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信号系统第二章解读

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信号与系统课件：第二章 LTI系统

信号与系统课件：第二章 LTI系统
第2章 线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2

信号与系统课后题解第二章

信号与系统课后题解第二章

⑺
对⑺式求一阶导，有：
de(t ) d 2 i 2 (t ) di (t ) du (t ) =2 +2 2 + c 2 dt dt dt dt de(t ) d 2 i2 (t ) di (t ) =2 + 2 2 + 2i1 (t ) + 2i 2 (t ) 2 dt dt dt
⑻
将⑸式代入⑻式中，有：
λ 2 + 2λ + 1 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1
y h (t ) = C1e −t + C2 te− t
由初始状态为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 ，则有：
C1 = 1 − C 1 + C 2 = 0
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
A1 = 2, A2 = −1
y zi (t ) = 2e − t − e −2 t
（2）由原微分方程可得其特征方程为
λ 2 + 2λ + 2 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1 ± i
y h (t ) = e −t (C1 cos t + C2 sin t )
(− 3C1 + 3C2 )δ (t ) + (C1 + C2 )δ ' (t ) − (− 2C1 + C 2 )δ (t ) = δ (t )
(
(
( + C e )δ (t ) + (C e
2 1
)
−2 t
+ C2 e t δ ' (t )

信号与系统 第二章ppt剖析

信号与系统 第二章ppt剖析
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。
第
例1 求并联电路的端电压 vt 与激励 is t 间的关系。
7 页
电阻
iR t
1 R
vt
电感
iLt
1 L
t v d
ist
电容
iC
t
C
dv d
t
t
iR iL R LC
a ic
vt
b
根据KCL iRt iLt iC t iS t
系统的完全响应
第 17
页
求出齐次解rh t 和特解rp t 相加即得方程的完全解:
n
rt Aieit rp t i 1
利用初始条件求待定系数Ai 我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应
的求解区间定为 t ,如0 果响应在0时刻没有跳变，通常
取t=0,这样对应的一组条件称为初始条件。
1
2
10
B1
, 3
B2
, 9
B3 27
所以，特解为
rp t
1 3

2 9
t
10 27
第 15
页
(2)
(原方程：
d2 rt
dt2
2
d rt
dt
3r t
d et
dt
et
）
当et et时, 很明显, 可选rt Bet。这里，B是待定系数。
代入方程后有：
Bet 2Bet 3Bet et et
于是，特解为 1 et。 3
B 1 3
几种典型激励函数相应的特解
第 16
页
激励函数e(t)
E(常数)
响应函数r(t)的特解

信号与系统第二章第一讲

信号与系统第二章第一讲
i
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统

vR (t )
C


vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )

信号与系统第2章信号的复数表示

信号与系统第2章信号的复数表示
π
3
j
π
j
π
4
C1 + C 2 = (1 + 1) + j ( 3 + 1) = 2 + j ( 3 + 1)
2 C1 = 2 + j ( 2 3 ) = 2 2 e
j
= 4e
j
π
3
C1 C 2 = 1 + j 3 + j 3 3 = (1 3 ) + j ( 2 3 )
= 2 2e
j(
π
3
+
π
4
)
= 2 2e
j(
7π ) 12
2 复数中定义 j = 1 ，故 D = (a1a2 b1b2 ) + j(a1b2 + b1a2 )
换一种形式表示复数的乘法
D = C1 C2 = C1 e C2 e = C1 C2 e
j1 j2
= C1 C2 e j1 e j2
j (1 +2 )
复数的加法和乘法在复平面内的表示
复数加法
2、复平面形式
可以在复平面中表示复数
虚轴 b |C| a
复数C可表示成一个矢量
实轴
由图可以看出，矢量 的长度为复数的模，与 实轴的夹角为复数的辐 角
2.3 复数形式的运算
1、复数的数乘和共轭
数乘： k 为实数
虚轴 j
kC C
实轴
kC = ka + jkb
| kC | e j k ≥ 0 kC = | kC | e j ( +π ) k < 0
2、复数的加法和乘法
C1 、 C2 为复数， C1 = a1 + jb1 ， C2 = a2 + jb2

信号与系统-第2章

信号与系统-第2章

f (t)
K
两式相加:
cosωt =
1 2
(e
jωt
+
e
jωt )
(2-4)
0 K
t
两式相减:
sinωt =
1 2j
(e
jωt
－e
jωt )
(2-5)
(3) 复指数信号: f(t) = Ke st = Ke (σ+ jω)t
= Keσt (cosωt + j sinωt)
当 σ > 0 时为增幅振荡 ω = 0 时为实指数信号 σ < 0 时为衰减振荡
2
01
t
f(
1 2
t)
=
1 2
t
0
0＜t ＜4 其它
f(12 t)
2 0
4t
注意: 平移、反折和展缩都是用新的时间变量去代换原来的
时间变量, 而信号幅度不变.
t +2 －2＜t＜0 例2-5：已知 f(t) = －2t + 2 0＜t＜1
f (t)
2
0
其它
－2 0 1
t
求 f(2t－1),
f(
1 2
(1) 相加和相乘
信号相加: f t f1t f2 t fn t 信号相乘: f t f1t f2 t fn t
0 t＜0 例2-1：已知 f1(t) = sint t ≥ 0 , f2(t) =－sint, 求和积.
解: f1(t) + f2(t) =
－sint 0
t＜0 t≥0
0
t＜0
f1(t) f2(t) = －sin2t t ≥ 0 也可通过波形相加和相乘.
∞ t=0 作用: 方便信号运算.

信号与系统讲义-2



f (t) u 3 10
p
u pf (t) 2p 10
u(t) (Ae5t B)U(t)
2 du(t) 10u(t) df (t)
dt
dt
u(t) 5Ae5t U(t) (A B)(t)
2(A B) 1 B0
u(t) 1 e5tU(t)V 2
H
(
p)

2p2 8p 3 ( p 1)( p 3)2
求系统的响应 y(t)。
解： D(p) (p 1)(p 3)2 0 p1 1 p2 p3 3
y0 (t) K1e t K 2e3t K 3te3t
y0 (0 ) K1 K2 =2 y0 (0 ) K1 3K 2 K3=1
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us


R 2L
,
d

02 2 , 0
1 LC
4
三、 RLC串联电路全响应
d 2uc dt 2

R L
duc dt

1 LC
uc

1 LC Us
(二阶常系数线性非齐次微分方程)
t<0 , K在2,有 uc (0 ) U0
C
uc Aep1t Be p2t Us
2、重根：(临界阻尼) 即
R2
L C
（自然频率、固有频率）
uc (A Bt)ept Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2

《信号与系统》第二章总结

其中零状态响应rzs (t )由初始态为零时的方程求解而定 即rzs (t ) = rzsh (t ) + rzsp (t )
其中rzsh (t )和rzsp (t )分别为如下方程的齐次解和特解 zsp d n rzs (t ) d n −1rzs (t ) dr (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 zs + Cn rzs (t ) dt n dt n −1 dt d m e(t ) d m −1e(t ) de(t ) = E + E1 + L + Em −1 + Em e(t ), m −1 0 dt m dt dt (k ) rzs (0− ) = 0
则h(t )为t ≥ 0+时满足起始态为零的微分齐次方程的解
n α t 当n > m时，h(t ) = ∑ Ak e k u (t ) k =1 （设特征方程的根为n个单根α k）
当n ≤ m时，h(t )还须含δ ( m − n ) (t )、δ ( m − n −1) (t )、 、δ (t ), L 而各项系数由Em决定
•连续时间系统的时域分析法：不通过任何变换，直接求解 求解系 求解 统的微分 微分、积分方程 方程。 微分 方程 •连续时间系统的时域分析方法：经典法，卷积法，算子法。
设n阶复杂系统激励信号为e(t )，响应信号为r (t )
其n阶微分方程为 d n r (t ) d n −1r (t ) dr (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 + Cn r (t ) n n −1 dt dt dt d m e (t ) d m −1e(t ) de(t ) = E0 + E1 + L + Em −1 + Em e(t ) m m −1 dt dt dt

信号与系统第二章ppt课件

解 先画出f1(t－τ)|t=0, 即f1(－τ)和f2(τ)波形如题解图2.6(a)所 示。再令t从－∞ 开始增长，随f1(t－τ)波形右移，分区间计算卷 积积分：
30
第2章 连续信号与系统的时域分析 31
最后整理得
第2章 连续信号与系统的时域分析
波形如题解图2.6(b)所示。
32
第2章 连续信号与系统的时域分析
3
(2) 因为
第2章 连续信号与系统的时域分析
所以
4
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.2 写出下列复频率s所表示的指数信号est的表达式，并画 出其波形。
(1) 2； (2) －2； (3) －j5； (4) －1+j2。
5
第2章 连续信号与系统的时域分析
解 (1) f1(t)=e2t,波形如题解图2.2(a)所示。 (2) f2(t)=e－2t, 波形如题解图2.2(b)所示。显然, f1(t)和f2(t)都 是实指数信号。 (3) f3(t)=e－j5t=cos5t－j sin5t。f3(t)是虚指数信号，其实部、 虚部分别是等幅余弦、正弦信号。实部信号波形如题解图2.2(c) 所示。 (4) f4(t)=e(－1+j2)t=e－t·ej2t=e－t(cos2t+j sin2t)。f4(t)是复指数信 号，其实部和虚部分别是幅度按指数规律衰减的余弦和正弦信 号。实部信号波形如题解图2.2(d)所示。
(4) 由于tε(t)|t=－∞=0,有 所以
38
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.8 已知f1(t)和f2(t)如题图2.4所示。设f(t)=f1(t)*f2(t)，试求 f(－1)、f(0)和f(1)的值。
题图 2.4

信号与系统 第2章(3-5)


X
n = −∞
∑
k
x[n ]
1 k
n = −∞
∑ x[n]
2 1
k
3
单位阶跃序列可 用单位脉冲序列 的求和表示: 的求和表示:
0
k
k
u[ k ] =
n = −∞
∑ δ [n]
2.5 确定信号的时域分解
X
一、信号分解为直流分量与交流分量 二、信号分解为奇分量与偶分量之和 三、信号分解为实部分量与虚部分量 四、连续信号分解为冲激信号的线性组合 五、离散信号分解为脉冲序列的线性组合 六、信号分解为正交信号集
d
u[k ] =
u( t ) =
∫d ∫
t
−∞
δ (τ ) τ
n =−∞
∑ δ [ n] ∑ u [n]
k
k
u( t ) = d r ( t ) t r (t ) =
−∞
u[k ] = r[k + 1] − r[k ]
u(τ ) τ
d
r [ k + 1] =
n = −∞
2.4 离散时间信号的基本运算
一、序列相加与相乘
2. 序列相乘 序列相乘
x1[ k ]
0 1 k
2 1 y[k]=x1[k]× x2[k] 2 1.5
X
将若干序列同序号的数值相乘。 将若干序列同序号的数值相乘。
y[k ] = x1 [k ] × x2 [k ] × … × xn [k ]
x2 [ k ]
0
k
0
k
2.4.2 序列的相加、相乘、差分与求和
x[k] = x D C [k] + x A C [k]
k = N1
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卷积法是将信号分解成许多冲激信号之和，借助 系统的冲激响应，求解线性时不变系统对任意激励 信号的零状态响应。
第1-3页
■
信号与系统 系统分析过程：
列写方程：根据元件约束，网络拓扑约束
经典法
系统分析过程解方程双零法零 零状 输态 入： ：利 可用 利卷 用积 经分 典发 法求 求解
变换域法
第1-4页
■
信号与系统
2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解 二、关于0-与0+值 三、零输入响应 四、零状态响应 五、全响应
第1-5页
■
信号与系统
微分方程的建立
不同的系统建立微分方程的依据有所区别。 对于电路系统，若给定的元器件都是线性的且 元件参数是不随时间变化的，则建立微分方程 的基本依据是基尔霍夫电压定律（KVL）和电 流(KCL)定律，还有元件上的电压－电流关系 (VAR)。
y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(1) (t) a0 y(t)
bm f (m) (t) bm1 f (m1) (t) b1 f (1) (t) b0 f (t)
n
m
或缩写为： a j y( j) (t) bi f (i) (t)
j0
i0
式中 a j ( j 0,1,, n)和a均i (i 为 0常,1,数, m，)
第1-2页
■
信号与系统
采用输入输出描述时，系统的时域解法包含两方 面内容，一方面是经典法直接求解微分方程,另一方 面是卷积法求解微分方程。
利用经典法求解描述系统的微分方程，这种解法 将系统的全响应分为自由响应和强迫响应两部分， 也可以按照产生响应原因的不同将系统响应分解为 零输入响应和零状态响应。
第1-6页
■
信号与系统
元件特性约束：
表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电 容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感 的初、次级电压与电流的关系等等。
网络拓扑约束：
由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。
第1-7页
■
信号与系统
一、微分方程的经典解
对于单输入-单输出系统的激励为f (t)，响应为y (t)，则描述LTI连续系统激励与响应之间关系的数学 模型是n阶常系数线性微分方程，它可写为：
信号与系统
第二章 连续系统的时域分析
• 2.1 LTI连续系统的响应 • 2.2 冲激响应和阶跃响应 • 2.3 卷积积分 • 2.4 卷积积分的性质
第1-1页
■
信号与系统
对LTI系统的分析具特别重要的意义，因为 LTI系统在实际工程应用中相当普遍，有些非LTI 系统在一定条件下可以近似为LTI系统，尤其是 LTI系统的分析方法现在已经形成了一套较为完 整、严密的理论体系。非线性系统的分析到目前 为止还没有统一、通用严格的分析方法，只能对 具体问题进行具体讨论。
求输入 f (t) 10cost,t 0, y(0) 2, y(0） 0 时的全响应。
解：齐次解yh(t)
微分方程的特征根为：1 2，2 3
故方程的齐次解： yh (t) C1e2t C2e3t
特解yP(t) ：因输入 f (t) 10cost 故可设方程的特解为 yP (t) P cost Q sin t
其特征方程为：2 5 6 0
其特征根 1 2，2 3 则微分方程的齐次解为：
yh (t) C1e2t C2e3t
第1-11页
■
信号与系统
特解yP(t) ： 当 f (t) 2et ，其特解可设为：yP (t) Pet
将特解代入微分方程中：
yP (t) 5yP (t) 6 yP (t) f (t)
得：y(0) C1 C2 1 2
y(0) 2C1 3C2 1 1
联立求解得：C1 3，C2 2
微分方程的全解为：
齐次解 特解
y(t) 3e2t 2e3t et ,t 0
自由响应
强迫响应
第1-13页
■
信号与系统
例：描述某系统的微分方程为： y(t) 5y(t) 6y(t) f (t)
全解由齐次解和特解组成，即：
该微分方程的
y(t) yh (t) y p (t)
第1-8页
■
信号与系统
不同特征根对应的齐次解
单实
根 r重实根
特征根λ和齐次解yh(t)
et
(Cr1t r1 Cr2t r2 C1t C0 )et
一对共轭复根 et[C cos(t) D sin(t)]或Acos(t ), 其中Ae j C jD
5P 5Q 0
解得：P Q 1
微分方程的特解为： yP (t) cost sin t
全解为： y(t) yh (t) yp (t) C1e2t C2e3t cost sin t
C1e2t C2e3t
2 cos(t )
r重共轭复根 [ Ar1t r1 cos(t r1) Ar2t r2 cos(t r2 ) A0 cos(t 0 )]et
第1-9页
■
信号与系统
不同激励对应的特解
第1-10页
■
信号与系统
例：描述某LTI系统的微分方程为： y(t) 5y(t) 6y(t) f (t)
求输入 f (t) 2et ,t 0; y(0)时 2的, y全(0解) 。 1 解：齐次解yh(t) 齐次解是齐次微分方程 y(t) 5y(t) 的6y解(t)。 0
yP (t) Pet yP (t) Pet yP (t) Pet f (t) 2et
整理得： P 5P 6P 2
微分方程的特解为：
yP (t) et
则微分方程的全解为：
P 1
y(t) yh (t) yp (t) C1e2t C2e3t et
第1-12页
■
信号与系统
由 y(t) C1e2t C2e3t et 得：y(t) 2C1e2t 3C2e3t et 由已知条件 y(0) 2, y(0) 1
第1-14页
■
信号与系统
将特解代入微分方程中：
yP (t) 5yP (t) 6 yP (t) f (t)
f (t) 10cost
yP (t) P cost Q sin t
yP (t) P sin t Q cost yP (t) P cost Q sin t
得： 5Q 5P 10