2＋1. 若a ＝－2，则b ＝－2，－1,1,2符合要求， 此时实数对(a ，b )有4种不同取值；若a ＝－1，则b ＝－1,1符合要求，此时实数对(a ，b )有2种不同取值； 若a ＝1，则b ＝－1,1符合要求，此时实数对(a ，b )有2种不同取值； 若a ＝2，则b ＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对(a ，b )有4种不同取值． ∴满足条件的实数对(a ，b )共有12种不同取值． ∴P (B )＝1216＝34.故直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率为34.专题四 几何概型问题若试验同时具有基本事件个数的无限性和每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型，由于基本事件个数的无限性，其概率就不能应用P (A )＝mn求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．几何概型是新增内容，在高考中很少考查随机模拟，主要涉及几何概型的概率求解问题，难度不会太大，题型可能较灵活，涉及面可能较广．几何概型的三种类型分别为长度型、面积型和体积型，在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型解题．应用1ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点P ，取到的点P 到O 的距离大于1的概率为( )A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π8解析：如图所示，若取到的点P 到O 的距离大于1，则点P 在阴影部分内，阴影部分的面积为21π21π1222⨯-⨯⨯=-，所以所求的概率为π2π2124-=-. 答案：B应用2在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL ，含有麦锈病种子的概率是多少？解：取出10 mL 麦种，其中“含有麦锈病种子”这一事件记为A ，则P (A )＝取出种子的体积所有种子的体积＝101 000＝1100.答：含有麦锈病种子的概率为1100. 专题五 概率与统计的综合问题概率与统计相结合，是新课标数学高考试题的一个亮点，其中所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大，属于中档以下难度．应用1(2013·四川资阳一模，文16)某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测评，该班的A ，B 两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图所示，其中B 组一同学的分数已被污损，但知道B 组学生的平均分比A 组学生的平均分高1分．(1)若在B 组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；(2)现从A 组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m ，n ，求|m －n |≤8的概率．解：(1)A 组学生的平均分为94＋88＋86＋80＋775＝85(分)，∴B 组学生平均分为86分，设被污损的分数为x ，则91＋93＋83＋x ＋755＝86，解得x ＝88，∴B 组学生的分数分别为93,91,88,83,75，其中有3人的分数超过85分， ∴在B 组学生随机选1人，其所得分超过85分的概率为35.(2)A 组学生的分数分别是94,88,86,80,77，在A 组学生中随机抽取2名同学，其分数组成的基本事件(m ，n )有(94,88)，(94,86)，(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)，共10个，随机抽取2名同学的分数m ，n 满足|m －n |≤8的基本事件有(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)，共6个．∴|m －n |≤8的概率为610＝35.应用2某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图并求n ，a ，p 的值；(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率．解：(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为0.35＝0.06.频率直方图如下：第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n ＝2000.2＝1 000.由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所以p ＝195300＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为 1 000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60.(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60∶30＝2∶1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人．设[40,45)岁中的4人为a，b，c，d，[45,50)岁中的2人为m，n，则选取2人作为领队的选法有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8种．所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为815 .。

【金版学案】2015-2016学年高中数学第三章概率本章小结新人教A版必修3知识网络构建热点专题聚焦随机事件的概率►专题归纳1．在条件S下，可能发生也可能不发生的事件称为相对于条件S的随机事件，简称随机事件．对它的理解应包含下面两个方面：①随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件必须在相同的条件下研究；②随机事件可以重复地进行大量试验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着实验的重复进行，其结果呈现规律性．2．概率可看做频率在理论上的期望值，随着试验次数的增加，频率可近似地作为这个事件的概率，频率本身是随机的；概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次的试验无关．概率反映了随机事件发生可能性的大小．对于概率的统计定义，应注意以下几点：①求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；②只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率；③概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；④概率反映了随机事件发生的可能性的大小；⑤必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，因此0≤P(A)≤1.3．随机试验满足的条件：①试验可以在相同的条件下重复进行；②试验所有可能结果都是明确的，而且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验前却不能肯定这次试验会出现哪种结果．4．如果两个事件A和B不可能同时发生，则称A和B互斥(互不相容)．从集合的角度看，是指这两个事件所含的结果组成的集合不相交，即A∩B＝∅.必然事件与不可能事件是互斥事件．两互斥事件的并的概率等于这两个事件的概率的和，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．一般地，有限个彼此互斥事件的并的概率，等于这些事件的概率的和，即P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．利用这一公式求概率的步骤是：①要确定这些事件彼此互斥；②这些事件中有一个发生；③先求出这些事件分别发生的概率，再求和．注意：前两点是公式的使用条件，不符合这两点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的．5．如果A与B是互斥事件，且在一次试验中A与B必有一个发生，则称它们为对立事件．从集合的角度看，由事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集，即满足条件：A∩B＝∅且A∪B＝I(I为全集)，通常事件A的对立事件记作A .对立事件的性质：P (A ∪A )＝P (A )＋P (A )＝1，由公式可得P (A )＝1－P (A )，当直接求某一事件的概率较为复杂时，可先转而求其对立事件的概率，这样可以大大地简化求某些事件概率的计算．►例题分析求：(1)派出医生至多2人的概率； (2)派出医生至少2人的概率． 解析：记事件A ：“不派出医生”，事件B ：“派出1名医生”，事件C ：“派出2名医生”，事件D ：“派出3名医生”，事件E ：“派出4名医生”，事件F ：“派出不少于5名医生”．∵事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥，且 P (A )＝0.1，P (B )＝0.16，P (C )＝0.3， P (D )＝0.2，P (E )＝0.2，P (F )＝0.04. (1)“派出医生至多2人”的概率为P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)“派出医生至少2人”的概率为P (C ＋D ＋E ＋F )＝P (C )＋P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74. 或1－P (A ＋B )＝1－0.1－0.16＝0.74. ►跟踪训练1．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现在有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．解析：每一个结果有三个球，它们的区别可用颜色体现，因此，每一个结果只需把三种不同的颜色写在小括号内表示即可；从所列结果中找出符合要求的结果，即可求概率．一共有8种不同的结果，列举如下：(红、红、红、)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑)．记“3次摸球所得总分为5”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有：(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)，共3个. 所以P (A )＝38.古典概型及其概率 ►专题归纳 1．古典概型的建立．如果一个试验同时满足以下两个条件：(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．则称这样的试验为古典概型．判断一个试验是否为古典概型，需要确定这个试验是否具有古典概型的两个特征“有限性”和“等可能性”．对于“有限性”的判断较易，对于“等可能性”的判断较难，要注意分辨．2．古典概型的概率计算公式：P (A )＝A 包含的基本事件个数（m ）总的基本事件个数（n ）.3．对于公式中事件A 包含的基本事件个数及总的基本事件个数n 的计算方法：(1)问题比较简单的、个数比较少的可用列举法按规律全部列出；(2)当试验的结果比较多时，可以用排列组合解决m ，n 的值．4．要善于把一些实际问题转化为古典概型． ►例题分析某人有4把钥匙，其中2把钥匙能把门打开．现每次随机地取1把钥匙试着开门，试过的钥匙不扔掉，求第二次才能打开门的概率．解析：用a ，b 表示能打开门的钥匙，用1，2表示不能打开门的钥匙，则所有基本事件为：(a ，a )，(a ，b )，(a ，1)，(a ，2)，(b ，a )，(b ，b )，(b ，1)，(b ，2)，(1，a )，(1，b )，(1，1)，(1，2)，(2，a )，(2，b )，(2，1)，(2，2)，共有16个基本事件，其中“第二次才能打开门”的事件含有4个基本事件，因此P (第二次才打开门)＝416＝14.点评：“第二次才能打开门”暗示着第一次不能打开．另外，应用枚举法时要按照一定的顺序列举，做到不重复、不遗漏．►跟踪训练2．5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求： (1)甲中奖的概率；(2)甲、乙都中奖的概率； (3)只有乙中奖的概率； (4)乙中奖的概率． 解析：(1)甲有5种抽法，即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种，即事件“甲中奖”包含的基本事件数为2，故甲中奖的概率为P 1＝25.(2)甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共5×4＝20种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种，故P 2＝220＝110.(3)由(2)知，甲、乙各抽一张奖券，共有20种抽法，只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”两种情况，故共有3×2＝6种基本事件，∴P 3＝620＝310.(4)由(1)可知，总的基本事件数为5，中奖的基本事件数为2，故P 4＝25.几何概型及其概率 ►专题归纳1．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型．几何概型是一种特殊的概率模型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，它的特点是试验的结果在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型中事件A 的概率计算公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积等）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积等）.3．求解几何概型的概率问题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．主要步骤有：(1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解；(2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D ；(3)把随机事件A 转化为与之对应的子区域d ；(4)利用几何概型概率公式计算．一、与长度有关的几何概型若一次试验中所有可能结果和某个事件A 包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间、距离、路程等，那么需要求出各自相应的长度，然后运用几何概型的计算公式即可求出事件A 发生的概率．►例题分析某人睡觉醒来，发现钟表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．解析： 假设他在0～60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的．因为电台每隔1小时报时一次，他在哪个时间段打开收音机的概率只与这时间段的长度有关，因此，需要求出各自相应的时间“长度”，然后用几何概型公式求解．设事件A ＝{等待时间不超过10分钟}，我们关心的事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]之间，它的区间长度为10，电台每隔1小时报时一次，它的区间长度为60，由几何概型的计算公式得P (A )＝60－5060＝16.即“他等待的时间不多于10分钟的概率”为16.点评：在哪个时间段打开收音机的概率只与这时间段的长度有关，可转化为与“长度”有关的几何概型．我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．►跟踪训练3．如图，A ，B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C ，D ，问A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？解析：从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．记E ：“A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×13＝10米，∴P (E )＝1030＝13.二、与角度有关的几何概型若一次试验中所有可能结果和某个事件A 包含的结果(基本事件)都对应一个角度，那么需要求出各自相应的角度，然后运用几何概型的计算公式即可求出事件A 发生的概率．►例题分析如下图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．解析：过O 作射线OA 是随机的，射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件．设事件A ＝{射线OA 落在∠xOT 内}，事件A 的“几何度量”是60°，而坐标平面的“几何度量”为360°，所以由几何概率公式，得P (A )＝60360＝16. 点评：解此题的关键是找到事件A ＝{射线OA 落在∠xOT 内}的“几何度量”是60°，以及坐标平面的“几何度量”为360°.►跟踪训练 4．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，求弦长超过半径的2倍的概率．解析：如图所示，设B 是⊙O 上的任一点，要使弦长超过半径的2倍，只需∠AOB 的度数大于90°，记“弦长超过半径的2倍”为事件E ，则E 表示的范围是∠AOB ∈[90°，270°]，由几何概型求概率的公式得：P (E )＝270°－90°360°＝12.三、与面积有关的几何概型如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点，且该区域中每一个被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以用几何模型来解．并且这里的区域可以用面积表示，然后利用几何概型的公式求解．►例题分析在0～1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条线段，试求这三条线段能构成三角形的概率．错解：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >12，x ＋y <1，所以12<x ＋y <1，于是P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1（0，1）＝121＝12.错因：本题误把长度看作几何度量．解析：设三条线段的长度分别为x ，y ，1－x －y ，则⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1，0<1－x －y <1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <－x ＋1.在平面上建立如图所示的直角坐标系，直线x ＝0，y ＝0，y ＝－x ＋1围成如图所示三角形区域G ，每一对(x ，y )对应着G 内的点(x ，y )，由题意知，每个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型，三条线段能构成三角形，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y ，1－x >x ，1－y >y ，即⎩⎪⎨⎪⎧y >－x ＋12，x <12，y <12.因此图中的阴影区域g 就表示“三条线段能构成三角形”，容易求得g 的面积为18，G的面积为12，则P (这三条线段构成三角形)＝g 的面积G 的面积＝14.►跟踪训练5．如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解析：记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为P (B )＝14×π×12.22 cm 214×π×1222 cm 2＝0.01.即：“射中黄心”的概率是0.01.四、与体积有关的几何概型对于几何概型，如果图形与体积有关，只需把该试验的所有结果对应体积求出，就可以利用几何概型概率公式进行计算．►例题分析在区间[0，1]上任取三个实数x ，y ，z ，事件A ＝{(x ，y ，z )| x 2＋y 2＋z 2＜1，x ≥0，y ≥0，z ≥0} .(1)构造出随机事件A 对应的几何图形； (2)利用该图形求事件A 的概率．解析： 在空间直角坐标系下，要明确x 2＋y 2＋z 2＜1表示的几何图形是以原点为球心，半径r ＝1的球的内部．事件A 对应的几何图形所在位置是随机的，所以事件A 的概率只与事件A 对应的几何图形的体积有关，这符合几何概型的条件．(1)A ＝{(x ，y ，z )| x 2＋y 2＋z 2＜1，x ≥0，y ≥0，z ≥0}表示空间直角坐标系中以原点为球心，半径r ＝1的球的内部部分中x ≥0，y ≥0，z ≥0的部分，如图所示．(2)由于x ，y ，z 属于区间[0，1]，当x ＝y ＝z ＝1时，为正方体的一个顶点，事件A 为球在正方体内的部分．∴P (A )＝18×43π×1313＝π6. 点评：本例是利用几何图形的体积比来求解的几何概型，关键要明白点P (x ，y ，z )的集合所表示的图形．从本例可以看出求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可解，另外要适当选择观察角度．►跟踪训练6．若∀b ∈(0，1)，则方程x 2＋x ＋b ＝0有实根的概率为( C )A.12B.13C.14D.34随机模拟的应用 ►专题归纳1．随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的．随机数的产生方法：(1)可以由实验产生随机数，这个方法就是简单随机抽样中的抽签法．这种做法的优点是产生的随机数是真正的随机数，缺点是当需要的随机数的量很大时，速度太慢．(2)由计算机或计算器产生，随机数表就是由计算机产生的随机数表格．它的优点是速度较快，适用于产生大量的随机数．但由计算机或计算器产生的不是真正的随机数，称为伪随机数．2．利用随机模拟的方法求概率，实质上是先求频率，用频率近似代替概率．我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量(如概率值、常数)有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量．3．均匀随机数：在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率．一般地，利用计算机或计算器的RAND( )函数可以产生0～1之间的均匀随机数．a ～b 之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0～1之间的均匀随机数x ＝RAND( )，然后利用伸缩和平移变换x ＝RAND( )*(b －a )＋a ，就可以产生[a ，b ]上的均匀随机数，试验的结果是产生a ～b 之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的．4．均匀随机数的应用：(1)用随机模拟法估计几何概率；(2)用随机模拟法计算不规则图形的面积．欲用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y ＝log 3x 与x ＝3及x 轴围成的图形)的面积，可以如下操作：(1)利用计算器或计算机产生两组0～1的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND ； (2)经过伸缩平移变换，x ＝3*x 1，y ＝3*y 1，得到两组0～3的均匀随机数；(3)统计出试验总次数N 和满足条件y <log 3x 的点(x ，y )的个数N 1，试计算出阴影部分的面积S .分析：利用面积型几何概型的公式及频率是概率的近似值进行计算． 解析：设事件A ：“随机向矩形内投点，所投点落在阴影部分”．正方形的面积为9，设阴影部分的面积为S ，则由几何概型的公式得：P (A )＝S9.又因为频率的值N 1N 就是P (A )的近似值，故N 1N ≈S 9，所以S ≈9N 1N.►跟踪训练7．某校高一全年级共20个班1 200人，期终考试时如何把学生分配到40个考场中去？ 解析：要把1 200人分到40个考场中去，每个考场30人，首先要把全体学生按一定顺序排成一列，然后从1号到30号去第1考场，31号到60号去第2考场，…，人数太多，如果用随机数表法给每名学生找一个考试号，太费时费力，我们可以用随机函数给每一个学生一个随机号数，然后再按号数用计算机排序即可．(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机．(2)用随机函数RANDBETWEEN(1，1 200)按顺序给每个学生一个随机数(每人的都不同)．(3)使用计算机排序功能按随机数从小到大排列，即可得到考试号从1到1 200人的考试序号．(注：1号应为0001，2号应为0002，用0补足位数．前面再加上有关信息号码即可)8．某班有45人，现要选出1人去检查其他班的卫生，若每个人被选到的机会均等，则恰好选中学生甲去的机会有多大？解析：本题应用计算器产生随机数进行模拟试验，请按照下面的步骤独立完成．(1)用1～45的45个数来替代45个人；(2)用计算器产生1～45之间的随机数，并记录；(3)整理数据并填入下表：。

3.1 随机事件的概率一、本节知识结构二、教学重点与难点重点：1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；2．正确理解概率的意义．难点：1．理解频率与概率的关系；2．对概率含义的正确理解．三、编写意图与教学建议由于在初中学生已接触过随机事件、不可能事件、必然事件的概念，所以教科书以“北京的天气变化情况”“水稻种子发芽后的生长情况”为例，简略叙述了客观世界中偶然与必然的内在联系，给出了随机事件、不可能事件、必然事件的概念．这些概念与初中教科书略有不同．例如，随机事件的概念，初中教科书中叙述为“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件”，本教科书则叙述为“在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件”，这里条件S可以是一个条件，也可以是一组条件(可以理解为一个条件集)，这样可以使表述更加清楚和简洁．概率研究随机事件发生的可能性大小问题，这里既有随机性，又有随机性中表现出的规律性，这是学生理解的难点．突破难点的最好办法是给学生亲自动手操作的机会，使学生在实践过程中形成对随机事件的随机性以及随机性中表现出的规律性的直接感知．为此，教科书特别强调利用学生熟悉的典型实例(掷硬币的试验)，通过学生亲自动手试验，来引导学生体会随机事件发生的随机性和随机性中的规律性．通过试验，观察随机事件发生的频率，可以发现随着试验次数的增加，频率稳定在某个常数附近，然后再给出概率的定义．在这个过程中，体现了试验、观察、归纳和总结的思想方法．通过试验模拟等方法，可以澄清日常生活中对概率的错误认识，这也是加深学生理解概率的意义的机会．另外，加强概率的实际应用，可以使学生体会概率的重要性．因此，教学中一定要特别重视让学生进行操作这个环节．随机事件可以看成集合，所以可以类比集合之间的关系与运算，得到事件之间的关系与运算．教学中，可以引导学生在回顾集合的关系及其运算的有关知识的基础上，学习用图形表示事件之间的关系及其运算的思想和方法．概率的性质可以类比频率的性质，并利用频率与概率的关系得到．教学中，要尽量使用统计图和统计表展示频率的稳定性，这样既直观易懂，又可以与第二章《统计》的内容相呼应．。

概率的意义一、教材内容分析本节为人教版必修3第三章3.1随机事件的概率中的第二小节3.1.2概率的意义，通过本节的学习，学生能正确理解概率。

本节在内容和结构上起着承上启下的作用，乘上：通过了解概率的意义，明白概率与第二章统计的联系；启下：通过了解概率的重要性，引出后两节概率的计算。

二、教学目标1.知概念识与技能：正确理解概率的意义；了解概率在实际问题中的应用，增强学习兴趣；进一步理解概率统计中随机性与规律性的关系。

2.过程与方法：通过对生活中实际问题的提出，学生掌握用概率的知识解释分析问题，着重培养学生观察、比较、概括、归纳等思维能力，并进一步培养将实际问题转化为数学问题的数学建模思想。

3.情感态度与价值观：鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，激发学生的学习兴趣。

三、学情分析学生已经学习了3.1随机事件的概率再加上初中对概率的了解，所以学生的认知起点较高，理解本节内容不难。

作为新授课，学生对于概率在实际问题中的应用具有较高的学习兴趣，但是用概率的知识解释问题的能力仍需进一步提高。

教师在本节讲授需要注意理论联系实际，同时注意培养学生的科学素养。

四、教学重难点重点：概率的正确理解及在实际中的应用难点：实际问题中体现随机性与规律性之间的联系，如何用概率解释这些具体问题。

五、教学策略1.教学方法：讲授法，讨论法，引导探究法2.教学手段：多媒体教学工具六、教学过程学生——完成探究并且回答原因不公平，各班被选到概率不相等，其中7班被选中概率最大..2决策中的概率思想问题：如果连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，你认为这枚骰子的质地均匀吗？为生产过程中发生小概率事件，我们有理由认为生产过程中出现了问题，应该立即停下生产进行检查。

3.天气预报的概率解释思考：某地气象局预报说，明天本地降水概率为70%。

你认为下面两个解释中哪一个能代表气象局的观点？教师、学生——归纳总结. 归纳提升：七、板书设计八、教学反思本节是培养学生对数学产生兴趣的关键一节，教师要紧抓理解概率的意义和培养学生的学习兴趣这两个任务进行教学，通过生日在同一天的探讨，“生日悖论”的提出和在实际问题中的应用，提高学生学习数学的兴趣，通过孟德尔的豌豆试验培养学生科学探究的意识，树立学生严谨的科学观. 该节课十分有创意，在教材内容的基础上作了适当的必要的扩展，激发学生兴趣，教学目的明确，方法得当,引导自主探究、合作交流完成任务，整个课堂效率非常高。

人教版高中数学必修三第三章统计3.1.1《随机事件的概率》要点梳理【学习目标】在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．【要点梳理·夯实知识基础】12.频数与频率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中______________为事件A出现的频数，称______________________为事件A 出现的频率．[答案]事件A出现的次数nA 事件A出现的比例fn(A)＝nAn3．概率(1)含义：概率是度量随机事件发生的________的量.(2)与频率联系：对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于________，因此可以用__________来估计概率P(A)．[答案](1)可能性(2)概率P(A) 频率fn(A)【考点探究·突破重点难点】考点一：事件类型的判断1.下列事件:①明天下雨;②3>2;③航天飞机发射成功;④x∈R,x2+2<0;⑤某艘商船遭遇索马里海盗;⑥任给x0∈R,x0+2=0.其中随机事件的个数为()A.1B.2C.3D.4答案:D2.下列说法正确的是()A.某人购买福利彩票一注,中奖500万元,是不可能事件B.三角形的两边之和大于第三边,是随机事件C.没有空气和水,人类可以生存下去,是不可能事件D.科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现,是必然事件答案:C3.从一副牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后,从中一次随机抽出10张,恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到,这件事情()A.可能发生B.不可能发生C.很可能发生D.必然发生答案:D解析:∵若这10张牌中抽出了全部的红桃与梅花共9张,一定还有1张黑桃;若抽出了全部的梅花与黑桃共7张,则还会有3张红桃;若抽出了全部的红桃与黑桃共8张,则还会有2张梅花;∴这个事件一定发生,是必然事件.考点而：试验的结果分析4.下列命题中正确的个数是()①先后抛掷两枚质地均匀的硬币的结果为正面,正面;正面,反面;反面,反面,共计3种.②从12个同类产品(其中10个是正品,2个次品)中,任意抽取3个产品的每一个结果中一定含有正品.③某地举行运动会,从来自A学校的a,b志愿者中选一人,从来自B学校的c,d,e志愿者中选一人共2人为体操馆服务,则有ac,ad,ae,bc,bd,be,共6种选法. A.0 B.1 C.2 D.3答案:C解析:①中应该有4个结果,即正面,正面;正面,反面;反面,正面;反面,反面.故①不正确.②③正确.5.先后投掷2枚均匀的一分、二分的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则包含3个试验结果的是()A.至少一枚硬币正面向上B.只有一枚硬币正面向上C.两枚硬币都是正面向上D.两枚硬币一枚正面向上,另一枚反面向上答案:A解析:“至少一枚硬币正面向上”包括“一分正面向上,二分正面向上”,“一分正面向上,二分正面向下”,“一分正面向下,二分正面向上”3种试验结果.6.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y).(1)写出这个试验的所有结果.(2)“x+y=5”包含的结果有哪些?“x<3且y>1”呢? (3)“xy=4”包含的结果有哪些?“x=y ”呢?解:(1)结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(2)“x+y=5”包含的结果为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).“x<3且y>1” 包含的结果为(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4). (3)“xy=4”包含的结果为(1,4),(2,2),(4,1). “x=y ”包含的结果为(1,1),(2,2),(3,3),(4,4). 考点三：随机事件的频率与概率7.下列说法:①频率反映的是事件发生的频繁程度.概率反映的是事件发生的可能性大小;②做n 次随机试验,事件A 发生m 次,则事件A 发生的频率nm就是事件A 的概率;③频率是不能脱离具体的n 次的试验值,而概率是确定性的,不依赖于试验次数的理论值;④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确说法的序号是 . 答案:①③④解析:由频率及概率的定义可知①是正确的.在②中,nm是事件A 发生的频率,虽然概率是与频率接近的一个常数,但是概率不一定等于频率,故②是错误的.由概率的定义知③④是正确的.8.在抛掷骰子的游戏中,将一枚质地均匀的骰子抛掷6次,对于点数4的出现有下列说法:①一定会出现;②出现的频率为61;③出现的概率是61;④出现的频率是32.其中正确的是 . 答案:③9.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩分布:经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位):(1)90分以上;(2)60~69分;(3)60分以下.解:由题意知总人数为40+200+400+100+40+20=800.则选修李老师高等数学的学生考试成绩在90分以上,60~69分,60分以下的频率分别为80040＝201；800100＝81；80060＝403.用以上信息估计王小慧得分的概率情况如下:(1)“得90分以上”的概率为201,(2)“得60~69分”的概率为81,(3)“得60分以下”的概率为403.[3.1.1《随机事件的概率》跟踪检测一、选择题1.给出下列3种说法:①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛掷硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是m n =73; ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确说法的个数 是( ) A.0B.1C.2D.32.下面事件:①某项体育比赛出现平局;②抛掷一枚硬币,出现反面;③全球变暖会导致海平面上升;④一个三角形的三边长分别为1,2,3.其中是不可能事件的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 3.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是( ) A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定4.已知下列事件:①向区间(0,2)内投点,点落在(0,2)区间;②将一根长为a 的铁丝随意截成三段,构成一个三角形;③函数y=a x (a>0,且a ≠1)在R 上为增函数;④解方程x 2-1=0的根为2.其中是随机事件的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .45.下列事件中,不可能事件为( ) A.三角形内角和为180°B.三角形中大边对大角,大角对大边C.锐角三角形中两个内角和小于90°D.三角形中任意两边的和大于第三边6.袋内装有一个黑球与一个白球,从袋中取出一球,在100次摸球中,摸到黑球的频率为0.49,则摸到白球的次数为( ) A.49B.51C.0.49D.0.517.某班计划从A ,B ,C ,D ,E 这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动,则可能的结果有( ) A .5种 B .10种 C .15种 D .20种 8.经过市场抽检,质检部门得知市场上食用油合格率为80%,经调查,某市市场上的食用油大约有80个品牌,则不合格的食用油品牌大约有 ( ) A.64个B.640个C.16个D.160个9.给出下列三个命题,其中正确命题的个数是( )①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是73;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. A.0 B.1 C.2 D.3 10.一个家庭有两个小孩儿,则可能的结果为( ) A.{(男,女),(男,男),(女,女)} B.{(男,女),(女,男)}C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}D.{(男,男),(女,女)}11.从一批即将出厂的螺丝中抽查了100颗,仅有2颗是次品.下列说法正确的是( )A .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率一定是2%B .从这批螺丝中随机抽取1颗,一定不是次品C .从这批螺丝中随机抽取100颗,必有2颗是次品D .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率约是2%12.每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的.某次考试共有12道选择题,某人说:“每个选项正确的概率是41,我每题都选择第一个选项,则一定有3个题选择结果正确”这句话( ) A.正确B.错误C.不一定D.无法解释二、填空题13.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为:162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任抽一位同学,估计该同学的身高在155.5~170.5 cm 范围内的概率为 (用分数表示).14.在一次掷硬币试验中,掷100次,其中有48次正面朝上,设反面朝上为事件A,则事件A 出现的频数为 ,事件A 出现的频率为 .15.设集合A={x|x 2≤4,x ∈Z },a ,b ∈A ,设直线3x+4y=0与圆(x-a )2+(y-b )2=1相切为事件M ,用(a ,b )表示每一个基本事件,则事件M 所包含的结果为 . 16.则a= ,b= ,c= .据此可估计若掷硬币一次,正面向上的概率为.17.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1～5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表:则落在桌面的数字不小于4的频率为 .18.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是 .三、解答题19.从含有两个正品a1,a2和一件次品b1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出这个试验的所有可能结果.(2)设A为“取出两件产品中恰有一件次品”,写出事件A对应的结果.20.对一批U盘进行抽检,结果如下表:(1)计算表中各个次品频率.(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,则销售2 000个U盘,至少需进货多少个U盘?21.:(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.22.为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.3.1.1《随机事件的概率》跟踪检测解答一、选择题1.给出下列3种说法:①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛掷硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是m n =73; ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确说法的个数 是( ) A.0B.1C.2D.3答案:A2.下面事件:①某项体育比赛出现平局;②抛掷一枚硬币,出现反面;③全球变暖会导致海平面上升;④一个三角形的三边长分别为1,2,3.其中是不可能事件的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 答案:D解析:三角形的三条边必须满足两边之和大于第三边.3.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是( ) A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定答案:B4.已知下列事件:①向区间(0,2)内投点,点落在(0,2)区间;②将一根长为a 的铁丝随意截成三段,构成一个三角形;③函数y=a x (a>0,且a ≠1)在R 上为增函数;④解方程x 2-1=0的根为2.其中是随机事件的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案:B解析:①为必然事件;④为不可能事件. 5.下列事件中,不可能事件为( ) A.三角形内角和为180°B.三角形中大边对大角,大角对大边C.锐角三角形中两个内角和小于90°D.三角形中任意两边的和大于第三边 答案: C6.袋内装有一个黑球与一个白球,从袋中取出一球,在100次摸球中,摸到黑球的频率为0.49,则摸到白球的次数为( ) A.49B.51C.0.49D.0.51答案:B7.某班计划从A ,B ,C ,D ,E 这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动,则可能的结果有( ) A .5种 B .10种 C .15种 D .20种 答案:B解析:从A ,B ,C ,D ,E 五人中选2人,不同的选法有:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(C ,D ),(C ,E ),(D ,E )共10种.8.经过市场抽检,质检部门得知市场上食用油合格率为80%,经调查,某市市场上的食用油大约有80个品牌,则不合格的食用油品牌大约有 ( ) A.64个B.640个C.16个D.160个答案: C9.给出下列三个命题,其中正确命题的个数是( )①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是73;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A解析:①错误;②出现正面的概率为21,故错误;③频率与概率不是一回事,故错误. 10.一个家庭有两个小孩儿,则可能的结果为( ) A.{(男,女),(男,男),(女,女)} B.{(男,女),(女,男)}C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}D.{(男,男),(女,女)}答案: C11.从一批即将出厂的螺丝中抽查了100颗,仅有2颗是次品.下列说法正确的是( )A .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率一定是2%B .从这批螺丝中随机抽取1颗,一定不是次品C .从这批螺丝中随机抽取100颗,必有2颗是次品D .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率约是2% 答案: D解析:抽取出次品的频率是1002=2%,用频率估计概率,抽出次品的概率大约是2%. 12.每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的.某次考试共有12道选择题,某人说:“每个选项正确的概率是41,我每题都选择第一个选项,则一定有3个题选择结果正确”这句话( ) A.正确 B.错误 C.不一定D.无法解释答案: B 二、填空题13.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为:162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任抽一位同学,估计该同学的身高在155.5~170.5 cm 范围内的概率为 (用分数表示).答案:52解析:数据在155.5~170.5之间有8名学生,则身高在此范围内的频率为208＝52,所以概率约为52.14.在一次掷硬币试验中,掷100次,其中有48次正面朝上,设反面朝上为事件A,则事件A 出现的频数为 ,事件A 出现的频率为 .答案: 52 0.5215.设集合A={x|x 2≤4,x ∈Z },a ,b ∈A ,设直线3x+4y=0与圆(x-a )2+(y-b )2=1相切为事件M ,用(a ,b )表示每一个基本事件,则事件M 所包含的结果为 . 答案:(-1,2),(1,-2) 解析:由直线与圆相切知,543b a +=1,所以3a+4b=±5,依次取a=-2,-1,0,1,2,验证知,只有⎩⎨⎧=-=21b a ，⎩⎨⎧==2-1b a 满足等式.16.则a= ,b= ,c= .据此可估计若掷硬币一次,正面向上的概率为 . 答案: 0.51 241 800 0.5解析:a=200102=0.51,b=500×0.482=241;c=505.0404=800. 易知正面向上的频率在0.5附近,所以若掷硬币一次,正面向上的概率应为0.5.17.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1～5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表:则落在桌面的数字不小于4的频率为 . 答案: 0.3518.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是 . 答案: 0.03 三、解答题19.从含有两个正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出这个试验的所有可能结果.(2)设A 为“取出两件产品中恰有一件次品”,写出事件A 对应的结果. [解析](1)试验所有结果:a 1,a 2;a 1,b 1;a 2,b 1;a 2,a 1;b 1,a 1;b 1,a 2.共6种. (2)事件A 对应的结果为:a 1,b 1;a 2,b 1;b 1,a 1;b 1,a 2. 20.对一批U 盘进行抽检,结果如下表:(1)计算表中各个次品频率.(2)从这批U 盘中任抽一个是次品的概率是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,则销售2 000个U 盘,至少需进货多少个U 盘?[解析](1)表中各个次品频率分别为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018. (2)当抽取件数a 越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U 盘中任抽一个是次品的概率是0.02.(3)设需要进货x 个U 盘,为保证其中有2 000个正品U 盘,则x(1-0.02)≥2 000,因为x 是正整数,所以x ≥2 041,即至少需进货2 041个U 盘.21.:(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.解：(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率为1513.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为87.以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为87.22.为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.[解析] 设水库中鱼的尾数为n,从水库中任捕一尾,每尾鱼被捕的频率(代替概率)为n2000,第二次从水库中捕出500尾,带有记号的鱼有40尾,则带记号的鱼被捕 的频率(代替概率)为50040,由n 2000=50040,得n=25 000.所以水库中约有25 000尾.。