高中数学每日一练

第1题（2020年2月1日）【基础题1】若3tan 4α=，则2cos 2sin2αα+=（）（A ）6425（B ）4825（C ）1（D ）1625【解析】由3tan 04α=＞，及22sin cos 1αα+=，得3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,,或3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,.所以2cos 2sin 2αα+=2161264cos 4sin cos 4252525ααα+=+⨯=，故选A ．另解：2cos 2sin2αα+=2222cos 2sin2cos 4sin cos 1sin cos ααααααα++=+231414tan 6449tan 125116αα+⨯+===++．【考点】同角三角函数的基本关系、二倍角公式.【提高题1】已知θ是第四象限角，且()π3sin 45θ+=，则()πtan 4θ-=.【解析】 θ是第四象限角，且()π3sin 045θ+=＞，∴()π4cos 45θ+=，ππ3sin cos cos sin 445ππ4cos cos sin sin 445θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,∴,解得sin cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩∴sin 1tan cos 7θθθ==-，()πtan 4θ-1π1tan tan474π131tan tan 1147θθ---===-+-⨯.另解： θ是第四象限角，且()π3sin 045θ+=＞，∴()π4cos 45θ+=，∴()πtan 4θ-()()()πsin π4tan π4cos 4θθθ-=--=--()()()()πππcos cos 4244πππ3sin sin 424θθθθ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=-=-=-⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦.另解2：()π3ππ3sin sin cos cos sin 45445θθθ+=⇒+=⇒32sin cos 5θθ+=⇒218sin cos 25θθ+=()⇒72sin cos 25θθ=-⇒232sin cos 25θθ-=()， θ是第四象限角，∴sin 0θ＜，cos 0θ＞，∴42sin cos 5θθ-=-，从而()πtan tanπtan 14tan π41tan 1tan tan 4θθθθθ---==++sin 1cos sin 1cos θθθθ-==+sin cos cos sin θθθθ-+42453325-==-．【考点】三角恒等变换．【基础题2】设ABC △的角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，已知22b c a bc -=-()．（I）求A ；（II）若3a =，sin 2sin C B =，求ABC △的面积．【解析】（I）22222π2cos 3b c a bc b c a bc bc A A -=-⇒+-==⇒=()．（II）sin 2sin 2C B c b =⇒=，代入222b c a bc +-=中，得b =，故c =，所以133sin 22ABC S bc A ==△．【提高题2】在ABC △中，设a b c ,,分别为角A B C ,,所对的边.已知3c =，π3C =.（I）若sin 2sin B A =，求a b ,的值；（II）求22a b +的最大值.【解析】（I）因为sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =.由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即222π32cos 3a a a a =+- (2)2，得a =从而b =.（II）由余弦定理得222π32cos3a b ab =+-，即229ab a b =+-，由基本不等式得222a b ab +≥，所以22a b +≥2229a b +-()，得2218a b +≤，当且仅当3a b ==时，22max 18a b +=().【基础题3】在正项等比数列n a {}中，1336a a =，2460a a +=，函数12n f n a a a =+++ ()，n *N ∈，求满足400f n ＞()的n 的最小值.【解析】设n a {}的公比为0q q ＞()，由13243660a a a a =⎧⎨+=⎩，，知212136160a q a q q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，，()()解得123.a q =⎧⎨=⎩,又由400n S ＞，得21340013n --＞()，由n *N ∈，得n 的最小值为6.【提高题3】已知数列n a {}的前n 项和41132n n n n S -+=+()，求证：不等式14n n S S +≥对任意n *N ∈均成立.【证明】14n n S S +-=1411411243232n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-+-+++-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()21342n n =+-()，设函数f x =()21342x x +-()，则f x ()是1+[,)∞上的增函数，故1n =时，2211343114022n n +-⨯+-=()≥()，即14n n S S +≥对任意n *N ∈均成立.【基础题4】设n S 为等比数列n a {}的前n 项和，且3242S S a -=.（I ）若1a =1，求通项n a ；（II ）若40a ＜，求使得1815n S a ≥成立的n 的取值范围.【解析】（I ）设n a {}的公比为q ，由3242S S a -=，得342a a =，所以4312a q a ==，又1a =1，所以11112n n n a a q--==.（II ）由40a ＜，得3410a a q =＜知，10a ＜.因为1815n S a ≥，所以11112815112na a -⨯-≥，所以11216n ≥，得4n ≤，又n *N ∈，所以使得1815n S a ≥成立的n 的取值范围是{}14n n *N∈≤≤.【提高题4】已知等比数列n a {}与等差数列n b {}中，111a b ==，12a a ≠，且123b a b ,,成等差数列，124b a b ,,成等比数列.（I ）求n a {}与n b {}的通项公式；（II ）设n n S T ,分别是n a {}和n b {}的前n 项和，若00n n S T +1＞，求n 的最小值.【解析】（I ）设n a {}的公比为1q q (≠)，n b {}的公差为d ，则222213q d q d =+⎧⎨=+⎩,,解得21q d =⎧⎨=⎩,,或10q d =⎧⎨=⎩,（舍去），所以12n n a -=，n b n =.（II ）由（I ）知，122112n n n S -==--，12n n n T +=()，由00n n S T +1＞，得122nn n ++()011＞，显然122n n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭()为递增数列，且666121012⨯++＜()，777121012⨯++＞()，所以n 的最小值为7.【基础题5】已知等差数列n a {}中，25a =，523a =.（I ）求数列n a {}的通项公式；（II ）若等比数列n b {}的前n 项和为n S ，且12b a =，27b a =，求满足1000n S ＞的最小正整数n 的值.【解析】（I ）211515511616723423 6.n a a d a a n n a a d d =+==-⎧⎧⎧⇒⇒⇒=-+-=-⎨⎨⎨=+==⎩⎩⎩,,,().（II ）由题意，得125b a ==，2735b a ==，则数列n b {}的公比217b q b ==，所以1000n S ＞11517100071201117n n n b q q --⇒=⇒--＞＞()()，因为373431201=＜，4724011201=＞，所以n 的最小值是4.【提高题5】若数列n a {}的前n 项和为n S ，且11a =，22a =，221111n n n S S S ++++=+()()().（I ）求n S ；（II ）记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12n T ＜≤.【解析】（I ）由221111n n n S S S ++++=+()()()，得21211111111111n n n n n n S S S S S S S S +++-++++====++++ ，所以数列1n S +{}是以11S +为首项的等比数列，又11112S a +=+=，212114S a a +=++=()，所以2114212S q S +===+，所以11222n n n S -+=⨯=，所以21n n S =-.（II ）由（I ）知，当2n ≥时，1111112*********nn n n n n n n n n a S S ------=-=---=-=⨯-=()()，当1n =时，11a =也满足12n n a -=，所以数列n a {}的通项公式为12n n a -=，所以()11121112n n n a --==⨯，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，且首项111a =，公比为1'2q =，从而n T =1211a a ++ 1111111111221122212n n n n a ---+=+++==-- ，即1122n n T -=-，当n 增大时，nT 也增大，又11T =，min 11n T T ==()；n →+∞时，2n T →，所以12n T ＜≤.【基础题6】已知等差数列n a {}的公差0d ＞，11a =，且2a ，612a a -，14a 分别是等比数列n b {}的前三项.（I ）求数列n a {}的通项公式；（II ）记数列n b {}的前n 项和为n T ，若39n T ＞，求n 取值的集合.【解析】（I ）因为2a ，612a a -，14a 分别是等比数列n b {}的前三项，所以2612142a a a a -=()，即211115213a d a a d a d +-=++()()()，由0d ＞，11a =，解得2d =，所以21n a n =-.（II ）由（I ）知，123b a ==，26129b a a =-=，所以数列n b {}的公比213b q b ==，所以39n T ＞11313393113n n b q n q -⨯-⇒=⇒--＞＞()()，故n 取值的集合为{}3n n *N ＞∈.【提高题6】已知数列n a {}满足：11a =，131n n a a +=+.（I ）求n a {}的通项公式；（II ）证明：1211132n a a a +++ ＜.【解析】（I ）设13n n a x a x ++=+()，即132n n a a x +=+，与131n n a a +=+对比，知21x =，得12x =，所以()111322n n a a ++=+，所以数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以112a +为首项、3为公比的等比数列，所以()1111322n n a a -+=+⨯，又11a =，所以312n n a -=.（II ）1111112222131331231312303n n n n n n n a -----====-⨯-⨯+⨯-⨯+≤，所以12111na a a +++()()211111111313311133323213n n n-⨯-++++==-- ＜≤.【基础题7】已知n S 为等比数列n a {}的前n 项和，且公比为2，7127S =.（I ）求n a {}的通项公式；（II ）设21221log log n n n b a a ++=，记数列n b {}的前n 项和n T ，求证：1n T ＜.【解析】（I ）因为7117112127112n a q a S q --===--()()，所以11a =，所以12n n a -=.（II ）由（I ）知12n n a -=，所以12n n a +=，122n n a ++=，所以21221log log n n n b a a ++==1221111log 2log 211n n n n n n +==-++ ()，所以()()()111111111122311nT n n n =-+-++-=-++ ＜.【提高题7】已知数列n a {}为等比数列，13a =，且2a 是1a 与33a -的等差中项.（I ）求n a {}的通项公式；（II ）求证：1211121113n a a a ++++++ ＜.【解析】（I ）因为2a 是1a 与33a -的等差中项，所以21323a a a =+-()，又13a =，设n a {}的公比为q ，所以223333q q ⨯=+-()，解得2q =，或0q =（舍去），11132n n n a a q --==⨯.（II ）11111132132n n n a --=+⨯+⨯＜，则()21121111111111131222n n a a a -++++++++++ ＜()1111112221332312n n --=⨯=⨯--＜.【基础题8】求函数1ln x f x x x-=-()的单调区间.【解析】函数f x ()的定义域为0+(,)∞.由11ln 1ln x f x x x x x -=-=--()，得21'xf x x-=().当01x ＜＜时，'0f x ＞()，f x ()为增函数，得增区间为01(,)；当1x ＞时，'0f x ＜()，f x ()为减函数，得减区间为1+(,)∞.综上知，函数f x ()的单调递增区间为01(,)，单调递减区间为1+(,)∞.【提高题8】已知函数323f x x x a =--()有两个零点，则非零实数a 的值为.【解析】2'3632f x x x x x =-=-()()，当2x ＞，或0x ＜时，'0f x ＞()，f x ()为增函数；当02x ＜＜时，'0f x ＜()，f x ()为减函数，所以f x ()在0x =处有极大值，在2x =处有极小值.因为函数f x ()有两个零点，所以极大值或极小值为0，所以0f =()0，或2f =()0，即320300a -⨯-=或322320a -⨯-=，解得0a =（舍去），或4a =-.【基础题9】已知函数ln 22f x x ax a =-+()，讨论f x ()的单调区间.【解析】112'20ax f x a x x x -=-=＞()().当0a ≤时，12'0ax f x x -=＞()，则f x ()在0+(,)∞上为增函数.当0a ＞时，令12'0ax f x x -=＞()，得120ax -＞，所以102x a＜＜，此时f x ()为增函数；令12'0ax f x x -=()，得120ax -＜，所以12x a ＞，此时f x ()为减函数.综上知，当0a ≤时，f x ()的增区间为0+(,)∞；当0a ＞时，f x ()的增区间为()102a ,，减区间为()12a+,∞.【提高题9】若函数e 2xf x x k =--()在R 上有两个零点，则实数k 的取值范围是.【解析】'e 2xf x =-()，令'0f x ＞()，即e 20x-＞，解得ln 2x ＞，此时f x ()为增函数；令'0f x ＜()，即e 20x-＜，解得0ln 2x ＜＜，此时f x ()为减函数；所以f x ()在ln2x =处有极小值ln2ln2e2ln2f k =--()，也是最小值.又x →+∞时，f x →+()∞，x →-∞时，e 0x→，2x -→+∞，所以f x →+()∞，因为函数()e 2xf x x k =--在R 上有两个零点，所以ln 2ln 2e2ln 20f k =--＜()，解得22ln 2k -＞，即实数k 的取值范围是22ln 2-+(,)∞.另解：令e 20xf x x k =--=()，得e 2xx k -=，设e 2xg x x =-()，则'e 2xg x =-()，令'0g x ＞()，即e 20x -＞，解得ln 2x ＞，此时g x ()为增函数；令'0g x ＜()，即e 20x -＜，解得0ln 2x ＜＜，此时g x ()为减函数；所以g x ()在ln2x =处有极小值ln2ln2e2ln2g =-().又x →+∞时，g x →+()∞，x →-∞时，e 0x →，2x -→+∞，所以g x →+()∞，因为函数()e 2x f x x k =--在R 上有两个零点，直线与曲线有两个交点，所以ln 222ln 2k g =-＞()，即实数k 的取值范围是22ln 2-+(,)∞.【基础题10】已知函数2ln af x x x=+()，a R ∈，求f x ()的单调区间.【解析】233122'0a x af x x x x x-=-=＞()().当0a ≤时，232'0x af x x -=＞()，所以f x ()在0+(,)∞上为增函数.当0a ＞时，令232'0x a f x x -=()，得220x a -＞，所以2x a ＞，故f x ()在2a +,)∞上单调递增；令232'0x a f x x-=＜()，得220x a -＜，所以02x a ＜＜，故f x ()在02a (,上单调递减.综上，0a ≤时，f x ()的增区间为0+(,)∞；0a ＞时，增区间为2a +(,)∞，减区间为02a (,).【提高题10】已知函数ln 1x f x a x+=-()有两个零点，求实数a 的取值范围.【解析】（方法1）令ln 10x f x a x +=-=()，即ln 1x a x +=，设ln 1x h x x +=()，则2ln '0xh x x x -=＞()().当1x ＞时，2ln '0xh x x-=＜()，h x ()为减函数；当01x ＜＜时，2ln '0xh x x -=＞()，hx ()为增函数.所以hx ()在x =1处有极大值ln11111h +==()，也是最大值.易知，当0x ＞且0x →时，h x →-()∞，当x →+∞时，0h x →().因为函数f x =()ln 1x a x+-有两个零点，所以曲线y h x =()与直线y a =有两个交点，所以01a ＜＜，即实数a 的取值范围是01(,).（方法2）2ln '0xf x x x-=＞()().当1x ＞时，'0f x ＜()，f x ()为减函数；当01x ＜＜时，'0f x ＞()，f x ()为增函数，所以f x ()在x =1处有极大值ln11111f a a +=-=-()，也是最大值.当0x ＞且0x →时，f x →-()∞，当x →+∞时，ln 10x x+→，因为函数f x =()ln 1x a x +-有两个零点，所以ln 10x a x+-＞有解，所以0a ＞.综上，实数a 的取值范围是01(,).（方法3）令ln 10x f x a x+=-=()，得ln 10x ax -+=，设ln 1g x x ax =-+()，则'g x =()11ax a x x--=，若0a ≤，则'g x 0＞()，g x ()在0+(,)∞上为增函数，g x ()最多一个零点，不合题意.故0a ＞，当10x a ＜＜时，'0g x ＞()，g x ()为增函数；当1x a＞时，'0g x ＜()，g x ()为减函数，所以g x ()在x a=1处有极大值()1111ln 1ln g a a a a a =-⨯+=，也是最大值.当0x ＞且0x →时，g x →-()∞，当x →+∞时，g x →-()∞.因为函数f x =()ln 1x a x+-有两个零点，即y g x =()有两个零点，所以()11ln 0g a a=＞，得01a ＜＜.综上，实数a 的取值范围是01(,).（方法4）令ln 10x f x a x+=-=()，得ln 1x ax +=，设ln 1g x x =+()，当直线y ax =与曲线ln 1g x x =+()相切时，设切点为00x y (,)，则001|'x x k g x x ===切()，01:l y x x =切，由000001ln 1y x x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,,消去0y ，得01x =，所以1k =切，因为f x ()有两个零点，所以直线y ax =与曲线ln 1g x x =+()有两个交点，所以实数a 的取值范围是01(,).【基础题11】已知函数2ln f x x a x =-()，a R ∈，讨论f x ()的单调性.【解析】22'20a x af x x x x x-=-=＞()().当0a ＜时，22'0x af x x -=＞()在0+(,)∞上恒成立，所以f x ()在0+(,)∞上为增函数.当0a ＞时，由22'0x a f x x -=＞()，得22ax ＞，所以f x ()在)22a+∞上为增函数；由22'0x af x x-=＜()，得202a x ＜＜，所以f x ()在(22a0,上为减函数.综上，0a ≤时，f x ()在0+(,)∞上为增函数；0a ＞时，f x ()在()22a +∞上为增函数，在(22a0,上为减函数.【提高题11】若函数32962f x x x x a =-++()有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.【解析】2'396312f x x x x x =-+=--()()()，由'0f x ＞()，得2x ＞，或1x ＜，此时f x ()为增函数；由'0f x ＜()，得12x ＜＜，此时f x ()为减函数.所以f x ()在2x =处取得极小值，在1x =处取得极大值.因为f x ()有且只有一个零点，所以20f ＞()，或10f ＜()，得2a -＞或52a -＜，即实数a 的取值范围是()522-+-- (,),∞∞.【基础题12】已知函数22ln 0x f x x a a =-()(≠)，讨论f x ()的单调性.【解析】22222'0x x af x x a x ax-=-=＞()().当0a ＜时，222'0x af x ax -=＜()，所以f x ()在0+(,)∞上为减函数.当0a ＞时，2222'0x a x x f x x ax ax-==＞(()().当0x ＜时，'0f x ＜()，所以f x ()在0(上为减函数.当x 时，'0f x ＞()，所以f x ()在+)∞上为增函数.综上，0a ＜时，f x ()在0+(,)∞上为减函数；0a＞时，f x ()在+)∞上为增函数，在0(上为减函数.【提高题12】讨论函数21ln 102f x a x x a x a =+-+其中＞()()()的单调区间.【解析】函数f x ()的定义域为0+(,)∞.211'1a x a x a x a x f x x a x x x -++--=+-+==()()()()()当01a ＜＜时，由'0f x ＞()，得1x ＞或0x a ＜＜，此时f x ()为增函数；由'0f x ＜()，得1a x ＜＜，此时f x ()为减函数.当1a =时，'0f x ()≥恒成立，当且仅当1x =时，'0f x =()，所以f x ()在0+(,)∞上为增函数.当1a ＞时，由'0f x ＞()，得x a ＞或01x ＜＜，此时f x ()为增函数；由'0f x ＜()，得1x a ＜＜，此时f x ()为减函数.综上，当01a ＜＜时，f x ()的增区间为1+(,)∞和0a (,)，减区间为1a (,)；当1a =时，f x ()在0+(,)∞上为增函数；当1a ＞时，f x ()的增区间为a +(,)∞和01(,)，减区间为1a (,).【基础题13】求函数21ln 2f x x x =-()的单调区间.【解析】由f x ()得21412121'20222x x x f x x x x x x-+-=-==＞()()()().令'0f x ＞()，得12x ＞，此时f x ()为增函数；令'0f x ＜()，得102x ＜＜，此时f x ()为减函数；故函数f x ()的单调递增区间为()12+,∞，单调递减区间为()102,..【提高题13】已知函数3213532f x x x m =-+-()有3个零点，求实数m 的取值范围.【解析】令32135032f x x x m =-+-=()，即3213532x x m -+=，令3213532hx x x =-+()，则2'33h x x x x x =-=-()()，当0x ＜或3x ＞时，'0h x ＞()，h x ()单调递增；当03x ＜＜时，'0h x ＜()，hx ()单调递减，所以h x ()有极大值05h =()，极小值132h =().因为f x ()有3个零点，所以曲线y h x =()与直线y m =有3个交点，所以实数m 的取值范围是()152,.【基础题14】求函数231ln f x x x x =-++-()的单调区间.【解析】由f x ()得21231211'230x x x x f x x x x x x --+---=-+-==＞()()()()().令'0f x ＞()，得112x ＜＜，此时f x ()为增函数；令'0f x ＜()，得1x ＞或12x ＜，此时f x ()为减函数；故函数f x ()的单调递增区间为()112,，单调递减区间为()102,和1+(,)∞.【提高题14】设三次函数3231f x ax ax =-+()有3个零点，则实数a 的取值范围是（）A .()14-,∞B .()104,C .()14+,∞D .02(,)【解析】2'3632f x ax ax ax x =-=-()().若0a ＞，由'0f x ＞()，得2x ＞，或0x ＜，此时f x ()为增函数；由'0f x ＜()，得02x ＜＜，此时f x ()为减函数.所以f x ()在x =0处取得极大值010f =＞()，在x =2处取得极小值214f a =-().因为函数f x ()有3个零点，所以2140f a =-＜()，得14a ＞.若0a ＜，由'0f x ＞()，得02x ＜＜，此时f x ()为增函数；由'0f x ＜()，得02x ＜＜，2x ＞，或0x ＜，此时f x ()为减函数.所以f x ()在x =0处取得极小值010f =＞()，在x =2处取得极大值214f a =-()，此时函数f x ()只有1个零点，不合题意.综上，实数a 的取值范围是()14+,∞.故选C .【基础题15】求函数210a x f x a x-=＞()()()的单调区间.【解析】42'00ax x f x a x x -=＞()()(,≠).令'0f x ＞()，得20x x -＞()，即02x ＜＜时，f x ()为增函数；令'0f x ＜()，得20x x -＜()，即2x ＞，或0x ＜时，f x ()为减函数.故f x ()的增区间为02(,)，减区间为0-(,)∞和2+(,)∞.【提高题15】若函数ln f x x kx =-()有2个零点，求实数k 的取值范围.【解析】方法1（分离参数法）令ln 0f x x kx =-=()，得ln x k x =，令ln xh x x=()，则21ln '0xh x x x -=＞()()，当e x ＞时，'0h x ＜()，h x ()单调递减；当0e x ＜＜时，'0h x ＞()，hx ()单调递增，所以hx ()有极大值1e e h =().又0x ＞且0x →时，h x →-()∞；x →+∞时，0h x →().由题意，函数f x ()有2个零点，所以曲线y h x =()与直线y k =有2个交点，所以实数k 的取值范围是()10e,.方法2（参数讨论法）11'0kxf x k x x x -=-=＞()().当0k ≤时，'0f x ＞()，f x ()在0+(,)∞上为增函数，f x ()至多一个零点，不合题意.当0k ＞时，令'0f x ＞()，得10x k＜＜，此时f x ()为增函数；令'0f x ＜()，得1x k＞，此时f x ()为减函数；当1x k =时，'0f x =().所以f x ()有极大值()11ln 1fk k=-.因为函数f x ()有2个零点，且0x →时，f x →-()∞；x →+∞时，f x →-()∞，所以()10fk ＞，即1ln 10k -＞，解得10ek ＜＜.方法3（切线法，数形结合）令ln 0f x x kx =-=()，得ln x kx =，作出函数ln y x =与y kx =的图象，当直线y kx =与曲线ln y x =相切时，设切点为00x y (,)，则001|ln 'x x k x x ===切()，由000001ln y x x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ,,得0e x =，所以e k =切1，因为函数f x ()有2个零点，所以直线y kx =与曲线ln y x =有两个交点，由图易知，10ek ＜＜.每日一题（2020年2月16日）【基础题16】求函数232320f x a x ax a =-+＞()()的单调区间.【解析】22'36320f x a x ax ax ax a =-=-＞()()().令'0f x ＞()，得20x ax -＞()，所以2x a＞，或0x ＜，此时f x ()为增函数；令'0f x ＜()，得20x ax -＜()，所以20x a＜＜，此时f x ()为减函数.故f x ()的增区间为0-(,)∞和()2a +,∞，减区间为()20a ,.【提高题16】若函数213ln 42f x x x x a =+--()在14[,]上恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．5ln 224⎡⎤--⎢⎣⎦,B ．()5ln 224-,C ．(5ln 224⎤--⎥⎦,D ．(5ln 224⎤-⎥⎦,【解析】21133212'142222x x x x f x x x x x x-+--=+-==()()()(≤≤).当12x ＜≤时，'0f x ()≤，f x ()单调递减；当24x ＜≤时，'0f x ()≥，f x ()单调递增.所以f x ()在2x =处有极小值2ln 213ln 22f a a =+--=--()，因为f x ()在14[,]上有2个零点，所以201040f f f ⎧⎪⎨⎪⎩＜(),()≥,()≥,解得ln 22542ln 22a a a -⎧⎪⎪-⎨⎪-⎪⎩＞,≤,≤.因为()53ln 222ln 244---=-(2)331044=-2＞，所以5ln 224--＞2，所以5ln 224a --＜≤.故选C ．【基础题17】已知函数ln f x x x ax =+()，若曲线y f x =()在1x =处的切线与直线210x y +-=互相垂直，求函数f x ()的单调区间.【解析】'1ln 0f x x a x =++＞()()，因为曲线y f x =()在1x =处的切线与直线210x y +-=互相垂直，所以切线斜率1'11212k f a ==+=-=-切()，得1a =，所以'2ln 0f x x x =+＞()().令'0f x ＞()，即2ln 0x +＞，得21ex ＞，此时f x ()为增函数；令'0f x ＜()，即2ln 0x +＜，得210ex ＜＜，此时f x ()为减函数.故f x ()的增区间为()21e +,∞，减区间为()210e ,.【提高题17】已知函数2ln f x x m x =-()，2g x x x a =-+()，m a R ,∈.（I）若0a =时，f x g x ()≥()在1+(,)∞上恒成立，求m 的取值范围；（II）若2m =时，函数h x f x g x =-()()()在区间13[,]上恰有两个零点，求a 的取值范围.【解析】（I）当0a =时，“f x g x ()≥()在1+(,)∞上恒成立”等价于“1ln xm x x＞≤()恒成立”.令1ln xx x xϕ=＞()()，则只需min m x ϕ≤[()].因为2ln 1'ln x x x ϕ-=()()，所以当e x ＞时，'0x ϕ＞()，x ϕ()单调递增；当1e x ＜＜时，'0x ϕ＜()，x ϕ()单调递减.所以minx ϕ[()]e e ϕ==()，所以e m ≤，即实数m 的取值范围是e -(,]∞.（II））当2m =时，2ln 3hx x x a x =--()(1≤≤)，22'1x h x x x-=-=()，所以当23x ＜≤时，'0h x ＞()，h x ()单调递增；当12x ＜≤时，'0h x ＜()，h x ()单调递减.所以h x ()有极小值222ln2h a =--().又11h a =-()，332ln3h a =--()，则13132ln3h h a a -=----()()()()222ln 32ln 3ln e 0=-=-＞，所以13h h ＞()()，因为函数h x ()在区间13[,]上恰有两个零点，所以3020h h ⎧⎨⎩＜()≥,().即32ln 3022ln 20a a --⎧⎨--⎩＜≥,.解得a 的取值范围是22ln 232ln 3--(,].【基础题18】在三棱柱111ABC A B C -中，D E F ,,分别为AB ，11BC A C ,的中点．求证：//FE 平面1A CD ．【证明】连接DE ，因为D E F ,,分别为AB ，11BC A C ,的中点，所以DE //=12AC //=1A F ，所以四边形1DEFA 是平行四边形，所以1//FE A D ，又因为FE ⊄平面1A CD ，1A D ⊂平面1A CD ，所以//FE 平面1A CD ．【提高题18】如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△'A DE ，且F 为线段'A C 的中点，求证：//BF 平面'A DE ．【证明】取'A D 的中点G ，连接GF GE ,，则//GF =//12DC =EB ，所以四边形BFGE 为平行四边形，所以//BF GE ，又因为BF ⊄平面'A DE ，GE ⊂平面'A DE ，所以//BF 平面'A DE ．【基础题19】（2017 浙江，19）如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//CE 平面PAB ；（Ⅱ）略．【解析】（1）证明：取PA 的中点F ，连接FE FB ,，因为E 为PD 的中点，所以//FE =12AD ，因为//BC AD ，2AD CB =，所以//FE =BC ，所以四边形BCEF 是平行四边形，所以//CE BF ，又CE ⊄平面PAB ，BF ⊂平面PAB ，所以//CE 平面PAB ．【提高题19】如图，已知D E ,分别为三棱柱111ABC A B C -底边11BC A C ,的中点，求证：(I )//DE 平面11ABB A ；(II )1//C D 平面EAB ；(III )1//A B 平面1C AD .【解析】证明：(I )取AB 的中点G ，连接1A G DG ,，因为D 为BC 的中点，所以//GD =12AC ，因为1//A E AC ，112A E AC =，所以1//A E =GD ，所以四边形1A EDG 是平行四边形，所以1//DE A G ，又DE ⊄平面11ABB A ，1A G ⊂平面11ABB A ，所以//DE 平面11ABB A ．(II )证明：(I )取AB 的中点G ，连接EG DG ,，因为D 为BC 的中点，所以//GD =12AC ，因为1//EC AC ，112EC AC =，所以1//EC =GD ，所以四边形1EC DG 是平行四边形，所以1//C D EG ，又1C D ⊄平面EAB ，EG ⊂平面EAB ，所以1//C D 平面EAB ．(III )【解析】证明：(I )连接1A C ，交1AC 于O ，连接OD ，因为D 为BC 的中点，所以1//A B OD ，又1A B ⊄平面1C AD ，OD ⊂平面1C AD ，所以1//A B 平面1C AD ．【基础题20】（2017 课标II ，理19）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=o，E 是PD 的中点．（Ⅰ）证明：直线//CE 平面PAB ；（Ⅱ）略．【解析】（Ⅰ）证明：取PA 的中点F ，连接FE FB ,，因为E 为PD 的中点，所以//FE =12AD ，因为90BAD ABC ∠=∠=o，所以//BC AD ，又12BC AD =，所以//FE =BC ，所以四边形BCEF 是平行四边形，所以//CE BF ，又CE ⊄平面PAB ，BF ⊂平面PAB ，所以//CE 平面PAB ．【提高题20】（2019 新课标1，文19）如图，直四棱柱1111A B C D ABCD -的底面是菱形，114A A =，2AB =，60BAD ∠=o，E M N ,,分别是11BC BB A D ,,的中点．(I )证明：//MN 平面1C DE ；（Ⅱ）略．【解析】(I )（证法1）连接1B C ，ME ．因为M E ,分别为1BB ，BC 的中点，所以//ME =112B C ．由题设知11//A B =DC ，所以四边形11A B CD 是平行四边形，因为N 为1A D 的中点，所以//ND =112B C ．故//ME =ND ，所以四边形MNDE 为平行四边形，所以//MN DE ．又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE ，所以//MN 平面1C DE ．（证法2）取AD 的中点F ，连接NF BF ,．因为M N E ,,分别为11B B A D BC ,,的中点，所以//NF =1//12A A =MB ，所以四边形BMNF 是平行四边形．所以MN BF //，又//FD =BE ，所以四边形BEDF 是平行四边形，故//BF DE ，所以//MN DE ．又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE ，所以//MN 平面1C DE ．【基础题21】在四棱锥P ABCD -中，F 为PB 的中点，PC ⊥底面ABCD ，且底面ABCD是正方形，求证：//PD 平面ACF ．【解析】证明：连接BD ，交AC 于O ．则O 为BD 的中点．因为F 是PB 的中点，所以FO 是BDP △的中位线，所以//PD FO ，又PD ⊄平面ACF ，FO ⊂平面ACF ，所以//PD 平面ACF ．【提高题21】在正方体ABCD 1111A B C D -中，已知P Q ,分别为111A C CD ,的中点.求证：//PQ 平面11BCC B ．【解析】（证法1：利用三角形中位线的性质）连接111B D B C ,，因为P 是11A C 的中点，所以P 为11B D 的中点，因为Q 是1D C 的中点，所以PQ 是11D B C △的中位线，所以1//PQ B C ，又因为PQ ⊄平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，所以//PQ 平面11BCC B ．（证法2：利用平行四边形的性质)设111CC B C ,的中点分别为G H ,，连接QG PH GH ,,．1111111111////11//////22PQ GH PQ BCC B GH BCC B Q G D C A B PH PQGH PQ BCC B ⇒⇒⎬⊂⎫⎪⎭⊄⇒⎪平由四边形为平面行四边形.面面＝平平＝＝ （证法3：利用面面平行的性质)取11D C 的中点O ，则1//QO CC ．111111111111////////QO CC QO BCC B QO BCC B CC BCC B P PO O BCC B Q BCC B PQ POQ PO QO O ⎫⎫⎫⎪⎪⎪⊄⇒⎬⎪⎪⎪⎪⎪⊂⎪⎭⎪⇒⎬⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎭⊂⎪⎪⎭平面平平面平面平面 同平面理平面面11//PQ BCC B ⇒平面．【基础题22】（如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，AC BD ⊥，垂足为H ，PH 是该四棱锥的高，求证：（Ⅰ）AC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）略．【解析】证明：PH ABCD PH AC AC ABCD AC PBD AC BD PH BD H ⎫⎫⇒⎪⎬⊂⎭⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎪=⎭⊥平面⊥平面⊥平面⊥.【提高题22】如图，E 为矩形ABCD 所在平面外一点，⊥AD 平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且⊥BF 平面ACE ，AC BD G = .求证：⊥AE 平面BCE .【解析】证明：//AD ABE BC ABE BC AE AD BC AE ABE AE BCE BF ACE BF AE AE ACE BC BF B ⎫⎫⎫⎪⇒⎪⎪⎬⇒⎪⎬⎪⎭⎪⎪⊂⎭⎪⎪⇒⎬⎫⇒⎬⎪⊂⎭⎪⎪⎪⎪=⎭⊥平面⊥平面⊥平面⊥平面⊥平面⊥平面.【基础题23】（2018 新课标1卷改编）在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=o，以AC 为折痕将ACM △折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．（Ⅰ）求证：AB ⊥平面ACD ；（Ⅱ）略．【解析】证明：（Ⅰ）//90MC ABAB AC ACM AB ACD AB DA AC DA A ⎫⎫⇒⎪⎬∠=⎭⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎪=⎭o ⊥⊥平面⊥.【提高题23】（2018 新课标2卷）如图所示，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（Ⅰ）证明：PO ⊥平面ABC ；（Ⅱ）略．【解析】（Ⅰ）证法1：连接BO ，因为AB BC ==，4AC =，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥．12AB BCOB AC AO O AC PAO PBOPA PB PO BO PO PO PO ABC PA PC PO AO O AC PO AO BO AO O ⎫⎫⊥⎫⎫⇒==⎪⎪⎬⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⇒=⎬⎪⎪⎪⎪⎪⇒⊥⎬⎪⎪⎪⎪=⎪⎭⎪⇒⊥⎬⎪⎫=⎪⎪⎪⇒⊥⎬⎪⎪⎪⎭⎭⎪⎪⊥⎪⎪⎪=⎭为中点≌平面为中点△△证法2：连接BO ，因为AB BC ==，O 为AC 的中点，所以AC BO ⊥，又4PA PB PC AC ====，所以2BO ==，同理，PO AC ⊥，PO ==，所以222PB PO BO =+，所以PO BO ⊥，又AO BO O = ，所以PO ⊥平面ABC ．【基础题24】（2017年 课标1，文18改编）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o．（Ⅰ）证明：AB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）略．【解析】（Ⅰ）证明：90//90CDP AB PD AB CD AB PAD BAP PA PD P ⎫⎫∠=⎪⇒⊥⎪⎬⎪⎪⎭⎪⇒∠=⎬⎪⎪⎪=⎭oo ⊥平面.【提高题24】（2017年 北京卷，文18）如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA BC ⊥，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA BD ⊥；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）略．【解析】（Ⅰ）证明：PA AB PA BC PA ABC PA BD AB BC B BD ABC ⎫⎫⊥⎪⎪⊥⇒⊥⎪⎬⇒⊥⎬⎪=⎪⎭⎪⊂⎭平面平面.（Ⅱ）证明：AB BC AC BD D AC BD PAC PA BD AC PA A ⎫⎫=⎪⇒⊥⎪⎬⎪⎪⎭⎪⇒⊥⎬⊥⎪⎪⎪=⎭为的中点平面.【基础题25】如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ,,分别为棱PC AC AB ,,的中点，PA AC ⊥，6PA =，8BC =，5DF =，求证：DE ⊥平面ABC ．【解析】证明：连接EF ，因为D E F ,,分别为PC AC AB ,,的中点，所以//DE =12PA ，//EF =12BC ，2221321425//DE PA EF BC DF DE EF DE EF DF DE ABC PA DE DE AC PA AC EF AC E ⎫⎫==⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⇒=+⇒⎬⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⇒⎬⎭⎪⎫⎪⇒⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪⎪=⎭ ⊥⊥平面.【提高题25】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ．求证：（Ⅰ）BC ⊥平面PCD ；（Ⅱ）DE ⊥平面PBC ；（III ）PB ⊥平面DEF ．【解析】证明：（Ⅰ）PD ABCD PD BC BC ABCD BC PCD DC BC AB BC B ⎫⊥⎫⇒⊥⎪⎬⊂⎭⎪⎪⇒⊥⊥⎬⎪⎪⎪=⎭ 平面平面平面.（Ⅱ）PD DC PC DE E PC BC PCD DE PBC BC DE DE PCD PC BC C ⎫⎫=⎪⇒⊥⎪⎬⎪⎪⎭⎪⊥⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎪⎭⎪⎪⎪=⎭ 为的中点平面平面平面.（III ）DE PBC DE PB PB PBC PB DEF EF PB DE EF E ⎫⊥⎫⇒⊥⎪⎬⊂⎭⎪⎪⇒⊥⊥⎬⎪⎪⎪=⎭平面平面平面.【基础题26】（2018年全国卷I ，文）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =o∠，以AC 为折痕将ACM △折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．（Ⅰ）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（Ⅱ）略．【解析】证明：（Ⅰ）//90MC ABAB AC ACM AB ACD AB DA ACD ABC AC DA A AB ABC ⎫⎫⎫⇒⎪⎪⎬∠=⎪⎭⎪⎪⎪⇒⎬⎪⇒⎬⎪⎪⎪⎪⎪=⎭⎪⎪⊂⎭o 平面平面平面平面⊥⊥⊥⊥.【提高题26】（2019年全国卷Ⅲ，文）图1是由矩形ADEB ，Rt ABC △和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1AB =，2BE BF ==，60FBC ∠=o．将其沿AB BC ,折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．（Ⅰ）证明：平面ABC ⊥平面BCGE ；（Ⅱ）略．【解析】证明：（Ⅰ）由已知得AB BE ⊥，AB BC ⊥，BC BE B = ，故AB ⊥平面BCGE ．又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．【基础题27】（2017年新课标II 卷改编，文）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==,90BAD ABC ∠=∠=o．求证：（Ⅰ）直线//BC 平面PAD ；（Ⅱ）AB PD ⊥；（III ）平面PAB ⊥平面PAD ．【解析】证明：（Ⅰ）//BAD ABC BC ADBC PAD BC PAD AD PAD ∠=∠⇒⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭平面//平面平面.（Ⅱ）PAD ABCD AB AD AB PAD AB PD PAD ABCD AD AB ABCD PD PAD ⎫⎫⊥⎪⎪⊥⎪⎪⇒⊥⎬⎪⇒⊥=⎬⎪⎪⎪⊂⎭⎪⎪⊂⎭ 面面面面面面面.（III ）AB PAD PAB PAD AB PAB ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭面面面面.【提高题27】（2018年全国卷Ⅲ，文）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M 是 CD上异于C ，D 的点．(Ⅰ)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(Ⅱ)在线段AM 上是否存在点P ，使得M C ∥平面PBD ？说明理由．【解析】（Ⅰ）证明：由题设知，面CMD ⊥面ABCD ，面CMD 面ABCD CD =．因为BC CD ⊥，BC ⊂面ABCD ，所以BC ⊥面CMD ，则DM ⊂面CMD ，故BC DM ⊥．因为DC 为直径，所以CM DM ⊥，又BC CM C = ，所以DM ⊥面BMC ，而DM ⊂面AMD ，故面AMD ⊥面BMC ．（Ⅱ）当P 为AM 的中点时，//MC 面PBD ，证明如下：连结AC 交BD 于O ，连结OP ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点，又因为P 为AM 中点，所以//MC OP ．又MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以//MC 平面PBD．【基础题28】（2017年 北京卷改编，文18）如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA BC ⊥，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA BD ⊥；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（Ⅲ）当//PA DE 时，求三棱锥E BCD -的体积（只做此问）．【解析】（Ⅰ）证明：PA AB PA BC PA ABC PA BD AB BC B BD ABC ⎫⎫⊥⎪⎪⊥⇒⊥⎪⎬⇒⊥⎬⎪=⎪⎭⎪⊂⎭平面平面.（Ⅱ）证明：AB BC AC BD D AC BD PAC PA BD AC PA A ⎫⎫=⎪⇒⊥⎪⎬⎪⎪⎭⎪⇒⊥⎬⊥⎪⎪⎪=⎭为的中点平面.（III ）因为//PA DE ，D 为AC 中点，所以112DE PA ==，12BD AC =由（Ⅰ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ．所以三棱锥E BCD -的体积V =111323BD DC DE ⨯⨯⨯⨯=．【提高题28】（2017年 新课标1，文18）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=．（Ⅰ）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积（只做此问）．【解析】（Ⅰ）证明：90//90CDP AB PD AB CD AB PADBAP PAB PAD PA PD P AB PAB ⎫⎫⎫∠=⎪⇒⊥⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎪⇒∠=⎬⎪⇒⎬⎪⎪⎪⎪⎪=⎭⎪⎪⊂⎭oo ⊥平面平面⊥平面平面.（Ⅱ）过P 作PE AD ⊥，垂足为E ．由（Ⅰ）知，AB ⊥面PAD ，故AB PE ⊥，得PE ⊥面ABCD ．设AB x =，则AD ，22PE x ．故3118333P ABCD V AB AD PE x -=== ，故2x =，即2PA PD ==，由//AB =CD 知ABCD为平行四边形，故A D B C P B P C ====．得P ABCD S -=侧21111sin6062222PA PD PA AB PD DC BC +++=+o【基础题29】（2019 全国课标卷II ，文）如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥．（Ⅰ）证明：BE ⊥平面11EB C ；（Ⅱ）若1AE A E =，3AB =，求四棱锥11E BB C C -的体积．【解析】（Ⅰ）由已知得11B C ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ，故11B C BE ⊥．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知190BEB ∠=o，由题设知11Rt Rt ABE A B E ≌△△，所以1145AEB A EB ︒∠=∠=，故3AE AB ==，126AA AE ==．作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==．所以四棱锥11E BB C C -的体积1363183V =⨯⨯⨯=．【提高题29】（2016年 石家庄模拟）在如图所示的几何体中，CDEF 为正方形，ABCD为等腰梯形，//AB CD ，AC =，22AB BC ==，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证:AC ⊥平面FBC ；（Ⅱ）求四面体FBCD 的体积（只做此问）；（Ⅲ）略．【解析】证明：（I）在ABC 中，因为AC =，2AB =，1BC =，所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，又因为AC FB ⊥，BC FB B = ，所以AC ⊥平面FBC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC BC ⊥，AC ⊥平面FBC ，所以AC FC ⊥，因为CD FC ⊥，AC CD C = ，所以FC ⊥平面ABCD ．在等腰梯形ABCD 中，分别过C D ,作CH AB ⊥，DG AB ⊥，H G ,为垂足，在Rt ABC △中，由12BC AB =知30CAB ∠=o，则60ABC ∠=o，在Rt BCH △中，30BCH ∠=o，所以1122AG BH BC ===，所以1DC GH ==，所以BCD △的面积为13sin12024BCD S DC BC ==o△，所以四面体FBCD 的体积为F BCD V -13312BCD S FC ==△．【基础题30】如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE EB BC ===2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ，AC BD G ＝.（I）求证:F 为CE 的中点；（II）求证:AE ∥平面BFD ；（II）求证:AE ⊥平面BCE ；（IV ）求三棱锥G BCF -的体积.【解析】（I）因为BF ⊥平面ACE ，CE ⊂平面ACE ，所以BF CE ⊥，又EB BC =，所以F 为CE 的中点.（II）连接GF ，在矩形ABCD 中，G 为AC 中点，又F 为CE 的中点，所以GF AE //，又GF ⊂平面BFD ，AE ⊄平面BFD ，所以AE ∥平面BFD .（III）//AD ABE BC ABE BC AE AD BC AE ABE AE BCE BF ACE BF AE AE ACE BC BF B ⎫⎫⎫⎪⇒⎪⎪⎬⇒⎪⎬⎪⎭⎪⎪⊂⎭⎪⎪⇒⎬⎫⇒⎬⎪⊂⎭⎪⎪⎪⎪=⎭⊥平面⊥平面⊥平面⊥平面⊥平面⊥平面.（IV ）由（II）知，GF AE //，由（III）知，AE ⊥平面BCE ，所以GF ⊥平面BCE ，故GF 是三棱锥G BCF -的高，且112GF AE ==.由BC ⊥平面ABE BC BE ⇒⊥，则12BCF BCE S S =△△11122BC BE == ，所以1133G BCF BCF V S GF -== △.【提高题30】在R t ABC △中，90ABC ∠o＝，2AB ＝，BC ＝，D 为AC 的中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，如图（1）所示.现将ABD △沿BD 折起，使点A到1A 位置，且145A EF ∠=o，如图（2）所示.（I）求证：1A F BD ⊥；（II）求三棱锥1B AEF -的体积.【解析】（I）证明：∵BD AF ⊥，∴1BD AE ⊥，BD EF ⊥，又∵1A E EF E ＝，∴BD ⊥平面1A EF ，∵1A F ⊂平面1A EF ，∴1AF BD ⊥．（II）∵90ABC ∠=o，2AB =，BC =，∴4AC ==，∵D 为AC的中点，∴122BD AC AD AB ====，∴ABD △为正三角形，∴30BAF ∠=o，112BE BD ==，∴在R t ABF △中，23tan 2tan 303BF AB BAF ∠⨯o＝＝＝，在R t BEF △中，33EF ==，在1R t A BE △中，1A E ==，又145A EF ∠=o，∴1111sin 2A EF S A E EF A EF =∠= △13222324⨯=，又由（I）BE 为三棱锥1B A EF -的高，从而1B A EF V -111133412A EF S BE =⨯=⨯=△.【基础题31】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA PD =，60DAB ∠=o．（Ⅰ）证明：AD PB ⊥；（Ⅱ）若PB =2AB PA ==，求三棱锥P BCD -的体积．【解析】（Ⅰ）证明：取AD 的中点O ，连接PO ，BO ．因为PA PD =，所以AD PO ⊥．因为底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=o，所以AB BD =，所以AD BO ⊥，又PO BO O = ，所以AD ⊥平面POB ，因为PB ⊂平面POB ，所以AD ⊥PB ．（Ⅱ）因为2AB PA ==，所以PAD △、BAD △、BCD △均是边长为2的正三角形，所以PO BO==2DC BC ==，又PB =，所以222PB PO BO =+，所以PO BO ⊥，又AD BO O = ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO 是三棱锥P BCD -的高，所以13P BCD BCD V S PO -=11sin 60132DC BC PO ==o()．【提高题31】（2017年新课标II 卷，文）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==,90BAD ABC ∠=∠=o．求证：（Ⅰ）直线//BC 平面PAD ；（Ⅱ）若PCD △的面积为，求四棱锥P ABCD -的体积．【解析】（Ⅰ）证明：//BAD ABC BC AD BC PAD BC PAD AD PAD ∠=∠⇒⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭平面//平面平面.（Ⅱ）如图，取AD 的中点M ，连接PM CM ,，因为侧面PAD 为等边三角形，所以PM AD ⊥，又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD AD =，所以PM ⊥底面ABCD ，因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM CM ⊥．由题意知四边形ABCM 为正方形，则CM AD ⊥．设BC x =，则CM x =，CD =，PM =，2PC PD x ==，取CD 的中点N ，连接PN ，则PN CD ⊥，所以PN ，所以12PCD S ==△，解得2x =，于是2AB BC ==，4AD =，PM =12+32P ABCD V -==(24)．。

如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，90C ∠=，B 、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，3BD DC =，ABC ∆的周长为12．若一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点．(I) 求双曲线E 的方程；(II) 若一过点(,0)P m （m 为非零常数）的直线与双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且MP PN λ=，问在x 轴上是否存在定点G ，使()BC GM GN λ⊥-？若存在，求出所有这样定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】：(I) 设双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．由3BD DC =，得3()c a c a +=-，即2c a =．∴222||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ⎧-=⎪+=-⎨⎪-=⎩解之得1a =，∴2,3c b ==．∴双曲线E 的方程为2213yx -=．(II) 设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC GM GN λ⊥-．设直线的方程为x m ky -=，1122(,),(,)M x y N x y ．由MP PN λ=，得120y y λ+=．即12y y λ=- ①∵(4,0)BC =，1212(,)GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-，N B C O y x G M P∴()BC GM GN λ⊥-12()x t x t λ⇔-=-． 即12()ky m t ky m t λ+-=+-． ②把①代入②，得 12122()()0ky y m t y y +-+= ③ 把x m ky -=代入2213y x -=并整理得222(31)63(1)0k y kmy m -++-= 其中2310k -≠且0∆>，即213k ≠且2231k m +>． 212122263(1),3131km m y y y y k k --+==--． 代入③，得 2226(1)6()03131k m km m t k k ---=--，化简得 kmt k =． 当1t m =时，上式恒成立． 因此，在x 轴上存在定点1(,0)G m ，使()BC GM GN λ⊥-．。

高中数学每日试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列函数中，哪一个不是一次函数？A. y = 2x + 3B. y = 3x^2 - 1C. y = 4x - 5D. y = -x2. 若a、b、c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，根据勾股定理，这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的结果：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}4. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是：A. 0B. -4C. 4D. 无法确定5. 若sinθ = 1/√2，且θ在第一象限，那么cosθ的值是：A. 1/√2B. √3/2C. -1/√2D. -√3/2二、填空题（每题2分，共10分）6. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第5项a5的值是_________。

7. 函数y = log2(x)的定义域是_________。

8. 已知圆的半径为5，圆心到直线x + y - 7 = 0的距离是4，求圆与直线的位置关系是_________。

9. 已知正方体的棱长为a，求正方体的表面积S的公式是_________。

10. 若cosα = 1/3，且α在第一象限，求sinα的值是_________。

三、解答题（每题5分，共20分）11. 解不等式：2x^2 - 5x + 3 > 0。

12. 已知点A(-1, 2)，B(2, -1)，求直线AB的斜率k。

13. 证明：若a、b、c是正数，且a + b + c = 1，求证：1/a + 1/b + 1/c ≥ 9。

14. 已知函数f(x) = 3x - 2，求f(x)的反函数。

四、综合题（每题10分，共10分）15. 某工厂生产一种产品，每件产品的成本为20元，售价为40元。

(每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式必考考点训练单选题1、若关于x的不等式x2−6x+11−a<0在区间(2,5)内有解，则实数a的取值范围是（）A．(−2,+∞)B．(3,+∞)C．(6,+∞)D．(2,+∞)答案：D分析：设f(x)=x2−6x+11，由题意可得a>f(x)min，从而可求出实数a的取值范围设f(x)=x2−6x+11，开口向上，对称轴为直线x=3，所以要使不等式x2−6x+11−a<0在区间(2，5)内有解，只要a>f(x)min即可，即a>f(3)=2，得a>2，所以实数a的取值范围为(2,+∞)，故选：D2、不等式−x2+3x+18<0的解集为（）A．{x|x>6或x<−3}B．{x|−3<x<6}C．{x|x>3或x<−6}D．{x|−6<x<3}答案：A分析：根据二次不等式的解法求解即可.−x2+3x+18<0可化为x2−3x−18>0，即(x−6)(x+3)>0，即x>6或x<−3．所以不等式的解集为{x|x>6或x<−3}.故选：A3、要使关于x的方程x2+(a2−1)x+a−2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值范围是（）A．{a|−1<a<2}B．{a|−2<a<1}C．{a|a<−2}D．{a|a>1}答案：B分析：根据二次方程根的分布可得出关于实数a的不等式，由此可解得实数a的取值范围.由题意可得1+(a2−1)+a−2=a2+a−2<0，解得−2<a<1.故选：B.4、已知a,b为正实数，且a+b=6+1a +9b，则a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．12答案：B分析：根据题意，化简得到(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab，结合基本不等式，即可求解.由题意，可得(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab≥6(a+b)+16，则有(a+b)2−6(a+b)−16≥0，解得a+b≥8，当且仅当a=2，b=6取到最小值8.故选：B.5、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是（）A．90<a<100B．90<a<110C．100<a<110D．80<a<100答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100. 故选：A6、设实数x 满足x >0，函数y =2+3x +4x+1的最小值为（ ） A ．4√3−1B ．4√3+2C ．4√2+1D ．6 答案：A解析：将函数变形为y =3(x +1)+4x+1−1，再根据基本不等式求解即可得答案.解：由题意x >0，所以x +1>0， 所以y =2+3x +4x+1=2+3(x +1)−3+4x+1=3(x +1)+4x+1−1≥2√3(x +1)⋅4x+1−1=4√3−1，当且仅当3(x +1)=4x+1，即x =2√33−1>0时等号成立，所以函数y =2+3x +4x+1的最小值为4√3−1. 故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 7、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（ ）A ．{x|x >1或x <−16}B ．{x |−16<x <1 }C ．{x|x >1或x <−3}D ．{x |−3<x <2 } 答案：B分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案， 法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−16<x <1，故原不等式的解集为{x |−16<x <1 }．法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．8、已知−1≤x +y ≤1,1≤x −y ≤5，则3x −2y 的取值范围是（ ） A ．[2,13]B ．[3,13]C ．[2,10]D ．[5,10] 答案：A分析：设3x −2y =m (x +y )−n (x −y )=(m −n )x +(m +n )y ，求出m,n 的值，根据x +y,x −y 的范围，即可求出答案.设3x −2y =m (x +y )−n (x −y )=(m −n )x +(m +n )y ，所以{m −n =3m +n =−2，解得：{m =12n =−52,3x −2y =12(x +y )+52(x −y ), ，故选：A.9、已知函数y =ax 2+2bx −c(a >0)的图象与x 轴交于A (2,0)、B (6,0)两点，则不等式cx 2+2bx −a <0 的解集为（ ）A ．(−6,−2)B ．(−∞,16)∪(12,+∞)C ．(−12,−16)D ．(−∞,−12)∪(−16,+∞)答案：D解析：利用函数图象与x 的交点，可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，再利用根与系数的关系，转化为b =−4a ，c =−12a ，最后代入不等式cx 2+2bx −a <0，求解集. 由条件可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6， 则2+6=−2b a，2×6=−ca，得b =−4a ，c =−12a ，∴cx 2+2bx −a <0⇔−12ax 2−8ax −a <0， 整理为：12x 2+8x +1>0⇔(2x +1)(6x +1)>0， 解得：x >−16或x <−12，所以不等式的解集是(−∞,−12)∪(−16,+∞).故选：D小提示：思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示b =−4a ，c =−12a ，再代入不等式cx 2+2bx −a <0化简后就容易求解.10、已知x >2，则x +4x−2的最小值为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．2 答案：A分析：利用基本不等式可得答案.∵x >2，∴x −2>0，∴x +4x−2= x −2+4x−2+2≥2√(x −2)⋅4x−2+2＝6， 当且仅当x −2=4x−2即x =4时， x +4x−2取最小值6，故选：A ． 填空题11、设x 1、x 2、x 3、y 1、y 2、y 3是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3，x 1y 1+x 2y 3+x 3y 2，x 1y 2+x 2y 3+x 3y 1，x 1y 2+x 2y 1+x 3y 3，x 1y 3+x 2y 2+x 3y 1，x 1y 3+x 2y 1+x 3y 2，能同时取到150的代数式最多有________个． 答案：2分析：由作差法比较大小后判断 不妨设x 1<x 2<x 3，y 1<y 2<y 3，记x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3为①式，x 1y 1+x 2y 3+x 3y 2为②式，以此类推， 由①−②=x 2y 2+x 3y 3−x 2y 3−x 3y 2=(x 2−x 3)(y 2−y 3)>0，故①>②， ②−③=x 1y 1+x 3y 2−x 1y 2−x 3y 1=(x 1−x 3)(y 1−y 2)>0，故②>③， ①−④=x 1y 1+x 2y 2−x 1y 2−x 2y 1=(x 1−x 2)(y 1−y 2)>0，故①>④， 同理得，①>⑤，②>⑥，③>⑤，④>③，④>⑥，⑥>⑤， 综上可知①>②>③>⑤，①>④>③>⑤，且②>⑥>⑤，④>⑥>⑤， 最多有②④或③⑥两项可同时取150，令x 1y 1+x 2y 3+x 3y 2=x 1y 2+x 2y 1+x 3y 3=150， 得其一组解为{x 1=−1x 2=0x 3=1 ，{y 1=2y 2=152y 3=302所以答案是：212、函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是_____ 答案：3+2√3分析：利用基本不等式可求得原函数的最小值. 因为x >1，则x −1>0，所以y =3(x −1)+1x−1+3≥2√3(x −1)×1x−1+3=2√3+3，当且仅当3(x −1)=1x−1，因为x >1，即当x =3+√33时，等号成立.所以函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是2√3+3. 所以答案是：3+2√3.13、若函数f (x )=12x 2−x +a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1)，则a +b 的值为____.答案：92分析：根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为[1,b ](b >1)，列出相应方程组，求出a ，b 的值即可. 解：由函数f (x )=12x 2−x +a ，可得对称轴为x =1，故函数在[1,b ]上是增函数.∵函数f (x )=12x 2−x +a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1)， ∴ {f (1)=1f (b )=b ，即{12−1+a =112b 2−b +a =b. 解得a =32，b =1或b =3.∵ b >1，∴ b =3. ∴ a +b =32+3=92.914、已知x>0，则7−x−9x的最大值为________．答案：1分析：直接利用基本不等式求最大值.∵x>0，则7−x−9x =7−(x+9x)≤7−2√x⋅9x=1，当且仅当x=9x即x=3时取等号．所以答案是：115、a>b>c，n∈N∗，且1a−b +1b−c≥na−c恒成立，则n的最大值为__．答案：4分析：将不等式变形分离出n，不等式恒成立即n大于等于右边的最小值；由于a−c=a−b+b−c，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．解：由于1a−b +1b−c≥na−c恒成立，且a>c即n≤a−ca−b +a−cb−c恒成立只要n≤a−ca−b +a−cb−c的最小值即可∵a−c a−b +a−cb−c=a−b+b−ca−b+a−b+b−cb−c=2+b−ca−b+a−bb−c∵a>b>c∴a−b>0，b−c>0，故(a−ca−b +a−cb−c)≥4，因此n≤4所以答案是：4．16、x−y≤0，x+y−1≥0，则z=x+2y的最小值是___________.3分析：分析可得x +2y =32(x +y )−12(x −y )，利用不等式的基本性质可求得z =x +2y 的最小值.设x +2y =m (x +y )+n (x −y )=(m +n )x +(m −n )y ，则{m +n =1m −n =2 ，解得{m =32n =−12， 所以，z =x +2y =32(x +y )−12(x −y )≥32， 因此，z =x +2y 的最小值是32.所以答案是：32.17、若正数a ，b 满足1a+1b =1，则4a−1+16b−1的最小值为__．答案：16分析：由条件可得1b−1=ab ，1a−1=ba ，代入所求式子，再由基本不等式即可求得最小值，注意等号成立的条件. 解：因为正数a ，b 满足1a +1b =1， 则有1a=1−1b=b−1b，则有1b−1=a b，1b=1−1a =a−1a，即有1a−1=ba ，则有4a−1+16b−1=4b a+16a b≥2√4b a⋅16a bb=16，当且仅当4b a =16a b即有b ＝2a ，又1a +1b =1，即有a =32，b ＝3，取得最小值，且为16． 所以答案是：16．18、已知a,b,a +m 均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a >b ,②a <b ,③m >0,④m <0,⑤b+ma+m >ba .以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.解析：选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一. 已知a,b,a+m均为大于0的实数,选择①③推出⑤.①a>b，③m>0，则b+ma+m −ba=ab+am−ab−bma(a+m)=am−bma(a+m)=(a−b)ma(a+m)>0，所以b+ma+m >ba.所以答案是：①③推出⑤小提示：此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.19、已知a,b,c均为正实数，且aba+2b ⩾13,bcb+2c⩾14,cac+2a⩾15，那么1a+1b+1c的最大值为__________．答案：4分析：本题目主要考察不等式的简单性质，将已知条件进行简单变形即可因为a,b,c均为正实数，所以由题可得：0<a+2bab ≤3,0<b+2cbc≤4,0<c+2aac≤5，即0<1b+2a≤3，0<1c+2b≤4，0<1a +2c≤5，三式相加得：0<3(1a+1b+1c)≤12，所以0<1a+1b+1c≤4所以1a +1b+1c的最大值为4所以答案是：420、设x>0,y>0,x+2y=5，则√xy的最小值为______. 答案：4√3分析：把分子展开化为2xy+6，再利用基本不等式求最值．∵√xy =√xy,∵x>0,y>0,x+2y=5,xy>0,∴√xy ≥√3√xy√xy=4√3，当且仅当xy=3，即x=3,y=1时成立，故所求的最小值为4√3．小提示：使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．解答题21、设a∈R，关于x的二次不等式ax2−2x−2a>0的解集为A，集合B={x|1<x<2}，满足A∩B≠∅，求实数a的取值范围.答案：(−∞,−2)∪(2,+∞)分析：由题意a≠0，求出方程ax2−2x−2a=0的两根，讨论a的正负，确定二次不等式的解集A的形式，然后结合数轴列出不等式求解即可得答案.解：由题意a≠0，令ax2−2x−2a=0，解得两根为x1=1a −√2+1a2,x2=1a+√2+1a2，由此可知x1<0,x2>0，当a>0时，解集A={x|x<x1}∪{x|x>x2}，因为x1<0,x2>1，所以A∩B≠∅的充要条件是x2<2，即1a+√2+1a2<2，解得a>2；当a<0时，解集A={x|x1<x<x2}，因为x1<0,x2<2，所以A∩B≠∅的充要条件是x2>1，即1a+√2+1a2>1，解得a<−2；综上，实数a的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞).22、已知不等式（1+k2）x≤k4+k2+6，其中x，k∈R．(1)若x＝4，解上述关于k的不等式；(2)若不等式对任意k∈R恒成立，求x的最大值．答案：(1){x|−1≤k≤1或k≤−√2或k≥√2}(2)2√6−1分析：（1）将x＝4代入不等式化简可得，（k2−2)(k2−1）≥0，利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）利用换元法，令t=1+k2≥1，将问题转化为x≤t+6t−1对任意t≥1恒成立，利用基本不等式求解t+6t−1的最小值，即可得到x的取值范围，从而得到答案．（1）若x＝4，则不等式（1+k2）x≤k4+k2+6变形为k4﹣3k2+2≥0，即(k2−2)(k2−1)≥0，解得k2≤1或k2≥2，所以−1≤k≤1或k≤−√2或k≥√2，故不等式的解集为{x|−1≤k≤1或k≤−√2或k≥√2}；（2）令t=1+k2≥1，则不等式（1+k2）x≤k4+k2+6对任意k∈R恒成立，等价于x≤k 4+k2+6k2+1=t+6t−1对任意t≥1恒成立，因为t+6t −1>2√t−6t−1=2√6−1，当且仅当t=6t，即t＝√6≥1时取等号，所以x≤2√6−1，故x的最大值为2√6−1．。

高中数学高考复习每日一题（整理）高中数学高考复习每日一道好题11．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++u u u ru u u r u u u r u u u r ,由系数和1x y x y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1AP x y AQ +=<u u u ru u u r ．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈．解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 个．答案：30个高中数学高考复习每日一道好题21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为 ． 【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数；当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-L 时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+L ,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有 种． 答案：192种a1．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为 ． 解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE 所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 种． 答案：30种高中数学高考复习每日一道好题41． 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A 之间的最短距离为a 的所有值为 ．解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为0x >，则12x x+≥，分两种情况：（1）当2a ≥时，min AP ==，则a =（2）当2a <时，min AP =1a =-2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种． 答案：90种1．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1y x =，22y x =-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令222080222y x mx mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩， 所以22y x =+是与1y x =平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d = 所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为42． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 种． 答案：140种高中数学高考复习每日一道好题61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（ ） A ．1r 和2r 中的较大者 B ．1r 和2r 中的较小者C ．12r r +D ．12r r - 解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C e 与12,O O e e 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=- 若C e 与12,O O e e 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+ 因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21r r >，则12212e e r e e += 2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有 种． 答案：6种高中数学高考复习每日一道好题71． 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x=+-，则()f e = ．解：()222,x y c M a b by x a ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩1F M b k a c =+，所以ON b k a c =+，所以ON 的方程为b y x a c=+， 所以22221x y a a c a b N b y xa c ⎧-=⎪⎛⎫+⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩又N 在圆222x y c +=上，所以222a a c c ⎛⎫⎛⎫++= 所以322220e e e +--=，所以()2222f e e e e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个． 答案：28个1． 已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191a b+=，则c 的取值范围是 ．解：由题意知，,a c b c ≤≤，故1919101a b c c c =+≥+=，所以10c ≥ 又因为a b c +>，而()1991016baa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2． 从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种． 解： 48种高中数学高考复习每日一道好题91．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =u u u r u u u rg 时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20OA OC =u u u r u u u rg 得：522cos λθ=+所以()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++--2． 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 种． 答案：20种1．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,2AC BC ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC ∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是 ． 解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ， 设'BCD B CD α∠=∠=，则有'2sin ,2cos ,2B E CE ACE πααα==∠=-在AEC ∆中由余弦定理得22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'RT AEB ∆中由勾股定理得22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'AB 取得最小值为72．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有 种． 答案：45种高中数学高考复习每日一道好题111．已知函数()421421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ．解：()421111421212x x x x x x k k f x +⋅+-==+++++ 令()110,13212x x g x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++当1k ≥时，()213k f x +<≤，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤ 当1k <时，()213k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤<综上可得，142k -≤≤2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 种． 答案：55种高中数学高考复习每日一道好题121．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以()0f x <的解集为()1,1a a -+所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+所以11a -≥+，即2a ≤-2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有 种．答案：31116322C C C C 种高中数学高考复习每日一道好题131．已知定义在R上的函数()f x满足①()()20f x f x+-=；②()()20f x f x---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]21,1,01,0,1x xf xx x⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则函数()f x与函数()122,0log,0x xg x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为．2．若5(1)ax-的展开式中3x的系数是80，则实数a的值是．答案：2高中数学高考复习每日一道好题141．()f x是定义在正整数集上的函数，且满足()12015f=，()()()()212f f f n n f n+++=L，则()2015f=．解：()()()()212f f f n n f n+++=L，()()()()()212111f f f n n f n+++-=--L两式相减得()()()()2211f n n f n n f n=---所以()()111f n nf n n-=-+所以()()()()()()()()201520142201420132012121 201512015201420131201620152014320161008f f ff ff f f=⋅⋅=⋅⋅⋅==L2． 某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号 1 2 3 4 5 6 节目如果A 、B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式 有 种． 答案：144种高中数学高考复习每日一道好题151． 若,a b r r 是两个非零向量，且a b a bλ==+r r r r，3,1λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则b r 与a b -r r 的夹角的取值范围是 ．解：令1a b ==r r ，则1a b λ+=r r设,a b θ=r r ，则由余弦定理得()22221111cos 1cos 22λπθθλ+--==-=- 又3,1λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦r r r2． 若()11n x -的展开式中第三项系数等于6，则n = ．答案：12高中数学高考复习每日一道好题161． 函数()22f x x x =+，集合()()(){},|2A x y f x f y =+≤，()()(){},|B x y f x f y =≤，则由A B I 的元素构成的图形的面积是 ． 解：()()(){}()()(){}22,|2,|114A x y f x f y x y x y =+≤=+++≤()()(){}()()(){},|,|22B x y f x f y x y x y x y =≤=-++≤画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=2． 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式 种． 答案：1680种高中数学高考复习每日一道好题171． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，112AE AB =u u u ru u u ur ，在面ABCD 中取一个点F ，使1EF FC +u u u ru u u u r最小，则这个最小值为 ．解：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD 于一点，即为所求点F ，使1EF FC +u u u r u u u u r最小．其最小值就是2EC ． 连接212,AC B C ，计算可得21213,5,2AC B C AB ===，所以12AB C ∆为直角三角形，所以2142EC =2． 若()62601261mx a a x a x a x +=++++L 且123663a a a a ++++=L ，则实数m 的值为 ． 答案：1或-31． 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q ．若点P 是线段1FQ 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于 ． 解法一：由题意1F P b =，从而有2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P为1FQ 的中点，()1,0F c -，所以222,a ab Q c cc ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 所以222ab b a c c a c ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，整理得224a c =，所以2e = 解法二：由图可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ 是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=o ，所以2e = 解法三：设(),,0Q am bm m >，则()1,QF c am bm =---u u u r，()2,QF c am bm =--u u u u r由()()12,,0QF QF c am bm c am bm ⊥⇒-----=u u u r u u u u r，解得1m =所以(),Q a b ，,22a c b P -⎛⎫⎪⎝⎭ 所以22bb a ca -=-⋅，即2c a =，所以2e = 2． 现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为 ． 答案：181． 已知O 为坐标原点，平面向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r满足：24OA OB ==u u u r u u u r ，0OA OB =u u u r u u u rg ，()()20OC OA OC OB --=u u u r u u u r u u u r u u u rg ，则对任意[]0,2θπ∈和任意满足条件的向量OC u u u r ，cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅u u u r u u u r u u u r的最大值为 ．解：建立直角坐标系，设()()(),,4,0,0,2C x y A B 则由()()20OC OA OC OB --=u u u r u u u r u u u r u u u rg ，得22220x y x y +--=cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅=u u u r u u u r u u u r等价于圆()()22112x y -+-=上一点与圆2216x y +=上一点连线段的最大值即为42． 已知数列{n a }的通项公式为121n n a -=+，则01na C +12n a C +33n a C +L +1n n n a C += ．答案：23n n +高中数学高考复习每日一道好题201． 已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是 ．解：因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0ax by c ++=变形为2()20ax a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -画出图象可得90PMQ ∠=o ，25PQ = 点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN 的长度满足55FN MN FN -≤≤+ 即5555MN -≤≤+2． 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 个． 答案：48高中数学高考复习每日一道好题211． 已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()()2502161122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ．解：设()t f x =，问题等价于()20g t t at b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<<所以()()0091014504g g h a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩综上， 5924a -<<-或914a -<<-2． 在243()x x +的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 项．答案：5高中数学高考复习每日一道好题221． 已知椭圆221:132x y C +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y C x y 是2C 上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是 ． 解：由题意22:4C y x =设:(2)1AB l x m y =-+代入22:4C y x =，得()24840y my m -+-= 所以142y m =-，()()2144121x m m m =-+=-设()21:(42)21BC l x y m m m=--++-代入22:4C y x =，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=-所以(][)2442,610,y m m=--+∈-∞-+∞U2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答) 答案：72高中数学高考复习每日一道好题231． 数列{}n a 是公比为23-的等比数列，{}n b 是首项为12的等差数列．现已知99a b >且1010a b >，则以下结论中一定成立的是 ．（请填上所有正确选项的序号）①9100a a <；②100b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}n a 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：当10a >时，2120,0k k a a -><；当10a <时，2120,0k k a a -<>；所以9100a a <是正确的；当10a >时，100a <，又1010a b >，所以100b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >当10a <时，90a <，又99a b >，所以90b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >综上可知，①③一定是成立的．2． 设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为 ． 答案：150高中数学高考复习每日一道好题241． 已知集合(){}2,|21A x y y x bx ==++，()(){},|2B x y y a x b ==+，其中0,0a b <<，且A B I 是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为 ．解：()()()2221221202y x bx x b a x ab y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩ ()()2222241201b a ab a b ∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧¼MPN （红色）． 此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧¼MPN上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（¼ABO 与¼ODE ）加上一个四分之一圆（AOEF ），即图中被绿实线包裹的部分。

第四周[周一]1．(2022·菏泽模拟)在①3a cos A ＋B 2＝c sin A ；②3a ＝3c cos B ＋b sin C ；③cos 2A －cos 2C ＝sin 2B －sin A sin B ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，c ＝3，________，求a ＋2b 的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解 若选①：3a cos A ＋B 2＝c sin A ， ∵A ＋B ＋C ＝π，∴由已知条件得3sin A sin C 2＝sin C sin A ， 由sin A ≠0， 得3sin C 2＝2sin C 2cos C 2， 由sin C 2≠0，得cos C 2＝32， ∵C ∈(0，π)， ∴C 2＝π6，即C ＝π3， 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2， ∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，∴a ＋2b ＝2sin A ＋4sin B＝2sin A ＋4sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3 ＝2sin A ＋4⎝⎛⎭⎫12sin A ＋32cos A ＝4sin A ＋23cos A＝27sin(A ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝37，cos φ＝27， ∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3， ∴存在A ，使得A ＋φ＝π2， 此时a ＋2b 取得最大值为27.若选②：3sin A ＝3sin C cos B ＋sin B sin C ，∵A ＋B ＋C ＝π， ∴3sin(B ＋C )＝3sin C cos B ＋sin B sin C ，即3(sin B cos C ＋cos B sin C )＝3sin C cos B ＋sin B sin C ， 化简得3sin B cos C ＝sin B sin C ，由sin B ≠0，得tan C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. 下同①.若选③：cos 2A －cos 2C ＝sin 2B －sin A sin B ，即1－sin 2A －(1－sin 2C )＝sin 2B －sin A sin B ，即sin 2C －sin 2A ＝sin 2B －sin A sin B ，由正弦定理得c 2－a 2＝b 2－ab ，∴由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. 下同①.[周二]2．已知数列{a n }满足a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，n ∈N *，且a 1＝1，a 5＋a 7＝22.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记在区间(3m ，3m ＋1)(m ∈N *)上，{a n }的项数为b m ，求数列{b m }的前m 项和．解 (1)由题意知a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，则{a n }为等差数列，设其公差为d ，由a 5＋a 7＝22，得a 1＋4d ＋a 1＋6d ＝22，又a 1＝1，∴d ＝2，则a n ＝2n －1.(2)由题意得，b m ＝3m ＋1－3m2－1＝3m －1， ∴b 1＋b 2＋…＋b m＝(31－1)＋(32－1)＋…＋(3m －1)＝31＋32＋…＋3m －m＝3×1－3m1－3－m ＝3m ＋12－m －32. [周三]3．(2022·临沂模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1D 1的中点，过AB 1E 的平面截此正方体，得到如图所示的多面体，F 为棱CC 1上的动点．(1)点H 在棱BC 上，当CH ＝14CB 时，FH ∥平面AEB 1，试确定动点F 在棱CC 1上的位置，并说明理由；(2)若AB ＝2，求点D 到平面AEF 的最大距离．解 (1)设平面BCC 1B 1与平面AEB 1的交线为l ，因为FH ∥平面AEB 1，平面BCC 1B 1∩平面AEB 1＝l ，FH ⊂平面BCC 1B 1，所以FH ∥l .由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知，平面ADD 1E ∥平面BCC 1B 1，又因为平面ADD 1E ∩平面AEB 1＝AE ，所以AE ∥l ，所以AE ∥FH ，如图，取BC 的中点G ，连接C 1G ，易知AE ∥GC 1，所以GC 1∥FH ，又因为H 为CG 的中点，所以F 为CC 1的中点．(2)如图，以点D 为原点，DA →，DC →，DD 1——→分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，E (1,0,2)，设F (0,2，t )，t ∈[0,2]，AE →＝(－1,0,2)，AF →＝(－2,2，t )，DA →＝(2,0,0)，设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＋tz ＝0， 不妨取x ＝2，则n ＝⎝⎛⎭⎫2，2－t 2，1， 所以点D 到平面AEF 的距离d ＝|DA →·n ||n |＝45＋⎝⎛⎭⎫2－t 22＝414(t －4)2＋5≤263， 当t ＝2，即点F 与点C 1重合时，取等号．所以点D 到平面AEF 的最大距离为263.[周四]4．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)与圆O ：x 2＋y 2＝12相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2 2.F 是抛物线C 的焦点，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点M ，N .(1)求抛物线C 的方程； (2)过点M ，N 作抛物线C 的切线l 1，l 2，P (x 0，y 0)是l 1，l 2的交点，求证：点P 在定直线上．(1)解 因为点A 的横坐标为22，且点A 在圆O 上，所以点A 的坐标为A (22，2)，代入抛物线方程得p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y .(2)证明 抛物线C ：y ＝x 24，则y ′＝x 2， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以切线PM 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)， 即y ＝x 12·x －x 214， 同理切线PN 的方程为y ＝x 22·x －x 224， 联立解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 24， 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0，所以x 1x 2＝－4，所以点P 在定直线y ＝－1上，结论得证．[周五]5．(2022·福州模拟)某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加n (n ∈N *，且n ≥2)次抽奖，每次中奖的概率为13，不中奖的概率为23，且各次抽奖相互独立．规定第1次抽奖时，若中奖则得10分，否则得5分．第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个：方案①：若中奖则得30分，否则得0分；方案②：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分．第3次开始执行第2次抽奖所选方案，直到抽奖结束．(1)如果n ＝2，以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？并说明理由；(2)记顾客甲第i 次获得的分数为X i (i ＝1,2，…，n )，并且选择方案②.请直接写出E (X i ＋1)与E (X i )的递推关系式，并求E (X 8)的值．(精确到0.1，参考数据：⎝⎛⎭⎫237≈0.059.)解 (1)若甲第2次抽奖选方案①，两次抽奖累计积分为ξ，则ξ的可能取值为40,35,10,5.P (ξ＝40)＝13×13＝19， P (ξ＝35)＝23×13＝29， P (ξ＝10)＝13×23＝29，P (ξ＝5)＝23×23＝49， 所以E (ξ)＝40×19＋35×29＋10×29＋5×49＝1509＝503. 若甲第2次抽奖选方案②，两次抽奖累计积分为η，则η的可能取值为30,15,10，则P (η＝30)＝13×13＝19， P (η＝15)＝23×13＋13×23＝49， P (η＝10)＝23×23＝49， E (η)＝30×19＋15×49＋10×49＝1309， 因为E (ξ)>E (η)，所以应选择方案①.(2)依题意得E (X i ＋1)＝5×23＋2E (X i )·13＝23E (X i )＋103， X 1的可能取值为10,5，其分布列为所以E (X 1)＝203， 则E (X 1)－10＝－103， 由E (X i ＋1)＝23E (X i )＋103得 E (X i ＋1)－10＝23[E (X i )－10]， 所以{E (X i )－10}为等比数列．其中首项为－103，公比为23. 则E (X i )－10＝－103×⎝⎛⎭⎫23i －1， 所以E (X 8)－10＝－103×⎝⎛⎭⎫237，故E (X 8)＝－103×⎝⎛⎭⎫237＋10≈9.8. [周六]6．(2022·江门模拟)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋2x－5. (1)证明：f (x )<x ；(2)若函数f (x )的图象与g (x )的图象有两个不同的公共点，求实数a 的取值范围．(1)证明 要证f (x )<x ，即证当x ∈(0，＋∞)时，不等式ln x －x <0恒成立．令F (x )＝ln x －x ，则F ′(x )＝1x －12x ＝2－x 2x， 故当0<x <4时，F ′(x )>0，F (x )单调递增；当x >4时，F ′(x )<0，F (x )单调递减．则F (x )max ＝F (4)＝ln 4－2<0，故f (x )<x .(2)解 由f (x )＝g (x )可得a ＝ln x x ＋5x －2x2 ＝x ln x ＋5x －2x 2， 构造函数h (x )＝5＋ln x x －2x2，其中x >0， 则h ′(x )＝1x ·x －(5＋ln x )x 2＋4x3 ＝4－4x －x ln x x 3， 当0<x <1时，4－4x >0，ln x <0，则h ′(x )>0，此时函数h (x )单调递增，当x >1时，4－4x <0，ln x >0，则h ′(x )<0，此时函数h (x )单调递减，所以h (x )max ＝h (1)＝3，令φ(x )＝x ln x ＋5x －2，则当x >1时，φ(x )>5x －2>0，当0<x <25时，φ(x )<5x －2<0，故存在x 0∈⎝⎛⎭⎫25，1，使得φ(x 0)＝0，即h (x 0)＝0，作出函数h (x )与y ＝a 的图象如图所示，由图可知，当0<a <3时，函数h (x )与y ＝a 的图象有2个交点， 因此，实数a 的取值范围是(0,3)．。

1．330cos =( )A ．23-B ．21- C ．21 D ．23 2．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数2)21(2-==x xy y 与函数的图象关于（ ）A.直线x = 1对称B.直线x = 2对称C.点（1，0）对称D.点（2，0）对称4．已知向量x b b a x x b x a 则若其中,//)2(,1),1,(),21,8(+>==的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．85．已知等比数列8050202991,01610,,0,}{a a a x x a a a a n n 则的两根为方程中=+->的值为A ．32B ．64C ．128D ．2566．若ααπααsin cos ,22)4sin(2cos +-=-则的值为（ ） A.27- B.21- C.21 D.277．函数x e x f x1)(-=的零点个数为 。

8．若βαβαβαtan tan ,53)cos(,51)cos(⋅=-=+则= 。

9．等差数列1815183,18,6,}{S S S S S n a n n 则若项和为的前=--== 。

10．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数)20()sin(πϕϕω<≤++=B x A y ，则温度变化曲线的函数解析式为 。

11.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，.21,53cos -=⋅=BC AB B 且（I ）求△ABC 的面积； （II ）若a = 7，求角C.1．设集合{2,1,0,1,2},{|12},()S T x R x ST =--=∈+≤=S 则C （ ）A ．∅B ．{2}C ．{1,2}D ．{0,1,2}2．已知向量(1)(12)n n ==--，，，a b ，若a 与b 共线，则n 等于（ ）A ．1BC ．2D ．43．函数221y x x =++在x =1处的导数等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．设p ：0m ≤，q ：关于x 的方程20x x m +-=有实数根，则p ⌝是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．一个四边形的四个内角成等差数列，最小角为40，则最大角为（ ）A ．140B ．120C ．100D ．806已知函数f (x )在区间 [a ，b ]上单调，且f (a )•f (b )<0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内( ) A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有惟一实根7．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（ ）A ．2只笔贵B ．3本书贵C ．二者相同D ．无法确定 8．函数3()31f x x x =-+的单调减区间是 ；9．定义在R 上的奇函数f (x )满足(1)()f x f x +=-，若(0.5)1,f =则(7.5)f =________； 10．已知0>a ，函数ax x x f -=3)(在[)∞+,1上是单调增函数，则a 的最大值是11.已知函数⎩⎨⎧<+≥-=10)]5([103)(n n f f n n n f ，其中*∈N n ，则)8(f 的值为 12．已知，圆C ：012822=+-+y y x ，直线l ：02=++a y ax .(1) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且22=AB 时，求直线l 的方程.1、已知集合{}12S x x =∈+≥R ，{}21012T =--，，，，，则S T =（ ）A ．{}2B ．{}12，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，2. 函数2log 2-=x y 的定义域是（ ） A.),3(+∞ B.),3[+∞ C.),4(+∞ D.),4[+∞3．在等比数列}{n a 中，123401,9n a a a a a >+=+=且，则54a a +的值为 （ ）A ．16B ．27C ．36D ．814．若直线0201)1(22=-+=+++x y x y x a 与圆相切，则a 的值为 （ ）A ．1，－1B ．2，－2C ．1D ．－15a b =3b a -=7,则向量a与向量b 的夹角是（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π6．1-=a 是直线03301)12(=++=+-+ay x y a ax 和直线垂直的 （ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要的条件7、函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）8．已知53)4cos(=+x π，则x 2sin 的值为（ ） A.2524- B.257- C.2524 D.257 9、已知函数()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---= ．10、已知236,-0,30x y x y z x y y +≤⎧⎪≥=-⎨⎪≥⎩则.的最大值为 。

2016-2017学年高中数学每日一题（5月1日-5月7日）文新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学每日一题（5月1日-5月7日）文新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学每日一题（5月1日-5月7日）文新人教A版选修1-1的全部内容。

5月1日 椭圆的方程及几何性质高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆（1）已知直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为A ．13B ．12C ．23D ．34（2）设1F ,2F 是椭圆22221x ya b+=的两个焦点，P 是椭圆上的点,12:||:||21PF PF =,且12PF F △为直角三角形，则椭圆的离心率为 A．3或2B．3或3C．3或3D．5或3【参考答案】(1)B ；（2）C ．【试题解析】（1)设椭圆的左焦点为F ,上顶点为B ，过原点O 作OD ⊥BF 于点D ,由题意得，OF c =,OB b =，11242OD b b =⨯=，在Rt OFB △中，||||||||OF OB BF OD ⨯=⨯,且222a b c =+，代入解得224a c =，所以椭圆得离心率得12e =，故选B ． (2）由1212||||2||:||2:1PF PF aPF PF +=⎧⎨=⎩可得124||32||3a PF aPF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,①若12F PF ∠为直角，则222212124||||||()3a PF PF F F +=⇒222()(2)3a c e +=⇒=;②若21PF F ∠为直角，则2222212212||||||(2)()3a F F PF PF c +=⇒+24()33a e =⇒=．故选C ． 【解题必备】（1)求椭圆的方程有两种方法：①定义法，先由焦点坐标确定方程形式,再由椭圆的定义求出a ；然后由222b ac =-求出b ；②待定系数法,这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤：先确定焦点位置，然后设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)，最后根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程（组）时常用的关系式有222b a c=-,cea=等．（2）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使不画出图形，思考时也要联想到图形．理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系,深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了．(3）离心率是椭圆的重要几何性质，也是高考命题的重点，求解方法一般有两种：①易求a，c，代入cea=求解；易求b，c，由22ceb c=+求解；易求a，b，由22a bea-=求解．②列出含a，c的齐次方程，列式时常用公式22b a c=-代替式子中的b，然后将等式两边同时除以a的n次方(一般除以a或a2)，从而利用cea=转化为含e的方程，解方程即可．但应注意01e<<．1．直线3y x=-与椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>交于A，B两点,以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为A．3B．31-C．31-D．423-2．已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点，,A B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF x⊥轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为A．13B．12C．23D．343．已知椭圆C经过(2,2)，(2,3)两点，则椭圆C的标准方程为______________．1．C 【解析】设椭圆22221x ya b+=的左、右焦点分别为F1,F2，由题意可得21OF OA OB OF c====，由3y x=得∠AOF2=2π3，∠AOF1=π3，∴23AF c=,1AF c=．由椭圆定义知，122AF AF a +=，∴2c a =，∴1ce a==．故选C ． 2．A 【解析】由题意设直线l 的方程为()(0)y k x a k =+>，分别令x c =-与0x =得点||()FM k a c =-，||OE ka =，由//OE MF ，可得1||||2||||OE OB FM BF =，即2()ka a k a c a c=-+，整理得13c a =，所以椭圆C 的离心率13e =．故选A ． 3．22184x y += 【解析】方法1：若焦点在x 轴上,设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知条件得2222421231a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2284a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以所求椭圆的标准方程为22184x y +=．若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)y x a b a b +=>>．由已知条件得2222241321a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得2248a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由于22a b <，与a b >矛盾，故舍去．综上，所求椭圆的标准方程为22184x y +=．方法2：设椭圆的一般方程为22001()Ax By A B A B >>+=≠,,．将点，代入一般方程，得421231A B A B +=⎧⎨+=⎩，解得18A =，14B =，所以所求椭圆的标准方程为22184x y +=．5月2日 双曲线的方程及几何性质高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆（1）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为A ．1422=-y x B ．1422=-y xC ．15320322=-y xD ．12035322=-y x （2)已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为AB ．32CD ．2【参考答案】（1）B;(2）A ．【试题解析】(1）由题意得2212,11241b x yc a b a ==⇒==⇒-=，故选B ．（2）因为1MF 垂直于x 轴，所以2212,2b bMF MF a a a ==+,因为211sin 3MF F ∠=，即22121(2)3MF b b a MF a a =÷+=，化简得b a =，故双曲线离心率e ==A ． 【解题必备】（1）双曲线标准方程的求解方法是“先定型，后计算”．所谓“定型”,是指确定类型,也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式；所谓“计算”,是指利用待定系数法求出方程中的2a ,2b 的值，最后写出双曲线的标准方程．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置,则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为220()1Ax By AB +=<．（2）考查双曲线的渐近线，一般有两种题型:①已知双曲线的方程求其渐近线方程；②给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a ，b 的关系，结合已知条件可解．与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22221y x a b -=（a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0)y x a bλλ-=≠． （3）求解双曲线的离心率一般有两种方法：①直接求出a ，c 的值，或由条件寻找a ,c 所满足的等式（或不等式),常用的公式变形为2211()1()c be a ab c==+=-，其中a ＞0，b ＞0;②依据条件列出含a ，c 的齐次方程,利用c e a=转化为含e 或e 2的方程,解方程即可，注意依据e ＞1对解进行取舍．（4)求双曲线离心率的范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想方设法转化为关于a ，b ,c 的不等关系，结合222c a b =+和c e a =得到关于e 的不等式，然后求解即可．1．已知0a b >>，椭圆1C 的方程为221x y a b +=，双曲线2C 的方程为221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积为154，则2C 的渐近线方程为 A ．20x y ±= B ．20x y ±= C ．20x y ±= D ．20x y ±=2．过双曲线C ：22221x y a b-=的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为A ．221412x y -=B ．22179x y -=C ．22188x y -=D ．221124x y -=3．（1）已知双曲线E :22x a–22y b =1(a 〉0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3｜BC |，则E 的离心率为______________；（2）已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为______________．1．C 【解析】由题意得1c =，2c =1212c c e e a a =⨯==，整理得12b a =，所以2C 的渐近线方程为b y x a =±，即12y x =±，即20x y ±=．故选C ．2．A 【解析】设双曲线的右焦点为F ，则F (c ，0)（其中c =4c OF r ===． 不妨将直线x a =代入双曲线的一条渐近线方程by x a=，得y b =,则A (a ，b )．由4FA r ==,4=,即2281616a a b -++=，所以280c a -=,由4c =解得2a =，所以22216412b c a =-=-=，故所求双曲线的方程为221412x y -=．故选A ．3．2 [2)+∞，【解析】（1）依题意，不妨设6,4AB AD ==，则24c =，故2c =，12|||a DF =-1|||532DF =-=,1a =,故离心率221c a ==． (2)当渐近线by x a=与直线l 平行,或渐近线从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，所以b a ≥22224c a b a =+≥,所以2ce a=≥．故双曲线离心率的取值范围为[2)+∞，．5月3日 抛物线的方程及几何性质高考频度:★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆（1）过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于11(,)P x y ，22(,)Q x y 两点，若122x x +=,4PQ =，则抛物线的方程是A ．24x y =B ．28y x =C ．22y x =D ．24y x =（2）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线AB 交抛物线于点A ，B ,交抛物线的准线于点C ，若55BF BC=，则AB =A ．4B ．5C ．6D ．7【参考答案】(1)D ；（2）B ．【试题解析】（1）易知抛物线开口向右．过点P 作准线l 的垂线，垂足为A ,垂线交y 轴于点B ,再过点Q 作准线l 的垂线，垂足为C ，垂线交y 轴于点D ．由抛物线定义可知，4PA QC +=，2PB QD +=，故2AB CD +=，故2p AB CD =+=，故抛物线的方程为24y x =．故选D ．（2)设直线AB 的倾斜角为α，11(,)A x y ，22(,)B x y ，过点B 作准线的垂线，垂足为D ，则||BD BF =，那么5cos 5BD BF BCBCα===，易得tan 2α=,于是直线AB 的方程为)21(y x =-，代入24y x =，得2310x x -+=，故123x x +=,所以1225AB x x =++=．故选B ．【解题必备】(1）求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是确定焦点位置，从而确定方程的类型．由于标准方程中只有一个参数p ，所以只需要一个条件就可以确定抛物线的标准方程．（2）与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p 与交点横（纵)坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差,这是正确解题的关键．解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用,解题时，设出直线与抛物线的两交点的坐标,根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长,再利用已知条件求解．（3）解决与抛物线的几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形,思考时也要联想到图形．当涉及顶点、焦点、准线、范围等抛物线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系． 1．如果12,,,n P P P 是抛物线24C y x =：上的点，它们的横坐标依次为12,,,n x x x ,F 是抛物线C的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=A ．10n +B ．20n +C ．210n +D ．220n +2．设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =0()k xk >与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =A ．12B ．1C ．32D ．23．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．已知｜AB ｜=42，｜DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为A ．2B ．4C ．6D ．81．A 【解析】抛物线24C y x =：的焦点为(10)F ,,准线为1x =-,根据抛物线的定义，1,2()i P n i =,,到焦点F 的距离等于i P 到准线的距离，即(11,2)i i i PF x n =+=,,，所以12n PF P F P F +++=1212()(1)(1)1()10n n x x x x x x n n ++++++=++++=+．故选A ．2．D 【解析】因为F 抛物线24y x =的焦点，所以(1,0)F ，又因为曲线(0)ky k x=>与C 交于点P ,PF x ⊥轴,所以21k=，所以2k =,选D ． 3．B 【解析】设抛物线方程为22y px =，,AB DE 分别交x 轴于点,M N ，则22AM =A 点纵坐标为，点A 横坐标为4p ，即4OM p =，DN =,=2pON ，由勾股定理知22AM OM +=22AO r =,2222DN ON DO r +==，即22224()()2p p+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4,故选B ．5月4日 抛物线中的最值问题高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆（1）抛物线24y x =上的动点到准线的距离与到直线23y x =+的距离之和的最小值为 A ．1B ．2C ．3D ．5（2)已知点P 在抛物线28x y =上，点(2,4)A -，F 是焦点，则||||PF PA +的最小值为_____________．【参考答案】（1）D ；（2）6．【试题解析】（1）由抛物线24y x =知,抛物线的焦点为(1,0)F ,准线方程为1x =-，设抛物线上的动点P 到准线的距离为1d ，点P 到直线23y x =+的距离为2d ，点F 到直线23y x =+的距离为d ,则1||PF d =，55d ==，方程组2423y x y x ⎧=⎨=+⎩无解,所以122||5d d PF d d +=+≥=，故选D ． （2)因为2(2)84-<⨯,所以点A 在抛物线内部．如图，过点P ，A 分别作准线l 的垂线，垂足分别为Q ，B ，则||||PF PQ =，易知当A ,P ，Q 三点共线时，||||PF PA +最小，即||AB ．易得点A到准线l 的距离为4()4(2)62p--=--=．【解题必备】（1)与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数的思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题往往感到束手无策．一般有以下几种方法：①定义转换法:与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题,一般都是利用抛物线的定义,将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取最值时所满足的条件，这样就能避免繁琐的代数运算．②平移直线法：若抛物线上的点P 到直线l 的距离最小，则过P 与l 平行的直线与抛物线相切，且最小距离为两平行直线间的距离，所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线，然后求两平行直线间的距离．③函数法：解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解．解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标． （2）有关抛物线上一点P 到抛物线焦点F 与到已知点M (M 在抛物线内）的距离之和的最小值问题，只要点P 到抛物线准线l 的距离与到点M 的距离之和最小即可．由抛物线的图形可知，过点M 作准线l 的垂线,其与抛物线的交点到抛物线焦点F 与到已知点M 的距离之和最小．解题时注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短、点与直线上的点的连线中垂线段最短等．1．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值为_____________．2．若点P 在抛物线2y x =上，点Q 在圆2231()x y -+=上，则||PQ 的最小值为_____________．1．43【解析】方法1:如下图所示,设与直线4380x y +-=平行且与抛物线2y x =-相切的直线为430x y b ++=，切线方程与抛物线方程联立得2430x x y b y ++==⎧-⎨⎩，消去y 整理得2340x x b --=，则16120b ∆=+=，解得43b =-，所以切线方程为44303x y +-=，抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值是这两条平行线间的距离4|8|4353d -==．方法2：对2y x =-求导，得2y x '=-，如图上图所示,设与直线4380x y +-=平行且与抛物线2y x =-相切的直线与抛物线的切点是2(),T m m -,则切线斜率|423x m k y m =='=-=-，所以23m =，即切点24,39()T -，点T 到直线4380x y +-=的距离84|8|43353d --==,由图知抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值是43．方法3：设2(),P x x -，则点P 到直线4380x y +-=的距离22|438|1220|3()|5533x x d x --==-+= 2324()533x -+，在抛物线2y x =-中,x ∈R ,所以当23x =时，d 取得最小值43，即抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值是43．2．12- 【解析】由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为(3,0)A ，则1PQ PA AQ PA ≥-=-，当且仅当P ,Q ，A 三点共线时取等号，所以当PA 取得最小值时，PQ 最小．设00(,)P x y ，则200y x =，PA ===，当且仅当052x =时，PA PQ 1-．5月5日 直线与圆锥曲线的弦长问题高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★★☆已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（1）当AM AN =时，求AMN △的面积；(2）当AM AN =时,2k <<． 【参考答案】（1）14449；(2)证明见试题解析． 【试题解析】（1）设11(,)M x y ，则由题意知10y >．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π，又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+．将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=,解得0y =或127y =，所以1127y =．因此AMN △的面积11212144227749AMN S =⨯⨯⨯=△．（2）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得2222(34)1616120k x k x k +++-=．由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+,故12||2|34AM x k=+=+．由题设,直线AN 的方程为1(2)y x k =-+,故同理可得||AN =． 由2||||AM AN =得2223443k k k=++,即3246380k k k -+-=． 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22()121233(21)0f't t t t =-+=-≥，所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又260,(2)60f f =<=>，因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在2)内,2k <<． 【解题必备】对于直线与圆锥曲线的弦长问题，有以下几种求解方法：（1）定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．（3）弦长公式法：它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系．1．斜率为2的直线l 与双曲线22132x y -=交于A ，B 两点,且4AB =，则直线l 的方程为__________．2．设1F ,2F 分别是椭圆2222:()10E a bx y a b +=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列．（1）求E 的离心率；(2）设点1(0,)P -满足PA PB =,求E 的方程．3．如图，已知11(,)P x y ，22(,)Q x y 是抛物线px y 22=)0(>p 上相异两点，Q ,P 到y 轴的距离的积为4，且0OP OQ ⋅=． (1）求该抛物线的标准方程.(2)过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴的交点为T ,且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．1．21023y x =±【解析】设直线l 的方程为2y x m =+,代入双曲线方程得221012360x mx m +++=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1265m x x +=-，2123610m x x +=．因为212125()44AB x x x x =+-=,4=，解得3m=±，所以直线l的方程为23y x=±．2．(1)2；(2【解析】（1,l的方程为y x c=+，其中设()11,A x y，()22,B x y，则A、B消去y，化简得()()222222220a b x a cx a c b+++-=,因为直线AB的斜率为1故222a b=，所以E（2）设AB的中点为()00,N x y，由(1，得1PNk=-,得3c=,故椭圆E3．（1）22y x=；(2）24．【解析】（1）∵0OP OQ⋅=，则12120x x y y+=,又P、Q在抛物线上，故2112y px=,2222y px=，故得22121222y yy yp p⋅+=,即2124y y p=-,124x x=，故得244p=，1p=，∴抛物线的方程为22y x=．(2）连接PQ，设直线PQ过点0(,)E a且方程为x my a=+，联立方程组⎩⎨⎧=+=xyamyx22，消去x得2220y my a-=-,∴121222y y my y a+=⎧⎨=-⎩①，设直线PR 与x 轴交于点0(),M b ，则可设直线PR 方程为x ny b =+,并设33(),R x y ，同理可知131322y y ny y b+=⎧⎨=-⎩ ②,由①②可得32y b y a =，由题意，Q 为线段RT 的中点，∴322y y =，∴2b a =，又由（1）知,124y y =-,代入①，可得2 4a =,∴2a =，故4b =，∴831-=y y , ∴222131313||1||1()4PR n y y n y y y y =+-=+⋅+-2481222≥+⋅+=n n ， 当0n =,即直线PR 垂直于x 轴时PR 取最小值为24．5月6日 设而不求思想及点差法的应用高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★★☆☆过点Q (4，1)作抛物线28y x =的弦AB ，该弦恰被Q 平分，则直线AB 的方程为_____________．【参考答案】4150x y --=【试题解析】由题意可知，当AB 垂直于x 轴时,不符合题意，故直线AB 的斜率存在．设11(,)A x y ,22(,)B x y ，则2118y x = ①，2228y x = ②，且128x x +=，122y y +=，①－②得121212()()8()y y y y x x +-=-，即12122()8()y y x x -=-，即12124y y x x -=-， 故直线AB 的斜率4k =，故直线AB 的方程为4(4)1y x =-+,即4150x y --=．【解题必备】（1）在解析几何的运算中，有时我们为了解题方便，常设一些中间变量而并不解出这些变量，利用这些中间变量架起连接已知量和未知量的桥梁，从而使问题得以解决，这种方法称为设而不求法．而点差法是一种常见的设而不求的方法，在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时地运用点差法，可以有效地减少解题的运算量，达到优化解题过程的目的．（2）当题目中已知直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，可以设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程中,运用点差法，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．(3)“点差法"的常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法"具有不等价性，即要考虑判别式∆是否大于零．1．如果椭圆221369x y +=的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是A ．20x y -=B ．280x y +-=C ．23140x y +-=D ．240x y +-=2．已知双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0,b ＞0）与椭圆2211814x y +=有共同的焦点,点A 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）以(1,2)P 为中点作双曲线C 的一条弦AB ，求弦AB 所在直线的方程．1．B 【解析】设弦的端点为11()A x y ,，22()B x y ,,代入椭圆方程,得2211936369x y +=⨯ ①，2222936369x y +=⨯ ②，①-②得12121212936()()()()0x x x x y y y y +--++= ③．由中点坐标公式得1242x x +=，1222y y +=，代入③式，得1212367()0)2(x x y y --+=，所以直线AB 的斜率121212y y k x x -==--，直线AB 的方程为1242()y x -=--，即280x y +-=．故选B ． 2．(1）22122x y -=;(2）230x y -+=．【解析】（1)由已知双曲线C 的焦点为F 1（－2，0）,F 2(2,0），由双曲线定义122AF AF a -=，即257172a +-+=,所以2a =，2422b =-=，所以所求双曲线的标准方程为22122x y -=．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因为A ，B 在双曲线上，所以2211222222x y x y ⎧-=⎨-=⎩①②， ①－②得12121212()()(()0)x x x x y y y y -+--+=，所以121212122142y y x x x x y y -+===-+，12AB k =， 故弦AB 所在直线的方程为12(1)2y x -=-,即230x y -+=．5月7日 圆锥曲线中的定点、定值问题高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★★☆已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2,与直线1:0l x y -=有且只有一个公共点．(1）求椭圆E 的标准方程；(2）过点(1,0)C 的直线2l 与椭圆E 交于,A B 两点，若2AC CB =,求直线2l 的方程; （3）点,M N 为椭圆E 上不同的两点，若22OM ONb k k a⋅=-，求证:△OMN 的面积为定值．【参考答案】（1)2214x y +=；（2）550x ±-=；（3）证明见试题解析．【试题解析】(1）由2c a =,即22234a b a -=，解得224a b =， 故椭圆E 的方程为222214x y b b+=，即222440x y b +-=，把y x =+2252040x b ++-=．因为椭圆E 与直线1l 有且只有一个公共点，所以2245(204)0b ∆=-⨯-=,解得21b =，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=．（2）当直线2l 的斜率为0时，取(2,0),(2,0)A B -,不符合2AC CB =,故直线2l 的斜率不为0， 设直线2l 的方程为1x ty =+,代入椭圆E 的方程，整理得22(4)230t y ty ++-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ,则12224t y y t +=-+ ①，12234y y t =-+ ②． 1122(1,),(1,)AC x y CB x y =--=-,由2AC CB =,得122y y -= ③，由①③，得122242,44t t y y t t -==++，代入②，得222283(4)4t t t --=++,解得t =．所以直线2l 的方程为1x y =+，即550x ±-=． （3）设3344(,),(,)M x y N x y ，因为224,1a b ==，所以2214OM ONb k k a ⋅=-=-,即343414y y x x ⋅=-，即34344x x y y =-． 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+(0m ≠）， 代入椭圆E 的方程并整理，得222(14)8440k x kmx m +++-=．则22222(8)4(14)(44)16(14)km k m k m ∆=-+-=+- ④，2343422844,1414km m x x x x k k -+=-=++，22223434343424()()()14k m y y kx m kx m k x x km x x m k-+=++=+++=+． 所以2222244441414m k m k k--+=-⨯++,整理得22142k m +=,代入④,得0∆>．MN ==，点O 到直线MN的距离d =所以12△OMNS MN d m =⋅==21m m m m==⋅=，即△OMN 的面积为定值1． 当直线MN 的斜率不存在时，不妨设OM 的斜率为12，且点M 在第一象限，此时OM 的方程为12y x =，代入椭圆E 的方程,解得2M ，由对称性知此时△OMN 的面积为1(2122⨯=． 综上可知，△OMN 的面积为定值1．【解题必备】（1）圆锥曲线中的定值与定点问题是高考的常考题型,运算量较大，解题思维性较强．解决这类问题一般有两种方法:①根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组（或不等式）,消去参数，求出定值或定点坐标；②先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证．(2）解决定点问题的关键就是建立直线系或者曲线系方程，要注意选用合适的参数表达直线系或者曲线系方程，如果是双参数，要注意这两个参数之间的相互关系．（3）解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确，即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,其不受变化的量所影响的一个值就是要求的定值．解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ,B ，椭圆C 过点(2,,离心率为． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M ，N 为椭圆上关于原点对称的两点，且M ，N 异于椭圆C 的顶点，直线AM ，AN 与y 轴的交点分别为P ,Q ．试探究：以PQ 为直径的圆是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是,请说明理由．2．已知抛物线22(0)y px p =>，过点(4，0)作直线l 交抛物线于A ,B 两点,以AB 为直径的圆过原点O ．（1)求抛物线的标准方程;(2）过抛物线上的定点M )作两条关于直线1x =对称的直线，分别交抛物线于C ，D 两点，连接CD ，试判断：直线CD 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由．3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，其左、右焦点为12,F F ，P 为短轴的一个端点，12PF F △的面积等于． （1)求椭圆C 的标准方程；(2）设点1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆C 上的任意两点，O 是坐标原点．①若14OA OB k k ⋅=-，求证:2212x x +为定值．②若以AB 为直径的圆经过点O ，求OAB △面积的最大值．1．(1)22184x y +=;(2）以PQ 为直径的圆经过定点,定点的坐标为(2,0)或(2,0)-．【解析】（1)由题意可得22421a b +=，22c a =，结合222a b c =+可解得28a =，24b =，故椭圆C 的标准方程为22184x y +=．(2)由（1）可知，(2,0)A -．设点00(,)M x y （不妨设00x >)，则点00(,)N x y --．设直线:MN y kx =，由22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得22812x k =+，所以022212x k =+,则022212k y k =+； 所以直线AM 的方程为222)112y x k=+++, 因为直线AM 与y 轴交于点P ，令0x =，可得222112k y k =++222)112kP k++． 同理可得点222112kQ k -+，所以22222(12)2222|||112112k k kPQ k k+==++-+; 设PQ 的中点为S ,则点S 的坐标为2(0,k-， 则以PQ 为直径的圆的方程为22222(12)2()(k x y k +++=，即22224x y y k ++=． 令0y =,可得24x =，即2x =或2x =-．故以PQ 为直径的圆经过定点,定点的坐标为(2,0)或(2,0)-． 2．（1）24y x =；（2）直线CD 的斜率恒为定值,该定值为1-．【解析】（1）当直线l 的斜率不存在时，224p =，2p =,24y x =．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4()(0)y k x k =-≠,11(,)A x y ，22(,)B x y ， 联立242()y k x y px=-⎧⎨=⎩，消去y 得222282)60(1k x k p x k -++=，则1216x x =，所以22221212464y y p x x p ==，128y y p =-,由0QA QB ⋅=，得12120x x y y +=，即1680p -=，所以2p =， 故抛物线的标准方程为24y x =．（2）由（1）知,M (1，2)，设直线CD 的方程是x my n =+,33(,)C x y ，44(,)D x y ．显然直线CD 不过点M ，联立24y xx my n⎧=⎨=+⎩，消去x 得2440y my n --=，则344y y m +=，344y y n =-， 由题意MC ，MD 两直线关于直线1x =对称等价于直线MC ,MD 的倾斜角互补， 所以0MC MD k k +=，即343422011y y x x --+=--, 整理得3443()()()()21210y x y x --+--=，即344334342()()40x y x y x x y y +-+-++=， 将3344x my n x my n =+⎧⎨=+⎩和343444y y m y y n +=⎧⎨=-⎩代入上式化简得()110()2m n m ++-= ①,要使①式恒成立，当且仅当10m +=或210n m +-=．当10m +=，即1m =-时,直线CD 的方程为x y n =-+，故直线CD 的斜率为1-． 当210n m +-=时,将12n m =-代入直线CD 的方程得12x my m =+-，即(12)x m y -=-， 此时直线CD 过点M (1，2）,与题意矛盾,所以直线CD 的斜率恒为定值，该定值为1-．3．（1)2214x y +=;(2）①证明见解析，②1．【解析】(1）设椭圆的半焦距为c ,由题意c e a ==，所以12b a ==,即12b a =．（2)①由于12124OA OB k k x x ⋅=⨯=-，则12124x x y y =-，1222212216x x y y =，而221114x y +=，222214x y +=,则221114x y -=,222214x y -=， 所以22221212(1)(1)44xx y y --=，则22221212(4)(4)16x x y y --=,所以22221212(4)(4)x x x x --=，整理得22124xx +=，为定值．②当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为5x =±，||5AB =． 而原点O 到直线AB 的距离为5,所以OAB △面积142555S =⨯=． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+．则由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(41)8440k x kmx m +++-=,其中22222(8)4(41)(44)16(14)0km k m k m ∆=-+-=+->，2121222844,1414km m x x x x k k -+=-=++，由以AB 为直径的圆经过点O 得1212OA OB x x y y ⋅=+2121212()()(1)x x kx m kx m k x x =++⋅+=++212()km x x m ++22222448(1)1414m km k km m k k --=+⨯+⨯+++222544014m k k--==+，即224(1)5m k =+， 所以原点O 到直线AB的距离5d ===，12AB x =-= 当0k ≠时,AB =12k =±时等号成立； 当0k =时，AB =，所以||AB 最大值为,此时OAB △面积的最大值为112S ==．显然415>，所以OAB △面积的最大值为1．。