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信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社 第二章-6

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信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社 第五章-4及总结

信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社 第五章-4及总结

1 2 jn x n X e d 2 0
(2)熟记性质：注意对比与Ch4的异同 (3)掌握求解方法
(4)熟记常用的傅里叶变换对
a u( n)
n
1 1 ae j
, a 1
na u( n)
n
1 ae
ae j
j 2
( n 1)a n u( n)
2
s

X (k )
x ( n) 总之，连续时间信号对应的频域函数为非周期的；
0
离散时间信号对应的频域函数为周期的； 2 2 t 0 周期信号对应的频域函数为离散的。

5
2

第五章
总结
一 离散傅里叶级数
(Discrete-Fourier-Series,DFS)
二 离散时间傅里叶变换 (Discrete-Time-Fourier-Translate,DTFT) 三 离散系统的频域分析
~ ~ n 1 x X k e N k N
jk
2 n N
周期序列的频谱：离散性、周期性（周期为N） 2. DFS的计算
3. DFS的性质
二 离散时间傅里叶变换DTFT 1. 非周期序列的DTFT
x ne (1)明确物理意义 X n
jn
§5.5 几种傅里叶变换的关系
一 连续时间傅里叶级数(CTFS)
二 连续时间傅里叶变换(CTFT)
三 离散时间傅里叶级数(DTFS) 四 离散时间傅里叶变换(DTFT)
一 连续时间傅里叶级数(CTFS) 周期信号
fT ( t )
k
Fk e jkt , t ( t0 , t0 T )

信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第二章-4

信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第二章-4
一 定义及初步分析 1. 什么是冲激响应？ 2. 为什么研究冲激响应？ 3. 如何求冲激响应？ 二 一阶系统的冲激响应 三 高阶系统的冲激响应
一 单位冲激响应的定义及初步分析
1. 什么是冲激响应？
一种特殊的零 状态响应
系统初始状态 为零，输入为单位冲激信号时的响应， 称为单位冲激响应，简称为冲激响应，记为h(t)。 2. 为什么研究冲激响应？ 系统的冲激响应可以表征系统本身的特性。 3. 如何求冲激响应？ 求解系统的冲激响应h(t)，可以分两个区间分别考虑：
i(t )
1 F 6
uc ( 0 )
－
2. n≤m，且特征根全部为单根。 先对H(p)作多项式除法，然后部分分式展开。
例：系统 y' (t ) 2 y(t ) f ' ' (t ) 3 f ' (t ) 3 f (t )，求冲激响应 h(t )。
1. n>m，且特征根全部为单根。H(p)为有理真分式，作部分分式展开。
(1)在(0 ,)区间，按零输入响应的 求解方法来确定响应模 式； ( 2)在(0 ,0 )区间，h( t )中可能包含 ( t )及高阶导数项，用冲激 平衡法。
0- 0 0+
(t )
系统1
系统2
h1 (t )
系统的冲激响应为求解零状态响应提供了方法。
(t )
h2 (t )
方程式等号两边的 函数及各阶导数对应系 数必须相等。
利用公式 1 ( t ) e at u( t ) pa 1 ( t ) u( t ) p
1H
+
1. n>m，且特征根全部为单根。 H(p)为有理真分式，作部分分式展开。
例：如图所示电路系统 ，f ( t )是输入电压

信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第一章-2

信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第一章-2

线性系统的三个条件： 1.系统具有分解性; 2. 系统具有零状态线性； 3. 系统具有零输入线性；
例题2
已知一线性系统，当输入f(t)为零，初始状态为y(0)=5时， 2 t y(0)=10和f(t)共同作用下的全响应 响应为 5e；在 2t 为 1 9e 。 求系统在y(0)=25和2f(t)共同作用下的全响应。
L
+ y(t) -
f(t) i(t)
C
3
§ 1.4 系统的特性与分类
从不同的角度，有不同的分类
系统的分类，体现了系统的特性
•线性、非线性系统 •时不变、时变系统 •因果、非因果系统 •稳定、非稳定系统 •有记忆、无记忆系统
4
一 线性、非线性系统
1. 线性的基本概念
Linear and Nonlinear System
12
复习
1.基本概念
信号：广义讲，一切运动或状态的变化都可以用数学抽象的方式表
现为信号。信号是信息的表现形式，信息则是信号的具体内容。 狭义上讲，信号是随时间变化的物理量。
系统：广义上讲，系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成
的具有特定功能的整体。 狭义上讲：信号的产生、存储、转化、传输和处理，需要一定 的物理装置，这样的物理装置称为系统。 本课程中信号专指电信号(电压，电流)，系统一般是电路系统。
离散时间系统(DTS-Discrete
Time Stytem):
系统的输入与输出都是离散时间信号，用差分方程描述其 数学模型。
混合系统：由连续和离散系统混合组成的模型。
七 模拟系统和数字系统 Analog and Digtal System 八 集总参数系统和分布参数系统
Lumped-parameter and Distributed-paramter System

信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社 第二章-2

信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社 第二章-2
|a| a
例：已知f(1-2t)的波形，求f(t).
f (1 2t) (2)
01 t f (t)
(4)
-1 0
t
§2.3 卷积积分
信号的分析 卷积 系统的分析
一 卷积的定义
t为自变量
设f1(t)和f2 (t)是定义在(,)区间上的两个函数，则 为积分变量
f1(t ) *
f2 ( t )
f(t) 1
f(2t)
f(-2t)
f(-2t+4)
压缩1/2 1
翻转 1
右移2 1
0 2t
01 t
-1 0 t
01 2 t
普通函数进行展缩、翻转和平移时，只会引起信号波形宽 度，以及在时间轴上的位置的变化，但不影响信号幅度。
三. 含有冲激函数或者高阶冲激函数时 (at b) 1 (t b )
t

f (t)dt...dt]* g(t)
n个
[ d f (t)]*[ t g(t)dt] f (t) * g(t)
dt

例：已知f(t)*g(t)的波形如图，求：
(1) f1(t) f '(t) * g(t);
(3) f3(t)
f
'(
t
)
*
t


g
(
)d
;
f(t)*g(t) 1
n
f (t) * g(t)

两 函f (个 数t) *函 先d数 微dtnn卷 积g(积 分t)结 再果 与的 另微 一积函分数，卷等积于。其中一个
t


...t

[
f
(
t
)

信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第三章-2

信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第三章-2
a k y(n k ) a k 1 y(n k 1) ... a1 y(n 1) a 0 y(n) bm x(n m ) ... b1 x(n 1) b0 x(n)
(a k E k a k 1 E k 1 ... a1 E a 0 ) y( n) (bm E m ... b1 E b0 ) x( n)
§3.4 离散时间系统的差分方பைடு நூலகம் 一 差分方程
一阶前向差分： x(n)=x(n+1)-x(n) 一阶后向差分： x(n)=x(n)-x(n-1)
例：某信号处理的过程是：每收到一个数据，就将此数据与 前一步的处理结果求平均，试建立输入输出的差分方程。
1 1 一阶后向差分方程 y( n 1) x( n) 2 2 1 1 y( n 1) y( n) x( n 1) 一阶前向差分方程 2 2 y( n)
一阶后向差分方程
dy( t ) 对于一阶微分方程描述 的系统： y( t ) x( t ) dt
因为
dy( t ) y( nT ) y[( n 1)T ] lim dt T T 0
y( n) y( n 1) y( n) x( n) T 一阶差分方程 1 T y( n) y( n 1) x ( n) 1 T 1 T dy( t ) dy( t ) dt t nT dt t ( n1)T d 2 y( t ) d dy( t ) 对于二阶： 2 dt dt t nT T dt t nT
y( n) y( n 1) y( n 1) y( n 2) 1 T T 2 y( n) 2 y( n 1) y( n－2) T T 离散系统 差分方程可以描述：

国防科技大学信号与系统分析笔记

国防科技大学信号与系统分析笔记

国防科技大学831信号与系统分析笔记第一章1.输入信号常称为激励，输出信号常称为响应按函数值的确定性，实际的信号可分为确定信号和随机信号两大类。

按定义域来划分（即按自变量时间的取值是否连续）连续信号和离散信号对连续信号和离散信号的区分主要看信号的定义域。

对于值域可连续亦可离散。

二者均为连续——为模拟信号。

二者均为离散——为数字信号。

2.离散序列的平移：如何画f(-t±t0)及f(-k±k0)？解法一：先画f(t±t0)或f(k±k0),再反转；解法二：先画f(-t)或f(-k),再平移，但注意平移方向与前述相反。

3.阶跃函数和冲激函数一个系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的.第二章1．微分经典解法：全解=齐次解+特解=零输入响应+零状态响应2.特解：特解的函数形式与激励函数的形式有关。

全解：线性常系数微分方程的全解是齐次解和特解之和。

3.系统LTI系统冲激响应和阶跃响应的求解方法；4.卷积非零区间：两个时限信号卷积结果的左边界和右边界分别是两个时限信号左边界之和及右边界之和.形状：若两个矩形函数宽度相等,则卷积将产生一个三角波,而不同宽度的矩形函数卷积将产生一梯形.5.分配率：并联系统的冲激响应，等于组成并联系统的各个子系统冲激响应之和。

结合律：串联系统的冲激响应，等于组成串联系统的各个子系统的冲激响应的卷积。

第四章1傅立叶变换取样定理F（jw）=s f(t)e-jwtdt逆变换f(t)=0.5SF（jw）e-jwtdw2.对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得的信号功率相等。

3.期信号的傅里叶变换（或频谱密度函数）由无穷多个冲激函数组成第五章拉普拉斯变换。

信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第六章-1

0 a

4. 如信号 e , t , e
t2
t
et
等，增长过快
不存在拉氏变换
指数增长信号的ROC
常见信号大都为指数阶函数，存在单边拉氏变换， 所以一般不再特别指出收敛域。
三 常用信号的单边拉氏变换
Ch4:傅里叶变换
ut 1 ( ) j
1. 单位阶跃信号u(t)
2. 单位冲激信号(t) 3. 单边指数信号 4. 单边正弦信号
1 at 例题： e ut
sa
1 2 at 1 te ut t e ut 2 2 (s a) ( s a )3
at
1
8. s域积分定理
f t F s
f t F s1 ds1 s t
11. 卷积定理 f1(t)和f2(t)都是因果信号，那么：
例:
u( t )
1 s
tu(t )
1 s2
t nu(t )
n! sn 1
例：求如图所示信号
f(t)
1
求导 积分
f ( t ) t 的象函数。 d 2 f ( t ) f1 (t ) 2 d dt f1 (t ) f (t ) dt 2 求导 2 积分
其中： s0 0 j 0
例如： sin 0 t ut
0
s 2 02
e at sin 0t ut
e at cos 0 t ut
Ch4：傅氏变换
a0
s a 2 02
sa
0
s cos 0 t ut 2 2 s 0
1 j st L F s f t F s e ds j 2j

信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社 第八章-1.1


条件三：霍尔维茨阵列中第一列符号相同
特征根全部位于左半平面的条件： 条件一： A(s)的所有系数 i 符号都相同 条件二：无缺项 条件三：霍尔维茨阵列中第一列符号相同 特征方程
a0 s n a1 s n 1 ... an 1 s an 0
前两行是系数排成的两行； a0 a2 a4 ... 一直写到常数项an a1 a3 a5 ...
a01 a02 a03 ... a11 a12 a13 ...
a21 a22 a23 ... a31 a32 a33 ... ... ... ... ... 从第3行开始：
[上一行首列 ][上二行后一列 ] [上二行首列 ][上一行后一列 ] [上一行首列 ]
从第3行开始：
[上一行首列 ][上二行后一列 ] [上二行首列 ][上一行后一列 ] [上一行首列 ]
以n=3（3个单实根）为例：
A( s) ( s a)( s b)( s c )
s 3 ( a b＋c ) s 2 ( ab bc ca ) s abc
当全部极点
s1 a, s2 b, s3 c
位于左半平面时，
A(s)多项式中的系数都必须符号相同 特征根全部位于左半平面的条件： 条件一： A(s)的所有系数 i 符号都相同 条件二：无缺项
一 系统函数的零点与极点 二 系统函数与时域响应
除了常数因子外，系统的极零点可以完全表征系统函数。 复习关于极点、零点的概念 对于实系统，系统的零极点是实数或者共轭复数。
连续时间系统
N s H s D s
N z H z D z
A s zi
n
系统稳定
必要性： 系统稳定 用反证法，若

信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社 第二章-3


1 Hp
+
f(t)
-
i(t )
1 F 6 6
p
uc ( 0 )
－
如图所示电路系统， f ( t )是输入电压源，以电流 i ( t )为输出。 当初始条件i (0 ) 1和i' (0 ) 2，输入f ( t ) 0时，求i ( t )。
1. 特征根全部为单根， i j , i j, y x ( t ) k1 e 1t k 2 e 2 t ... k n e n t ,
求解零输入响应的一般步骤： Step1：写出系统的微分方程或算子方程； Step2：写出零输入响应的算子方程； Step3：写出特征方程，即 D( p) | p D( ) Step4：求解特征根； Step5：根据特征根的形式，写出yx(t)的形式； Step6：代入初始条件，求解出系数k； Step7：写出零输入响应，注意加上“t≥0”。
例3
1. 特征根全部为单根， i j , i j, y x ( t ) k1 e 1t k 2 e 2 t ... k n e n t ,
i , j 1,2,..., n. t 0 再根据初始条件，确定 系数k1 , k 2 ,..., k n
例1
+
5
电压＝阻抗（感抗、容抗）算子×电流
2H
2p
i1 i2 i1 i 2
1
1
+
i1
1H
p
i2
例：电路如图，建立i1(t) 和i2(t)与输入f(t)之间的关系。
2
f(t)
-
小结 ① 通过引进微分算子，得到LTI系统的算子方程：
(an p n ... a1 p a0 ) y( t ) (bm p m ... b1 p b0 ) f ( t )

信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第三章-3

yn7yn116yn212yn30已知初始条件y11y23y35求零输入响应yrere复根36零状态响应连续时间系统离散时间系统系统对单位冲激信号的响应单位冲激响应ht信号的分解特性系统的线性时不变性零状态响应y系统对单位样值信号的响应单位样值响应hn零状态响应y信号的分解特性系统的线性时不变性单位样值响应系统对单位样值信号n的零状态响应称为单位样值响应又称为单位脉冲响应记为hn高阶系统对he进行部分分式展开例
作业： 3.14 (2)、(6) 3.17、3.18、3.26
练习： 3.要复习的数学知识
正交、正交基、完备的正交信号集 矢量的正交分解 傅里叶级数 三角函数公式 三角函数与指数函数的积分 信号功率、信号能量

T
回顾
§3.4 离散时间系统的差分方程 离散系统
差分方程可以描述： 作为微分方程的近似方程来进行 连续系统的数字仿真 前向差分方程式
ak y( n k ) ak 1 y( n k 1) ... a1 y( n 1) a0 y( n) bm x( n m ) ... b1 x( n 1) b0 x( n)
(a k E k a k 1 E k 1 ... a1 E a 0 ) y(n) (bm E m ... b1 E b0 ) x(n)
D(E) N(E)
y ( n)
N(E) x ( n) H ( E ) x ( n) D( E )
H(E)：传输算子,或者转移算子。
单位样值响应h(n)
信号的 分解特性 系统的 线性时不变性
零状态响应yx(n) y x (n) x(n) * h(n)
一 单位样值响应
二 零状态响应
一 单位样值响应 系统对单位样值信号 (n)的零状态响应， 称为单位样值响应，又称为单位脉冲响应，记为h(n)
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y f ( t ) H ( p) f ( t ) H ( p) H f ( p) ( t )
f (t )
H(p) Hf(p)
y f (t ) y f (t )
求零状态响应 求冲激响应
(t )
H(p)
于是，f(t)的零状态响应可以理解为两个系统串联后的冲激响应：
y f ( t ) H ( p) f ( t ) H ( p) H f ( p) (t )
例：求信号 f ( t ) e at u( t )通过一个H ( p) 1 的系统产生的零状态响 应y f ( t ). pb
例：已知系统
( p 2 5 p 6) y( t ) pf ( t ) ,
f ( t ) u( t ) 。求y f ( t ).
补充内容
进一步分析冲激响应h(t)的意义：冲激响应可以表示一个系统。
[ f1 ( t ) f2 ( t )]H ( p) f1 ( t ) H ( p) f2 ( t ) H ( p)
f 1 (t ) f 2 (t )
f 1 (t ) f 2 (t )
h(t)
y f (t )
h(t) + h(t)
y f (t )
例：求如图所示系统的 冲激响应，其中 h1 ( t ) u( t ), h2 ( t ) ( t 1) , h3 ( t ) ( t )
0- 0 0+
1 h( t ) ( t ) e at u( t ) pa
1 ( t ) e at u( t ) pa
1 ( p a)
2
( t ) te u( t )
at
1 t 2 at ( t ) e u( t ) 2 ( p a)3
h( t )
( t ) h( t )
(t i ) h(t i )
f( i ) i (t i ) f( i ) i h(t i )
根据可加性性：
当 i 0 时：

f( i ) i ( t i )

i

i
f( i ) i h( t i )
t0
1 t 1 t y( t ) ae e e ,
当 2, 3时， 1 1 y( t ) ae 2t e 2t e 3t 5 5
自然响应
强迫响应
瞬态响应 稳态响应
作业：
2.28、2.29、2.34
练习： 2.27、2.30、2.31、2.32、2.33
零输入响应
y( t ) ae t
零状态响应
1 1 e t e t , t0
自然响应
强迫响应
三 瞬态响应与稳态响应 瞬态响应：t时趋于零的那部分响应（即随t的增加而衰减 并最终完全消失）。 稳态响应： t时能保留下来的那部分响应。 零输入响应
t
零状态响应
§2.8 系统响应模式分析
一 系统全响应
系统全响应可以分解为零输入响应和零状态响应。 二 自然响应与强迫响应 自然响应(固有响应)：由系统特征根决定的那部分响应。 强迫响应：由输入信号决定的那部分响应。
例： 系统y' ( t ) y( t ) f ( t ), 输入信号 f ( t ) e t u( t ), ， 初始状态 y(0 ) a , 求全响应。
第二章第五次课
复习
单位冲激响应h(t)
1. 什么是冲激响应？ 初始状态为零，输入为(t)时的响应。 2. 为什么研究冲激响应？
系统的冲激响应可以表征系统本身的特性。 系统的冲激响应为求解零状态响应提供了方法。
3. 如何求冲激响应？
(1)在(0 ,)区间，按零输入响应的 求解方法来确定响应模 式； ( 2)在(0 ,0 )区间，h( t )中可能包含 ( t )及高阶导数项，用冲激 平衡法。
(t )
Hf(p)
f (t )
1 (t ) p-a

(t )
1 H f ( p) p-a
e at u(t )
三 yf(t)的求解 方法1： y f (t ) f (t ) * h(t ) f ( )h(t )d 即利用求卷积的方法来求零状态响应。 方法2： y (t ) f (t ) * h(t ) (t ) * f (t ) * h(t ) (t ) * [ f (t ) * h(t )] f
① 因果系统
h( t ) 0, t 0

因果系统的零状态响应 ： y f ( t ) 0 h( ) f ( t )d
② 稳定系统

对任意的有界输入，输出都有界。
h(t ) dt ，即冲激响应绝对可积 。
注意：h(t)绝对可积≠h(t)有界
例如：理想积分器是非稳定系统。
b at ( t ) e sin( bt )u( t ) 2 2 ( p a) b
h( t )
pa at ( t ) e cos(bt )u( t ) 2 2 ( p a) b
求h(t)的传输算子法：将H(p)进行部分分式展开。
§2.7 零状态响应
一 初步分析 冲激响应h(t)： 系统初始状态 为零，输入为(t)时的响应。 零状态响应yf(t)：系统初始状态 为零，输入为f(t)时的响应。 yf(t)与h(t)如何发生关系？ f(t)与(t)如何发生关系？ 系统冲激响应为h(t)，即 根据时不变性： 根据齐次性：
y f ( t ) H ( p) f ( t ) H ( p) H f ( p) ( t )
f (t )
H(p) Hf(p)
y f (t ) y f (t )
求零状态响应 求冲激响应
(t )
H(p)
方法2： y (t ) f (t ) * h(t ) (t ) * f (t ) * h(t ) (t ) * [ f (t ) * h(t )] f
求冲激响应h(t)
求零状态响应
f(t)的零状态响应可以理解为两个系统串联后的冲激 响应，即：
y f (t ) f (t ) * h(t )
y f ( t ) H ( p) f ( t ) H ( p) H f ( p) ( t )
求全响应y(t ) y x (t ) y f (t )
-
f( ) (t )d



-
f( )h( t )d
f (t )
y f ( t ) f(t) * h(t)
二 结论及意义
y f ( t ) f ( t ) * h( t )
1. 系统描述方法
微分方程
输入和输出之间的隐性关系
y f ( t ) H ( p) f ( t )
(t )
1 p
h( t )
③ 无记忆系统 系统响应只与当前时刻的输入有关。
h( t ) c ( t )
卷积代数性质的物理意义
交换率：f (t ) * h(t ) h(t ) * f (t )
f (t )
H(p)
y f (t )
h( t )
Hf(p)
y f (t )
结合率： [ f (t ) * h1 (t )] * h2 (t ) f (t ) * [h1 (t ) * h2 (t )] [ f (t ) * h2 (t )] * h1 (t )
t
例：求RC电路的阶跃响应s(t)。
R
+
+
u(t) 1 t
f(t)
-
i(t )
C
y( t )
－
s( t )
1 t RC (1 e )u( t )
s(t)
1
阶跃响应反应了系统的快速响应能力。
t
1. 特征根全部为单根， i j , i j ,
LTI系统分析思路
i , j 1, 2,..., n.
e at u(t )
1 f ( t ) e u( t ) (t ) p-a
at
(t )
1 H f ( p) p-a
任何信号f(t)都可以看作是某个冲激响应为f(t)的系统的冲激响应。
( t ) * f ( t )＝f ( t )
例如：f ( t ) e at u( t )
(tt)) f(ຫໍສະໝຸດ h1(t) (t ) * h1 (t )
h2(t) h1(t) h3(t) +
h y ((tt))
(t ) * h2 (t ) * h1 (t ) * h3 (t )
阶跃响应s(t)：输入为阶跃信号u(t)时的零状态响应。
s( t ) u( t ) * h( t ) h( )d 0 h( t )d 1 s( t ) H ( p ) ( t ) p
f (t )
f (t )
h1(t) h2(t)
h2(t) h1(t)
y f (t )
y f (t )
H1 ( p) H 2 ( p) f ( t ) H 2 ( p) H1 ( p) f ( t )
f (t )
y f (t )
h1(t)*h2(t)
分配率： [ f 1 (t ) f 2 (t )] * h(t ) f 1 (t ) * h(t ) f 2 (t ) * h(t )
y x ( t ) k1e 1 t k2 e 2 t ... kn e n t , t 0 再根据初始条件，确定 系数k1 , k2 ,..., kn 系 2. 特征根有r个重根 0， 这r个重根对应的响应模式 为： 求转移算子H(p) 建立系统的微分方程 h( t ), 用传输算子法：把 H(p) 进行部分分式展开： 统 求冲激响应 0 t r 1 0 t 0t k1 e k 2 te ... k r t e 1 1 1 t 2 at at at 3. 特征根有成对的共轭复 i 'u ( t ) e u( t ) 根 i ( tj) te (t ) i j i , 对应的响应模式为： ( t ) e u( t ) i , 2i 3 pa 2 ( p a) ( p a) it e [k1 cos( i t ) k1 ' sin( i t )] b pa at at 求特征根 ( t ) e sin( bt ) u ( t ) ( t ) e cos(bt ) u( t ) 求零输入响应 y x (t ) ( p a) 2 b 2 ( p a) 2 b 2